知识梳理圆的方程(基础)

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241圆的标准方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

2.4.1圆的标准方程（基础知识+基本题型）知识点一确定圆的几何要素确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.从集合的角度理解圆（1）圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.（2）确定一个圆的条件在平面直角坐标系中，圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆上的点M 的集合就是集合{|||}P M MA r ==.知识点二圆的标准方程1．圆的标准方程的推导如图所示，设圆上任意一点(,)M x y ，圆心A 的坐标为(,)a b ，由||MA r =r =，等式两边平方得222()()x a y b r -+-=.①若点(,)M x y 在圆上，易知点M 的坐标满足方程①；反之，若点(,)M x y 的坐标适合方程①，则点M 在圆上，我们把方程222()()x a y b r -+-=称为圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆的标准方程.确定圆的标准方程的条件（1）圆的标准方程中有三个参数a ，b ，r ，其中实数对(,)a b 是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数r 表示圆的半径，能确定圆的大小.（2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的圆心坐标和圆的半径.2．几种常见的特殊位置的圆的方程1．圆的标准方程的推导圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=，圆心为(,)A a b，半径长为r.设所给点为00(,)M x y，则点M与圆的位置关系及判断方法如下：（系来判断.（2）判断点与圆的位置关系时，还可将点的坐标代入圆的标准方程的左边，与半径的平方比较大小.考点一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上；(3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C - ∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++= 又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r = ∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.例2 已知圆过两点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上，求此圆的标准方程.解：方法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.依题意，有222222(3)(1)(1)(3)320a b r a b r a b ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪--=⎩，即22222262102610320a b a b r a b a b r a b ⎧+--=-⎪++-=-⎨⎪--=⎩，解得22410a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法2：直线AB 的斜率311132k -==---，所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为3112x -==，1322y +==. 因此直线m 的方程为22(1)y x -=-即20x y -=.又因为圆心在直线320x y --=上，所以圆心是这两条直线的交点.联立方程，得20320x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩.设圆心为C ，所以圆心坐标为(2,4)，又因为半径长||r CA ==所以所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法3：设圆心为C .因为圆心C 在直线320x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(,32)a a -.又因为||||CA CB =2a =.所以圆心为(2,4)，半径长||r CA ==.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2；（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．考点二：点与圆的位置关系例3．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系．【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内【解析】 ∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10，分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得(6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上；(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ|＜r ；点P 在圆上⇔|PQ|=r ；点P 在圆外⇔|PO|＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＜r 2．例4 已知点(1,2)A 在圆C ：222()()2x a y a a -++=的内部，求实数a 的取值范围. 解：因为点A 在圆的内部，所以222(1)(2)2a a a -++<.所以250a +<，52a <-.所以a 的取值范围是5|2a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. 总结：利用已知点与圆的位置关系确定圆中的参数的值或取值范围时，可直接将点的坐标代入圆的标准方程，依据点与圆的位置关系，得出方程或不等式，求解即可.例5 已知两点1(3,8)P 和2(5,4)P ，求以线段12P P 为直径的圆的标准方程，并判断点(5,3)M ，(3,4)N ，(3,5)P 是在圆上、在圆内、还是在圆外.解：设圆心(,)C a b ，半径长为r .因为点C 为线段12P P 的中点，所以3542a +==，8462b +==，即圆心坐标为(4,6)C .又由两点间的距离公式，得1||r CP =所求圆的标准方程为22(4)(6)5x y -+-=.分别计算点M ，N ，P 到圆心C 的距离：||CM =>||CN =，||CP =所以点点M 在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.。

圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理.doc

的方程与专题复习(直线与圆.圆与圆的位置关系.轨迹问题)知识梳理浙江省诸暨市学勉屮学(311811)郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳1.圆的定义：平而内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心，定长为半径.2.圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x-r/)2+(y-/7)2 =r2(r>0), 其屮圆心坐标为(％),半径为r；当a = O,h = O时，即圆心在原点时圆的标准方程为x2 + y2 =厂2 ；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3.圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x2 + y2 + Dx + + F = 0(D2 + E2 - 4F >0)；②圆的一般方程的特点：(1) x2,y2项系数相等且不为()；(2)没有小这样的二次项③二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2 +Dx + £y + F = 0表示圆的必要条件是4=C H 0 且B = Q；二元二次方程+ Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是A = C^0且3 = 0 且D2 +E2-4AF>04.圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量0将变量x, y联系起来的一个方程.[x = r cos e①鬪心在原点，半径为厂的圆的参数方程是：｛.八(0为参数);[y = rsin^/ 、\x = a + r cos 0②圆心在(a,b),半径为旷的圆的参数方程是：｛(〃为参数);[y = b + rsin05.圆方程之间的互化x2 +y2 +Dx + Ey + F =0(D2 +E2-4F>0)配方(E、2D2 + E2 -4F< D<=>X + —+x + —即圆心< 2丿L 2丿4 1 22厂=丄S +E： -4F o 利用(rcos0)2 +(rsin^)2 = r2得j“ °十'°°"矽为参数)2 \y = b + rsind6.确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一燉方程及参数方程都冇三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。

圆的方程_基础知识讲解

圆的方程编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】要点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 要点四：几种特殊位置的圆的方程要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组. (3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标；（2）列出关于,x y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点C （3，4（3）经过点P （5，1），圆心在点C （8，―3）上．【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．【答案】（1）x 2+y 2=9 （2）(x ―3)2+(y ―4)2=5（3）(x ―8)2+(y+3)2=25 【解析】（1）x 2+y 2=9；（2）(x ―3)2+(y ―4)2=5；（3）解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点C （8，―3）．∴圆的方程是(x ―8)2+(y+3)2=25．解法二：∵圆心为C （8，―3），故设圆的方程为(x ―8)2+(y+3)2=r 2．又∵点P （5，1）在圆上，∴(5―8)2+(1+3)2=r 2，∴r 2=25， ∴所求圆的方程是(x ―8)2+(y+3)2=25．【总结升华】确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2；（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（） A ．(x ―4)2+(y+1)2=10 B ．(x+4)2+(y ―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=【答案】A例2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．（1）x 2+y 2=2；（2）(x ―3)2+y 2=a 2（a ≠0）；（3）(x+2)2+(y+1)2=b 2（b ≠0）．【答案】（1）（0，0）（2）（3，0），|a|（3）（―2，―1），|b|【解析】（1）圆心（0，0）；（2）圆心（3，0），半径为|a|；（3）圆心（―2，―1），半径为|b|．【总结升华】（2）、（3）两题中a 2、b 2仅为半径的平方，没有给定a ＞0，b ＞0，∴半径r=|a|、|b|．例3．求圆心在直线y=―x 上，且过两点A （2，0），B （0，―4）的圆的方程．【思路点拨】先写出线段AB 的中垂线方程，然后求出中垂线与直线y=―x 的交点，这个点就是圆心，进一步求出圆的方程。

圆的方程

2 2
2 2
C．30°
D．120°
解析：⊙C：(x－1) ＋(y－1) ＝1，∵PA、PB 是⊙C 的两条切线， ∴△PAC≌△PBC， ∴四边形 PACB 面积最小，即△PAC 面积最小，∵AC 为⊙C 的半径，∴只要 PA 取最小值，从而 PC 取最小值，∴PC 与已知直线垂直， ∴|PC|＝2，∴∠APB＝2∠APC＝60°.
2 2
2 与 x 轴相切的圆方程： x a y b b r b ；

2 与 y 轴相切的圆方程： x a y b a r a ； 2 2

(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
把 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F=0
二元二次方程表示圆当且仅当 2 2 A=C≠0，B=0 ，D +E -4AF>0。
3、点与圆的位置关系： 2 2 2 若圆(x-a) +(y-b) =r ，那么点(x0,y0)在
圆上 x0 a 2 y 0 b 2 r 2 2 2 2 圆内 x0 a y 0 b r 圆外 x a 2 y b 2 r 2 0 0
二、典例讨论： 1.圆的基本概念
例1、（1）一束光线从A（－1，1）出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是____.
（2）圆x2＋y2＋2x＋4y－3=0上到直线l：x＋y＋b=0之
距离为
2
的点有2 个,则b 的范围为
.
2、求圆方程
例2、根据下列条件，求圆的方程。（1）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点（2，-1）. (2)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4 3 ，求圆的方程。

圆的方程

圆的方程一、知识梳理(一)圆中有关定理和性质：1. 圆心在过切点且与的直线上；2. 圆心在任一弦的上；3. 两圆内切或外切时与三点共线.(二)圆的方程：（1）标准式：以(a ，b )为圆心、r (r>0)为半径的圆的标准方程为 .（2）一般式：圆的方程的一般形式是x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)，其中圆心为，半径为 .当D 2+E 2-4F=0时，方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示： .当D 2+E 2-4F 0时，方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0不表示 .【理科】3.参数式：以(a ，b )为圆心、r (r>0)为半径的圆的参数方程为 .【理科】4.极坐标式：圆的极坐标式与直角坐标方程之间的转化公式：，， .【理科】5.复数式：以0(R)Z a bi a b r =+∈、、为半径圆的方程为：.（三）圆的方程的求法：(1) ；(2) .(四)点与圆的关系：1、设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r.若点P 在圆上，则点P 在圆上，则；若P 在圆外，则；若点P 在圆内，则 .2、设点P (m ，n )，圆C ：f (x ，y )=(x-a )2+(y-b )2-r 2=x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(r>0，D 2+E 2-4F>0)，则点P 在圆C 外⇔ ；点P 在圆C 上⇔ ；点P 在圆C 内⇔ .二、基础训练：*1.已知某圆的内接正方形ABCD 相对的两个顶点的坐标分别为(5,6),(3,4)A C ，那么这个圆的方程为 .*2.若圆024222=++++b by x y x 经过原点，则=b ；若该圆与x 轴相切，则b= .*3.已知点P (1，1)在圆04222=-+-+ay ax y x 的内部，那么实数a 的取值范围是 .**4.若直线03=+-y x 平分圆012222=+-++ay ax y x 的周长，则实数=a .**5.若某圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 .**6.已知点),(y x M 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为21，那么点M 的轨迹方程为 . **7.若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为 .**8.已知三点),3,2(),3,0(),0,1(C B A 那么ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为 .***9．已知半径为2，圆心在直线2+-=x y 上的圆C.若圆C 经过点A (2，2)且与y 轴相切，则圆C 的方程为 .***10.已知某圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线02:=-y x l 的距离为55.那么该圆的方程为 . 三、例题选讲：*例1：根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；(2)圆心在直线y=-4x 上，且与直线l ：x+y-1=0相切于点P (3，-2).*例2：如图，圆O 1与圆O 2的半径都为1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (点M ，N 分别为切点)，使得PM=2PN.试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程.**例3：已知圆M经过A(1，-2)，B(-1，0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，求圆M的方程.**例4：求半径为2，圆心在直线l1：y=2x上，且被直线l2：x-y-1=0所截弦的长为22的圆的方程.***例5：已知O为坐标原点，定直线l：x=2，定点F(1，0)，M是l上的点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点.(1)若PQ=6，求圆D的方程；(2)若M是l上的动点，证明点P在定圆上，并求该定圆的方程.四、课后总结：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程；了解圆的一般方程的代数特征，能实现一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F。

《圆的方程》知识梳理

1 《圆的方程》知识梳理1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2.说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆.（2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*）将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：a.x 2、y 2项系数相等且不为零.b.没有xy 项.（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.（3）圆的参数方程①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0，仅当（A D ）2+（A E ）2－4·AF ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0.（θ为参数）. ① （θ为参数）. ②。

专题06 圆的方程(知识梳理+专题过关)(原卷版)

专题06圆的方程【知识梳理】1、圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中(),a b 为圆心，r 为半径．2、点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为(),C a b ，半径为r ，则有（1）若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=（2）若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->（3）若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<3、圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-．它表示一个点(,)22D E--．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆．4、用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组．（3）解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．5、轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．（3）求轨迹方程的步骤：①建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标；②列出关于,x y 的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答．【专题过关】【考点目录】考点1：圆的标准方程考点2：圆的一般方程考点3：点与圆的位置关系考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系考点5：定点问题考点6：轨迹问题【典型例题】考点1：圆的标准方程1．（2021·广东·深圳市南山区华侨城中学高二期中）已知以点()2,,0C t t R t t ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ､B ，其中O 为坐标原点.(1)试写出圆C 的标准方程；(2)求证：OAB 的面积为定值；(3)设直线24y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，若=OM ON ，求圆C 的标准方程.2．（2020·内蒙古·包头市第四中学高二期中）已知点(4,2)A 和(0,2)B -(1)求直线AB 的方程；(2)若圆C 经过,A B 两点，且圆心在直线23x y -=上，求圆C 的方程3．（2021·河北唐山·高二期中）圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A （1，0）、B （3，0）两点，则圆的方程为________．4．（2022·上海金山·高二期中）过直线2x y +=与直线0x y -=的交点，圆心为(1,1)C -的圆的标准方程是_____.5．（2022·全国·高二期中）已知点()6,8C ，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程是______．6．（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆224670x y x y +-++=同圆心且过点(1,1)P -的圆的方程是_____________．7．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））圆22(1)(2)4x y -++=关于直线y x =对称的圆的方程为______________.8．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知ABC 顶点的坐标为43(5,2),()1,(,0)A B C ，，则其外接圆的标准方程为_________．9．（2021·福建宁德·高二期中）某圆经过()()010610A B ，，，两点，圆心在直线21x y -=上，则该圆的标准方程为（）A ．()()223534x y +++=B ．()()223534x y -++=C ．()()223534x y ++-=D ．()()223534x y -+-=考点2：圆的一般方程10．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）已知ABC 的三个顶点分别为()()()4,0,0,2,2,2A B C --，求：(1)AB 边中线所在的直线方程(2)ABC 的外接圆的方程11．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））一圆经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．12．（2021·四川成都·高二期中（理））在平面直角坐标系中，有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,D a -四点，若它们在同一个圆周上，则=a ________．13．（2020·上海·华师大二附中高二期中）已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为________14．（2021·江苏无锡·高二期中）直线142xy+=与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A ．22420x y x y +--=B ．224210x y x y +---=C ．224210x y x y +--+=D ．22240x y x y +--=15．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆22620x y x y ++-=，则该圆的圆心和半径分别是（）．A ．()3,1--B ．()3,1-，10C ．()3,1-D ．()3,1-，1016．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点(2,1)M -，且经过圆224440x y x y +--+=与圆2240x y +-=的交点的圆的方程为（）A ．2260x y x y +++-=B ．2280x y x y ++--=C ．2220x y x y +-+-=D ．2240x y x y +---=考点3：点与圆的位置关系17．（2021·湖北宜昌·高二期中）若点()1,1A -在圆2220x y x y a +---=外，则实数a 的取值范围为（）A ．3a <B ．3a <-C ．534a <<D ．534a -<<考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系18．（2021·全国·高二期中）已知关于x ，y 的二元二次方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=．（1）当t 在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．19．（2021·四川巴中·高二期中）已知方程[)()2222cos 4sin 4sin sin 100,2x y x y αααααπ+-⋅-⋅+-+=∈表示圆.(1)求α的取值范围.(2)求该圆半径的最大值.20．（2021·福建宁德·高二期中）已知方程222450x y mx y +-++=表示圆，则m 的取值范围是____________.21．（2021·山东省实验中学高二期中）若曲线222:245160C x y ax ay a +-++-=上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围是______．22．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞23．（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．3(,)2-+∞24．（2020·四川巴中·高二期中（文））若方程2222210x y ax a a +++-+=表示圆，则a 的取值范围为（）A ．0a ≠B ．0a >C ．1a >D ．12a >25．（2021·湖南·高二期中）若方程22210x y y m +-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),0∞-D ．()0,∞+26．（2021·重庆·高二期中）若方程2220x y kx k ++-+=表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(1,7)B ．[1,7]C ．(,1)(7,)-∞+∞D ．(,1][7,)-∞⋃+∞考点5：定点问题27．（2021·全国·高二期中）已知动圆C 经过坐标原点O ，且圆心C 在直线:24l x y +=上.（1）求半径最小时的圆C 的方程；（2）求证：动圆C 恒过一个异于点O 的定点.28．（2020·湖南娄底·高二期中）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．（1）当a 取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．29．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（）A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1考点6：轨迹问题30．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点A 在圆C 上运动，求线段OA 的中点M 的轨迹方程.31．（2020·四川巴中·高二期中（文））已知圆C 经过点A （3，1）、B （－1，3），且它的圆心在直线320x y --=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若点D 为圆C 上任意一点，且点E （3，0），求线段ED 中点M 的轨迹方程.32．（2021·四川巴中·高二期中）已知圆C 经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点158,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，且点M 满足2AM MB =，求点M 的轨迹方程.33．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知圆22:4O x y +=上的一定点()2,0A ，点()1,1B 为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若90PBQ ∠=︒，求线段PQ 中点的轨迹方程．34．（2021·四川省江油市第一中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两条坐标轴的三个交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)若过点T （2，0）的直线l 与圆C 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，求M 的轨迹方程.35．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）1.已知圆C 过点(2,3)-，(0,3)-，(0,1)-.(1)求圆C 的标准方程；(2)已知点P 是直线210x y +-=与直线210x y ++=的交点，过点P 作直线与圆C 交于点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.36．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC 的顶点(3,0)B -，(3,0)C ，且||2||AB AC =，(1)设ABC 的外接圆为M ，请写出M 周长最小时的M 标准方程．(2)设顶点(,)A x y ，求顶点A 的轨迹方程及ABC 面积的最大值．37．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高二期中）已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．38．（2021·山西·侯马市第一中学校高二期中）已知圆C :()()22119x y -+-=，过点A (2，3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________________.39．（2021·四川·树德中学高二期中（文））若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π40．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）已知点A 的坐标是（-1，0），点M 满足|MA |=2，那么M 点的轨迹方程是（）A ．x 2+y 2+2x -3=0B ．x 2+y 2-2x -3=0C ．x 2+y 2+2y -3=0D ．x 2+y 2-2y -3=0。

圆的方程知识点+例题+练习

教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。

2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(原卷版)

2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解圆的一般方程及其特点；2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化；3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.知识点1圆的一般方程1、圆的一般方程：当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．其中,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．2、圆的一般方程的形式特点（1）22,x y 项的系数相同且不等于0（2x 和2y 的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；（2）不含xy 项；（3）2240D E F +->．3、一般方程与标准方程关系：对方程220x y Dx Ey F ++++=的左边配方，并将常数移项到右边，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据圆的标准方程可知：（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，知识点2圆的一般方程判断点和圆的位置关系已知点()00,M x y ，和圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）则知识点3轨迹与轨迹方程1、轨迹方程和轨迹的定义已知平面上一动点(,)M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式。

轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．3、坐标法求轨迹方程的步骤（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；（2）设点：用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；（3）列式：列出关于.x y 的方程；（4）化简：把方程化为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．考点一：二元二次方程与圆例1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆22:4650O x y x y +-++=，则圆心O 和半径r 分别为（）A ．()2,3,O r -=B ．()2,3,O r -=C ．()2,3,O r -=D ．()2,3,O r -=【变式1-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若32,1,0,,14a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程22210x y x m ++--=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞【变式1-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则实数m 可能的取值为（）A ．－1B ．0C ．12D ．1考点二：求圆的一般方程例2.（23-24高二上·内蒙古·期末）已知圆C 经过点()1,1-和点()1,3B ，且圆心在y 轴上，则圆C的方程为（）A ．()2222x y ++=B ．()22210x y -+=C ．()2222x y +-=D ．()22210x y ++=【变式2-1】（23-24高二上·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）A ．22230x y x y +--=B ．22230x y x y ++-=C ．22230x y x y +-+=D ．22230x y x y +++=【变式2-2】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知(2,0)A ，(4,2)B ，O 为原点，则AOB 的外接圆方程为.【变式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在ABC 中，AB 边所在直线的方程为360x y --=，AC 边所在直线的方程为20x y --=，AC 边上的中线所在直线的方程为20x y +-=．(1)求C 点的坐标；(2)求ABC 的外接圆方程．考点三：点与圆的位置关系例3.（22-23高二上·天津和平·月考）已知圆C ：22220x y x y +--=，则点(3,1)P 在（）A ．圆外B ．圆上C ．圆内D ．以上情况均有可能【变式3-1】（23-24高二上·内蒙古·期中）若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A ．(4,)-+∞B ．1,2⎛⎫-∞ ⎝C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆C 的方程为222245330x y mx my m m +-++-+=，若点(1,2)m -在圆外，则m 的取值范围是（）A ．(,1)(4,)-∞+∞B ．(1,)+∞C ．(1,4)D ．(4,)+∞【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是（）.A ．1a >B ．01a <<C ．115a -<<D ．1a <考点四：与圆有关的轨迹问题例4.（23-24高二上·北京·期末）已知点(2,0)B 和点(2,4)C ，直角ABC 以BC 为斜边，求直角顶点A 的轨迹方程.【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知两点(5,0)A -，(5,0)B ，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程是．【变式4-2】（23-24高二上·山东威海·期末）（多选）已知A ，B 是平面内两个定点，且||6AB =，则满足下列条件的动点P 的轨迹为圆的是（）A ．||||6PA PB +=B ．1PA PB ⋅=-C ．||2||PA PB =D ．22||||18PA PB +=【变式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点(6,0)A ，O 为坐标原点，若动点(,)P x y 满足2OP PA =．(1)试求动点P 的轨迹方程；(2)过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．考点五：圆过定点问题例5.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆:²²250C x y ax ay ++--=恒过的定点为（）A ．()()2,1,2,1--B ．()()1,2,2,1--C ．()()1,2,1,2--D ．()()2,1,2,1--【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为．【变式5-3】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆2220x y mx y m ++--=恒过的定点是.考点六：与圆有关的实际问题例6.（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（）A B C ．米D ．【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度20AB =米，拱高4OP =米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P 的高度为米．（精确到0.01米，参考数据：33 5.744≈）【变式6-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m ，拱高为4m ，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；(2)若该景区游船宽10m ，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.(3 1.732)≈一、单选题1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆222440x y x y +-+-=的圆心和半径分别为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()1,2,2-D ．()1,2,3-2．（23-24高二上·四川成都·月考）过三点()()()4,2,1,1,14A B C --,的圆的一般方程为（）A ．227320x y x y ++-+=B ．227320x y x y ++++=C ．227320x y x y +-++=D ．227320x y x y +--+=3．（2024·河北沧州·二模）若点()2,1A 在圆222250x y mx y +--+=（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++-+=表示圆的方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆22224590x y ax ay a +-++-=上所有点都在第二象限，则a 的取值范围（）A ．(),3-∞-B ．(],3-∞-C ．33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点(1,0)P ，(1,0)Q -，动点M 满足MP =，记M 的轨迹为C ，则轨迹C 围成图形的面积是（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π二、多选题7．（23-24高二上·重庆万州·期中）若()2,1，()4,2，()3,4，()1,m 四点共圆，则m 的值为（）A ．2B C ．12+D ．38．（23-24高二上·河北邢台·222:240C ax ay x a y +-+=，下列结论正确的是（）A ．当0a =时，曲线C 是一条直线B ．当0a ≠时，曲线C 是一个圆C ．当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为2πD ．当曲线C 是面积为5π的圆时，1=a 三、填空题9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=，则两圆心之间的距离为.10．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆22:220C x y mx y ++-=被直线210x y ++=平分，则圆C 的半径为．11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a .四、解答题12．（23-24高二上·全国·专题练习）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．(1)当a 取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．13．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线12:20,:0l x y l x y ++=+=，直线l 过点()10,4-且与1l 垂直.(1)求直线l 的方程；(2)设l 分别与12,l l 交于点A ，B ，O 为坐标原点，求过三点A ，B ，O 的圆的方程.。

初中数学圆的方程知识点

初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。

特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。

3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。

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圆方程的知识点总结

圆方程的知识点总结圆方程的一般形式是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

这个方程描述了平面上的所有满足给定半径和圆心的点。

在本文中，我们将总结圆方程的知识点，包括圆的标准方程、圆心的坐标、半径的计算、以及圆方程的应用和相关问题。

1. 圆的标准方程圆的标准方程是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

这个方程描述了平面上的所有满足给定半径和圆心的点。

通过这个方程，我们可以很容易地确定圆的位置和形状。

2. 圆心的坐标圆心的坐标(h, k)可以通过观察图形或给定的条件来确定。

在某些情况下，我们可以直接读取出来；在其他情况下，我们需要进行计算或使用相关的定理来确定圆心的坐标。

3. 半径的计算圆的半径r可以通过观察图形或给定的条件来确定。

在某些情况下，我们可以直接读取出来；在其他情况下，我们需要进行计算或使用相关的定理来确定圆的半径。

4. 圆方程的应用圆方程在几何学和代数学中有着广泛的应用。

在几何学中，我们可以使用圆方程来描述和分析圆形的几何性质，比如圆心的位置、半径的长度、以及与其他几何图形的关系。

在代数学中，我们可以使用圆方程来解决与圆相关的代数问题，比如求解圆与直线或另一个圆的交点、进行坐标变换等。

5. 相关问题与圆方程相关的问题有很多种，包括但不限于：求解给定圆的标准方程；确定给定圆心和半径的圆的方程；利用圆方程分析几何问题；求解圆与其他几何图形的交点；求解圆的参数方程等。

总而言之，圆方程是描述圆形的重要数学工具，在几何学和代数学中有着广泛的应用。

通过掌握圆方程的知识点，我们可以更好地理解和分析与圆相关的问题，掌握解题的方法和技巧，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。

(完整版)圆与方程知识点整理(可编辑修改word版)

矣于圆与方程的知识点整理一、标准方程：(x-rt)0+(y-b)・=厂二一般方程：A"+r+Dx+£y + F = 0(D - +F--4F>0)1・ AF + By- + + Dx+Ey+F = 0 表示圆方程则「A — B 工 O O <5 U - O2 _ 4 F > O [Q 2 + £2 _ 4 A F > O 2•求圆的一般方程一般可采用待定系数法。

3・D" + £- -4F > 0常可用来求有关参数的范帀三'点与圆的位g 矢系1・判断方法：点到圆心的距离d 与半径『的大小：〃<厂=> 点在圆内：d = r=>点在圆上：J>r=>点在圆外2•涉及最值：(1)圆外一点圆上一动点P,讨论|PB|的最值max四、S 线与圆的位置矣系L 判断方法(d 为圆心到宜线的距离〉：(1)柑离O 没有公共点=>△< OodAr ： (2)相切O 只有一个公共点oA = 0od = r ： (3)柑交O 有两个公共点>0od<r 。

这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圜相交让你求有关参数的范围.2 •宜线均圆相切(1)知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线/与圆C 相切意味着什么？圜心C 到直线/的距离恰好等于半径r (2) 常见题型一一求过世点的切线方程① 切线条数：点在圆外一两条：点在圆上……一条：点在圆内……无 ② 求切线方程的方法及注意点f n 、 2 "E 、k V z+ TV I z 『3 仁=|BN| = |BC|-r卜 |BC|+厂讨谐中的最值U - Oi)点在圆外J 如泄点 P(X ,)* 圆：(x-aY +(y-hy =r . [(x -aY+(y -/?)" >r-] 0 0 0 0第一步：设切线/方程y-yo = k （兀一小）：第二步：通过〃 =『=>«,从而得到切线方程特別I 注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！如：过点P （l, 1）作圆F + r — 4x — 6y+12 = 0的切线，求切线方程.ii ）点在圆上J <1）若点（xo, yo ）在阿x+j = r 上，则切线方程为x x + yy = r^■ ■ ■ ■U 0（2）若点 a ，y ）在圆（.<-«）■ +（y-/?）' = r 则切线方程为 a -"）（兀一 "）+（y -方）（，一方）=八由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常磴要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. 件Jf AC\= r求切点坐标：利用两个关系列出两个方程<' 如心=-1J （l + P ）［（西+£）2-4 气 xj（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而；1^点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题例：若E^（.v-3/+（y + 5/ = r 上有且仅有两个点到直线4%-3>'-2 = 0的距离为1,则半径厂的取值范用是4•直线与圆相离：会对宜线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、対称间题1. 若圆疋+尸+（川2 -l ）x + 2加$—加=0,关于直线X — y + l = 0,则实数加的值为答案:3 （注意：m = -\时，D- + £--4F<0.故舍去）变式：已知点A 是圆C:“+r + ar + 4y -5 = 0匕任意一点・A 点关于宜线x + 2y-\ =0的对称点在圆C 上，则实数《= _________ ・2•圆（x-l/+（y-3/= 1关于宜线x + y = 0对称的曲线方程是变式：已知圆（x-4）2+（y-2）2 = I 与圆C2：（x-2/+（y-4）'= 1关于宜线/对称，则直线/的方程为 3•圆（—3）2+0 + 1）2 =1关于点（2. 3）对称的曲线方程是, 4•已知直线y = x + h^圆C ： F+r=l,问：是否存在实数b 使自A （3,3）发出的光线被直线/反射后与③求切线长：利用基本图形，AP-=|CPF CP"-r-3 •直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——常用弦长公式：/=ViTPiv'■/f 24 7、 B ' .1?若存在，求出b 的值：若不存在，试说明理由.1 25 25 I 丿方法主要有三种：（1）数形结合：（2〉代换：（3）参数方程（1）丄的最大值和最小值：一一看作斜率（2） y-X 的报小值；一一截距（线性规划） X-5（3） X- + y-的最大值和最小值.一一两点间的距离的平方 2•已知 AAOB 中，\OB\ = 3 , \OA\ = 4. \AB\ = 5 •点 P 是AAOB 内切圆上一点，求以 pA|, |PB|, pO|为直径的三个圆而枳之和的最大值和最小值.数形结仟和参数方程两种方法均可!3 •设P （x. y ）为圆x-+{y-\Y = 1上的任一点，欲使不等式犬+ y + c>0恒成立，则e 的取值范用是,■答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！）L 若直线"u ・ + 2ny — 4 = 0 （ m , neR 始终平分圆，+ y2-4x-2y-4 = 0的周长，则的取值范围是2. 已知圆C ： x-+r _2x + 4y-4 = 0.问：是否存在斜率为1的宜线/,使/被圆C 截得的弦为AB .以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出宜线/的方程，若不存在，说明理由. 提示：XX +3' y =0或弦长公式d = Jj+ E2 -v 一X3•已知圆C ： (x-3/+(y-4/=b 点A((U). 3(0.1),设P 点是圆C 上的动点，d = \PA\"+\PB\\ 求 d的最值及对应的P 点坐标.4 •已知圆 C J (X-1)'+(3'-2)" =25 r 宜线 / ：(2加 + 1)兀+ (w + l)y-7〃?一4 = 0 (weR) （1）证明：不论也取什么值，宜线/与圆C 均有两个交点; （2）求苴中弦长最短的直线方程.5•若宜线y = -x + k^曲线x = -/-f 恰有一个公共点，则R 的取值范I 利.6 •已知圆£ + y2+x-6y +加=0与宜线x + 2y-3 = 0交于P. 0两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数也,使OP 丄OQ,若存在，求出W 的值；若不存在，说明理由.圆c 相切于点 L 已知实数X, y 满足方程宀严一4兀+1=0,求:七'圆的参数方程r...Z c\ |x=/・cos X ・+y ・=/*-(r>0)Oy =为参数：(%-«) +(y-h) =r (r>0)o1 M Jx=a+rcos y = b + rsin为参・答案J x-y+1 = 0或大一y — 4 = 0I •判断方法：几何法（d 为圆心距）:（1） dA 打+厂20外离（3） |打一巧［vdv 斤+巧0相交（4） t/= r-zs O 内切 2 •两圆公共弦所在直线方程圆C ： }r+y-+Dx+Ey + F=0.圆C ： jr+y^+Dx + Ey + F =0,I I I I 2 2 2 2则（D,-D2）x + （£,-£2）y + （F,-F2）= 0为两相交圆公共弦方程.补充说明：若G 与C2相切，则表示其中一条公切线方程：若G 与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题(1)过两圆 C J jr+y- + Dx + Ey + F = 0 和 C J X - +y- + D X + E y + F =0 交点的圆系方程为 J I I I 2 22 2 F + ))2 + Dj.v + 耳y + 斤+ (“+>^ + D;v + gy + g)=0 ( H-说明：1）上述圆系不包括C2 : 2）当 =-1时，表示过谢圆交点的直线方程（公共弦）(2)过宜线？b ・+B.\・+C=0打圆十Dx+£> + F = 0交点的圆系方程 x-+y^+Dx+Ey+F+ (Ax+By + C)= Q（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线：②相外切时，有三条公切线：③相交时，有两条公切线：④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）世义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程•例:过圆F + y? =1外一点人（2, 0）作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.（3）相关点法（平移转换法）：一点随列一点的变动而变动特点为：主动点一宦在某一已知菇亘所表示的（固崔）轨迹上运动.例1 •如图，已知定点A （2,0）,点2是圆F+r= I 上的动点，ZA0Q 的平分线交AS 于当0点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线；^^理和泄比分点公式・例2 •已知圆O ： x-+y-=9,点A （3,0）, B 、C 是圆Ot:的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且(2) </ =八+^0外切(5) d< n -ri o 内含分析：|0円'+4"|=4^2|AABAC = _ ,求MBC的重心G的轨迹方程. 3法I：-ZBAC=-, :.\BC\为定长且等于3^/3X A+X B +X C 3 +X B +X Cx =——3 ----- =——3——Xi+Vfl+yc^yB+Jc3 3「33) (2厂31取BC的中点为址€|-一卩£€| -込」IL24 丿 1 4 2J94••• \OE" + \CE" = ]pC : /.兀£ + >£'"=(1)XB + XC 尸—2- y+y >■ =^- £ 23 + 2XE 兀=—3—J XB + XC=2XE n I y+y =2y，••(3x-3"\ (3 V 93x-3富=—-3 \y =_yI E 2故由（1）得: ____ I +1 I =_n(Z)I 2丿l2丿4 + r =1 xe 0,3、-，y €2)-邑112 I法2：(参数法) 2设B(3cos Jsin )•由ZBOC=2ZBAC= _3C 3cos|\ I 2 ) ( + L3sin| + '丿VX + X + Xy- A B C_A ——(2 }3 + 3cos +3cos . + — II 3(2、=I + cos +cos|「+ 」•••(！)3(2_'3s】n +3sin|l+ 3 丿.• ( “ /八y =〉l +)4+)S = ----------- --------- = sin +sin | + —・・「・(2)2 22 「3、+(2)得：(X-1) +y = 1 xe 0,-」€-2^3 12 I参数法的本质是将动点坐标（x,y）中的X和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程, 通过参数的范围得出X , y的范(4) 求轨迹方程常用到得知识心 + XB + XCIX = ________ 4 ___ .②中点I匕分点公式：磊 ⑤韦达世理•高中数学圜的方程典型例题类型一:圓的方程例1求过两点A(l,4)、8(3,2)且圆心在直线j = 0 I;的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.圆的方程为(X+1)2+),2 =20：点P 在圆外.例2求半径为4.与圆* + y2-4x-2y-4 = 0相切，且和直线y = 0相切的圆的方程.圆的方程为(兀一2 — 2^/^)2+0 + 4)2 =42,或(x-2 + 275)2 + (y + 4)2 = 42 . 例3求经过点A(0,5),且与宜线x-2y = 0和2兀+ y = 0都相切的圆的方程.分析：欲确世圆的方程.需确崔圆心坐标与半径，由于所求圆过世点A ,故只需确；^^圆心坐标・又圆与两已知宜线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上・解：•「圆和直线x-2y = (Pj2x+y = 0相切• •••圆心C 在这两条直线的交角平分线上.又圆心到两直线X -2y = 0和2x+y = 0的距离相等.•••两直线交角的平分线方程是x + 3y = 0或3x-y =0.又T 圆过点4(0,5),•••圆心C 只能在直线3»•-y = 0③内角平分线世理:BD\ _ \AB\x-2y x+2y r ■75・XI +X2上.设圆心C{t, 3r)V C到宜线2x + y = 0的距离等于AC\二1?£^ =护+（3一5）2 . v5化简整理得t--6t + 5 =0-解得：21或f = 5•••圆心是(1,3),半径必或圆心是(5.15),半径为5j^・•••所求圆的方程为（X-1）2+0-3）2 = 5 或（兀一5）2+0-15）2= 125 ・说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确；4^圆心坐标得到圆的方程, 这是过;^点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法• 例4 -设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2： (2)被兀轴分成两段弧，其弧长的比为3:1,在满足条件⑴⑵的所有圆中，求圆心到直线X-2y = 0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程.只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程-满足两个条件的圆有无数个•其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确世圆的半径，求出圆的方程•解法一：设圆心为P(« ■ h),半径为I 则P到X轴、y轴的距离分卩1为PI和由题设知：圆截X轴所得劣弧所对的圆心角为90。

10.2 圆的方程(精讲)(基础版)(原卷版)

10.2 圆的方程（精讲）（基础版）思维导图考点呈现考点一圆的方程【例1-1】（2021白云期末）已知圆C 的方程为222440x y x y ++--=，则圆心C 的坐标为（）A ．()12-， B ．()12-， C ．()24-，D ．()24-，【例1-2】（2022成都）已知圆C 的圆心在直线0x y +=上，且圆C 与y 轴的交点分别为()()0402A B -，，，，则圆C 的标准方程为（） A ．22(1)(1)10x y -++= B ．22(1)(1)10x y ++-= C ．22(1)(1)10x y -++=D ．22(1)(1)10x y ++-=【一隅三反】1．（2022·江西模拟）设甲：实数0a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022和平）圆心在x 轴上，半径为2，且过点()12，的圆的方程为（） A ．224x y += B ．22(1)4x y -+= C ．22(2)4x y -+=D ．22(3)4x y -+=3．（2022杭州）过点（7，-2）且与直线2360x y -+=相切的半径最小的圆方程是（）A ．()()22515x y -++=B ．()()225113x y -+-=例题剖析C ．()()224413x y -++=D ．()()221652x y -++=考点二直线与圆的位置关系【例2-1】（2022高二下·玉溪期末）已知直线l 经过点(13)P ，，且l 与圆2210x y +=相切，则l 的方程为（） A ．3100x y +-=B ．380x y -+=C ．360x y +-=D ．23110x y +-=【例2-2】（2022·温州）已知直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．304⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．304⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．304⎛⎫- ⎪⎝⎭，【例2-3】（2022·柳州模拟）已知直线 (0)y kx k => 与圆 ()()22214C x y -+-=：相交于A ，B 两点 AB =，则k ＝（） A ．15B ．43C ．12D ．512【一隅三反】1．（2022·秦皇岛二模）直线0l x y +=：被圆226430C x y x y +---=：截得的弦长为（）A B C D2．（2022·呼和浩特模拟）直线l ： 12y kx k =+- 与函数 y =的图象有两个公共点，则k 的取值范围为（） A ．13k >B ．03k <<C ．103k <≤D ．30k -≤<3．（2022·贵阳模拟）已知直线10l x my -=：和22(1)0(R)l x my m m -+-=∈：与圆C 都相切，则圆C 的面积的最大值是（） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π4．（2022·鞍山模拟）（多选）已知M 为圆C ：()2212x y ++=上的动点，P 为直线l ：40x y -+=上的动点，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM|的最大值为2 D ．|PM|的最小值为2考点三圆与圆的位置关系【例3-1】（2022高一下·汉中期中）已知2212220C x y x y +++-=：，2224210C x y x y +--+=：，那么它们的位置关系是（）A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含【例3-2】（2022·吉林模拟）已知两圆方程分别为224x y +=和()()22349x y -+-=．则两圆的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【一隅三反】1．（2022·石家庄模拟）（多选）已知圆221(1)(3)11C x y -+-=：与圆22222230C x y x my m ++-+-=：，则下列说法正确的是（）A ．若圆2C 与x 轴相切，则2m =B ．若3m =-，则圆1C 与圆2C 相离C ．若圆1C 与圆2C 有公共弦，则公共弦所在的直线方程为24(62)20x m y m +-++=D ．直线210kx y k --+=与圆1C 始终有两个交点2．（2022·徐汇期末）已知圆221(2)(2)1C x y -+-=：和圆2222()(0)C x y m m m +-=>：内切，则m 的值为．3（2022广安期末）若圆221()(1)10(0)C x m y m -+-=>：平分圆222(1)(1)2C x y +++=：的周长，则直线3420x y +-=被圆1C 所截得的弦长为．考点四切线问题【例4-1】（2022·天津市模拟）过点()31M ，作圆222620x y x y +--+=的切线l ，则l 的方程为（） A ．40x y +-= B ．40x y +-=或3x = C ．20x y --=D ．20x y --=或3x =【例4-2】（2022·湖北模拟）若圆22C 4230x y x y +-++=：关于直线260ax by ++=对称，则从点()a b ，向圆C 作切线，切线长最小值为（） A ．2B ．3C ．4D ．6【一隅三反】1．（2022·朝阳模拟）过点(12)，作圆225x y +=的切线，则切线方程为（） A ．1x = B ．3450x y -+= C ．250x y +-=D ．1x =或250x y +-=2．（2022·广西模拟）过圆221x y +=上一点A 作圆22(4)4x y -+=的切线，切点为B ，则||AB 的最小值为（）A ．2B C D3．（2022高二下·番禺期末）写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程 .。

78《圆的方程及线性规划》基础知识

《直线和圆的方程》基础知识一.圆的定义:二.圆的标准方程:1.圆心在原点O ,半径为r 的圆的标准方程:2.圆心在点),,(b a C 半径为r 的圆的标准方程:注意:圆是标准式方程时,如何判断一个点),(11y x P 与这个圆的位置关系?三.圆的一般方程:将圆的标准方程展开整理即可得圆的一般方程的基本形式: 即022=++++F Ey Dx y x1.一般的二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆所满足的条件是:注:圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 配方为),4(41)2()2(2222F E D E y D x -+=+++可得圆的圆心坐标为: 半径=r注意:圆是一般式方程时,如何判断一个点),(11y x P 与这个圆的位置关系?2.更一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆所满足的条件是:1) 2) 3)3.解决圆的方程的方法有:1)几何法:根据几何条件,直接求出圆心坐标和半径2)待定系数法:即选取标准式与一般式中的某一种,代入条件,分别求出F E D r b a ,,,,或4.圆的方程设法的选择:实际上就是“待定系数”法1)通常,题目条件中涉及到圆心的位置和半径大小的,就设标准式。

否则,就设一般式2)一般地,题目条件中涉及到圆经过两个及两个以上点的,设一般式四.直线与圆的位置关系判断:(一).判别式法:将圆的方程和直线的方程联立,消去y x 或,看判别式的正负∆情况: 当0>∆ 当0=∆ 当0<∆(二).几何法:先计算圆心C 到直线L 的距离d ,再与圆的半径r 进行比较:当r d >时, 当r d =时, 当r d <时,五.两圆的位置关系:判断方法有几何法与代数法,主要用几何法.(一)设圆1C 的半径为;R 圆2C 的半径为r (r R ≥),两圆圆心之间的距离21C C ,则:1.当时,两圆外离;2.当时,两圆外切;3.当时,两圆相交;4.当时,两圆内切;5.当时,两圆内含,特殊地,当时,两圆同心(二)两圆在各种情况下公切线的条数:注意:两圆公切线方程的求法:六.圆的切线方程:(一)过圆上一点的切线方程:1.过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程是:1)圆222r y x =+斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±2.过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 上一点的切线方程:1)过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点P 00(,)x y 的切线只有一条,其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=化简为 0000()()()02222x y D E x x y y D E F ++++⨯+⨯+= (二)过圆外一点),(00y x P 作圆的切线,有两条,其切线方程的求法如下:先根据已知的一点),(00y x P 设出切线L 的点斜式方程,再根据圆心C 到切线L 的距离等于半径r ,从而求出切线的斜率k ,进而求出切线L 的方程.过圆外一点),(00y x P 作圆的切线方程另法: ①过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件0=∆求,k 必有两条切线.若求得的k 值只有一个,则另一条直线的斜率k 不存在,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.②斜率为k 的切线方程设为y kx b =+,利用相切条件求,b 必有两条切线,即两个b 值. 注:过圆外一点),(00y x P 作圆C :022=++++F Ey Dx y x 的切线,有两条,其切线的长度为F Ey Dx y x L ++++=002020 (三)切点弦的方程:过圆022=++++F Ey Dx y x 外一点P 00(,)x y 作圆的切线有两条,切点有两个B A ,,则过两个切点B A ,的弦所在的直线方程是0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=化简为 0000()()()02222x y D E x x y y D E F ++++⨯+⨯+= 七.圆或圆系方程的设法: (一)经过直线0:=++C By Ax L 与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的两个交点Q P ,所作新圆的方程的设法:(二)经过两圆1C :011122=++++F y E x D y x 和2C :022222=++++F y E x D y x 的两个交点Q P ,所作新圆的方程的设法:注:经过两圆1C :011122=++++F y E x D y x 和2C :022222=++++F y E x D y x 的两个交点Q P ,的公共弦所在的直线方程为(三)几种特殊条件下圆的方程的设法:1.经过原点:2.圆心在x 轴上:3.圆心在y 轴上:4.与x 轴相切:5.与y 轴相切:6.与x 轴,y 轴都相切:7.圆心在x 轴上,且与y 轴相切:8.圆心在y 轴上,且与x 轴相切:9.已知1122(,),(,)A x y B x y 以线段AB 为直径的圆的方程:八.线性规划:1.基本概念:A)约束条件和线型约束条件;B)目标函数和线型目标函数;C)可行解与可行域;D)最优解;E)线性规划;2.简单线性规划问题求解步骤:A)画出约束条件确定的可行域;B)令目标函数z Ax By =+,作直线0:0=+By Ax l ;C)平移0l 利用z 的几何意义确定最优解所对应的点的位置:当0>B 时,直线0l 的纵截距最大时,目标函数取得最大值;纵截距最小时,目标函数取得最小值.当0<B 时,则相反;D)解出最优解的坐标,代入目标函数求得最值;。

第二节圆的方程(知识梳理)

第二节圆的方程复习目标学法指导1.圆的定义及标准方程(1)圆的定义.(2)圆的标准方程.(3)判断点与圆的位置关系.2.圆的一般方程(1)圆的一般方程.(2)圆的一般方程化为标准方程. (3)求曲线方程的基本方法.3.认识圆的方程与x2,y2项系数相同的二元二次方程之间的联系. 1.圆与圆的方程是高考重点内容之一,常与直线、向量、圆锥曲线等知识综合命题.这部分内容要注重数形结合思想、转化化归思想的应用.2.准确理解圆的形成过程、定义以及x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形,对学好圆很关键.一、圆的定义与方程1.圆的定义在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. 2.圆的方程标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r 2圆心(a,b),半径r一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 (D 2+E 2-4F>0)圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径22142D E F+-1.概念理解(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)中,有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆方程就会被确定.其中,圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.(2)圆的一般方程的形式特点 ①x 2,y 2项的系数相等且不为0. ②无xy 项. ③D 2+E 2-4F>0.(3)圆的标准方程体现了圆的几何性质,即圆心与半径,而圆的一般方程体现了圆的代数性质,即圆方程是一个二元二次方程(x 2,y 2的系数相等,不为0且不含xy 项). 2.与圆方程相关结论圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0),配方后得(x+2D )2+(y+2E )2=14(D 2+E 2-4F).当D 2+E 2-4F>0时,方程才能表示圆;当D 2+E 2-4F=0时,方程表示点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F<0时,方程无意义,不表示任何曲线. 二、点A(x 0,y 0)与☉C 的位置关系1.|AC|<r ⇔点A 在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2<r 2;2.|AC|=r ⇔点A 在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2;3.|AC|>r ⇔点A 在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2>r 2.1.概念理解判断点M(x 0,y 0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)的位置关系,有几何法与代数法两种,两种方法的核心都是比较点到圆心的距离与半径r 的大小.2.与点与圆位置关系相关的知识 (1)同一平面内,不共线三点确定一个圆. (2)证四点共圆的方法:①证其中一点在另外三点确定的圆上; ②证四边形一组对角互补.1.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( A )(A)x 2+y 2=2 (B)x 2+y 22(C)x 2+y 2=1 (D)x 2+y 2=4解析:AB 的中点坐标为(0,0),所以圆的方程为x 2+y 2=2.故选A.2.圆x 2+y 2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( A )(B)2 解析:将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为故选A.3.过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为 .解析:由已知k AB =0,所以AB 的中垂线方程为x=3.①过点B 且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②联立①②,解得3,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以圆心坐标为(3,0), 半径所以圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2. 答案:(x-3)2+y 2=24.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 解析:法一设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),所以0.20, 420,FD E FD F=⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩解得2,0,0. DEF=-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以圆的方程为x2+y2-2x=0.法二画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=05.已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,则x2-y的取值范围为. 解析:x2=1-y2,-1≤y≤1,x2-y=1-y2-y=-(y+12)2+54∈[-1,54].答案:[-1,54]考点一圆的方程[例1] (1)求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程;(2)已知圆过P(4,-2),Q(-1,3),且在y轴上截得的线段长为3.求该圆方程.解:(1)法一因为圆过A(5,2),B(3,-2)两点,所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上.线段AB 的垂直平分线的方程为y=-12(x-4).设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有()230,14,2a b b a --=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以.所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 法二设所求圆的方程为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,其圆心为(-2D ,-2E ). 则由已知可得()()222252520,32320,130,22D E F D E F D E ⎧⎪++++=⎪⎪+-++-+=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪⨯----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 整理得5229,3213,260,D E F D E F D E ++=-⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩解得4,2,5.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以所求圆的方程为x 2+y 2-4x-2y-5=0, 即(x-2)2+(y-1)2=10.解:(2)法一设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.① 将P,Q 点的坐标分别代入①得4220,310. D E F D E F -+=-⎧⎪⎨--=⎪⎩②③ 令x=0,由①得y 2+Ey+F=0.④由已知|y 1-y 2|=43,其中y 1,y 2是方程④的两根,所以(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F=48.⑤ 解②③⑤组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4,故所求圆的方程为x 2+y 2-2x-12=0或x 2+y 2-10x-8y+4=0.法二 PQ 中点M(32,12),k PQ =()3214----=-1. 因为圆过P,Q 两点,所以圆心在PQ 的中垂线上,即在直线y-12=1×(x-32)上,也就是在直线y=x-1上,设圆心为C(a,b),半径为r,则有()()()2222221,13,23,b a r a b r a ⎧=-⎪⎪=++-⎨⎪⎪=-⎩解得1,0,13a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或5,4,37.a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以所求圆的方程为(x-1)2+y 2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.(1)求圆的方程,一般采用待定系数法.①若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程. ②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的一般方程. (2)在求圆的方程时,常用到圆的以下两个性质: ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ②圆心在任一弦的垂直平分线上.1.以点(0,b)为圆心的圆与直线y=2x+1相切于点(1,3),则该圆的方程为 .解析:由题意设圆的方程为x 2+(y-b)2=r 2(r>0),根据条件得()2213,1,5b r b r ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解得7,25.2b r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以该圆的方程为x 2+(y-72)2=54. 答案:x 2+(y-72)2=54 2.若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程为 .解析:设圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,因为圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,所以()222222,4,1,a b r a b r b r ⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩解得2,3,25,2a b r ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩故所求圆的方程为(x-2)2+232y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=254. 答案:(x-2)2+(y+32)2=254 考点二与圆有关的轨迹问题[例2] 如图,已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点,点A(12,0),当点P 在圆上运动时,线段PA 的中点M 的轨迹是什么?解:设M(x,y),因为M是PA的中点,所以P(2x-12,2y),又因为点P在圆上,故(2x-12)2+(2y)2=16,即(x-6)2+y2=4,所以线段PA的中点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.(1)“轨迹”与“轨迹方程”的区别:“轨迹”是图形,要指出形状、位置、大小(范围)等特征;“轨迹方程”是方程(等式),不仅要给出方程,还要指出变量的取值范围.(2)求轨迹方程的步骤如下:建系,设点:建立适当的坐标系,设曲线上任一点坐标M(x,y).写集合:写出符合条件p的点M的集合 {M|p(M)}.列式:用坐标表示p(M),列出方程f(x,y)=0.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式.证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.求与圆有关的轨迹方程的方法如下:1.已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解:(1)设C(x,y),因为A,B,C 三点不共线,所以y ≠0. 因为AC ⊥BC,所以k AC ·k BC =-1,又k AC =1y x +,k BC =3yx -, 所以1y x +·3y x -=-1, 化简得x 2+y 2-2x-3=0.因此,直角顶点C 的轨迹方程为x 2+y 2-2x-3=0(y ≠0).解:(2)设M(x,y),C(x 0,y 0),因为B(3,0),M 是线段BC 的中点,由中点坐标公式得x=032x +,y=002y +,所以x 0=2x-3,y 0=2y.由(1)知,点C 的轨迹方程为(x-1)2+y 2=4(y ≠0),将x 0=2x-3,y 0=2y 代入得(2x-4)2+(2y)2=4, 即(x-2)2+y 2=1.因此动点M 的轨迹方程为(x-2)2+y 2=1(y ≠0).2.求到两点A(-3,0),B(3,0)距离之比为2的点P 的轨迹方程.解:设P(x,y),||||PA PB=2, 化简得x 2-10x+y 2+9=0,经检验符合要求,故所求轨迹方程为x 2-10x+y 2+9=0.考点三与圆有关的最值问题[例3] 已知实数x,y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0.(1)求yx 的最大值和最小值;(2)求y-x 的最大值和最小值; (3)求x 2+y 2的最大值和最小值.解:原方程可化为(x-2)2+y 2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆. (1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设y x =k,即y=kx. 当直线y=kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时2|20|1k k -+=3,解得k=±3(如图1).所以y x 的最大值为3,最小值为-3.解:(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y 轴上的截距,当直线y=x+b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时|20|2b -+=3,解得b=-2±6(如图2).所以y-x 的最大值为-2+6,最小值为-2-6. 解:(3)x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为2,所以x 2+y 2的最大值是(2+3)2=7+43,x 2+y 2的最小值是(2-3)2=7-43.(1)形如m=y b x a--的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.已知函数y=1x -+3x +的最大值为M,最小值为m,求m M 的值.解:法一 y 2=4+2()()13x x -+∈[4,8],所以M=22,x=-1时取到;m=2,当x=1或-3时取到, 所以m M =22.法二设1x -=u,3x +=v,则u ≥0,v ≥0,且u 2+v 2=4,设u=2cosθ,v=2sin θ,其中θ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 所以u+v=22sin(θ+π4)∈[2,22], 所以M=22,当θ=π4时取到,m=2当θ=π2或0时取到, 所以m M =22.考点四易错辨析[例4] 若方程a 2x 2+(a+2)y 2+2ax+a=0表示圆,则实数a 的值是 .解析:令a 2=a+2,得a=-1或a=2,当a=-1时,原方程化为(x-1)2+y 2=2表示圆,当a=2时,原方程化为x 2+y 2+x+12=0(*), 因为1+0-4×12<0, 所以方程(*)不表示任何图形.答案:-1方程Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是(1)C=0;(2)A=B ≠0;(3)D 2+E 2-4FA>0,仅满足A=B 不能判定二元二次方程表示的图形一定是圆.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是.解析:圆的方程化为(x+1)2+(y-2)2=5-a,其圆心为 (-1,2),且5-a>0,即a<5.又圆关于直线y=2x+b成轴对称,所以2=-2+b,所以b=4,a-b=a-4<1.答案:(-∞,1)。

知识梳理_圆和椭圆

知识梳理六圆和椭圆一、圆的方程1．圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为),(b a ,半径为r ；(2)圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标(,)22D E--，半径为2422F E D -+．方程表示圆的充要条件是2240D E F +->．(3)圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r ．2．点),(00y x M 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：M 在圆内⇔0002020<++++F Ey Dx y xM 在圆上⇔0002020=++++F Ey Dx y x M 在圆外⇔0002020>++++F Ey Dx y x3．判断直线与圆的位置关系的两种方法：(1)几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ．若直线与圆相离，则r d >；若直线与圆相切，则r d =；若直线与圆相交，则r d <．(2)代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0>∆，则直线与圆相离；若0=∆，则直线与圆相切；若0<∆，则直线与圆相交．4．两圆的的位置关系设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d 若两圆相外离,则r R d +>，公切线条数为4 若两圆相外切,则r R d +=，公切线条数为3【注意】二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是0A C =≠且0B =且2240D E AF +->）.【注意】圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==； 22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤.若两圆相交r R d r R +<<-，则公切线条数为2 若两圆内切，则r R d -=，公切线条数为1 若两圆内含，则r R d -<，公切线条数为0二、椭圆和双曲线的标准方程和几何性质 1．椭圆和双曲线的标准方程和几何性质名称椭圆双曲线图象xOyxOy定义平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数2a （2a >21F F ）的动点的轨迹叫椭圆．即a MF MF 221=+当2a ﹥2c 时，轨迹是椭圆，当2a =2c 时，轨迹是一条线段21F F当2a ﹤2c 时，轨迹不存在平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数2a （<<a 2021F F ）的动点的轨迹叫双曲线．即a MF MF 221=- 当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线当2a =2c 时，轨迹是两条射线当2a ﹥2c 时，轨迹不存在标准方程焦点在x 轴上时： 12222=+b y a x焦点在y 轴上时：12222=+bx a y()0>>b a焦点在x 轴上时：12222=-b y a x焦点在y 轴上时：12222=-b x a y注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上．注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置．两轴长轴长2a ，短轴长2b （长半轴a ，短半轴b ）实轴长2a ，虚轴长2b （实半轴a ，虚半轴b ）cb a ,,关系（1）222a c b =+（符合勾股定理的）（2）a 最大（可以b c b c b c ><=,,）（1）222b a c +=（符合勾股定理的）（2）c 最大（可以b a b a b a ><=,,）范围焦点在x 轴：a x a -≤≤，b y b -≤≤ 焦点在x 轴：a x ≥或a x -≤焦点在y 轴：b x b -≤≤,a y a -≤≤ 焦点在y 轴：a y ≥或a y -≤对称关于x 轴、y 轴和原点对称2．椭圆双曲线小结论①若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=．②若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b+=． ③椭圆22221x y a b += (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=．④AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，00(,)M x y 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=．⑤已知椭圆22221x y a b +=，直线y kx =交椭圆于A ，B 两点，点P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，且PA k ，PB k 均存在，则PA k ⋅PBk 22b a=-．3．椭圆22221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；易错点分析一、圆的典型例题【例1】若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ,则（）A ．422≤+b aB ．422≥+b aC ．41122≤+ba D ．41122≥+ba 【参考答案】B【例2】已知点(,)P x y 是圆224x y +=上任意一点，求(1)23x y +的取值范围 (2)4yx +的取值范围【参考答案】(1)设23x y t +=，代入圆的方程利用0∆≥求得213213t -≤≤，所以23x y +的取值范围为[213,213]-(2)由数形结合分析：4yx +可看做圆上任意一点与点(4,0)-两线连线的斜率，通过图形可得33343y x -≤≤+．【例3】己知圆22:24200C x y x y +---=,直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈ (1)证明: 无论m 取何值直线l 与圆C 恒相交．(2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长,及此时直线l 的方程．【参考答案】(1)将直线l 的方程变形，得(27)(4)0m x y x y +-++-=．∵对于任意的实数m , 方程都成立，直线过定点(3,1)A 在圆内，所以直线与圆相交 (2)由平面几何知识可得：当直线l 垂直AC 时所得弦长最短，最短弦长为22245BD AB BC AC ==-=【例4】设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是（）A ．35r <<B ．46r <<C ．4r >D ．5r > 【参考答案】B【例5】当曲线241x y -+=与直线5)2(+-=x k y 有2个相异交点时，实数k 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,125B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛1,43【参考答案】数形结合分析：过定点(2,5)的直线与圆心(0,1)半径２的上半圆有两个交点，图形分析可得：314k <≤二、椭圆的典型例题【例1】已知方程22146x y m m +=-+表示椭圆，求实数m 的取值范围；【参考答案】(6,1)(1,4)---【例2】已知点(2,0)A -、(2,0)B 两点，P 是坐标平面上的动点，且||||6PA PB +=，O 是坐标原点，则||PO 的取值范围是；【参考答案】[5,3]【例3】若点P 是椭圆2219+=x y 上的动点，定点A 的坐标为(2,0)，求||PA 的取值范围；【参考答案】2[,5]2【例4】已知1F 、2F 是椭圆22184x y +=两个焦点，点P 在椭圆上．（1）若12PF PF ⊥，则这样的P 的个数是个；（2）若12F PF ∠是钝角，则这样的P 存在吗？（3）若12F PF ∠是锐角，则点P 的横坐标的取值范围是．【参考答案】（1）2；（2）不存在；（3）(22,0)(0,22)-【例5】设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ∙2PF 的最大值和最小值;（2）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 【参考答案】（1）解法一：易知2,1,3a b c === 所以()()123,0,3,0F F -，设(),P x y ，则()()22123,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=-----=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：32k <或32k >-又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅>∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<< 故由①、②得322k -<<-或322k <<。

圆的方程

(xD )2 (yE )21(D 2 E 2 4 F )
2
24
圆心 ( D , E ) 半径 22
圆的标准方程
展开配方
D2 E2 4F 2
圆的一般程
基础训练
(x1)2(y1)21
1、以点C(1，1)为圆心，半径为1的圆的标准方程为
.
2、方程 x2y24xm20表示圆，则实数m的取值范围是( 2, 2 ).
两种思路
理清思路是关键
①待定系数法是求圆的方程的基本方法：
选形式
定参数
②数形结合，充分利用圆的几何性质，简化运算
一种能力
运算准确是保证
运算能力
变1 ：求过点A(2，3),B(-1，2)，圆心在直线x-y=0上的圆的方程．
变2：求过点A(2,3)，且与直线x-2y+6=0切于点C(0,3)的圆的方程．
变3：过点B(-1,2)，圆心在直线y=x上，被直线3x-y+3=0截得弦长为
10 的圆的方程．
变4：求过点A(2,3),B(-1,2)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4，求此圆方程．
4、圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在x+y=0上，则圆C的
方程为 (x1)2(y1.)22
5、已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线y=x-1被该
圆所截得的弦长为2 2 ，圆C的标准方程 (x3)2y2 4.
课堂小结
三个条件
看清条件是基础
求圆的方程时需要三个“独立”的条件
确定一个圆的方程，需要三个独立条件．
待定系数法是求圆的方程的基本方法
选形式，定参数
①若已知条件和圆心、半径有关，通常选圆的标准方程，确定a,b,r

高考一轮总复习-064.圆的方程(基础)-知识梳理

圆的方程【考点梳理】考点一：圆的标准方程:222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.考点二：圆的一般方程:当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 考点三：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<考点四：几种特殊位置的圆的方程【典型例题】类型一：圆的标准方程例1. 已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的方程.【思路点拨】已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决问题.解析：设圆心为||3a a r a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，，()2226133111a a a a a ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭∴==或 ∴圆心为(3，1)(111，37)∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112. 总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程. 举一反三：【变式1】若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A. 22(2)(1)1x y -+-= B.22(2)(1)1x y -++=C. 22(2)(1)1x y ++-= D. 22(3)(1)1x y -+-=解析：依题意，设圆心坐标为(,1)a ，其中0a >，则有|43|15a -=，由此解得2a =，因此所求圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=，选A.类型二：圆的一般方程例2.求过三点A(1，12)，B(7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形.【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程. 解:设所求的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++++=++++.029481,010710049,0121441F E D F E D F E D解得D=-2，E=-4，F=-95.于是所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是，圆的圆心D 的坐标为(1，2)，半径为10，图形如图所示.总结升华：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得2221(2)(4)(4)4(95)102r =-+-+---=. 举一反三：【变式1】圆与y 轴相切，圆心P 在直线30x y -=上，且直线y x =截圆所得弦长为27，求此圆的方程。

知识梳理圆的方程(基础)

241圆的标准方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

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