高中数学必修一教案2.1指数函数

《指数函数》教学设计

一、教材分析

1、教学背景：

函数是整个高中数学的教学重难点，是必修一的主要内容。而这一节的内容以上一小节指数和指数运算为基础，进一步研究指数基本运算式b

=所构成的

N a

第一个函数形式x

y a

=，这就是学生在高中所学的第一个基本初等函数——指数函数。

对于学生而言，这是第一次尝试利用所学的函数基本概念和性质来分析具体函数的一节课，也是高中阶段第一次借助图像来分析函数性质的一节课。这节课要教会学生的不仅仅是指数函数的图像和性质本身，更是可用于今后研究一个具体函数（如：对数函数、幂函数、三角函数等）的一般方法，使图像和函数的关系在学生心中更加清晰，为整个高中数学中对函数的学习研究打下基础。因此，这节课的内容是十分重要的。

2、教学目标：

（1）知识目标：

①理解指数函数的概念；

②掌握指数函数的图像特征，如定点、变化情况；

③掌握指数函数的基本性质，如定义域、值域、单调性、函数值的分布等；（2）能力目标：

①培养学生观察、分析、归纳问题的能力；

②培养学生的数形结合和分类讨论的思想；

③增强学生的读图识图能力。

（3）情感目标：

①使学生进一步了解从抽象到具体（抽象函数与具体函数）、从现象到本质（由图像总结规律）、从特殊到一般（把研究指数函数的方法应用到对其他函数的研究中）的辩证思想，潜移默化地对学生进行辩证唯物主义教育；

②全课围绕指数函数图像进行分析，并不断地进行比较和归纳，培养学生用

比较思想分析问题的方法和钻研探究问题的兴趣，并延续到后面的学习当中。

3、教学重点与难点

指数函数对学生来说是一个全新的函数，学生对于一个抽象的函数形式往往缺乏最基本的感性认识，因此如何建立一个具体形象的“指数函数”概念是这节课的一个突破口。

（1）教学重点：指数函数图像及其性质的发现和总结。

（2）教学难点：指数函数图像性质与底数的关系。

二、教法学法分析

1、教法：

（1）从具体直观的图形出发，引导学生抽象出其中的客观规律；

（2）通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过动手操作、自主探究自行发现和总结问题；

（3）充分利用多媒体教学手段。

2、学法：

高一这个年龄段的学生思维活跃、求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导。因此本节课从学生原有知识和能力出发，以动手操作、观察分析、自主探究等多种形式相结合，由表及里、由感性到理性地认识事物及其规律，突破教学重难点。

三、教学基本流程和情境设计

1、引入：由两个应用问题引出指数函数定义。

（1）两个问题：

①细胞分裂问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是什么？

②碳14半衰期问题：函数关系式573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭

思考：这是一个什么样的函数？

（2）给出指数函数的定义：()01x y a a a =>≠且

思考：这个形式有什么特点？（回答：系数为1，底数为常数，指数为自变量x ）

思考：为什么要对常数a 有范围限制？（回答：没有研究意义）

（3）指数函数概念辨析：

①指出下列函数中哪些是指数函数（指数函数的形式）：

②函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值。（指数函数对系数和底数范围的限制）

2、认识：用“列表﹣描点﹣连线”的作图方法，画出指数函数2x y =的图像。

让学生自己动手，提醒学生注意，取2,1,0,1,2x =--五点即可。教师在黑板上规范作图，并要求学生修正自己的图像。

观察图像，思考：这个图像有什么特点？关注：过点、过象限、变化趋势、变化范围。（回答：过点(0,1)，呈上升趋势，全部在x 轴上方，当0x <时01y <<，当0x >时1y >）

3、探究：用同样方法作出函数113,,23x

x x y y y ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像。 （1）分小组讨论下列三个问题，然后派代表总结：

①这三个图像有什么共同点，有什么不同点？（回答：共同点：过点(0,1)，全部在x 轴上方，只单纯上升或下降；不同点：变化趋势和范围）

②这些共同点说明了什么？（回答：无论a 取什么值，当0x =时都有1y =；定义域为R ，值域为()0,+∞；函数单调递增或递减。）

③变化趋势为什么会不同？（回答：因为a 的取值不同，函数当1a >时单调递增，当01a <<时单调递减）

（2）利用指数函数单调性比较指数幂的大小：

①1.71>，指数函数 1.7x y =单调递增，2.5<3，所以；

②1233423⎛⎫ ⎪⎝⎭与：由34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭

图像知13304⎛⎫< ⎪⎝⎭<1，又由2x y =图像知2

321>所以1233324⎛⎫ ⎪⎝⎭<。 练习：比较大小：①0.8-0.1与0.8-0.2；②

（3）注意图像恒过点(0,1)的意义：无论a 取何值，它的0次方一定等于1。

迁移应用：函数323x y -=+的图像恒过定点____________。

4、延伸：观察图像，思考指数函数图像怎样随底数a 的变化而变化。

（1）几何画板展示：指数函数图像随底数a 从小到大变化的变化情况。

（2）变化特征归纳：

①a 从0到1再从1到+∞变化，曲线“逆时针旋转”；

②01a <<时，图像呈下降趋势，即函数单调递减，a 越小越靠近坐标轴；1a >时，图像呈上升趋势，即函数单调递增，a 越大图像越靠近坐标轴；总而言之，a 离1越“远”则图像越靠近坐标轴；

③1a =是转折点（当然在指数函数中规定1a ≠，这里只提出来作参照）。

（3）练习：

①如图是指数函数(1),(2),(3),(4)x x x x y a y b y c y d ====的图像，则a,b,c,d 与1的大小关系是________________。

②思考题：已知实数a,b 满足1123a b

⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则下列五个关系式中可能正确的是________________。

5、小结。

让学生自己思考总结：

（1）通过这节课的学习，我们学到了什么知识？

（2）我们通过什么研究方法得到这些结论？

（3）能不能将这节课所学内容与实际生活联系起来？

6、作业：巩固、反馈和延伸。

（1）《金牌作业本》本节作业。——巩固所学知识，反馈学习效果

（2）思考：今天所学的指数函数性质是由观察图像得到的，那么这些性质（如