高中数学 三角函数掌握三角函数线的定义导学案 苏教版必修4高一
苏教版数学高一苏教版必修4导学案任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数1．三角函数的定义如图：P (x ，y )，OP ＝r ，一般地，对任意角α，我们规定：(1)比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝yr ；(2)比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr；(3)比值y x (x ≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx.预习交流1三角函数值的大小与P 点位置的选取有关系吗？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．2．三角函数值在各象限的符号正弦函数值的符号与y 的符号相同，余弦函数值的符号与x 的符号相同．此符号规律可用口诀：“一全正、二正弦、三两切、四余弦”来记忆(只记函数值为正的情况，“一、二、三、四”指象限)．预习交流2 三角函数值在各象限的符号由什么来确定？提示：由三角函数的定义可知，三角函数值在各象限的符号由角α终边上任意一点P 的坐标x ，y 的正负来确定．3．有向线段与三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段叫做有向线段．类似地，把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号．这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB .(2)三角函数线：如图，把有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．它们统称为三角函数线．当角α在不同象限时，其三角函数线见课本第13页图128.当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．预习交流3 正弦线、余弦线、正切线方向有何特点？提示：正弦线方向由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线方向由原点指向垂足；正切线方向由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．预习交流4(1)角α终边上一点P (3，n )，且sin α＝45，则n ＝______；(2)若角α的终边过点(sin 30°，－cos 30°)，则sin α＝______；(3)若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于第______象限．提示：(1)4 (2)－32(3)二一、利用定义求三角函数值已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值． 思路分析：此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．解：由已知有，24m ＝m3＋m 2，得m ＝0，或m ＝±5.(1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153；(3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153.已知点P (5，a )是角α的终边上一点，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．解：∵x ＝5，y ＝a ，∴tan α＝y x ＝a 5＝－125，∴a ＝－12，r ＝52＋(－12)2＝13.则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，sin α＋cos α＝－1213＋513＝－713.已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r ，再由三角函数的定义，求出三角函数值．若点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．二、三角函数值的符号的应用判断下列各式的符号：(1)tan 120°·sin 269°；(2)cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. 思路分析：此类问题的解决一是要弄清角的终边所在的象限，二是要熟记三角函数值在各象限的符号．解：(1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0； ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0， ∴tan 120°·sin 269°＞0.(2)∵π＜4＜3π2，∴4弧度角是第三象限角，∴cos 4＜0；∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角，∴tan ⎝⎛⎭⎫－23π4＞0，∴cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4＜0.1．若角α的终边经过点P (－2，－1)，则①sin α·tan α＞0；②cos α·tan α＞0，③sin α·cos α＞0；④sin α·tan α＜0中成立的是__________(填序号)．答案：③④解析：∵P (－2，－1)是第三象限内的点，∴角α为第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，∴①②不正确，③④正确．2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，求角α的终边所在的象限． 解：方法一：∵P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0且cos α＜0.由tan α＜0，知α为第二或第四象限角，由cos α＜0，知α为第二或第三象限角，∴α的终边在第二象限．方法二：由P 为第三象限，知tan α＜0且cos α＜0.设角α终边上一点的坐标为(x ，y )，则由三角函数定义知，tan α＝y x ＜0，cos α＝xr ＜0，∴x ＜0且y ＞0.故α的终边在第二象限．三角函数值“符号看象限”：根据符号规律，结合具体函数及角的所在象限进行判断，如第二象限角，其正弦值为正，而余弦与正切值为负．由点所在象限求角所在象限时，关键是弄清已知点的坐标符号，以此判定点所在象限即知角的终边所在象限．三、作三角函数线作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．思路分析：利用三角函数线的作法即可完成．解：在直角坐标系中作单位圆，如图所示．以x 轴正半轴为始边作3π4角，角的终边与单位圆交于点P .作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与OP的反向延长线交于点T ，则sin 3π4＝MP ，cos 3π4＝OM ，tan 3π4＝AT ，即3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边．解：所给函数是正弦函数，故作直线y ＝12交单位圆于点P ，Q ，连结OP ，OQ ，则射线OP ，OQ 即为角α的终边．作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此点作x 轴的垂线，得垂足，从而可得正弦线与余弦线．作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，与角的终边(角α为第一或第四象限角时)或终边的反向延长线(角α为第二或第三象限角时)交于一点T ，即可得到正切线AT .三角函数线的主要作用是求函数定义域、值域、解三角不等式、比较两三角函数值的大小等．1．已知在△ABC 中，sin A ·cos B ＜0，则△ABC 的形状是__________． 答案：钝角三角形解析：在△ABC 中，由sin A ·cos B ＜0，可知sin A ＞0，cos B ＜0，故∠B 为钝角，即此三角形为钝角三角形．2．已知角α的终边经过点P (5,12)，则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.答案：1213 513 125解析：由x ＝5，y ＝12，得r ＝52＋122＝13.∴sin α＝y r ＝1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝125.3．已知cos θ·tan θ＜0，那么θ是第______或第______象限角． 答案：三 四 解析：由cos θ·tan θ＜0，知sin θ＜0，且θ的终边不在坐标轴上，由此知θ的终边在第三或第四象限．4．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是__________． 答案：－4 3解析：在坐标系中把600°角的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a 的值．因为600°＝360°＋240°，所以600°的终边与240°的终边重合，如图所示，设P (－4, a )，作PM ⊥x 轴于M ，由sin 240°＝a 16＋a 2＝－32，得a ＝－4 3.5．已知角θ的终边上一点P (5a,12a )，且a ≠0，180°＜θ＜270°，求角θ的三个三角函数值．解：因为180°＜θ＜270°，所以a ＜0，从而r ＝(5a )2＋(12a )2＝－13a ，所以sin θ＝y r ＝－1213，cos θ＝x r ＝－513，tan θ＝y x ＝125.。
高中数学 1.3.1 三角函数的周期性导学案 苏教版必修4(2021年整理)
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1.3.1 三角函数的周期性且A ≠0，ω＞0)的周期。
1．周期函数的概念（1)周期函数的定义:一般地，对于函数f （x )，如果存在一个非零的常数T ,使得定义域内的每一个x 值，都满足f （x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．（2）最小正周期：对于一个周期函数f （x ），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f （x ）的最小正周期．预习交流1周期函数的定义中，能否把“定义域内的每一个x 值”改为“定义域内存在一个x 值”？ 提示:不能．反例：y ＝sin x (x ∈R ）对于x ＝错误!,T ＝错误!，显然有sin （x ＋T )＝sin 错误!＝sin 错误!＝sin x ，但T ＝π3不是它的周期． 2．三角函数的周期（1)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k π（k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π；正切函数y ＝tan x 也是周期函数,且最小正周期是π.（2)一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos （ωx ＋φ）（其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝错误!。
若函数y ＝f (x ）的周期为T ，则函数y ＝Af （ωx ＋φ）的周期为错误!(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0,ω≠0）．预习交流2所有周期函数都有最小正周期吗？为什么？提示：并不是所有的周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f (x ）＝5，x ∈R .当x 为定义域内的任何值时，都有f （x ）＝C ，即对定义域内的每一个x 值，f (x ）都有f (x ＋T )＝C ＝f (x ）,因此f (x ）是周期函数．由于T 是不为零的任意常数，而正数集合中没有最小者，所以f （x )＝C 没有最小正周期．一、函数周期性的证明已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m )＝－f (x ),求证：函数f （x )是周期函数,并且2m 是f （x ）的一个周期．思路分析:要证函数f (x ）是周期函数，就是要找到一个常数T ，使得对于任意实数x ，都有f（x＋T)＝f(x），可根据f(x＋m)＝－f(x)推导寻找．证明：∵函数f(x)对任意实数x，都有f(x＋m）＝－f（x)，∴f(x＋2m)＝f［(x＋m）＋m］＝－f(x＋m）＝－[－f（x）］＝f（x)．∴函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期．若函数y＝f（x)是奇函数，且f(x＋a）＝错误!，求证:2a是f（x）的周期(a≠0）．证明：∵y＝f(x）是奇函数,∴f(－x)＝－f(x），f(x＋a)＝错误!＝－错误!。
高中数学 任意角三角函数导学案 苏教版必修4高一
垂足；正切线由切点指向与 的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与 轴或 轴同向的为正值，与 轴或 轴反向
的为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
7、
典型例题
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1） ；（2） ；
练习1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1） ；（2） ．
课下探究（1）利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1 与 2tan 与tan
（2）利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角
1sin≥ 2tan
（三）课堂小结、
本节课你学了哪些知识？有哪些收获？你已经正确理解、掌握它们了吗？
（四）课后作业P15-6
复习提问
1、三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念。（两个定义）
2、三角函数（正弦，余弦，正切函数）值在各象限的符号。
课前练习
练习1、确定下列三角函数值的符号：（1）sin(-392°)（2）tan(-672°)
(3)sin1480°10¹(4)cos (5)tan(- )
2、求下列三角函数值（1）sin0 (2)cos (3)tan
设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点 。过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与点 .
由四个图看出：
当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 ，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段 为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为 的终边与单位圆的交点到 轴的垂直线段；余弦线在 轴上；正切线在过单位圆与 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
苏教版数学高一必修4学案第2课时三角函数线
第2课时三角函数线学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．知识点一有向线段思考1比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？思考2如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？梳理有向线段(1)有向线段：规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．(2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线．(3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB.(4)单位圆：圆心在________，半径等于____________的圆．知识点二三角函数线思考1在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？思考2 三角函数线的方向是如何规定的？思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？ 梳理图示正弦线 角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM 垂直于x 轴，有向线段________即为正弦线余弦线 有向线段________即为余弦线正切线 过点A (1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y 轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T ，有向线段________即为正切线知识点三 正弦、余弦、正切函数的定义域思考 对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理 三角函数的定义域函数名 定义域 正弦函数 R 余弦函数 R正切函数{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }类型一 三角函数线例1 作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线．反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．类型二 利用三角函数线比较大小 例2 利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负．跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1 利用三角函数线解不等式(组)例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期． (2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪训练3 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域． (1)y ＝3tan x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．跟踪训练4 求函数f (x )＝2sin x －1的定义域．1．函数y ＝cos x －32的定义域为________． 2．如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线分别是____________．3．设a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a 、b 、c 的大小关系是________．(按由小到大顺序排列)4．函数y＝2cos x－1的定义域为________．5．利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合：(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．2．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了．答案精析问题导学 知识点一 思考1 不一样．思考2 用有向线段AB 和BA 表示较好． 梳理 (1)方向 (3)正号 负号 (4)原点 单位长度 知识点二思考1 sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .思考2 方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理 MP OM AT 知识点三思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y 轴上时，任取一点P ，其横坐标x 都为0，此时yx 无意义，故tan α无意义．题型探究例1 解 如图所示，sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ， cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT . 跟踪训练1 解 已知角α的正弦值，可知MP ＝12，则P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12，过该点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z }．例2 解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号皆正， ∴sin 2π3>sin 4π5；|OM |<|OM ′|，符号皆负， ∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号皆负， ∴tan 2π3<tan 4π5.跟踪训练2 sin 1 155°>sin(－1 654°)． 例3 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足要求的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连结OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }． 跟踪训练3 {θ|2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z }例4 解 (1)为使y ＝3tan x －3有意义， 则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示，所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是{x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练4 {x |π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }当堂训练1．{x |2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z }2．MP 、AT 3.b <a <c 4.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z 5．解 (1){α|2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z }．(2){α|kπ－π2<α≤kπ＋π6，k∈Z}．(3)|sin α|≤12，即－12≤sin α≤12，{α|kπ－π6≤α≤kπ＋π6，k∈Z}．。
苏教版高中数学必修四第课时三角函数的周期性导学案
1、问题：（1）今天是星期_____，则过了七天是星期______？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2、用三角函数线研究正弦、余弦函数值：每当角增加（或减少）π2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有： _________________________；__________________________。
这种性质我们就称之为周期性。
若记x x f sin )(=，则对于任意R x ∈，都有______________。
若记x x f cos )(=，则对于任意R x ∈，都有______________。
3、周期函数的概念：一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个值x ，都满足_______________________，那么函数就叫做______________，非零常数叫做这个函数的_____________________。
说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。
4、最小正周期的概念：5、)cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 的周期：一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 及)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数， 且0,0>≠ωA ）的周期=T __________。
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；6、课前练习：（1）一个周期函数的周期有_________个。
（2）试举出没有最小正周期的周期函数：__________________________________________。
（3）函数sin y x =有2sin()sin 636πππ+=，则23π______它的周期（填“是”或“不是”）x（4）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，若是，周期是_____________________。
高中数学苏教版必修四第一章1.2.1 任意角的三角函数(2)导学案设计(无答案)
1.2.1 任意角的三角函数（2）【目标要求】1．掌握三角函数线的定义，会画三角函数线；2．利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．【重点、难点】三角函数线的应用。
【预学单】1.有向线段：规定了_____________________的线段成为有向线段；规定与坐标轴___________相同为正，与坐标轴___________相反为负.2．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．3．根据三角函数线探究：正弦、余弦、正切、函解析式y＝sinx y＝cosx y＝tanx定义域值域例1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．3π56π23π-136π-变式：利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1) 32sinπ与54sinπ(2) tan32π与tan54πxyOxyo xyoyo x例2.利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合：（1）21sin =α； （2）22cos =α； （3）3tan =α.例3.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23; (2)cos α≤21-. .【续学单】1． 如果角α（πα20<<）的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，则α的值为______.2． 利用单位圆比较大小：（1）00150sin _________25sin ； （2）34cos ______32cosππ； （3）54tan _________32tan ππ； （4）0025tan ______25sin . 3．求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ； （2）y=lg(3-4sin 2x ）。
高三一轮复习苏教版必修4三角函数及三角恒等变换、正余弦定理导学案
总课题高三一轮复习---第四章三角函数总课时第1、2课时课题 4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数课型复习课教学目标1.了解任意角的概念及角的集合表示.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学重点1.象限角与终边相同的角的形式表示的应用.2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学难点同上学法指导讲练结合教学准备导学案导学《步步高》一轮复习资料自主学习高考要求三角函数的概念 B教学过程师生互动个案补充第1课时：一、基础知识梳理1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的；②分类：角按旋转方向分为、和 .(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝ .(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是________________角．第一象限角的集合是S＝；第二象限角的集合是S＝；第三象限角的集合是S＝；第四象限角的集合是S＝ .(4)轴线角终边在x轴的正半轴上的角的集合是S＝；终边在x轴上的角的集合是S＝；终边在y轴上的角的集合是S＝；终边落在坐标轴上的角的集合是S＝.2.弧度制(1)定义：把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是 .(2)角度制和弧度制的互化：360°＝______ rad；180°＝______ rad；1°＝________ rad；1 rad＝____________≈57.30°.(3) 弧长公式与扇形面积公式：l＝__________，即弧长等于____________________．3.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，|OP |＝r >0， 我们规定：①比值 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ ；②比值 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；③比值______(x ≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ .(1)三角函数值在各象限的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示：口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．*(2)三角函数线(了解)下图中有向线段MP ，OM ，AT 分别表示____________，__________和__________．二、基础练习训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.( ) (4)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限.( )*(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1. ( )2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________.(填序号)①2k π＋45° (k ∈Z );②k ·360°＋94π (k ∈Z )；③k ·360°－315°(k ∈Z );④k π＋5π4 (k ∈Z ).3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________.4.已知sin α<0且tan α>0，则角α是第________象限角．5.已知角α的终边经过点)12,5(--P ，则sin ____,cos ___,tan ____ααα===．6．“α＝π6”是“sin α＝12”的________条件．三、典型例题分析题型一: 角及其表示例1：(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是______________. (2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在______________.变式训练：(1)终边在直线y x =-上的角的集合是______________. (2)如果α是第一象限角，那么角2α的终边落在______________.(3)已知角α＝45°，在区间[－720°，180°]内与角α有相同终边的角β＝________.(4)与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(5)已知角x 的终边落在图示阴影部分区域，写出角x 组成的集合．(a )(b )题型二: 三角函数的概念例2：已知角α终边上一点),3(y P -，且y 42sin =α，求αcos 和αtan 的值．变式训练：(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ等于___________________.(2)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________.(3) 已知角α的终边经过点P (－4a,3a ) (a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．第2课时：题型三 扇形的弧长、面积公式的应用例3：已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式训练：已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________.题型四 三角函数值的符号例4：若sin cos 0,tan cos 0θθθθ⋅>⋅<且，则角θ的终边落在第_______象限变式训练：1.若sin 0tan 0θθ<>且，则θ是第_______象限。
苏教版数学高一苏教版必修4导学案1.2.3第1课时三角函数诱导公式一之四
1.2.3 三角函数的诱导公式第1课时 三角函数诱导公式一～四诱导公式一～四(1)公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等．故有：sin(α＋2k π)＝sin_α，cos(α＋2k π)＝cos_α，tan(α＋2k π)＝tan_α(k ∈Z )． (2)公式二：角α与角－α的终边关于x 轴对称，故有：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α. (3)公式三：角α与角π－α的终边关于y 轴对称，故有：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α. (4)公式四：角π＋α与角α的终边关于原点O 对称，故有：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.预习交流1怎样由公式二、三推导出公式四？提示：由公式二、三可得：sin(π＋α)＝sin[π－(－α)]＝sin(－α)＝－sin α；cos(π＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α；tan(π＋α)＝tan[π－(－α)]＝－tan(－α)＝tan α.预习交流2以上诱导公式各有什么作用？提示：公式一的作用是将任意角转化为0～2π内的角求值；公式二的作用是将负角化为正角求值；公式三的作用是将角转化为0～π2内的角求值；公式四的作用是将0～2π内的角转化为0～π内的角求值．一、给角求值问题求下列三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－103π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°)． 思路分析：对于负角的三角函数可先由公式二化为正角的三角函数，再将大于360°的角利用公式一化到0°～360°内的角，进而利用公式三、四化成锐角的三角函数并求得结果，也可直接利用公式一化为0°～360°内的角的三角函数，再运用公式三、四化成锐角的三角函数求之．解：(1)方法一：sin ⎝⎛⎭⎫－103π ＝－sin 103π＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3＝－sin 4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝sin π3＝32； 方法二：sin ⎝⎛⎭⎫－103π＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋2π3 ＝sin 2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝32. (2)cos 296π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)方法一：tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(720°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－(－tan 45°)＝tan 45°＝1.方法二：tan(－855°)＝tan(－3×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)cos 47π6. 解：(1)sin(－1 200°)＝－sin1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)cos 47π6＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋11π6＝cos 11π6＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：(1)“负化正”——用公式一或二来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．二、给值求值问题已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 思路分析：确定α－75°所在的象限，利用同角的三角函数基本关系式及诱导公式求解．解：∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角， ∴α－75°为第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.1．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝__________. 答案：－33解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是__________． 答案：－12解析：∵sin(π＋α)＝－12，∴sin α＝12. ∴sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－12.对于给值求值问题，解题的基本思路是首先认真找出条件式与待求式之间的差异，主要包括函数名称及角两个方面，然后巧妙地选用公式化异为同，再代入条件式求解．有时还需对条件式或待求式进行适当化简后再作处理．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，这些都是解决问题的关键．三、三角函数式的化简问题化简：(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)sin (180°＋α)cos (－α)tan (－α). 思路分析：利用诱导公式一～四进行化简．解：(1)原式＝－sin αcos(α＋π)tan α＝－sin α·(－cos α)·sin αcos a＝sin 2α. (2)原式＝－sin α·cos α－tan α＝sin α·cos αsin αcos α＝cos 2α.1．化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π＋α)＝__________. 答案：－1解析：原式＝cos αtan[6π＋(π＋α)]－sin α＝cos αtan (π＋α)－sin α＝cos αtan α－sin α＝cos α·sin αcos α－sin α＝－1.2．化简：sin 2(α－2π)cos (2π＋α)cos (－α－3π)tan (2π－α)cos 3(－α－4π). 解：原式＝sin 2αcos αcos (3π＋α)tan (－α)cos 3(－α)＝sin 2αcos αcos (π＋α)－tan αcos 3α＝sin 2α(－cos α)－tan αcos 2α＝sin 2αcos αsin αcos αcos 2α＝sin α.1．sin 330°＝__________.答案：－12解析：易知sin 330°＝sin(360°－30°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－12. 2．若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝__________. 答案：12解析：∵tan(π＋α)＝tan α＝－12， ∴tan(3π－α)＝tan[2π＋(π－α)]＝tan(π－α)＝－tan α＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12. 3．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α＝__________. 答案：17解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45， ∴sin α＝－45. 又α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则cos α＝1－sin 2α＝35， ∴原式＝17. 4．化简：sin 2(π＋α)－cos(π－α)cos(－α)－1＝__________.答案：0解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α－1＝sin 2α＋cos 2α－1＝1－1＝0.5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π，求sin α－cos α的值． 解：sin(π－α)－cos(π＋α)＝sin α＋cos α＝23，两边平方，得1＋2sin αcos α＝29， ∴2sin αcos α＝－79. ∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. 故有sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋79＝43.。
高中数学 1.3.4 三角函数的应用导学案 苏教版必修4(2021年整理)
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1。
3。
4 三角函数的应用的重要函数模型。
1．三角函数模型的应用（1）三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(2）函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)的最大值为A ,最小值是－A ，周期是错误!,频率为|ω|2π。
(3)三角函数模型的三种应用模式:一是给定具有周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题;二是给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数解析式(函数模型），再解决其他问题;三是收集一组实际问题的调查数据，根据数据作出散点图,通过拟合函数图象，求出可近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．预习交流在建模过程中,散点图的作用是什么？提示:利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误．2．应用三角函数模型解实际问题的步骤第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景;在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型,列出函数关系式，根据已知条件和数量关系，建立函数关系式；在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步:再将所得结论转译成实际问题的解答．一、三角函数在物理学中的应用表示电流I 与时间t 的关系式I ＝A sin （ωt ＋φ)（A ＞0,ω＞0）在一个周期内的图象，如图所示．(1)根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；（2)I ＝A sin(ωt ＋φ）中的t 在任意一段错误!秒的时间内都能使I 同时取到最大值｜A |和最小值－｜A |，那么正整数ω的最小值为多少？思路分析:（1）由一个周期内的图象可确定图象的五个关键点，据此可求出解析式．（2)画图分析得:要使任意一段1100秒的时间内I 能同时取到最大值和最小值，需要满足周期T ≤错误!。
2019-2020学年度高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第1课时 1
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学苏教版必修4教案：第一章三角函数第1课时 1______年______月______日____________________部门【教学目标】一、知识与技能1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的概念；终边相同角的表示方法．2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法．αα二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。
【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法【教学过程】【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步印象．【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)．α讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，特别地，当一条射线______________时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角.⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1角有正负之分 2 角可以任意大 3 可以为零角2．“象限角及轴线角”建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于_______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________）3．终边相同的角(1)在平面直角坐标系中作出30, 390，330角⑴观察：390，330角，它们的终边都与________角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和：)kk(Z390=______+____360 330=______+_____360⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：例题分析：例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来：（1）（2）（3）。
高中数学苏教版必修四第一章1.3.2三角函数的图象和性质(1)导学案(无答案)
1．3．2 三角函数的图象与性质(1)【学习目标】1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．2．借助图象理解正弦函数，余弦函数的性质．【重点与难点】借助正弦线画出正弦函数的图象．【预学单】主题一:几何法作图1.复习回顾任意角α的三角函数线，并借助正弦线探究随着角α的增大，它的正弦值的变化情况.【研学单】主题二:“五点法”作图1．正弦函数的图象2．正弦函数的性质函数的x y sin =的定义域 ，值域 ；当x = _ ，函数最大值为 ；当x = ，函数最小值为 ；周期 ，奇偶性 ，对称轴____________;对称中心______________；单调递增区间 ，递减区间 ；3．余弦函数的图像．4．余弦函数的性质．函数的x y cos =的定义域 ，值域 ；当x = __ ，函数最大值为 ；当x = _ ，函数最小值为 ；周期 ，奇偶性 ，对称轴_________；对称中心____________；单调递增区间 ，递减区间 ；主题3 数学应用例1．用“五点法”作出下列函数的简图．（1）R x x y ∈=,cos 2 (2)R x x y ∈=,2sin例2．画出下列函数的图象，并说出函数的对称性、周期(1)1cos y x =+； x y sin )2(=； (3)sin y x =例3．求下列函数的定义域：(1)y =； (2)y = (3)y =【续学单】1. 画出下列函数的简图:（1）sin 1y x =- （2）2sin y x = （3）1cos y x =+ （4）cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.2.函数()cos 1f x x =+的图象的对称中心的坐标是 .3.若集合{}02A x x π=≤≤，1sin 2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A ÇB = . 4.定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数2cos y x =的图象与sin y x =的图象的交点为P ，则P 到x 轴的距离为 .。
高中数学 任意角的三角函数 (1)导学案 苏教版必修4高一 学案
那么角 的正弦、余弦、正切分别是： sin
,cos
, tan
,
它们都是以角为
，以比值为
的函数．
2．三角函数的符号与角所在象限的关系：
y
y
y
Ox
Ox
Ox
sinx,
cosx,
tanx,
总结记忆：_______________________________________________________
角
0
30
45
60
90
180
270
360
角 的 弧度制
sin
cos
tan
3.填写下列表格
二：课堂活动
例 1．若角 的终边经过点 P(1， 2) ，求 sin ,cos ,tan 的值
.
变式训练 1.已知角 的终边在直线 3x+4y=0 上，求 sin ,cos ,tan 的值.
例 2 判断正负 cos 250 ；（2） sin( ) ；（3） tan(672 ) ；（4） tan 11
班级
小组
姓名
师生共用任意角的三角函数 （1）导学案
年级： 高一 学科：数学 课时及内容：
学习目标:1 掌握三角函数的定义 2.已知角 终边上一点，会求角 的各三角函数值；3 会判断三角函数符号，象限。 学习重点难点：根据定义求三角函数值。判断三角函数符号，象限。 一：课前准备:
1 1.定义：设 是一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x, y) ，它与原点的距离为 r (r>0)，
4
3
变式训练 1..若 sin 0 且 tan 0是，则 是
象限
三、当堂检测
高中数学 第一章 三角函数学案 苏教版必修4
第一章三角函数学案1．三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算．②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1巧妙解题．3．诱导公式能用公式一至公式六将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．4．三角函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R (kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)值域[－1,1][－1,1](－∞，＋∞)最值x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y min＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y min＝－1无最大、最小值周期性周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝kπ(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增函数；在2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数在(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数对称性轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2，k∈Z；轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ，k∈Z；中心对称图形，对称中心对称图形，对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z)中心对称图形，对称中心(k π，0)(k ∈Z )中心(k π＋π2，0)(k ∈Z )5.三角函数的图象与性质的应用(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．题型一 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求与三角函数有关的定义域． 例1 求函数y ＝sin x ＋ cos x －12的定义域．解 由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z ，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 跟踪演练1 设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值． 解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }．(2)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0， ∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．题型二 同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2 α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法，如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用． (2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．例2 已知2＋tan θ－π1＋tan 2π－θ＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．解 方法一 由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2 θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15. 方法二 由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θsin 2 θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15. 跟踪演练2 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2 α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 解 (1)方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2 α＋cos 2 α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2 α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.方法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α ＝tan 2α＋11－tan 2α， ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 题型三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)由已知函数图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一． 例3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象如图．(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求y ＝g (x )的解析式．解 (1)由题意，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，故ω＝2πT ＝π4.∵图象过点(－1,0)，∴－π4＋φ＝0.∴φ＝π4.∴所求的函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)∵g (x )与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴g (x )的图象是由f (x )沿x 轴平移得到的，找出f (x )上的点(1,2)关于直线x ＝2的对称点(3,2)，代入g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋θ得θ＝－π4，∴g (x )的解析式为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4.跟踪演练3 若0<x <π2，则2x 与πsin x 的大小关系是________．①2x >πsin x ；②2x <πsin x ；③2x ＝πsin x ；④与x 的取值有关． 答案 ②解析 在同一坐标平面内作出函数y ＝2x 与函数y ＝πsin x 的图象，如图所示．观察图象易知：当x ＝0时，2x ＝πsin x ＝0；当x ＝π2时，2x ＝πsin x ＝π； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝2x 是直线段，而曲线y ＝πsin x 是上凸的．所以2x <πsin x .题型四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．例4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴y ＝f (x )的周期为2. ∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减．∵f (x )是偶函数， ∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反．∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， ∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.②由①②，得f (sin α)>f (cos β)．跟踪演练 4 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．。
[推荐学习]高中数学 三角函数掌握三角函数线的定义导学案 苏教版必修4高一
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O 姓名 x
O x
O x
2、根据三角函数线探究：正弦、余弦、正切、函数的定义域和值域： 解析式 定义域 值 域 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
小组
二：课堂活动 例 1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线并比较相同三角函数值的大小．
（1） y 班级
3
（2）
6
O
x
K12 的学习需要努力专业专心坚持
生活的色彩就是学习
例 2.在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围,并由此写出角 的集合:
(1)sin ≥ .
3 ; 2
(2)cos ≤ .
1 2
变式训练. 1 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围,并由此写出角 的集合: (1)sin ≤
1 3 ;(2)cos ≥ . 2 2
例 3：求下列函数的定义域： （1）y= 2 cos x 1 ； （2）y=lg(3-4sin x）.
2归纳Βιβλιοθήκη 结 学后反思K12 的学习需要努力专业专心坚持
生活的色彩就是学习
师生共用掌握三角函数线的定义，会画三角函数线导学案
年级： 高一 学科 学习目标: 掌握三角函数线的定义，会画三角函数线 学习重点学习难点：三角函数线的应用。
一：课前准备: 1.有向线段：规定了_____________________的线段成为有向线段；规定与坐标轴___________相同为正， 与坐标轴___________相同为负. 1．三角函数线：在图中作出角 的正弦线、余弦线、正切线． y y y
高一数学苏教版必修4教学案：第1章15三角函数复习
江苏省泰兴中学高一数学教学案(51)必修4_01 三角函数复习班级 姓名目标要求1．熟练掌握三角函数概念，深化对同角三角函数的关系、诱导公式和三角函数的图象性质的认识和理解2．灵活运用三角函数的公式、性质，解决三角函数有关问题3．自觉运用单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，以形助数，数形结合 4．熟练掌握三角函数的图像与性质课前预习 1、知识要点（1）x y sin =、x y cos =、x y tan =的图象与性质名称x y sin =x y cos = x y tan =图象定义域值域奇偶性单调性（单调区间）周期性（最小正周期） 对称轴 对称中心（2）、 sin()y A x ωϕ=+、cos()y A x ωϕ=+的图象与应用 2、课前练习：1、 函数2sin 1y x -的定义域为 ．2、函数x x y sin cos 2-=的值域是 ．3、定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值是 ． 4、函数sin(3)6y x π=+的图象，只需把函数sin3y x =的图象向 平移 个单位．5、若函数)(x f 是偶函数，且当x ＜0时，有)(x f =cos3χ+sin2χ，则当χ＞0时，)(x f 的表达式为 ．6、化简3sin()cos(3)tan()2cos()cos()2παπαπαπααπ+-++--=___________． 7、关于函数))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π的下列命题正确的是________________．（1）由0)()(21==x f x f 可得21x x -必是π的整数倍 （2）)(x f y =的表达式可写成)62cos(4π-=x y（3）)(x f y =的图象关于点)0,6(π-对称（4）)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称典例剖析例1 已知函数()2sin(2)3f x x π=+（1）求()f x 的最小正周期；（2）求 ()f x 的最小最及取得最小值时相应的x 的值； （3）若7[,]1212x ππ∈，求满足()1f x =的x 的值; （4）求()f x 在[0,]x π∈上的单调增区间. （5）在闭区间7[,]1212ππ上是否存在()f x 的对称轴？若存在，求出对称轴，若不存在，说明理由.例2 已知函数()sin(2)16f x x πω=-+ 的最小正周期为π，且图像关于直线6x π=对称，（1）求()f x 的解析式（2）若函数1()y f x =-的图像与直线y a =在[0,]2π上只有一个交点，求实数a 的取值范围例3 已知方程k x =+)4sin(2π，在π≤≤x 0上有两解，求k 的取值范围江苏省泰兴中学高一数学作业(51)班级 姓名 得分1、若角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P ，则2sin cos θθ+的值为________________. 2、=+++54cos 53cos 52cos5cosππππ. 3、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是_____________. 4、已知3tan =α，则αααα22cos 4cos sin 3sin +-的值是___________ .5、若sin cos αα+=1tan tan αα+的值为______________. 6、若sin cos 1(,)2k k Z πθ=-≠∈，则θ在第_________象限. 7、化简sin()cos(2)sin()tan()2παπαπααπ+-+--=___________.8、已知)2(x f y =的图象，作)21(x f y -=的图象应将)2(x f y =的图象先向 平移 个单位，再作关于 的对称图形.9、 已知()sin 2tan 1f x a x b x =++，且(2)4f -=，那么(2)f π+= ___________. 10、求下列函数的的值域： （1）xxy sin 1sin 2+=，（2）2()cos sin 2f x x x =-++ 2(,]43x ππ∈-11、函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 在)32,0(π∈x 内只取到一个最大值和一个最小值，且当12π=x 时，函数的最大值为3，当127π=x 时，函数的最小值为－3，试求此函数的解析式，并说明它是由sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的？12、已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点为(,2)6M π. (1)求()f x 的解析式；（2）说明它是由函数sin y x =的图像经过哪些变换而得到的； （3）当[,]122x ππ∈，求()f x 的值域.。
苏教版高中数学必修四三角函数复习讲义教案(1)
三角函数复习讲义（2）三角函数的图象和性质一、复习要点：1．主要内容：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间），函数()sin y A x ωϕ=+的图象和图象变换，已知三角函数值求角。
2．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
3．常用方法：（1）求三角函数的值域、最值：利用正弦、余弦函数的有界性，通过变换转化为代数最值问题；（2）求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断。
二、基础训练： 1．将函数()sin y f x x =的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数212sin y x =-的图象，则()f x 可以是 （ ）A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x2．函数()sin cos f x a x b x =-图象的一条对称轴是直线4x π=，则常数a 与b 满足（ ）A ．0a b +=B ．0a b -= C．0a +=D ．0a =3．如果α、β,2ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且tan cot αβ<，那么必有 （ ） A ．αβ< B ．αβ> C ．32παβ+< D ．32παβ+>4．函数()()()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）A ．()f x 的值域为[]1,1-B ．()f x 是以π为周期的周期函数C ．当且仅当()22x k k Z ππ=+∈时()f x 取得最大值 D ．当且仅当()3222k x k k Z ππππ+<<+∈时()0f x <5．函数3sin 34cos 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是 ．6．如果α、β、γ均为锐角，1sin 3α=，tan β=，3cos 4γ=，则,,αβγ从小到大的顺序为 ． 7．设甲：“1sin 2α=”，乙：“6πα=”，则甲是乙的 条件。
苏教版高中数学必修四三角函数的图像与性质—正、余弦函数的定义域、值域教案
1.3.2 三角函数的图像与性质（2）一、课题：正、余弦函数的定义域、值域二、教学目标：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。
三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。
四、教学过程： （一）复习：1．三角函数的定义。
（二）新课讲解：1（1）sin 2y x =； （2）cos()3y x π=+； （3）y =；（4）1sin 1y x =+； （5）lg sin y x =．解：（1）2x R ∈， ∴x R ∈； （2）3x R π+∈， ∴x R ∈；（3）sin 0x ≥， ∴[2,2]x k k πππ∈+()k Z ∈；（4）sin 10x +≠，∴sin 1x ≠-， ∴{|x x x R ∈∈且2,}2x k k Z ππ≠-∈；（5）2250sin 0x x ⎧-≥⎨>⎩ ∴5522()x k x k k Z πππ-≤≤⎧⎨<<+∈⎩ ∴ [5,)[0,)x ππ∈--U ．2．正、余弦函数的值域例2：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？ （1）cos 1y x =+，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈．解：（1）使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x R ∈ 取得最大值的x 的集合{|2,}x x k k Z π=∈，所以，函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=．（2）令2z x =，那么x R ∈必须并且只需z R ∈，且使函数sin y z =，z R ∈取得最大值的z 的集合是{|2,}2z z k k Z ππ=+∈，由222x z k ππ==+，得4x k ππ=+，即：使函数sin 2y x =，x R ∈取得最大值的x 的集合是{|,}4x x k k Z ππ=+∈，函数的最大值是1．说明：函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的最值：最大值||A ，最小值||A -．例3：求下列函数的值域： （1）21sin 1y x =+； （2）sin sin 2xy x =+． 解：（1）∵20sin 1x ≤≤，∴21sin 12x ≤+≤， ∴112y ≤≤ 所以，值域为1{|1}2y y ≤≤． （2）2sin 1y x y =-， ∴1sin 1x -≤≤， ∴2111yy -≤≤-， 解得113y -≤≤， 所以，值域为1{|1}3y y -≤≤．五、练习：六、小结：1．正、余弦函数的定义域、值域；2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。
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师生共用掌握三角函数线的定义，会画三角函数线导学案 年级： 高一 学科 学习目标: 掌握三角函数线的定义，会画三角函数线 学习重点学习难点：三角函数线的应用。
一：课前准备: 1.有向线段：规定了_____________________的线段成为有向线段；规定与坐标轴___________相同为正，与坐标轴___________相同为负. 1．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线． 2、根据三角函数线探究：正弦、余弦、正切、函数的定义域和值域：解析式 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 定义域 值 域 二：课堂活动 例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线并比较相同三角函数值的大小． （1）3π- （2） 6π
班级 小组 姓名
αx y O αx y O αx y O x
y O
例2.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:
(1)sin α≥2
3; (2)cos α≤21-. .
变式训练. 1在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:
(1)sin α≤2
3;(2)cos α≥21-.
例3：求下列函数的定义域：
（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2
x ）.
归纳总结
学后反思。