利用导数判断函数的单调性_说课2
函数的单调性与导数 说课稿 教案 教学设计
导数在研究函数中的应用一、教学目标：知识与技能：1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．过程与方法：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握函数的单调性与导数的关系．难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y ＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）新知探究探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x >4，或x <1时，f ′(x )<0；当x ＝4，或x ＝1时，f ′(x )＝0.试画出函数f (x )图象的大致形状． 解 当1<x <4时，f ′(x )>0，可知f (x )在此区间内单调递增； 当x >4，或x <1时， f ′(x )<0，可知f (x )在这两个区间内单调递减；当x ＝4，或x ＝1时，f ′(x )＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数f (x )图象的大致形状如图所示．反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状．解 f ′(x )图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一． 例2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1；(2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ；(4)f (x )＝3tx －x 3单调递减区间是(－3,2)．(2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33.又∵x >0，∴x >33.令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得x <－33或0<x <33.又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2，∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数的单调递增区间是[－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立，函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .又∵x >0，∴x >22，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22，又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22. (2)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．解(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．跟踪训练3已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()【答案】 D（三）当堂达标1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为 6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x ) <0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 五、小结。
高三数学利用导数判断函数的单调性PPT教学课件
• 注意：(1)用曲线的切线的斜率来理解法则， 当切线斜率非负时，切线的倾斜角小于90°， 函数曲线呈向上增加状态；当切线斜率为负 时，切线的倾斜角大于90°，小于180°，函数 曲线呈向下减少状态．
• (2)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在 这个区间上等于常数．
• (3)对于可导函数f(x)来说，f′(x)>0是f(x)在(a， b)上为单调增函数的充分不必要条件，f′(x)<0 是f(x)在(a，b)上为单调减函数的充分不必要 条件，例如：f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0) ＝0，所以在x＝0处不满足f′(x)>0.
• [答案] C
• 求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－2x＝23xx2－1. 由 f′(x)>0， 即3x2x－1>0，得 x> 33， ∴函数 f(x)的增区间为( 33，＋∞)，
•判断或证明函数的单调性
函数．
试证明：函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增
•构造函数证明不等式
已知 0<x<π2，求证 tanx>x. [解题提示] 设 f(x)＝tanx－x，x∈[0，π2)，注意到 f(0)＝tan0 －0＝0，要证的不等式变为：当 0<x<π2时，f(x)>f(0)．这只需证 明 f(x)在[0，π2)上单调递增．
当 x>0 时，证明不等式 ln(x＋1)>x－12x2. [解析] 令 f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，定义域为(－1，＋∞)， 则 f′(x)＝1＋1 x－1＋x＝1＋x2 x. 当 x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数． 于是当 x>0 时，f(x)>f(0)＝0，
函数的单调性 2(说课稿)
《函数的单调性》说课稿数学组张学亮尊敬的各位领导、评委老师：大家好！我说课的题目是《函数的单调性》。
我将从以下六个方面说一下我对本节课的教学设计。
一、说教材1、教材位置：《函数的单调性》是中等职业教育课程改革国家规划教材3.1.3节内容，是中职高一学生必学内容。
根据新课改的要求，本节课安排一课时。
2、地位和作用：函数的单调性是初中相关知识的深化和提高，是数形结合思想的体现，使学生完成从感性认识到理性认识的升华；函数的单调性为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据，也为后面指数函数、对数函数和三角函数的学习打下基础。
所以本节课起着承上启下的作用。
二、学情分析学生是教学的主体，为了取得更好的教学效果，我对学生的学情进行了如下的分析：1、知识结构：学生已经学过了函数的概念及其表示方法，具备了进一步研究函数单调性的条件。
2、能力结构：学生直观思维能力稍好，抽象逻辑思维能力不足，动手能力差。
3、学习心理：学生好奇心强，普遍觉得函数难学，想学好函数，但不知如何去学。
三、教学目标及重难点根据学生的不同学情和本节课的知识结构，我制定本节课的教学目标及重难点如下：1、知识目标：让学生理解增函数和减函数的定义，并能根据定义判断和证明函数的单调性；让学生理解单调区间的概念，并能根据函数图象写出函数的单调区间。
2、能力目标：通过对函数单调性的学习，让学生掌握数形结合研究函数的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生推理论证的能力。
3、情感目标：让学生积极观察、分析、探索，在掌握知识的过程中体会到成功的喜悦，以此培养学生的审美感，激发学生的求知欲。
教学重点：1、增函数、减函数的定义2、如何利用定义判断和证明函数的单调性教学难点：利用定义判断和证明函数单调性的步骤这样设计为了体现知识与技能、过程与方法的有机结合。
四、说教法教学有法，而无定法。
好的教学方法能起到事半功倍的效果。
为了实现本节课的教学目标，我以建构主义理论和教育心理学的相关知识为指导，主要采取以下三种教学方法：（1）启发式教学法：本教学法主要用在课题的导入方面，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲。
函数的单调性与导数 说课稿 教案 教学设计
函数的单调性与导数教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】黑暗中，你是怎样通过远处汽车自身的灯光判断该车是上坡还是下坡的？(二)、探究新知，揭示概念探究1．问题：图1.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．探究2．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图1.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．猜想：导数与函数的单调性有什么联系呢？在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．（三）、分析归纳，抽象概括 函数的单调性与导数的关系曲线 切线斜率k >0 上升函数()y f x = ()0f x '> ？ 递增()x I ∈在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增； 如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．（2）“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”． （四）、知识应用，深化理解例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+7 2.f (x )=x1+2x3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈4. y=xlnx（五）、归纳小结、布置作业。
部编《导数在研究函数单调性中的应用》说课稿课件
通过探究函数图象的升降与导数的正负之间的关系，得出可用导数判断函
数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想。利用函数的导数
及其运算，将判断函数的单调性这一复杂问题，转化为步骤明确的运算问题，
这又蕴含了重要的算法思想。用导数研究函数的单调性，对于培养学生利用函
数模型描述客观事物的变化规律、解决优化等实际问题有着非常重要的意义，
(2)如果函数f(x)在区间I是从左到右上升的，那么f(x)在区间I上是是单调递增的。
（3）如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2 时，都有f(x1)<f(x2),则f(x)在区间I上是单调递增的。
追问1：用定义法判断函数单调性的步骤？
（1）在给定区间内任取x1，x2，x1<x2;（2）作差f(x1)-f(x2);（3）变形;（4）判断符号;（5）下结论。
b
(2)
问题:我们看到，函数的单调性与导数的正负有内在联系。那么，能否由函数导数的正负
来判断函数的单调性呢？
v
h
追问1：对于高台跳水问题，是否有下列结论？
在区间（0，a）上，
>0 ，函数h(t)在（0，a）上单调递增
在区间（a，b）上，
<0 ，函数h(t)在（a,b）上单调递减
t
O
a
b
t
O
a
(1)
从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间，运动员离水面的高度发生什么变化？
v
h
追问：你能从上述两个图形中发现函数的单调性与函数导
数的正负有什么关系？
t
O
a
b
在区间（a，b）上，h(t)是单调递减的，相应的v(t)=h´ (t)<0
利用导数判断函数单调性
利用导数判断函数单调性函数的单调性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在指定区间上是递增还是递减的特性。
通过判断函数的导数的正负性，我们可以确定函数在不同区间上的单调性。
本文将介绍通过导数判断函数单调性的方法，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
导数的定义在介绍如何利用导数判断函数单调性之前，让我们先复习一下导数的定义。
给定函数y = f(x)，如果在某个点x处导数存在，那么该导数表示函数在该点的变化率。
导数可以通过以下公式表示：f'(x) = lim({f(x + h) - f(x)}/{h}) as h approaches 0其中，f’(x)表示函数f(x)的导数。
可以看出，导数的定义是通过求函数在某个点附近的斜率来描述函数的变化率。
利用导数判断函数单调性的方法函数在某个区间上的单调性可以通过导数的正负来判断。
具体而言，如果在区间[a, b]上，函数的导数大于0，则函数在该区间上是递增的；如果导数小于0，则函数在该区间上是递减的。
这可以用以下定理来描述：定理 1：如果函数f(x)在一个区间(a, b)上连续，并且在该区间上处处可导，则有：1.如果f’(x) > 0在(a, b)上成立，则f(x)在(a, b)上递增。
2.如果f’(x) < 0在(a, b)上成立，则f(x)在(a, b)上递减。
基于这一定理，我们可以通过以下步骤来判断函数在指定区间上的单调性：1.求出函数的导数f’(x)。
2.找出导数f’(x)的所有零点，这些点被称为函数f(x)的临界点。
3.根据临界点将区间分为一系列子区间。
4.检查每个子区间内的导数的正负性。
5.根据导数的正负性判断函数在每个子区间内的单调性。
值得注意的是，我们还需要考虑函数在临界点和区间的端点上的单调性。
对于区间端点，我们可以采用类似的方式判断端点处的单调性。
接下来，我们将通过一些实例来帮助读者理解如何利用导数判断函数单调性。
实例 1考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间(-∞, +∞)上的单调性。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。
它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。
通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。
事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。
教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。
师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。
其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。
教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。
教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。
教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
利用导数研究函数的单调性说课材料
x>
3
a2－3时，f′(x)>0，函数
f(x)单调递增，
第九页，共21页。
当－a－3
a2－3 －a＋
<x<
3
a2－3时，f′(x)<0，函数
f(x)单调递减．
此时函数的单调增区间为
(－∞，－a－3
a2－3)，－a＋3
a2－3，＋∞；
单调递减区间为
－a－
3
a2－3，－a＋3
a2－3.
故若－ 3≤a≤ 3，f(x)在 R 上为增函数；若 a＞ 3或 a＜－ 3函数
答案 A
第四页，共21页。
2．函数f(x)＝x＋ln x的单调增区间为( )．
A．(－∞，－1)，(0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－1,1)
解析 ∵f′(x)＝1＋1x＝x＋x 1，
∴由于f′(x)>0，且由f(x)的定义域：{x|x>0}，知x>0时，f′(x)>0 恒成立．
∴f(x)＝3x2－2ln
x
的增区间为
33，＋∞，减区间
为0，
33.
第八页，共21页。
题型三 已知单调性求参数的取值范围
【例 3】 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)讨论函数 f(x)的单调区间；
(2)设函数 f(x)在区间－23，－13内是减函数，求 a 的取值范围． 解 (1)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋1，
f(x)单调递增区间为－∞，－a－3
a2－3，
－a＋
3
a2－3，＋∞
；
函
数
f(x) 单 调 递 减 区 间 为
函数的单调性与导数说课稿
函数的单调性与导数说课稿一、说教材1、地位和作用本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值，最值及函数的其他相关性质打好基础。
另外，由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。
通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多，充分展示了导数解决问题的优越性。
2．教学目标知识与技能：1．结合实例，借助几何直观探索并感受函数的单调性与导数的关系。
2．尝试利用导数判断简单函数的单调性。
3．能根据导数的正负性画出函数的大致图象过程与方法：1．通过具体函数单调性与其导数正负关系，归纳概括出一般函数单调性的判断方法。
2．体会函数单调性定义判断方法与导数判断方法的比较，进一步认识函数单调性与导函数正负性之间的关系。
3．通过实验操作，直观感知，结合函数图象，初步尝试从导数的角度解释函数在某一范围内增减的快慢。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯3、重点与难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
二、说教法1．教学方法的选择：本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
三、说学法为使学生积极参与课堂学习，主要采用自主探究法和实验教学法，让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。
四、说教学过程（一）提问引入：1．判断函数的单调性有哪些方法？（意图：引导学生回顾单调性的定义及利用定义判断函数单调性的方法）（引导学生回答“定义法”，“图象法”。
函数的单调性与导数(说课)
05 课程总结
本节课的收获
01
理解了函数的单调性与导数的关系
通过本节课的学习，学生们能够理解函数的单调性与其导数之间的关系，
掌握利用导数判断函数单调性的方法。
02
掌握了求导的基本法则
学生们学会了使用求导的基本法则，如链式法则、乘积法则、商的求导
法则等，能够熟练地求出函数的导数。
03
增强了数学思维能力
04 导数与函数的单调性
导数与单调性的关系
01
02
03
导数大于零
函数在该区间内单调递增。
导数小于零
函数在该区间内单调递减。
导数等于零
函数可能存在拐点或极值 点。
单调性判定定理的应用
判断函数单调性
通过求导数并分析导数的 正负来判断函数的单调性。
确定极值点
通过导数为零的点来确定 可能的极值点，并结合单 调性判断是否为极值点。
通过本节课的学习，学生们不仅掌握了相关的数学知识，更重要的是培
养了他们的数学思维能力，如逻辑推理、抽象思维和归纳演绎等。
课程中的不足与改进
部分学生对于求导法则的运用还不够熟练
在练习过程中，发现部分学生对于求导法则的运用还不够熟练，需要在课后加强练习和巩固。
部分学生对单调性与导数的关系理解不够深入
在讨论单调性与导数的关系时，发现部分学生对其理解不够深入，需要在后续课程中加强这方面的讲解和练习。
详细描述
基本初等函数的导数公式包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三 角函数的导数。复合函数的导数法则涉及到内外函数的导数计算，以及链式法 则的应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
《导数的单调性》说课稿
《导数的单调性》说课稿导数的单调性说课稿一、说教学目标通过本节课的研究，学生应当能够：1. 理解导数和函数单调性的概念；2. 掌握如何用导数判断函数的单调性；3. 通过练题，提升对导数和函数单调性的运用能力。
二、说教学重点1. 导数的定义及其性质；2. 单调性的概念及其判断方法；3. 导数与函数单调性的关系。
三、说课程内容本节课将围绕导数的单调性展开。
首先，我们将简要复导数的定义及其基本性质，包括导数的计算方法和导数的代数运算规则。
接下来，我们将着重介绍函数的单调性。
首先，引入单调递增和单调递减的概念，并给出其定义。
然后，详细讲解如何用导数判断函数的单调性。
我们将通过图像、实例和公式推导，让学生理解导数与函数单调性的关系。
在讲解过程中，我们将提供丰富的例题和练题，帮助学生巩固所学知识，并培养他们分析和解决问题的能力。
通过反复操练和思考，学生可以逐渐掌握如何使用导数判断函数的单调性。
四、说教学方法本节课将采用因果分析法和合作研究法相结合的教学方法。
在研究导数的定义和性质时，我们将采用因果分析法，通过分析导数和函数单调性的前后关系，让学生理解导数的作用和意义。
在研究如何用导数判断函数的单调性时，我们将引入合作研究法。
通过小组合作、探究和讨论，促进学生间的互动和合作，培养他们的思维能力和合作精神。
五、说教学过程本节课的教学过程分为导入、讲解和练三个环节。
5.1 导入（5分钟）通过举例、引发思考和提问，激发学生对导数和函数单调性的兴趣，引起他们对本节课研究内容的关注。
5.2 讲解（35分钟）5.2.1 复导数的定义和性质（10分钟）快速复导数的定义和基本性质，包括导数的计算方法和导数的代数运算规则。
通过实例演示和问题引导，帮助学生巩固对导数的理解。
5.2.2 引入函数的单调性（10分钟）介绍函数的单调性的概念和定义，引导学生思考单调递增和单调递减的特点，通过图像和实例说明。
5.2.3 导数与函数单调性的关系（15分钟）详细讲解如何用导数判断函数的单调性。
利用导数判断函数的单调性教案
利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义；2. 学会利用导数判断函数的单调性；3. 能够运用单调性解决实际问题。
二、教学重难点1. 导数的定义和几何意义；2. 利用导数判断函数的单调性。
三、教学方法1. 讲解法：讲解导数的定义、几何意义和判断函数单调性的方法；2. 示例法：通过典型例题演示和分析，让学生掌握判断函数单调性的技巧；3. 练习法：让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学准备1. 导数的定义和几何意义的相关资料；2. 典型例题及解题思路；3. 练习题。
五、教学过程1. 导入：回顾导数的定义和几何意义，引导学生思考如何利用导数判断函数的单调性。
2. 新课讲解：讲解如何利用导数判断函数的单调性，并举例说明。
3. 示例分析：分析典型例题，引导学生掌握判断函数单调性的方法和技巧。
4. 练习巩固：让学生独立完成练习题，检验对导数判断函数单调性的掌握程度。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点，强调重点和难点。
6. 布置作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学反思在课后对教学效果进行反思，看学生是否掌握了利用导数判断函数单调性的方法，及时调整教学策略，提高教学效果。
七、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
八、教学评价通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度。
九、教学拓展引导学生思考如何利用导数判断函数的极值和拐点，为后续课程做铺垫。
十、教学资源1. 导数的定义和几何意义的相关教材和资料；2. 典型例题及解题思路的PPT；3. 练习题及答案。
六、教学活动设计1. 课堂导入：通过回顾上一节课的内容，引导学生思考如何利用导数来判断函数的单调性。
2. 新课讲解：详细讲解利用导数判断函数单调性的方法和步骤，并通过示例进行说明。
3. 小组讨论：让学生分成小组，讨论如何解决一些复杂的函数单调性问题，并分享各自的解题思路。
利用导数判断函数的单调性课件
利用导数分析热量在物体中的传递规律，研究热 力学中的热传导问题。
弹性力学分析
通过导数分析弹性物体的应力应变关系，研究弹 性力学中的问题。
练习题与答案解析
练习题
01
判断函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4$的单调性。
02
判断函数$g(x) = ln(x + sqrt{x^{2} + 1})$的单调性。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某 一点的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某 一点的切线斜率。在函数图像上 取一点，在该点处作切线，切线 的斜率即为该点的导数值。
导数的性质
总结词
导数具有一些重要的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。
详细描述
导数具有一些重要的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。 这些性质在判断函数的单调性、极值、拐点等方面具有重要 作用。通过掌握这些性质，可以更好地理解和应用导数。
利用导数判断函数的 单调性课件
• 导数的定义与性质 • 导数与函数单调性的关系 • 利用导数判断函数单调性的方法 • 实际应用举例 • 练习题与答案解析
目录
导数的定义与性质
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率。
详细描述
导数是函数在某一点处的切线斜率， 表示函数在该点的变化率。通过求导， 可以得到函数在某一点的0，即$f'(x) leq 0$。
函数单调性的判定
根据导数的符号判断函数单调性：若$f'(x) > 0$，则函数单调递增；若$f'(x) < 0$，则函数
单调递减。
对于分段函数，需要分别求出各段函数的导数，再根 据导数的符号判断分段函数的单调性。
人教版 高二数学下册下册 课件《利用导数判断函数的单调性》 教案 (2)
1.3.1利用导数判断函数的单调性教学目标：1、知识与技能目标：通过实例，借助图形直观探索并了解导数与函数单调性的关系，理解并掌握利用导数研究函数的单调性以及求解函数单调区间；2、过程与方法目标：会用导数研究函数单调性，并会用导数求解函数单调区间；3、情感态度与价值观目标：探究导数与函数单调性关系的过程中培养学生数形结合思想和从特殊到一般的数学思想，以及发现问题、解决问题的能力。
教学重点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间；教学难点：发现和揭示导数值的符号与函数单调性的关系；教学方法与手段：探究式教学模式；利用多媒体现代设备教学教学过程：1. 创设情境，激发兴趣播放过山车视频问题1：从视频可以看出，过山车有明显的上升与下降的变化趋势．那么，函数图象的这种上升与下降的变化趋势我们可以用最近所学的哪种知识来刻画呢？在高一我们又可以用函数的哪种性质来刻画这种变化趋势呢？通过有趣视频拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。
过山车视频的播放更能激发学生研究兴趣，提高学生的探究欲望！2. 知识回顾问题2：函数单调性的定义？导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势，而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，那么，既然它们都是刻画函数变化趋势的数学模型，它们之间存在怎样的联系？我们能否用导数这一工具来研究函数的单调性呢？函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，任取12,x x I ∈，当12x x <时，()()12f x f x <，则()y f x =在区间I 上是单调增函数；()()12f x f x >，则()y f x =在区间I 上是单调减函数。
3. 探索新知问题3：能否从切线的角度说明函数单调性？当切线斜率为负数时，函数有下降的趋势；问题4：导数与单调性之间究竟什么关系？对于函数()y f x =，在某个区间上()0f x '>⇒函数在该区间上为增函数；在某个区间上()0f x '<⇒函数在该区间上为减函数4. 数学应用例1.确定函数34)(2+-=x x x f 在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数. 法一：图象直观法三：利用导数()24f x x '=-， 令()0f x '>，解得2x >．因此，在区间(2,)+∞上，()0f x '>，()f x 是增函数；()0x '>在区间(,2)-∞上，()0f x '<，()f x 是减函数．总结：利用导数判定函数单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②求出函数的导数()f x '；③在定义域内解不等式()0()0f x f x ''><或；④下结论，确定函数的单调区间．例2求762)()1(23+-=x x x f 的单调区间。
函数的单调性与导数说课教师教材
通过情景和问题激发学生的兴趣，在合作交 流中体验探索的乐趣与成功的喜悦，从而养 成实事求是态度和合作精神
青苗辅导
6
教材学情 教学目标 教法学法 教学过程 教学评价
三、教法学法
教启
法
发 诱
导
(
创设情境 引导探索 鼓励运用
自主探究
(
观察发现
学
探 索
合作交流 法
青苗辅导
11
教材学情 教学目标 教法学法 教学过程 教学评价
问题2: 对于一般的函数是否具有此特征？
青苗辅导
12
教材学情 教学目标 教法学法 教学过程 教学评价
请完成下表，思考函数的单调性与导数的正负有什么关系
函数及图象
单调性
导数的正负
y=x 在R上单调递增
y=x2
y=x3
y=
11 xx
在R上导数是正的
说课流程
教教 教 教 教
材学 析学
情目
法 学
学 过
学 评
分标 法 程 价
青苗辅导
1
教材学情 教学目标 教法学法 教学过程 教学评价
一、教材学情分析
1 教材地位与作用
2
学情分析
3 教学重点难点
青苗辅导
2
教材学情 教学目标 教法学法 教学过程 教学评价
1、教材地位与作用
本节课选自人教版选修2-2第一章1.3《导数在研究函数中 的应用》第一小节，本节的教学内容属于导数的应用，是在学 生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容， 学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和 最值打好基础。因此它在本章起承上启下的作用 。
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课堂考点探究2 课堂考点探究3
，讨论函数f(x)的单调性.
小结作业 承前启后
已 知 函 数 f(x) ＝ aln x ＋ x2(a∈R 且
a≠0)， 讨论函数f(x)的单无忧调PP性T整．理发布
4
说设计
必备知识填充 学情自测验收 课堂考点探究1 课堂考点探究2 课堂考点探究3
考点3 已知函数的单调性求参数
设计意图：
函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题
，拓展学生思维。
无忧PPT整理发布
必备知识填充 学情自测验收 课堂考点探究1 课堂考点探究2 课堂考点探究3 小结作业 承前启后
4
说设计
学生进行课堂小结，构建知识体系，完成 课后作业 巩固提供
[学后反思]：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 体会到了那些数学思想？ [课后练习]：1.函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是( ) A．单调递增 B．单调递减 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 2.已知函数f(x)＝a(3x)－2x2＋ln x在区间[1,2]上为单调 函数，求a的取值范围．
通过典例和母体探究，让学生区分f(x)为增函数的充要条件 是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非 空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不 能省略，否则漏解．
已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝1ax2＋2x(a≠0)． 2
若函数 h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求 a 的取值范围
小结作业 承前启后
设计意图：
由 f ' x ≥0求增区间，检验 f 'x 是否恒等
于零.或者验证原函数是否为常函无数忧，PP减T整区理间发同布样求法.
4
说设计
考点3 已知函数的单调性求参数
必备知识填充 学情自测验收 课堂考点探究1 课堂考点探究2 课堂考点探究3 小结作业 承前启后
母题探究： 若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间， 求a的取值范围；
3
说学情
知识掌握上，学生原有的知识 ，许多学生出现知识遗忘，所以应全
面系统的去讲述；学生学习本节课的知识障碍， 知识学生不易理解，所
以教学中老师应予以简单明白，深入浅出的分析。
知识障碍
学生特点
文科生注意力易分散，抓 住学生特点，积极采用形象生 动，形式多样的教学方法和学 生广泛的积极主动参与的学习 方式，能激发学生兴趣，有效 地培养学生能力，促进学生个 性发展。
坚持“以学生为主体， 以教师为主导”的原则， 根据学生的心理发展规 律，采用学生参与程度 高的学导式讨论教学法。
在采用问答法时，特别注重不同难度的问题，提 问不同层次的学生，面向全体，使基础差的学生 也能有表现机会，培养其自信心，激发其学习热 情。
同时通过课堂练习和课后作业，启发学生从书本 知识回到社会实践。提供给学生与其生活和周围 世界密切相关的数学知识，学习基础性的知识和 技能，在教学中积极培养学生学习兴趣和动机， 明确的学习目的，在课堂上充分调动学生的学习 积极性，激发来自学生主体的最有力的动力。
主要内容
学 情 分 析
动机和兴趣
明确的学习目的， 老师应在课堂上充分调 动学生的学习积极性， 激发来自学生主体的最 有力的动力。
• 1.通过对具体问题的分析，知道可导函数的 单调性与其导数关系。
• 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数 的单调区间，体会导数在研究函数中的优 越性。
• 3.通过具体实例，能够讨论含参函数的单调 性，体会分类讨论的思想。
最值
导数的应用
主要内容
导
数 及 其 应
第 三 章
用
感受导数在解决数学问题 和实际问题中的作用
1
说教材
导数与函数单调性的关 系、如何求单调区间
重点
含参函数的单调区 间以及参数取值范
难围点问题
重点和难点
导
数 及 其 应
第 三 章
用
2
说教法
在学生看书，讨论的基础上，在老师启发引导下， 运用问题解决式教法，问答式，课堂讨论法。
4
说设计
必备知识填充
学情自测验收 课堂考点探究1 课堂考点探究2
设 计
（1）让学生意识到单调区间必须在定义域内，即考察单调区间 时必须保证定义域优先.
意 图
（2）要解决给定区间上导数符号的判定问题，需用不等式的性 质。
课堂考点探究3
小结作业 承前启后
无忧PPT整理发布
4
说设计
考点1 不含参数函数的单调性
• 4.已知函数在某一区间上的单调性，会求参 数的取值范围，同时建立逆向思维。
4
说设计
必备知识填充 学情自测验收 课堂考点探究1 课堂考点探究2 课堂考点探究3 小结作业 承前启后
4
ห้องสมุดไป่ตู้
说设计
必备知识填充 学情自测验收 课堂考点探究1 课堂考点探究2 课堂考点探究3 小结作业 承前启后
利用课前复习内容 回归教材 构建知识体系
4
说设计
板书设计
1、必备知识
课题 3、例题、练习
4、课堂小结
2、常用结论
5
说评价
数学素养的提升 对基本知识与基本 技能的掌握情况
学习目标
评价内容 评价
函
数 单 调 性 的 作
导 数 在 研 究
自评
互评
师评
评价形式
6
说反思
本节课从以下几方面进行反思：
必备知识填充 学情自测验收 课堂考点探究1 课堂考点探究2
设计意图
这部分内容是针对学习目标二设计的，学生对利用导数解决
不含参数函数单调性问题，掌握程度较好，所以这部分直接
1 由学生独立完成。 求解函数y＝ x－2 ln x的单调区间
易错点：
2
1．求函数单调区间，一定要先确定定义域
课堂考点探究3 小结作业 承前启后
人教B版《普通高中课程标准实验教科书》
第三章 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性
说课
北京市第七中学
1 说教材
2
说教法
3 说学情 4 说设计
5 说评价 6 说反思
1
体会导数的思想及其内涵
说教材
导数的运算 导数的几何
导数概念 意义
导数的概念与运算
利用导数判断 利用导数研究 函数的单调性 函数的极值、
2．单调区间的写法 3．明确导数法判断单调区间的步骤
4
说设计
考点2 含参数函数的单调性
必备知识填充 学情自测验收 课堂考点探究1
设计意图
研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影 响进行分类讨论．这部分内容对于学生来说是难点，例题和 变式的设计，让学生明确得根据具体问题的需求来讨论参数a 的取值范围