《高中数学联赛试题——立体几何》

第五讲立体几何

立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容。竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算。解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法。

一、立体几何中的排列组合问题。

例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为

（A）4; （B）8 ；（C）12 ；（D）24。

分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线。考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面

对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有

1

边共出现2C^ 24次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个

24

数为8个。

3

例二、（1995年全国联赛一试）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条

棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数

分析：就四棱锥P—ABCD而言，显然顶点P的颜色必定不同于A、B、C、D四点,

于是分三种情况考虑:

3

①若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：A s 60 （种）

1 4

②若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：C2 A s 240 （种）

5

③若使用五种颜色，则各顶点的颜色各不相同，其染色种数为：A 120 （种）

故不同染色方法种数是：420种。

二、与角有关的计算。

立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种。其

中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的

相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到，其角度范围是0 ,90 ;二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角，三种方法：①作棱的垂面和两个半平面相交；②过棱上任意一点分别于两个

半平面内引棱的垂线；③根据三垂线定理或逆定理。另外还可以根据面积射影定理

S S cos得到。式中S表示射影多边形的面积，S表示原多边形的面积，即为所求二面角。

例三、直线OA和平面斜交于一点0, 0B是0A在内的射影，0C是平面内过0点的任一直线，设

AOC , AOB

B0C

求证：cos cos cos

分析：如图，设射线0A任意一点A，过A作

AB 于点B，又作BC 0C于点C，连

接AC 。有:

OC

OB

OC cos

,cos ,cos OA OA

OB

评注：①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用。过平面内一个角的顶点作平面 的一条斜线，如果斜线和角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影一定 会落在这个角的角平分线上。利用全等三角形即可证明结论成立。

②从上述等式的三项可以看出

cos 值最小，于是可得结论：平面的一条斜线

和平面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角最小。

例四、（1997年全国联赛一试）如图，正四面体 ABCD

对应的角。作 EG // AC ,交BC 于G ,连FG 。显

然

FG // BD ，/ GEF= ，/ GFE= 。

•/ AC 丄 BD ,••• EG 丄 FG /•

90

例五、（1994年全国联赛一试）已知一个平面与一个正方体的

B

所以，cos cos cos 。

中，E 在棱AB 上，F 在棱CD

上，使得：fl

CF FD

，记f

，其中 表示EF 与AC

所成的角，其中

表示EF 与BD 所成的角，则:

(A ) f 在 0, 单调增加;

(B ) f 在 0,

单调减少;

(C ) f 在 0,1 单调增加；在 1, 单调减少;

(D ) f 在

0,

分析：根据题意可首先找到与 12条棱的夹角都等于

D

C

，贝U sin

分析：正方体的12条棱可分为三组，一个平面与 12

条棱的夹角都等于 只需该平面与正方体的过同一

个顶点的三条棱所成的角都等于 即可。如图所示的

分析：构造长方体模型。构造如图所示的长方体

ABCD — A i B i C i D i ，连接 AC i 、A 1C 1、BC i 、DC i 。

过同一个顶点的三条棱 AD 、AB 、AA i 与对角线

AC i 所成的角为锐角

，，，满足:

2 2 2 」

cos cos cos 1

以上三式相乘即可。

证明二：因为，，为锐角,

故:

sin 2 1 cos 2 cos 2

cos 2

2cos cos ，

sin 2cos cos ，

同理：sin , 2cos cos ,sin 2cos cos ，三式相乘。

例六、 设锐角 sin

J

7

3

满足：

2 2

cos cos

2

cos

求证： tan tan tan 2.2。

不妨设长方体过同一个顶点的三条棱

AD 、AB 、 AA i 的长分别为a,b,c 。则:

tan

i b 2 c 2

2bc 丄

,tan a

2ac

丄 ,tan b

a 2

b 2 、、2ab

平面ABD 就是合乎要求的平面，于是