齿轮动力学

（一） 直齿圆柱齿轮传动的扭转振动模型

若忽略传动轴的扭转变形，只考虑齿轮副处的变形，则得到最简单的扭转振动模型，如图1所示。其中r b1、r b2为主从动齿轮的基圆直径，k v 为齿轮副的综合啮合刚度，并且考虑齿轮副的啮合阻尼系数c v 以及齿廓误差e 的作用，主动轮上作用与转动方向相同的驱动力矩T 1，从动轮上作用与转动方向相反的阻力矩T 2

图1 齿轮副的扭转振动模型

啮合线上的综合变形δi 可写为：

1122i b b i r r e δθθ=--

(1)

设重合度小于2，啮合齿对为i ，法向啮合力可以表示为：

()()()

11221122i vi i vi i vi b b i vi b b i i

i

i

F F k c k r r e c r r e δδθθθθ⎡⎤==+=--+--⎣⎦∑∑∑&&&& (2)

式中：i 为参与啮合的齿对序号，i =1,2；k vi 、c vi 为齿对i 在啮合点位置的综合啮合刚度和阻尼系数。

主、从动齿轮的力矩平衡方程为：

12111222

b b J T r F J T r F θθ=-=-&&&& (3)

将(2)带入(1)中得到：

()()

()()

111112211221222112211222

b vi b b i vi b b i i

b vi b b i vi b b i i

J r k r r e c r r e T

J r k r r e c r r e T θθθθθθθθθθ⎡⎤+--+--=⎣⎦⎡⎤---+--=-⎣⎦∑∑&&&&&&&&&&

(4)

由此式可看出，即使主动齿轮转速以及传动载荷恒定，由于时变综合刚度k v 的变化，也会使从动轮的转动出现波动，即造成齿轮的圆周振动。为了方便讨论时变综合刚度k v 对振动方程(4)的影响，定义啮合线上两齿轮的相对位移x 为：

1122b b x r r θθ=-

(5)

不考虑齿轮传动的效率，齿轮的静态啮合力为：

12

01

2

b b T T F r r =

=

(6)

将式(5)、(6)带入方程(4)中，则可将其简化为一元微分方程：

e v v d m x c x k x F ++=&&&

(7)

式中，m e 称为系统的当量质量：

12

22

2112

e b b J J m J r J r =

+ (8)

激振力为：

0d vi i vi i i

i

F F c e k e =++∑∑&

(9)

根据方程(9)可以将一对齿轮的振动视为单自由度系统的振动，如图2所示。可以看出时变综合刚度k v 和齿廓误差e i 都是随时间变化的量，也即是齿轮系统的刚度激励和误差激励。

图2 齿轮传动的单自由度模型

与方程(7)对应的系统的固有频率可以表示为：

n f =

= (10)

（二） 直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析

在不考虑齿面摩擦的情况下，典型的直齿圆柱齿轮副的啮合耦合型动力学模型如图4所示。

图4 直齿轮齿轮副耦合振动模型

齿轮的动态啮合力F p 为：

()()

p k c m p g p g g g m p g p g g g F F F k y R y R e c y R y R e θθθθ=+=+-+-++-+-&&&&&(12)

推出系统的分析模型为：

p p py p py p p p p P p p

g g gy g gy g g p g g g g g p g g

m y c y k y F I F R T m y c y k y F F I F R T F R T θθ++=-=--++=-=-=--=-&&&&&&&&&&

（三） 考虑摩擦直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析

考虑齿面摩擦时的分析模型，如图5所示。系统变成6自由度的二维平面振动系统。

图5 考虑齿面摩擦的直齿轮齿轮副振动模型

齿轮副的动态啮合力仍为式(12),而齿面摩擦力可近似表示为：

f p F fF λ=

式中，f 为等效摩擦系数；λ为轮齿摩擦力方向系数，F f 沿x 正方向时取为“+1”，反之取为“-1”。

图6

根据图6可建立系统的分析模型为：

()()tan tan p p px p px p f p p py p py p p

p p P p p f p g g gx g gx g f g g gy g gy g p

g g g g g f g

m x c x k x F m y c y k y F I F R T F R H m x c x k x F m y c y k y F I F R T F R H θβθβ++=++=-=--+-++=-++==--++&&&&&&&&&&&&&&&&

（四） 直齿轮-转子系统扭转振动模型

在对一对齿轮副建模的基础上，再考虑到传动轴的扭转刚度以及原动机和负载的转动惯量，从而形成了齿轮-转子系统扭转振动问题，其动力学模型如图3所示。

图3 齿轮转子系统扭振模型

对该力学模型所示的振动系统，如果不考虑传动轴的质量，将原动机、主被动齿轮和负载可分别处理为4个集中转动惯量的元件，因而是4自由度扭转振动系统，从而建立如下的振动微分方程：

()()()()()()()()001011011

11

1

1

1

1

122

3

2

3

3

2

3

2

333323323

00d

d I C K T I C K rT I C K r T I C K T θθθθθθ

θθθθθθθθθθ

θθθθ+-+-=+-+-+=+-+--=+-+-=-&&&&&&&&&&&&&&&&

式中，I 0、I 1、I 2、I 3分别为4个质量的转动惯量；C 1、C 2分别为主、被动连接轴的扭转阻尼；K 1和K 3分别为主、被动连接轴的扭转刚度；T 1和T 2分别为原动机和负载上的扭矩；F 为轮齿动态啮合力。