齿轮动力学

（一） 直齿圆柱齿轮传动的扭转振动模型若忽略传动轴的扭转变形，只考虑齿轮副处的变形，则得到最简单的扭转振动模型，如图1所示。

其中r b1、r b2为主从动齿轮的基圆直径，k v 为齿轮副的综合啮合刚度，并且考虑齿轮副的啮合阻尼系数c v 以及齿廓误差e 的作用，主动轮上作用与转动方向相同的驱动力矩T 1，从动轮上作用与转动方向相反的阻力矩T 2图1 齿轮副的扭转振动模型啮合线上的综合变形δi 可写为：1122i b b i r r e δθθ=--(1)设重合度小于2，啮合齿对为i ，法向啮合力可以表示为：()()()11221122i vi i vi i vi b b i vi b b i iiiF F k c k r r e c r r e δδθθθθ⎡⎤==+=--+--⎣⎦∑∑∑&&&& (2)式中：i 为参与啮合的齿对序号，i =1,2；k vi 、c vi 为齿对i 在啮合点位置的综合啮合刚度和阻尼系数。

主、从动齿轮的力矩平衡方程为：12111222b b J T r F J T r F θθ=-=-&&&& (3)将(2)带入(1)中得到：()()()()111112211221222112211222b vi b b i vi b b i ib vi b b i vi b b i iJ r k r r e c r r e TJ r k r r e c r r e T θθθθθθθθθθ⎡⎤+--+--=⎣⎦⎡⎤---+--=-⎣⎦∑∑&&&&&&&&&&(4)由此式可看出，即使主动齿轮转速以及传动载荷恒定，由于时变综合刚度k v 的变化，也会使从动轮的转动出现波动，即造成齿轮的圆周振动。

为了方便讨论时变综合刚度k v 对振动方程(4)的影响，定义啮合线上两齿轮的相对位移x 为：1122b b x r r θθ=-(5)不考虑齿轮传动的效率，齿轮的静态啮合力为：12012b b T T F r r ==(6)将式(5)、(6)带入方程(4)中，则可将其简化为一元微分方程：e v v d m x c x k x F ++=&&&(7)式中，m e 称为系统的当量质量：12222112e b b J J m J r J r =+ (8)激振力为：0d vi i vi i iiF F c e k e =++∑∑&(9)根据方程(9)可以将一对齿轮的振动视为单自由度系统的振动，如图2所示。

可以看出时变综合刚度k v 和齿廓误差e i 都是随时间变化的量，也即是齿轮系统的刚度激励和误差激励。

图2 齿轮传动的单自由度模型与方程(7)对应的系统的固有频率可以表示为：n f == (10)（二） 直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析在不考虑齿面摩擦的情况下，典型的直齿圆柱齿轮副的啮合耦合型动力学模型如图4所示。

图4 直齿轮齿轮副耦合振动模型齿轮的动态啮合力F p 为：()()p k c m p g p g g g m p g p g g g F F F k y R y R e c y R y R e θθθθ=+=+-+-++-+-&&&&&(12)推出系统的分析模型为：p p py p py p p p p P p pg g gy g gy g g p g g g g g p g gm y c y k y F I F R T m y c y k y F F I F R T F R T θθ++=-=--++=-=-=--=-&&&&&&&&&&（三） 考虑摩擦直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析考虑齿面摩擦时的分析模型，如图5所示。

系统变成6自由度的二维平面振动系统。

图5 考虑齿面摩擦的直齿轮齿轮副振动模型齿轮副的动态啮合力仍为式(12),而齿面摩擦力可近似表示为：f p F fF λ=式中，f 为等效摩擦系数；λ为轮齿摩擦力方向系数，F f 沿x 正方向时取为“+1”，反之取为“-1”。

图6根据图6可建立系统的分析模型为：()()tan tan p p px p px p f p p py p py p pp p P p p f p g g gx g gx g f g g gy g gy g pg g g g g f gm x c x k x F m y c y k y F I F R T F R H m x c x k x F m y c y k y F I F R T F R H θβθβ++=++=-=--+-++=-++==--++&&&&&&&&&&&&&&&&（四） 直齿轮-转子系统扭转振动模型在对一对齿轮副建模的基础上，再考虑到传动轴的扭转刚度以及原动机和负载的转动惯量，从而形成了齿轮-转子系统扭转振动问题，其动力学模型如图3所示。

图3 齿轮转子系统扭振模型对该力学模型所示的振动系统，如果不考虑传动轴的质量，将原动机、主被动齿轮和负载可分别处理为4个集中转动惯量的元件，因而是4自由度扭转振动系统，从而建立如下的振动微分方程：()()()()()()()()001011011111111122323323233332332300dd I C K T I C K rT I C K r T I C K T θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+-+-=+-+-+=+-+--=+-+-=-&&&&&&&&&&&&&&&&式中，I 0、I 1、I 2、I 3分别为4个质量的转动惯量；C 1、C 2分别为主、被动连接轴的扭转阻尼；K 1和K 3分别为主、被动连接轴的扭转刚度；T 1和T 2分别为原动机和负载上的扭矩；F 为轮齿动态啮合力。

根据式(2)可知T d 为：()()11221122d m m T C r r e K r r e θθθθ=--+--&&&整理后可得齿轮转子扭转振动微分方程：[]{}[]{}[]{}{}M C K P θθθ++=&&&其中{}{}0123 Tθθθθθ=[]0123I I M I I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]1121111222132333000000m m mm K K KK K r r r K K r r K K K r K K K -⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎣⎦[]1121111222132333000000mm m mC C C C r Cr r C C r rC C r C C C C -⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎣⎦{}111223m m m m T C re r K e P C r e r K e T ⎧⎫⎪⎪--⎪⎪=⎨⎬+⎪⎪⎪⎪-⎩⎭&&（五） 斜齿圆柱齿轮副弯—扭—轴耦合分析模型在斜齿圆柱齿轮传动中，由于轮齿的啮合会产生轴向的动态啮合分力，因此系统除具有扭转振动和横向振动外，还好引起轴向振动，从而形成齿轮系统的弯-扭-轴耦合振动，一对斜齿轮副的典型动力学模型如图7所示。

图7如图5.7，设主动齿轮的螺旋角为右旋，螺旋角为β，则啮合点横向振动位移与轴向振动位移间的关系可以表示为：tan z y β=因此，P 、G 点的振动位移与主动轮广义位移间的关系分别为：tan tan p p p p p p p g g g g g g g y y R z z y y y R z z y θβθβ=+=-=-=-已知齿轮啮合的法向刚度k m 、法向阻尼c m 和法向啮合误差e ，则相应的有：sin cos sin cos sin sin mx m my m mz m my m zy k k k k c c c c e c e e ββββββ⎧==⎪==⎨⎪==⎩ 因此，相应的切向动态齿合力F y 为：()()()..cos y myy my y p g p g m p p p g g g y m p p p g g g y F k y y e c y y e k y R y R e c y R y R e βθθθθ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭⎡⎤=+-+-++-+-⎣⎦&&&&&&轴向动态啮合力F z 为：()()()()()()()..tan tan sin tan tan p g p g z mzz mz z m pp p p g g g g zm p p p p g g g g zF k z z e c z z e k z y R z y R e c z y R z y R e βθβθββθβθ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤-+-+--⎣⎦⎪⎪=⎨⎬⎡⎤+-+-+--⎪⎪⎣⎦⎩⎭&&&&&&&& 可推出系统的分析模型为;p p py p py p y p p pz p pz p z p p y p pg g gy g gy g y g g gz g gz g z g g g g gm y c y k y F m z c z k z F I F R T m y c y k y F m z c z k z F I F R T θθ++=-++==--++=++=-=--&&&&&&&&&&&&&&&&（六） 斜齿圆柱齿轮副弯—扭—轴—摆耦合分析模型在斜齿圆柱齿轮传动中，由于轮齿的啮合会产生轴向的动态啮合力，因此系统除具有扭转和横向振动之外，还会引起轴向振动和绕 y 轴的扭摆振动，从而形成了斜齿轮系统的弯-扭-轴-摆耦合振动，在这种情况下，一对斜齿轮副的典型的动力学模型如图 8。

这时，系统为一空间三维振动模型。

图8如图8 所示，设主动齿轮的螺旋角为右旋，其大小为β，则啮合点的横向振动x 向和y 向，及横向振动y 向和轴向振动z 向的关系可表示为：tan tan cos tan n t y x y z y ααββ===主动轮1中心点O 1在啮合点上振动位移与主动轮广义位移之间的关系为:()()111111111111111111tan tan tan tan t z t z z x x y x y R y y R z z y z y R αθαθβθβ=-=-+=+=-=-+被动轮2中心点O 2在啮合点上振动位移与被动轮广义位移之间的关系为:()()222222222222222222tan tan tan tan t z t z z x x y x y R y y R z z y z y R αθαθβθβ=+=+-=-=-=--若已知齿轮啮合的端面刚度k t 、端面阻尼c t ,则相应的有：tan tan tan tan mx t t my t mz t mx t tmy tmz t k k k k k k c c c c c c αβαβ======因此，相应的各向动态啮合力为:()()()()()()()()()()()121211112222111122221212112212121122tan tan tan tan tan tan tan tan x mx mx mx z t z t mx z t z t t t z z t t t z z tF k x x c x x k x y R x y R c x y R x y R k x x y y R R c x x y y R R θαθαθαθααθθααθθα⋅⋅⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=-+---+-+---=--++-+--++-&&&&&&&&&&&&()()()()()1212111222111222111222111222y mymy my z z my z z t z z t z z F k y y c y y k y R y R c y R y R k y R y R c y R y R θθθθθθθθ⋅⋅⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=+-+++-+=+-+++-+&&&&&&&& ()()()()()()()()()()()121211112222111122221212112212121122tan tan tan tan tan tan tan tan z mz ma mz z z mz z z t z z t z z F k z z c z z k z y R z y R c z y R z y R k z z y y R R c z z y y R R θβθβθβθββθθββθθβ⋅⋅⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=-+-+-+-+-+-=---+++---++&&&&&&&&&&&& 因此，系统的分析模型为：1111111111111111111111111111122222221222222222222x x x xy y y y z z z z z z y y y y y y y z x x x x y y y y z z z z z z m x c x k x F m y c y k y F m z c z k z F I F R T J c k F R m x c x k x F m y c y k y F m z c z k z F I θθθθθθθ++=-++=-++==--++=-++=-++=-++==-&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&222222222y y y y y y y z F R T J c k F R θθθθθ-++=-&&&（七） 具有质量偏心的齿轮副分析模型设某一级齿轮传动系统可简化为图9所示的力学模型，不考虑齿面摩擦，该系统是一个4自由度的弯扭耦合振动系统。