复变函数习题七解答

第七章部分习题解答

1．求2

3z w =在z=i 处的伸缩率和旋转角，问2

3z w =将经过点z=i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映射成w 平面上哪一个方向？并作图。 解 由题()z z w 63'2

='=，从而

()()2i 6a r g

i 'a r g π

==w ，()6|i 6|i '==w ，当i =z 时，

()332

-==i w ，即i =z ，3-=w ，且旋转2π

。

2．求映射z w i =下，下列图形映射成什么图形？ （1）以i 1=z ，12-=z ，13=z 为顶点的三角形。 （2）闭圆域：1|1|≤-z 。 解

（1）在z w i =下，i 1=z ，12-=z ，13=z ，被映成11-=w ，i 2-=w ，i 3=w ，即将三角形映成三角形。

（2）在z w i =下，01=z ，i 12+=z ，23=z ，被映成01=w ，i 12+-=w ，i 23=w ，由保圆性知11≤-z 被映成1i ≤-z 。

3．求把上半平面0Im >z 映射为单位圆1||

解（1）所求分式线性映射应有下列形式.

,

i λλ

θ

--=z z e w 由()()11,0i =-=f f

得

w=i z

w=i z

i i,-==k λ，故

.i i

i

+--=z z w

（2）由(),0i =f 知i i i +-=z z e w θ

，由()0'arg =z f 得2πθ=，故i

i i

+-=z z w

4．求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射，并满足条件：

（1）().

11,021=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f （2）221'arg ,021π

=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭

⎫ ⎝⎛f f . 解（1）所求分式线性映射为z z e w i ααϕ

--=1，由,021=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 知

21

=α由()11=-f ， 得πϕ=，故

21

2--=

z z ω.

（2）由021=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 知21=a ，从而有(),34',23',212i 212i i ϕϕϕe w z e w z z e w z =-=--==

由

,221'arg π=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 知,2πϕ=故z z w --=212i

.

5.把点i i,,1-=z 分别映射成点1,0,1-=w 的分式线性映射把单位圆1||

解 由分式线性映射的保交比不变性可知，有交比式

i i 1i :

i 1011101------=------z z w w ：解之得：

()()()()z z z w -+++-=1i 31i 1i .由绕向确定，把1||

6．求出一个把右半平面0Re >z 映射成单位圆1||

解 如图所示首先做变换z e w ⋅=i

2

1π

将0Re :>z D 映为上半平面0Im 1>w ，再做

()()()()z z z w -+++-=

1i 31i 1i

0(Im 21i >--=λλλ

θ

w w e w θ为实数）可将上半平面0Im 1>w 映为单位圆盘1

述映射，得

λ

λ

λ

λ

θ

π

θ

--=-⋅-⋅=z z e z e z e e w i i i i

2i

2i

若令λαi =，则αα

θ

+-=z z e w i （θα,0Re >为实数）。

7．证明映射

z z w 1

+

=把圆周)0(>=c z 映射成椭圆：θcos )1(c c u +=，θ

sin )1(c c v -=。

证 设)sin i (cos θθ+=r z ，v u w i +=，则

)

sin i (cos 1

)sin i (cos 1θθθθ+++=+

=r r z z w

=

θθθθθθθθsin )1

i(cos )1()

sin (cos sin i cos sin i cos 2

2r r r r r r r -++=+-+

+

又c z =，即c r =，所以θθsin )1

i(cos )1(c c c c w -++=从而 θcos )1(c c u +=，θ

sin )1

(c c v -=。

z

e w i

2

1π

=