数学分析21.8反常二重积分(含习题及参考答案)

数学分析21.2直角坐标系下二重积分的计算(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 2直角坐标系下二重积分的计算定理21.8：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个x ∈[a,b], 积分⎰dc dy y x f ),(存在，则累次积分⎰⎰dc ba dy y x f dx ),(也存在，且⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰dc b ady y x f dx ),(.证：令F(x)=⎰dc dy y x f ),(, 分别对区间[a,b]与[c,d]作分割： a=x 0<x 1<…<x r =b, c=y 0<y 1<…<y s =d, 按这些分点作两组直线x=x i (i=1,2,…,r-1), y=y j (j=1,2,…,s-1), 它们把矩形D 分为rs 个小矩形, 记△ij 为小矩形[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ] (i=1,2,…,r; j=1,2,…,s)；设f(x,y)在△ij 上的上确界和下确界分别为M ij 和m ij .在区间[x i-1,x i ] 中任取一点ξi , 于是有m ij △y j ≤⎰-jj y y i dy y f 1),(ξ≤M ij △y j ,其中△y j =y j -y j-1. ∴j sj ij y m ∆∑=1≤F(ξi )=⎰dc i dy y f ),(ξ≤j sj ij y M ∆∑=1,∑∑==∆∆r i i j sj ijx y m11≤∑=∆r i i i x F 1)(ξ≤∑∑==∆∆r i i j sj ij x y M 11, 其中△x i =x i -x i-1.记△ij 的对角线长度为d ij 及T =ji ,max d ij , 由于二重积分存在，由定理21.4，当T →0时，∑∆∆ki i j ij x y m ,和∑∆∆ki i j ij x y M ,有相同的极限，且极限值等于⎰⎰Dd y x f σ),(，∴∑=→∆ri i i T x F 1)(lim ξ=⎰⎰Dd y x f σ),(. 又当T →0时，必有i ri x ∆≤≤1max →0, 由定积分定义得∑=→∆ri i i T x F 1)(limξ=⎰b adx x F )(=⎰⎰d cb ady y x f dx ),(，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰dcb a dy y x f dx ),(.定理21.9：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个y ∈[c,d],积分⎰badxyxf),(存在，则累次积分⎰⎰b adcdxyxfdy),(也存在，且⎰⎰Ddyxfσ),(=⎰⎰b adcdxyxfdy),(.注：特别地，当f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上连续时，有⎰⎰Ddyxfσ),(=⎰⎰d cbadyyxfdx),(=⎰⎰b adcdxyxfdy),(.例1：计算⎰⎰Ddxdyxyy)sin(, 其中D=[0,π]×[0,1].解：⎰⎰Ddxdyxyy)sin(=⎰⎰π01)sin(dxxyydy=⎰-1)]cos(1[dyyπ=1.注：对一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行.称平面点集D={(x,y)|y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b}为x型区域(如图1)称平面点集D={(x,y)|x1(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d}为y型区域(如图2)如图3，区域D可分解成三个区域，I, III为x型区域，II为y型区域.定理21.10：若f(x,y)在x型区域D上连续，y1(x), y2(x)在[a,b]上连续，则⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x f dx .即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分.证：∵y 1(x), y 2(x)在[a,b]上连续，∴存在R=[a,b]×[c,d]⊃D(如上图1)，记定义在R 上的函数F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),(, 则F 在R 上可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰Rd y x F σ),(=⎰⎰dcbadyy x F dx ),(=⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x F dx =⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x f dx .注：同理可证f(x,y)在y 型区域D 上连续，x 1(y), x 2(y)在[c,d]上连续，则⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(y x y x dc dx y x f dy .例2：设D 是直线x=0,y=1及y=x 围成的区域(如图)，试计算：I=⎰⎰-Dy d e x σ22的值.解：∵D={(x,y)|0≤x ≤y,0≤y ≤1}， ∴I=⎰⎰-Dy d ex σ22=⎰⎰-yy dx e x dy 02102=⎰-103231dy e y y =e3161-.注：若取D={(x,y)|x ≤y ≤1,0≤x ≤1}，则I=⎰⎰-12102x y dy e x dx =⎰⎰-11022x y dy e dx x ，∵2y e -的原函数无法用初等函数形式表示，∴无法直接求积.例3：计算二重积分⎰⎰Dd σ, 其中D 为由直线y=2x, x=2y 及x+y=3所围的三角形区域(如图).解：(如图)D 1={(x,y)|2x ≤y ≤2x,0≤x ≤1}， D 2={(x,y)|2x ≤y ≤3-x,1≤x ≤2}， ∴⎰⎰1D d σ=⎰⎰xx dy dx 2210=⎰1023xdx =43; ⎰⎰2D d σ=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21233xdx =493-. ⎰⎰Dd σ=⎰⎰1D d σ+⎰⎰2D d σ=23.例4：求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V. 解：设圆柱底面半径为a, 两个圆柱底面方程为 x 2+y 2=a 2与x 2+z 2=a 2.第一封限部分的立体是曲顶柱体，以z=22x a -为曲顶，以四分之一圆域D={(x,y)|0≤y ≤22x a -,0≤x ≤a}为底. ∴V=8⎰⎰-Dd x a σ22=8⎰⎰--220220x a ady x a dx =8⎰-adx x a 022=3316a .习题1、设f(x,y)在区域D 上连续，试将二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化为不同顺序的累次积分：(1)D 是由不等式y ≤x, y ≥a,x ≤b(0<a<b)所确定的区域； (2)D 是由不等式x 2+y 2≤1, x+y ≥1所确定的区域； (3)D 是由不等式y ≤x, y ≥0,x 2+y 2≤1所确定的区域；(4)D={(x,y)||x|+|y|≤1}.解：如图，(1)⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰xa ba dy y x f dx ),(=⎰⎰by b a dx y x f dy ),(.(2)⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx =⎰⎰--2111),(y ydx y x f dy .(3)⎰⎰D d y x f σ),(=⎰⎰xdy y x f dx 0220),(+⎰⎰-210122),(x dy y x f dx =⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy .(4)⎰⎰Dd y x f σ),(=4⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(=4⎰⎰-ydx y x f dy 1010),(.2、在下列积分中改变累次积分的顺序： (1)⎰⎰x x dy y x f dx 220),(；(2)⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx ；(3)⎰⎰-axx ax ady y x f dx 22202),(；(4)⎰⎰2010),(x dy y x f dx +⎰⎰-)3(3131),(x dy y x f dx.解：如图，(1)⎰⎰xx dy y x f dx 220),(=⎰⎰y y dx y x f dy 220),(+⎰⎰2242),(y dx y x f dy .(2)⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx =⎰⎰----221101),(y y dx y x f dy +⎰⎰---yydx y x f dy 1110),(.(3)⎰⎰-axx ax a dyy x f dx 22202),(=⎰⎰--22220),(y a a ayadx y x f dy +⎰⎰-+ay a a adx y x f dy 2022),(+⎰⎰aay a adx y x f dy 2222),(.(4)⎰⎰2010),(x dy y x f dx +⎰⎰-)3(3131),(x dy y x f dx =⎰⎰-y ydx y x f dy 2310),(.3、计算下列二重积分：(1)⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由抛物线y 2=2px 与直线x=2p(p>0)所围成的区域；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(22，其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x ≤y ≤x 2}；(3)⎰⎰-Dxa d 2σ(a>0)，其中D 为图中阴影部分；(4)⎰⎰Dd x σ，其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x}.(5)⎰⎰Dd xy σ||，其中D=为圆域x 2+y 2≤a 2.解：(1)方法一：⎰⎰Dd xy σ2=⎰⎰-pxpx p dy y xdx 22220=⎰2025324pdx x p p =215p .方法二：⎰⎰Dd xy σ2=⎰⎰-2222p py pp xdx dy y =⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p p dy p y p y 242281=215p . (2)⎰⎰+Dd y x σ)(22=⎰⎰+xxdy y x dx 22210)(=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10232537dx x x =105128. (3)⎰⎰-Dxa d 2σ=⎰⎰----22)(002a x a a axa dy dx =⎰----ax a a x a a 0222)(=233822a ⎪⎭⎫⎝⎛-.(4)⎰⎰Dd x σ=⎰⎰---2210x x x x dy x dx =2⎰-11dx x x =158.(5)方法一：⎰⎰Dd xy σ||=⎰⎰adr r d 032cos sin 4θθθπ=⎰204cos sin πθθθd a=24a .方法二：⎰⎰Dd xy σ||=⎰⎰-22004x a aydy xdx =⎰-adx x a 0222)(=24a.4、求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积. 解：如图，V=⎰⎰--Dd y x σ)4(=⎰⎰--2020)4(dx y x dy +⎰⎰---ydx y x dy 4032)4(=⎰-20)26(dy y +⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---32222)4(816dy y y y=12-4+16-20-67+319=-591.5、设f(x)在[a,b]上连续，证明不等式2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f ≤(b-a)⎰b a dx x f )(2，其中等号仅在f(x)为常量函数时成立.证：2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f =⎰⎰⋅b a b a dy y f dx x f )()(=⎰⎰D dxdy y f x f )()(≤⎰⎰+Ddxdy y f x f )]()([2122=⎰⎰⋅b a b a dx x f dy )(2=(b-a)⎰b a dx x f )(2.其中D={(x,y)|a ≤x ≤b, a ≤y ≤b}.若等号成立，则对任何(x,y)∈D ，有f 2(x)+f 2(y)=2f(x)f(y)，即 [f(x)-f(y)]2=0，∴f(x)=f(y)，即f(x)为常数函数.6、设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为l x 和l y ，D 的面积为S D ，(α,β)为D 内任一点，证明：(1)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤l x l y S D ; (2)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤41l x 2l y 2.证：设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a,b]和[c,d]，则 l x =b-a, l y =d-c ，且|x-α|≤l x , |y-β|≤l y.(1)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤⎰⎰--D d y x σβα||||≤l x l y ⎰⎰Dd σ≤l x l y S D .(2)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤⎰⎰-⋅-dc ba dy y dx x ||||βα.令x l a x -=t (0≤t ≤1), 记ρ=xl l(α-a) (0≤ρ≤1). |x-α|=|x-a+a-α|=|l x t-l x ρ|=l x |t-ρ|.⎰-b adx x ||α=l x ⎰-badx t ||ρ=l x2⎰-1||dtt ρ=l x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎰⎰ρρρρ1)()(dt t dt t= l x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)1(21ρρ.∵0≤ρ≤1, ∴ρ(1-ρ)≥0，∴⎰-ba dx x ||α≤21l x 2. 同理可证，⎰-dc dy y ||β≤21l y 2. ∴⎰⎰--Dd y x σβα))((≤41l x 2l y 2.7、设D=[0,1]×[0,1]，f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧+中非有理点为当中有理点为当D y x ，D y x ，q q yx ),(0),(11，其中q x 表示有理数x 化成既约分数后的分母.证明：f(x,y)在D 上的二重积分存在而两个累次积分不存在.证：∀ε>0, 只有有限个点使f(x,y)>2ε, ∴存在分割T ，使得S(T)-s(T)<ε, ∴二重积分存在且等于0.当y 取无理数时，f(x,y)≡0，∴⎰10),(dx y x f =0; 而当y 取有理数时，在x 为无理数处f(x,y)=0, 在x 为有理数处f(x,y)=y x q q 11+, 故函数f 在任何区间上振幅总大于yq 1, 即函数f(x,y)在x ∈[0,1]上关于x 的积分不存在.∴不存在先x 后y 的累次积分. 同理可证先y 后x 的累次积分不存在.8、设D=[0,1]×[0,1]，f(x,y)=⎩⎨⎧=中其他点时为当时且中有理点为当D y x ，q q ，D y x ，y x ),(0),(1，其中q x 表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明：f(x,y)在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.证：在正方形的任何部分内， f 的振幅等于1，∴二重积分不存在. 对固定的y ，若y 为无理数，则f 恒为0，若y 为有理数，则函数仅有有限个异于0的值，因此⎰10),(dx y x f =0, ∴累次积分存在且⎰⎰110),(dx y x f dy =0，同理可证累次积分⎰⎰110),(dy y x f dx =0.。

数学分析反常积分习题解答

b
b
使 f (x)g(x)dx g(b) f (x)dx;
a
(2)若g(x) 在 [a,b]单调减少, 且 g(b) 0,
则 [a,b],
b
使 f (x)g(x)dx g(a) f (x)dx.
a
a
..
Abel 判别法:
定理
设积分 f (x)dx收敛 , g(x) 在 [a,b] 上单调有界, a
则积分 f (x)g(x)dx 收敛. a
1
e dx
例讨论积分
的敛散性.
0 x p ln x
例证明积分
1
0
1 xp
sin
1 x
dx
当
p 2 时收敛.
例判别积分的收敛性: (ⅰ) 1 ln x dx ; (ⅱ) 2 x dx
0x
1 ln x
例讨论反常积分 ( ) x 1 dx 的敛散性.
例讨论积分 sin x dx 的敛散性. 1x
例
讨论积分
sin x
1
arctan x dx x
的敛散性.
四. 无界函数反常积分收敛判敛法: 无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反
常积分. 以只有一个奇点 x b 为例, 列出相应的结果如下:
定理8.2.1’ (Cauchy收敛原则)
8
则积分 f (x)g(x)dx 收敛. a
2
Dirichlet 判别法:
5
设F ( A) A f (x)dx在区间 [ a , ) 上有界, a
g(x)
在
[a,b]
上单调有界且
lim
x
g
(
x)
0

反常二重积分word版

反常二重积分一、无界区域上的二重积分与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．定义1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域，如图1所示．若二重积分存在，且当曲线连续变动，使区域以任意过程无限扩展而趋于区域时，极限图1都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即==否则，称发散．对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．1．==或 ==2．D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σCDd y x f ),(C C D D ⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(I ⎰⎰σDd y x f ),(⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx Mc b aM ),(lim⎰⎰+∞→dyy x f dx cb a),(⎰⎰+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy baM cM ),(lim⎰⎰+∞→dxy x f dy bac),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D==⎰⎰DcaM N +∞→+∞→dyy x f dx ca),(⎰⎰或 ==3．==或 ==也可在极坐标系下计算==定理一设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且()),(,0y x g y x f ≤≤.那么(1)当⎰⎰Ddxdy y x g ),(收敛时, ⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散时, ⎰⎰Ddxdy y x g ),(发散.推论设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≤(c 是常数),如果α>2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α⎰⎰DacN M +∞→+∞→dxy x f dy ac),(⎰⎰},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx M MN NN M ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dyy x f dx ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy N NMMM N ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dxy x f dy ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(rdrr r f d RR )sin ,cos (lim020θθθ⎰⎰π+∞→rdrr r f d )sin ,cos (020θθθ⎰⎰+∞π≤2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例1 设=，计算解方法一方法二例2 计算二重积分，其中D 是由曲线在第一象限所围成的区域．分析：区域D 是无界区域，且从下列图形可以看出，D 是型区域，化成累次积分时应先对积分．解法一：= 图8.26 D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(122dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M yx 0arctan arctan lim +∞→=4)2()(arctan lim 222π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 2020221111)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0arctan arctan yx 4)2(22π=π=⎰⎰-Dy dxdyxe2,42x y =29x y =y x }0,23|),{(+∞≤≤≤≤=y yx y y x D ⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxedy y yy 223-∞+⎰⎰=dy e y y y ⎰-+∞-2)9141(21014451445725022=-==+∞--+∞⎰y y e dy ye解法二：设，则二、无界函数的反常积分设D 是平面R 2中有界可求面积区域， P 是的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界(P 称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在 D - Δ上可积. 设{}∆∈-+-=),(),,(|)()(sup 2211221221y x y x y y x x d .如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim存在, 则称()y x f ,在D上可积, 这个极限也称为()y x f ,在D 上的反常二重积分. 还是记作:()⎰⎰Ddxdy y x f ,, 即()⎰⎰Ddxdyy x f ,=⎰⎰∆-→D d dxdyy x f ),(lim. 当()y x f ,在D 上可积时, 称()⎰⎰D dxdyy x f ,收敛. 如果⎰⎰∆-→D d dxdyy x f ),(lim不存在, 我们还用()⎰⎰Ddxdy y x f ,这个记号, 也称为()y x f ,在D 上的无界函数反常二重积分,但这时我们称这个反常二重积分发散.与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理 3 设D 是平面R 2中有界区域， P (x 0, y 0)是D 的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界,. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在D - Δ上可积,那么}0,23|),{(b y y x y y x D b ≤≤≤≤=⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxe dy y y y b b 223lim-+∞→⎰⎰=dy e y y y b b ⎰-+∞→-=2)9141(lim 2101445)1(lim 1445lim 725220=--==-+∞→-+∞→⎰b b y b b e dy ye(1)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≤(c 是常数),如果 α<2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≥(c 是常数),如果 α≥2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例3 求⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x .解显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取Δ: )1(,222<≤+ρρy x , 那么⎰⎰⎰⎰≤+≤→≤++=+12212222222)(1lim)(1y x my x mdxdy y x dxdy y x ρρ2,2,ln lim 2)1(21lim 21lim 10201200=≠⎪⎩⎪⎨⎧--==⎰⎰→-→-→m m mdr r d m m ρρρπρρπρπθ 当2<m ,mdxdy y x y x m-=+⎰⎰≤+22)(112222π, 当2≥m ,⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x 发散.三、泊松积分在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分22π=-∞+⎰dx ex例4 计算．解，令，则计算 1)⎰⎰≥+++144222)(y x dxdy y x yx ; 2) ⎰⎰≤++-1222222y x dxdy y x y x ; 3）4)5)设，问取何值时，该广义积分收敛？（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

《反常二重积分》课件

添加文档副标题
目录
01.02.03.源自04.05.06.
反常二重积分的定义：反常二重积分是二重积分的一种特殊情况，其积分区域为无限区域或半无限
区域。
反常二重积分的定义域：反常二重积分的定义域为无限区域或半无限区域，包括无穷大、无穷小、
无穷远等。
反常二重积分的积分区域：反常二重积分的积分区域可以是无限区域或半无限区域，包括无穷大、无穷小、无
推广到高维空间：将反常二重积分推广到高维空间，如三维空间、四维空间等。
推广到更广泛的函数类：将反常二重积分推广到更广泛的函数类，如连续函数、可积函数等。
推广到更复杂的积分区域：将反常二重积分推广到更复杂的积分区域，如曲面积分、曲线积分等。
推广到更广泛的应用领域：将反常二重积分推广到更广泛的应用领域，如物理、工程、经济等。
反常二重积分在物理学中的重要性在于它可以帮助我们更好地理解和描述物理现象，从而更好地解决实际问题。
积分计算：用于计算反常二重积分的值积分变换：用于将反常二重积分转化为其他类型的积分积分估计：用于估计反常二重积分的上下界积分方程：用于求解反常二重积分方程
计算电场强度：反常二重积分用于计算电场强度，如点电荷、线电荷、面电荷等。计算磁场强度：反常二重积分用于计算磁场强度，如点磁荷、线磁荷、面磁荷等。计算引力场强度：反常二重积分用于计算引力场强度，如点引力源、线引力源、面引力源等。
反常二重积分的定义和性质反常二重积分的求解方法反常二重积分的应用反常二重积分与其他积分的关系
反常二重积分的定义和性质
反常二重积分的计算方法
反常二重积分的应用
反常二重积分与其他数学领域的联系

数学分析21.2直角坐标系下二重积分的计算(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 2直角坐标系下二重积分的计算定理21.8：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个x ∈[a,b], 积分⎰dc dy y x f ),(存在，则累次积分⎰⎰dc ba dy y x f dx ),(也存在，且⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰dc b ady y x f dx ),(.证：令F(x)=⎰dc dy y x f ),(, 分别对区间[a,b]与[c,d]作分割： a=x 0<x 1<…<x r =b, c=y 0<y 1<…<y s =d, 按这些分点作两组直线x=x i (i=1,2,…,r-1), y=y j (j=1,2,…,s-1), 它们把矩形D 分为rs 个小矩形, 记△ij 为小矩形[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ] (i=1,2,…,r; j=1,2,…,s)；设f(x,y)在△ij 上的上确界和下确界分别为M ij 和m ij .在区间[x i-1,x i ] 中任取一点ξi , 于是有m ij △y j ≤⎰-jj y y i dy y f 1),(ξ≤M ij △y j ,其中△y j =y j -y j-1. ∴j sj ij y m ∆∑=1≤F(ξi )=⎰dc i dy y f ),(ξ≤j sj ij y M ∆∑=1,∑∑==∆∆r i i j sj ijx y m11≤∑=∆r i i i x F 1)(ξ≤∑∑==∆∆r i i j sj ij x y M 11, 其中△x i =x i -x i-1.记△ij 的对角线长度为d ij 及T =ji ,max d ij , 由于二重积分存在，由定理21.4，当T →0时，∑∆∆ki i j ij x y m ,和∑∆∆ki i j ij x y M ,有相同的极限，且极限值等于⎰⎰Dd y x f σ),(，∴∑=→∆ri i i T x F 1)(lim ξ=⎰⎰Dd y x f σ),(. 又当T →0时，必有i ri x ∆≤≤1max →0, 由定积分定义得∑=→∆ri i i T x F 1)(limξ=⎰b adx x F )(=⎰⎰d cb ady y x f dx ),(，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰dcb a dy y x f dx ),(.定理21.9：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个y ∈[c,d],积分⎰badxyxf),(存在，则累次积分⎰⎰b adcdxyxfdy),(也存在，且⎰⎰Ddyxfσ),(=⎰⎰b adcdxyxfdy),(.注：特别地，当f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上连续时，有⎰⎰Ddyxfσ),(=⎰⎰d cbadyyxfdx),(=⎰⎰b adcdxyxfdy),(.例1：计算⎰⎰Ddxdyxyy)sin(, 其中D=[0,π]×[0,1].解：⎰⎰Ddxdyxyy)sin(=⎰⎰π01)sin(dxxyydy=⎰-1)]cos(1[dyyπ=1.注：对一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行.称平面点集D={(x,y)|y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b}为x型区域(如图1)称平面点集D={(x,y)|x1(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d}为y型区域(如图2)如图3，区域D可分解成三个区域，I, III为x型区域，II为y型区域.定理21.10：若f(x,y)在x型区域D上连续，y1(x), y2(x)在[a,b]上连续，则⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x f dx .即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分.证：∵y 1(x), y 2(x)在[a,b]上连续，∴存在R=[a,b]×[c,d]⊃D(如上图1)，记定义在R 上的函数F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),(, 则F 在R 上可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰Rd y x F σ),(=⎰⎰dcbadyy x F dx ),(=⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x F dx =⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x f dx .注：同理可证f(x,y)在y 型区域D 上连续，x 1(y), x 2(y)在[c,d]上连续，则⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(y x y x dc dx y x f dy .例2：设D 是直线x=0,y=1及y=x 围成的区域(如图)，试计算：I=⎰⎰-Dy d e x σ22的值.解：∵D={(x,y)|0≤x ≤y,0≤y ≤1}， ∴I=⎰⎰-Dy d ex σ22=⎰⎰-yy dx e x dy 02102=⎰-103231dy e y y =e3161-.注：若取D={(x,y)|x ≤y ≤1,0≤x ≤1}，则I=⎰⎰-12102x y dy e x dx =⎰⎰-11022x y dy e dx x ，∵2y e -的原函数无法用初等函数形式表示，∴无法直接求积.例3：计算二重积分⎰⎰Dd σ, 其中D 为由直线y=2x, x=2y 及x+y=3所围的三角形区域(如图).解：(如图)D 1={(x,y)|2x ≤y ≤2x,0≤x ≤1}， D 2={(x,y)|2x ≤y ≤3-x,1≤x ≤2}， ∴⎰⎰1D d σ=⎰⎰xx dy dx 2210=⎰1023xdx =43; ⎰⎰2D d σ=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21233xdx =493-. ⎰⎰Dd σ=⎰⎰1D d σ+⎰⎰2D d σ=23.例4：求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V. 解：设圆柱底面半径为a, 两个圆柱底面方程为 x 2+y 2=a 2与x 2+z 2=a 2.第一封限部分的立体是曲顶柱体，以z=22x a -为曲顶，以四分之一圆域D={(x,y)|0≤y ≤22x a -,0≤x ≤a}为底. ∴V=8⎰⎰-Dd x a σ22=8⎰⎰--220220x a ady x a dx =8⎰-adx x a 022=3316a .习题1、设f(x,y)在区域D 上连续，试将二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化为不同顺序的累次积分：(1)D 是由不等式y ≤x, y ≥a,x ≤b(0<a<b)所确定的区域； (2)D 是由不等式x 2+y 2≤1, x+y ≥1所确定的区域； (3)D 是由不等式y ≤x, y ≥0,x 2+y 2≤1所确定的区域；(4)D={(x,y)||x|+|y|≤1}.解：如图，(1)⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰xa ba dy y x f dx ),(=⎰⎰by b a dx y x f dy ),(.(2)⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx =⎰⎰--2111),(y ydx y x f dy .(3)⎰⎰D d y x f σ),(=⎰⎰xdy y x f dx 0220),(+⎰⎰-210122),(x dy y x f dx =⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy .(4)⎰⎰Dd y x f σ),(=4⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(=4⎰⎰-ydx y x f dy 1010),(.2、在下列积分中改变累次积分的顺序： (1)⎰⎰x x dy y x f dx 220),(；(2)⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx ；(3)⎰⎰-axx ax ady y x f dx 22202),(；(4)⎰⎰2010),(x dy y x f dx +⎰⎰-)3(3131),(x dy y x f dx.解：如图，(1)⎰⎰xx dy y x f dx 220),(=⎰⎰y y dx y x f dy 220),(+⎰⎰2242),(y dx y x f dy .(2)⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx =⎰⎰----221101),(y y dx y x f dy +⎰⎰---yydx y x f dy 1110),(.(3)⎰⎰-axx ax a dyy x f dx 22202),(=⎰⎰--22220),(y a a ayadx y x f dy +⎰⎰-+ay a a adx y x f dy 2022),(+⎰⎰aay a adx y x f dy 2222),(.(4)⎰⎰2010),(x dy y x f dx +⎰⎰-)3(3131),(x dy y x f dx =⎰⎰-y ydx y x f dy 2310),(.3、计算下列二重积分：(1)⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由抛物线y 2=2px 与直线x=2p(p>0)所围成的区域；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(22，其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x ≤y ≤x 2}；(3)⎰⎰-Dxa d 2σ(a>0)，其中D 为图中阴影部分；(4)⎰⎰Dd x σ，其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x}.(5)⎰⎰Dd xy σ||，其中D=为圆域x 2+y 2≤a 2.解：(1)方法一：⎰⎰Dd xy σ2=⎰⎰-pxpx p dy y xdx 22220=⎰2025324pdx x p p =215p .方法二：⎰⎰Dd xy σ2=⎰⎰-2222p py pp xdx dy y =⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p p dy p y p y 242281=215p . (2)⎰⎰+Dd y x σ)(22=⎰⎰+xxdy y x dx 22210)(=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10232537dx x x =105128. (3)⎰⎰-Dxa d 2σ=⎰⎰----22)(002a x a a axa dy dx =⎰----ax a a x a a 0222)(=233822a ⎪⎭⎫⎝⎛-.(4)⎰⎰Dd x σ=⎰⎰---2210x x x x dy x dx =2⎰-11dx x x =158.(5)方法一：⎰⎰Dd xy σ||=⎰⎰adr r d 032cos sin 4θθθπ=⎰204cos sin πθθθd a=24a .方法二：⎰⎰Dd xy σ||=⎰⎰-22004x a aydy xdx =⎰-adx x a 0222)(=24a.4、求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积. 解：如图，V=⎰⎰--Dd y x σ)4(=⎰⎰--2020)4(dx y x dy +⎰⎰---ydx y x dy 4032)4(=⎰-20)26(dy y +⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---32222)4(816dy y y y=12-4+16-20-67+319=-591.5、设f(x)在[a,b]上连续，证明不等式2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f ≤(b-a)⎰b a dx x f )(2，其中等号仅在f(x)为常量函数时成立.证：2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f =⎰⎰⋅b a b a dy y f dx x f )()(=⎰⎰D dxdy y f x f )()(≤⎰⎰+Ddxdy y f x f )]()([2122=⎰⎰⋅b a b a dx x f dy )(2=(b-a)⎰b a dx x f )(2.其中D={(x,y)|a ≤x ≤b, a ≤y ≤b}.若等号成立，则对任何(x,y)∈D ，有f 2(x)+f 2(y)=2f(x)f(y)，即 [f(x)-f(y)]2=0，∴f(x)=f(y)，即f(x)为常数函数.6、设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为l x 和l y ，D 的面积为S D ，(α,β)为D 内任一点，证明：(1)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤l x l y S D ; (2)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤41l x 2l y 2.证：设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a,b]和[c,d]，则 l x =b-a, l y =d-c ，且|x-α|≤l x , |y-β|≤l y.(1)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤⎰⎰--D d y x σβα||||≤l x l y ⎰⎰Dd σ≤l x l y S D .(2)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤⎰⎰-⋅-dc ba dy y dx x ||||βα.令x l a x -=t (0≤t ≤1), 记ρ=xl l(α-a) (0≤ρ≤1). |x-α|=|x-a+a-α|=|l x t-l x ρ|=l x |t-ρ|.⎰-b adx x ||α=l x ⎰-badx t ||ρ=l x2⎰-1||dtt ρ=l x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎰⎰ρρρρ1)()(dt t dt t= l x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)1(21ρρ.∵0≤ρ≤1, ∴ρ(1-ρ)≥0，∴⎰-ba dx x ||α≤21l x 2. 同理可证，⎰-dc dy y ||β≤21l y 2. ∴⎰⎰--Dd y x σβα))((≤41l x 2l y 2.7、设D=[0,1]×[0,1]，f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧+中非有理点为当中有理点为当D y x ，D y x ，q q yx ),(0),(11，其中q x 表示有理数x 化成既约分数后的分母.证明：f(x,y)在D 上的二重积分存在而两个累次积分不存在.证：∀ε>0, 只有有限个点使f(x,y)>2ε, ∴存在分割T ，使得S(T)-s(T)<ε, ∴二重积分存在且等于0.当y 取无理数时，f(x,y)≡0，∴⎰10),(dx y x f =0; 而当y 取有理数时，在x 为无理数处f(x,y)=0, 在x 为有理数处f(x,y)=y x q q 11+, 故函数f 在任何区间上振幅总大于yq 1, 即函数f(x,y)在x ∈[0,1]上关于x 的积分不存在.∴不存在先x 后y 的累次积分. 同理可证先y 后x 的累次积分不存在.8、设D=[0,1]×[0,1]，f(x,y)=⎩⎨⎧=中其他点时为当时且中有理点为当D y x ，q q ，D y x ，y x ),(0),(1，其中q x 表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明：f(x,y)在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.证：在正方形的任何部分内， f 的振幅等于1，∴二重积分不存在. 对固定的y ，若y 为无理数，则f 恒为0，若y 为有理数，则函数仅有有限个异于0的值，因此⎰10),(dx y x f =0, ∴累次积分存在且⎰⎰110),(dx y x f dy =0，同理可证累次积分⎰⎰110),(dy y x f dx =0.。

反常二重积分教学讲义

重积分收敛, 并记
f(x ,y )d lim f(x ,y )d;
D
d D
(1 )
否则称 f (x, y) 在 D 上的反常二重积分发散, 或简
称 f (x, y)d 发散.
D
定理21.16 设在无界区域 D 上 f(x,y)0, 1,2, ,
前页后页返回
n, 为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足
前页后页返回
定理21.17 若在无界区域 D上 f(x,y)0,则反常二重积分(1)收敛的充要条件是：在 D 的任何有界子
区域上 f (x, y) 可积，且积分值有上界.
例1 证明反常二重积分
e d (x2 y2 )
D
收敛,其中 D 为第一象限部分,即 D [0 , ) [0 , ).
算公式,有
所以
x y e d 2p1 2q1 (x2y2)
DR
Rx2p1ex2dx R y2q1ey2dy.
0
0
(p ) (q ) lim 4x 2p 1y2 q 1 e (x 2 y2)d R D R 前页后页返回
4x 2 p 1 y 2 q 1 e (x 2 y 2 )d, D
( i ) d n i n fx 2 y 2 ( x ,y ) n ( n ) ;
(ii)Isupf(x,y)d , n D n
其中 D nE n D ,E n 为 n 所围的有界区域.这时反
常二重积分 (1) 必定收敛, 并且
f(x,y)dI.
D
证设为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成
r 0
0
22 (c o s)2 p 1 (s in)2 q 1 d (p q ). 0

反常二重积分

反常二重积分一、无界区域上的二重积分与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．定义1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域，如图1所示．若二重积分存在，且当曲线连续变动，使区域以任意过程无限扩展而趋于区域时，极限图1都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即==否则，称发散．对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．1．==或==2．D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σCDd y x f ),(C C D D ⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(I ⎰⎰σDd y x f ),(⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx Mc b aM ),(lim⎰⎰+∞→dyy x f dx cb a),(⎰⎰+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy baM cM ),(lim⎰⎰+∞→dxy x f dy bac),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D==或==3．==或==也可在极坐标系下计算==定理一设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且()),(,0y x g y x f ≤≤.那么(1)当⎰⎰Ddxdy y x g ),(收敛时,⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散时,⎰⎰Ddxdy y x g ),(发散.推论设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≤(c 是常数),如果 α>2,⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx Nc M aM N ),(lim ⎰⎰+∞→+∞→dyy x f dx ca),(⎰⎰+∞+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy M aN cN M ),(lim ⎰⎰+∞→+∞→dxy x f dy ac),(⎰⎰+∞+∞},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx M MN NN M ),(lim ⎰⎰--+∞→+∞→dyy x f dx ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy N NMMM N ),(lim ⎰⎰--+∞→+∞→dxy x f dy ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(rdrr r f d RR )sin ,cos (lim020θθθ⎰⎰π+∞→rdrr r f d )sin ,cos (020θθθ⎰⎰+∞π则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α≤2,则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例1 设=，计算解方法一方法二例2 计算二重积分，其中D 是由曲线在第一象限所围成的区域．分析：区域D 是无界区域，且从下列图形可以看出，D 是型区域，化成累次积分时应先对积分．解法一：= 图8.26D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(122dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M yx 0arctan arctan lim +∞→=4)2()(arctan lim 222π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 2020221111)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0arctan arctan yx 4)2(22π=π=⎰⎰-Dydxdy xe 2,42x y =29x y =y x }0,23|),{(+∞≤≤≤≤=y yx y y x D ⎰⎰-Dydxdyxe2dxxe dy y yy 223-∞+⎰⎰=dy e y y y ⎰-+∞-2)9141(21解法二：设，则二、无界函数的反常积分设D 是平面R 2中有界可求面积区域， P 是的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界(P 称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在 D - Δ上可积. 设{}∆∈-+-=),(),,(|)()(sup 2211221221y x y x y y x x d .如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim 0存在, 则称()y x f ,在D 上可积, 这个极限也称为()y x f ,在D 上的反常二重积分. 还是记作:()⎰⎰Ddxdy y x f ,, 即()⎰⎰Ddxdy y x f ,=⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim 0. 当()y x f ,在D 上可积时, 称()⎰⎰Ddxdyy x f ,收敛. 如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim 0不存在, 我们还用()⎰⎰Ddxdy y x f ,这个记号,也称为()y x f ,在D 上的无界函数反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散.与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理 3 设D 是平面R 2中有界区域， P (x 0, y 0)是D 的聚点, ()y x f ,14451445725022=-==+∞--+∞⎰y y e dy ye }0,23|),{(b y y x y y x D b ≤≤≤≤=⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxedy y y y bb 223lim -+∞→⎰⎰=dy e y y y b b ⎰-+∞→-=2)9141(lim 2101445)1(lim 1445lim 725220=--==-+∞→-+∞→⎰b b y b b e dy ye是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界,. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在D - Δ上可积,那么 (1)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≤(c是常数),如果 α<2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≥(c 是常数),如果 α≥2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例3 求⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x .解显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取Δ: )1(,222<≤+ρρy x , 那么⎰⎰⎰⎰≤+≤→≤++=+12212222222)(1lim)(1y x my x mdxdy y x dxdy y x ρρ2,2,ln lim 2)1(21lim 21lim 10201200=≠⎪⎩⎪⎨⎧--==⎰⎰→-→-→m m m dr r d m m ρρρπρρπρπθ 当2<m ,mdxdy y x y x m-=+⎰⎰≤+22)(112222π, 当2≥m , ⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x 发散.三、泊松积分在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分例4 计算．解，令，则计算 1)⎰⎰≥+++144222)(y x dxdy y x yx ; 2) ⎰⎰≤++-1222222y x dxdy y x y x ; 3）4)5)设，问取何值时，该广义积分收敛？22π=-∞+⎰dx e x dxex 2221-∞+∞-π⎰2222122)2(2x dedx ex x -∞+∞--∞+∞-⎰⎰π=π212)2(x dex -∞+∞-⎰π=tx=211122221222)2(2=π⋅π=π=π=π-∞+∞--∞+∞--∞+∞-⎰⎰⎰dt e x dedx et x x。

(整理)反常二重积分.

反常二重积分一、无界区域上的二重积分与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．定义 1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域，如图1所示．若二重积分存在，且当曲线连续变动，使区域以任意过程无限扩展而趋于区域时，极限图1都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即==否则，称发散．对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．1．==或==2．D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σCDd y x f ),(C C D D ⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(I ⎰⎰σDd y x f ),(⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx Mc b aM ),(lim⎰⎰+∞→dyy x f dx cb a),(⎰⎰+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy baM cM ),(lim⎰⎰+∞→dxy x f dy bac),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D==或==3．==或==也可在极坐标系下计算==定理一设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且()),(,0y x g y x f ≤≤.那么(1)当⎰⎰Ddxdy y x g ),(收敛时,⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散时,⎰⎰Ddxdy y x g ),(发散.推论设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≤(c 是常数),如果 α>2,⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx N cM aM N ),(lim⎰⎰+∞→+∞→dyy x f dx ca),(⎰⎰+∞+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy M aN cN M ),(lim⎰⎰+∞→+∞→dxy x f dy ac),(⎰⎰+∞+∞},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx M MN NN M ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dyy x f dx ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy N NMMM N ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dxy x f dy ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(rdrr r f d RR )sin ,cos (lim020θθθ⎰⎰π+∞→rdrr r f d )sin ,cos (020θθθ⎰⎰+∞π则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α≤2,则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例1 设=，计算解方法一方法二例2 计算二重积分，其中D 是由曲线在第一象限所围成的区域．分析：区域D 是无界区域，且从下列图形可以看出，D 是型区域，化成累次积分时应先对积分．解法一：= 图8.26D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(122dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M yx 0arctan arctan lim +∞→=4)2()(arctan lim 222π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 2020221111)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0arctan arctan yx 4)2(22π=π=⎰⎰-Dydxdy xe 2,42x y =29x y =y x }0,23|),{(+∞≤≤≤≤=y yx y y x D ⎰⎰-Dydxdyxe2dxxe dy y yy 223-∞+⎰⎰=dy e y y y ⎰-+∞-2)9141(21解法二：设，则二、无界函数的反常积分设D 是平面R 2中有界可求面积区域， P 是的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界(P 称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在 D - Δ上可积. 设{}∆∈-+-=),(),,(|)()(sup 2211221221y x y x y y x x d .如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim存在, 则称()y x f ,在D 上可积, 这个极限也称为()y x f ,在D 上的反常二重积分. 还是记作:()⎰⎰Ddxdy y x f ,, 即()⎰⎰Ddxdy y x f ,=⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim 0. 当()y x f ,在D 上可积时, 称()⎰⎰Ddxdyy x f ,收敛. 如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim不存在, 我们还用()⎰⎰Ddxdy y x f ,这个记号,也称为()y x f ,在D 上的无界函数反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散.与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理 3 设D 是平面R 2中有界区域， P (x 0, y 0)是D 的聚点, ()y x f ,14451445725022=-==+∞--+∞⎰y y e dy ye }0,23|),{(b y y x y y x D b ≤≤≤≤=⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxe dy y y y b b 223lim-+∞→⎰⎰=dy e y y y b b ⎰-+∞→-=2)9141(lim 2101445)1(lim 1445lim 725220=--==-+∞→-+∞→⎰b b y b b e dy ye是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界,. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在D - Δ上可积,那么 (1)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≤(c是常数),如果 α<2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≥(c 是常数),如果 α≥2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例3 求⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x .解显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取Δ: )1(,222<≤+ρρy x , 那么⎰⎰⎰⎰≤+≤→≤++=+12212222222)(1lim)(1y x my x mdxdy y x dxdy y x ρρ2,2,ln lim 2)1(21lim 21lim 10201200=≠⎪⎩⎪⎨⎧--==⎰⎰→-→-→m m mdr r d m m ρρρπρρπρπθ 当2<m ,mdxdy y x y x m-=+⎰⎰≤+22)(112222π, 当2≥m , ⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x 发散.三、泊松积分在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分例4 计算．解，令，则计算 1) ⎰⎰≥+++144222)(y x dxdy y x yx ;2) ⎰⎰≤++-1222222y x dxdy y x y x ;22π=-∞+⎰dx e x dxex 2221-∞+∞-π⎰2222122)2(2x dedx ex x -∞+∞--∞+∞-⎰⎰π=π212)2(x dex -∞+∞-⎰π=tx=211122221222)2(2=π⋅π=π=π=π-∞+∞--∞+∞--∞+∞-⎰⎰⎰dt e x dedx et x x3）4)5)设，问取何值时，该广义积分收敛？。

反常二重积分的计算_高等数学(下册)_[共2页]

D
9.2.3 反常二重积分的计算
与定积分中的反常积分类似，在二重积分 ∫∫D f (x, y)dσ 中，如果积分区域 D 为无界区域或被积函数 f (x, y) 无界，那么称 ∫∫D f (x, y)dσ 为反常二重积分. 在实际中，偶尔会需要计算反常积分.
反常二重积分的处理方法与反常定积分类似，具体为：
（1）如果积分区域 D 无界，可先在有界闭区域上积分，然后再令有
界闭区域趋于无界区域 D ，那么此时的极限即等于反常二重积分的值. （2）如果被积函数 f (x, y) 无界，可先用包含各个瑕点的小区域将
瑕点与原积分区域 D 隔开，然后在去掉这些小区域的区域上积分，最
后令小区域的直径趋于零，那么此时的极限即等于反常二重积分的值. 下面举例说明.
D
x
内的闭区域；
（4） ∫∫ (x + y)dxdy . x2 + y2≤x+ y
4．选用适当的坐标计算下列各题：
∫∫ （1）
D
x2 y2
dσ
，其中
D
是由
x
=
2,
y
=
x
及
xy
= 1 所围成的闭区域；
∫∫ （2）
1− x2 − y2 dσ ，其中 D 是由圆周 x2 + y2 = 1 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；
D 1+ x2 + y2
∫∫ （3）
x + y dσ ，其中 D 为 x2 + y2 ≤1, x + y ≥1 ；
D x2 + y2
（4）
dσ
，其中 D 为 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a .

二重积分习题答案精编WORD版

二重积分习题答案精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第八章二重积分习题答案练习题8.11.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y =20d πθ⎰⎰=22201()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题8.21.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd yx D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 222222(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习题八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

高数二重积分习题加答案

0 3a2 r 2
2a a2 r 2 d (a2 r 2 )
a0
6
3
4
2 3
6
2 3
a2.
练习题
交换下列二次积分的次序:
1 2y
3 3 y
1. 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx;
1
1 1 x2
2. 0 dx x f ( x, y)dy;
计算下列二次积分：
D
D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围.
1y
先对 y 积分
y =1– x
x
I dx f ( x, y)dy
x
0
1x
y = x –1 –1
先对 x 积分
1y
D1
0
D2
x =1– y
I
D1 D2
y
dy f ( x, y)dx
1x
y
dy f ( x, y)dx
y x2 d D
( x2 y)d ( y x2 )d
D1 D2
D3
D3
D1
D2
1
dx
x2
( x2 y)dy
1
dx
1 ( y x2 )dy 11.
1 0
1
x2
15
例7 证明
b
dx
x
(x
y)n2
f
(
y)dy
1
b
(b
y)n1
f
( y)dy.
aa
n1 a
证
b
dx
x
D ( x)D ( y) D
2
其中a, b为常数， D {( x, y) 0 x, y 1}.

数学分析21.4二重积分的变量变换(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 4二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式定积分的变量变换：设f(x) 在[a,b]上连续，x=φ(t)当t 从α变到β时，严格单调地从a 变到b ，且φ(t)连续可导，则⎰b a dx x f )(=⎰'βαϕϕdt t t f )())((. 当α<β(即φ’(t)>0)时，记X=[a,b], Y=[α,β]，则X=φ(Y), Y=φ-1(X)，则上面的公式可以写成⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.当α>β(即φ’(t)<0)时，又可改写成⎰X dx x f )(=-⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ，即当φ(t)严格单调且连续可微时，有⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(. 证：当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时， (后面章节证明只具有一阶连续导数的情况)∵T 为一对一变换, 且J(u,v)≠0, ∴T 把△的内点变成D 的内点， △的按段光滑边界曲线L △变换到D 时，其边界曲线L D 也按段光滑. 设曲线L △的参数方程为u=u(t), v=v(t) (α≤t ≤β), 由L △光滑知， u ’(t), v ’(t)在[α,β]上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上连续. ∵L D =T(L △), ∴x=x(t)=x(u(t),v(t)), y=y(t)=y(u(t),v(t)) (α≤t ≤β). 若规定t 从α变到β时，对应于L D 的正向，则根据格林公式，取P(x,y)=0, Q(x,y)=x, 有 μ(D)=⎰DL xdy =⎰'βαdt t y t x )()( =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 又在uv 平面上，⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u y v u x ),(=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂±βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 其中t 从α变到β时，对应于L △的方向决定了上式的符号性质. ∴μ(D)=⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂±L dv v y du uy v u x ),(=⎰∆∂∂+∂∂±L dv v y v u x du u y v u x ),(),(. 令P(u,v)=x(u,v)u y ∂∂, Q(u,v)=x(u,v)vy∂∂, 在uv 平面上应用格林公式，得 μ(D)=⎰⎰∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂±dudv v P u Q , 又y(u,v)具有二阶连续偏导数，即有 u v y v u y ∂∂∂=∂∂∂22，∴v P u Q ∂∂-∂∂=J(u,v). ∴μ(D)=⎰⎰∆±dudv v u J ),(. 又μ(D)非负，而J(u,v)在△上不为零且连续，即其函数值在△上不变号， ∴μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(.定理21.13：设f(x,y)在有界闭域D 上可积，变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则 ⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.证：用曲线网把△分成n 个小区域△i ,在变换T 作用下，区域D 也相应地被分成n 个小区域D i . 记△i 及D i 的面积为μ(△i )及μ(D i ) (i=1,2,…,n).由引理及二重积分中值定理，有μ(D i )=⎰⎰∆idudv v u J ),(=|J(u i ,v i )|μ(△i ),其中(u i ,v i )∈△i (i=1,2,…,n). 令ξi =x(u i ,v i ), ηi =y(u i ,v i ), 则 (ξi ,ηi )∈D i (i=1,2,…,n). 作二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的积分和，则得△上f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|的积分和，即σ=)(),(1i ni i i D f μηξ∑==)(),()),(),,((1i ni i i i i i i v u J v u y v u x f ∆∑=μ. 由变换T 连续知，当区域△的分割T △：{△1,△2,…,△n }的细度∆T →0时，区域D 相应的分割T D ：{D 1,D 2,…,D n }的细度D T →0. ∴⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.例1：求⎰⎰+-Dyx y x dxdy e，其中D 是由x=0, y=0, x+y=1所围区域.解：令u=x-y, v=x+y, 则得变换T ：x=21(u+v), y=21(v-u), 且J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂=v y uyv x ux∂∂∂∂∂∂∂∂=21212121- =21>0. 在变换T 的作用下，得区域D={(x,y)|x ≥0, y ≥0, x+y ≤1}的原象△={(u,v)|-v ≤u ≤v, 0≤v ≤1}, ∴⎰⎰+-Dyx y x dxdy e=⎰⎰∆⋅dudv e vu21=⎰⎰-v v v udu e dv 1021=⎰--101)(21vdv e e =)(411--e e .例2：求抛物线y 2=mx, y 2=nx 和直线y=ax, y=bx 所围区域D 的面积μ(D) (0<m<n, 0<a<b). 解：D={(x,y)|2b m ≤x ≤2a n ,ax ≤y ≤bx,nx ≤y 2≤mx}.作变换x=2v u , y=v u ,把D 对应到uv 平面上的△=[m,n]×[a,b]且J(u,v)=232121vu vv uv--=4v u >0. ∴μ(D)=⎰⎰Ddxdy =⎰⎰∆dudv v u4=⎰⎰n m b a du v u dv 4=⎰-b a dv v m n 42221 =3333226))((b a a b m n --.二、用极坐标计算二重积分定理21.14：设f(x,y)满足定理21.13的条件，且有极坐标变换 T ：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π, 则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos r r -=r>0.xy 平面上的有界闭域D 与r θ平面上区域△对应，则成立⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.证：若D 为圆域{(x,y)|x 2+y 2≤R 2}, 则△为r θ平面上的区域[0,R]×[0,2π]. 设D ε为在圆环{(x,y)|0<ε2≤x 2+y 2≤R 2}中除去圆心角为ε的扇形所得区域BB ’A ’A(如图1)，则在变换T 下，D ε对应r θ平面上的矩形区域 △ε=[ε,R] ×[0,2π-ε](如图2). T 在D ε与△ε之间为一一变换，且J(r,θ)>0. 由定理21.13，有⎰⎰εD dxdy y x f ),(=⎰⎰∆εθθθrdrd r r f )sin ,cos (.∵f(x,y)在有界闭域D 上有界，令ε→0即得⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.若D 是一般的有界闭区域，则取足够大的R>0，使D 包含在圆域D R ={(x,y)|x 2+y 2≤R 2}内, 并在D R 上定义函数： F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),( ,F 在D R 内至多在有限条按段光滑曲线上间断， ∴⎰⎰RD dxdy y x F ),(=⎰⎰∆Rrdrd r r F θθθ)sin ,cos (, 其中△R 为r θ平面上的矩形区域[0,R] ×[0,2π]. 由F 的定义即得：⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.二重积分在极坐标下化为累次积分.1、若原点O ∉D ，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交于两点(如图1)，则△必可表示为r 1(θ)≤r ≤r 2(θ), α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(21)sin ,cos (θθβαθθθr r rdr r r f d .同理，若xy 平面上的圆r=常数与D 的边界至多交于两点(如图2)，则△必可表示为θ1(r)≤θ≤θ2(r),r 1≤r ≤r 2, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(2121)sin ,cos (r r r r d r r f rdr θθθθθ.(2)若原点为D 的内点(如图3)，D 的边界的极坐标方程为r=r(θ)，则 △必可表示为0≤r ≤r(θ),0≤θ≤2π, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(020)sin ,cos (θπθθθr rdr r r f d .(3)若原点O 在D 的边界上(如图4)，则 △可表示为0≤r ≤r(θ),α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(0)sin ,cos (θβαθθθr rdr r r f d .例3：计算I=⎰⎰--Dy x d 221σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤1.解：∵原点是D 的内点， ∴⎰⎰--Dy x d 221σ=⎰⎰--1222220sin cos 1dr r r rd θθθπ=⎰πθ20d =2π.例4：求球体x 2+y 2+z 2≤R 2被圆柱面x 2+y 2=Rx 所割下部分的体积(称为维维安尼体)解：由对称性，求出第一卦限内的部分体积，就能得到所求立体体积. 第一卦限内底为D={(x,y)|y ≥0, x 2+y 2≤Rx}, 曲顶方程：z=222y x R --. ∴V=4⎰⎰--Dd y x R σ222=4⎰⎰-θπθcos 02220R drr R r d=⎰-2033)sin 1(34πθθd R =)322(343-πR .例5：计算I=⎰⎰+-Dy x d eσ)(22，其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：I=⎰⎰+-Dy x d e σ)(22=⎰⎰-Rr dr re d 0202πθ=⎰--πθ20)1(212d e R =)1(2R e --π.注：与极坐标类似的，可作以下广义极坐标变换： T ：⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π，则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos br b ar a -=abr>0.例6：求椭球体222222cz b y a x ++≤1的体积.解：第一卦限部分是以z=c 22221by a x --为曲顶，D={(x,y)|0≤y ≤b 221ax -, 0≤x ≤a}为底的曲顶柱体，由对称性得：V=8c ⎰⎰--Dd by a x σ22221=8c ⎰⎰-102201abrdr r d πθ=38abc ⎰20πθd =34πabc.注：当a=b=c=R 时，得到球体的体积公式：34πR 3.习题1、对⎰⎰Dd y x f σ),(进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域； (2)D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}； (3)D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}.解：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰b adr r r rf d )sin ,cos (0θθθπ=⎰⎰πθθθ0)sin ,cos (d r r rf dr b a.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰θπθθθsin 20)sin ,cos (adr r r rf d =⎰⎰2arcsin 1)sin ,cos (πθθθrd r r rf dr .(3)当D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-θπθθθsec 004)cos ,cos (dr r r rf d +⎰⎰+θθπθθθsin cos 1020)cos ,cos (drr r rf d=⎰⎰-24220)sin ,cos (ππθθθd r r rf dr +⎰⎰--rd r r rf dr 21arccos44122)sin ,cos (ππθθθ+⎰⎰+221arccos4122)sin ,cos (ππθθθrd r r rf dr +⎰⎰--r d r r rf dr 1arccos421)sin ,cos (πθθθ.2、用极坐标计算下列二重积分：(1)⎰⎰+Dd y x σ22sin , 其中D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}；(3)⎰⎰Dd xy σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤a 2；(4)⎰⎰+'Dd y x f σ)(22, 其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：(1)当D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}时，⎰⎰+Dd y x σ22sin =⎰⎰πππθ220sin rdr r d =⎰-πθπ203d =-6π2.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}时，应用极坐标变换后积分区域为： D ’={(r,θ)|-45π≤θ≤-4π, r ≤cos θ+sin θ}，即有 ⎰⎰+Dd y x σ)(=⎰⎰+--+θθππθθθsin cos 02445)sin (cos dr r d =⎰--+4454)sin (cos 31ππθθθd =2π.(3)当D 为圆域x 2+y 2≤a 2时，根据D 的对称性，有⎰⎰Dd xy σ=4⎰⎰adr r d 032sin cos θθθπ=θθπd a ⎰2042sin 2=24a .(4)当D 为圆域x 2+y 2≤R 2时，有⎰⎰+'Dd y x f σ)(22=⎰⎰'πθ2020)(d r f r dr R =π⎰'Rdr r f 022)(=π[f(R 2)-f(0)].3、在下列积分中引入新变量u,v 后，试将它化为累次积分. (1)⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(, 若u=x+y, v=x-y ；(2)⎰⎰D d y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x +y ≤a }, 若x=ucos 4v, y=usin 4v ；(3)⎰⎰Dd y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x+y ≤a, x ≥0, y ≥0}, 若x+y=u, y=uv.解：(1)若u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|1≤u ≤2, -u ≤v ≤4-u}, 如图：∴⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(=⎰⎰---+uu dv vu v u f du 421)2,2(21=⎢⎣⎡-+⎰⎰---212)2,2(21v du v u v u f dv+⎰⎰-+-2121)2,2(du v u v u f dv +⎥⎦⎤-+⎰⎰-v du v u v u f dv 4132)2,2(. (2)若x=ucos 4v, y=usin 4v, 则u=(x +y )2, v=arctan 41⎪⎭⎫⎝⎛x y ,∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤2π},又J(u,v)=vv u v v v u v cos sin 4sin sin cos 4cos 3434-=4usin 3vcos 3v>0，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰2044330)sin ,cos (cos sin 4πdvv u v u vf v u du a=⎰⎰adu v u v u vf v u dv 0443320)sin ,cos (cos sin 4π. (3)若x+y=u, y=uv, 即x=u(1-v)，则u=x+y, v=yx y +, ∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤1}, 又J(u,v)=uvu v --1=u ，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-100),(dv uv uv u uf du a=⎰⎰-adu uv uv u uf dv 010),(.4、试作适当变换，计算下列积分.(1)⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(, D={(x,y)|0≤x+y ≤π, 0≤x-y ≤π}；(2)⎰⎰+Dyx y d eσ, 其中D={(x,y)|x+y ≤1, x ≥0, y ≥0}.解：(1)令u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤π, 0≤v ≤π},∴⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(=⎰⎰ππ00sin 21vdv u du =⎰π0udu =22π.(2)令u=x+y, v=y ，则x=u-v, y=v, J(u,v)=111-= 1>0.又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤1, 0≤v ≤u}, ∴⎰⎰+Dyx yd eσ=⎰⎰uuv dv e du 010=⎰-1)1(du e u =21-e .5、求由下列曲面所围立体V 的体积：(1)V 是由z=x 2+y 2和z=x+y 所围的立体；(2)V 是由曲面z 2=42x +92y 和2z=42x +92y 所围的立体.解：(1)由z=x 2+y 2和z=x+y 得x 2+y 2=x+y ，∴积分区域D ：221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +221⎪⎭⎫⎝⎛-y ≤21.作变换T ：x=21+rcos θ, y=21+rsin θ，得V=()[]⎰⎰+-+Dd y x y x σ22)(=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-22022021rdr r d πθ=⎰πθ20161d =8π. (2)由z 2=2z, 得z 1=0, z 2=2. 所得立体V 在xoy 平面上的投影为42x +92y ≤4，立体顶面为z=9422y x +, 底面为z=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+942122y x , 作变换x=2rcos θ, y=3rsin θ，则J(r,θ)=θθθθcos 3sin 3sin 2cos 2r r -=6r>0.∴V=⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+D d y x y x σ9421942222=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2022026rdr r r d πθ=4⎰πθ20d =8π.6、求由下列曲线所围的平面图形面积： (1)x+y=a, x+y=b, y=αx, y=βx (0<a<b, 0<α<β)；(2)22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x =x 2+y 2； (3)(x 2+y 2)2=2a 2(x 2-y 2) (x 2+y 2≥a 2). 解：(1)令u=x+y, v=xy, 则x=v u +1, y=vuv +1, 变换后的区域D ’={(u,v)|a ≤u ≤b, α≤v ≤β},又J(r,θ)=22)1(1)1(11v u vv v uv+++-+=2)1(v u +>0. ∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰Dd σ=⎰⎰+ba du v u dv 2)1(βα=⎰+-βαdv v a b 222)1(12=)1)(1(2))((22βααβ++--a b .(2)令x=arcos θ, y=brcos θ，则方程变换为r 4=a 2r 2cos 2θ+b 2r 2sin 2θ, 即 r=θθ2222sin cos b a +，又J=abr>0，∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰+θθπθ2222sin cos 020b a rdr d ab =⎰+πθθθ202222)sin cos (2d b a ab =2)(22πb a ab +. (3)x=rcos θ, y=rcos θ，则方程变换为r 4=2a 2r 2cos2θ, 即r=θ2cos 2a . 当cos2θ=21, 即θ=±6π时，r=a. 由图形的对称性可知 S D =4⎰⎰θπθ2cos 260a a rdr d =2a2⎰-60)12cos 2(πθθd =(3-3π)a 2.7、设f(x,y)为连续函数，且f(x,y)=f(y,x). 证明：⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.证：作变换：x=1-u, y=1-v, 则J(u,v)=101--=1>0, 又f(x,y)=f(y,x)，∴⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--vdu v u f dv 010)1,1(=⎰⎰--vdu u v f dv 010)1,1(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.8、试作适当变换，把下列二重积分化为单重积分： (1)⎰⎰+D d y x f σ)(22, D 为圆域x 2+y 2≤1；(2)⎰⎰+Dd y x f σ)(22, D={(x,y)||y|≤|x|, |x|≤1}；(3)⎰⎰+Dd y x f σ)(, D={(x,y)||x|+|y|≤1}；(4)⎰⎰Dd xy f σ)(, 其中D={(x,y)|x ≤y ≤4x, 1≤xy ≤2}.解：(1)作极坐标变换得：⎰⎰+D d y x f σ)(22=⎰⎰1020)(rdr r f d πθ=2π⎰10)(rdr r f .(2)如图，根据区域D 和被积函数的对称性知，积分值是第一象限部分D 1上积分的4倍. D 1={(x,y)|y ≤x ≤1, y ≥0}，作极坐标变换得：⎰⎰+1)(22D d y x f σ=⎰⎰4010)(πθrd r f dr +⎰⎰41arccos21)(πθrrd r f dr=⎰1)(4rdr r f π+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(1arccos 4rdr r f r π=⎰20)(4rdr r f π-⎰21)(1arccos dr r f r r . ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(22=π⎰20)(rdr r f -4⎰21)(1arccos dr r f rr .(3)令u=x+y, v=x-y, 则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 原积分区域变换为：D ’={(u,v)|-1≤u ≤1, -1≤v ≤1}. ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(=⎰⎰--1111)(21dv u f du =⎰-11)(du u f . (4)令u=xy, v=x y, 则x=v u , y=uv , J(u,v)=vuuv v uv vu 212121121-=v 21>0.原积分区域变换为：D ’={(u,v)|1≤u ≤2, 1≤v ≤4}. ∴⎰⎰Dd xy f σ)(=⎰⎰41211)(21dv vu f du =ln2⎰21)(du u f .。

二重积分总结及习题

曲面S的面积为 A
Dxy

z z 1 dxdy; x y
2
2
(3) 重心
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点
( x , y ) 处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连
续，平面薄片的重心
i 1
f ( i , i ) i ，
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积分，记为 f ( x , y )d ，即
D n
lim f ( i , i ) i . f ( x , y )d 0

f ( r cos , r sin ) r dr .
2. 改变下列二次积分的积分次序：
(1)
1 dx 1
2
x2
f ( x , y ) dy;
( 2)
0 dy
1
1 y 2 1 y
2
f ( x , y ) dx.
y x2
解 (1) 积分区域为 1 x 2, D: 2 1 y x .
f ( x , y )d
D
1 1 x 2
1 dx 0
f ( x , y ) dy.
3. 计算
D
x 2 d . 其中 D 由 y x , y 1 , x 2 围成． x y2
4. 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
1
y
y 2x x2
在极坐标系中，D 可表示为
, 0 r 2 cos .

二重积分习题及答案

在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域

数学分析21.8反常二重积分(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 8 反常二重积分一、无界区域上的二重积分：定义1：设f(x,y)为定义在无界区域D 上的二元函数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ, f(x,y)在曲线γ所围的有界区域E γ与D 的交集 D ∩E γ=D γ上恒可积. 令d γ=min{22y x +|(x,y)∈γ}. 若极限σγγd y x f Dd ⎰⎰∞→),(lim存在且有限，且与γ的取法无关，则称f(x,y)在D 上的反常二重积分收敛，并记σd y x f D⎰⎰),(=σγγd y x f Dd ⎰⎰∞→),(lim，否则称f(x,y)在D 上的反常二重积分发散，或简称σd y x f D⎰⎰),(发散.定理21.17：设在无界区域D 上f(x,y)≥0, γ1, γ2,…, γn ,…为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足：(1)d n =inf{22y x +|(x,y)∈γn }→+∞, (n →∞)；(2)I=σd y x f nD n⎰⎰),(sup <+∞, 其中D n 为γn 所围的有界区域E n 与D 的交集，则反常二重积分σd y x f D⎰⎰),(收敛，且有σd y x f D⎰⎰),(=I.证：设γ’为任何包围原点的光滑封闭曲线，这曲线所围的区域记为E ’, 并记D ’=E ’∩D. ∵∞→n lim d n =+∞, ∴存在n, 使得D ’⊂D n ⊂D. 由f(x,y)≥0,有σd y x f D ⎰⎰'),(≤σd y x f nD ⎰⎰),(≤I. 又I=σd y x f nD n⎰⎰),(sup , ∀ε>0, ∃n 0, 使得σd y x f nD ⎰⎰0),(>I-ε. 对充分大的d ’, 区域D ’又可包含D 0n, 使得σd y x f D ⎰⎰'),(>I-ε. 由I-ε<σd y x f D ⎰⎰'),(≤I, 知f(x,y)在D 上的反常二重积分存在，且σd y x f D⎰⎰),(=I.定理21.18：若在无界区域D 上f(x,y)≥0, 则反常二重积分σd y x f D⎰⎰),(收敛的充要条件是：在D 的任何有界子区域上f(x,y)可积，且积分值有上界.例1：证明反常二重积分σd eDy x ⎰⎰+-)(22收敛，其中D 为第一象限部分，即D=[0,+∞)×[0,+∞).证：设D R 是以原点为圆心, 半径为R 的圆与D 的交集，即该圆第一象限部分. ∵)(22y x e +->0，∴二重积分σd e Dy x ⎰⎰+-)(22关于R 递增.又σd eRD y x ⎰⎰+-)(22=dr r e d Rr ⎰⎰-0202πθ=)1(42R e --π,∴σd e RD y x R ⎰⎰+-+∞→)(22lim =)1(4lim 2R R e -+∞→-π=4π. 即对D 的任何有界子区域D ’, 总存在足够大的R ，使得D ’⊂D R , ∴σd e D y x ⎰⎰'+-)(22≤σd e RD y x ⎰⎰+-)(22≤4π.由定理21.18知，反常二重积分σd e Dy x ⎰⎰+-)(22收敛，又由定理21.17有，σd e Dy x ⎰⎰+-)(22=4π.注：由例1结论，可推出反常积分⎰+∞-02dx e x 的值(常用于概率论). 考察S a =[0,a]×[0,a]上的积分σd eaS y x ⎰⎰+-)(22=⎰⎰--ay ax dy edx e22=202⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-ax dx e .由D a ⊂S a ⊂aD2(如图)知σd eaD y x ⎰⎰+-)(22≤σd eaS y x ⎰⎰+-)(22=202⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-ax dx e ≤σd e aDy x ⎰⎰+-222)(. 令a →+∞, 则得202lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-+∞→a x a dx e =σd e D y x ⎰⎰+-)(22=4π, ∴⎰+∞-02dx e x =2π.例2：证明：若p>0, q>0, 则B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.证：令x=u 2, 则dx=2udu, Г(p)=⎰+∞--01dx e x x p =2⎰+∞--0122du e u u p , 从而 Г(p)Г(q)=4⎰⎰+∞--+∞--⋅01201222dy eydx exy q x p =4⎰⎰----+∞→⋅Ry q Rx p R dy e y dx ex1201222lim.令D R =[0,R]×[0,R], 由二重积分化为累次积分计算公式有σd eyxy x D q p R)(121222+---⎰⎰=⎰⎰----⋅Ry q Rx p dy e y dx ex1201222.∴Г(p)Г(q)= 4σd e y x y x D q p R R)(121222lim +---+∞→⎰⎰=4σd e y x y x Dq p )(121222+---⎰⎰, 其中D 为平面上第一象限部分. 记D r ={(x,y)|x 2+y 2≤r 2, x ≥0, y ≥0}. 于是有Г(p)Г(q)=4σd e y x y x Dq p )(121222+---⎰⎰=4σd e y x y x D q p r r)(121222lim +---+∞→⎰⎰, 应用极坐标变换，有Г(p)Г(q)=4⎰⎰----++∞→rr q p q p r rdr e r d 012122)(2202sin cos lim θθθπ=4⎰⎰--+--+∞→rr q p q p r dr e r d 01)(22012122sin cos lim πθθθ=2⎰+Γ⋅--201212)(sin cos πθθθq p d q p =B(p,q)Г(p+q).∴B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.定理21.19：函数f(x,y)在无界区域D 上的反常二重积分收敛的充要条件是|f(x,y)|在D 上的反常二重积分收敛.证：[只证充分性]设σd y x f D⎰⎰|),(|收敛，其值为A. 作辅助函数f +(x,y)=2),(|),(|y x f y x f +, f -(x,y)=2),(|),(|y x f y x f -, 则0≤f +(x,y)≤|f(x,y)|, 0≤f -(x,y)≤|f(x,y)|.∴在D 的任何有界子区域σ上, 恒有σd y x f D⎰⎰+),(≤σd y x f D⎰⎰|),(|=A,σd y x f D⎰⎰-),(≤σd y x f D⎰⎰|),(|=A,即f +(x,y)与f -(x,y)在D 上的反常二重积分收敛. 又f(x,y)=f +(x,y)-f -(x,y), ∴f(x,y)在D 上的反常二重积分也收敛.定理21.20：(柯西判别法)设f(x,y)在无界区域D 的任何有界子区域上二重积分存在, r 为D 内的点(x,y)到原点的距离r=22y x +. (1)若当r 足够大时, |f(x,y)|≤p rc, 其中常数c>0, 则当p>2时，反常二重积分σd y x f D⎰⎰),(收敛；(2)若f(x,y)在D 内满足|f(x,y)|≥p rc,其中D 是含有顶点为原点的无限扇形区域, 则当p ≤2时，反常二重积分σd y x f D⎰⎰),(发散.二、无界函数的二重积分定义2：设P 为有界区域D 的一个聚点，f(x,y)在D 上除点P 外皆有定义，且在P 的任何空心邻域内无界，△为D 中任何含有P 的小区域，f(x,y)在D-△上可积. 又设d 表示△的直径，即 d=sup{221221)()(y y x x -+-|(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈△}. 若极限⎰⎰∆-→D d d y x f σ),(lim存在且有限，且与△的取法无关，则称f(x,y)在D 上的反常二重积分收敛. 记作⎰⎰∆-D d y x f σ),(=⎰⎰∆-→D d d y x f σ),(lim 0,否则称f(x,y)在D 上的反常二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(发散.定理21.21：(柯西判别法)设f(x,y)在有界区域D 上除点P(x 0,y 0)外处处有定义, 点P(x 0,y 0)为瑕点，则： (1)若在点P 附近有|f(x,y)|≤a rc, 其中c 为常数, r=2020)()(y y x x -+-, 则当a<2时，反常二重积分σd y x f D⎰⎰),(收敛； (2)若在点P 附近有|f(x,y)|≥a rc, 且D 含有以点P 为顶点的角形区域, 则当a ≥2时，反常二重积分σd y x f D⎰⎰),(收敛.习题1、试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性： (1)⎰⎰≥++12222)(y x m y x d σ；(2)⎰⎰++D q p y x d )||1)(||1(σ, D 为全平面； (3)σϕd y x y x y p⎰⎰≤≤++1022)1(),(, (0<m ≤|φ(x,y)|≤M).解：(1)令x=rcos θ, y=rsin θ, 则⎰⎰≥++12222)(y x m y x d σ=⎰⎰+∞12201rdr r d m πθ=⎰⎰+-+∞→d m d dr r d 11220lim πθ=-2π⎰+-+∞→d m d dr r 112lim . ∵⎰+-+∞→dm d dr r 112lim 当2m-1>1时, 收敛；当2m-1≤1时, 发散； ∴⎰⎰≥++12222)(y x m y x d σ当m>1时, 收敛；当m ≤1时, 发散. (2)由区域的对称性和被积函数关于x,y 的偶性得原积分=4⎰⎰+∞+∞++001111dy ydx x q p . ∵⎰+∞+011dx x p当p>1时, 收敛；当p ≤1时, 发散. ∴原积分当p>1, q>1时收敛，其它情况发散.(3)∵0<p x m )2(2+≤py x y x )1(),(22++ϕ≤p x M)1(2+,∴当p>21时, 由σd x My p ⎰⎰≤≤+102)1(收敛，得原积分收敛；当p<21时, 由σd x my p ⎰⎰≤≤+102)2(发散，得原积分发散.2、计算积分⎰⎰+∞∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x )cos(22)(22. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则⎰⎰+∞∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x)cos(22)(22=⎰⎰+∞-0220cos 2dr r re d r πθ=π⎰-+∞→du d udu e 0cos lim=2π.3、判别下列积分的收敛性： (1)⎰⎰≤++12222)(y x m y x d σ；(2)⎰⎰≤+--12222)1(y x m y x d σ. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则(1)⎰⎰≤++12222)(y x m y x d σ=⎰⎰102201rdr r d m πθ=2π⎰+-→1120lim d m d dr r . ∵⎰+-→1120lim dm d dr r 当2m-1<1时, 收敛；当2m-1≥1时, 发散； ∴⎰⎰≤++12222)(y x m y x d σ当m<1时, 收敛；当m ≥1时, 发散. (2)⎰⎰≤+--12222)1(y x m y x d σ =⎰⎰-10220)1(rdr r d d m σθπ=π⎰-→-d md du u 01)1(lim . ∴当m<1时, 由⎰-→-dmd du u 01)1(lim 收敛知，原积分收敛；当m ≥1时, 由⎰-→-dm d du u 01)1(lim 发散知，原积分发散.。

21_8 反常二重积分

2 2
为此, 考察因为
e
Sa
( x y )
2
2
d .
e
Sa
( x y )
d
a y
2
y
D
2a

a
e
0
x
2
dx e
0
2
dy
O
Da
Sa
a

a
e
0
x
dx
,
2
2a
x
图 21 43
而 Da Sa D
2a
(图 21-43), 所以
前页后页返回
e
定理21.19 (柯西判别法) 设
f ( x , y ) 在无界区域 D
的
任何有界子区域上可积,D 中的点 ( x , y ) 到原点的距
前页后页返回
离为
r x y .
2 2
(i) 若当 r 足够大时, | f ( x , y ) |
c r
p
( c 为正常数 ),
则当
p 2
e
dr

2 2 (co s )
0
2 p 1
(sin )
d ( p q ).
再由第十九章§3 的 (10) 式就得到
( p ) ( q ) ( p , q ) ( p q ).
前页后页返回
定理21.18 设 f ( x , y ) 在无界区域 D 的任何有界子区
y
2 q 1
e
( x y )
2
2
d
前页后页返回
4 x
D

二重积分的反常积分

目录1引言 .................................................................................................................... 1 2无界区域上的二重积分 ............................................................................. 1 2.1定义 .................................................... 1 2.2(,)Df x y d σ⎰⎰收敛的判定 (2)2.3B 函数与Γ函数的联系 ...................................... 4 3无界函数的二重积分 .................................................................................. 9 3.1定义 ..................................................... 9 3.2判定定理................................................ 9 3.3无界函数计算 ............................................ 10 参考文献 ........................................................................................................... 11 致谢 .. (12)二重积分的反常积分数学系本0601班魏慧指导教师：梁素萍摘要：本文探究了二重积分中的两种反常积分，即无界区域上的二重积分和无界函数的二重积分，分别从定义及其判别法两个方面研究了关于二重反常积分的敛散性，同时还计算了泊松(Poisson)积分，并用其证明了B函数与Г函数的关系式，鲜明地反映反常二重积分在证明某些题目时的优越性。

二重积分练习题答案

11
8、 ∫∫ x − y dxdy ， D : x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 y
D
1
解：原式 = ∫∫ ( y − x)dxdy + ∫∫ ( x − y )dxdy
D1 D2
D1
D2
0
1
x
= ∫ dx
0
1
∫x ( y − x)dy + ∫ dx
1 0
1
∫0 ( x − y) 2 y
f ( x, y )dx
D
.
( -1,-1)
⎞ ⎛ 1 ⎜ - ,-1⎟ ⎝ 2 ⎠
1
高等数学——Copyright©2012 by Samw. All rights reserved.
3、 D : x 2 + y 2 ≥ ax ， 2 + y 2 ≤ 2 ax ( a > 0) 将 ∫∫ f ( x, y ) dxdy 设 x
二重积分练习题
一、填空
x2 1、设 D : x = 2, y = x, xy = 1, ∫∫ 3 dxdy = y D
2 x x 2 x2 ∫∫ y3 dxdy = ∫1 dx ∫1x y 3 dy D
13 5
.
(2, 2)
(1,1)
1 (2, ) 2
2、设 D : y = x, y = 2 x, y = −1，将 ∫∫ f ( x, y )dxdy 化为累次积分 =
D1 D2
0
1
x
= ∫ dθ
4 0
π
∫
sec θ
0
f (r cosθ , r sin θ )rdr f (r cosθ , r sin θ )rdr

数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 1二重积分的概念一、平面图形的面积引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集，即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点；(2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点.将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来，记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)；将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来，记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知，对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界，记Tp I sup ={s p (T)} ,Tp I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I .p I 称为内面积，p I 称为外面积.定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积.定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε.证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)<I p +2ε, 记T 为由T 1与T 2合并所成的直线网，则 s p (T 1)≤s p (T), S p (T 2)≥S p (T)，∴s p (T)>I p -2ε, S p (T)<I p +2ε, 从而S p (T)-s p (T)<ε. [充分性]设对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知，p I =p I ，∴平面图形P 可求面积.推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0.证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε，由推论知，P 的边界K 的面积为0.定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴∀ε>0, ∃δ>0, 当把区间[a,b]分成n 个小区间[x i-1,x i ] (i=1,2,…,n, x 0=a,x n =b)并满足 max{△x i =x i -x i-1 |i=1,2,…,n }<δ时，可使f(x)在每个小区间[x i-1,x i ]上的振幅都有ωi <ab -ε.把曲线K 按自变量x=x 0,x 1,…,x n 分成n 个小段，则每一个小段都能被以△x i 为宽, ωi 为高的小矩形所覆盖，又这n 个小矩形面积的总和为i ni i x ∆∑=1ω<ab -ε∑=∆ni ix1<ε，由定理21.1的推论即得曲线K 的面积为零.推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t ∈[α,β]所表示的光滑曲线K 的面积为零.证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t 0∈[α,β]，不妨设φ’(t 0)≠0，则存在t ’的某邻域U(t 0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t 0<t 1<…<t n =β，在每一小区间段上，y=ψ(φ-1(x))或x=ψ(φ-1(y))，由定理21.3知，每小段的曲线面积为0，∴整条曲线面积为零.推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的.注：并非平面中所有的点集都是可求面积的.如D={(x,y)|x,y ∈Q ∩[0,1]}. 易知0=D I ≤D I =1, 所以D 是不可求面积的.二、二重积分的定义及其存在性引例：求曲顶柱体的体积(如图1).设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D 为底的柱体体积V.用一组平行于坐标轴的直线网T 把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D 上连续，∴当每个σi 都很小时， f(x,y)在σi 上各点的函数值近似相等；可在σi 上任取一点(ξi ,ηi )，用以f(ξi ,ηi )为高， σi 为底的小平顶柱体的体积f(ξi ,ηi )△σi 作为V i 的体积△V i ，即△V i ≈f(ξi ,ηi )△σi .把这些小平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积V 的近似值： V=∑=∆n i i V 1≈i ni i i f σηξ∆∑=1),(.当直线网T 的网眼越来越细密，即分割T 的细度T =di ni ≤≤1max →0(di 为σi 的直径)时，i ni i i f σηξ∆∑=1),(→V.概念：设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D 上的函数. 用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 以△σi 表示小区域△σi 的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以d i 表示小区域△σi 的直径，称T =di ni ≤≤1max 为分割T 的细度.在每个σi 上任取一点(ξi ,ηi )，作和式ini iif σηξ∆∑=1),(，称为函数f(x,y)在D 上属于分割T 的一个积分和.定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有J f ini ii-∆∑=σηξ1),(<ε，则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作：J=⎰⎰Dd y x f σ),(.注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是f 在D 上有界.2、设函数f(x,y)在D 上有界，T 为D 的一个分割，把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 令M i =iy x σ∈),(sup f(x,y), m i =iy x σ∈),(inf f(x,y), i=1,2,…,n.作和式S(T)=i n i i M σ∆∑=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1. 它们分别称为函数f(x,y)关于分割T 的上和与下和.定理21.4：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：0lim →T S(T)=0lim →T s(T).定理21.5：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.定理21.6：有界闭区域D 上的连续函数必可积.定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D 上有界，且不连续点集E 是零面积集，则f(x,y)在D 上可积.证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E ，而这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K ，则 D\K 是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K ∩D 的面积为△k ，则△k <ε. 由于f(x,y)在D\K 上连续，由定理21.6和定理21.5，存在D\K 上的分割T 1={σ1, σ2,…, σn }, 使得S(T 1)-s(T 1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn , K ∩D}，则T 是D 的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T 1)-s(T 1)+ωK △k <ε+ωε, 其中ωK 是f(x,y)在K ∩D 上的振幅，ω的是f(x,y)在D 上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D 上可积.三、二重积分的性质1、若f(x,y)在区域D 上可积，k 为常数，则kf(x,y)在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x kf σ),(=k ⎰⎰Dd y x f σ),(.2、若f(x,y), g(x,y)在D 上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D 上也可积，且[]⎰⎰±Dd y x g d y x f σσ),(),(=⎰⎰Dd y x f σ),(±⎰⎰Dd y x g σ),(.3、若f(x,y)在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则⎰⎰21),(D D d y x f σ=⎰⎰1),(D d y x f σ+⎰⎰2),(D d y x f σ.4、若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x g σ),(.5、若f(x,y)在D 上可积，则函数|f(x,y)|在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x f σ),(.6、若f(x,y)在D 上都可积，且m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D ，则 mS D ≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤MS D , 其中S D 是积分区域D 的面积.7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x f σ),(=f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.注：中值定理的几何意义：以D 为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D 中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η).习题1、把重积分⎰⎰Dxydxd σ作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=n i, y=nj , (i,j=1,2,…,n-1)分割D 为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点.解：⎰⎰Dxydxd σ=2111lim n n j n i nj ni n ⋅⋅∑∑==∞→=21121lim n n j n nj n ⋅⋅+∑=∞→=224)1(lim n n n +∞→=41.2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则f(x,y)在D 上有界. 证：若f 在D 上可积，但在D 上无界，则对D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, f 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时，任取p i ∈σi ，令G=∑≠nki i i p f σ)(, I=⎰⎰Ddxdy y x f ),(.∵f 在σk 上无界，∴存在p k ∈σk ，使得|f(p k )|>kG I σ∆++1, 从而∑=ni iip f 1)(σ=∑≠∆+nki k k i i p f p f σσ)()(≥|f(p k )·△σk |-∑≠nki i i p f σ)(>|I|+1.又f 在D 上可积，∴存在δ>0，对任一D 的分割T={σ1, σ2,…, σn }, 当T <δ时，T 的任一积分和∑=nk k k p f 1)(σ都满足∑=-nk k k I p f 1)(σ<1,即∑=nk k k p f 1)(σ<|I|+1，矛盾！∴f 在D 上可积，则f 在D 上有界.3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.证：∵f 在有界闭区域D 上连续,∴f 在D 上有最大值M 和最小值m, 对D 中一切点有m ≤f ≤M ，∴mS D ≤⎰⎰Df ≤MS D , 即m ≤⎰⎰DDf S 1≤M.由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D .4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则⎰⎰Dd y x f σ),(>0.证：由题设知存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使f(p 0)>0，令δ=f(p 0)，由连续函数的局部保号性知：∃η>0使得对一切p ∈D 1(D 1=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>2δ. 又f(x,y)≥0且连续，∴⎰⎰Df =⎰⎰1D f +⎰⎰-1D D f ≥2δ·△D 1>0.5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域D ’⊂D 上有⎰⎰'D d y x f σ),(=0，则在D 上f(x,y)≡0.证：假设存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使得f(p 0)≠0, 不妨设f(p 0)>0. 由连续函数的保号性知，∃η>0使得对一切p ∈D ’(D ’=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知⎰⎰'D f >0，矛盾！ ∴在D 上f(x,y)≡0.6、设D=[0,1]×[0,1]，证明：函数f(x,y)=⎩⎨⎧内非有理点为皆为有理数即内有理点为D y x y x D y x ),(,0),(),(,1在D 上不可积.证：设D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, 则每一个小区域σi 内必同时含有D 内有理点和非有理点，从而 M i =iy x σ∈),(sup f(x,y)=1, m i =iy x σ∈),(inf f(x,y)=0, i=1,2,…,n.∴S(T)=i n i i M σ∆∑=1=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1=0，由T 的任意性知：lim →T S(T)=1≠0=0lim →T s(T). ∴f 在D 上不可积.7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，g(x,y)在D 上可积且不变号，则存在一点(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x g σ),(≥0. 令M,m 分别为f 在D 上的最大、最小值，则 m ⎰⎰Dd y x g σ),(≤⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(≤M ⎰⎰Dd y x g σ),(.若⎰⎰Dd y x g σ),(=0, 则⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=0，任取(ξ,η)∈D ，得证！若⎰⎰Dd y x g σ),(>0, 则m ≤⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),(≤M. 由介值性定理知，存在一点(ξ,η)∈D ，使得f(ξ,η)=⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),( ，即⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.8、应用中值定理估计积分：I=⎰⎰++Dyx d 22cos cos 100σ的值, 其中D={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)=yx 22cos cos 1001++ 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续，根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D ，使得I=ηξ22cos cos 100++∆D, 从而102D ∆≤I ≤100D ∆, △D 为D 的面积，∴51100≤I ≤2.9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t ≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则此曲线的面积为0.证法1：该平面曲线L 的长度为l=dt t t ⎰'+'βαψϕ)()(22为有限值.对∀ε>0, 将L 分成n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εl +1段：L 1,L 2,…,L n , 在每段L i 上取一点P i , 使P i 与其一端点的弧长为nl 2，以P i 为中心作边长为的ε正方形△i ，则L i ⊂△i (i=1,2,…,n), 从而L ⊂n i 1= △i ，记△=ni 1= △i ，则△为一多边形.设△的面积W ，则W ≤n ε2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1εlε=(1+ε)ε，∴L 的面积W L ≤W ≤(1+ε)ε. 即此曲线的面积为0.证法2：在曲线上任取参数t 的点M ，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0，由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ)使曲线上对应的一段可以表示成显式方程.应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间，使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)，其中f,g 为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0.。

数学分析21.8反常二重积分(含习题及参考答案)

数学分析21.2直角坐标系下二重积分的计算(含习题及参考答案)

数学分析 反常积分习题解答

反常二重积分word版

《反常二重积分》课件

数学分析21.2直角坐标系下二重积分的计算(含习题及参考答案)

反常二重积分教学讲义

反常二重积分

(整理)反常二重积分.

反常二重积分的计算_高等数学(下册)_[共2页]

二重积分习题答案精编WORD版

高数二重积分习题加答案

数学分析21.4二重积分的变量变换(含习题及参考答案)

二重积分总结及习题

二重积分习题及答案

数学分析21.8反常二重积分(含习题及参考答案)

21_8 反常二重积分

二重积分的反常积分

二重积分练习题答案

数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)

数学分析反常积分习题解答