复变函数习题七解答
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第七章部分习题解答
1.求2
3z w =在z=i 处的伸缩率和旋转角,问2
3z w =将经过点z=i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映射成w 平面上哪一个方向?并作图。 解 由题()z z w 63'2
='=,从而
()()2i 6a r g
i 'a r g π
==w ,()6|i 6|i '==w ,当i =z 时,
()332
-==i w ,即i =z ,3-=w ,且旋转2π
。
2.求映射z w i =下,下列图形映射成什么图形? (1)以i 1=z ,12-=z ,13=z 为顶点的三角形。 (2)闭圆域:1|1|≤-z 。 解
(1)在z w i =下,i 1=z ,12-=z ,13=z ,被映成11-=w ,i 2-=w ,i 3=w ,即将三角形映成三角形。
(2)在z w i =下,01=z ,i 12+=z ,23=z ,被映成01=w ,i 12+-=w ,i 23=w ,由保圆性知11≤-z 被映成1i ≤-z 。
3.求把上半平面0Im >z 映射为单位圆1|| 解(1)所求分式线性映射应有下列形式. , i λλ θ --=z z e w 由()()11,0i =-=f f 得 w=i z w=i z i i,-==k λ,故 .i i i +--=z z w (2)由(),0i =f 知i i i +-=z z e w θ ,由()0'arg =z f 得2πθ=,故i i i +-=z z w 4.求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射,并满足条件: (1)(). 11,021=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f (2)221'arg ,021π =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛f f . 解(1)所求分式线性映射为z z e w i ααϕ --=1,由,021=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 知 21 =α由()11=-f , 得πϕ=,故 21 2--= z z ω. (2)由021=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 知21=a ,从而有(),34',23',212i 212i i ϕϕϕe w z e w z z e w z =-=--== 由 ,221'arg π=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 知,2πϕ=故z z w --=212i . 5.把点i i,,1-=z 分别映射成点1,0,1-=w 的分式线性映射把单位圆1|| 解 由分式线性映射的保交比不变性可知,有交比式 i i 1i : i 1011101------=------z z w w :解之得: ()()()()z z z w -+++-=1i 31i 1i .由绕向确定,把1|| 6.求出一个把右半平面0Re >z 映射成单位圆1|| 解 如图所示首先做变换z e w ⋅=i 2 1π 将0Re :>z D 映为上半平面0Im 1>w ,再做 ()()()()z z z w -+++-= 1i 31i 1i 0(Im 21i >--=λλλ θ w w e w θ为实数)可将上半平面0Im 1>w 映为单位圆盘1 述映射,得 λ λ λ λ θ π θ --=-⋅-⋅=z z e z e z e e w i i i i 2i 2i 若令λαi =,则αα θ +-=z z e w i (θα,0Re >为实数)。 7.证明映射 z z w 1 + =把圆周)0(>=c z 映射成椭圆:θcos )1(c c u +=,θ sin )1(c c v -=。 证 设)sin i (cos θθ+=r z ,v u w i +=,则 ) sin i (cos 1 )sin i (cos 1θθθθ+++=+ =r r z z w = θθθθθθθθsin )1 i(cos )1() sin (cos sin i cos sin i cos 2 2r r r r r r r -++=+-+ + 又c z =,即c r =,所以θθsin )1 i(cos )1(c c c c w -++=从而 θcos )1(c c u +=,θ sin )1 (c c v -=。 z e w i 2 1π =