两角差的余弦公式【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

新教材高中数学人教A版必修第一册课件：5.5.1第1课时两角差的余弦公式(3

= ×
答案:

+
+

×=
+

.

5.设 α,β 都是锐角,且 cos α= ,sin(α+β)= ,求 cos β 的值.

解:∵α,β 都是锐角,且 cos α= < ,∴<α<.

又 sin(α+β)= > ,∴<α+β<π.
∴cos(α+β)=-
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

= ×
+

又 0<β<,

故 β=.

×

= .

易错辨析
忽略三角形内角之间的关系致错

【典例】已知 A,B,C 是△ABC 的内角,cos A=,sin B=,
求 cos(A-B).

错解:由 cos A= >0,可知 A 为锐角,
可得 cos - = × + ×

当 α 是第四象限角时,sin α=-,

可得 cos - =
-

.
=
+

.
2.把例 2(1)改编为:若 cos +

=- ,且 α∈ ,
解:∵cos + =-,且 α∈ , ,

新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.1两角差的余弦公式课件新人教A版必修第一册

＝2 5 5×3 1010＋55Βιβλιοθήκη －1100＝2 2.
由 0<α<2π，－π2<β<0 得，0<α－β<π，
又 cos(α－β)>0，所以 α－β 为锐角，所以 α－β＝4π.
课堂归纳小结 1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
＝cos90°＝0.
利用公式 C(α－β)求值的思路方法 (1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值． (2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．
[针对训练]
1．cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为( )
[答案] A
4．已知 sinπ3＋α＝1123，α∈π6，23π，则 cosα 的值为________．
[解析] 因为 sin3π＋α＝1123，α∈6π，23π，
所以π3＋α∈π2，π，cosπ3＋α＝－153.
所以 cosα＝cosπ3＋α－π3
＝cos3π＋αcos3π＋sin3π＋αsinπ3
1 A.2
3 B. 2
C．－12
D．－
3 2
[解析] 原式＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°) ＝cos30°＝ 23，故选 B.
[答案] B
2．化简 cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝________.
[解析] cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝cos(α＋45°－α)

新人教版高中数学必修第一册两角差的余弦公式ppt课件及课时作业

所以
cosα－π4＝cos
αcos
π4＋sin
αsin
π 4
＝1132× 22＋－153× 22＝7262.
1234
4.若 cos(α－β)＝ 55，cos 2α＝ 1100，且 α，β 均为锐角，α<β，则 α＋β 3π
＝4 .
1234
因为 0<α<π2，0<β<π2，α<β.
所以－π2<α－β<0.
问题3 你还记得初中所学两点间的距离公式吗？提示平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 P1P2＝
x2－x12＋y2－y12，由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2.
知识梳理
两角差的余弦公式 cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中α，β为任意角，简记作C(α－β).
例2 (1)已知 sinπ6＋α＝14，则 cos α＋ 3sin α 的值为
A.－14
√B.12
C.2 D.－1
cos α＋
3sin
α＝212cos
α＋
3 2 sin
α
＝2cos
π 3cos
α＋sin
π 3sin
α
＝2cosπ3－α＝2sinπ2－π3－α
＝2sinπ6＋α＝12.
(2)已知 sinα＋π4＝45，且π4<α<34π，则 cos α＝
∵cos β＝－35，π2＜β＜π，∴sin β＝45， ∵0＜α＜π2＜β＜π，sin(α＋β)＝153， ∴π2＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－ 1－12659＝－1123， ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－1123×－35＋ 153×45＝5665.

5.5.1第一课时两角差的余弦公式课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

1、利用公式C 证明：
−
3
（1）cos
− = −;
2
（2）cos − = .
证明：（1） cos
3
2
− =
3

2
+
3

2
= 0 −
(2) cos − = cos 0 − = 0 − 0 = − 0

(1) cos （ 2
− ） = sin
(2)cos （ − ） = − cos

解:cos （
2
− ）

= cos cos
2
+

sin sin =sin
2
cos （ − ） = cos cos + sin sin =−cos
4
例2.已知 = ，
3
=4 × −
=
2 7−3 5
12
5
3
+（−
7
）
4
2
× （ − 3）
∈
3
, 2
2
, 求cos − 的值.
PART 04
小结
小结
差角的余弦公式：（ − ）= +
思考探究：现在我们已经掌握了差角的余弦公式，
如何利用变式得到和角的余弦公式
整理得：
（ − ）= +
（ − ）= +
此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角 − 的余弦
的关系，称为差角的余弦公式，简记作：C（ − ）
例1.利用差角的余弦公式证明下列诱导公式
利用差角余弦公式求值
2、利用公式C

新教材高中数学第五章三角函数5-5-1第1课时两角差的余弦公式课件新人教A版必修第一册

微判断
(1)cos(60°-30°)=cos 60°-cos 30°.(
)
(2)当α,β∈R时,cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.(
)
(3)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立.(
(4)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0.(
5π
π
π
√2
.
2
5π
π
2
π
=cos12 cos6 +sin 12 sin 6 =cos
=cos =
4
1
(3) cos
2
√3
105°+ sin
2
π
5π
− 12 sin 6
5π
π
−
12
6
105°
=cos 60°cos 105°+sin 60°sin 105°
√2
=cos(60°-105°)=cos(-45°)= .
答案 (1)× (2)×
(3)×
(4)√
)
)
微练习
(1)cos 15°=
.
(2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=
答案
√6+√2
(1) 4
.
1
(2)2
解析 (1)cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
√2
=
2
×
(1)简记符号:C(α-β).
(2)适用条件:公式中的角α,β是任意角.
名师点析 1.公式可简记为:余余正正、符号反.

两角差的余弦公式【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件

第两五角章差的余5.弦5.公1 式第【1新课教时材两】角人差教的A余版弦高公中式数-学【必新修教第材一】册人课教件A版2 （优2秀01p9pt）课高件中数学必修第一册课件( 共67张 PPT) 第两五角章差的余5.弦5.公1 式第【1新课教时材两】角人差教的A余版弦高公中式数-学【必新修教第材一】册人课教件A版2 （优2秀01p9pt）课高件中数学必修第一册课件( 共67张 PPT)
第五章 5.5.1 第1课时两角差的余弦公式-【新教材】人教A版（2019 ）高中数学必修第一册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.5.1 第1课时两角差的余弦公式-【新教材】人教A版（2019 ）高中数学必修第一册课件( 共67张 PPT)
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高中数学必修第一册人教A版《5.5两角差的余弦公式》名师课件

来的圆重合,这一性质叫做圆的旋转对称性．
连接1 1 ,．若把扇形,绕着点旋转角,则点,
෢
分别与点1 , 1 重合．根据圆的旋转对称性可知,与
෣

1 1 重合,从而, 所以＝1 1
ห้องสมุดไป่ตู้究新知
根据两点间的距离公式,得
cos − − 1 2 + s −
复习引入
不用计算器,求cos −375° 的值.
−° = ° = ° + ° = °
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. 15 ° = (45 ° − 30 °) = 45 ° − 30 °成立吗?
3. (45 ° − 30 °)能否用45 °和30 °的角的三角函数来表示?
−

=

，求的值

−

=

由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜ .

又cos(α－β)＝， ∴

( − ) =

− (
− ) =
−

由 = − ( − )得
= [ − ( − )] = ( − ) + ( − )
不妨令 ≠ 2kπ＋β, ∈ ．如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点(1,0),
以轴非负半轴为始边作角, , — , 它们的终边分别与单位圆相交于
1 (, ), 1 (, ),((－), (－))．
任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原
＝(－＝(－
)×(－ )×
)＋(－
＋
×)×
＝＝－
. .

方法归纳

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第二课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

＝sin（72°－42°）＝sin 30°＝ 1 ； 2
（2）由公式C（α＋β），得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70° ＝cos（20°＋70°）＝cos 90°＝0；
新知探究
立德树人和谐发展
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（3） sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；
如果α是第四象限角，则所求的三个三角函数值依次是
72 10
，7 2 10
，7．
头脑风暴
立德树人和谐发展
思考：由以上解答可以看到，在本题的条件下有sin( ) cos( ),
4
4
那么对于任意角，此等式都成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
解：方法一、sin( ) cos[ ( )] cos( )
解：（3）方法一：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝cos24°cos 36°－sin 36°sin 24°，
由公式C（α＋β），原式＝cos（36°＋24°）＝cos60°＝
1 2
．
方法二：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，
所以 sin
+π
π
π
=sinθcos +cosθsin
4
4
4
= 2× 2 2 + 1 =4+ 2,
2
3
3
6
sin - π =sinθcosπ-cosθsinπ
6
66Leabharlann =2 2× 3-1×1=2 . 6-1
3
23 2 6

两角差的余弦公式(第一课时)课件——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

[解]∵sinα＋π4＝45，且π4<α<34π， ∴π2<α＋π4<π，
∴cosα＋π4＝－ 1－542＝－35，
∴cos α＝cosα＋π4－π4
＝cosα＋π4cos
π4＋sinα＋π4sin
π 4
＝－35× 22＋45× 22＝102.
16
巩固练习 3．将例 2(2)的条件改为“sinπ3－α＝－1123，α∈π6，56π”，求 cosα－1π2的值． [解] ∵π6＜α＜56π，∴－π2＜π3－α＜π6，
即：(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)
单位圆与x轴–非1 负半轴交于A(1,0), P1(cos α，sin α). A1(cos β，sin β)， P(cos(α－β)，sin(α－β))，
化简后得到：cos(α－β)＝cosαcosβ+ sinαsinβ.
A1(cos β,sin β).
α-β
α β α-β
O
P(cos (α-β),sin (α-β)).
.
A1(1,0)
x
【问题3】已知角α-β的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标
–1
连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A1P1.
y
1
P1 (cos α , sin α).
巩固练习 1．化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
[解] (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件2024-2025学年人教A版必修第一册

π
0<β<α<2,
=
2
.
2
变式探究
π
本例中,若将条件“α,β均为锐角”改为“α,β∈ 2 ,π
”,再求α-β的值.
解因为 α,β∈
π
,π
2
,sin
2 5
α= 5 ,sin
β=
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= 又因为 sin α>sin
π
β,所以2<α<β<π,
π
因此-2<α-β<0,故
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β))
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)

α
O

β

α-β

x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
P1OA1 POA
(SAS)
(cos(α-β),sin(α-β))根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A P
例1.利用公式C(α-β)证明:
cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ

（1） cos( ) sin ；
2
（2） cos( ) cos .
例1.利用公式C(α-β)证明:

（1） cos( ) sin ；
2
y
证明：
(, )
新课内容
sinα=y
cosα=x
问题1:已知为角α的终边，
用α的三角函数来表示单位圆上点的坐标
y
问题2:已知为角β的终边，

5.5.1两角差的余弦公式课件——高中数学人教A版必修第一册

1．已知 sin α＝1157，α∈π2，π，则 cosπ4－α的值为________．解析：因为 sin α＝1157，α∈π2，π，
所以 cos α＝－ 1－sin2α
＝－ 1－11572＝－187，
所以
cosπ4－α＝
π cos4cos
α＋sinπ4sin
α＝ 22×－187＋
22×1157＝
【解】 (1)因为 cos α＝13，α 是第四象限角，所以 sin α＝－ 1－cos2α＝
－ 1－132＝－23 2，因为 sin β＝35，β 是第二象限角，所以 cos β＝－ 1－sin2β＝
－ 1－352＝－45，
则 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝13×－45＋－23 2×35＝－4－156
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对∀α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 都成立．(√ ) (2)对于∀α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β 都不成立．( × )
设 α∈0，π2，若 sin α＝35，则 2cosα－π4等于(
)
A．75
2 2.
又 sin α＜sin β，所以 0＜α＜β＜π2，
所以－π2＜α－β＜0.故 α－β＝－π4. 答案：－π4
04 拓展延伸
1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( )
3 A. 2
1＋ 3 C. 2
1 B.2
3－1 D. 2
解析：选 B.sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°
sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝5143. 又因为 β＝(α＋β)－α，所以 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5143×4 7 3＝12. 又因为 β∈0，π2，所以 β＝π3.

5.两角差的余弦公式-【新】人教A版高中数学必修第一册ppt下载

＝－12·22＋
32 2 ·2
6－ 2 ＝4. cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝ 22× 23＋ 22×12＝
6＋ 4
2 .
明目标、知重点
反思与感悟在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°， 60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos 15°＝cos(60°－45°)，要学会灵活运用.
明目标、知重点
跟踪训练1 求cos 105°＋sin 195°的值．
解 cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)
＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
α＋β 2 的值．
解 ∵α∈π2，π，β∈0，π2，
∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，
∴sinα－β2＝
1－cos2α－β2＝
1－811＝4 9 5，
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明目标、知重点
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第1课时两角差的余弦公式课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

• 4．(题型2)已知cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，则cos(α－β)＝____________．
【答案】－12 【解析】由 cos α＋cos β＝0，两边平方，得 cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝0 ①．由 sin α＋sin β＝1，两边平方，得 sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝ 1②．①＋②，得 1＋1＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，即 2＋2cos(α－β)
第五章三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时两角差的余弦公式
学习目标 1．经历推导两角差的余弦公式的过程，理解用向量法导出公式的主要步骤 2．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征
|自学导引|
＝1，解得 cos(α－β)＝－12．
5．(题型 2)已知 sin α＝－54，sin β＝153，且 180°＜α＜270°，90°＜β ＜180°，求 cos(α－β)的值．
解：因为 sin α＝－45，180°＜α＜270°，所以 cos α＝－35．
因为 sin β＝153，90°＜β＜180°，所以 cos β＝－1123．所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×－1123＋－45×153＝ 3665－2605＝1665．
αcos
β＋sin
αsin
β＝－
35×－34＋23×－
47＝
3
5－2 12
7．
题型 3 给值求角已知 cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且 α，β∈0，2π，求 β 的
值．解：因为 α，β∈0，2π且 cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，所以 α＋β∈2π，π，所以 sin α＝ 1－cos2α＝473， sin(α＋β)＝ 1－cos2(α＋β)＝5143．

两角差的余弦公式课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3

P1
4

(1) 2k , k Z时
终边
A1
P
o

终边
y
A(1,0)
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
已知任意角与的正弦、余弦，能由此推出 − 的正弦、余弦吗？
探究
A(1,0)
P(cos( ),sin( ))
෢ ෣
෢
෣
由圆的旋转的对称性知，与
重合, = ，AP=A1P1
65
利用差角余弦公式证明
1、利用公式C 证明：
−
3
（1）cos
− = −;
2
证明：（1） cos
3
2
− =
（2）cos − = .
3

2
+
3

2
= 0 −
(2) cos − = cos 0 − = 0 − 0 =
∴ cos( − )= cos + sin =4 × −
5
3
+（−
7
）×
4
2
（− 3） =
2 7−3 5
12
小结
两角差的余弦公式：（ − ）= +
思考：现在我们已经掌握了差角的余弦公式，
如何利用变式得到和角的余弦公式
5
2

12
2
因为β是第三象限角，故 sin β 1 cos β ，
13
3 5 4 12
33
因此 cos(α β ) cos α cos β sin α sin β ．

新教材人教A版必修第一册 5.5.1.1 两角差的余弦公式课件(30张)

C. 3
D. 1
2
2
3.化简cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α=_______.
【解题策略】利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
【补偿训练】
求下列各式的值：
(1)cos 105°；
(2)cos 46°cos 16°+sin 46°sin 16°.
【解析】(1)原式=cos(150°-45°)
=cos 150°cos 45°+sin 150°sin 45°
＝－ 3 2＋1 2 ＝ 2－ 6 .
2 2 22
4
(2)原式=cos(46°-16°)=cos 30°= . 3
第1课时两角差的余弦公式
必备知识·自主学习
导思
1. 两角差的余弦公式是怎样推导出来的？ 2.利用两角差的余弦公式能解决哪些问题？
两角差的余弦公式 (1)公式：cos(α-β)=_c_o_s__α__c_o_s__β__+_s_i_n__α__s_i_n__β__. ①简记符号：C(α-β). ②适用条件：公式中的角α，β都是_任__意__角__. (2)本质：两角差的余弦转化成减数角、被减数角的正余弦计算. (3)应用：①化简，②求值.
3.(教材二次开发：例题改编)已知，sin β= 2 2 ，则cos ( )
4
2
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=_______.
【解析】因为，sin β= 2 2，所以cos β= 1，所以cos
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