浙教版八年级上数学特殊三角形

考点分析

1、掌握等腰三角形的性质及判定定理

2、掌握直角三角形的性质

3、特殊三角形在全等证明中的运用

4、掌握勾股定理的计算方法

知识点概要

1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形

2、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

PS:等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

3、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

4、直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余

（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（4）勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 题型分类例与练

考点一：等腰三角形性质在边、角上的应用

例1. （1）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为__________度．

（2）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）

A ．9cm

B ．12cm

C ．15cm

D ．12cm 或15cm

例2. 已知：如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DC ＝BC ．试求∠A 的度数． A B C D

练习 1，请写出周长为8cm ，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。

2. 在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，周长为14cm ，AC 边上的中线BD 把△ABC 分成了周长差为4cm 的两个三角形，求△ABC 各边长。

3. 一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。

4.已知：在 中， ， ， ，求 的度数.

考点二：三线合一、实际应用的图形转换

例3. 如图所示，已知D 、E 在BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．试说明：BD ＝CE ．

A

B C

D E F

分析：本题可以通过△ABD ≌△ACE 来证明结论，但如果抓住图形的“左右对称”构造“三线合一”来证明结论，就更为简捷．

例4. 如图所示，△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和BE 的交点，那么BH ＝AC 吗？说明道理．

A

B C

H D E

分析：由∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 可得△ABD 是等腰直角三角形，所以BD ＝AD ．BH 和AC 是R t △BHD 和R t △ACD 中对应的斜边．本题可以从考虑这两个直角三角形全等入手．

例5. 如图所示，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的中线，延长BC 到E 使CE ＝CD ，试说明△BDE 是等腰三角形．

A B

C D

E

分析：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的性质同样适用于等边三角形．本题中出现了一边上的中线，根据“三线合一”就可以找到解决本题的突破口．

例6 如图所示，上午9时，一条渔船从A 出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B 处，从A 、B 处望小岛C ，测得∠NAC ＝15°，∠NBC ＝30°．若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？

A

B

C D

15°

30°

N

分析：作CD ⊥BN 于D ，该渔船有无触礁危险，关键是看CD 与12.3的大小关系，若CD ＞12.3，则无触礁危险；若CD ≤12.3，则有触礁危险．故解决本题的关键是计算CD ．

练习

1. 如图，在△ABC 中，∠C=25°，AD ⊥BC ，垂足为D ，且AB+BD=CD ，则∠BAC 的度数是多少度。

2、如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△

AMN的周长为多少。

3、如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为

4、下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为．

过关检测

1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）

A. 6个

B. 7个

C. 8个

D. 9个

A

36°

E D

F

B

2选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）

A. 2cm

B. 8cm

C. 2cm或8cm

D.