CIR模型下寿险产品的定价研究_赵静宇--Y

机利率下终身寿险的纯保费定价公式记为：
# $ ｋＰ（Ａｘ）＝ Ａ"ｘ ＇ ＝
% $ ａ$ ｘ：ｋ＇
ｔ
"－ ｘ － ｒ（０，ｓ）ｄｓ
ｅ０
ｘ
ｔ ｐｘ $ｘ＋１ ｄｔ
ｋ－ １
ｈ
－ ｒ（０，ｓ）ｄｓ
ｅ ０ ｈ ｐｘ
（ ３）
ｈ＝０
为了能进行数值计算， 首先将收益率的连续过程离散
$ｔ
－ ｒ（０，ｓ）ｄｓ
$ｈ
－ ｒ（０，ｓ）ｄｓ
综合表 １ 和表 ２， 我们可得出结论： ＣＩＲ 模型适合我国当 前的利率市场。
２ 寿险产品定价分析
传统意义上的寿险， 按照保险金给付方式分为定期寿 险 、两 全 保 险 和 终 身 寿 险 ； 按 照 保 费 缴 纳 方 式 分 为 趸 缴 和 年 缴。我们主要考虑终身寿险， 对该品种在随机利率下的定价 问题进行研究， 并举例加以分析。对于年缴的两全保险和定 期保险， 其相应的定价是类似的， 限于篇幅我们不在此赘述。 在这一节里， 如不作特别说明， 所用记号均为通用的精算符 号。 ２．１ 终身寿险毛保费模型
ｋＧ（Ａｘ）＝
Ａ"ｘ
－ &（ｋ－ １）
（１－ %１ ）＋…＋（１－ %ｋ ）ｅ ｐ ｋ－ １ ｘ
$"－ ｘ － &ｔ
＝ｘ ｋ－ １
ｅ ｔ ｐｘ $ｘ＋ｔ ｄｔ
% － ｈ& （１－ %ｈ＋１ ）ｅ ｈ ｐｘ
ｈ＝０
依据上述假定和纯保费的修正方法同理可得随机利率
下岁被保险人年缴终身寿险均衡毛保费为：
ｔ
"－ ｘ － ｒ（０，ｓ）ｄｓ
化， 我们选择依季度进展。ｅ ０ 和 ｅ ０ 都是表示在远期
瞬时收益率的基础上， 即期的累积收益率贴现因子。我们选
择保单年的各季度初的瞬时值代表相应季度的整体收益率。
１
如 第 一 个Fra Baidu bibliotek季 度 的 贴 现 因 子 为［１＋ｒ（０，０）］ ４ ， 第 ｍ 季 度 的 累 计 收
&ｍ－ １
益率贴现因子为 ［１＋ｒ（０， ｈ
果如表 ４、表 ５。
从 表 ４ 和 表 ５ 可 知 ， 随 机 模 拟 的 价 格 从 最 小 值 １７１．１９
表４ 统计量
数值
均值 ２８２．６９
中位数 ２８２．７８
基本统计量 标准差 最小值 ３０．５５ １７１．１９
最大值 偏度 ３９１．４５ － ０．０４２０
峰度 ２．８８６７
统计与决策 ２００８ 年第 １３ 期（ 总第 ２６５ 期） ２１
#７０ － &ｔ
２０Ｇ（Ａ３５）＝
０ １９
ｅ
ｔ ｐ３５ $３５＋１ ｄｔ
２７９ － （ ｆ ＋ １ ）&
% ≈
ｅ ｆ ＝ ０
４８ ｆ ｜１ ４４
ｑ３５
１９
% % － ｈ& （１－ %ｈ＋１ ）ｅ ｈ ｐ３５
－ ｈ&
（１－ %ｈ＋１ ）ｅ ｈ ｐ３５
ｈ＝０
ｈ＝０
＝ ０．３９６８ ＝０．０２８０３３ １４．１５４３
从２００４ 年 １ 月 ２ 日 至 ２００７ 年 １２ 月 ２９ 日 ， 共 ９４６ 个 日 交 易
观测值①， 数据是年度化的本期加权平均利率。
在本文所用的模型中 ， 二次型（２）式的最小值在模型为真
的零假设下服从自由度为 １ 的 ｘ２ 分布。ｘ２ 值越小， 说明模型
被接受的可能性越大。关于参数的零假设是： 三个参数全为
－１
）］ ４
。
ｈ＝０
４
然后， 按照均匀分布对生命表的尾龄进行假设、插值， 以
满足四分之一年的区间运算。将连续的死亡过程离散化， 假
定死亡发生在各个区间的期中。这样对（ ３） 式操作， 即得到修
订后的均衡纯保费公式。限于篇幅， 我们略去这个过程而直
接进入毛保费模型。
对于趸缴保费保单， 设其附加费用率为 %， 则有：
表２
参数 % & !２
参数显著性检验
参数值 ０．００２４８６ － ０．１０９４５５ ０．０００４０８
ＣＩＲ 模型
标准差
ｔ－ 统计量
０．０００９５２
２．６１
０．０４４１５５
－ ２．４８
０．０００１１７
３．４９
ｐ－ 值 ０．００９０ ０．０１３２ ０．０００５
理论新探
表 ２ 中 ， ＣＩＲ 模 型 的 ! 参 数 的 ｐ－ 值 小 于 ０．０５， 在 ５％的 显著性水平可以拒绝原假设， 说明该参数是显著的。其余两 个参数对应的 ｐ－ 值都小于 ０．０１， 在 １％的 显 著 性 水 平 可 以 拒 绝原假设， 即认为这两个参数都是高度显著的。
的不完整而在定价上产生偏差， 故需要进行多次模拟。这里
采用蒙特卡罗模拟方法。当模拟次时， 得出的结果是一个分
布图。横坐标表示价格的可能取值， 而纵坐标代表了在总频
数一定时， 各个价格或者价格区间的频数。当模拟的次数足
够多时， 根据大数法则， 价格的分布将会趋于稳定。下面给出
一个随机收益率基于 ＣＩＲ 模型， 模拟 １２０００ 次的价格统计结
$ ｅ ０
$ ｋＳ（Ａｘ）＝
０ ｋ－ １
ｔ ｐｘ $ｘ＋ｔ ｄｔ ≈
ｈ
－ ｒ（０，ｓ）ｄｓ
% $ （１－ %ｈ＋１ ）ｅ ０ ｈ ｐｘ
ｈ＝０
%(& ) － １
∞
［１＋ｒ（０，０）］
８ １
ｑｘ ＋
４
ｆ＝１
ｆ－ １
［
［１＋ｒ（０， ｃ
－
）］
１ ４
］×［１＋ｒ（０，
ｆ
ｃ＝０
４
４
－１
）］ ８
ｑｘ
ｆ ｜１ ４４
ｄｒｔ＝ａ（ｒ－ ｒｔ）ｄｔ＋! ! ｒｔ ｄＷｔ
（ １）
其中， ｒｔ 是 ｔ 时刻的利率， ａ 为利率调整速度， ｒ 为长期回复
均值， Ｗｔ 为标准布朗运动。由（１）式易知其均值、方差分别为：
Ｅ［ｄｒｔ］＝Ｅ［ａ（ｒ－ ｒｔ）］ｄｔ，Ｖａｒ［ｄｒｔ］＝!２ｒｔｄｔ
我们采用 Ｃｈａｎ 等人所用的离散化模型。令 ｙｔ＝ｄｒｔ＝ｒｔ－ ｒｔ－１，
理论新探
基于工资指数的公共养老金调整指数特点及启示
韩 伟 １， 穆怀中 ２
（ １．燕山大学 经济管理学院， 河北 秦皇岛 ０６６００４； ２．辽宁大学 人口研究所， 沈阳 １１００３６）
摘 要： 公共养老金指数化调整已经成为各国公共养老金计划的一个重要组成部分。２０ 世纪 ９０
年代中期， 中国各省市根据国务院精神也陆续建立养老金指数化调整机制， 多数省市设计的调整指
１ ＣＩＲ 模型实证分析
１．１ 离散化的 ＣＩＲ 模型 证券的收益和到期时间之间的关系， 一般被称为利率的
期 限 结 构 。随 机 利 率 模 型 已 经 成 为 当 前 研 究 利 率 期 限 结 构 必 不可少的工具。Ｃｏｘ、Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ 和 Ｒｏｓｓ 于 １９８５ 年推导出适用 于一般均衡经济环境的模型 ， ＣＩＲ 模 型 在 理 论 和 实 证 研 究 中 被广泛应用， 该模型认为利率符和如下过程：
０ 引言
为了有效地规避利率波动给寿险公司带来的风险， 我们 认 为 应 该 采 用 随 机 利 率 来 给 寿 险 产 品 进 行 定 价 。我 们 考 虑 被 广 泛 应 用 的 Ｃｏｘ－ Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ－ Ｒｏｓｓ（ ＣＩＲ） 模 型 ， 首 先 以 银 行 间 ７ 日 拆 借 利 率 数 据 为 样 本 ， 采 用 广 义 矩 估 计 方 法（Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｍｏｍｅｎｔｓ， 简 记 为 ＧＭＭ） 对 ＣＩＲ 模 型 进 行 参 数 估 计、假设检验。实证结果表明， ＣＩＲ 模型适合我国当前的利率 市场。然后， 我们将 ＣＩＲ 模型代入寿险产品的定价研究中， 主 要针对终身寿险产品， 推导出在随机利率下该品种的定价公 式， 并举例加以分析。在例子中， 利用蒙特卡罗模拟方法， 计 算出随机利率下的价格分布， 同时给出合理的定价分位点， 从而达到规避保险公司面临的利率风险的效果。
身寿险， 保费 ２０ 年缴， 初始 利 率 设 为 ２．２７ ％， 死 亡 率 采 用 我
国非养老金男性生命表 ＣＬ１， 并假定 尾 龄 服 从 ＵＤＤ 假 设 ， 死
亡发生在每季度中点。设附加费用率如表 ３。
表３
年份
１
附加费率（％） ４０
附加费用率
２
３
２５
１５
４
５－ ２０
１２
８
（１）固 定 利 率 下
向量， 即矩条件， ＷＴ（’）是正定对称权重矩阵， Ｔ 为样本观测值
的个数。
１．３ 数据及实证结果
拆借利率是发达货币市场中最基本的利率， 许多其他利
率都直接或间接地受其变动的影响， 这种影响有时甚至是国
际的（如美国联邦基金利率和 ＬＩＢＯＲ）。所以在本文中， 我们选
取相对活跃且有代表性的银行间 ７ 日拆借利率， 时间范围是
DOI:10.13546/j.cnki.tjyjc.2008.13.063
理论新探
ＣＩＲ 模型下寿险产品的定价研究
赵静宇， 郭士杰， 罗传光
（南开大学 经济学院风险管理与保险学系， 天津 ３０００７１）
摘 要： 文章将随机利率引入传统寿险产品的定价问题中。实证检验表明， ＣＩＲ 模型适合我国目
前的利率市场， 所以， 文章假定利率符合 ＣＩＲ 模型， 进而推导出 随 机 利 率 下 寿 险 产 品 的 定 价 公 式 ， 并
１．２ 广义矩估计（ ＧＭＭ）
在金融实证研究领域里， 广义矩估计方法是一个被广泛
应用的时间序列工具， 该方法的一般表述是由 Ｈａｎｓｅｎ 发展
起来的。ＧＭＭ 方法的目的是选择使如下二次型
ＪＴ（’）＝ｆＴ（’）＇ ＷＴ（’）ｆＴ（’）
（ ２）
最小化的 ｋ 维参数向量 ’， 其 中 ｆＴ（’）为 满 足 正 交 条 件 的
零。实证结果如表 １。
表１ 参数及统计量
时间范围 ２００４．１．２－ ２００７．１２．２９
ＣＩＲ 模型实证结果
ａ
ｒ
!
ｘ２ 值
ｐ值
０．１０９５ ０．０２２７ ０．０２０２ ２．５５５３ ０．１０９９
在 表 １ 中 ， 由 于 ｘ２ 值 小 于 ３．８４１， 在 ９５％ 的 置 信 水 平 不 能拒绝原假设。这意味着模型适合所选取的数据。
所 以 ， 保 额 为 １００００ 元 、２０ 年 缴 费 、投 保 年 龄 为 ３５ 岁 的
终身寿险保单的年缴毛保费为 ２８０．３３ 元。
（２）随机利率 ＣＩＲ 模型下
ＣＩＲ 模型的参数选取见表 １。将 ｋ，ｘ，" 等数值代入（ ４） 式
即得基于 ＣＩＲ 模型下的毛保费定价公式。按照每一条收益率
路径都会产生一个价格， 用某个单一的模拟价格会由于信息
数与工资指数相似。文章通过数理分析， 找到基于工资指数的公共养老金调整指数的特点， 并运用德
国历史数据进行实证检验； 最后结合中国国情， 为中国养老金调整指数设计提供了可借鉴的经验启示。
关键词： 工资指数； 公共养老金； 调整指数
中图分类号： Ｃ８１３
文献标识码： Ａ
文章编号： １００２－ ６４８７（ ２００８） １３－ ００２２－ ０３
假 定 终 身 寿 险 为 ｋ 年 期 缴 费 ， ｋ＝１ 时 为 趸 缴 。 对 于 ｘ 岁 的被保险人来讲， ｋ∈［１，"－ ｘ］。保费年初缴纳， 保险 责 任 发 生 时立即给付保险金。
我们首先从固定利率下终身寿险的纯保费定价公式出
发， 将固定 的 利 息 力 # 替 换 为 远 期 瞬 时 收 益 率 ｒ（０，ｓ）， 得 到 随
% & ｋ－ １
４ｈ－ １
（１－
%１
）＋
ｈ
＝
１
（１－
%ｈ＋１
）×［
ｃ
＝
０
［１＋ｒ（０，
ｃ ４
－１
）］ ４ ］ｈ ｐｘ
（ ４）
２．２ 举例分析
由于随机利率每次演进的路径是不确定的， 所以计算出
的实际上是一种价格分布， 它将覆盖由固定利率所计算出的
是单一价格。请看下面的例子。
假定 ３５ 岁的被保险人， 投保一份保额为 １００００ 元的终
公共养老金指数化调整就是使已退休者现收现付养老 金随物价的 波 动 、经 济 的 增 长 自 动 、规 范 地 调 整 。１９５７ 年 德 国首建了基于工资指数的现代养老金指数化调整机制。随 后， 该机制在西方发达国家中盛行。２０ 世纪 ９０ 年代中期， 中 国各省市根据国务院精神也陆续建立养老金指数化调整机 制， 并且多数省市设计的调整指数与德国相似： 让老年人口 分享经济增长的成果， 相应地参照工资增长率确定养老金的
Ｘｔ＝ｒｔ， 得：
ｒｔ＋１－ ｒｔ＝"＋#ｒｔ＋$ｔ＋１
Ｅ［$ｔ＋１］＝０，Ｅ［$２ｔ＋１］＝!２ｒｔ
①数据来源： ＣＣＥＲ 经济金融数据 ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｃｅｒｄａｔａ．ｃｏｍ／。
２０ 统计与决策 ２００８ 年第 １３ 期（ 总第 ２６５ 期）
我 们 要 用 广 义 矩 方 法 估 计 出 %，& 和 !２ 这 三 个 参 数 ， 同 时对模型做假设检验。
毛保费 Ｇ＝纯保费 Ｐ／（ １－ %）
对于年缴均衡保费保单， 由于前期费用支出较多， 故首年
费用附加率较大。而在以后各年中， 附加费用率逐年递减， 并
通常稳定在一个固定的水平上。假定为 ｋ 年缴费， 每年的附加
费用率分别为 %１，%２，…，%ｋ， 均衡毛保费为 Ｇ。则固定利率下 ｘ
岁被保险人 ｋ 年缴费的终身寿险保单的毛保费 ｋＧ（Ａｘ）为：
举例分析。在实例计算中， 利用蒙特卡罗模拟方法计算出的价格分布十分接近正态分布， 这也从侧面
反映出基于随机利率下的寿险产品定价的合理性。
关键词： 利率期限结构； ＣＩＲ 模型； 人寿保险
中图分类号： Ｆ８４０．６２
文献标识码： Ａ
文章编号： １００２－ ６４８７（ ２００８） １３－ ００２０－ ０２