2018年高考南通市数学学科基地密卷(7)
2018年高考南通市数学学科基地密卷(8)
02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第5题）2018年高考模拟试卷（8）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{2 3}A =，，2{1 log }B a =，，若{3}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．2． 已知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数i z -的模为 ▲ ．3． 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 4． 工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 方差2s 的值为 ▲ ．5． 根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．6．设实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7． 若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦， ,使得2210x x -λ+<成立”是假命题，则 实数λ的取值范围是 ▲ ．8． 设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =，122210S S =+，则d 的值为 ▲ ．9． 若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C ：22221-=y x a b(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．10．将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．若曲线21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+上存在某点处的切线斜率不大于5-，则正实数a的最小值为 ▲ ．13．在平面凸四边形ABCD中，AB =3CD =，点E 满足2DE EC =，且||||2A E B E ==．若165AE DE ⋅=，则AD BC ⋅的值为 ▲ ． （第4题）14．设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a <）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1，2)． （1）若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α+cos α的值；（2）若|m －n |＝ 2，α∈()ππ2，，求cos ()π4+α的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ； （2）BM ACP ⊥平面． 17．（本小题满分14分）如图，是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值． 18．（本小题满分16分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为圆2222:(1)C x y r -+=的圆心，且圆2C 截y 轴所得弦长为4．（1）求椭圆1C 与圆2C 的方程；（2）若直线l 与曲线1C ，2C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A 的坐标．19．（本小题满分16分）设区间[33]D =-，，定义在D 上的函数3()1f x ax bx =++（0a b >∈R ，），集合 {|()0}A a x D f x =∀∈，≥．（1）若16b =，求集合A ；AB CDPM（第16题） O ABC D （第17题）（2）设常数0b <．① 讨论()f x 的单调性； ② 若1b <-，求证：A =∅．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，11=a ，前n 项和为n S ，且n n S n a λλ21221=--+，λ为正常数．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记nn nS b a =，11n n k n c S S -=+（*22k n k n ∈+N ，，≥）．求证：① 1+<n n b b ；② 1n n c c +>．2018年高考模拟试卷（8）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB ，CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线，已知AB =6，C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是3cos 13sin 3x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α是参数）．若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4π+=ρθ求直线l 被曲线C 截得的线段长．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=， 22226a b c ++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值. 23．（本小题满分10分）在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n条直线最多可将平面分成211122n n ++个部分．现探究：空间内n 个平面最多可将空间分成多少个部分，N*n ∈． 设空间内n 个平面最多可将空间分成32()1f n an bn cn =+++个部分．（1）求a b c ，，的值；（2）用数学归纳法证明此结论．2018年高考模拟试卷（8）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】8 【解析】因为{3}A B =，所以2log 3a =，即8a =．2．【解析】本题考查了复数的运算和模的概念． 因为zi 1i =+，所以1z i =-．|i |12z i -=-= 3．【答案】29【解析】设向上的点数之差的绝对值．．．是2为随机事件A ，将一颗质地均匀的骰子先后 抛掷2次共有36个基本事件，事件A 共包含(13)-，(24)-，(31)-，(35)-，(42)-， (46)-，(53)-，(64)-共8个基本事件 ，所以82()369P A ==．4．【答案】225【解析】由茎叶图可以得到样本的平均值20x =，所以 ()()()()()222222182017202220212022202255s -+-+-+-+-==．5．【答案】12ABCDA 1B 1C 1（第22题）(A 33⎪⎭【解析】第一次执行循环体计算两个变量的结果为3,3I S ==；第二次执行循环体计算两个变量的结果为4,7I S ==；第三次执行循环体计算两个变量的结果为5,12I S ==；所以 输出的结果为12． 6．【答案】3【解析】画出可性域如图所示，求出代入点(1,0)A ， 求出32x y +最大值为3． 7．【答案】λ≤【解析】命题的否定是“122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， ,都有2210x x -λ+≥成立”，且是真命题，所以12x x λ+≤对122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，所以()min12x x λ+≤．因为12x x +≥122x ⎥⎡⎤⎢⎣⎦，时成立，所以()min12x x +=λ≤8．【答案】10-【解析】因为22410a a =（0d ≠），所以410a a =-．又因为410a a =-即70a =，122210S S =+， 所以11160,24132210,a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩解答10d =-．9．【答案】3【解析】本题考查了抛物线焦点坐标和双曲线的离心率．因为抛物线24x y =的焦点为()0,1P ，双曲线22221x y a b-=的渐近线为b y x a=±．根据点到直线的距离有13=，化简有3c e a ==．10．【答案】1【解析】本题考查了空间几何体的体积问题．因为圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为123l π=和243l π=．1223r ππ=和2423r ππ=，解得123r =，243r =．1h ==，23h ==．所以21112222114313r h v v r h πππ⋅⋅=== 11．【答案】1-【解析】()()()πππ()sin 666f x a x x x ϕ=+-+=++，因为()f x 是偶函数，所以(0)f =，即32a -=1a =-． 12．【答案】9 本题考查了曲线的切线存在性的问题．【解析】因为21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+，所以`1()(2)f x ax a x=+-+．存在某点处的切线斜率不大于5-，所以存在()0,x ∈+∞，1(2)5ax a x+-+≤-．得到(2)5a +≤-，当且仅当1ax x =取“=”，化简得30a -≥，解得9a ≥．13．【答案】2【解析】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量数量积． 因为3CD =，点E 满足2DE EC =，所以2DE =，1EC =． ||||2AE BE ==，AB =2AEC π∠=．又因为165AE DE ⋅=，所以16cos 5AE DE AED ∠=，得到4cos 5AED ∠=． 又()3cos cos 5BEC AEB AED π∠=-∠-∠=． ()()A D B C A E E D B EE C ⋅=+∙+，AE EC ED BE ED EC =∙+∙+∙，()()cos cos AE EC AEC ED BE BED ED EC ππ=-∠+-∠-， 4321221255=⨯⨯+⨯⨯-⨯， 2=． 14．【答案】[32]-【解析】① 若1a -≤，222222110()2210 1.x ax a a x f x ax a a x ⎧-+++-<⎪=⎨-+++⎪⎩，≤，，≤≤ 当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当10x -<≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在0[11]x ∈-，，使得0()0f x ≤，则12(1)0a f ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≤或12()02a a f ⎧>-⎪⎨⎪⎩≤，即22430a a a -⎧⎨++⎩≤≤或221420a a a -<-⎧⎨++⎩≤≤，解得31a --≤≤．② 若10a -<<，22222211()222102210 1.ax a a x a f x x ax a a a x ax a a x ⎧-++-<⎪=-+++<⎨⎪-+++⎩，≤，，≤，，≤≤当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当1x a -<≤时，2()221f x ax a a =-++为递减函数，且2()(1)f a a =+， 当0a x <≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在[]011x ∈-，，使得0()0f x ≤， 则()02a f ≤，即2420a a ++≤，解得22a --≤，又10a -<<，所以12a -<．综上可得，32a -≤，即a的取值范围为[32]-． 二、解答题：15．【解】（1）因为 m ∥n ，所以sin α＝－2cos α． …… 4分所以原式＝4． …… 6分 （2）因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2． …… 9分所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2， 所以α∈()ππ2，， 所以34sin ,cos 55αα==-． …… 12分所以原式＝10-． …… 14分 16．【解】（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，………2分 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ，…………………4分 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，A BCD PM（第16题）O所以AP ∥平面BDM ．…………………………7分 （2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故A P B P ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ，……………9分 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． ……………11分 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥．……12分 因为APCP P =，AP CP ⊂，平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP ，……………………………………………………………14分 17．【解】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =km ，由正弦定理得22sin 3sin()sin 33OC CD x x ===ππ- …………………………4分（注：正弦定理要呈现，否则扣2分）得OC x =km，sin()3CD x π=- km ．…………………………5分 又圆弧DB 长为2()3x π- km ．所以2)2()]33y a x a x x ππ=+⨯-+-2cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，．…………………………7分 （2）记()2(cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-，………………8分 令()0f x '=，得6x π=． ……………………………………………………9分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值．即()2)66f a ππ=⨯．………………………………………………………12分 答：（1）y 关于x的函数解析式为2cos )3y a x x x π=⨯+-+，其定义域为(0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元．………………………14分18．【解】（1）由题意知：112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得12c a =⎧⎨=⎩，，又2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=． …………………………………………3分因为圆2C 截y 轴所得弦长为4，所以222215r =+=，所以圆2C 的方程为22(1)5x y -+=． …………………………………………6分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，则=即 22425k m km -=-①…………………………………………………………8分由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222(34)84120k x kmx m +++-=，…………………………10分因为直线l 与曲线1C 只有一个公共点，所以22226416(3)(34)0k m m k ∆=--+=，化简，得 22430k m -+=②……………………………………………………12分①②联立，解得122k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，或122k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.，……………………………………………13分由22122(1)5y x x y ⎧=+⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A (，)， ………………………………………………14分 由22122(1)5y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A -(，)，………………………………………………15分 故直线l 与圆2C 的公共点A 的坐标为02（，）或(02)-，．…………………………16分 19．【解】（1）当16b =时，31()16f x ax x =++，则21()36f x ax '=+．由0a >可知()0f x '>恒成立，故函数()f x 在[33]-，上单调递增，…… 2分 所以min 1()(3)2702f x f a =-=-+≥，解得1054a <≤，所以集合1{|0}54A a a =<≤． …… 4分（2）① 由3()1f x ax bx =++得2()3f x ax b '=+，因为00a b ><，，则由()0f x '=，得1,212)x x x =<．在R 上列表如下：（ⅰ）当23x ≥，即027b a <-≤时，则12[33][]x x -⊆，，，所以()f x 在[33]-，上单调递减； …… 6分 （ⅱ）当23x <，即27b a >-时，此时13x >-，()f x 在1[3]x -，和2[3]x ，上单调递增；在12()x x ，上单调递减． 综上，当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减； 当27b a >-时，()f x 在3⎡--⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增； 在(上单调递减． …… 8分 ②（方法一）当1b <-时，由①可知，（ⅰ）当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减，所以min ()(3)2731312110f x f a b b b b ==++-++=+<-<≤，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在； …… 10分（ⅱ）当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增；在(上单调递减，所以min 2()min{(3)()}f x f f x =-，． …… 12分 若(3)27310f a b -=--+<，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾， 故此时实数a 不存在；若(3)27310f a b -=--+>，此时3222()1f x ax bx =++， 又222()30f x ax b '=+=，则223b ax =-，32222222()1()111133bx b f x ax bx x bx =++=-++=+==．…… 14分下面证明10<，也即证：3427b a ->． 因为27ba >-，且27310a b --+>，则2731a b <-+， 下证：3431b b ->-+．令3()431(1)g b b b b =-+<-，则2()1230g b b '=->，所以()g b 在(,1]-∞-上单调递增，所以()(1)0g b g <-=，即2()0f x <． 这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在．综上所述，A =∅． …… 16分 （方法二）（ⅰ）当0x =时，(0)1f =≥0成立；（ⅱ）当(0,3]x ∈时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≥-，设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 令()0g x '=，解得32x b =-．因为1b <-，所以3032b<-<，所以()g x 在3(0)2b -，上单调递增，在3(3]2b-，上单调递减， 所以333max3484()()292727b b b g x g b =-=-+=-，所以3427b a ≥-； …… 12分 （ⅲ）当[30)x ∈-，时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≤-．设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 因为1b <-，所以()0g x '>恒成立，所以()g x 在[3,0)-上单调递增，所以min 1()(3)927b g x g =-=-+，所以1927b a -+≤．若A ≠∅，则存在实数a 满足34127927b b a -+-≤≤，则34127927b b -+-≤成立，即34310b b -+≥， 也即2(1)(21)0b b +-≥成立，则1b -≥，这与1b <-矛盾，所以A =∅． …… 16分20．【解】（1）由22112n n a n S λλ+--=，得221(1)12(2)n n a n S n λλ----=≥，两式相减得22212n n n a a a λλ+--=，也即221()n n a a λ+=+．又00n a λ>>，，所以1(2)n n a a n λ+=+≥． …… 2分当1n =时，2221122a a λλλ--==，则211a a λλ=+=+， 所以1n n a a λ+=+（*n ∈N ），所以数列{}n a 是首项为1，公差为λ的等差数列，所以1(1)1n a n n λλλ=+-=+-． …… 4分 （2）① 由（1）知2(2)2n n nS λλ+-=，所以22(2)(2)12()12(1)21n n nn nSn n n b n a n n n λλλλλλλλλλ+-+-====++-+-+-，…… 6分 则21111(1)(22)2(1)021(1)12(1)((1)1)n n n n n n n b b n n n n ++-+-+-=+-=⋅>+-++-+λλλλλλ， 所以1n n b b +<得证． …… 8分 ② 1111111()()n n n k n n k nc c S S S S ++----=+-+ 111111k n k n n n S b S b ---+=⋅-⋅， …… 12分 因为22k n +≥，所以1n k n +<-，1n k n <--． 由0n a >，所以10n k n S S --<<，所以1110k n nS S --<<， 又因为10n k n b b +-<<，所以1110k n n b b -+<<，所以10n n c c +-<，所以1n n c c +>得证． …… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21-A ．连接BC 设,AB CD 相交于点E ，AE x =，因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90° ……………………2分 则6EB x =-，CE ……………………………4分 由射影定理得2CE AE EB = ……………………………6分 即有(6)5x x -=解得1x =（舍）或5x = ………………………………8分 所以 25630AC AE AB ==⨯=，AC ……………………………………………10分21-B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦， 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． …… 5分 则12221444x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，所以22,44,x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=⎩ 所以x ，y 的值分别为0，1． …… 10分21-C ．由3cos 1,3sin 3,x y αα=+⎧⎨=+⎩得13cos ,33sin ,x y αα-=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)(3)9x y -+-=． ………………………………4分 所以曲线C 是以(1,3)为圆心，半径等于3的圆．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， ……………… …………………………6分 圆心C 到l的距离是d ==，所以直线l 被曲线C截得的线段长为 ……………………………10分 21-D ．因为22262a b c -=+ ………………………………………………………………2分2221(2)(1)32b c =++2222()(3)33b c a +=-≥，………………………6分 即25120a a -≤，所以 1205a ≤≤．……………………………………………10分22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ．因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ， …… 2分 （1）因为111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-，所以111111335cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅ 所以直线1DB 与平面11A C D ． …… 5分 （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅， 二面角111B A D C -- …… 10分 23． (1)由(1)2(2)4(3)8f f f ===，，，得18+42327937a b c a b c a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，，解得15066a b c ===，，．3分(2)用数学归纳法证明315()1N*66f n n n n =++∈，．①当1n =时，显然成立． ……………………………………………4分 ②假设当n k =时成立，即315()166f k k k =++，那么当+1n k =时，在k 个平面的基础上再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得到k 条互不平行且不共点的交线，且其中任 何3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划分成211122k k ++个部分． 每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了211122k k ++个，所以 (1)()f k f k +=+211122k k ++……………………………………………7分315166k k =+++211122k k ++ 315(1)(1)166k k =++++， 即+1n k =时，结论成立． ……………………………………………9分根据①②可知，315()1N*66f n n n n =++∈，．…………………………………10分。
江苏省南通基地2018年高考密卷数学(理)(6)
2018年高考模拟试卷（6） 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋t AC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ．17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点BA（第16题）B 1A 1C 1MCF DD 1P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O（17题图）F E19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．作答．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．（第21题（A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACD时，求λ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．BC2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，2． 5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝ 5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．V ＝ 34(2 3)2×2＝6 3．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C 的半径r ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋t AC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋t AC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；若1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +11a 1＝n +1a n +1－n a n +2＝n a n －n －1a n +12a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 32a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=， 所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab Cλ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分（2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分 又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点， ∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ． ∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M C FDD 1∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . (6)分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()02020204138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒=设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy xPE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy x θθ+整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f , 所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增， 当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==. 所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增，存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2 a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分(2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n，由a n ＝b n a +bn ＝pq na p ＋b pn ＝q n． 令s ＝a p ，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n－tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x－tx －s ，则f ′(x )＝q xln q －t 如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0，这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0． 如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n+tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分 再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}． 由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ， 又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC， 所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得， 3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－ 3x－y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
高考南通市数学学科基地密卷
2018年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题 第I 卷(必做题，共160分)、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分. 1 •设复数z 满足(2 -i)z =1 i ( i 为虚数单位)，则复数z 二▲ 2 •已知集合, B 」0,2?，贝U AUB 共有 ▲ 个子集.3 •根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ▲ •4 •在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余 9个小矩形的面积和的 丄，且第一组5 数据的频数为25，则样本容量为▲在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 的渐近线方程为y = x ,若函数y 二sin( •・x W )(门，0)的部分图象如图所示， 则•，的值为 ▲•现有5张分别标有数字1, 2, 3, 4, 5的卡片，它们的大小和颜色完全相同.从中随机抽取 2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 •9 •在三棱锥P-ABC 中，D , E 分别为PB , PC 的中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为 V ,三棱锥P - ABC 的体积为V ，则也=▲•V 2T ■ T10 •设点P 是 ABC 所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且BC • 2BA =3BP ,设1011 .已知数列｛a n ｝中，a 1 =1, a ? =4 , a^10 .若｛a n ^a n ｝是等比数列，则a^_▲_i=12212.已知 a , b R , a b ，若 2a -ab -b -4=0，则 2a-b 的最小值为▲ •2 2 2 2 213•在平面直角坐标系 xOy 中，动圆C:(x-3)，(y-b)二r (其中r -b <9)截x 轴所得的弦长恒为4 .若过点O 作圆C 的一条切线，切点为 P ，则点P 到直线2x • y -10 =0距离的 最大值为S —1IT Whil e 1 ：：：7S — S + 3I — I + 2End While Print S--1PD = h AB +P AC 贝V 九+ 卩=(2,0)，则双曲线C 的方程为 ▲ 函数f(x)二-4的定义域为_▲且它的一个焦点为（第 7题）▲ .14.已知 —〔0,2二，若关于k 的不等式•而一 .CO^^k si n 3v_cos 3r 在「：，-2 ］上恒成立, 则二的取值范围为 ▲.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.15. 已知向量 订二(sin 今，舟),n 二(-2 厂.3cos|)，函数 f(x)二m n .(1) 求函数f(x)的最小正周期；T 呻7T(2) 若 m // n ，且 x 三(0,—)，求 f (4x)的值.216.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，CD // AB , AB=2CD , AC 交BD于O ，锐角 PAD 所在平面 PAD 丄底面 ABCD ,圆 O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE .其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，BC // AD , E ,F 在AD 上，且 1OE =OF BC, EG 二 FG .2(1)设.AOB -二，试将多边形 ABCDFGE 面积S 表示成二的函数关系式;(1) 求证: (2) 求证:PA// 平面 QBD ;BD _AD . 17.如图所示,(2)多边形已知函数f(x) =(x-1)e x ax 2，其中a R , e 是自然对数的底数. (1)若a =0 ,求函数y = f (x)的单调增区间; (2)若函数f (x)为R 上的单调增函数，求 a 的值;(3) 当a 0时，函数y = f (x)有两个不同的零点 x ! , x 2，求证：为x 2 0 .已知数列 江［的前n 项和为S n ,把满足条件空S n (N *)的所有数列〈aj 构成的集合 (1) 若数列订」通项公式为a n 1，求证：爲〕M ；2(2) 若数列faj 是等差数列，且^a n - n» M ，求2a^a 1的取值范围；(3 )设b n 二丄(n ・N *)，数列Sn ［的各项均为正数，且 'a n 〉M •问数列 Y 中是否存在 a n无穷多项依次成等差数列？若存在， 给出一个数列:a 的通项；若不存在，说明理由.18.2 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知F ,2分别为椭圆 笃•爲=1 ( a b 0 )的左、右a b A(2 ,0)和点(1,3e)，其中e 为椭圆的离心率. 焦点，且椭圆经过点 (1)求椭圆的方程; (2)过点A 的直线I交椭圆于另一点 B ，点M 在直线I 上，且OM =MA .若 MF ! _ BF 2 , 求直线I 的斜率.19.20.21 •【选做题】本题包括学习必备欢迎下载2018年高考模拟试卷（4）数学u （附加题）A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A •［选修4』：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB为O O的直径，D为O O上一点，过若DA = DC,求证：AB = 2BC.C •B .［选修4 _2:矩阵与变换］（本小题满分10分）已知a,b・R，向量为r二2是矩阵A J a 2的属于特征值-3的一个特征向量.1 b 1（1）求矩阵A的另一个特征值；（2）求矩阵A的逆矩阵A」.C .［选修4 Y:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为x - -1 -电t5— ft （t为参数）•以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为匸= 2-2cos（—.—）.4 求直线l被曲线C所截得的弦长.D .［选修4七：不等式选讲］（本小题满分10分）已知实数x, y, z满足x + y + z = 2，求2x2 3y2 z2的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷纸指定区域内.作答.22. (本小题满分10分)某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1, 2, 3的人数分别为3, 3, 4 .现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；(2)设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)在各项均不相同的数列a1 , a2, a s，…，a. (N*)中，任取k(k・N ,且k_n)项变动位置，其余n-k项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为P n(k).(1 )求P4(0) F4(1) F4(2) F4(3)的值；(2)求P5(5)的值；n nA kF n(n—k) A n 1=(n 1)、P n(n—k)(3)设k - ，求证：k=°.2018年高考模拟试卷(4)参考答案数学I一、填空题： 1. 1 + 3i ［解析】i)(2 D =口 . 5 5 2 _i (2 —i)(2 i) 52. 8【解析】由条件得 AUB 二｛-1,0,2｝，所以AUB 的子集有8个.3. 10【解析】由题意可知 ^1 3 3 ^10.4. 150【解析】设第一个小矩形面积为 x ，由6x =1，得x = 2，从而样本容量为 25 6 = 150 .62 25.x 2 -y 2 =1【解析】设双曲线 C 的方程为 笃-爲=1(a 0,b ■ 0)，因为双曲线C 的渐近线方a b程为y =_x ，所以a =b ，又因为一个焦点为(.2,0)，所以c= .2，所以a=b=1，所以双曲线 C 的方程为x 2 - y 2 =1g)x -4 _0,所以 X 乞-2号音2込，所以.牛4.210=3 2n 丄—2，所以送 a =3049 .i 士12. 3【解析】因为 a , b R , a b , 2a 2 -ab -b 2 -4 =0 ,所以(a -b)(2a b) =4 .6. (_：:, -2］【解析】由已知得，7. 4【解析】由图知函数的周期为8 . 3【解析】从5张分别标有数字1, 2, 3, 4, 55 的卡片中随机种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有 12种情况,_ 1 __PABS PAB h , V | = V E39.-【解析】因为V 2 =V C4所以也V 2 2_ABDS DAB3所以其概率为聖.20 51 1 h 1S PAB V2 ,3 2 2 410三【解析】因为BC 2BA =3BP ，所以BC -BP =2(BP -BA)，即3 1—?=P ，所以AP 」AC ,3TT T 1 T —I T 1 T 所以 ADAD 11. 3049【解析】 a n 1 一弘=3 2n1，所以 a n 二印•(a ? —aj •—a ?) - (a^a nJ )3令 a _b =t , 2a b =4 , t 0 ,则 a =丄 t 4 , b =2 2 _t , t t f 3*t ' 所以2a _b 令 1) > 3 2. t -J =8,当且仅当t =1时取等号. 所以2a - b 的最小值为8 .313. 3 5 [解析】因为动圆C:(x —3)2・(y-b)2 =r 2 (其中r 2 -b 2 <9 )截x 轴所得的弦长恒为4,所以r 2 =b 2 4 ,设P(x °, y °),由已知条件得，9 b^r 2 x 2 - y 2 ,所以x ] y 2 = 5 ,即点P 在10 圆x 2+y 2=5,所以点P 到直线2x+y_10=0距离的最大值为 ~^卡屈=3眞. V 53' cos 3v - sinv -• cosv ,题意即为 f (k) > 0在[-匚j -2 ]上恒成立，即f min (k) > 0 .由于日€0,2兀),Si n 日> 0且cose > 0,则日乏|0,弓.f(k) =0 > 0恒成立，符合;sin ? v -COS3.0 ,所以f (k)在［-匚3 -2 1上单调递增，不符合;sin J-cosJ ：：：0，所以 f (k)在-:,-2 1 上单调递减,此时 f min (k) = f (-2) = -2 sin ： - cos - 、. sin- cos 二 > 0 , 即 2sin % sin v < 2cos % COST .令 f(x)=2x 3+7X ( x > 0)，不等式即为 f (sin6) < f(cos0),J由于f (x) =6x 2 1x^ > 0 ,所以f(x)在0,匚 上单调递增, 而当 v -[0, -j)时，si n^ ::: COST ，所以 f(sin 二)< f(cos^)恒成立.综上所述，二的取值范围是1), =(|, ■ 3COS 2),x C0S2 = sin -15 .解：(1) ； m = (si 门乡, 1 x 3 .f (x)二 m n sin2 2 2 =sinXCOSn+ COS -S in n= sin x n,23 2 3 2 3所以函数f (x)的最小正周期为T 二肚=4 n 1 鸣 2 (2)T m= (si 门乡,* , n =(* , ^3 COS |)T 呻，且 m // n ,..... ^4 分'14.0,才【解析】f(k)=ksi n 3 —_02当-(「，亍］时,当 二［0，；)时,.Xx 1 1sin ■ 3cos0 ,222 2sin X蔷，因为侧面 PAD_底面ABCD ，平面PAD^l 平面ABCD 二AD ,PH 平面PAD ，所以PH _平面ABCD , ...................... 8分 又BD 二平面 ABCD ，所以PH _BD , ...................... 10分 因为「PAD 是锐角三角形，所以 PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA_BD ，所以BD _平面PAD , ....................... 12分又AD 平面PAD ,所以BD _AD . ...................... 14分17•解：连接 EF ,BE,OB,OG ,-OE =OF 」BC , ■ BC =EF _ BE _ EO , 2 - EG =FG , OG _ EF ,......... 2 分(1 )在 Rt BEO 中,BO =1 , AOB - J ,EO =cos v , BE =sin ：, BC =EF =2cos 丁 ,.... 4分1 1s 弟形ABCD S EGF (AD BC) BE — EF OG2 211 二(2 2cosRsin 2cos^ 1 =sin^cos 亠sin 亠 cos^,寫：二(0,—).2 2 2(0,2)，10分.sin 2x =2sin c 矗^'33吊x cos x 二 2 - 6 6 6 512分2\t3cos2x =1 -2sin x =1 -2 () 6 1.f (4x) sin 2x cos2x211 53 1216.证明：(1) 因为 AB//CD , 所 AO =2OC , 又 PQ =2QC ， 所以 PA / /OQ ， 又OQ 二平面QBD ， PA 二平面QBD , 所以PA//平面QBD . ........... 6分 (2)在平面PAD 内过P 作PH _ AD 于H ,如图，连接 AB =2CD , OQ , .cosx = 1 —sin 2 x =33""6"14分B学习必备欢迎下载(2)令t 二sin v cos J,匚三(0, —),2学习必备 欢迎下载=0,t 2 _1兀则 sin ncos，且 t = 2 sin(r —)三(1, . 2], 2 4t 2 _1 t 2 1 1s - t =- t 一一 = —(t i )2 -1, t ・(1, 2],2 2 2 2当 t = 2，即 时，S max =—2 ,42即多边形ABCDFGE 面积S 的最大值为—2平方米.2 18 •解：(1)因为椭圆经过点 A(2,0)和点(1,3e),a =2,所以 1 9c i =1,|4 4 b 2 b 2 c 2 二a 2,2 2 解得a =2, b = •3, c =1,所以椭圆的方程为 丄 11 .4 3(2)解法一：由(1)可得 F(-1 ,0) , F 2(1,0), 设直线I 的斜率为k ，则直线I 的方程为y =k(x -2).y =k(x 「2),由方程组 2 y 2 消去y ,整理得(4k 23)x 2 -16k 2x 16k 2乞 +L —1 4 3 _1 ,2f 2\解得x =2或X =8k2 _6 ,所以B 点坐标为8k2 _6 , -12k.4k 2 +3\4k +3 4k +3丿由OM =MA 知，点 M 在OA 的中垂线x =1上, 所以 F 1M =(2，-k) , F 2B = 8k ^6 -1,4k +3 4k +34k +3 4k +3222若 MF — BF 2，贝y FM F 2B =8k2一18 ¥4k +3 4k+3解法二：由（1）可得 Fd-1,0） , F 2（1, 0）,设 B(x 0, y 0) ( X 。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷7理201902270175
3 ． 5
6 ，求 AB 的长； 5 1 （2）若 tan A B ，求 tan C 的值． 3
16．(本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 P ABC 中， AC BC ，点 D 在 AB 上，点 E 为 AC 的中点，且
BC // 平面 PDE．
（1）求证： DE // 平面 PBC； （2）若平面 PCD⊥平面 ABC， 求证：平面 PAB⊥平面 PCD． A D
23．(本小题满分 10 分) 已知数列 an 满足 an C n
0
C1 C 2 2 C3 Cn n n 1 3 n2 n3 … nn ，n N* ． 2 2 2 2
（1）求 a1 ， a2 ， a3 的值；
-5-
（2）猜想数列 an 的通项公式，并证明．
2 2
截得的弦长是定值（与实数 m 无关） ，则实数 k 的值为
▲
． ▲ ．
12．在△ABC 中， cos A 2sin B sin C ， tan B tan C 2 ，则 tan A 的值为 13．设 F 是椭圆
x2 y 2 ＋ ＝1(a＞0，且 a≠2)的一焦点，长为 3 的线段 AB 的两个端点在椭圆 a2 4
x t cos m x 5cos （t 为参数）恒经过椭圆 C： （为参数） y t sin y 3sin
的右焦点，求实数 m 的值．
D．[选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分) 设 a1 ，a2 ，a3 均为正数，且
1 1 1 1 ，求证： a1 a2 a3≥ 9 ． a1 a2 a3
x y 1 k k 3
▲ ．
（第 6 题）
2018年江苏省南通基地高考密卷数学(理)(6)(PDF版)
▲
． ▲ ． ．
→ → 10．设正△ABC 的边长为 1，t 为任意的实数．则| AB ＋t AC |的最小值为
11．若函数 f ( x) loga x 1 1 （ a 0 且 a 1）没有最小值，则 a 的取值范围是 ▲ a x 1 1 12．数列{an }满足 a1 ＝ ，a2 ＝ ，且 a1 a2 +a2 a3 +…+an an +1 ＝na1 an +1 对任何正整数 n 成立，则 4 5 1
（第 21 题（A）
B ．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 二阶矩阵 M 对应的变换将△ABC 变换成△A1 B1 C1 ，其中△ABC 三个顶点坐标分别为
A(1，－1)、B(－2，1)，C(2，2)，△A1 B1 C1 中与 A、B 对应的两个坐标分别为 A1 (－1，－1)、B1 (0，－2)．求 C1 点的坐标．
C ．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 若两条曲线的极坐标方程分别为 ρ sin(θ ＋ 两点，求线段 AB 的长． π π )＝1 与 ρ ＝2sin(θ ＋ )，它们相交于 A、B 3 3
D ．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 求证：对任意 x，y∈R,不等式 x ＋xy＋y ≥3(x＋y－1)总成立．
3 2 ln 2 ； 2
(3)设 g ( x) f ( x) ln ax ，对于任意 a (0,2) 时,总存在 x [1,2] ，使 g ( x) k (a 2) 2 成立,求实数 k 的取值 范围．
20． (本小题满分 16 分) 已知{an }为等差数列，{bn }为等比数列，公比为 q(q≠1)．令 A＝{k|ak ＝bk ，k∈N*}． (1)若 A＝{1，2}， ①当 an ＝n，求数列{bn }的通项公式； ②设 a1 ＞0，q＞0，试比较 an 与 bn (n≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合 A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．
高考南通市数学学科基地密卷
2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题 第I 卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1 .设集合 A = {1 , x }, B = {2 , 3, 4},若 A AB ={4},则 x 的值为 ▲ 2 .若复数 z 1=2+i, z 1 z2（） z2=5,则 z 2= ▲ .3 .对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200,右图为检测结果的 频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25, 30）的为一等品，在区间[20, 25）和[30, 35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 -4为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动.某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为元，随机分配成5份，金额分别为元，元，元,元，元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于 5元的概率为 ▲ .2.6 .函数y log 2（3 2x x ）的值域为 ▲.7 . 已知P ABC 是正三棱锥，其外接球 。
的表面积为16国 且/ APO = /BPO = / CPO = 30°,则三棱锥的体积为▲.28 .已知双曲线x 22— 1的左、右顶点为 A 、B,焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，4—,过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点 M,交椭圆于另一点 N,2uur uuLur-4. 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第（第4题）3个数为一^5. 且离心率为1020 25 30 33 长度，室:朱（第3题）姨率 娟跖0.06250.05W 0.0375 (J.02500.01右AN NM，则k的值为_A19 . 已知函数 f(x) = cosx(sin x+cosx) 5,右 f()a n 1 a n a n 1 L a 2 a 1 ( n > 2,n N ),若a m (b m 28) 2018,则m 的值为 ▲. 11 .定义在1,1上的函数f (x) sinx ax b(a 1)的值恒非负，则 a b 的最大值为 ▲ .3521 15 一 ......... .....12 .在△ ABC 中，若 uur uur uuu uuur ■uumur .贝cosC 的值为 ▲ . CA AB AB BC BCCA13 .在平面直角坐标系 xOy 中，圆O ： x 2y 21,直线l : x ay 3 0 ,过直线l 上一点 M (一，1) .3(1)求f (x)的解析式；8 24 .,(2)已知，(0,一),且 f( ) 8 , f() 一，求 f( )的值.2 5 13—,则cos(— 2 )的值为 ▲6410 .已知a n 是首项为1,公比为2的等比数歹U,数列b n 满足匕a 1 ,且b n a 1 a 2 Luur 点Q 作圆O 的切线，切点为P, N ,且QP 14 .已知偶函数y f(x)满足f(x 2) f (2 若存在x 1, x 2,L , x n 满足 0W x 1 x 2 L 且 f x 1 fx 2 f x> f x 3 L 为 ▲ .二、解答题：本大题共 6小题，共计90分. 15 .(本小题满分14分)已知函数 f (x) Asin x A 0,0uuir 2QN 2,则正实数a 的取值范围是▲.32f x n 1 f x n 2017,则 x n 最小值的最小值是一2,其图象经过有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离 。
(完整word版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(2)
4高三数学试卷第1页共17页2018年高考模拟试卷（2）南通市数学学科基地命题 第I 卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分. 1 .已知集合 A={1 , 4}, B={ x|1< x <3}，则 A H B= ▲ .22. 设复数z （2 i ） （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲3. 函数的y ... 3 log 2 x 定义域为 ▲4. 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为:s 0i[| :t 1t I 'For I From 1 To 3 !|:s s+I :'t 11 II:End For 丨r stii:Print ri i ! ________________________________________ i（第4题）5. 如图是甲、乙两位同学在 5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小） 的那一位同学的方差为 ▲.6. 将黑白2个小球随机放入编号为 1, 2, 3的三个盒子中，则黑白两球均不在 1号盒子 的概率为 ▲ .7. 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数y cos2x 的图象向右平移 一个单位得到g （x ）的图6象，贝U g （—）的值为▲ .22y 28.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 198 79 210013（第 5 题）近线的距离为—▲卄丄冗 c r「sinx 2cosx砧/古斗▲9. 若tan x 3，贝U 的值为▲4 3sinx 4cosx10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x€ R都有f(x+4)= f(x)+ f(2), f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为▲.11.已知S n为数列｛a n｝的前n项和，且a； 1 a n1a n 1, S I32a13 , 则｛a n｝的首项的所有可能值为▲.5 0与圆C 2212.在平面直角坐标系xOy中，已知直线丨：3x 4y:x y 10x 0交A, B两点，P为x轴上一动点，则△ ABP周长的最小值为▲.2 亠x x a , x > a ,、卄13. 已知函数f (x) 2记A ｛x|f(x) 0｝，右AI ( ,2)x x 3a, x a .则实数a的取值范围为▲.14. 若厶ABC中，AB= , 2，BC=8, B 45°,D ABC所在平面内一点且满足uuu uuur uuur uur(AB AD) (AC AD) 4，贝V AD长度的最小值为▲二、解答题：本大题共 6小题，共90分. 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)如图，在厶ABC 中，a, b, c 为A B, (1)求证：sinC 2sin( A B)；3(2 )若 cos A，求 tanC 的值.5请在答题卡指定区域内作答•解答时应写出文字 1C 所对的边，CD 丄AB 于D ，且BD AD c .2(第 15 题)16. (本小题满分14分)在正四棱锥V ABCD 中，E , F 分别为棱VA , VC 的中点. (1) 求证：EF //平面 ABCD ; (2) 求证：平面 VBD 丄平面BEF .锥的底面半径都为r cm .圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为 45° ;圆柱的高为18. (本小题满分16分)已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : £ 占1(a b 0)离心率为甘，其短轴a b 2长为2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 如图，A 为椭圆C 的左顶点，P , Q 为椭圆C 上两动点，直线 PO 交AQ 于E ,17. (本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为 90 n cm 3, (第16题)它是由圆锥和圆柱两部分连接而成， 圆柱与圆h 2 cm .已知圆柱底面的造价为 2a 元/ cm 2,圆柱侧面造价为a 元/ cm 2,圆锥侧面造价为、.2a 元/cm 2. (1) 将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域; (2)当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？h 2（第 17题）存在，请说明理由.20. (本小题满分16分)已知函数 f(x) x k lnx, k N *， g(x) cx 1，c R . (1) 当k 1时，① 若曲线y f (x)与直线y g(x)相切，求c 的值；② 若曲线y f (x)与直线y g(x)有公共点，求c 的取值范围.(2) 当k >2时，不等式f (x)>ax 2 bx >g(x)对于任意正实数x 恒成立，当c 取得 最大值时，求a ,b 的值.直线 QO 交AP 于 D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1 , k 2，且k ,k 2 luir ADuir uur DP ， AEuu n EQ19.(本小题满分 16分）设数列｛a “｝的前n 项和为 S n ， 已知 a 1 1 ，S n 1 1 （ n N ）.(1)求证：数列｛a n ｝为等比数列;(2)若数列｛b n ｝满足：b! 1，b n b n7an 1①求数列｛b n ｝的通项公式; ②是否存在正整数n ,使得4 n 成立？若存在，求出所有 n 的值；若不为非零实数)2S n2018年高考模拟试卷（2）数学u （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定 两题，并在相应的答题区域内作答 A .［选修4 —1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点 上两点，EM = EN ,点F 在MN 的延长线上.求证：/B .［选修4— 2:矩阵与变换］（本小题满分10分）已知在二阶矩阵 M 对应变换的作用下，四边形 ABCD 变成四边形 ABCD ，其中 A(1 ,1) , B( 1 , 1) , C( 1 , 1) , A (3,3) , B( 1 ,1) , D (1, 1). (1) 求矩阵M ;(2) 求向量DC 的坐标.x = t ,l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方y = t — 3程是p= 4cos 0,求直线I 被圆C 截得的弦长.D .［选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分）E ,F . M , N 为 AB , CD BFM = Z AFM .C .［选修4—4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位.已知直线 A已知 x>0, y>0, z>0, 2x 2y z 1，求证:【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内.作答. 22. (本小题满分10分)某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛.已知该同学数学获一等奖的概率为 2，物理，化学，生物获一等奖的概率都是-1，且四门学科 32是否获一等奖相互独立.(1) 求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率； (2) 用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望 E X23. (本小题满分10分)已知函数 f(x) x x 1，记 f ’(x) f(x)，当 n 》2 时，f n (x) f n1(f(x)). (1) 求证：f 2(x)在(1,)上为增函数；(2) 对于任意n N *，判断f n (x)在(1,)上的单调性，并证明.3xy yz zx < -.52018年高考模拟试卷(2)参考答案、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70 分.{1}【解析】依题意，A n B={1} 3 4i 【解析】由于z (2 i)23 4i ，所以z 的共轭复数为3 4i .0,8【解析】由3 log 2x > 0,解得0 x < 8 .36【解析】s 1 2 3 6, t 1 2 3 6，输出的结果r 6 6 36.2【解析】由茎叶图可知， x 88 89 90 91 9290 ,c1 5一 c所以甲的方差为s2 5,1(x ' x)2 2；有2 2 4种，所以概率为4 .2x的距离为4.3 1 2 得 sin x 2cos x tan x 21 ( 3)' 3sin x 4cos x 3tan x 4【解析】令f(x+4)= f(x)+ f(2)中又因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以2,得 f(2)= f( 2)+ f(2)，所以 f( 2)=0，f(2)=0，所以 f(x+4)= f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)+ f(10)= f(2【解析】g(x) cos 2x3，所以 【解析】一条渐近线 y2x 与右准线xg (2) cos 5的交点为 5_1 32 .乙卫)，其到另一条渐近 5将以上各式相加，得 12. 14【解析】设直线11. 3, 4【解析】因为 所以 a 2 1 a ； a ：, 又S 3a 123，所以a f同理乙的方差为 4，所以比较稳定的是甲.9【解析】所3 3 9 种, “黑白两球均不在1号盒子”【解析】由tan x tan x10.x= 1) + f(2)= f(1)+0= 4 .对称点为B ，易知B B 恰为圆C 的直径，记A B 与x 轴 交于点 Q ,则 PA PB PA PB >AB ,所以△ ABP 的周长的最小值为 AB AB ，易求得结果为14.再考虑临界位置不难求解.14. 2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意,设所以uuuuur设 D(x , y)，所以 AB ( 1 ,1)，AC1v (m n)2 (7m n)2 1 .50m 2 2n 2 12mn8 8当且仅当5m= n= 2 5时，AD 取得最小值 2 . 二、解答题：本大题共 6小题，共90分. 15. (本小题满分14分)(1)证明：因为BD AD ,2n24> 8210mn2413.,丄【解析】条件可转化为函数 f(x)4在(，2)上存在零点， 所以方程x 2 | x a | 2a 有根，所以函数g (x) x 2与h(x) | x a | 2a 的图象 有交点的横坐标在(，2)上，注意到函数h(x) | x a | 2a 的图象为顶点(x 2 |x a| 2a 6•—2a 」.，2一1—・一4 —_2 .a , 2a )在直线y=2x 上移动的折线,uuu UULT 所以(AB AD)LULT uur(AC AD) (x y)(7x 即(x y)(y 7x)x 4，令y m，则 y 7x n 所以AD x 2 y 213B( 1 , 1y(7 ,y) xy8216. (本小题满分14分)(1)因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF // AC ,……3分又因为 EF 平面ABCD , AC 平面ABCD , 所以EF //平面ABCD .(2)连结 AC , BD 交于点O ，连结VO . 因为V ABCD 为正四棱锥， 所以VO 丄平面ABCD .又AC 平面ABCD ，所以VO X AC . 又因为 BD X AC , EF // AC , 所以EF 丄VO , EF 丄BD . •…又 VO , BD 平面 VBD , VO A BD=O 所以EF 丄平面VBD ,……12分又EF 平面BEF ，所以平面 VBD 丄平面BEF .……14分所以 acosB bcosAlC，由正弦定理，得sin AcosB 1sin B cos A —sin C ,所以 sin C 2sin(A B).(2)解：由(1)得，sin(A B) 2sin( A B),所以 sin AcosB cosAsinB 2(sin AcosB cos As in B),化简，得 3cos A si nB si n AcosB . 10分 又cosA 3，所以sinA 害，所以tanA ，tan B 9,12分所以 tanCtan(A B)tan A tan B 1 tan Ata nB48 1114分6分(第 16题)18.17. (本小题满分14分)(1)解：因为圆锥的母线与底面所成的角为45°，所以h r ,圆锥的体积为V 3 n 2h 1 3 n 3，圆柱的体积为 V n 2h 2 ...... 2分3 32d 3因为V V 90n ,所以 V 2n h 2 90 n 3n ,o所以h 2270 r 3 3r 290 rF 3...... 4分因为V 1 n390 n,所以 r 3-10 .因此0r 3310 .所以h 2270 r 33r 2 90 r孑3，定义域为 {r |0 r3310}....... 6分(2)圆锥的侧面积Sn . 2r 2 n 2,圆柱的侧面积Sa2 n h 2，底面积S 32n .……8分当3 r 3110时，f (r) 0 , f (r)在3,33 10上为单调增函数.因此，当且仅当r 3时，f(r)有最小值，y 有最小值90 n a 元.……13分(本小题满分16分) (1 )解：因为短轴长2b=2，所以b=1, ....................................................... 又离心率-¥，所以a 2c ,…… a 2 2 2 2 2 2所以a 2c 2(a b )，所以a 2 ,高三数学试卷第102 ni(r 2 rh 2 r 2) 2n a 2r 2「9° 310n a 「254••…10分3r令 f (r) r 254，则 f (r)2r 54r 2.令 f (r) 0 ,得 r 3 .容器总造价为y 2aS aS 2 2aQ当0 r 3时, f (r) 0 , f(r)在(0,3)上为单调减函数; 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm . 14分2 22 n a 2 n h 2a2 n ay|L2 分.JP4分、丿XX.E页共17页2对任意n N 都成立,高三数学试卷 第13页共17页2所以椭圆C 的标准方程为今 y 2 1 .……6分 (2)由(1),点 A( 42,0)，设 P(x ,yj , D(X o ,y °),则％ 匕儿,y ok 2X o ,所以221.所以数列｛ a n ｝为等比数列，首项为 1,公比为2.19. (本小题满分16分) (1 )解：由 S n 12£1，得 S n 2£ 1n 》2),两式相减，得a n 1 2a n o ，即an 12a n因为印1，由佝 a 2) 2耳1，得a 22，所以竺2 ,a 1an 1所以a nuur 因为ADiuur X DP ，所以Xoy o2(X 1 X o )L ①L ②’(y i y o )L L 由①得,■^X o X 1由②得，y 1宜 k X )k 2(X i 11分两边同时乘以k i 得,k 12x k i k 2(x i 所以 X1(1 2k 12)y i.2k 12，(1 2kf)代入椭圆的方程得, 1，14分同理可得， 2 -A122 丄2 k2k'1 2 k ；'16分(2)①由(1)知，a n 2n 116分由7冷，得b n1 7 2，n n 1 n n 1. _即 2 b n 1 2 b n 1，即 2 b n 1 2 b n 1 ,因为b 1，所以数列2n1b n是首项为1，公差为1的等差数列. 所以2n1b n 1 (n 1)所以b n茹.nb i ,i 1两式相减，(2)0(2)1(2)2 L (护1(1)n 1 ($TT22 (n 2) (2)n,所以T n 4 (2n 4) (l)n.12分n由b ii 14 n，得4 (2n 4) (A n，即显然当n2时，上式成立,设 f (n) 山 2n1( n Nn)，即f(2)因为f(n 1) f(n)常(罟 2所以数列f(n)单调递减,所以f(n) 0只有唯一解n所以存在唯一正整数n 2 , 使得nb 4 n成立.i 120.(本小题满分16分)(1)解：当k 1 时，f (x) xlnx，所以 f (x) 1高三数学试卷第12页共ln x .17页10分②设T n则T n 1 2 (2)11 23 G)2 L n (1)n1,所以1T n 1 ($ 2 3 (2)31、nn (寸),16分1ln沟c①①设切点为P(x°, y°)，则y。
高三数学-2018南通市学科基地数学科研卷2018531 精品
2018南通市学科基地数学科研卷 18.5.31一、填空题1．若不等式|ax+2|<6的解集为（-1，2），则实数a 等于 . 2．x 为三角形的一个内角，且22cos sin =+x x ，则x 2sin 等于 。
3．在某次数学测试中,学号为i(i=1,2,3,4)的四位学生的考试成绩f(i)∈{86,87,88,89, 90},且满足f(1)<f(2)≤ f(3)<f(4).则这四位学生考试成绩所有可能情况有_ _ __种. 4．已知命题p ：若a ≥b ，则c d >．命题q ：若e f ≤，则a b <．若p 为真且q 的否命题为真，则“c d ≤”是“e f ≤”的 条件 . 5．等比数列{}n a 的首项11a =-,前n 项和为,n S 若3231510=S S ，则公比q 等于 . 6．已知集合(){}{}25log 5112,121A x x x B x m x m =-+≤=+<<-,若A B A =，则 .7．已知函数f(2x +1)是偶函数，则的f(2x )图象的对称轴是 .8．在二项式()0,,0,0)(12≠>>+n m b a bx ax n m 中有02=+n m ，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项，则ba的取值范围为 _ _. 9．P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，F 1、F 2是它的两焦点，O 为坐标原点，21PF +=，则动点Q 的轨迹方程是 .10.锐角△ABC 中，若B=2A ，则ab的取值范围是 。
11. 已知函数)(x f 是R 上的减函数，A （0，-2），B （-3，2）是其图象上的两点，那么不等式2|)2(|>-x f 的解集是 .12.在下面等号右侧两个分数的分母方块处,各填上一个自然数,并且使这两个自然数的和最小:1=91+.二、填空题14．已知函数f(x) = 2sin ωx + 1在[0,4π]上单调递增，且在这个区间上的最大值为13+,则实数ω的一个可能值是 ( )A.32 B. 38C. 38或34D. 3415．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条定长为b 的线段， Q 是A 1D 1上的定点，P 是C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积 （ ） (A)变量且有最大值；(B)是变量且有最小值；(C)是变量无最大值最小值；(D)是常量.16．在圆x y x 522=+内，过点),(2325有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为 数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差],(11∈d ，则n 的取值集合为 ( ) A.{4,5,6} B.{6,7,8,9} C.{3,4,5} D.{3,4,5,6} 三、解答题17．已知：a R a a x x x f ,.(2sin 3cos 2)(2∈++=为常数） （1）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期； （2）若)(x f 在[]6,6ππ-上最大值与最小值之和为3，求a 的值； （3）在（2）条件下)(x f 先按平移后再经过伸缩变换后得到.sin x y =求. 解：18．已知函数ab a x b ax x f ---+=)8()(2，当∈x （2,3-）时，;0)(>x f当∈x （3,-∞-）),2(+∞ 时，0)(<x f （Ⅰ）求)(x f 在[0，1]内的值域；（Ⅱ）c 为何值时，c bx ax ++2≤0的解集为R. 解：19. 如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2a ，CD=a ，F 为BE 的中点。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷6理
- 1 -江苏省南通基地2018年高考数学密卷（6）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合，，则= ▲ ．2．已知复数＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线对称，则的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ． 9．在平面直角坐标系中，已知圆与直线相交于，两点．若△为等边三角形，则实数的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数（且）没有最小值，则的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．- 2 -13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，且，则实数的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)已知向量，．（1）若，，且，求实数的值； （2）若，求的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点、F 分别是线段、BC 的中点．（1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面．17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在轴的上方，且PF ⊥轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当的平分线为时，求直线AB的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A沿AB，AC方向修建两条小路，休息亭P与入口的距离为米（其中a为正常数），过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E、F处，已知，．（1）设米，米，求y关于的函数关系式及定义域；（2）试确定E，F的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低．19．（本小题满分16分）已知函数.(1)当时,求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且,求证;；AOBOCOPO（17题图）FE- 3 -- 4 -(3)设，对于任意时,总存在，使成立,求实数的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{|a ＝b ，∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝- 5 - DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 求证：对任意，y ∈R,不等式2＋y ＋y 2≥3(＋y －1)总成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为 中点，且平面，为线段上一动点，记． （1）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值．- 6 -23．（本小题满分10分）设函数f n ()＝1++12!2＋…＋1n !n，n ∈N*．(1)求证：当∈(0，＋∞)时，e ＞f n ()；(2)若＞0，且e ＝f n ()+1(n +1)!n +1e y，求证：0＜y ＜．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．- 7 - 2． 5 解：＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120， 高一抽到的人数为110，共348人．4．6 解：由题意抛物线定义可知，，所以，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．V ＝ 34(2 3)2×2＝6 3． 7． 解：将的图象向左平移个单位得到，因为图象关于直线对称， 所以，所以，即，，所以的最小值为．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9． 解：圆的半径，因为△为等边三角形，所以圆心到直线的距离 ．所以，解得． 10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32．11．或 解：令，则．若，因为没有最大值，所以符合； 若，因为，要使原函数没有最小值，必须，解得．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +11a 1＝n +1a n +1－n a n +2 ＝na n－n －1 a n+12a n+1＝1a n＋1a n+2，(n≥2)，则a1a2+a2a 3＝2a1a32a2＝1a1＋1a3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n＝n+3，a n＝1n+3．代入可得1a1＋1a2＋…＋1a10＝85．13．解：由对称性，只需当时，有两解即可.即在时有两解.设，由得在（0,2）上递减，在上递增. 由图可知，所以．14．解：由条件，．因为，所以，所以，所以．而，所以．由，得，即，所以．二、解答题：15．解：（1）当，时，，又，所以，若，则，即，解得．……7分（2）因为，，所以，因为，所以，则，所以，故当或时，的最大值为6．……14分16．证明：（1）∵ABAC，点F是线段BC的中点，∴AF⊥BC．…………………………………………2分又∵平面底面，AF平面ABC，平面底面，∴AF⊥平面．……………………………………………………………………5分又CC1平面，∴AF⊥CC1，又CC1∥DD1，∴AF⊥DD1．………………………………………………………………7分（2）连结B1C与BC1交于点E，连结EM，FE．在斜三棱柱中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴点E为B1C的中点．∵点F是BC的中点，∴FE//B1B，FEB1B．…………………………10分- 8 -又∵点M是平行四边形BCC1B1边AA1的中点，∴AM//B1B，AMB1B．∴AM// FE，AMFE．∴四边形AFEM是平行四边形．∴EM // AF．…………………………………………12分又EM平面MBC1，AF平面MBC1，∴AF //平面MBC1．……………………………………………………………………14分17．解：（1）设右焦点，由轴，设代入椭圆方程，即得，所以，联立，…………………3分解得，所以椭圆方程为，右准线的方程为. …………………6分（2）设，则直线的方程为，即，联立消去，即得(※)，…………………9分又为方程(※)的一根，所以另一根为，又点在椭圆上，所以满足，代入另一根即得，所以.由（1）知，点则直线的斜率，直线的斜率，…………………12分①当的平分线为时，，的斜率，满足，所以，即，所以，故直线AB的方程为－2y－1＝0．……………14分18．（方法一）（1）由得，且由题可知所以得即所以由得定义域为……………………6分- 9 -(2) 设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为元/平方米，则(为常数)，所以要使最小，只要使最小由题可知定义域为令则当且仅当即时取等号所以，当时，最小，所以最小答：当点E距离点米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分（方法二）(1) 由得，设中，由正弦定理所以同理可得由即整理得，由得定义域为……………………6分（方法三）（1）以所在直线为轴，点为坐标原点，建立如图直角坐标系，则，，由，得，所以因为与共线所以所以由得定义域为……………………6分19．解：(1)当时,,令或,令,所以的递增区间为和,递减区间为.- 10 -(2)由于有两个极值点, 则在上有两个不等的实根,设， 所以所以在上递减，所以 即.(3)由题意知：只需成立即可.因为,所以，因为，所以，而， 所以，所以在递增， 当时，.所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， ，又当时，,在递减,当时，, 所以，所以； 当即时，①即时，在上递增， 存在，使得，不合； ②即时，，在递减, 当时，,所以，所以 综上, 实数的取值范围为.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1)①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b na +bn ＝pq na p ＋bpn ＝q n ． 令s ＝a p ，t ＝bp，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f ()＝q －t －s ，则f ′()＝q ln q －t 如果t ln q ＜0，则f ()为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′()＝0得f ′()有唯一零点0＝log q tln q，于是当＞0时，f ′()恒大于0或恒小于0，当＜0时，f ′()恒小于0或恒大于0，这样f ()在区间(0，0)与(0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0． 如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n +tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n ，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ， 又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝AB BC， 所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ． 21B ．解：设M =，则有=，=， 所以且解得，所以M =．所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得， 3＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，2+y 2－3－y ＝0，直线 3＋y －2＝0过圆2+y 2－3－y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=2 ＋（y －3) ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
江苏省南通基地2018年高考密卷数学(理)(8)
02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第5题）2018年高考模拟试卷（8） 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{2 3}A =，，2{1 log }B a =，，若{3}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．2． 已知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数i z -的模为 ▲ ．3． 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 4． 工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 方差2s 的值为 ▲ ．5． 根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．6．设实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7． 若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦， ,使得2210x x -λ+<成立”是假命题，则 实数λ的取值范围是 ▲ ．8． 设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =，122210S S =+，则d 的值为 ▲ ．9． 若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C ：22221-=y x a b(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．10．将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．若曲线21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+上存在某点处的切线斜率不大于5-，则正实数a的最小值为 ▲ ．13．在平面凸四边形ABCD中，AB =3CD =，点E 满足2DE EC =，且 ||||2AE BE ==．若165AE DE ⋅=，则AD BC ⋅的值为 ▲ ． 14．设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a <）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤， 1872212（第4题）则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1，2)． （1）若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α+cos α的值；（2）若|m －n |＝ 2，α∈()ππ2，，求cos ()π4+α的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ； （2）BM ACP ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置ABCDPM（第16题）设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元． （1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为圆2222:(1)C x y r -+=的圆心，且圆2C 截y 轴所得弦长为4． （1）求椭圆1C 与圆2C 的方程；（2）若直线l 与曲线1C ，2C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A的坐标．OABCD（第17题）19．（本小题满分16分）设区间[33]D =-，，定义在D 上的函数3()1f x ax bx =++（0a b >∈R ，），集合 {|()0}A a x D f x =∀∈，≥．（1）若16b =，求集合A ；（2）设常数0b <．① 讨论()f x 的单调性； ② 若1b <-，求证：A =∅．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，11=a ，前n 项和为n S ，且n n S n a λλ21221=--+，λ为正常数．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记nn nS b a =，11n n k n c S S -=+（*22k n k n ∈+N ，，≥）．求证：① 1+<n n b b ；② 1n n c c +>．2018年高考模拟试卷（8）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，．．．．．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．A．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知AB=6，CD=AC的长度．B．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵11ab⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．若x ay b⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A，求x，y的值．C．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）D CBA（第21—A题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是3cos 13sin 3x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α是参数）．若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4π+=ρθl 被曲线C 截得的线段长．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=， 22226a b c ++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23．（本小题满分10分）AB CDA 1B 1C 1（第22题）在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n 条直线最多可将平面分成211122n n ++个部分．现探究：空间内n 个平面最多可将空间分成多少个部分，N*n ∈． 设空间内n 个平面最多可将空间分成32()1f n an bn cn =+++个部分． （1）求a b c ，，的值；（2）用数学归纳法证明此结论．2018年高考模拟试卷（8）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】8 【解析】因为{3}A B =，所以2log 3a =，即8a =．2．【解析】本题考查了复数的运算和模的概念．因为zi 1i =+，所以1z i =-．|i |12z i -=-= 3．【答案】29【解析】设向上的点数之差的绝对值．．．是2为随机事件A ，将一颗质地均匀的骰子先后 抛掷2次共有36个基本事件，事件A 共包含(13)-，(24)-，(31)-，(35)-，(42)-， (46)-，(53)-，(64)-共8个基本事件 ，所以82()369P A ==．4．【答案】225【解析】由茎叶图可以得到样本的平均值20x =，所以 ()()()()()222222182017202220212022202255s -+-+-+-+-==．5．【答案】12【解析】第一次执行循环体计算两个变量的结果为3,3I S ==；第二次执行循环体计算两个(A 33⎪⎭变量的结果为4,7I S ==；第三次执行循环体计算两个变量的结果为5,12I S ==；所以 输出的结果为12． 6．【答案】3【解析】画出可性域如图所示，求出代入点(1,0)A ， 求出32x y +最大值为3．7．【答案】λ≤【解析】命题的否定是“122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， ,都有221x x -λ+12x x λ+≤对122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，所以()min12x x λ+≤．因为12x x +≥122x ⎥=⎡⎤⎢⎣⎦，时成立，所以()min12x x +=，即λ≤8．【答案】10-【解析】因为22410a a =（0d ≠），所以410a a =-．又因为410a a =-即70a =，122210S S =+， 所以11160,24132210,a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩解答10d =-．9．【答案】3【解析】本题考查了抛物线焦点坐标和双曲线的离心率．因为抛物线24x y =的焦点为()0,1P ，双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a=±．根据点13=，化简有3c e a ==．10．【答案】1【解析】本题考查了空间几何体的体积问题．因为圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为123l π=和243l π=．1223r ππ=和2423r ππ=，解得123r =，243r =．1h ==，23h ==．所以21112222114313r h v v r h πππ⋅===11．【答案】1-【解析】()()()πππ()sin 666f x a x x x ϕ=+-+=++，因为()f x 是偶函数，所以(0)f =，即32a -=1a =-． 12．【答案】9 本题考查了曲线的切线存在性的问题．【解析】因为21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+，所以`1()(2)f x ax a x=+-+．存在某点处的切线斜率不大于5-，所以存在()0,x ∈+∞，1(2)5ax a x+-+≤-．得到(2)5a +≤-，当且仅当1ax x =取“=”，化简得30a -≥，解得9a ≥．13．【答案】2【解析】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量数量积． 因为3CD =，点E 满足2DE EC =，所以2DE =，1EC =．||||2AE BE ==，AB =2AEC π∠=．又因为165AE DE ⋅=，所以16cos 5AE DE AED ∠=，得到4cos 5AED ∠=． 又()3cos cos 5BEC AEB AED π∠=-∠-∠=． ()()AD BC AE ED BE EC ⋅=+∙+，AE EC ED BE ED EC =∙+∙+∙，()()cos cos AE EC AEC ED BE BED ED EC ππ=-∠+-∠-， 4321221255=⨯⨯+⨯⨯-⨯， 2=．14．【答案】[32]-【解析】① 若1a -≤，222222110()2210 1.x ax a a x f x ax a a x ⎧-+++-<⎪=⎨-+++⎪⎩，≤，，≤≤ 当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当10x -<≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在0[11]x ∈-，，使得0()0f x ≤，则12(1)0a f ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≤或12()02a a f ⎧>-⎪⎨⎪⎩≤，即22430a a a -⎧⎨++⎩≤≤或221420a a a -<-⎧⎨++⎩≤≤，解得31a --≤≤．② 若10a -<<，22222211()222102210 1.ax a a x a f x x ax a a a x ax a a x ⎧-++-<⎪=-+++<⎨⎪-+++⎩，≤，，≤，，≤≤当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当1x a -<≤时，2()221f x ax a a =-++为递减函数，且2()(1)f a a =+， 当0a x <≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在[]011x ∈-，，使得0()0f x ≤， 则()02a f ≤，即2420a a ++≤，解得22a ---≤10a -<<，所以12a -<．综上可得，32a -≤，即a的取值范围为[32]-． 二、解答题：15．【解】（1）因为 m ∥n ，所以sin α＝－2cos α． …… 4分所以原式＝4． …… 6分 （2）因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2． …… 9分所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2， 所以α∈()ππ2，， 所以34sin ,cos 55αα==-． …… 12分所以原式＝ …… 14分16．【解】（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，………2分 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ，…………………4分ABCDP M（第16题）O又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以AP ∥平面BDM ．…………………………7分 （2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故A P B P ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ，……………9分 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． ……………11分 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥．……12分 因为APCP P =，AP CP ⊂，平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP ，……………………………………………………………14分 17．【解】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =km ，由正弦定理得22sin 3sin()sin 33OC CD x x ===ππ- …………………………4分 （注：正弦定理要呈现，否则扣2分）得OC x =km，sin()3CD x π=- km ．…………………………5分 又圆弧DB 长为2()3x π- km ．所以2)2()]33y a x a x x ππ=+⨯-+-2cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，．…………………………7分（2）记()2(cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-，………………8分 令()0f x '=，得6x π=． ……………………………………………………9分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值．即()2)66f a ππ=⨯．………………………………………………………12分答：（1）y 关于x的函数解析式为2cos )3y a x x x π=⨯+-+，其定义域为(0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元．………………………14分18．【解】（1）由题意知：112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得12c a =⎧⎨=⎩，，又2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=． …………………………………………3分因为圆2C 截y 轴所得弦长为4，所以222215r =+=，所以圆2C 的方程为22(1)5x y -+=． …………………………………………6分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，则=即 22425k m km -=-①…………………………………………………………8分由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222(34)84120k x kmx m +++-=，…………………………10分因为直线l 与曲线1C 只有一个公共点，所以22226416(3)(34)0k m m k ∆=--+=，化简，得 22430k m -+=②……………………………………………………12分①②联立，解得122k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，或122k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.，……………………………………………13分由22122(1)5y x x y ⎧=+⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A (，)， ………………………………………………14分由22122(1)5y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A -(，)，………………………………………………15分 故直线l 与圆2C 的公共点A 的坐标为02（，）或(02)-，．…………………………16分 19．【解】（1）当16b =时，31()16f x ax x =++，则21()36f x ax '=+．由0a >可知()0f x '>恒成立，故函数()f x 在[33]-，上单调递增，…… 2分 所以min 1()(3)2702f x f a =-=-+≥，解得1054a <≤，所以集合1{|0}54A a a =<≤． …… 4分（2）① 由3()1f x ax bx =++得2()3f x ax b '=+，因为00a b ><，，则由()0f x '=，得1,212)x x x =<．在R 上列表如下：（ⅰ）当23x ≥，即027b a <-≤时，则12[33][]x x -⊆，，，所以()f x 在[33]-，上单调递减； …… 6分（ⅱ）当23x <，即27b a >-时，此时13x >-，()f x 在1[3]x -，和2[3]x ，上单调递增；在12()x x ，上单调递减．综上，当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减；当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增；在(上单调递减． …… 8分 ②（方法一）当1b <-时，由①可知，（ⅰ）当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减，所以min ()(3)2731312110f x f a b b b b ==++-++=+<-<≤，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在； …… 10分（ⅱ）当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增；在(上单调递减，所以min 2()min{(3)()}f x f f x =-，． …… 12分 若(3)27310f a b -=--+<，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾， 故此时实数a 不存在；若(3)27310f a b -=--+>，此时3222()1f x ax bx =++， 又222()30f x ax b '=+=，则223b ax =-，32222222()1()111133bx b f x ax bx x bx =++=-++=+==．…… 14分下面证明10<，也即证：3427b a ->．因为27ba >-，且27310a b --+>，则2731a b <-+， 下证：3431b b ->-+．令3()431(1)g b b b b =-+<-，则2()1230g b b '=->，所以()g b 在(,1]-∞-上单调递增，所以()(1)0g b g <-=，即2()0f x <． 这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在．综上所述，A =∅． …… 16分 （方法二）（ⅰ）当0x =时，(0)1f =≥0成立；（ⅱ）当(0,3]x ∈时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x-≥-，设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 令()0g x '=，解得32x b =-．因为1b <-，所以3032b<-<，所以()g x 在3(0)2b -，上单调递增，在3(3]2b-，上单调递减， 所以333max3484()()292727b b b g x g b =-=-+=-，所以3427b a ≥-； …… 12分 （ⅲ）当[30)x ∈-，时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≤-．设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 因为1b <-，所以()0g x '>恒成立，所以()g x 在[3,0)-上单调递增， 所以min 1()(3)927b g x g =-=-+，所以1927b a -+≤．若A ≠∅，则存在实数a 满足34127927b b a -+-≤≤， 则34127927b b -+-≤成立，即34310b b -+≥， 也即2(1)(21)0b b +-≥成立，则1b -≥，这与1b <-矛盾，所以A =∅． …… 16分20．【解】（1）由22112n n a n S λλ+--=，得221(1)12(2)n n a n S n λλ----=≥，两式相减得22212n n n a a a λλ+--=，也即221()n n a a λ+=+．又00n a λ>>，，所以1(2)n n a a n λ+=+≥． …… 2分当1n =时，2221122a a λλλ--==，则211a a λλ=+=+， 所以1n n a a λ+=+（*n ∈N ），所以数列{}n a 是首项为1，公差为λ的等差数列，所以1(1)1n a n n λλλ=+-=+-． …… 4分 （2）① 由（1）知2(2)2n n nS λλ+-=，所以22(2)(2)12()12(1)21n n nn nSn n n b n a n n n λλλλλλλλλλ+-+-====++-+-+-，…… 6分则21111(1)(22)2(1)021(1)12(1)((1)1)n n n n n n n b b n n n n ++-+-+-=+-=⋅>+-++-+λλλλλλ，所以1n n b b +<得证． …… 8分 ② 1111111()()n n n k n n k nc c S S S S ++----=+-+ 111111()()n n k n k nS S S S +---=-+- 111n k nn n k n k n a a S S S S +-+----=+⋅⋅ 11111k n n k n k n n n a a S S S S -+---+=⋅-⋅111111k n k n n n S b S b ---+=⋅-⋅， …… 12分 因为22k n +≥，所以1n k n +<-，1n k n <--． 由0n a >，所以10n k n S S --<<，所以1110k n nS S --<<， 又因为10n k n b b +-<<，所以1110k n n b b -+<<，所以10n n c c +-<，所以1n n c c +>得证． …… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21-A ．连接BC 设,AB CD 相交于点E ，AE x =，因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90° ……………………2分 则6EB x =-，CE ……………………………4分 由射影定理得2CE AE EB = ……………………………6分 即有(6)5x x -=解得1x =（舍）或5x = ………………………………8分 所以 25630AC AE AB ==⨯=，AC ……………………………………………10分21-B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦， 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． …… 5分则12221444x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，所以22,44,x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=⎩ 所以x ，y 的值分别为0，1． …… 10分21-C ．由3cos 1,3sin 3,x y αα=+⎧⎨=+⎩得13cos ,33sin ,x y αα-=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)(3)9x y -+-=． ………………………………4分 所以曲线C 是以(1,3)为圆心，半径等于3的圆．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， ……………… …………………………6分 圆心C 到l的距离是d ==，所以直线l 被曲线C截得的线段长为 ……………………………10分21-D ．因为22262a b c -=+ ………………………………………………………………2分2221(2)(1)32b c =++2222()(3)33b c a +=-≥，………………………6分 即25120a a -≤，所以 1205a ≤≤．……………………………………………10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ．因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ， …… 2分 （1）因为111(0,4,0),(1,2,3)A C A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 所以1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅所以直线1DB 与平面11A C D…… 5分 （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅， 二面角111B A D C --． …… 10分 23． (1)由(1)2(2)4(3)8f f f ===，，，得18+42327937a b c a b c a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，，解得15066a b c ===，，．3分(2)用数学归纳法证明315()1N*66f n n n n =++∈，．①当1n =时，显然成立． ……………………………………………4分 ②假设当n k =时成立，即315()166f k k k =++，那么当+1n k =时，在k 个平面的基础上再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得到k 条互不平行且不共点的交线，且其中任 何3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划分成211122k k ++个部分． 每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了 211122k k ++个，所以(1)()f k f k +=+211122k k ++……………………………………………7分315166k k =+++211122k k ++ 315(1)(1)166k k =++++， 即+1n k =时，结论成立． ……………………………………………9分根据①②可知，315()1N*66f n n n n =++∈，．…………………………………10分。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)
2018年高考模拟试卷〔6〕南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷〔必做题，共160分〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则UA = ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽假设干名学生测量视力，假设高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，假设抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如下图的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．假设该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-〔0ω>〕的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．假设△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ．11．假设函数()1()log 1a x f x =+-〔0a >且1a ≠〕没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，假设函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题总分值14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．〔1〕假设3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； 〔2〕假设5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题总分值14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． 〔1〕求证：AF ⊥DD 1； 〔2〕求证：AD //平面1MBC ． BA〔第16题〕B 1A 1C 1MCFDD 117．(本小题总分值16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．假设椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕过椭圆右焦点F 的直线〔不经过P 点〕与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．〔本小题总分值16分〕某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米〔其中a 为正常数〕，过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． 〔1〕设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； 〔2〕试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O〔17题图〕F E19．〔本小题总分值16分〕已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)假设函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k的取值范围．20．(本小题总分值16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)假设A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷〔6〕数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]〔本小题总分值10分〕如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线P A 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕假设两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分值10分〕求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．〔第21题〔A 〕【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．〔本小题总分值10分〕如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．〔1〕当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；〔2〕当CF 与平面ACDλ的值．23．〔本小题总分值10分〕设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n ，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞f n (x )；(2)假设x ＞0，且e x ＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷〔6〕参考答案数学Ⅰ1．(]02，2． 5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．3 解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．假设01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；假设1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2 ＝n a n －n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n }成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在〔0,2〕上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=， 所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B c A B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：〔1〕当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 假设(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分 〔2〕因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分 16．证明：〔1〕∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 〔2〕连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分 又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点， ∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ． ∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：〔1〕设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，BAE 〔第15〔2〕题图〕B 1A 1C 1M C FDD所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分〔2〕设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由〔1〕知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．〔方法一〕〔1〕由12tan 5CAB ∠=得12sin CAB =∠，5cos CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CABAE AP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 〔方法二〕(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ= 由PF PE FE +=即12262sin sin y xy θθ+=整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 〔方法三〕〔1〕以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)(①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1)①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bp n ＝q n ．令s ＝a p ，t ＝bp，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q ，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0， 这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0．如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n +tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分 再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n ，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ〔附加题〕21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ，又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC，所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线P A 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋〔y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=〔y －3)2－4〔y 2 －3y ＋3〕=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
(完整word版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)
2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题第I卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1 .设集合A = {1 , x }, B = {2 , 3, 4}，若A A B ={4}，则x 的值为▲.2. 若复数Z1= 2+i, z1 -z2（） z2 = 5，则z2= ▲ .3. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200,右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25, 30）的为一等品，在区间[20 , 25）和[30, 35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为▲4. 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为▲.5. 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动•某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元,0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为▲.26. 函数y log2（3 2x x ）的值域为▲.7. 已知P ABC是正三棱锥，其外接球O的表面积为16 n且/ APO = / BPO = / CPO=30°则三棱锥的体积为▲.28. 已知双曲线x2— 1的左、右顶点为A、B，焦点在y轴上的椭圆以A、B为顶点，4且离心率为—，过A 作斜率为k 的直线I 交双曲线于另一点 M ，交椭圆于另一点 N ,2若ANUJUJTNM ，贝U k 的值为值为 ▲19.已知函数 f(x) = cosx(sin x + cosx)—,若 f()22—，则cos(—2 )的值为 ▲6410 •已知a n 是首项为1,公比为2的等比数列, 数列b n 满足b 印，且b na i a 2 L a n 1 a n a n 1 L a 2 a 1( n》2, n，若 a m (b m 28)2018，则m 的11.定义在 1,1上的函数f (x)sin x axb(a 1)的值恒非负，贝U ab 的最大值12.在厶ABC 中，若35 UUJ UUU 21 uur uuur AB BC15 uur uuu ，贝H cosC 的值为 BC CA13.在平面直xOy 中,2y 1,直线l : x ay 3 0 ,过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为 uun P,N ，且 QP UJIT 2QN ,则正实数a 的取值范围是▲3—14.已知偶函数y f(x)满足f(x 2)f(2 2x)，且在 x 2,0 时，f (x) x 1 ,若存在 x-i , X 2,L , x n 满足 0W x-ix 2X n,x-i f x 2f x ?f X 3f X n 12017，则X n 最小值二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.15. (本小题满分14分)已知函数f (x) As in xA 0,0的最小值是一2,其图象经过点 M (— ,1) •3(1) 求 f (x)的解析式; (2)已知(o,牙)，且f ()8， 2 524f () ，求f ()的值.1316. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD 中，BAD 90 , AD // BC ,AD 2BC , AB PA.(1) 求证：平面PAD 平面ABCD ；(2) 若E为PD的中点，求证：CE //平面PAB .A17. (本小题满分14分)有一块以点0为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离0点2百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A, B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA, 0B，其中小路的宽度忽略不计.这块圆形广场的最大面积. (结果保留根号和)(1) 若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2) 若要在△ ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求18. (本小题满分16分)如图，点a n 1 2a n 8 , {g} , &分别为椭圆b： b； 14S n+25的左、右顶点和右焦点，过点n N的直线｛务｝(异于｛0｝轴)交椭圆C于点｛g｝, c. a. b n .(1)若AF 3，点4r, s, t与椭圆C左准线的距离为5，求椭圆C的方程;(2)已知直线(r s t)的斜率是直线r，s, t斜率的f(m x) f (x)倍.②若椭圆C的焦距为f(m x)①求椭圆C的离心率;19. (本小题满分16分)已知函数f (x) xlnx ax2.(1) 若曲线y f (x)在x 1处的切线过点A(2, 2).①求实数a的值；f (x) 1②设函数g(x) ，当s 0时，试比较g(s)与g(-)的大小;x s1(2) 若函数f (x)有两个极值点X1 , X2 ( X1 X2),求证：f(xj -.220. (本小题满分16分)设数列｛a n｝的各项均为不等的正整数，其前n项和为S n，我们称满足条件“对任意的m , n N*，均有(n m)S n m (n m)(S n S m) ” 的数列｛a n｝为“好”数列.（1 ）试分别判断数列｛a n ｝ , ｛b n ｝是否为好”数列，其中a n 2n 1, b 2n 1 ,n N * ,并给出证明；（2）已知数列｛C n ｝为好”数列.① 若C 20172018，求数列｛C n ｝的通项公式；② 若G p ，且对任意给定正整数p ，s （ s 1），有G ，C s ，C t 成等比数列,求证：t > s 2 •2018年高考模拟试卷（9）数学U （附加题）21 •【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题,并在相应的答题区域内作答 A •［选修4 — 1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB 为O O 的直径，BD 是O O 的切线，连接 AD 交O O 于E ,若BD // CE ,2AB 交 CE 于 M ，求证：AB AE ADxxx 2v已知点A 在变换T :y作用后，再绕原点逆时针旋转 90 ,v v v得到点B •若点B 的坐标为（3,4），求点A 的坐标.B •［选修4 — 2:矩阵与变换］（本小题满分10分） （第21-A ）C .［选修4 — 4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，圆 C 的方程为 2acos (a 0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴x 3t 1 I 的参数方程为(t 为参数)，若直线Iy 4t 3与圆C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围.D .［选修4 — 5:不等式选讲］(本小题满分10分)3 21已知正数a,b,c 满足2a 3b 6c 2，求的最小值.a b c【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷纸指定区域内 作答.连接 AM, AC,CM ，若 MAQ 90 .(1) 求直线C 1M 与平面CA 1M 所成角的正弦值；(2) 求平面CAM 与平面AAC 1C 所成的锐二面角.23.(本小题满分 10分)正半轴建立平面直角坐标系，设直线22.已知直三棱柱ABC A 1BQ 1 中， ABC 为等边三角形,延长BB 1至M ，使BB 1B 1M ,B1B(第 22 题)M(1)求证：kC：k (n k)C：；1 ；(2)求证：1008( 1 )n C n 1n 0 2017 n 2017 n 20172018年高考模拟试卷(9)参考答案数学I一、填空题:1 .【答案】4【解析】因为AQB ={4}，所以4 € A,故x= 4.2 .【答案】2+i5【解析由z i Z2 = 5,得玄=化=2-i,所以Z1= 2+i.' 2+i3 .【答案】50【解析】三等品总数n [1 (0,05 0.0375 0.0625) 5] 200 50 .4 .【答案】30【解析】A 3, N 1,输出3；A 6, N 2，输出6；A 30, N 3，输出30；则这列数中的第3个数是30.15 .【答案】丄5【解析】两名同学抢红包的事件如下：(2.53, 1.19) (2.53, 3.21 ) (2.53, 0.73) (2.53,2.33)(1.19, 3.21) (1.19, 0.73) (1.19 , 2.33) (3.21 , 0.73) (3.21 , 2.33) (0.73 , 2.33),共10 种可能，其中金额不低于5元的事件有(2.53 , 3.21) (3.21, 2.33),共2种可能，所以不低于5元的概率P —1.10 56 .【答案】,2【解析】因为3 2x x2(x 1)2 4 0,4 ,所以log2(3 2x x2) ,2 ,即值域为,2 .7 •【答案】9、34【解析】设球的半径为R, △ ABC的外接圆圆心为0',则由球的表面积为16n,可知4n1 2= 16n,所以R= 2•设△ ABC的边长为2a,因为/ APO=Z BPO=Z CPO = 30° OB= OP = 2,所以BO'= ~^R= 3, 00 ' = , OB2- BO ' 2= 1 ,PO ' = 00 ' + 0P= 3•在△ ABC 中，O ' B= |2a= 3,所以a= 3，所以三棱锥PABC的体积为V = * * 32X sin60° 3=2 3 2 48 .【答案】3c 3 2【解析】对于椭圆，显然 b 1,- -，所以椭圆方程为今y2 1，设N（x o,y。
江苏省南通基地高考数学密卷7理
江苏省南通基地2018年高考数学密卷（7）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数（是虚数单位），若是实数，则实数的值为▲．2．在平面直角坐标系xOy中，角的始边为射线Ox，点在其终边上，则的值为▲．3．设全集U是实数集R，，，则图中阴影部分所表示的集合为▲．4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班统计，其结果的频率分布直方图如右上图．若某高校A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中最多有▲ 人能报考A专业．5．袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为▲ ．6．执行如图所示的算法，则输出的结果是▲ ．7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的一个焦点为，则该双曲线的离心率为▲ ．8．现用一半径为10 cm，面积为80 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为▲ cm3．9．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，∠BAD＝60°，点E，F分别满足AE→＝2ED→，DF→＝FC→，则的值为▲ ．10．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若满足a4 + 3a11= 0，则= ▲．11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线被圆截得的弦长是定值（与实数m无关），则实数k的值为▲．12．在△ABC中，，，则的值为▲．13．设F是椭圆＋＝1(a＞0，且a≠2)的一焦点，长为3的线段AB的两个端点在椭圆上移动．则当AF·BF取得最大值时，a的值是▲ ．14．设函数，其中．若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)在△中，为锐角，且．（1）若，，求的长；（2）若，求的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且BC平面PDE．（1）求证：平面PBC；（2）若平面PCD⊥平面ABC，求证：平面PAB⊥平面PCD．17．(本小题满分14分设，，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1 m，与间的距离是2 m，△ABC的三个顶点分别在，，．（1）如图1，△ABC为等边三角形，求△ABC的边长；（2）如图2，△ABC为直角三角形，且为直角顶点，求的最小值．BC Al3l2l1图1 BCl3l2l1图2A18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，设P为圆：上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足．Array（1）求证：当点P运动时，点M（2）过点T作圆的两条切线，切点分别为A，B．①求证：直线AB过定点（与无关）；②设直线AB与（1）中的椭圆交于C，D（第18题）19．(本小题满分16分)设等差数列是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，．（1）设数列其前项和为，，．①若，，求的值；②若数列为等差数列，求；（2）求证：数列中存在三项（按原来的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数，．（1）若直线与的图象相切，求实数的值；（2）设函数，试讨论函数在上的零点个数；（3）设，且，求证：．2018年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形是圆的内接四边形，，、的延长线交于点．求证：平分．B． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵所对应的变换把直线：变换为自身，求实数的值．C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线：（t为参数）恒经过椭圆C：（为参数）的右焦点，求实数的值．D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设均为正数，且，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．22．(本小题满分10分)设随机变量ξ的分布列为，其中，c为常数．（1）求c的值；（2）求ξ的数学期望E(ξ)．23．(本小题满分10分)已知数列满足…．（1）求，，的值；（2）猜想数列的通项公式，并证明．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．【答案】0【解析】是实数，则．2．【答案】【解析】根据三角函数定义，．3．【答案】【解析】图中阴影部分所表示的集合为，即为．4．【答案】18【解析】校A专业对视力要求不低于0.9的学生数为45．5．【答案】【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为．6． 【答案】2【解析】根据循环，依次得到的值分别为； ，…，，因为，所以最后的输出结果为2． 7． 【答案】【解析】由题意，，即，所以双曲线为，所以离心率为． 8． 【答案】【解析】设圆锥底面半径为，高为，由题意，，得． 所以，容积为． 9． 【答案】因为，；，那么 ． 10． 【答案】【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知，所以． 11． 【答案】【解析】由得，，则圆心到直线的距离为，设截得的半弦长为， 则（与实数m 无关）， 所以，．12． 【答案】1【解析】由得，， 即，所以， 所以．13．【答案】 83或 3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′． 则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3． 所以AF ·BF ≤(AF ·BF2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时，上式等号成立，此时，AB ⊥x 轴，且AB 过点F ′．于是 4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝ 3．14． 【答案】【分析】当时，的图象相切；时，的图象均过点 ， ，故唯一的正整数，同时，从而．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）因为，，所以． ……3分 在△中，由余弦定理得，，解得，所以的长为． ……6分 （2）由（1）知，， ……8分 所以． ……11分 在△中，，所以． ……14分 16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC 平面PDE ， BC 平面ABC ，平面PDE 平面ABC =DE ，所以BC ∥DE . ……3分 因为DE 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以平面PBC ． ……6分 （2）由（1）知，BC ∥DE ．在△ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点． 因为，所以， ……9分因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD 平面ABC CD ，平面ABC ，则AB 平面PCD ． ……12分 因为AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ……14分 17．(本小题满分14分 解：（1）如图1，过点B 作的垂线，分别交，，于点D ，E ，设，则．则，． ……2分因为，所以， 化简得，所以，则，所以边长． ……6分 （2）如图2，过点B 作的垂线，分别交，于点D ，E ． 设，则，则，．于是．……8分 记，．求导，得．……10分 令，得．记， 列表：当时，取最小值，此时，，．……12分 答：（1）边长为m ；（2）长度的最小值为m ．……14分 18．(本小题满分16分) 解：（1）设点，由，得．因为P 为圆：上的动点， 所以，即，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆上． ……4分 （2）①设，，当时，直线AT 的方程为：，即， 因为，所以，当时，直线AT 的方程为：， 综上，直线AT 的方程为：．BCAl 3 l 2l 1图2DE同理，直线BT的方程为：．又点T在直线AT，BT上，则，①，②由①②知，直线AB的方程为：．所以直线AB过定点．……9分②设,，则O到AB的距离，．……11分由，得，于是，，所以，……13分于是，0（显然）所以．……16分19．(本小题满分16分)解：设等差数列的公差为．因为无穷数列的各项均为互不相同的正整数，所以，．（1）①由，得，，，……2分解得，．所以．……4分②因为数列为等差数列，所以，即．所以，解得（已舍）．……6分此时，．……8分（2）因为是数列的第项，是的第项，且，，所以．又，所以数列中存在三项，，按原来的顺序）成等比数列．……16分20．(本小题满分16分)解：（1）设直线与的图象的切点为．因为，所以，……2分所以．令，．令得．所以，所以，所以．……4分（2）．令得．令，．当时，有最小值．因为在上的图象是连续不断的，当时，在上恒成立，所以在无零点；当时，所以在有且仅有一个零点；当时，此时，因为，所以在上有且仅有一个零点．又因为，令，，则，，所以．所以在上单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以在恒成立，所以，即，所以在上有且仅有一个零点．所以在上有两个零点．综上所述，时，在无零点；时，在有且仅有一个零点；时，在有两个零点．……10分（3）因为在上单调增，且，所以，，所以．令，．因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以式成立，所以．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为四边形是圆的内接四边形，所以．…… 2分因为，所以．…… 4分又，…… 6分，…… 8分所以，即平分．…… 10分D． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设是：上任意一点，在矩阵对应的变换得到点为，由，得…… 5分代入直线：，得，…… 7分所以解得．…… 10分C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线化为普通方程，得…… 3分将椭圆C化为普通方程，得．…… 6分因为，则右焦点的坐标为. …… 8分而直线经过点，所以. …… 10分D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为均为正数，且，所以，（当且仅当时等号成立）…… 8分所以. …… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）因为，又由概率分布的性质可知，即，所以c ． (3)分（2）由（1）知，，于是．…… 8分所以ξ的数学期望E(ξ)．……10分23．(本小题满分10分)解：（1），，．…… 3分（2）猜想：．证明：①当，2，3时，由上知结论成立；…… 5分②假设时结论成立，则有．则时，．由得，．又，于是．所以，故时结论也成立．由①②得，．…… 10分。
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2018年高考南通市数学学科基地密卷(7)高三数学试卷 第 1 页 共 32 页2018年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 复数i z a =+（a ∈R ，i 是虚数单位），若2z 是实数，则实数a 的值为 ▲ ．2． 在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为射线Ox ，点()12P -，在其终边上，则sin α 的值为 ▲ ．3． 设全集U 是实数集R ，{}3M x x =>，{}2N x x =>，则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ ．4． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行 统计，若某高校0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 频率组距 视力0.250.50 0.75 1.001.75（第4题）（第3题）U高三数学试卷第 1 页共 32 页高三数学试卷 第 1 页 共 32 页AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF BE ⋅的值为 ▲ ． 10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S= ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y kx =被圆2222310xy mx m +--+-=截得的弦长是定值（与实数m 无关），则实数k 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ．13．设F 是椭圆22x a ＋24y ＝1(a ＞0，且a ≠2)的一焦点，长为3的线段AB 的两个端点在椭圆上移动．则当AF ·BF 取得最大值时，a 的值是 ▲ ． 14．设函数2172 2 044()()3 0k x x f x g x k x x x ⎧+⎛⎫-+⎪⎛⎫ ⎪==-⎝⎭⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎩≤，，，，，其中0k >．若存在唯一的整数x ，使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 ▲ ．高三数学试卷 第 2 页 共 32 页（第16题）B 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，A 为锐角，且3sin 5A =．（1）若2AC =，65BC =，求AB 的长； （2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC BC //平面PDE ． （1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．高三数学试卷 第 3 页 共 32 页17．(本小题满分14分设1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线，1l与2l 间的距离是1 m ，2l 与3l 间的距离是2 m ，△ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l ．（1）如图1，△ABC 为等边三角形，求△ABC 的边长；（2）如图2，△ABC 为直角三角形，且B 为直角顶点，求4AB BC +的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设P 为圆O ：222x y +=上的动点，过P 作x 轴的BC A ll l图1B C lll图2A高三数学试卷 第 4 页 共 32 页垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ MQ=．（1）求证：当点P 运动时，点M 始终在一个确定的椭圆上；（2）过点T ()2()t t -∈R ，作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．① 求证：直线AB 过定点（与t 无关）； ② 设直线AB 与（1）中的椭圆交于C ，D两点，求证：ABCD19．(本小题满分16分)设等差数列{}na 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，．（1）设数列{}na 其前n 项和为nS ，1nnnS ba =-，*n ∈N ．① 若25a=，540S=，求2b 的值；高三数学试卷 第 5 页 共 32 页② 若数列{}nb 为等差数列，求nb ；（2）求证：数列{}na 中存在三项（按原来的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数()e xf x =，2()g x mx =．（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，试讨论函数()h x 在(0)+∞，上的零点个数；（3）设12x x ∈R，，且12x x <，求证：122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-．2018年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，高三数学试卷 第 6 页 共 32 页请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD=，BA 、CD求证：AE 平分DAF ∠．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵13a b-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换T M把直线l ：23x y -=变换为自身，求实数a b ，的值．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)（第21—A 题）高三数学试卷 第 7 页 共 32 页已知直线l ：cos sin x t my t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数） 的右焦点，求实数m 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 设123a aa ，，均为正数，且1231111aa a++=，求证：1239a a a ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．22．(本小题满分10分)设随机变量ξ的分布列为!()k k P k c ξ⋅==，其中*6k k ∈<N ，，c 为常数．（1）求c 的值；（2）求ξ的数学期望E (ξ )．23．(本小题满分10分) 已知数列{}na 满足12312323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n n n n ++∈N ，．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}na 的通项公式，并证明．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 【答案】0【解析】()222i 12iz a a a =+=-+是实数，则0a =．2．【解析】根据三角函数定义，sin α==．3． 【答案】(]2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为()U C M N，即为(]2,3．4． 【答案】18【解析】校A 专业对视力要求不低于0.9的学生数为45()10.750.250.218⨯++⨯=．5． 【答案】23【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为23． 6． 【答案】2【解析】根据循环，依次得到,,n M S 的值分别为2443,,log 33； 225454,,log log 434+，…，22212451211,,log log log 113411+++，因为2224512loglog log 223411S =+++=≥，所以最后的输出结果为2．7．【解析】由题意，235k -=，即4k =，所以双曲线为2214x y -=8． 【答案】128π【解析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意，π1080πr ⨯=，得8r =．所以6h =，容积为2211ππ8633128πr h =⨯⨯=． 9． 【答案】6-因为23AE AD =，12AF AD DF AD AB =+=+；23BE BA AE AD AB =+=-，那么AF BE ⋅=()()1223AD AB AD AB +⋅-22212323AD AB AB AD =--⋅6846=--=-．10． 【答案】76【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知713q=-，所以212114147116S q S q -==-．11．【解析】由2222310x y mx m +--+-=得，()()2221x m y m -+=+，则圆心()m 到直线y kx =的距离为2km ，设截得的半弦长为p ，则()221p m =+-(2221k m k =+)2222111m k k -+++（与实数m无关），10-=，k =．12． 【答案】1【解析】由cos 2sin sin A B C =得，()cos 2sin sin B C B C -+=， 即cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C -+=，所以tan tan 1B C =-，所以()tan tan 2tan tan 1tantan 111B C A B C B C +-=-+===---． 13．【答案】 83或3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′．则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3．所以AF ·BF ≤(AF ·BF 2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时，上式等号成立，此时，AB ⊥x 轴，且AB 过点F ′．于是4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝3．14． 【答案】1763⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】当163k =时，()()f x g x ，的图象相切；6k =时，()()f xg x ，的图象均过点()24，， ()416，，故唯一的正整数3x =，同时174k k +≤，从而1763k ≤≤． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）因为3sin 5A =，()π02A ∈，， 所以4cos5A==．……3分在△ABC中，由余弦定理222cos2b c aAbc+-=得，()2226254522cc+-=⨯⨯，解得85c=，所以AB的长为85．……6分（2）由（1）知，3sin35tancos445AAA===，……8分所以()()()31tan tan1343tan tan3191tan tan143A A BB A A BA A B+--=--===⎡⎤⎣⎦+--⨯．……11分在△ABC中，πA B C++=，所以()313tan tan7949tan tantan tan13133149A BC A BA B++=-+===-⨯-．……14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC//平面PDE，BC⊂平面ABC，平面PDE平面ABC=DE，所以BC∥DE.……3分因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以//DE平面PBC．……6分（2）由（1）知，BC∥DE．在△ABC中，因为点E为AC 的中点，所以D是AB的中点．因为AC BC=，所以⊥，……9分AB CD因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD平面ABC=CD，AB⊂平面ABC，则AB⊥平面PCD．……12分因为AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PCD ． (14)分17．(本小题满分14分 解：（1）如图1，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l ，于点D ，E ，设DBA θ∠=，则23EBC θπ∠=-． 则1cos AB θ=，()22πcos 3BC θ=-． ……2分因为AB BC =，所以()12cos 2πcos 3θθ=-，化简得5cos θθ=，所以tan θ，则cos θ=，所以边长1cos AB θ==．……6分B C A l l l 图1 D E（2）如图2，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l 于点D ，E ．设DBA θ∠=，则π2EBC θ∠=-， 则1cos AB θ=，2sin BC θ=． 于是184cos sin AB BC θθ+=+．……8分记18()cos sin f θθθ=+，()π02θ∈，． 求导，得333222221sin 8cos sin 8cos tan 8()cos sin sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθ---'=-==．……10分 令()0f θ'=，得tan 2θ=．记0tan 2θ=，列表：当0θθ=时，()f θ取最小值，此时sin θ=，cos θ=，0()f θ=． BCA l ll图D E……12分 答：（1）边长AB为；（2）4AB BC +长度的最小值为．……14分 18．(本小题满分16分) 解：（1）设点()M x y ，PQ=，得()P x ．因为P 为圆O ：222x y +=上的动点，所以)222x +=，即2212x y +=，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆2212x y +=上． ……4分（2）①设11()A x y ，，22()B x y ，，当10y ≠时，直线AT 的方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y xy +=+，因为22112xy +=，所以112x x y y +=，当10y =时，直线AT的方程为：x = 综上，直线AT 的方程为：112x x y y +=．同理，直线BT 的方程为：222x x y y +=．又点T ()2()t t -∈R ，在直线AT ，BT 上， 则1122x ty -+=，①2222x ty -+=，②由①②知，直线AB 的方程为：22x ty -+=．所以直线AB过定点()10-，． (9)分②设33()C x y ，,44()D x y ，，则O 到AB 的距离d =，AB = ……11分由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440ty ty +--=，于是34248ty y t +=+，34248y yt -=+，所以34CD y y -=， ……13分于是AB CD =，AB CD ⇔⇔()222(8)2t t ++2≤()222(4)4t t ++⇔42(6)t t +≥0（显然）所以AB CD．……16分19．(本小题满分16分) 解：设等差数列{}na 的公差为d ．因为无穷数列{}na 的各项均为互不相同的正整数，所以*1a ∈N ，*d ∈N ．（1）①由25a=，540S =得，15a d +=，1545402a d ⨯+=， ……2分 解得12a =，3d =．所以21222215S ab a a =-==． ……4分②因为数列{}nb 为等差数列，所以2132b b b =+，即()3212132111S SS aa a -=-+-．所以()()111122312a d a d a d a d++=+++，解得1a d =（0d =已舍）． ……6分此时，()11112112n n n n n a S n b a na +-=-=-=． (8)分（2）因为()111111a a a a d+=++-⎡⎤⎣⎦是数列{}na的第()11a +项，()1(2)111(2)11a d a a a d d++=+++-⎡⎤⎣⎦是{}na 的第()1(2)1a d ++项，且()()1222111a a a d +=+，[]11(2)1111(2)a d a a a a a d d ++⋅=⋅++，所以()121a a +11(2)1a d a a ++=⋅．又1111(2)1a a a d <+<++，所以数列{}na 中存在三项1a ，11a a +，1(2)1a d a ++按原来的顺序）成等比数列．……16分 20．(本小题满分16分)解：（1）设直线1y kx =+与()f x 的图象的切点为0(e )x x ，．因为()e xf x '=，所以000e e 1xx k kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩， ……2分 所以00e(1)10x x -+=．令()e (1)1xx x ϕ=-+，()e xx x ϕ'=⋅．令()0x ϕ'=得0x =．所以min ()(0)0x ϕϕ==，所以00x =，所以1k =． ……4分（2）2()e xh x mx =- (0)x >．令()0h x =得2e x m x=． 令2e ()x t x m=-(0)x >，3e (2)()x x t x -'=．当2x =时，()t x 有最小值2e (2)4t m =-．因为()t x 在(0)+∞，上的图象是连续不断的， 当2e 4m <时，()0t x >在(0)+∞，上恒成立，所以()h x 在(0)+∞，无零点； 当2e 4m =时，min()0tx = 所以()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点；当2e 4m >时，此时min ()(2)0t x t =<，因为()112211e e 0m m t m m m m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()t x 在(02)，上有且仅有一个零点．又因为33322e 1(3)(e 9)99mmt m m m m m=-=-， 令31()e 3xu x x =-，(2,)x ∈+∞，则2()exu x x '=-，()e 2xu x x''=-，所以()e20xu x '''=->．所以()u x ''在(2)+∞，上单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''''>=->，所以()u x '在(2)+∞，单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''>=->， 所以()u x 在(2)+∞，单调递增，所以28()(2)e 03u x u >=->， 所以31e3xx >在(2)+∞，恒成立，所以33e9mm >，即(3)0t m >，所以()t x 在(2)+∞，上有且仅有一个零点．所以()h x 在(0)+∞，上有两个零点．综上所述，2e 4m <时，()h x 在(0)+∞，无零点；2e 4m =时，()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点；2e4m >时，()h x 在(0)+∞，有两个零点． ……10分（3）因为()e xf x =在()-∞+∞，上单调增，且21x x >， 所以21()()f x f x >，210xx ->，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x+->-122121e e e e 2x x x x x x +-⇔>-212121e e 2e e x x x x x x --⇔>+2121211e 1()2e 1x x x x x x ---⇔->+212112()1()2e 1x x x x -⇔->-*+．令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0)x >，222(e 1)12e ()2(e 1)2(e 1)x x x x x ϕ-'=-=++．因为0x >，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(0)+∞，上单调递增，所以()(0)0x ϕϕ>=， 所以()*式成立，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-． ……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C ． [选修4—1：几何证明选讲](分) 证明：因为四边形ABCD 所以EAD BCD∠=∠． …… 2分因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠． …… 4分又BAC EAF∠=∠， …… 6分BAC BDC∠=∠， …… 8分所以EAD EAF∠=∠，即AE平分DAF∠． …… 10分D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设()P x y ，是l ：23x y -=上任意一点，在矩阵13a b-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换得到点为()x y ''，，（第21—A 题）由13a x x b y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得3x x ay y bx y '=-+⎧⎨'=+⎩，， (5)分代入直线l：23x y -=，得(2)(23)3b x a y --+-=， …… 7分所以22231b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得14a b ==-，． (10)分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线l化为普通方程，得tan ()y x m α=- …… 3分将椭圆C 化为普通方程，得221259x y +=． …… 6分 因为5,3,4a b c ===，则右焦点的坐标为(4,0). …… 8分而直线l 经过点(,0)m ，所以4m =. ……10分D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为123a a a ，，均为正数，且1231111a a a++=， 所以123a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1233a a a ===时等号成立） …… 8分所以1239a a a ++≥.…… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）因为[]!(1)1!(1)!!(1)!!k k k k k k k k k ⋅=+-⋅=+⋅-=+-， 又由概率分布的性质可知51()1k P k ξ===∑，即()[]()555111!111719!(1)!!6!1!1k k k k k k k k k c c c c c ===⋅=⋅=+-=-==∑∑∑，所以c= 719．…… 3分（2）由（1）知!()719k k P k ξ⋅==，*6k k ∈<N ，， 于是22!4(2)719719P ξ⨯===，1(1)719P ξ==，33!18(3)719719P ξ⨯===，44!96(4)719719P ξ⨯===，55!600(5)719719P ξ⨯===． (8)分所以ξ的数学期望E (ξ )14189660012345719719719719719=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3447719=．……10分 23．(本小题满分10分) 解：（1）12a =，24a =，38a =．…… 3分（2）猜想：2n na =．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立， 则有123012323C C C CC 22222k kk k k k k kkka ++++=+++++=． 则1n k =+时，123101112131111231C C C CC 2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++． 由111C C C k k k n n n+++=+得102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++0121112311231C C C C C222222k k+kk k k k k k+k+kk+-+++++=++++++，12110231111121C C C C 12(C )22222k k+kk k k k k+k+k k k ka -++++++-=++++++121102311111121C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k+-+++++++-=++++++．又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++，于是11122k k k aa ++=+．所以112k k a++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． (10)分。