高考数学二轮复习专题八选考4系列选讲2.8.2不等式选讲学案理

2.8.2 不等式选讲
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．
[解]　(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；
当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；
当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤.－1＋172所以f (x )≥g (x )的解集为Error!.
(2)解法一(等价转化法)：当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.
所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2.
又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.
所以a 的取值范围为[－1,1]．
解法二(分类讨论法)：当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于x ∈[－1,1]时f (x )≥2，
即－x 2＋ax ＋4≥2，
当x ＝0时，－x 2＋ax ＋4≥2成立；
当x ∈(0,1]时，－x 2＋ax ＋4≥2可化为a ≥x －，而y ＝x －在(0,1]单调递增，最大值2x 2x
为－1，所以a ≥－1；
当x ∈[－1,0)时，－x 2＋ax ＋4≥2可化为a ≤x －，而y ＝x －在[－1,0)单调递增，最2x 2x
小值为1，所以a ≤1.
综上，a 的取值范围为[－1,1]．
2．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
[解]　(1)f(x)＝Error!
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.
1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．
2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．。