什么是有限元

Chapter 1

什么是有限元by caoer

1.1 PDE

有限元是一种求解问题的数值方法，求解什么问题呢？－－求解PDE(偏微分方程).那么PDE是做什么用的呢？－－描述客观物理世界。我想如果这两个问题搞清楚了也就明白了为什么要用fem,fem可以做那些东西。PDE可以描述很多物理现象，电磁，流体，换热，diffusion,力学，河床变迁，物种竞争，股票金融，等等等等。。。。乃至整个宇宙，当然也不是所有的物理现象都可以用PDE描述，如微观世界分子原子的运动等等，所以我从来都不建议用有限元方法仿真微观物质现象的原因，但也有PDE应用于微观位置如possion 方程来解析plasma的物理现象，这在量子物理里面用统计的方法过于庞大，泼松方程反而使问题简单而且能吻合实验，这些都是题外话就不多说了。除了PDE以外，ODE同样也可以描述客观世界，但ODE多用于控制系统，很有一些线性PDE的解法也都是将PDE转化为ODE来做解析解的

1.2 求解PDE

有了PDE以后，问题是如何求解并得到结果，首先要说明的是不是所有的PDE都有解的，往往有解的PDE才有实际工程意义。对于数值解法，常用的是有限差分，有限元和谱方法，还有蒙特卡罗法。有限差分出现的较早，计算精度相对较高，但是费时，且模型形状必须规则，边界条件处理困难，好处是可以比较方便的控制计算精度，适用于流体类的仿真。有限元方法效率高且满足精度要求，边界条件容易处理，得到了广大的应用，尤其是固体领域。谱方法由于可以采用FFT方法的来求解，使得程序有着精度高，收敛快的特点，也克服了有限元条件下使用高阶插值方程计算费时的缺点，常常使用periodic boundary condition，但也有越来越多的算法使得一类二类边界成为可能，适合微观尺度的PDE解，谱方法和有限元结合产生的谱元法取两者之优点，使得应用前景非常好。蒙特卡罗法不是基于弱解形式的，随机数的多维采样最终得到统计上的结果，多用于金融分析。咱这里还是着重有限元解PDE，顾名思义，有限元将整个计算几何模型划分为很多小的单元（element）,每个单元的含有一定数量的节点(node)，具体单个单元有多少节点，有对应的不同算法与差值方程，拿一个简单的线性4节点平面单元来说，每个单元包含4个节点，每个节点有对应的variable 值，比如简单固体力学问题，每个节点就有对应的位移值，热力学问题每个节点就有对应的温度值，等等。然后单元内部的variables就通过差值方法计算得出弱解(weak formation)是建立在变分法基础上的，通过这个方法将strong form的PDE转换为weak form,使得有限元的求解成为可能，具体如何推导weak form可以参考一些有限元书籍，如果一本基础的有限元书籍没有介绍如何推导weak form,那么可以考虑选择换一本了。推导所得的弱解形式仍需要通过计算机来计算，Galerkin方法推导出含有求和符号的公式，在计算机中多半以loop的形式来计算这个量，往往这个量就是stiffness matrix中的component，这个loop 多半是围绕gauss积分点进行的。公式中还会存在积分计算，有限元方法多用gauss quaradure的方法来计算，精度一般可以满足。也就说一般简单的限元计算中存在两次approximation,一次是Galerkin一次是gauss,这也是很多人在计算完以后需要进行validation的原因，同时对于非线性问题newton法本身就是通过计算误差来判断收敛的，固体有限元常常使用能量增量作为newton求解器的判据。单个单元的stiffness matrix计算完成后，还需要将所有单元的矩阵装配为一个大型的矩阵，然后进行线性代数计算。这个装配是很有技巧的，因为一般情况下stiffness matrix是一个很大的稀疏矩阵，０值往往可以省去以节省计算量。一个由10x10x10个8节点矩形单元组成的模型会有11x11x11个node, 如果是热力学问题变量是温度T, 每个节点上有一个自由度，组装后的的stiffness matrix会有(11x11x11)x(11x11x11)=1771561之大，随着单元数或变量的增加，计算是惊人的，这样

一个大的矩阵求解显然不能用常规的方法(gaussian elimination)，这就是各种这样求解稀疏矩阵算法存在的原因了，有效且快速求解线代方程组是一个好的solver的标准。

1.4 后处理

其实对于最基本的有限元方法，求解得到的仅仅是variable的值，如力学就是节点位移值，thermal problem就是温度值，流体就是位移速度加压力值，如果我们想知道应力或者应变怎么办呢？后处理系统里面个都会增加相应子程序来计算stress, strain, flux等等。这也就是为何我们能看到各种各样的contour的原因了，当然读者也可以自己加入计算各种量的子程序，如应变能密度什么的。关于什么是有限元就介绍到这里，仅仅是一些随笔和想法，具体的理论和推导需要自身实践与探索，本文行文仓促只是阐述自己对有限元的粗浅理解。有不对的地方还请指正。

下一章会谈及一些我曾经用过得软件。

Chapter 2 有限元软件的介绍与比较

有限元软件很多，有商业的，开源的，免费的，并行的，多物理场的，专业于某领域

【这里仅仅介绍一些笔者曾经用过的，遗漏的还请高手补充。】

2.1ANSYS

第一个学习的有限元软件，也是上世纪末本世纪初国内最流行的，为什么流行呢？应为ansys的教程铺天盖地，所以大家都学习ansys因为有教程上手快，那个时abaqus的教程可谓是凤毛麟角，自然学习的人也就不多，当时组里导师都是用ansys，自然我也就用了。如果一个有限元软件推广的好，那么他的教程一定要推广的好，fem是一个专业性很强的软件，教程推广不够，销售自然不行。题外话，接下来说说对用他的感受。

当时学习ansys是直奔apdl去的，加上理论背景很弱所以学习过程异常艰苦。总得说来ansys是一个很中规中具的软件，功能很强大，计算也很可靠，速度快，基本上固体力学的问题都能解决。作为一个工程软件还是很不错的。帮助文件很丰富，我也挑不出他什么缺点。只是感觉国内学习ansys已经陷入了一个怪圈，用户喜欢就某一个应用技巧钻的很深，对于其基础的理论却忽略不视，这无不于大量ansys教材的编写误导有关。是指算例，却不关心原理，悲哀。

2.2COMSOL（femlab）

第一次用comsol的时候它叫femlab2.0, 无奈的是只是作为一种兴趣学习的，因为时间精力问题最后也没有很深入，偶然机会１年后又开始认真的学习，逐渐体会到他的强大，我想说的是comsol对于各种物理场的research的确是一把利器，他可以任意的由用户输入ＰＤＥ,计算结果并出contour,这对于懂得有限元理论却又不想花大量的时间来编程的人来说，就是种bliss,然而缺点就是速度太慢，这也是可以理解的，毕竟comsol是将单元与pde信息进行重组后计算，而不是很多商业有限元已经将Ｐde固化在单元信息里了，但是其出色的weak form PDE模块是不可多得的有限元分析模块。还有其建模与后处理模块相当方便，比ansys方便很多。至于计算的精确性笔者还抱有怀疑态度，细节就不提了。国内现在这个软件推的很好，大有赶超ansys之势。值得一提的是comsol的并行计算能力，采用的umfpack+mpich的构架，总体并行效率还是非常令人满意的。

2.3FEAP

这个其实是老大哥，虽然很多人不知道它。开源，不免费，但是很便宜，也有免费的学生版本，大家可以下载学习用。据说abaqus和ansys都是源于这套程序，abaqus技术部里面的人都是feap搞这个组里出来的，虽然是用fortran编的，但是编程思路清晰，注解丰富，参考文档相近，实在是不可多得学习fem的神器。不提供gui的输入方式，命令的输入和apdl和umat方式很像，都是文本macro方式。计算速度超快，带有后处理功能，提供强