实变函数第四章复习题及解答(1)
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第四章 复习题（一）
一、判断题
1、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的非负简单函数，则
()d E
f x x ⎰
一定存在。（√ ）
2、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的非负简单函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 3、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的非负简单函数，且0()d E
f x x ≤<+∞⎰
，则()f x 在E 上
勒贝格可积。（√ ）
4、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的非负可测函数，则
()d E
f x x ⎰
一定存在。（√ ）
5、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 6、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的非负简单函数，且0()d E
f x x ≤<+∞⎰
，则()f x 在E 上
勒贝格可积。（√ ）
7、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的可测函数，则
()d E
f x x ⎰
一定存在。（× ）
8、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则
()d E
f x x ⎰
一定存在。（√ ）
9、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -
∈至少有一个
成立，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ）
10、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的可测函数， 若()()f x L E +∈且()()f x L E -∈，则()
f x 在E 上勒贝格可积。（√ ）
11、设()f x 是可测集n
E R ⊆上的可测函数， 若()()f x L E ∈，则()d E
f x x -∞<<+∞⎰
。
（√ ）
12、设()f x 是可测集n E R ⊆上的可测函数， 若()()f x g x ≤且()()g x L E ∈，则
()()f x L E ∈。（√ ）
13、若E 为零测集，()f x 为E 上的任何实函数，则()()f x L E ∈。（√ ） 14、若()()f x L E ∈，则[]0mE f =+∞=。（√ ） 15、若()()f x L E ∈，则()()f x L E ∈。（√ ）
16、若()()f x L E ∈，则()()f x L E ∈。（√ ）
17、若()()f x L E ∈，1E 为E 的可测子集，则1()()f x L E ∈。（√ ） 18、()f x 在E 上勒贝格积分值存在⇔()()f x L E ∈。（× ） 19、若()()f x L E ∈，且()0f x ≥，
()d 0E
f x x =⎰
，则()0f x =..a e 于E 。（√ ）
20、若()f x 在[,]a b 上R 可积，则若()f x 在[,]a b 上L 可积，且
[,]
()()d ()()d b
a b a
L f x x R f x x =⎰
⎰。 （√ ）
21、若()()f x L E ∈，()()g x L E ∈，且()()f x g x =..a e 于E ，则()d ()d E
E
f x x
g x x =⎰
⎰。
（√ ）
22、若()()f x L E ∈，()d 0E
f x x =⎰
，则()0f x =..a e 于E 。（× ）
23、若()d ()d E
E
f x x
g x x =⎰⎰，则()()f x g x =..a e 于E 。（× ）
24、若()d E
f x x ⎰
与()d E
g x x ⎰存在，且()()f x g x ≤，则()d ()d E
E
f x x
g x x ≤⎰⎰。（√ ）
25、若
()d E
f x x ⎰
存在，n E 是E 的可测子集，且lim 0n n mE →∞
=，则l i m
()d 0n
E n f x x →∞=⎰
。
（× ） 26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。（× ）
二、计算题
1、设0,[01]()1,[01]x D x x ⎧=⎨
⎩为，
中的无理点为，
中的有理点，求[0,1]()d D x x ⎰。
解：因为有理数集为零测集，所以，()0D x =..a e 于[0,1]，于是
[0,1]
[0,1]
()d 0d 0D x x x ==⎰
⎰
。
2、设23,(),[0,1]\x x P
f x x x P
⎧∈=⎨∈⎩，其中P 为[01]，中的三分康托集，求[0,1]
()d f x x ⎰。
解：因为0mP =，所以，3
()f x x =..a e 于[0,1]，于是
3[0,1]
[0,1]
1()d d 4
f x x x x ==
⎰
⎰
。
三、证明题