第二章 质点动力学 南京大学出版社 习题解答

第二章 习题解答

2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。

解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j i a m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为：

'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α

2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：

j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F

2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。

2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可

伸长。

解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：

②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ

①+②可求得：g m m g

m F a μμ-+-=

2

112

将a 代入①中，可求得：2

111)

2(m m g m F m T +-=

μ

2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2

的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。

解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：

f 1 N 1 m 1

g T

a

F

N 2 m 2g

T

a

N 1 f 1 f 2

T'

T'

'2''2211T T a m T g

m a m g m T ==-=-②① 由①②可求得：

2

12121212,2'm m g

m m T m m g m m T +=

+=

所以，天平右端的总重量应该等于T ，天平才能保持平衡。

2-21 一个机械装置如图所示，人的质量为m 1=60kg ，人所站的底板的质量为m 2=30kg 。设绳子和滑轮的质量以及滑轮轴承的摩擦力都可略去不计，若想使所站着的底板在空中静止不动，此人应以多大的力量拉绳子？此时人对升降机的压力是多大？

解：装置的各部分和人的受力如图所示，据题意有：

112233

2312

13231200

T T T T T T N N T T T T T T N m g T N m g ⎧'''===⎪

⎪''===⎨

'''+--=⎪⎪

'+-=⎩ 解方程组得：31

212

1()41(3)4

T m m g N m m g

⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

代入数据得：3220.5367.5T N

N N =⎧⎨=⎩，即人应以220。5N 的力量拉绳子？此时人对升降机的压

力是367.5N 。

2-22 桌面上有一质量m 1=1kg 的木板，板上放一个质量为m 2=2kg 的物体。已知物体和板之间的滑动摩擦系数μ2=0.4，静摩擦系数为μ0=0.5，板和桌面间的滑动摩擦系数μ1=0.3。

（1）今以水平力拉板，物体和板一起以加

速度a=1m/s 2运动，计算物体和板以及板和桌面间的相互作用力；

（2）若使板从物体下抽出，至少需用多大的力？

解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示，

f N 1 a 1

a 2 x

y

（1）物体和板之间的最大静摩擦力可提供的最大加速度大于a=1m/s 2，所以它们之间无相对运动。

111

222

2

120

f m a f N N N m

g μ=⎧⎪

=⎨⎪--=⎩解方程组并代入数据得： 1228.82f N f N =⎧⎨=⎩ 所以物体和板以及板和桌面间的相互作用力分别为2N 和8.82N 。

（2）其中，N 1'=N 1，f 1'=f 1=μ0N 1，f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1，m 2分别应用牛顿二定律，有

011111

012222212

00N m a N m g F N N m a N N m g μμμ=⎧⎪-=⎪⎨

--=⎪

⎪--=⎩ 解方程组，得 ()1020121222/a g

a F m g m g m g m μμμμ==---

要把木板从下面抽出来，必须满足12a a >，即

01212220F m g m g m g m g

μμμμ--->()()()()02120.50.3129.823.52F m m g N μμ∴>++=+⨯+⨯= 即要把木板从下面抽出来，沿水平方向必须用大于23.52N 的力。

2.23沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg ，t=0时。

解：根据推力F-t 图像，可知F=4.9t （t ≤20）,令F=mg 即4.9t=2×9.8，t=4s ，因此，火箭发射可分为三个阶段：为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=4为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s 时，y = y 1，；t ≥20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大 高度时的坐标 y=y 2.

第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt

/ 4.9/29.8dv F mdt gdt tdt dt =-=-

()0

4

4

4.9/29.820v

t t

dv tdt dt

t =-≤⎰

⎰⎰

()24.9/49.84 4.920v t t t =-+⨯≤

20

题图