运筹学第八章_动态规划a管理精品资料
合集下载
运筹学 第八章 图论 - 全
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时即可看出。
2017/7/13 11
图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的
2017/7/13
18
图与网络的基本知识
有向图 无向图
道路
回路
链
圈
道路(边的方向一致)
2017/7/13 19
图与网络的基本知识
连通图
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为 连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每 一个称为原图的一个分图（连通分支）。
连通图
2017/7/13
边，对余下的图重复这个步骤，直至无圈为止。
２、避圈法：每次增加一条边，且与已有边不构成圈，直至恰 有n-1条边为止。
2017/7/13
24
树
例１、下图是某建筑物的平面图，要求在其内部从每一房间都能走到 别的所有的房间，问至少要在墙上开多少门？ 试给出一个开门的方案。
三
七
Байду номын сангаас
三 八 一 四 二 五
七 八 九 六
无向图
2017/7/13
有向图
8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间边多于一条，称为多重边，如右
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
图中的e4和e5，对无环、无多重边的
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
由此，可得出三条最优的运输路线：
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
3 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
3 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
运筹学第8章
第八章 动态规划的基本方法
4、策略 按状态行进方向顺序排列的阶段决策集合称为策略. 假设给定一个 n 阶段决策问题，可用pk,n(sk)表示从 第 k 阶段处于状态 sk 到终止状态的决策序列集合， 称为后部子过程策略，或简称子策略。即: Pk,n(sk)={ uk(sk), uk+1(sk+1),…, un(sn) } 显然， P1,n(sk)就是 n 阶段决策问题的一个策略,即 P1,n(sk)={ u1(s1) , u2(s2) ,…, un(sn) } 记 P 表示所有可供选择的策略集合，称为允许策略 集合。
China University of Mining and Technology
-6-
第八章 动态规划的基本方法
当建立问题的数学模型后，如果时间参数是离 散的，则它就是数学规划问题；如果时间参数是连 续的，则属于最优控制问题。
动态规划模型的分类：①离散确定型；②离散随机 型，③连续确定型；④连续随机型。
A
5 4 2
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为状态, 描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
B1 6 3 46 B2 5 B3 6
C1 12 2 C2 2 3 C3 3
D1
D2 D3
2 3 4
Hale Waihona Puke E描述过程状态的变量称为状态变量，用Sk表示.
第 k 阶段Sk 的取值可以是离散的，也可以是连续的. 用Sk 表示第 k 阶段所有状态集合，称为可达状态集合. 例中第2阶段有三个状态 B1、B2、B3，故可达状态集 合是 S2={ B1、B2、B3 }。
China University of Mining and Technology
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
运筹学课件 ppt 复习资料 动态规划
4
C2
5 8
E D2
2
4
1
13
B3
12 11
C3
10
设备更新问题
企业在使用设备时都要考虑设备的更新问题，因为设 备越陈旧，所需的维修费用就越高，但购置新设备一次性 支出的费用较大。现某企业要做出一台设备未来5年的更 新计划，经预测，第j年初购买设备的价格为rj，设备连续
使用(j-1)年后在第j年的维护费为kj，使用(j-1)年后设备的
最优决策C1 D1
21
f3(C1)=8
B1
2
10 6
12 14
C1
f3(C2)=7 9 6 5 8
3
f4(D1)=5
D1
f5(E)=0 5
A
5
B2 10
4 13
C2
E
1
D2
f4(D2)=2
2
B3
12 11
C3
10
d (C2 , D1 ) f 4 ( D1 ) f3 (C2 ) min d (C2 , D2 ) f 4 ( D2 )
运筹学
王莉莉
四川农业大学数学系
2012年11月
1
第七章—动态规划
•
― ― ―
学习目标
掌握动态规划的基本概念； 掌握动态规划的最优化原理； 动态规划在经济管理中的应用
2
引言
在生产和经营活动中，经常遇到这样的问题， 它们包含若干个相互联系的阶段，在每个阶段都要 做出决策，一个阶段的决策除了影响本阶段的效果 之外，还经常影响到下一个阶段的初始状态，从而 影响整个过程的最优。因此不仅要考虑这一个阶段， 还要把它看成是整个过程决策链中的一链环，这种 过程称为多阶段决策过程。
C2
5 8
E D2
2
4
1
13
B3
12 11
C3
10
设备更新问题
企业在使用设备时都要考虑设备的更新问题，因为设 备越陈旧，所需的维修费用就越高，但购置新设备一次性 支出的费用较大。现某企业要做出一台设备未来5年的更 新计划，经预测，第j年初购买设备的价格为rj，设备连续
使用(j-1)年后在第j年的维护费为kj，使用(j-1)年后设备的
最优决策C1 D1
21
f3(C1)=8
B1
2
10 6
12 14
C1
f3(C2)=7 9 6 5 8
3
f4(D1)=5
D1
f5(E)=0 5
A
5
B2 10
4 13
C2
E
1
D2
f4(D2)=2
2
B3
12 11
C3
10
d (C2 , D1 ) f 4 ( D1 ) f3 (C2 ) min d (C2 , D2 ) f 4 ( D2 )
运筹学
王莉莉
四川农业大学数学系
2012年11月
1
第七章—动态规划
•
― ― ―
学习目标
掌握动态规划的基本概念； 掌握动态规划的最优化原理； 动态规划在经济管理中的应用
2
引言
在生产和经营活动中，经常遇到这样的问题， 它们包含若干个相互联系的阶段，在每个阶段都要 做出决策，一个阶段的决策除了影响本阶段的效果 之外，还经常影响到下一个阶段的初始状态，从而 影响整个过程的最优。因此不仅要考虑这一个阶段， 还要把它看成是整个过程决策链中的一链环，这种 过程称为多阶段决策过程。
运筹学华科课件第8章 动态规划
指标函数形式: 和、 积
13
以上式子称为动态规划最优指标的递推方程， 是动态规划的基本方程。
终端条件：为了使以上的递推方程有递 推的起点，必须要设定最优指标的终端条件， 一般最后一个状态n+1下最优指标fn+1(sn+1) = 0。
14
解多阶段决策过程问题，求出 最优策略，即最优决策序列
{u1* , u2* , , un* }
指标: Vk,n Vk,n (sk , uk , sk1, uk1, , sn1)
效益
f
k
(sk)
opt V
uk, ,un
s k,n ( k
,uk ,
s, n1)
Vk,n (sk , uk , sk1, uk1, , sn1)
可递推
k [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , sn1 )]
动态规划
(Dynamic programming)
动态规划的基本思想 最短路径问题 投资分配问题 背包问题 生产与库存问题 系统可靠性问题 排序问题
1
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于，它可以把一 个n 维决策问题变换为几个一维最优化问题，从 而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算 法。必须对具体问题进行具体分析，运用动态 规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再 用动态规划方法去求解。
最优轨线，即执行最优策略时的状态序列
{ s1* , s2* , , sn* }
f1(s1)
最优目标函数值
V1*,n V1*,n (s1* , u1*子,从策略k,的到s最终n*优点, u目最n*标优)函策数略值
运筹学习题精选
运筹学习题精选第一章线性规划及单纯形法选择1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C )A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量2．约束条件为0AX的线性规划问题的可行解集b,≥=X 是………………………………………( B )A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。
A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B)A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D)A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C )A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。
A．和 B．差 C．积 D．商9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A )A ．多重解B ．无解C ．正则解D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。
A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。
2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断是否→j c 0 0 0 28 1 2B C 基 b 1x 2x 3x 4x5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G3． 某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 每公斤要用煤6吨、电4度、劳动力3个；生产B 每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划教案章节一：引言1.1 课程目标：让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。
让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。
1.2 教学内容：动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。
案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。
教案章节二：动态规划的基本思想2.1 课程目标：让学生理解动态规划的基本思想。
让学生学会将问题转化为动态规划问题。
2.2 教学内容：动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本思想。
练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。
教案章节三：动态规划的求解方法3.1 课程目标：让学生掌握动态规划的求解方法。
让学生学会使用动态规划算法解决问题。
3.2 教学内容：动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法3.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的求解方法。
练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。
教案章节四：动态规划的应用实例4.1 课程目标：让学生了解动态规划在实际问题中的应用。
让学生学会使用动态规划解决实际问题。
4.2 教学内容：动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等4.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。
案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。
教案章节五：总结与展望5.1 课程目标：让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。
让学生展望动态规划在未来的发展。
5.2 教学内容：动态规划的基本概念、思想和应用的总结。
动态规划在未来的发展趋势和挑战。
5.3 教学方法：讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。
讨论法：让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。
教案章节六：动态规划的优化6.1 课程目标：让学生了解动态规划的优化方法。
运筹学 第8章 动态规划
动态规划模型的指标函数，应具有可分离性，并满足递 推关系。即Vk,n可表为sk, xk, Vk+1,n的函数，记为
Vk , n sk , xk ,, sn k sk , xk , Vk 1, n sk 1 , xk 1 ,, sn
① 是各阶段指标的和
常见指标函数为：
x k D k s k
vk sk , xk f k 1 sk 1 vk sk , xk f k 1 sk 1
(8.3a)
(2) 当各阶段指标函数为求积时
f k S k opt
x k D k s k
(8.3b)
边界条件，即当k=n时，f n 1 sn 1 的值，要根据问题的条件 来决定，一般指标函数值为式(8.3a)，取 f n 1 sn 1 0 ；当 指标函数值为式(8.3b)，取 f n 1 sn 1 1。
3、决策 指某阶段状态给定以后，决策者在面临的若干种 不同方案中作出的选择。描述决策的变量，称为决策变量 xk(sk)。它表示第k阶段状态为sk时对方案的选择。
决策变量的取值往往限制在一定范围内，此范围为允许 决策集合，常用Dk(sk)表示，显然有：xk(sk)Dk(sk) 4、策略和子策略 各阶段决策组成的序列总体称为一个策 略。n阶段策略可写为 x1 s1 , x2 s2 ,, xn sn 从阶段k开始到过程最终的决策序列称为问题的子策略， 可写为 xk sk , xk 1 sk 1 ,, xn sn 5、状态转移律 从上阶段的某一状态值到下一阶段某一状 态值的转移规律称为状态转移律，也称为状态转移方程 记为： sk 1 T sk , xk sk 或 6、指标函数
ci 为最大。 (i=1, ,n),问如何分割使其乘积 i 1
Vk , n sk , xk ,, sn k sk , xk , Vk 1, n sk 1 , xk 1 ,, sn
① 是各阶段指标的和
常见指标函数为：
x k D k s k
vk sk , xk f k 1 sk 1 vk sk , xk f k 1 sk 1
(8.3a)
(2) 当各阶段指标函数为求积时
f k S k opt
x k D k s k
(8.3b)
边界条件，即当k=n时，f n 1 sn 1 的值，要根据问题的条件 来决定，一般指标函数值为式(8.3a)，取 f n 1 sn 1 0 ；当 指标函数值为式(8.3b)，取 f n 1 sn 1 1。
3、决策 指某阶段状态给定以后，决策者在面临的若干种 不同方案中作出的选择。描述决策的变量，称为决策变量 xk(sk)。它表示第k阶段状态为sk时对方案的选择。
决策变量的取值往往限制在一定范围内，此范围为允许 决策集合，常用Dk(sk)表示，显然有：xk(sk)Dk(sk) 4、策略和子策略 各阶段决策组成的序列总体称为一个策 略。n阶段策略可写为 x1 s1 , x2 s2 ,, xn sn 从阶段k开始到过程最终的决策序列称为问题的子策略， 可写为 xk sk , xk 1 sk 1 ,, xn sn 5、状态转移律 从上阶段的某一状态值到下一阶段某一状 态值的转移规律称为状态转移律，也称为状态转移方程 记为： sk 1 T sk , xk sk 或 6、指标函数
ci 为最大。 (i=1, ,n),问如何分割使其乘积 i 1
运筹学第八章_动态规划
15
□状态集合：状态变量 xk 的取值集合称为状态集合，状态集合 实际上是关于状态的约束条件。 □通常用Sk表示状态集合，xkSk。
□第1阶段 S1={A}；
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3，故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
16
（3）决策（decision）
x2
B1
C1
C2
C3
□决策集合：第k阶段当状态处于xk时决策变量uk( xk )的取值范 称为决策集合，常用Dk( xk ) 表示。
□例1中，从第2阶段的 状态B1出发，可以选择 下一阶段的C1、C2、 C3。 □即 D2( B1 ) = { C1、 C2、C3 }；
B1
C1
C2
C3
□决策集合实际上是决策的约束条件，uk( xk ) ∈ Dk( xk ) 。
6
□这是一个多阶段决策过程。 □该过程可以分为相互联系的若干阶段，每一阶段都需作出决
策，从而形成全过程的决策。
x1=1000
u1 第1年
x2=0.7u1+ 0.9(x1-u1)
u2 第2年
x3=0.7u2+ 0.9(x2-u2)
u3 第3年
x4=0.7u3+ 0.9(x3-u3)
u4 第4年
x5=0.7u4+ 0.9(x4-u4)
3
提纲
1 动态规划实例 2 动态规划的基本概念 3 动态规划的基本思想与基本原理 4 逆序解法与顺序解法
4
1 动态规划实例
学习目标：
1 明确什么是多阶段的决策问题，特别要注意没有明显 的时段背景的问题如何化归为多阶段的决策问题。
□状态集合：状态变量 xk 的取值集合称为状态集合，状态集合 实际上是关于状态的约束条件。 □通常用Sk表示状态集合，xkSk。
□第1阶段 S1={A}；
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3，故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
16
（3）决策（decision）
x2
B1
C1
C2
C3
□决策集合：第k阶段当状态处于xk时决策变量uk( xk )的取值范 称为决策集合，常用Dk( xk ) 表示。
□例1中，从第2阶段的 状态B1出发，可以选择 下一阶段的C1、C2、 C3。 □即 D2( B1 ) = { C1、 C2、C3 }；
B1
C1
C2
C3
□决策集合实际上是决策的约束条件，uk( xk ) ∈ Dk( xk ) 。
6
□这是一个多阶段决策过程。 □该过程可以分为相互联系的若干阶段，每一阶段都需作出决
策，从而形成全过程的决策。
x1=1000
u1 第1年
x2=0.7u1+ 0.9(x1-u1)
u2 第2年
x3=0.7u2+ 0.9(x2-u2)
u3 第3年
x4=0.7u3+ 0.9(x3-u3)
u4 第4年
x5=0.7u4+ 0.9(x4-u4)
3
提纲
1 动态规划实例 2 动态规划的基本概念 3 动态规划的基本思想与基本原理 4 逆序解法与顺序解法
4
1 动态规划实例
学习目标：
1 明确什么是多阶段的决策问题，特别要注意没有明显 的时段背景的问题如何化归为多阶段的决策问题。
运筹学(第四版)：第8章 动态规划的基本方法
第89章动态规划的基本方法和应用在生产和科学实验中有一类活动的过程由于它的特殊性可将过程分为若干个互相联系的阶段在它的每一个阶段都需要作出决策从而使整个过程达到最好的活动效果
五 动态规划
第8章 动态规划的基本方法 第9章 动态规划应用举例
1
动态规划
什么是动态规划
解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。
f6 (F1)
f6 (F2 )
min
3 5
4
3
7
其相应的决策为 us (E1) F1
这说明，由E1至终点G的最短距离为7，其最短路线是
E1 F1 G16 Nhomakorabea第2节 动态规划的基本思想和基本方程
同理，从E2和E3出发，则有
f5
(E2
)
min
d5 d5
(E2 (E2
, ,
F1 ) F2 )
(2) 过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的乘积。即
n
这时就可写成
Vk,n (sk , uk ,, sn1) v j (s j , u j )
jk
Vk,n (sk , uk ,, sn1) vk (sk , uk )Vk1,n (sk1, uk1,, sn1)
指标函数的最优值，称为最优值函数，记为
18
第2节 动态规划的基本思想和基本方程
为了找出最短路线，再按计算的顺序反推之，可求出最优决策函数序列
uk ，即由
u1( A) B1, u2 (B1) C2 , u3 (C2 ) D1, u4 (D1) E2 , u5 (E2 ) F2 , u6 (F2 ) G
组成一个最优策略。因而，找出相应的最短路线为
23
第2节 动态规划的基本思想和基本方程
五 动态规划
第8章 动态规划的基本方法 第9章 动态规划应用举例
1
动态规划
什么是动态规划
解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。
f6 (F1)
f6 (F2 )
min
3 5
4
3
7
其相应的决策为 us (E1) F1
这说明，由E1至终点G的最短距离为7，其最短路线是
E1 F1 G16 Nhomakorabea第2节 动态规划的基本思想和基本方程
同理，从E2和E3出发，则有
f5
(E2
)
min
d5 d5
(E2 (E2
, ,
F1 ) F2 )
(2) 过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的乘积。即
n
这时就可写成
Vk,n (sk , uk ,, sn1) v j (s j , u j )
jk
Vk,n (sk , uk ,, sn1) vk (sk , uk )Vk1,n (sk1, uk1,, sn1)
指标函数的最优值，称为最优值函数，记为
18
第2节 动态规划的基本思想和基本方程
为了找出最短路线，再按计算的顺序反推之，可求出最优决策函数序列
uk ，即由
u1( A) B1, u2 (B1) C2 , u3 (C2 ) D1, u4 (D1) E2 , u5 (E2 ) F2 , u6 (F2 ) G
组成一个最优策略。因而，找出相应的最短路线为
23
第2节 动态规划的基本思想和基本方程
运筹学教案动态规划ppt课件
动态规划的应用领域
经济管理、工程技术、工农业生产及军 事部门。
具体讲：如最短路线，资源分配，库存 管理，生产调度，排序，装载，市场营销， 设备维修与更新等方面。
主要解决时序或空间序阶段划分的多阶段 问题。但对一些与时间甚至与空间都无关的 静态问题，在引入特殊序之后用动态规划方 法处理。
多阶段决策过程及实例
(u k,u 2 u n)
注: 指标函数的含义是多样的,如:距离、 利润、成本、产品产量、资源消耗等。
最优化原理与动态规划问题基本方程
最优化原理
“作为全过程的最优策略具有这样的性质： 无论过去的状态和决策如何，对于前面决策所形 成的状态（即该最优策略上某一状态）而言，余 下的诸决策必须构成以此状态为初始状态的最优 策略。
注：阶段的划分与状态的选择要具有此性质， 是动态规划问题的特点。
决策与决策变量
决策：使在k阶段，使状态从xk 到xk+1 发生 转移的选择。
决策变量：描述决策的变量称为决策变
量，一般用uk表示第k个阶段的决策变量。
决策空间：即决策变量可能取值的集合，用
Dk(xk)表示第k个阶段xk状态下的所有允许决策的
fk(xk)0m ukaxkx(gk(uk) fk1(xk1)) xk1 xk uk xn1 0 x1 a fn1(xn1)0 kn,n1,,1
到了E站，从其各点到F的最短距离已易得， 再逆推，可求出D站各点到F点的最短距离，逐次 逆推，到最后可以求出A点到F点的最短距离。
这就是动态规划问题逆推算法。
动态规划问题其它例子，见P193 机器负荷问 题。
动态规划问题的基本概念
以前述求最短路为例说明动态规划问题中概念。 阶段与阶段变量
运筹学第八章_动态规划a管理精品资料
xk D k (sk )
边 界 条 件 ： f0 (s1) C (C 0 )
2-5 动态规划模型的分类 1.确定性，随机性 2.离散性，连续性 3.阶段数固定——定期决策过程；阶段数不固 定或无限——不定期或无期决策过程
注意事项： 1.阶段 2.状态变量 3.决策变量 4.状态转移率 5.过程指标函数
xkDk(sk)
fn1(sn1)C
2-4 顺序解法 状态转移率：
s k T ( s k 1 , x k ( s k 1 ) )或 简 记 为 s k T ( s k 1 , x k )
f0 v1 f1 — — —
s1 x1 s2
fk1 vk fk — — —
sk xk sk1
i 1
n
问如何分割使其乘积 c i 最大？
i1
n
max
z
i1
c
i
s
.t
n i1
ci
c
c i 0 , (i 1,2 ... n )
第二节 最优化原理与动态规划数学模型 2.1 基本思想
将多阶段问题转化为单阶段问题，按着目 标要求和递推关系求出最优结果。 （用逆序解法解例1）
A，（ A，B3）, B3 ,（B3，C2），C2,（C2，D2）, D2，（D2，E）, E
从A到E的最短路径为11，路线为A→B3→C2 →D2 →E 。
f 4 ( D 1 ) d ( D 1 E ) f 5 ( E ) 3 0 3 f4 ( D 2 ) d ( D 2 E ) f 5 ( E ) 4 0 4
n
当
V k ,n v i ( s i , x i )时 ， 有
边 界 条 件 ： f0 (s1) C (C 0 )
2-5 动态规划模型的分类 1.确定性，随机性 2.离散性，连续性 3.阶段数固定——定期决策过程；阶段数不固 定或无限——不定期或无期决策过程
注意事项： 1.阶段 2.状态变量 3.决策变量 4.状态转移率 5.过程指标函数
xkDk(sk)
fn1(sn1)C
2-4 顺序解法 状态转移率：
s k T ( s k 1 , x k ( s k 1 ) )或 简 记 为 s k T ( s k 1 , x k )
f0 v1 f1 — — —
s1 x1 s2
fk1 vk fk — — —
sk xk sk1
i 1
n
问如何分割使其乘积 c i 最大？
i1
n
max
z
i1
c
i
s
.t
n i1
ci
c
c i 0 , (i 1,2 ... n )
第二节 最优化原理与动态规划数学模型 2.1 基本思想
将多阶段问题转化为单阶段问题，按着目 标要求和递推关系求出最优结果。 （用逆序解法解例1）
A，（ A，B3）, B3 ,（B3，C2），C2,（C2，D2）, D2，（D2，E）, E
从A到E的最短路径为11，路线为A→B3→C2 →D2 →E 。
f 4 ( D 1 ) d ( D 1 E ) f 5 ( E ) 3 0 3 f4 ( D 2 ) d ( D 2 E ) f 5 ( E ) 4 0 4
n
当
V k ,n v i ( s i , x i )时 ， 有
管理运筹学第八章
度为零的点称为弧立点，度为1 的点称为悬挂点。悬挂点的边称为 悬挂边。度为奇数的点称为奇点， 度为偶数的点称为偶点。
16
1.图的基本概念与基本定理
端点的度 d(v)：点 v 作为边端点
的个数；
奇点：d(v)=奇数； 偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；
悬挂边：与悬挂点连接的边；
孤立点：d(v)=0；
(v4,v6),(v,v3),(v5,v4),
(v5,v6),(v6,v7)}
v3
v5
v7
v1 v2
v6
v4
图8.5
14
1.图的基本概念与基本定理
下面介绍一些常用的名词：
一个图G或有向图D中的点数,记作P(G)或 P(D),简记作 P,边数或者弧数, 记作q(G)或者 q(D),简记作q。
如果边[vi,vj] E,那么称vi,vj是边的端点， 或者vi,vj是相邻的。如果一个图G中，一条边
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
[v3,v3]} v1
v2
v4
图8.4
v3
13
1.图的基本概念与基本定理
图8.5是一个有向图D=（V，A）
其中V={v1,Hale Waihona Puke 2,v3,v4,v5,v6,v7}
A={(v1,v2),(v,v3),(v3,v2),
(v3,v4),(v2,v4),(v4,v5),
证明: 必要性显然；
充分性: 设图G是连通的，若G不含圈， 则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一 个支撑树。若G含圈，则任取G的一个圈，从 该圈中任意去掉一条边，得到图G的一支撑 子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个支撑树。 若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈 中任意去掉一条边，得到图G的一支撑子图 G2。依此类推，可以得到图G的一个支撑子 图GK，且不含圈，从而GK是一个支撑树。
16
1.图的基本概念与基本定理
端点的度 d(v)：点 v 作为边端点
的个数；
奇点：d(v)=奇数； 偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；
悬挂边：与悬挂点连接的边；
孤立点：d(v)=0；
(v4,v6),(v,v3),(v5,v4),
(v5,v6),(v6,v7)}
v3
v5
v7
v1 v2
v6
v4
图8.5
14
1.图的基本概念与基本定理
下面介绍一些常用的名词：
一个图G或有向图D中的点数,记作P(G)或 P(D),简记作 P,边数或者弧数, 记作q(G)或者 q(D),简记作q。
如果边[vi,vj] E,那么称vi,vj是边的端点， 或者vi,vj是相邻的。如果一个图G中，一条边
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
[v3,v3]} v1
v2
v4
图8.4
v3
13
1.图的基本概念与基本定理
图8.5是一个有向图D=（V，A）
其中V={v1,Hale Waihona Puke 2,v3,v4,v5,v6,v7}
A={(v1,v2),(v,v3),(v3,v2),
(v3,v4),(v2,v4),(v4,v5),
证明: 必要性显然；
充分性: 设图G是连通的，若G不含圈， 则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一 个支撑树。若G含圈，则任取G的一个圈，从 该圈中任意去掉一条边，得到图G的一支撑 子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个支撑树。 若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈 中任意去掉一条边，得到图G的一支撑子图 G2。依此类推，可以得到图G的一个支撑子 图GK，且不含圈，从而GK是一个支撑树。
运筹学 第八章分解
11180803 系统可靠性问题。
一个工作系统由n 个部件串联组成，见图1。
只要有一个部件失灵，整个系统就不能工作。
为提高系统的可靠性，可以增加部件的备用件。
例如，用5个部件1并联起来作为一个部件与部件2串联，如果其中一个部件失灵其它4个部件仍能正常工作。
由于系统成本（或重量、体积）的限制，应如何选择各个部件的备件数，使整个系统的可靠性最大。
图1假设部件(1,2,,)i i n =上装有i x 个备用件，该部件正常工作的概率为()i i p x 。
设装一个部件i 的备用件的成本为i c ，要求备件的总费用为C 。
那么该问题模型为： 11max ()01,2,,ni i i ni i i jP p x c x C x i n===⎧≤⎪⎨⎪≥=⎩∏∑并且为整数， （8.8）同理，如果一个复杂的工作系统由n 个部件并联组成的，只有当n 个部件都失灵，整个系统就不能工作，见图2。
图2假设()i i p x 为第i 个部件失灵的概率，为提高系统的可靠性，可以增加部件的备用件。
由于系统成本（或重量、体积）的限制，应如何选择各个部件的备件数，使整个系统的可靠性最大。
系统的可靠性为11()niii p x =-∏，则该问题的数学模型归结为11min ()01,2,,ni i i ni i i jP p x c x C x i n===⎧≤⎪⎨⎪≥=⎩∏∑并且为整数， （8.9）利用式(8.8)或（8.9）求解下列问题。
工厂设计的一种电子设备，其中有一系统由三个电子元件串联组成。
已知这三个元件的价格和可靠性如表所示，要求在设计中所使用元件的费用不超过200元，试问应如何设计使设备的可靠性达到最大。
元件 单价 可靠性 1 40 0.95 2 35 0.8 3200.6【解】数学模型为312123123max (10.05)(10.2)(10.4)403520200,,0x x x Z x x x x x x =---++≤⎧⎨≥⎩并且为整数最优解X=(1，2，4)；可靠性Z=0.888653，总费用190。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
B1 7 5
2
6
f2(B2)=7 3
5
B2 2
C1
f3(C2)=7
C2
1 4 6
f4(D1)=3
D1
3 f5(E)=0
E
4
3
5
3
3
D2
4
1
B3 5
C3
3
f4(D2)=4
f2(B3)=8
f3(C3)=6
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态
A，（ A，B3）, B3 ,（B3，C2），C2,（C2，D2）, D2，（D2，E）, E
2. 状态：系统某阶段的出发位置或特征、状况。 通常一个阶段包含有若干个（设r个）状态。
每一阶段所有状态的集合称为状态变量集合。用 Sk=｛ ski｝ i=1,2,…,r表示。
第k阶段的状态变量Sk应包含该阶段之前决 策过程的全部信息，做到从该阶段后做出的决策
只与该状态有关，与这之前的状态和决策相互独 立。（无后效性）
1 4 6
f4(D1)=3
D1
3 f5(E)=0
E
4
3
5
3
3
D2
4
1
B3 5
C3
3
f4(D2)=4
f2(B3)=8
f3(C3)=6
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态
A，（ A，B3）, B3 ,（B3，C2），C2,（C2，D2）, D2，（D2，E）, E
从A到E的最短路径为11，路线为A→B3→C2 →D2 →E 。
(B3,C3)f3(C3)
56
11
最 优 决 策 B3C2
f1(A)min ((A A,,B B21)) ff2 2((B B12)) min 25 171 min 1 12 3 11
(A,B3)f2(B3)
38
11
最 优 决 策 AB3
2.2 动态规划的基本概念 阶段： 问题需要做出决策的步数。阶段用k 表示。通常， k=1，2，…，n。 （逆序编号与顺序编号）。
显然，决策不同，过程的策略也不同。对应
于每一个策略，都有一个确定的效果（值）。一 般情况下，策略不同，效果也不同。
多阶段决策的目的就是在所有可采取的策略
中选取一个最优策略，使在一定条件下取得最优 的效果。
例之三和：将n c一i 个c数c，（且cc>i0>）0（分i=为1n，个2部，分…c，1,nc）2,…, ,cn
4. 策略和子策略： 策略：动态规划问题各阶段决策组成的序 列总体。
子策略：从某一阶段开始到过程最终的决 策序列称为问题的子过程策略。
使问题达到最优效果的策略称为最优 策略。
f2(B1)=11
f3(C1)=4
f1(A)=11
A
B1 7 5
2
6
f2(B2)=7 3
5
B2 2
C1
f3(C2)=7
C2
从A到E的最短路径为11，路线为A→B3→C2 →D2 →E 。
f 4 ( D 1 ) d ( D 1 E ) f 5 ( E ) 3 0 3 f 4 ( D 2 ) d ( D 2 E ) f 5 ( E ) 4 0 4
f3(C1)min((C C11,,D D21)) ff44((D D12))
作业：P215 8.1 8.2
第八章 动态规划
第一节 多阶段决策问题 动态规划是用来求解多阶段决策问题的。
多阶段决策问题：可将问题分为若干个相互联系 的阶段，在每一阶段分别对应着若干个可以选择 的决策，当每个阶段的决策选定之后，也就确定 了问题的一个决策过程。将各阶段的决策综合起 来，就构成了一个决策序列，称为问题的一个策 略。
状态可以是一个数或一组数，也可能不是数；
可以使离散的，也可以是连续的；可以是确定的， 也可以是随机的。（维数障碍）
3. 决策： 当某阶段的状态给定以后，从 该状态演变到下一阶段某种状态的选择。
决策变量xk(sk)表示第k阶段状态为sk时 对方案的选择。显然，它是状态的函数。
决策变量的取值要受到一定的限制 （约束条件），用Dk(sk)表示k阶段状态为 sk时的决策变量允许取值范围，称为允许 决策集合，因而有 xk(sk) ∈Dk(sk) 。
min4134min844 f3(C2)min((C C22,,D D21)) ff44((D D12))
最优决策C1D1
63 9 min34min77 f3(C3)min((C C33,,D D21)) fD2
min33 43min766 最优决策C3D1
f2(B1)min ((B B11,,C C21)) ff3 3((C C12)) min 7 5 7 4 min 1 12 1 11
5. 状态转移方程： 从sk的某一状态（值） 出发，当决策变量xk(sk)的取值决定后，下 一阶段状态变量sk+1 （的取值）也就随之确 定。这种从上一阶段的某一状态（值）到下 一阶段某一状态（值）的转移规律称为状态 转移率，也称状态转移方程。记为：
s k 1 T ( s k , x k ( s k ) )或 简 记 为 s k 1 T ( s k , x k )
i 1
n
问如何分割使其乘积 c i 最大？
i1
n
max
z
i1
c
i
s
.t
n i1
ci
c
c i 0 , (i 1,2 ... n )
第二节 最优化原理与动态规划数学模型 2.1 基本思想
将多阶段问题转化为单阶段问题，按着目 标要求和递推关系求出最优结果。 （用逆序解法解例1）
[例1] 最短路线问题。 设有一个旅行者从图8-1中的A点出发，
(B1,C3)f3(C3)
66
12
最 优 决 策 B1C1
f2(B2)min ((B B22,,C C21)) ff3 3((C C12)) min 2 3 4 7 min 9 7 7
(B2,C3)f3(C3)
46
10
最 优 决 策 B2C1
f2(B3)min ((B B33,,C C21)) ff3 3((C C12)) min 1 5 74 min 8 9 8
途中要经过B、C、D等处，最后到达终点E。 从A到E有很多条路线可以选择，各点之间的 距离如图中所示，问该旅行者应选择哪一条 路线，使从A到达E的总路程为最短。
2
A
5
3
7
B1
5 6
3
B2 2
4 5
1
B3
5
C1
1
4
6
C2
3 3
C3
3
D1 3 E
D2
4
f2(B1)=11
f3(C1)=4
f1(A)=11
B1 7 5
2
6
f2(B2)=7 3
5
B2 2
C1
f3(C2)=7
C2
1 4 6
f4(D1)=3
D1
3 f5(E)=0
E
4
3
5
3
3
D2
4
1
B3 5
C3
3
f4(D2)=4
f2(B3)=8
f3(C3)=6
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态
A，（ A，B3）, B3 ,（B3，C2），C2,（C2，D2）, D2，（D2，E）, E
2. 状态：系统某阶段的出发位置或特征、状况。 通常一个阶段包含有若干个（设r个）状态。
每一阶段所有状态的集合称为状态变量集合。用 Sk=｛ ski｝ i=1,2,…,r表示。
第k阶段的状态变量Sk应包含该阶段之前决 策过程的全部信息，做到从该阶段后做出的决策
只与该状态有关，与这之前的状态和决策相互独 立。（无后效性）
1 4 6
f4(D1)=3
D1
3 f5(E)=0
E
4
3
5
3
3
D2
4
1
B3 5
C3
3
f4(D2)=4
f2(B3)=8
f3(C3)=6
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态
A，（ A，B3）, B3 ,（B3，C2），C2,（C2，D2）, D2，（D2，E）, E
从A到E的最短路径为11，路线为A→B3→C2 →D2 →E 。
(B3,C3)f3(C3)
56
11
最 优 决 策 B3C2
f1(A)min ((A A,,B B21)) ff2 2((B B12)) min 25 171 min 1 12 3 11
(A,B3)f2(B3)
38
11
最 优 决 策 AB3
2.2 动态规划的基本概念 阶段： 问题需要做出决策的步数。阶段用k 表示。通常， k=1，2，…，n。 （逆序编号与顺序编号）。
显然，决策不同，过程的策略也不同。对应
于每一个策略，都有一个确定的效果（值）。一 般情况下，策略不同，效果也不同。
多阶段决策的目的就是在所有可采取的策略
中选取一个最优策略，使在一定条件下取得最优 的效果。
例之三和：将n c一i 个c数c，（且cc>i0>）0（分i=为1n，个2部，分…c，1,nc）2,…, ,cn
4. 策略和子策略： 策略：动态规划问题各阶段决策组成的序 列总体。
子策略：从某一阶段开始到过程最终的决 策序列称为问题的子过程策略。
使问题达到最优效果的策略称为最优 策略。
f2(B1)=11
f3(C1)=4
f1(A)=11
A
B1 7 5
2
6
f2(B2)=7 3
5
B2 2
C1
f3(C2)=7
C2
从A到E的最短路径为11，路线为A→B3→C2 →D2 →E 。
f 4 ( D 1 ) d ( D 1 E ) f 5 ( E ) 3 0 3 f 4 ( D 2 ) d ( D 2 E ) f 5 ( E ) 4 0 4
f3(C1)min((C C11,,D D21)) ff44((D D12))
作业：P215 8.1 8.2
第八章 动态规划
第一节 多阶段决策问题 动态规划是用来求解多阶段决策问题的。
多阶段决策问题：可将问题分为若干个相互联系 的阶段，在每一阶段分别对应着若干个可以选择 的决策，当每个阶段的决策选定之后，也就确定 了问题的一个决策过程。将各阶段的决策综合起 来，就构成了一个决策序列，称为问题的一个策 略。
状态可以是一个数或一组数，也可能不是数；
可以使离散的，也可以是连续的；可以是确定的， 也可以是随机的。（维数障碍）
3. 决策： 当某阶段的状态给定以后，从 该状态演变到下一阶段某种状态的选择。
决策变量xk(sk)表示第k阶段状态为sk时 对方案的选择。显然，它是状态的函数。
决策变量的取值要受到一定的限制 （约束条件），用Dk(sk)表示k阶段状态为 sk时的决策变量允许取值范围，称为允许 决策集合，因而有 xk(sk) ∈Dk(sk) 。
min4134min844 f3(C2)min((C C22,,D D21)) ff44((D D12))
最优决策C1D1
63 9 min34min77 f3(C3)min((C C33,,D D21)) fD2
min33 43min766 最优决策C3D1
f2(B1)min ((B B11,,C C21)) ff3 3((C C12)) min 7 5 7 4 min 1 12 1 11
5. 状态转移方程： 从sk的某一状态（值） 出发，当决策变量xk(sk)的取值决定后，下 一阶段状态变量sk+1 （的取值）也就随之确 定。这种从上一阶段的某一状态（值）到下 一阶段某一状态（值）的转移规律称为状态 转移率，也称状态转移方程。记为：
s k 1 T ( s k , x k ( s k ) )或 简 记 为 s k 1 T ( s k , x k )
i 1
n
问如何分割使其乘积 c i 最大？
i1
n
max
z
i1
c
i
s
.t
n i1
ci
c
c i 0 , (i 1,2 ... n )
第二节 最优化原理与动态规划数学模型 2.1 基本思想
将多阶段问题转化为单阶段问题，按着目 标要求和递推关系求出最优结果。 （用逆序解法解例1）
[例1] 最短路线问题。 设有一个旅行者从图8-1中的A点出发，
(B1,C3)f3(C3)
66
12
最 优 决 策 B1C1
f2(B2)min ((B B22,,C C21)) ff3 3((C C12)) min 2 3 4 7 min 9 7 7
(B2,C3)f3(C3)
46
10
最 优 决 策 B2C1
f2(B3)min ((B B33,,C C21)) ff3 3((C C12)) min 1 5 74 min 8 9 8
途中要经过B、C、D等处，最后到达终点E。 从A到E有很多条路线可以选择，各点之间的 距离如图中所示，问该旅行者应选择哪一条 路线，使从A到达E的总路程为最短。
2
A
5
3
7
B1
5 6
3
B2 2
4 5
1
B3
5
C1
1
4
6
C2
3 3
C3
3
D1 3 E
D2
4
f2(B1)=11
f3(C1)=4
f1(A)=11