最新参数方程知识讲解及典型例题
21.1参数方程知识讲解+强化训练
21.1参数方程【考纲要求】1、了解参数方程，了解参数的意义.2、能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.3、了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.4、了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 【基础知识】1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（包括整体消元） （2）三角法：利用三角恒等式消去参数。
请注意：化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的 一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。
2、常见曲线的参数方程：（1）圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）；（2）椭圆12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）；（3）双曲线12222=-b y a x 的参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）；（4）抛物线22y px =参数方程222x pty pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数）；（5）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）。
【典型例题】例1 已知圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)的圆心F是抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt 的焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围. 【解析方法代码108001169】解析： 曲线M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设过焦点F 的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θy ＝t sin θ(t 为参数)， 代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0.所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4sin 2θ. 因为0<sin 2θ≤1，所以AF ·FB 的取值范围是[4，＋∞)．例2 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ是参数)相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解析： (1)直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝1＋12t (t 是参数)．(2)∵点A ，B 都在直线l 上，∴可设点A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2，将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0.①∵t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2， ∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.21.1参数方程强化训练【基础精练】1.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为____________．2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2(t 为参数)表示的曲线是________．3．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.4．若直线2x ＋ky －1＝0(k ∈R)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)相切，则k 值为________．5．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数，p 为常数，p >0)上的两点M 、N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，则|MN |＝______. 6．直线⎩⎨⎧x ＝2＋t y ＝3t被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长为________．7．求直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋ty ＝－5＋3t和直线x －y －23＝0的交点P 的坐标，及点P 与Q (1，－5)的距离．8．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B两点，求线段AB 的长．9．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．10．已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1、F 2为其左、右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数，t ∈R)．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)求点F 1、F 2到直线l 的距离之和．【拓展提高】1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1.(1)求曲线C 的普通方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t (t 为参数)，椭圆C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈R)．试在椭圆C 上求一点P ，使得P 到直线l 的距离最小．【基础精练参考答案】1. y ＝x －2(0≤y ≤1)2. 两条射线【解析】： 由x ＝t ＋1t知x ≥2或x ≤－2，∴曲线方程为y ＝2(x ≥2或x ≤－2)，表示两条射线． 3.-1【解析】： 直线l 1：kx ＋2y ＝k ＋4，直线l 2：2x ＋y ＝1. ∵l 1与l 2垂直，∴2k ＋2＝0，∴k ＝－1. 4. 32【解析】： 把曲线的参数方程转化为普通方程为 x 2＋(y ＋1)2＝1.由题意得|2×0＋－1·k －1|22＋k2＝1，解得k ＝32. 5. 4p |t 1|【解析】： 曲线表示抛物线y 2＝2px ，线段MN 垂直于抛物线的对称轴，所以|MN |＝2p |t 1－t 2|＝4p |t 1|.6. 210【解析】： 直线参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t 2y ＝0＋32t ，代入双曲线x 2－y 2＝1得t 2－4t －6＝0.设两交点对应的参数为t 1，t 2，则弦长d ＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2 ＝210.7. 43【解析】： 将⎩⎨⎧x ＝1＋ty ＝－5＋3t化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝－5＋32t ，代入x －y －23＝0得t ＝43， ∴P (1＋23，1)．由参数t 的几何意义得|PQ |＝|t |＝4 3.8. 217【解析】： 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t的普通方程为x 2－y 2＝4.过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33x ＋3， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4消去y 得，23x 2－2x －7＝0，＝－21，9.【解析】： (1)当α＝3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －1，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．10.【解析】： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2；曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322，点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.【拓展提高参考答案】1.【解析】： (1)由曲线C ：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝1，得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，化成普通方程为x 2－y 2＝1.① (2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)②把②代入①得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝1，整理，得t 2－4t －6＝0.设其两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4，t 1·t 2＝－6.，代入x 2－y 2＝1，得设直线l 与曲线C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝132，∴|AB |＝1＋3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝262－26＝210. 2.【解析】： 方法一：直线l 的普通方程为x ＋2y －4＝0， 设P (2cos θ，sin θ)，点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， 所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d 有最小值．此时sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin π4＝22， cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin π4＝22， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22. 从而椭圆C 上到直线l 的距离最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22. 方法二：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x ＋2y ＝m .当l ′与椭圆C 只有一个公共点且l ′与l 距离最小时，l ′与椭圆C 的公共点即为所求的点P .椭圆的普通方程为x 24＋y 2＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＋2y ＝m消去x ，得8y 2－4my ＋m 2－4＝0.因为l ′与椭圆C 只有一个公共点，所以Δ＝16m 2－32(m 2－4)＝0， 解得m ＝22或m ＝－2 2.l ′与l 的距离为d ＝|m －4|5，所以当m ＝22时，d 最小，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22.。
专题75 参数方程(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题75参数方程最新考纲1.了解参数方程，了解参数的意义．2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.基础知识融会贯通1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程重点难点突破【题型一】参数方程与普通方程的互化【典型例题】已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t 为参数）距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）C1：（x+4）2+（y﹣3）2＝1，C2：y2＝1C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆（Ⅱ）当t时，P（﹣4，4），Q（cosθ，sinθ），故M（﹣2cosθ，2）C3为直线x﹣y﹣5＝0，M到C3的距离d|sin（θ）+9|，从而当sin（θ）＝﹣1时，d取得最小值4．【再练一题】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），把曲线C1上的点的横坐标缩短到原来的倍数，纵坐标伸长到原来的2倍后得到曲线C2．（1）求曲线C1和C2的普通方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），直线l过定点P（0，1）且与曲线C2交于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．【解答】（1）线C1的参数方程为（φ为参数），得到：x2+y2＝4．把曲线C1上的点的横坐标缩短到原来的倍数，纵坐标伸长到原来的2倍后得到曲线C2．（φ为参数）转换为直角坐标方程为：．（2）把直线l的参数方程（t为参数），转换为标准的参数方程为：（t为参数）代入，得到：（t1和t2为A和B对应的参数），故：，故：．思维升华消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．(2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．【题型二】参数方程的应用【典型例题】已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（1）设直线l与曲线C1相交于A，B两点，求劣弧AB的弧长；（2）若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求点P到直线l的距离的最小值，及点P坐标．【解答】解：（1）由l：，得；由曲线C1：，得x2+y2＝1；联立，解得或，则两交点为（1，0），（，）．∴|AB |，则劣弧AB 的弧长为；（2）设P 点坐标为（，），点P 到直线l 的距离d ． 当sin （）＝﹣1时，d 取得最小值为，此时P （，）．【再练一题】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）．（1）求曲线C 和直线l 的普通方程，（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若|AB |＝1，求直线l 的方程．【解答】解：（1）由曲线C 和直线l 的参数方程可知，曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝1． 直线l 的普通方程：当cos α＝0时为x ＝2；当cos α≠0时为y ＝tan α（x ﹣2）． （2）把x ＝2+t cos α，y ＝t sin α代入x 2+y 2＝1，得t 2+4t cos α+3＝0， 因为△＝16cos 2α﹣12＞0，所以cos 2α．设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，因为t 1+t 2＝﹣4cos α，t 1t 2＝3，|AB |＝|t 1﹣t 2|＝1， 所以（t 1﹣t 2）2＝（t 1+t 2）2﹣4t 1t 2＝16cos 2α﹣12＝1， 所以cos 2α，所以tan 2α， 所以tan α＝±，即直线l 的斜率为±． 所以直线l 的方程为y x或yx．思维升华 (1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【题型三】极坐标方程和参数方程的综合应用【典型例题】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线θ＝β（0＜β）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|取最大值时tanβ的值．【解答】解：（1）由（α是参数），得，∴，即，∴曲线C1的极坐标方程为．由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入得：x2+y2＝4y，故曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ），将θ＝β（0＜β）分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：，ρ2＝4sinβ，则|OA|+|OB|4sinβ（β+φ），其中φ为锐角，且满足sinφ，cosφ，当β+φ时，|OA|+|OB|取最大值，此时φ，tanβ＝tan（φ）．【再练一题】在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）已知射线与曲线C交于O，M两点，射线与直线l交于N 点，若△OMN的面积为1，求α的值和弦长|OM|．【解答】解：（1）直线l 的参数方程是（t 为参数），消去参数t 得直角坐标方程为：． 转换为极坐标方程为：，即．曲线C 的参数方程是（φ为参数），转换为直角坐标方程为：，…………………………化为一般式得化为极坐标方程为：． ………………………（2）由于，得，．所以，所以， 由于，所以，所以．…………………………思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．基础知识训练1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y t ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)。
参数方程与普通方程互化例题和知识点总结
参数方程与普通方程互化例题和知识点总结在数学的学习中，参数方程与普通方程的互化是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有着广泛的应用，对于解决实际问题也具有重要的意义。
下面我们将通过一些例题来深入理解参数方程与普通方程的互化，并对相关知识点进行总结。
一、参数方程的概念参数方程是指在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标＼（x\）、＼（y\）都是某个变数＼（t\）的函数，并且对于＼（t\）的每一个允许的取值，由方程组确定的点＼（（x,y)＼）都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数＼（x\）、＼（y\）的变数＼（t\）叫做参变数，简称参数。
例如，圆的参数方程为：＼（＼begin{cases}x ＝ r\cos\theta ＼＼ y＝ r\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数），其中＼（r\）为圆的半径。
二、普通方程的概念普通方程是指用＼（x\）和＼（y\）直接表示其关系的方程。
例如，圆的普通方程为：＼（x^2 ＋ y^2 ＝ r^2\）。
三、参数方程与普通方程互化的方法1、消去参数消去参数的方法主要有代入消元法、加减消元法、利用三角函数的恒等式消元法等。
例如，对于参数方程＼（＼begin{cases}x ＝ t ＋ 1 ＼＼ y ＝t^2\end{cases}＼），可以通过将＼（x ＝ t ＋ 1\）变形为＼（t ＝ x 1\），然后代入＼（y ＝ t^2\）中，得到普通方程＼（y ＝（x 1)＾2\）。
2、利用三角函数的恒等式对于形如＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）的参数方程，可以利用三角函数的平方和恒等式＼（＼cos^2\theta ＋＼sin^2\theta ＝ 1\）进行消参。
例如，将＼（x ＝ a\cos\theta\）两边平方得＼（x^2 ＝a^2\cos^2\theta\），将＼（y ＝ b\sin\theta\）两边平方得＼（y^2 ＝b^2\sin^2\theta\），然后将两式相加可得：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）。
高中数学选修4-4(人教A版)第二讲参数方程2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修4-4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程一、知识清单参数方程二、知识讲解1.参数方程曲线的参数方程定义设平面上取定了一个直角坐标系，把坐标系，表示为第三个变量的函数如果对于的每一个值（），式所确定的点都是在一条曲线上；而这条曲线上的任一点，都可由的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中变量称为参数．直线的参数方程直线的参数方程的一般形式是．圆的参数方程若圆心在点，半径为，则圆的参数方程为 ． 圆锥曲线的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点，相应的椭圆的参数方程为．抛物线的参数方程抛物线的参数方程为．双曲线的参数方程双曲线的参数方程为．摆线的参数方程一圆沿一直线作无滑动滚动式，圆周上的一定点的轨迹称为摆线．设半径为的圆在轴上滚动，开始时定点在原点处．取圆滚动时转过的角度（以弧度为单位）为参数．当圆滚过角时，圆心为，圆与轴的切点为，．所摆线的参数方程为．xOy x y t {a ≤t ≤b ．(2−3)x =f (t )y =g (t )t a ≤t ≤b (2−3)M (x ,y )M (x ,y )t (2−3)(2−3)t {t ∈R x =+lt x 0y =+mty 0(,)M 0x 0y 0R {0≤θ≤2πx =+R cos θx 0y =+R sin θy 0(,)M 0x 0y 0{0≤t ≤2πx =+a cos t x 0y =+b sin ty 0{x =2p t 2y =2pt{x =a sec θy =b tan θM a x M O t t B x A ∠ABM =t {x =a (t −sin t )y =a (1−cos t )下列方程中可以看成参数方程的是（ ）A． B． C．x −y −t =0+−2ax −9=0x 2y 2{=x 2t 2y =2t −1。
高三数学参数方程知识点
高三数学参数方程知识点数学是一门抽象而又具有普适性的学科，它的应用广泛，对于高三学生来说，数学的学习变得更加重要和密集。
本文将着重介绍高三数学中的参数方程知识点，帮助学生全面理解并有效记忆这一概念。
一、参数方程的定义与特点参数方程是指用一个参数表示所有的自变量和因变量之间的函数关系。
通常用t作为参数，表示自变量的取值范围。
在参数方程中，将自变量和因变量用参数表示，使得函数的自变量和因变量之间的关系更为灵活。
二、参数方程的表示方法参数方程的表示方法有多种形式，常见的有向量表示法和分量表示法。
1. 向量表示法在向量表示法中，自变量和因变量都用向量表示。
例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可表示为：P(t) = (x(t), y(t))其中，x(t)和y(t)分别表示点P的x坐标和y坐标，t为参数。
2. 分量表示法在分量表示法中，将自变量和因变量都分别表示为关于参数t的函数。
例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数，t为参数。
三、参数方程应用领域参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在曲线的研究中起到重要作用。
下面分别介绍参数方程在平面曲线和空间曲线中的应用。
1. 平面曲线参数方程在平面曲线中的应用非常广泛，常见的曲线方程如圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以用参数方程表示。
通过参数方程，可以对曲线的形状和性质进行更深入的研究。
例如，对于圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = a*sin(t)其中，a为半径，t为参数。
通过改变参数t的取值范围，可以绘制出一条圆的完整轨迹。
2. 空间曲线参数方程在空间曲线的研究中也起到重要作用，例如，直线、曲线、螺旋线等都可以通过参数方程来表示。
通过参数方程，可以描述物体在空间中的运动轨迹，从而研究物体的运动方式和变化规律。
四、参数方程的解法当给定一个参数方程时，我们需要求解参数方程对应的曲线方程或图形。
高考数学专题复习：参数方程知识与习题精选
高考数学专题复习：参数方程知识与习题一．常见直曲线的参数方程1、直线参数方程的标准式是2、圆心在点(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是3、 4、双曲线12222=-b y a x 的参数方程是5、抛物线y 2=2px 的参数方程是备注：参数t 的几何意义：Tips:判断参数方程表示的是什么曲线题中，关键是“消参”.常用方法：平方法——三角函数、t t 1+型.注意观察是否规定参数的范围练习1：将参数方程化为普通方程 （1） （2）练习2：已知椭圆16410022=+y x 有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积.练习3：如图，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个懂点，点A 坐标为(12,0).当点P 在圆上运动时，线段PA 中点M 的轨迹是什么？一、直线参数方程中的参数的几何意义1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，①写出直线l 的参数方程;②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.2、已知直线).3cos(2.32),2,1(πθρπ+=-圆方程的直线倾斜角为是过点P l（I ）求直线l 的参数方程；（II ）设直线l 与圆相交于M 、N 两点，求|PM|·|PN|的值.二、巧用参数方程解最值题1、在椭圆2211612x y+=上找一点，使这一点到直线2120x y--=的距离的最小值.2、已知点(,)P x y是圆222x y y+=上的动点，（1）求2x y+的取值范围；（2）若0x y a++≥恒成立，求实数a的取值范围.3、在平面直角坐标系xOy中，动圆2228cos6sin7cos80x y x yθθθ+--++=的圆心为(,)P x y，求2x y-的取值范围高考数学专题复习：参数方程知识与习题专题：参数方程练习1：(1) y=1-x 2 (x ∈[-1,1]) (2) 12222=-b y a x练习2：设椭圆的参数方程为 θθsin 8cos 10==y x ，设点A 坐标为(10cos θ,8sin θ)，θ∈[0,2π] 则由椭圆的对称性知：B(10cos θ, - 8sin θ)，D(-10cos θ,8sin θ)|AB|=16sin θ ， |AD|= 20cos θS 矩形ABCD=|AB|·|AD|=320 sin θ cos θ=160sin2θ∵θ∈[0,2π]， sin 2θ∈[-1,1]∴当2θ=π/2时sin2θ取得最大值1，此时矩形面积最大值为S max =160练习3设圆的参数方程为θθsin 4cos 4==y x ，设点P 坐标为(4cos θ,4sin θ)，θ∈[0,2π]则PA 中点M(2cos θ+6,2sin θ)，即θθsin 26cos 2=+=y x (移项、平方、相加)得(x-6)2+y 2=4∴M 轨迹为圆巩固练习一、1解 （1）直线的参数方程为，31112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 运用 快速写出（2）则点P 到,A B 两点的距离之积为22解：（Ⅰ）l的参数方程为，11,2()2.x t t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数（Ⅱ）12||||||6PM PN t t ==+g)3/cos(π+θ∈[-1,1]当cos()13πθ+=时，min 5d =，此时所求点为(2,3)-.2圆的参数方程为1sin cos +==θθy x ，则P(cos θ, sin θ) (1)2x+y=2cos θ+ sin θ+1=5sin(αθ+)+1 (tan α=2) -1≤sin(αθ+)≤1121x y ≤+≤∴2x+y ∈[-5+1, 5+1](2) x+y+a= cos θ+ sin θ+1+a=2 sin(4/π+θ)+1+a ≥0恒成立，即a ≥-2 sin(4/π+θ)-1 恒成立，所以a ≥[-2 sin(4/π+θ)-1]max ，即a ≥2-13圆的标准方程为1)sin 3()4cos -(x 22=-+θθy ，即P(4cos θ, 3sin θ)。
高中数学函数参数方程解析
高中数学函数参数方程解析一、引言在高中数学学习中，函数参数方程是一个重要的知识点。
本文将从基础概念出发，通过具体题目的举例，分析解题思路和考点，并给出一些解题技巧，帮助读者更好地理解和应用函数参数方程。
二、函数参数方程的基本概念函数参数方程是指用参数表示的函数方程。
一般形式为：y = f(x, a)，其中a为参数。
参数可以是任意实数，通过改变参数的取值，可以得到不同的函数图像。
三、函数参数方程的应用举例1. 例题一：求参数方程y = a^2 - x^2的图像。
解析：将参数方程转化为直角坐标系下的函数方程。
令y = f(x, a) = a^2 - x^2，其中a为参数。
通过改变参数a的取值，可以得到不同的图像。
当a = 1时，函数图像为一个单位圆；当a = 2时，函数图像为一个半径为2的圆。
可以通过改变参数a的取值，观察图像的变化规律。
2. 例题二：求参数方程x = a + t，y = a - t的图像。
解析：将参数方程转化为直角坐标系下的函数方程。
令x = f(t, a) = a + t，y = g(t, a) = a - t，其中a为参数。
通过改变参数a的取值，可以得到不同的图像。
当a = 0时，函数图像为直线y = -x；当a = 1时，函数图像为直线y = 1 - x。
可以通过改变参数a的取值，观察图像的变化规律。
四、函数参数方程的考点分析1. 参数的取值范围：在解题过程中，需要注意参数的取值范围，以保证函数有意义。
例如，在例题一中，参数a不能取负值，否则函数图像将不存在。
2. 函数图像的特点：通过观察函数图像的特点，可以发现一些规律。
例如，在例题一中，当参数a取不同的值时，函数图像的形状和大小都会发生变化。
这表明参数a对函数图像具有一定的控制作用。
3. 函数图像的对称性：在解题过程中，可以通过观察函数图像的对称性来简化问题。
例如，在例题一中，函数图像y = a^2 - x^2关于y轴对称，这可以帮助我们更好地理解和绘制函数图像。
参数方程知识讲解及典型例题
参数方程一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。
二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：特殊：圆心是（0,0），半径为r 的圆：θθsin cos r y r x ==一般：圆心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数，θ的几何意义为圆心角），Eg1：已知点P （x ，y ）是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x 2+y 2的最值；（2）x+y 的最值；（3）点P 到直线x+y-1=0的距离d 的最值。
Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos θ （2） x=sin θ （3） x=t+t1y=3sin θ y=cos θ y=t 2+21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0）椭圆的参数方程： θθsin cos 00b y y a x x +=+=Eg ：求椭圆203622y x +=1上的点到M （2,0）的最小值。
3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线：θθtan sec b y a x == （θ为参数，代表离心角），中心在（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec 00b y y a x x +=+=4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pt y pt x 222== （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。
高二数学最新课件-圆的参数方程[原创]人教版 精品
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练习3.
经过圆 x 2 y 2 4 上任一点P作y轴垂
线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通 方程
4x y 4
2 2
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课后作业：
x cos 1.（2002年全国新课程）曲线 y sin 上的点到两 坐标轴的距离之和的最大值为（ D ）
1 A. 2
（二）.利用圆的参数方程求轨迹方程 （三）.利用圆的参数方程求字母的取值范围
（四）.课堂小结
（五）课后作业：
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例1.若实数x，y满足 x 2 y 2 2 x 4 y 0 求x－y的最大值
解：将圆的方程化为： ( x 1) 2 ( y 2) 2 5
x 1 5 cos 所以圆的参数方程为： 代入x－y 得： y 2 5 sin
解： f ( )可看成两点 p(cos , sin ) ,A(2,1) 连线的斜率 2 2 x y 1上运动，过定点A作圆的两条切线 且p在圆 AP1， AP2，则AP1斜率最小且最小值为0， AP2的斜率最大， 下面求AP2的斜率 设AP2的斜率为k，则AP2的方程为 y 1 k ( x 2) 即 kx y 2k 1 0
圆的参数方程的应用
学习目标：能熟练应用圆的参数方程解题
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教学过程
一.知识回顾：
x r cos (为参数) 1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程： y r sin
2.圆心在点（a，b），半径为r的圆 的参数方程为: x a r cos (为参数)
x 5 3 cos 3.已知圆的参数方程 ， (为参数) y 3 3 sin 则它的普通方程为： ( x 5) 2 ( y 3) 2 9
参数方程] · [基础] · [知识点+典型例题]
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参数方程知识讲解一、参数定义：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．二、参数方程与普通方程的互化1.参数方程化为普通方程代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！2.普通方程化为参数方程注：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．三、常见参数方程1.直线l 的常用参数方程为：cos sin x m t y n t θθ=+⎧⎨=+⎩，t ∈R 为参数，其中θ为直线的倾斜角，(,)m n 为直线上一点．2.圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数； 3.椭圆22221x y a b +=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a y b θθθ=⎧∈⎨=⎩为参数． 【引申】：参数方程和之前我们讲过的还原法有一个相同的“易错点”，就是一定要注意：新引进的参数的范围！【重点】：参数方程最主要的是抓住到底“参数是谁”！典型例题一．选择题（共11小题）1．（2018•朝阳区一模）直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，直线l的参数方程为（t为参数），则到直线的方程为，所以直线的斜率为，倾斜角为，故选：C．2．（2018•大兴区一模）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由，得x﹣，由，得（x﹣1）2+y2=1．∴圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为（1，0），半径为1．而圆心（1，0）在直线x﹣上，∴直线与曲线相交的弦长为2．故选：B．3．（2018•奉贤区二模）已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（）A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线【解答】解：由（0≤t≤5），消去参数t，得x﹣3y=5．又0≤t≤5，故﹣1≤y≤24．故该曲线是线段．故选：A．4．（2017秋•天心区校级期末）直线的参数方程为（t为参数），M0（﹣1，2）和M（x，y）是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是（）A．有向线段M0M的数量B．有向线段MM0的数量C．|M0M|D．以上都不是【解答】解：根据题意，直线的参数方程化为标准形式为，则﹣t表示有向线段M0M的数量，即t表示有向线段MM0的数量；故选：B．5．（2018春•郑州期末）若P（2，﹣1）为圆（θ为参数且0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在的直线方程为（）A．x﹣y﹣3=0 B．x+2y=5 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【解答】解：把圆（θ为参数且0≤θ＜2π）消去参数，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=25，表示以C（1，0）为圆心、半径等于5的圆．再根据所求直线和直线CP垂直，可得所求直线的斜率为﹣=﹣=1，可得所求直线的方程为y+1=1•（x﹣2），即x﹣y﹣3=0，故选：A．6．（2017秋•天心区校级期末）已知曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P的坐标是（）A．（3，4） B．， C．（﹣3，﹣4）D．，【解答】解：∵原点为O，直线PO的倾斜角为，∴tan=1，∵曲线（θ为参数，0≤θ≤π），∴tanθ=，∴cosθ=，sinθ=，∵曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P，∴代入得P的坐标为，．故选：D．7．（2017秋•东湖区校级期末）曲线C1：（t为参数），曲线C2：（θ为参数），若C1，C2交于A、B两点，则弦长|AB|为（）A．B． C．D．4【解答】解：曲线C1：（t为参数），化为普通方程为x+y﹣2=0，即y=2﹣x①曲线C2：（θ为参数），化为普通方程得，，②将①代入②，得5x2﹣16x+12=0，x1+x2=，x1x2=，则弦长|AB|==．故选：B．8．（2017秋•天心区校级期末）已知椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：依据题意，椭圆的参数方程为，将椭圆的参数方程化成普通方程为+=1，其中a=4，b=2，故c==2，所以离心率e===；故选：A．9．（2018春•海珠区期末）若曲线C的参数方程为（t为参数），则下列说法正确的是（）A．曲线C是直线且过点（﹣1，2） B．曲线C是直线且斜率为C．曲线C是圆且圆心为（﹣1，2） D．曲线C是圆且半径为|t|【解答】解：曲线C的参数方程为（t为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为=0．把（﹣1，2）代入，成立，斜率是．∴曲线C是直线且过点（﹣1，2），斜率是．故选：A．10．（2018春•青山区校级期末）参数方程（t为参数）表示什么曲线（）A．一个圆B．一个半圆C．一条射线D．一条直线【解答】解：∵参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程是2（x﹣1）+（y﹣1）=0（x≥1），即2x+y﹣3=0（x≥1）；它表示端点为（1，1）的一条射线．故选：C．11．（2018春•桑珠孜区校级期中）点（1，2）在圆的（）A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关【解答】解：根据题意，圆，其普通方程为：（x+1）2+y2=64，又由：（1+1）2+（2﹣0）2=16＜64，则点（1，2）在圆的内部；故选：A．二．填空题（共5小题）12．（2017•松江区二模）直线（t为参数）对应的普通方程是x+y ﹣1=0．【解答】解：两个方程相加得x+y﹣1=0，故答案为：x+y﹣1=0．13．（2017•闵行区校级模拟）已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是3x﹣4y+5=0．【解答】解：直线l的参数方程是（t为参数），可得，可得3x﹣4y+5=0．故答案为：3x﹣4y+5=0．14．（2017•徐汇区二模）参数方程为（t为参数）的曲线的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：根据题意，曲线的参数方程为（t为参数），则其普通方程为：y2=4x，即该曲线为抛物线，其焦点在x轴上，且p=2；则其焦点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）15．（2016春•淮安校级期末）参数方程（t为参数）化为普通方程为x+2y+9=0．【解答】解：由y=﹣2t﹣5，可得2y=﹣4t﹣10，与x=4t+1相加可得：x+2y=﹣9，即x+2y+9=0．故答案为：x+2y+9=0．16．（2016春•无锡期末）直线（t为参数）的倾斜角为50°．【解答】解：根据直线（t为参数），得x+1=（y﹣3）tan40°，∴x﹣ytan40°+1+3tan40°=0，∴该直线的斜率k==tan50°，∴该直线的倾斜角为50°，故答案为：50°．三．解答题（共4小题）17．（2012•天山区校级模拟）已知在直角坐标系xOy内，直线l的参数方程为（t为参数）．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）判断直线l和圆C的位置关系．【解答】解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x﹣3；（4分），即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（8分）（2）圆心C到直线l的距离＜，所以直线l和⊙C相交．（10分）18．求椭圆（θ为参数）的左焦点坐标．【解答】解：∵椭圆的参数方程为，∴cosθ=（x﹣1），sinθ=y，∵cos2θ+sin2θ=1，∴+=1，∴已知椭圆可看作+=1向右平移1个单位得到，又易得+=1的左焦点为（﹣，0），∴已知椭圆的左焦点坐标为（1﹣，0），19．（1）在直角坐标系中，曲线C1：（其中θ为参数），直线C2：（其中t为参数）．点F（﹣4，0），曲线C1与直线C2相交于点A、B，求|FA|•|FB|的值．（2）在极坐标系中，直线l：ρcos（θ﹣）=2，与以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆相交于P、Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（1）由，得，把代入上式，得369t2﹣1440t﹣2025=0．∴|FA|•|FB|=；（2）由ρcos（θ﹣）=2，得，即．以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆的直角坐标方程为（x+4）2+y2=25．圆心（﹣4，0）到直线的距离为d=，∴|PQ|=2．20．已知极坐标的极点在平面直角坐标的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，若点P为曲线C：（θ为参数）上的动点，直线l 的极坐标方程为ρcos（θ+）=m（m＞2）（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若曲线C上有且只有一点P到直线l的距离为2，求实数m的值和点P的坐标．【解答】解：（1）曲线C：（θ为参数），利用平方关系可得普通方程：+y2=1．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=m（m＞2），展开可得：ρ（cosθ﹣sinθ）=m，化为直角坐标方程：x﹣y﹣m=0．（2）设与直线x﹣y﹣m=0平行且与椭圆相切的直线方程为x﹣y+t=0．把y=x+t代入椭圆方程可得：4x2+6tx+3t2﹣3=0，令△=36t2﹣48（t2﹣1）=0，解得：t=±2．当t=2时，方程为（2x+3）2=0，解得x=﹣，代入椭圆方程可得：=1，取y=，可得切点P，，则=2，解得m=﹣2±2．经过验证都满足条件．当t=﹣2时，方程为（2x﹣3）2=0，解得x=，代入椭圆方程可得：=1，取y=﹣，可得切点P，，则=2，解得m=2±2．经过验证都满足条件．综上可得：取点P，，m=﹣2±2．取点P，，m=2±2．。
13.2 参数方程
1 (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐 2
3 标压缩为原来的 倍得到曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一 2
个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 思维导引:(1)先把直线和圆的参数方程化为普通方程,然 后利用直线被圆所截弦长公式求解;(2)先根据伸缩变换 写出曲线 C2 的参数方程,从而写出点 P 的坐标,然后根据点 到直线的距离公式求出目标函数,最后求最值.
考点二 参数方程及其应用
【例 2】 (2013 内蒙古包头市模拟)已知直线
1 x 1 t, x cos , 2 l: (t 为参数),曲线 C1: y sin y 3t 2
(θ 为参数). (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点,求|AB|;
3 d 取得最小值,最小值为 (- 2 +2)= 4
反思归纳
一般地 ,如果题目中涉及圆、椭圆
上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方 程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等 变换问题解决,使解题过程简单明了.
即时突破 2 已知点 P(x,y)是圆 x +y =2y 上的动点 .
(1)求 2x+y 的取值范围; (2)若 x+y+a ≥0 恒成立,求实数 a 的范围.
π ρ cos =t,若两曲线有公共点,则 t 的取值范 3
围是 .
解析:将曲线 C1 的参数方程化为普通方程得 (x-2)2+y2=4, 即曲线 C1 是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆, 将曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程得 x- 3 y-2t=0.
∵两曲线有公共点, ∴圆心(2,0)到直线 x- 3 y-2t=0 的距离
参数方程
设M(x,y),由上面两直线方程可求得: 18a x 2 , 2 2 x y a 9 (a为参数), 消去参数a, 得 1( x 0). 2 9 4 y 2a 18 a2 9
点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除去B,B).
23
参数方程及其应用 例 (2015· 内蒙古包头市模拟)已知直线 x＝1＋1t， 2 l： 3 y＝ t 2 参数)． (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点，求|AB|；
A
12
x 5cos (5).二次曲线 ( 是参数） y 3sin 的左焦点的坐标为（） (-4,0)
t t
x e e (6).参数方程 ( t 为参数 ) 表示的曲线（ t t y e e A.双曲线B.双曲线的下支C.双曲线的上支D.圆
若x y a恒成立，求实数 a的取值范围
x2 y 2 x= 3 cos , (1)由椭圆 + =1的参数方程为 ( 为参数)， 3 4 y 2sin 可设点P的坐标为( 3 cos , 2sin ) 3 1 则2x+y=2 3 cos 2sin 4 cos sin 2 2
P ( x, y ) t 的几何意义：表示有向线段 P0 P 的数量，
直线上两点P1,P2对应的参数分别是t1，t2，则 | P1P2|=| t1-t2 |
4
●两个要点 x＝x0＋tcosα， (1)在直线的参数方程 (t 为参数)中 t 的几何 y＝y0＋tsinα 意义是表示在直线上从定点 P0(x0，y0)到直线上的任一点 P(x，y) 构成的有向线段 P0P 的数量且在直线上任意两点 P1、P2 的距离为 |P1P2|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2.
高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)
5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线 ） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（ ）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
3 2
高考数学十大专题技巧知识点+练习题 专题二 参数方程及其应用(综合型)(教师版)
高考数学十大专题技巧知识点+练习题专题二参数方程及其应用(综合型)1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t＝f (t )，＝g (t )，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l＝x 0＋t cos α，＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r＝x 0＋r cos θ，＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)＝a cos φ，＝b sin φ(φ为参数)．[微点提醒]直线参数方程中t 的几何意义过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l＝x 0＋t cos α，＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中t 表示直线上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段0M M uuuuu r 的数量．当t >0时，0M M uuuuu r的方向向上；当t <0时，0M M uuuuu r的方向向下；当t ＝0时，M 与M 0重合．根据直线的参数方程标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l＝x 0＋t cos α，＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝|t 1＋t 22|．③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0．④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|．＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，是过点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程．当且仅当a 2＋b 2＝1且b ≥0时，才是标准方程，t＝x 0＋at＝y 0＋bt化为＝x 0±|a |a 2＋b 2t ′＝y 0＋|b |a 2＋b 2t ′(t ′∈R )，式中“±”号，当a ，b 同号时取正；当a ，b 异号时取负．可见动点P 到定点P 0的距离是a 2＋b 2|t |．设直线上的任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝a 2＋b 2|t 1－t 2|(弦长公式)．【例题选讲】[例1]在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．[规范解答](1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．解2,4cos ρρθ=⎧⎨=⎩得ρ＝2，π3θ=±，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，π3-)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1)，(1，．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,,x t y t =⎧≤≤⎨=⎩(或参数方程写成1,,x y y y =⎧-≤≤⎨=⎩)．解法二：将x ＝1代入cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得ρcos θ＝1，从而1cos ρθ=．于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,ππtan ,33x y θθ=⎧-≤≤⎨=⎩．[例2](2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O ＝cos θ＝sin θ，(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．[规范解答](1)⊙O 的普通方程为x 2＋y 2＝1．当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记t a n α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －2．l 与⊙O 交于两点当且仅当|21＋k 2|＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即ααα(2)l ＝t cos α，＝－2＋t sin 为参数，π4＜α设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0．于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α．又点P 的坐标(x ，y )＝t P cos α，＝－2＋t P sin α.所以点P＝22sin2α，＝－22－22cos2为参数，π4＜α[例3]以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝1，直线l＝1＋12t，＝2＋32t(t为参数)．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C′＝2x，′＝y得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M(x，y)，求x＋23y的最大值．[规范解答](1)直线l的普通方程为3x－y＋2－3＝0，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1.(2)′＝2x，′＝y，＝x′2，＝y′，代入C，得C′：x24＋y2＝1，曲线C′为椭圆．＝2cosθ，＝sinθ(θ为参数)，则x＋23y＝2cosθ＋23sinθ＝所以x＋23y的最大值为4．[例4]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－22ρ2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝π4，C1与C2相交于A，B两点.(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；(2)若P为C1上的动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围．[规范解答](1)由题意知，曲线C1与曲线C2的直角坐标方程分别为C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0.＋1)2＋(y－1)2＝4，－y＝0，＝－1，＝－1＝1，＝1，即A(－1，－1)，B(1，1)或A(1，1)，B(－1，－1).(2)设P(－1＋2cosα，1＋2sinα)，不妨设A(－1，－1)，B(1，1)，则|PA|2＋|PB|2＝(2cosα)2＋(2sinα＋2)2＋(2cosα－2)2＋(2sinα)2＝16＋8sinα－8cosα＝16＋82sin所以|PA|2＋|PB|2的取值范围为[16－82，16＋82]．[例5]在平面直角坐标系xOy 中，直线l＝－5＋22t ，＝5＋22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．[规范解答](1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0．(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度，得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1＝cos θ，＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin(θ＋φ)|2≥tan φ所以点P 到直线l 的距离的最小值为102．[例6]已知曲线C 1＝－4＋cos t ，＝3＋sin t(t 为参数)，曲线C 2＝8cos θ，＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3＝3＋2t ，＝－2＋t (t为参数)的距离的最小值．[规范解答](1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故2＋4cos θ，2＋32sin 曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5sin(θ＋φ)＋13|，从而当sin(θ＋φ)＝－1时，d 取最小值855．[例7]已知直线L ＝2＋t ，＝2－2t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2θ.(1)求直线L 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线L 夹角为π3的直线l ，设直线l 与直线L 的交点为A ，求|PA |的最大值．[规范解答](1)＝2＋t ，＝2－2t(t 为参数)，得L 的普通方程为2x ＋y －6＝0，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线L 的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos 2θ＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1.(2)由(1)，知直线L 的普通方程为2x ＋y －6＝0，设曲线C 上任意一点P (cos α，2sin α)，则点P 到直线L 的距离d ＝|2cos α＋2sin α－6|5，由题意得|PA |＝d sinπ3＝所以当1时，|PA |取得最大值，最大值为415(3＋2)15．[例8](2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C＝3cos θ，＝sin θ(θ为参数)，直线l＝a ＋4t ，＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a ．[规范解答](1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝04y －3＝0，y 2＝1，＝3，＝0＝－2125，＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3，0)－2125，(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17．当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917，由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16．综上，a ＝8或a ＝－16．[例9]在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin 2θ＝cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l＝2－22t ，＝22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．[规范解答](1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin 2θ＝ρcos θ中，得y 2＝x ，∴曲线C 的直角坐标方程为：y 2＝x .(2)＝2－22t ，＝22t ，代入y 2＝x 整理得，t 2＋2t －4＝0，Δ>0总成立．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，∵t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－4，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(－2)2－4×(－4)＝32．[例10]在平面直角坐标系中，直线l ＝t ＋1，＝3t ＋1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ1－cos 2θ．(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2，0)，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |．[规范解答](1)直线lt ，t (t 为参数)，消去t 可得直线的普通方程为y＝3(x －1)＋1＝ρcos θ，＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－3＋1＝0，由ρ＝2cos θ1－cos 2θ可得ρ2(1－cos 2θ)＝2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)直线l 的倾斜角为π3，∴直线l ′的倾斜角也为π3，又直线l′过点M (2，0)，∴直线l ′＝2＋12t ′，＝32t ′(t ′为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2－4t ′－16＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2，由一元二次方程的根与系数的关系知t ′1t ′2＝－163，t ′1＋t ′2＝43，∴|AB |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝4133．[例11]已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l ＝1＋t cosα，＝t sinα(t是参数)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝14，求直线l的倾斜角α的值．[规范解答](1)由ρ＝4cosθ得其直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)＝1＋t cosα，＝t sinα代入圆C的直角坐标方程得(t cosα－1)2＋(t sinα)2＝4，化简得t2－2t cosα－3＝0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2＋t2＝2cosα，t2＝－3，∴|AB|＝|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝4cos2α＋12＝14，∴4cos2α＝2，故cosα＝±22，即α＝π4或3π4.[例12](2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C ＝2cosθ，＝4sinθ(θ为参数)，直线l的＝1＋t cosα，＝2＋t sinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．[规范解答](1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1．当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝t a nα·x＋2－t a nα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1．(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0．又由①得t1＋t2＝－4（2cosα＋sinα）1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝t a nα＝－2．[例13]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极l的极坐标方程为ρa，且l过点A，曲线C1＝2cosα＝3sinα(α为参数)．(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；(2)过点B(－1，1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|·|BN|的值．[规范解答](1)由直线l过点A可得2cos a，故a＝2，则易得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点到直线l的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7(sin α＋φ)－2|2，其中sin φ＝277，cos φ＝217，所以d max ＝7＋22＝14＋222．即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222．(2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4，则直线l 1＝－1＋t cos3π4＝1＋t sin3π4(t 为参数)．易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 231．把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程可得72t 2＋72t －5＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以t 1t 2＝－107，根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107．[例14]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C ＝2cos θ，＝sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝83，求点M 轨迹的直角坐标方程．[规范解答](1)直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 的普通方程为x 22＋y 2＝1．(2)设点M (x 0，y0)，过点M 的直线为l 1：002x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，由直线l 1与曲线C 相交可得：3t 22＋2tx 0＋22ty 0＋x 20＋2y 20－2＝0，由|MA |·|MB |＝83，得t 1t 2＝|x 20＋2y 20－232|＝83，即x 20＋2y 20＝6，x 2＋2y 2＝6表示一椭圆，设直线l 1为y ＝x ＋m ，将y ＝x ＋m 代入x 22＋y 2＝1得，3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，由Δ>0得－3<m <3，故点M 的轨迹是椭圆x 2＋2y 2＝6夹在平行直线y ＝x ±3之间的两段椭圆弧．[例15]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为(3,，求|PA |＋|PB |．[规范解答](1)由ρθ=得220x y +-=，即22(5x y +-=．(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得2222(3)()522-+=，即240t -+=，由于24420∆=-⨯=>，故可设12, t t是上述方程的两实根，所以12124t t l P t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线过点，故由上式及t 的几何意义得：|PA |＋|PB |＝12||||t t +=12t t +=．[例16]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(1)求C 的直角坐标方程；(2)直线l＝12t ，＝1＋32t(t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点E ，求|EA |＋|EB |．[规范解答](1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)，得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得t 2－t －1＝0，点E 对应的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝5．1．参数方程化为普通方程技巧参数方程化普通方程：基本思路是消去参数．常用的消参方法有：①代入消参法；②加减消参法；③恒等式(三角的或代数的)消参法；④平方后再加减消参法等．其中代入消参法、加减消参法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消参法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x和y 的取值范围．2．求解参数方程问题的主要方法(1)直接利用参数方程求解，利用直线的参数方程中参数的几何意义．(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解，3．已知参数方程求距离或线段的长度的方法(1)曲线上的点点距离或点到直线的距离常用圆与椭圆的参数方程设圆与椭圆的点的坐标．然后用两点间的距离公式或点到直线的距离公式求长度．(2)过定点的直线上的有关长度的问题用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题．【对点训练】1．已知在一个极坐标系中点C(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C上任意一点，Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．1．解析(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－π3或π3－θ．由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcosθ－π3＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ＝(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，3)，可设圆C上任意一点P(1＋2cosα，3＋2sinα)，又令M(x，y)，由Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，得点M＝6＋2cosα2，＝2sinα2(α为参数)＝3＋cosα，＝sinα(α为参数)，∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1．2．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(－1，0)，其倾斜角为α．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋5＝0．(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．2．解析(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcosθ＋5＝0化为直角坐标方程为x2＋y2－6x＋5＝0.直线l＝－1＋t cosα，＝t sinα(t为参数)．＝－1＋t cosα，＝t sinα(t为参数)代入x2＋y2－6x＋5＝0整理得，t2－8t cosα＋12＝0.∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64cos2α－48≥0，∴cosα≥32或cosα≤－32.∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是0，π6∪56π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭，．(2)曲线C的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4＝3＋2cosθ，＝2sinθ(θ为参数)．∵M (x ，y )为曲线C 上任意一点，∴x ＋y ＝3＋2cos θ＋2sin θ＝3＋22sin(θ＋π4)，∴x ＋y 的取值范围是[3－22，3＋22]．3．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换12x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C ′，若M (x ，y )为曲线C ′上任一点，求x 2－3xy ＋2y 2的最小值，并求相应点M 的坐标．3．解析(1)直线的普通方程为3x －y －3＋2＝0．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4．(2)由题意得C ′：x 24＋y 2＝1．设M (x ，y )满足x ＝2cos θ，y ＝sin θ，则x 2－3xy ＋2y 2＝3＋θ所以当M 1x 2－3xy ＋2y 2的最小值为1．4．在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2＝cos θ，＝sin θ(θ为参数)。
参数方程最全版
参数方程1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是(t 为参数) (2)一般式 ：过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=的直线的参数方程是 (t 不参数) 2.圆的参数方程圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是(φ是参数)a,b 是圆的圆心坐标，半径为r 的圆，标准方程为：3.椭圆椭圆(a ＞b ＞0)的参数方程是(φ为参数)得出圆的方程4.极坐标互化公式常用的公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00ab⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x ()()222r b y a x =-+-12222=+by a x ⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 12222=+by a x ⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρcos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.1、已知直线的参数方程为，圆C 的参数方程为． (1)求直线和圆C 的普通方程； (2)若直线与圆C 有公共点，求实数的取值范围．2.. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．3在平面直角坐标系xOy 中, 直线的参数方程为(t 为参数),曲线C 的参数方程为 (为参数).试求直线和曲线C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标.4.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点A 在直线上。
高考数学三角函数参数方程历年真题2024精讲
高考数学三角函数参数方程历年真题2024精讲一、概述在高考数学中，三角函数参数方程是一个重要的考点。
本文将针对高考数学历年真题中关于三角函数参数方程的题目进行精讲，并提供详细的解题思路和步骤。
二、题型解析三角函数参数方程的题目一般分为两种类型：一种是已知参数方程，求函数表达式；另一种是已知函数表达式，求参数方程。
1. 已知参数方程，求函数表达式在这类题目中，通常给出一个或多个参数方程，要求将其转化为函数表达式。
解题的关键在于利用三角函数的基本属性和变换公式。
示例题目：【题目】已知参数方程：$\begin{cases}x=\sin(t)\\y=\cos(t)\end{cases}$求函数表达式。
解题思路：由已知参数方程可得：$x^2+y^2=\sin^2(t)+\cos^2(t)=1$因此，得到函数表达式为：$x^2+y^2=1$2. 已知函数表达式，求参数方程在这类题目中，题目一般给出一个函数表达式，要求将其转化为参数方程。
解题的关键在于根据已知函数表达式，找到合适的参数和参数的取值范围。
示例题目：【题目】已知函数表达式：$y=\sin(x)$，求参数方程。
解题思路：对于给定的函数表达式$y=\sin(x)$，我们可以将$x$作为参数，将其取值范围限定在$[-\pi, \pi]$之间，然后令$y$为$\sin(x)$的取值。
这样就可以得到参数方程：$\begin{cases}x=t\\y=\sin(t)\end{cases}$其中$t \in [-\pi, \pi]$三、历年真题精讲接下来，我们将通过历年高考数学真题，给出更多关于三角函数参数方程的题目解析。
【例题1】（广东省高考数学试题）【题目】已知参数方程：$\begin{cases}x=\sin(2t)\\y=\cos(t)\end{cases}$求函数表达式。
解题思路：将$x=\sin(2t)$和$y=\cos(t)$代入$x^2+y^2=1$，可以得到：$\sin^2(2t)+\cos^2(t)=1$利用三角函数的倍角公式和平方恒等式，可以整理得到：$\sin^2(2t)+\cos^2(t)=\frac{1}{2}(1-\cos(4t))+\frac{1}{2}(1+\cos(2t))=1 $化简得：$\frac{1}{2}\cos(4t)+\frac{1}{2}\cos(2t)=0$进一步化简得：$\cos(4t)+\cos(2t)=0$利用三角函数的和差化积公式，可得：$2\cos(3t)\cos(t)=0$解得$\cos(3t)=0$或$\cos(t)=0$。
极坐标与参数方程知识点+典型例题与详解(可编辑修改word版)
⎩ ⎩ 极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的函数，即⎧x = ⎨y = f (t ) f (t )并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：x = x 0 + t cos y = y 0 + t sin（t 为参数）其中参数 t 是以定点 P （x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M （x ，y ）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论．○1 ．设 A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则 AB ＝ t B -t A ＝．t A + t B．线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ．22. 中心在（x 0，y 0），半径等于 r 的圆：x = x 0 + r cosy = y 0 + r s in（为参数）3. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：x = a c os y = b s in（为参数） （或x = b c os ）y = a s in中 心 在 点 （ x0,y0） 焦 点 在 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 椭 圆 的 参 数 方 程⎧x = x 0 + a cos ,⎨y = y + b sin (为参数） .4. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：(t B - t A ) - 4t ⋅ t2A B○2 0x = a s ec （为参数） （或x = b tg）y = b tgy = a s ec5. 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：x = 2 pt 2 y = 2 pt（t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x ，y ），倾斜角为的直线的参数方程是⎧x = x 0 + t cos（t 为参数）．⎨⎩ y = y 0+ t sin（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O ，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
参数方程与极坐标方程例题和知识点总结
参数方程与极坐标方程例题和知识点总结一、参数方程参数方程是在数学中常用的一种表示曲线的方式，它通过引入一个参数来描述曲线上点的坐标。
（一）参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x$、＄y$都是某个变数$t$的函数：＼＼begin{cases}x ＝ f(t) ＼＼y ＝ g(t)＼end{cases}＼并且对于$t$的每一个允许的取值，由方程组所确定的点$（x,y)＄都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做曲线的参数方程，联系变数$x$、＄y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。
（二）参数方程的常见形式1、直线的参数方程若直线经过点$M(x_0,y_0)＄，倾斜角为$＼alpha$，则直线的参数方程为：＼＼begin{cases}x ＝ x_0 ＋ t\cos\alpha ＼＼y ＝ y_0 ＋ t\sin\alpha＼end{cases}＼（＄t$为参数）2、圆的参数方程圆心在点$（a,b)＄，半径为$r$的圆的参数方程为：＼＼begin{cases}x ＝ a ＋ r\cos\theta ＼＼y ＝ b ＋ r\sin\theta＼end{cases}＼（＄＼theta$为参数）3、椭圆的参数方程焦点在$x$轴上的椭圆：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$ （＄a ＞ b ＞ 0$）的参数方程为：＼＼begin{cases}x ＝ a\cos\varphi ＼＼y ＝ b\sin\varphi＼end{cases}＼（＄＼varphi$为参数）（三）参数方程的应用1、求曲线的轨迹方程例：已知点$M(x,y)＄在圆$x^2 ＋ y^2 ＝ 4$上运动，求点$N(2x 3, 2y ＋ 4)＄的轨迹方程。
设点$M(2\cos\theta, 2\sin\theta)＄，则点$N(4\cos\theta 3, 4\sin\theta ＋ 4)＄所以$x ＝ 4\cos\theta 3$，＄y ＝ 4\sin\theta ＋ 4$消去参数$＼theta$可得：＄（x ＋ 3)＾2 ＋（y 4)＾2 ＝ 16$2、参数方程在物理中的应用在研究物体的运动时，常常使用参数方程来描述物体的位置、速度等随时间的变化关系。
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参数方程一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。
二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：特殊：圆心是（0,0），半径为r 的圆：θθsin cos r y r x ==一般：圆心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数，θ的几何意义为圆心角），Eg1：已知点P （x ，y ）是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x 2+y 2的最值；（2）x+y 的最值；（3）点P 到直线x+y-1=0的距离d 的最值。
Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos θ （2） x=sin θ （3） x=t+t1y=3sin θ y=cos θ y=t 2+21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0）椭圆的参数方程：θθsin cos 00b y y a x x +=+=Eg ：求椭圆203622y x +=1上的点到M （2,0）的最小值。
3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec b y a x == （θ为参数，代表离心角），中心在（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec 00b y y a x x +=+=4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pt y pt x 222== （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。
三、一次曲线（直线）的参数方程过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式：bty y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当t 前面系数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x +++=+++=，让t b a 22+作为t ，则此时t 的几何意义是有向距离。
Eg ：求直线 x=-1+3ty=2-4t ，求其倾斜角.极坐标与参数方程练习题[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A．1(,2B ．31(,)42- C． D．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y = 5．点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3．已知直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。
4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
三、解答题1．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点， （1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2．求直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P与(1,5)Q -的距离。
3．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
[综合训练B 组]一、选择题1．直线l 的参数方程为()x a tt y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）A ．1tB ．12t C1 D1 2．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线3．直线112()2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3, 4．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 6．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）A．1404C二、填空题1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩为参数,t 0，则它的普通方程为__________________。
2．直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________。
3．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。
4．曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ=⋅，则曲线的直角坐标方程为________________。
5．设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。
三、解答题1．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。
2．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
极坐标与参数方程练习题答案[基础训练A 组]一、选择题1．D 2．B 3．C 4．C 5．C 6．C二、填空题1．54- 2．221,(2)416x y x -=≥ 3．524三、解答题1．解：（1）121x y ≤+≤；（2）12--≥a 2．34 3．554 [综合训练B 组]一、选择题1．C 2．D 3．D 4．A 5．D 6．C 二、填空题 1．2(2)(1)(1)x x y x x -=≠- 2．(3,1)- 34．2x y = 5．2224141t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 22()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =；当0x ≠时，241t x t =+； 而y tx =，即2241t y t =+，得2224141t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩三、解答题1．当cos()4πθ+=-max 12(25d =+；当cos()14πθ+=时，min 12(25d =。
2．解：（1）12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （2）2 附件1中药饮片第一章范围第一条本附录适用于中药饮片生产管理和质量控制的全过程。
第二条产地趁鲜加工中药饮片的，按照本附录执行。
第三条民族药参照本附录执行。
第二章原则第四条中药饮片的质量与中药材质量、炮制工艺密切相关，应当对中药材质量、炮制工艺严格控制；在炮制、贮存和运输过程中，应当采取措施控制污染，防止变质，避免交叉污染、混淆、差错；生产直接口服中药饮片的，应对生产环境及产品微生物进行控制。
第五条中药材的来源应符合标准，产地应相对稳定。
第六条中药饮片必须按照国家药品标准炮制；国家药品标准没有规定的，必须按照省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门制定的炮制规范或审批的标准炮制。
第七条中药饮片应按照品种工艺规程生产。
中药饮片生产条件应与生产许可范围相适应，不得外购中药饮片的中间产品或成品进行分包装或改换包装标签。
第三章人员。