经典：圆锥的截交线
合集下载
圆锥截交线
3
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
正垂线
3
Ⅰ
正平线
[例题2] 求圆锥截交线
解题步骤 1、分析 截平面为正平面，截平 面的水平投影为直线； 2、截交线为双曲线，截交线的 水平投影和侧面投影均为直线； 3、求出截交线上的特殊点#39; c"
a"
4、求出一般点C ； 5、光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 6、整理轮廓线。
b"
b
c
a
[例题3]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
本章结束
圆锥的截交线
一、 二、 三、 四、 五、
截交线的性质 圆锥的截交线的类型及形状 求作截交线的方法 截交线上的特殊点 作图步骤与例题
一、 截交线的性质
圆锥的截交线是截平面与圆锥表面的共有线。
圆锥的截交线的形状取决于圆锥表面的形状 及截平面与圆锥轴线的相对位置。 圆锥截交线都是封闭的平面图形。
二、 圆锥截交线的类型与形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
α θ
α θ
α
θ
α
过锥顶 两相交直线
θ =90° 圆
90° α ＞ θ＞ 椭圆
θ ＝α 抛物线
≤θ ＜α 0° 双曲线
三、 求作截交线的方法
四、 截交线的特殊点
[例题1] 求圆锥截交线
3'
解题步骤 1、分析 截平面为正垂面，截平 面的正面投影为直线； 2、截交线为椭圆，截交线的水 平投影和侧面投影均为椭圆；由 于圆锥前后对称，故椭圆也前后 对称。椭圆的长轴为截平面与圆 锥前后对称面的交线——正平线 ，椭圆的短轴是垂直与长轴的正 垂线。 3、求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 4、求出一般点Ⅴ ； 5、光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性即得 截交线的水平投影和侧面投影； 6、整理轮廓线。
平面与圆锥的截交线的三种情况
平面与圆锥的截交线的三种情况引言在几何学中，平面与圆锥的相交是一个常见而重要的问题。
当一个平面与一个圆锥相交时，它们会形成一条被称为截交线的曲线。
这条曲线可以有不同的形状和特征，取决于平面和圆锥之间的相对位置关系。
本文将探讨平面与圆锥相交时可能出现的三种情况，并详细讨论每种情况下截交线的特点。
情况一：平面与圆锥没有公共点在某些情况下，平面和圆锥可能没有任何公共点。
这意味着平面完全位于圆锥之外，或者两者之间存在太大的距离，无法相交。
在这种情况下，截交线为空集。
情况二：平面与圆锥有一个公共点另一种可能性是平面与圆锥有且仅有一个公共点。
这意味着平面切割了圆锥，并且该公共点是截交线上唯一的点。
根据切割位置和角度不同，截交线可以是直线、抛物线或双曲线。
情况二.1：截交线是直线当平面与圆锥相切时，截交线是一条直线。
这种情况下，平面与圆锥的切点也是截交线上的唯一点。
截交线与圆锥的母线（生成圆锥的直线）垂直。
此外，截交线还满足以下特点： - 截交线在平面上的投影与截交线重合。
- 截交线在圆锥上的投影是一段弧，它连接了圆锥的两个切点。
情况二.2：截交线是抛物线当平面与圆锥相交但不相切时，截交线可以是一条抛物线。
这种情况下，平面和圆锥有一个公共点，并且该公共点不在截交线上。
抛物线作为截交曲面的一部分，具有以下特征： - 抛物顶点位于公共点和圆锥顶点之间。
- 抛物顶点到公共点的距离等于抛物顶点到圆锥顶点的距离。
- 抛物顶轴垂直于平面，并通过抛物顶点和公共点。
情况二.3：截交线是双曲线在某些情况下，平面与圆锥相交会形成一条双曲线作为截交线。
这种情况下，平面和圆锥有一个公共点，并且该公共点不在截交线上。
双曲线具有以下特征： - 双曲线的两个分支都延伸到无穷远处。
- 双曲线的焦点位于公共点和圆锥顶点之间。
- 双曲线的两个分支在平面上对称。
情况三：平面与圆锥有多个公共点最后一种情况是平面与圆锥有多个公共点。
这意味着平面切割了圆锥，并且截交线是一个封闭的曲线。
圆锥的投影、截交线及轴侧图
圆锥体
形成：锥面可看作直线SA绕与它相交的轴线旋转而成。 构成：圆锥体由圆锥面，底面（平面）所围成。 视图分析：圆锥俯视图是一个圆线框，主、左视图是 两个全等的三角形线框。 最前轮 Z 俯视图的圆线框，反映 廓素线 圆锥底面的实形，同时也表 s' 示圆锥的投影。主、左视图 V s" S 的等腰三角形线框，其下边 b' 为圆锥底面的积聚性投影。
平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 球体表面找点，用辅助圆法。
二、简单叠加体的画图和看图方法
⒈ 画图时一定逐个形体画，同时注意分析表面的 过渡关系，以避免多线或漏线。 ⒉ 看图时切忌只抓住一个视图不放。利用封闭线 框分解形体和分析表面的相对位置关系。
三角形
(3).圆锥截交线的求法 （求共有点的方法）
素线法
纬圆法
作图步骤: 1). 投影分析 2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点 3). 求一般位置点 4). 光滑连接各点 5). 判断可见性 6). 整理轮廓线
上一级
4.辅助素线法求截交线
分析：P平面垂直于V面，其截交线的正面投 影积聚为一直线，水平和侧面投影需要求出。求 解时先确定截交线的特殊点，再求一般点。
b'
#39;
c'
b'
a' ' c' d' ' ' b' '
描深图线
b d c
a
例1:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点
？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
形成：锥面可看作直线SA绕与它相交的轴线旋转而成。 构成：圆锥体由圆锥面，底面（平面）所围成。 视图分析：圆锥俯视图是一个圆线框，主、左视图是 两个全等的三角形线框。 最前轮 Z 俯视图的圆线框，反映 廓素线 圆锥底面的实形，同时也表 s' 示圆锥的投影。主、左视图 V s" S 的等腰三角形线框，其下边 b' 为圆锥底面的积聚性投影。
平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 球体表面找点，用辅助圆法。
二、简单叠加体的画图和看图方法
⒈ 画图时一定逐个形体画，同时注意分析表面的 过渡关系，以避免多线或漏线。 ⒉ 看图时切忌只抓住一个视图不放。利用封闭线 框分解形体和分析表面的相对位置关系。
三角形
(3).圆锥截交线的求法 （求共有点的方法）
素线法
纬圆法
作图步骤: 1). 投影分析 2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点 3). 求一般位置点 4). 光滑连接各点 5). 判断可见性 6). 整理轮廓线
上一级
4.辅助素线法求截交线
分析：P平面垂直于V面，其截交线的正面投 影积聚为一直线，水平和侧面投影需要求出。求 解时先确定截交线的特殊点，再求一般点。
b'
#39;
c'
b'
a' ' c' d' ' ' b' '
描深图线
b d c
a
例1:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点
？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
圆锥、圆球截交线
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形 状都是圆，但根据截平面与投影面 的相对位置不同，其截交线的投影 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
[例题1] 求圆球截交线
2' c'd'
7' 8' 3'4' 5'6'
a'b 1'
8" d" 4"
6
1
2
2" c"
a" 1"
解题步骤
1．分析 截平面为正垂面，截交
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣ 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
● ●
● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回 转体的截交线，并依次将其连接。
7" 线为圆；截交线的水平投影和侧 3" 面投影均为椭圆； 5" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ；
3．求出若干个一般点A、B、C、 D；
4．光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性；
5．整理轮廓线。
a c
7 53
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线投的影投，影在，俯在视侧图视上图为 上部为分部圆分弧圆，弧在，侧在视俯图视上 图积上聚积为聚直为线直。线。
第四章
平面体及回转体的截切
㈡ 圆锥体的截切
过椎顶：直线
垂直于轴线：圆
其它：非圆平面曲线
圆锥的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对 位置不同，截平面与圆锥面的交线 有五种形状。
过锥顶
三角形
垂直于轴线
圆
圆 抛物线 平行一素线 锥的 截交线 平行于轴线 双曲线
倾斜于轴线
椭圆
1.《机械制图习题集》第60--65页
2. 预习圆球截交线
复习回顾
空间及投影分析 画出截交线的投影
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体 当截交线的投影为非圆曲线时， 轴线的相对位置，以确定截交线的形状。 其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，再补充一般点。 分析截平面及回转体与投影面的相对 位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截 类似性等。 交线的可见性。
θ =90° 圆
90° α ＞ θ＞ 椭圆
θ ＝α 抛物线
≤θ ＜α 0° 双曲线
例:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
如何找椭圆另一 根轴的端点？
截交线 截交线的 的空间 投影特性？ 形状？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
复习回顾Biblioteka 回转体 截交线 的性质求回转 体的截 交线的 方法
圆柱体 截交线 的空间 形状
复习回顾
1. 回转体截交 线的性质有哪 些？
截交线是封闭的平面 图形。
回转体 截交线 的性质
截交线是截平面与回 转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回 转体表面的形状及截平 面与回转体轴线的相对 位置。
2. 如何求回转 体的截交线呢？
复习回顾
3. 圆柱体截 交线的空间形 状有哪几种？
复习回顾
圆柱体的截交线
圆锥、圆球截交线
b" a"
7" 3" 5"
1．分析 截平面为正垂面，截交 线为圆；截交线的水平投影和侧 面投影均为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ； 3．求出若干个一般点A、B、C、 D； 4．光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性；
1 ' 6
b
1" 4 8
d
5．整理轮廓线。
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回 转体的截交线，并依次将其连接。
●
第 四 章
平面体及回转体的截切
㈡ 圆锥体的截切
过椎顶：直线
垂直于轴线：圆 其它：非圆平面曲线
（椭圆、双曲线、抛物线）
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
1
a c
2
7 5 3
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影，在侧视图 的投影，在俯视图上为 上为部分圆弧，在俯视 部分圆弧，在侧视图上 图上积聚为直线。 积聚为直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣ 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形 状都是圆，但根据截平面与投影面 的相对位置不同，其截交线的投影 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
7" 3" 5"
1．分析 截平面为正垂面，截交 线为圆；截交线的水平投影和侧 面投影均为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ； 3．求出若干个一般点A、B、C、 D； 4．光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性；
1 ' 6
b
1" 4 8
d
5．整理轮廓线。
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回 转体的截交线，并依次将其连接。
●
第 四 章
平面体及回转体的截切
㈡ 圆锥体的截切
过椎顶：直线
垂直于轴线：圆 其它：非圆平面曲线
（椭圆、双曲线、抛物线）
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
1
a c
2
7 5 3
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影，在侧视图 的投影，在俯视图上为 上为部分圆弧，在俯视 部分圆弧，在侧视图上 图上积聚为直线。 积聚为直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣ 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形 状都是圆，但根据截平面与投影面 的相对位置不同，其截交线的投影 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
工程制图圆锥截交线
xx工业大学 机电学院 xx
工程制图 圆锥截交线
从几何的角度去认识圆锥截交线：
圆锥截交线在几何学中被称为圆锥曲线。 两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线， 并获得了大量的成果。其中一位名叫阿波罗尼阿斯最 先采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。 用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面 渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆 锥的一条素线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一 些就可以得到双曲线。 严格来讲，圆锥曲线还包括一种退化情形：平面过锥 顶时，得到两条直线。更特殊的情况下，平面过锥顶 并与圆锥面相切，圆锥曲线为一条直线。
为实形圆，在另两个投影面上，纬
圆积聚为直线。
首页
上一页
下一页
xx工业大学 机电学院 xx
工程制图 圆锥截交线——圆锥表面求点的方法（素线法）
第8页
()
素线法作图原理：
过锥顶S作素线经过点M，并延长交底面圆 于点A。点M在素线SA上，则点M的三面投 影分别在素线SA的三面投影上。
目首录页页
上一页
下一页
工程制图
工程制图 圆锥截交线——概述
“圆锥截交线”是《工程制图》课程的一个知识点， 教学目标是理解圆锥的三面投影的含义，掌握应用纬 圆法或素线法求圆锥截交线上的点，并正确画出截交 线的投影。 相关知识点包括：回转体；截交线的性质及求作截交 线的方法。
截交线的性质 求作截交线的方法
第1页
回转体 圆锥的投影 圆锥表面求点的方法
xx工业大学 机电学院 xx
工程制图 圆锥截交线——举例1
第 12 页
本例中，截交线上的一般位置点D、E也可以用素线法求作，作法如下图所示。
作图说明： 1. 在侧面投影中作素线s”m”和s”n”，与截交线侧面投影分别交于d”和e”。 2. 画出素线的正面投影s’m’和s’n’，根据点在直线上的投影规律，求出d’和e’。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥及其截交
圆柱截交
3、圆锥表面取点
m’
m’’
1’
1’’
m
1
(n’)
(n’’)
n
圆锥的截交线
圆锥的截交线有：
– 截平面垂直圆锥轴线—— 圆 – 截平面与圆锥轴线倾斜——椭圆 – 截平面平行一条素线——抛物线 – 截平面平行于圆锥轴线 ——双曲线 – 截平面过锥顶—— 等腰三角形
求圆锥与水平面的截交线
最前、最后点IV、V 求一般位置点III
判可见性、连线、描深
抛物线
圆锥截交
圆锥截交（补全俯视图，左视图）(1)
3’(4’)
5’(6’) 1’(2’)
62 4
3 51
4’’
3’’
6’’
5’’
圆锥截交(2)
圆锥截交(3)
柱锥截交1
柱锥截交2
个人观点供参考，欢迎讨论
等腰三角形——过锥顶
1’(2’) 2
1
2’’
Hale Waihona Puke 1’’2 1双曲线——截平面平行于圆锥轴线
圆锥截交（例1）
1’ 4’(5’) 2’(3’)
3’’ 5’’ 1’’ 4’’ 2’’
3
5 1
4
2
3 1
2
求圆锥与正垂面的截交线
作图步骤： 截交线的正面投影 求特殊位置点
转向线上的点I、II
(最低、最左和最高、最右点)
圆柱截交
3、圆锥表面取点
m’
m’’
1’
1’’
m
1
(n’)
(n’’)
n
圆锥的截交线
圆锥的截交线有：
– 截平面垂直圆锥轴线—— 圆 – 截平面与圆锥轴线倾斜——椭圆 – 截平面平行一条素线——抛物线 – 截平面平行于圆锥轴线 ——双曲线 – 截平面过锥顶—— 等腰三角形
求圆锥与水平面的截交线
最前、最后点IV、V 求一般位置点III
判可见性、连线、描深
抛物线
圆锥截交
圆锥截交（补全俯视图，左视图）(1)
3’(4’)
5’(6’) 1’(2’)
62 4
3 51
4’’
3’’
6’’
5’’
圆锥截交(2)
圆锥截交(3)
柱锥截交1
柱锥截交2
个人观点供参考，欢迎讨论
等腰三角形——过锥顶
1’(2’) 2
1
2’’
Hale Waihona Puke 1’’2 1双曲线——截平面平行于圆锥轴线
圆锥截交（例1）
1’ 4’(5’) 2’(3’)
3’’ 5’’ 1’’ 4’’ 2’’
3
5 1
4
2
3 1
2
求圆锥与正垂面的截交线
作图步骤： 截交线的正面投影 求特殊位置点
转向线上的点I、II
(最低、最左和最高、最右点)