二次根式的基本定义

=2−x,那么ｘ取值范围是（ )
B．ｘ<2
C．x≥２
D．x＞２
【例 7】化简二次根式 a a 2 的结果是 a2
(A） a 2 变式练习：
(B) a 2 (C） a 2
1、把二次根式 a 1 化简,正确的结果是（ ) a
A． a ‫ﻩ ﻩ‬B. a
C. a
(D) a 2 D. a
(１)被开方数是带分数的要化成假分数。 (2）被开方数学是小数的要化成分数。 （３）被开方数中含有能开方的多项式时，要先因式分解再开方。 同类二次根式（可合并根式):
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就 叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。
【例 7】在根式１） a2 b2 ; 2) x ;3) x2 xy; 4) 27abc ，最简二次根式是（ ) 5
化简结果上判断，如 ， 都是二次根式。 2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或 等于０.
3、如果是给定的式子， 就是有意义的。、
４、形如 b （a 写成假分数。
的式子也是二次根式,ｂ与 是相乘关系，当 b 是分数时,
5、式子 (a 表示的是非负数。
6、 +b（a 和形式是含有二次根式的式子,不能叫二次根式。 二次根式定义:
。
2、若
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的整数部分为
x，小数部分为ｙ,求
x2
1 y
的值．
二次根式性质:
１. 非负性： a(a 0) 是一个非负数.
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2． ( a)2 a(a0).
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于,可以把任意一个非负
数或非负代数式写成完全平方的形式： a( a)2(a0)
(1） 2x 8x3 y
(2） 2 ab
（３) x
8 x3
【例１2】把下列各式分母有理化：
（1） 2 2 1
(2） 5 3 5 3
33 3 22 3
－1 的倒数为（ ）
A．
-1
B．1-
C. +1
（４) 1 3 5 50
(4) a2 b5 b2 a5 (3）
D．-
－1
（3) a 2 和 ( a ) 2 的运算结果都是非负的．
【例 5】若 a 2 b 3 c 42 0，则 a b c
.
变式练习:
１、若 m 3 (n 1)2 0 ,则 m n的值为
。
２、已知 x, y 为实数,且 x 1 3y 22 0 ，则 x y 的值为（ ）
与 a b 等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 a b 与 a b ，
a b与 a b , a x b y与a x b y 分别互为有理化因式。 【例１０】 把下列各式分母有理化
（1) 1 48
（２） 4 3 37
(3) 1 1 2 12
【例 1１】把下列各式分母有理化
是一个整数,那么正整数 a 最小值是
.
注意掌握：
1、二次根式具有双重非负性。 (ａ ， ０
2、如果式子中既含有二次根式又含有分式,那么它有意义的条件是:二次根式中 的被开方数是非负数，分式中的分母不为 0. 3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂,有意义的条件是,度数不为０.
【例 3】来式子
有意义的 x 的取值范围是
Ａ. 8
B. 27
C.2 5
Ｄ. 1 2
【例９】将 a 练习：
根号外的因式移入根号内的结果是
化简: ,
，
(y
,
分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代 数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:
①单项二次根式：利用 a a a 来确定，如： a与 a , a b与 a b , a b
3．
a2
a(a0) |a|a(a0)
注意:（1）字母不一定是正数． （2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.
（3)可移到根号内的因式,必须是非负因式，如果因式的值是负的,应把负号 留在根号外．
4． 公式 a2 |a|a(aa(a0)0)与 ( a)2 a(a0)的区别与联系
（1) a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数. (2) ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数.
源:学＊科＊
网 Z*X*X＊K］ 变式练习：
１、使代数式 x 3 有意义的 x 的取值范围是(
x4
A、ｘ＞3 ‫ﻩﻩ‬B、x≥3 ‫ﻩﻩ‬C、 x>4
) ‫ ﻩ‬D 、x≥3 且 x≠４
2、使代数式 x2 2x 1 有意义的 x 的取值范围是
3、如果代数式 m 1 有意义,那么,直角坐标系中点Ｐ（m,n)的位置在（ ） mn
【例 1】下列各式 1 , 2) 5,3) x2 2, 4) 4,5) ( 1)2 , 6) 1 a, 7) a2 2a 1 ,
5
3
其中是二次根式的是_________（填序号)．
变式练习：
１、下列各式中，一定是二次根式的是（
）
A、 a
Ｂ、 10 Ｃ、 a 1 D、 a2 1
2、在 a 、 a2b 、 x 1 、 1 x2 、 3 中是二次根式的个数有______个 ３、下列的式子一定是二次根式的是（ )
A.
B.
Ｃ.
Ｄ.
４、式子：① ；② ;③
;④
；⑤
；⑥
;
⑦
⑧
A．①②④⑥
中是二次根式的代号为（ ）
B.②④⑧
C．②③⑦⑧
【例 2】若
是正整数,最小的整数 n 是（ ）
D.①②⑦⑧
A.6
变式练习: 1、已知: A．0
B．3
Ｃ.48
D．2
是整数，则满足条件的最小正整数ｎ的值是（ ）
B．1
C．2
D.5
２、二次根式
A、第一象限 B、第二象限 Ｃ、第三象限 Ｄ、第四象限
【例４】若ｙ＝ x 5 ＋ 5 x ＋2009,则ｘ+y= 变式练习:
1、若 x 1 1 x (x y)2 ，则 x-ｙ的值为（
)
A．－１
Ｂ.1 C．2 Ｄ．3
2、若ｘ、ｙ都是实数，且ｙ= 2x 3 3 2x 4 ,求 xy 的值
二次根式的基本定义
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‫ﻩ‬
知识点一:二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义:
形如
的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时，
才有意义. 注意理解： １、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从
2、已知０<ａ＜1,化简 3、若化简 Ａ、任Hale Waihona Puke Baidu实数 B、1
+
=
的结果为 2x-５，则 x 的取值范围是(
）
Ｃ、x
D、ｘ
4、若实数 a、b、c 在数轴的位置，如图所示,则化简
=
．
−|b−c｜
5、已知：实数 a,b 在数轴上的位置如图所示，化简:
+２
-|a-b|．
6、已知，
求
-
的值。
最简二次根式: (１）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不 含能开得尽方的数或因式,(被开方数中每个因数(式）的指数都小于根指数 2,都 是１)；分母中不含根号. 化最简根式时注意：
A.1) ２)
B.3) 4)
２、下列根式中,不．是．最简二次根式的是(
Ｃ．1) 3) )
Ｄ．1) 4)
Ａ． 7 ‫ ﻩﻩ‬B． 3 ‫ﻩﻩ‬Ｃ. 1 ‫ﻩ ﻩ‬D. 2
2
3、下列根式不是最简二次根式的是( )
A. a2 1
B. 2x 1
C． 2b 4
D. 0.1y
【例 8】下列根式中能与 3 是合并的是( )
3、当 a 取什么值时，代数式 2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。
4、若实数ａ、b、ｃ满足
+|a+b｜=
＋
的值为
.
，则 2a-3b+c2
5、已知 y＝
,求 2x＋y 的算术平方根．
二次根式整数部分小数部分: 已知 a 是 5 整数部分，b 是 5 的小数部分,求 a 1 的值。
b2
1、若 3 的整数部分是 a，小数部分是ｂ,则 3a b
A.3 ‫ﻩ‬B.– 3 ‫ﻩ‬C．1‫ ﻩ‬D.– 1
３、已知直角三角形两边ｘ、y 的长满足｜x2－4｜＋ y2 5y 6 ＝0，则第三边 长为＿_____.
4、若 a b 1 与 a 2b 4 互为相反数，则 a b 2005 _____________ 。
【例６】如果 A．ｘ≤2