对勾函数详细分析.doc

对勾函数的性质及应用

一 . 对勾函数的图像与性质：

1.定义域：（ - ∞， 0）∪（0，+∞）

2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞)

3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个

“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心

对称，即

2√ab （当且仅当取等号），即在x=时，取最小值4. 图像在一、三象限 , 当时，

由奇函数性质知：当x<0 时，在 x=时，取最大值

5. 单调性：增区间为（），（）, 减区间是（ 0，），（ ,0 ）

1、对勾函数的变形形式

类型一：函数的图像与性质

1.定义域：

2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞)

3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.

4. 图像在二、四象限 , 当 x<0 时，在 x= 时，取最小值；当时，在x=时，取最大值

5.单调性：增区间为（ 0，），（ ,0 ）减区间是（），（） ,

类型二：斜勾函数

①作图如下

1.定义域：

2. 值域： R

3. 奇偶性：奇函数

4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

5.单调性：增区间为（ - ，0），（ 0， +） .

②作图如下：

1. 定义域：

2. 值域： R

3. 奇偶性：奇函数

4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

5.单调性：减区间为（ - ，0），（ 0， +） .

类型三：函数。

此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到

练习 1. 函数的对称中心为

类型四：函数

此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到

练习 1. 作函数与的草图

2.求函数在上的最低点坐标

3.求函数的单调区间及对称中心

类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为

a. 若，图像如下：

1．定义域： 2.值域：

3.奇偶性：奇函数.

4. 图像在一、三象限. 当时，在时，取最大值，当x<0 时，在x=时，取最小值

5.单调性：减区间为（），（）；增区间是

练习 1. 函数的在区间上的值域为

b.若，作出函数图像：

1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4.图像在一、三象限.

当时，在时，取最小值，

当 x<0 时，在 x=时，取最大值

5.单调性：增区间为（），（）；减区间是

练习 1. 如，则的取值范围是

类型六：函数 . 可变形为，

则可由对勾函数左右平移，上下平移得到

练习 1. 函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位 .

2.已知，求函数的最小值；

3.已知，求函数的最大值

类型七：函数

练习 1. 求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为

2.求函数在区间上的最大值

类型八：函数 . 此类函数可变形为标准形式：

练习 1. 求函数的最小值；

2．求函数的值域；

3.求函数的值域

类型九：函数。此类函数可变形为标准形式：

练习 1. 求函数的最小值；

2.求函数的值域

三、关于求函数最小值的十种解法

1.均值不等式

，，当且仅当，即的时候不等式取到“=”。当的时候，

2.法

若的最小值存在，则必需存在，即或（舍）

找到使时，存在相应的即可。通过观察当的时候，

3.单调性定义

设

当对于任意的，只有时，，此时单调递增；

当对于任意的，只有时，，此时单调递减。

当取到最小值，

4.复合函数的单调性

在单调递增，在单调递减；在单调递增

又原函数在上单调递减；在上单调递增

即当取到最小值，

5.求一阶导

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增。

当取到最小值，

6.三角代换

令，，则

当，即时，，，显然此时

7.向量

，

根据图象，为起点在原点，终点在图象上的一个向量，的几何意义为在上的投影，

显然当时，取得最小值。此时，，

8．图象相减

，即表示函数和两者之间的距离

求，即为求两曲线竖直距离的最小值

平移直线，显然当与相切时，两曲线竖直距离最小。

关于直线轴对称，若与在处有一交点，根据对称性，在处也必有一个交点，即此时与相交。显然不是距离最小的情况。

所以，切点一定为点。此时，，

9.平面几何

依据直角三角形射影定理，设，则

显然，为菱形的一条边，只用当，即为直线和之间的距离时，取得最小值。即四边形为矩形。

此时，，即，

10.对应法则

设

，，对应法则也相同

左边的最小值右边的最小值

（舍）或当，即时取到最小值，且

对勾函数练习：

1．若x>1.求的最小值. 11.若在上恒成立，则的取值范围是

2.若 x>1. 求的最小值 12. 求函数的最值。

3.若 x>1. 求的最小值 13.

4.若 x>0. 求的最小值 14.

5.已知函数

（1）求

(2) 若对任意 x∈[1,+ ∞],f(x)>0恒成立,求a范围

6.: 方程 sin 2x－asinx+4=0 在 [ 0 , ] 内有解，则 a 的取值范围是 __________

7.函数的最小值为 ____________ ；函数的最大值为 _________。

8.函数的最大值为。

9、若，则的最值是。

10. 函数的最小值是。