高中数学第1章41-42单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义单位圆与周期性课时作业

2015-2016学年高中数学 第1章 4.1-4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性课时作业 北师大版必修4一、选择题1．有下列命题，其中正确的个数是( ) ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②同名三角函数值相等的角也相等；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等； ④不相等的角，同名三角函数值也不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 对于①，由诱导公式一可得正确；对于②，由sin30°＝sin150°＝12，但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin60°＝sin120°＝32，所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误． 2．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 由sin α＝35>0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．3．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α<0，sin α>0. ∴点P 在第四象限．4．点A (x ，y )是－300°角终边与单位圆的交点，则yx的值为( ) A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33[答案] A[解析] x ＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)＝cos60°＝12，y ＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin60°＝32. ∴y x＝ 3.5．下列函数是周期函数的有( ) ①y ＝sin x ②y ＝cos x ③y ＝x 2A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③[答案] C[解析] 很明显y ＝sin x 和y ＝cos x 是周期函数，函数y ＝x 2的图像不是重复出现，故函数y ＝x 2不是周期函数．6．已知角α的终边上一点P (1，－2)，则sin α＋cos α等于( ) A ．－1B ．55C ．－55D ．－ 5[答案] C[解析] ∵x ＝1，y ＝－2，∴r ＝ 5.∴sin α＝y r ＝－255，cos α＝x r ＝55.∴sin α＋cos α＝－255＋55＝－55.二、填空题7．sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝________. [答案] 1[解析] 原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝32×32＋12×12＝1. 8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.[答案] －8[解析] 根据题意sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，y42＋y2＝－255， 又∵y <0，∴y ＝－8(符合题意)，y ＝8(舍去)． 综上知y ＝－8. 三、解答题9．已知角θ终边上一点P 的坐标为(x,3)，x ≠0，且cos θ＝1010x .求sin θ和cos θ的值．[解析] 因为cos θ＝1010x ＝xr，所以10xr ＝10x . 因为x ≠0，所以r ＝10.由x 2＋32＝r 2，得x ＝±1，又因为y ＝3>0， 所以θ是第一或第二象限角． 当θ是第一象限角时，取x ＝1，则 sin θ＝yr＝310＝31010，cos θ＝1010.当θ是第二象限角时，取x ＝－1，则 sin θ＝yr＝310＝31010，cos θ＝－1010.10．计算下列各式的值：(1)m 2sin(－630°)－2mn cos(－720°)； (2)sin(－236π)－cos 133π.[解析] (1)原式＝m 2·sin(－720°＋90°)－2mn ·cos0° ＝m 2·sin90°－2mn cos0° ＝m 2－2mn .(2)原式＝sin(－4π＋π6)－cos(4π＋π3)＝sin π6－cos π3＝12－12＝0.一、选择题1．已知角α的终边经过点(2a ＋1，a －2)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．211C ．－2或211D ．2[答案] A[解析] 由余弦函数的定义知，2a ＋12a ＋12＋a －22＝－35，化简整理得11a 2＋20a －4＝0，解得a ＝－2或a ＝211，又2a ＋1<0，所以a ＝－2.2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围为( )A ．－2<a <3B ．－2<a ≤3C ．－2≤a <3D ．－3≤a <2[答案] B[解析] ∵sin α>0，cos α≤0， ∴α位于第二象限或y 轴正半轴上． ∴3a －9≤0且a ＋2>0. ∴－2<a ≤3. 二、填空题3．若f (x )的定义域为R ，对任意的x ，都有f (x ＋2)＝－1f x，且f (0)＝1，则f (2 016)＝________.[答案] 1[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝－1fx ＋2＝f (x )，即f (x )是周期为4的函数．f (2 016)＝f (504×4)＝f (0)＝1.4．已知(12)sin θ<1且2cos θ<1，则θ为第________象限角．[答案] 二[解析] ∵(12)sin θ<1＝(12)0，∴sin θ>0.又2cos θ<1＝20，∴cos θ<0.∴θ为第二象限角．三、解答题5．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin α，cos α的值；(2)求α的终边与单位圆交点Q 的坐标． [解析] (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，角α在第二象限，∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45.当a <0时，r ＝－5a ，角α在第四象限， ∴sin α＝－35，cos α＝45.(2)由正弦、余弦函数的定义知，α的终边与单位圆交点的坐标为Q (cos α，sin α)， ∴当a >0时，Q (－45，35)，当a <0时，Q (45，－35)．6．若sin2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． [解析] ∵sin2α>0，∴2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， ∴k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )， 有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )， 有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．∴α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α在第二或第三象限，或α终边在x 轴的非正半轴上． 综上可知，α是第三象限角．7．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M (35，m )，求m 的值及sin α的值．[解析] (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或y 轴的非正半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限或x 轴的非负半轴上的角． 综上可知，角α是第四象限角． (2)∵点M (35，m )在单位圆上，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.根据正弦函数的定义，可知sin α＝－45.。