2008年高考试题——数学理(湖北卷)

绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工农医类）
本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘巾在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3. 非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题
卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设()()()1,2,3,4,3,2a b c =-=-=，则()2a b c +=
A.(-15,12)
B.0
C.-3
D.-11 2. 若非空集合A ,B ,C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则 A.“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B. “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件
D. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”必要条件
3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为 A.
38π B. 3
28π
C.π28
D. 332π 4. 函数f (x )=)4323(11
22
+--+
+-x x x x n x
的定义域为
A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］
B.(-4,0) ∪(0,1)
C. ［-4,0］∪（0，1）］
D. ［－4，0∪（0，1） 5.将函数()3sin y x θ=-的图象F 按向量（3
π
，3）平移得到图象F ′,若F ′的一条对称轴是直线x=
4π
,则θ的一个可能取值是 A.π125 B. π125- C.
π1211 D. π12
11
6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的
方案种数为
A.540
B.300
C.180
D.150
7.若f(x)=2
1ln(2)2
x b x -
++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）
8.已知m ∈N*,a,b ∈R ，若0(1)lim
m x x a
b x
→++=,则a ·b = A ．-m B ．m C ．-1 D ．1
9.过点A （11，2）作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有
A.16条
B.17条
C.32条
D.34条 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①1122a c a c +=+;②1122a c a c -=-;③1212c a a c >;④
12
12
c c a a <. 其中正确式子的序号是
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设z 1是复数，211z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是-1，则z 2的虚部为 .
12．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .
13.已知函数()()2
2
2,962f x x x a f bx x x =++=-+,其中x ∈R ，a ,b 为常数，则方程
f (ax+b )=0的解集为 .
14.已知函数f(x)=2x ,等差数列{a x }的公差为2.若()2468104f a a a a a ++++=,则
()()()()212310log ...f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦= .
15.观察下列等式：
212221
3
2221
11,22
111,326111,424
n
i n
i n i i n n i n n n i n n n ====
+=++=++∑∑∑ 4
4431
1111,52330n
i i n n n n ==++-∑ 2
4,(1)(321),3
n n n n a n b a n +-=--+ ……………………………………
212112101
,n
k
k k k k k k k k i i
a n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑
可以推测，当x ≥2（k ∈N*）时，1111
,,12
k k k a a a k +-===+ a k -2= .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分） 已知函数f (t
17()cos (sin )sin (cos ),(,).12
g x x f x x f x x π
π=+∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成()[)()
sin 0,0,0,2A x B A ωϕωϕπ++>>∈的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.
17.（本小题满分12分）
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若,1,11a b E D ηξηη=+==,试求a,b 的值.
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面111A BC A ABB ⊥侧面.
（Ⅰ）求证：AB BC ⊥；
（Ⅱ）若直线AC 与平面1A B C 所成的角为θ,二面角1A B C A
--的大小为ϕ，试判断θϕ与的大小关系，并予以证明
.
19.（本小题满分13分）
如图，在以点O 为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线C 是满足MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P . （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F. 若△OEF 的面积不小于．．．
l 斜率的取值范围.
20.(本小题满分12分)
水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，
年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为
V （t ）=1
2(1440)50,010,4(10)(341)50,1012.
x t t e t t t t ⎧⎪
-+-+<≤⎨⎪--+<≤⎩
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第i 月份（i=1,2,…,12）,
问一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.
21.(本小题满分14分)
已知数列{}n a 和{}n b 满足：()()112,4,13213
n
n n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a ＜b ,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有
n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由
.
2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分.
1.C 解析：由题意可知：()25,6a b +=-
，()23a b c ∴+⋅=-
2.B 解析：由韦恩图，知Ｂ正确．
3.B 解析：
3433
R V π==
球，故B 为正确答案．
4.D
解析：要使函数有意义，则有2
20
320
3400x x x x x ≠⎧⎪-+≥⎪⎨--+≥≠
[)()4,00,1x ⇒∈-
5.A 解析：依题意可得图象F ，的解析式为3sin()33y x πθ=--+,当对称4
x π
=，根据
选项可知A 正确。

6.D 解析：将５分成满足题意的３份有１，１，３与２，２，１两种，所以共有
22333
535
3
322
150C C C A A A +=种方案
7.C 解析：由题意可知'
()02
b
f x x x =-+
<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)
b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-
8.A 解析：易知1,a =-由洛必达法则有1
00(1)(1)lim
lim 1m m x x x a m x m b x -→→+++===，所以a b m =-
． 9.C 解析：可知过点(11,2)A 的最短的弦长为10，最长的弦长为26,所以共有弦长为整数
有22(26111)32+--=。

10.B 解析：由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选Ｂ．
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分. 11.1 解
析
：
设
211,,
z bi z x yi =-+=+由复数相等有：
(
)()()1b i x
y
i i x y i x y y x i
-+=+--=-+-，则()1b y x y =-=--=
12.
612
解析：由余弦定理有，原式=16369936169163661
2222
+-+-+-++= 13.∅
解析：由题意知22()29622, 3.f bx b x bx a x x a b =++=-+⇒==-所以
2(23)4850,0f x x x -=-+=∆<，所以解集为∅。

14.-6
解析：依题意有246810112
25(10)105
a a a a a a a ++++==+⇒=
-。

而 []12310 (6123106)
2123102()()()()22,log ()()()()log 2 6.
a a a a f a f a f a f a f a f a f a f a ++++--==∴==-
15.
12
k
，0 解析：由观察可知当2k ≥时，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以112
k k a -=， 第四项均为零，所以20k a -=。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）
解：
（Ⅰ）()cos sin g x x x =
cos sin x x = 1sin 1cos cos sin .cos sin x x
x x x x
--=+
17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦ 1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x
--∴=+--
sin cos 2x x =+-
2.4x π⎛⎫+
- ⎪⎝⎭
（Ⅱ）由1712x ππ≤
＜，得55.443
x πππ
+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
上为增函数，
又5535sin
sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝
⎦），
即1sin()2)23424
x x π
π
-≤+-
≤+--＜，＜，
故g (x )的值域为)
2,3.⎡-⎣
17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）ξ的分布列为：
∴01234 1.5.22010205
E ξ=⨯+⨯
+⨯+⨯+⨯= 2222211131
(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.
22010205
ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2
，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以 当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b =4.
∴2,2a b =⎧⎨
=-⎩或2,
4
a b =-⎧⎨=⎩即为所求.
18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分） （Ⅰ）证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作 AD ⊥A 1B 于D ，则
由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC 侧面A 1ABB 1=A 1B ,得 AD ⊥平面A 1BC ,又BC ⊂平面A 1BC ， 所以AD ⊥BC .
因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， 则AA 1⊥底面ABC ， 所以AA 1⊥BC.
又AA 1 AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1， 又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC .
（Ⅱ）解法1：连接CD ，则由（Ⅰ）知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，
1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ
于是在Rt △ADC 中，sin ,AD AC θ=
在Rt △ADB 中，sin ,AD
AB
ϕ= 由AB ＜AC ，得sin sin θϕ＜，又02
π
θϕ＜，＜，所以θϕ＜，
解法2：由（Ⅰ）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分 别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，设AA 1=a ,AC =b , AB =c ,
则
B (0,0,0),
A (0,c ,0),
1(0,,),C A c a 于是
1(0,,),BC BA c a ==
1,0),(0,0,).AC c AA a =-=
设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，则
由10,0,n BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得0,0,cy az +=⎧= 可取n =(0,-a ,c )，于是0n AC ac AC =
＞，与n 的夹角β为锐角，则β与θ互为余角
.
sin cos n AC n AC θ-β==
11cos BA BA BA BA ϕ==
所以sin ϕ= 于是由c ＜b
即sin sin ,θϕ＜又0,2
π
θϕ＜，＜所以,θϕ＜
19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得
｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2
222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.
∴曲线C 的方程为12
22
2=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜
｜AB ｜＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为a b
y a x (122
22=-＞0，b ＞0）.
则由
.
4,
11)3(2222
22=+=-b a b
a 解得a 2=
b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12
22
2=-y x
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）
x 2-4kx-6=0.
∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴
,
0)1(64)4(,
012
2
2>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔
.
33,1<<-±≠k k
∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=
k x x k k --=-16
,142
12
,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=
++-
＝.132214)(12
2
2
212
212k
k k x x x x k --⋅
+=-+⋅+
而原点O 到直线l 的距离d ＝
2
12k
+，
∴S △DEF =.1322132211221212222
22k
k k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有
　解得.22,022********
2
≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③
综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).
解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.
∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴
.
0)1(64)4(,
012
2
2>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔
3
3,1<<-±≠k k .
∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 ｜x 1-x 2｜=.132214)(2
2
2
212
21k
k k
x x x x --=
-∆=
-+ ③
当E 、F 在同一去上时（如图1所示）， S △OEF ＝;2
1
212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=
-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.
+=∆∆O D F O EF S S S △ODE =
.2
1
)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝
,2
1
21x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =
.13222
2
k
k --
若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆O EF S
.22,022*******
2
≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④
综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.
20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）①当0＜t ≤10时，V (t )=(-t 2+14t -40),505044
1
<+e
化简得t 2-14t +40>0,
解得t ＜4，或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4. ②当10＜t ≤12时，V （t ）＝4（t -10）（3t -41）+50＜50, 化简得（t -10）（3t -41）＜0, 解得10＜t ＜
3
41
，又10＜t ≤12,故 10＜t ≤12. 综合得0<t <4,或10<t 12, 故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V (t )的最大值只能在（4，10）内达到.
由V ′（t ）=),8)(2(4
1)42341(41
24
1-+-=++-t t c t t c t
t
令V ′(t )=0,解得t=8(t=-2舍去).
当t 变化时，V ′(t ) 与V (t )的变化情况如下表：
由上表，V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e +50-108.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即
,0949
4
9494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(
3
2
a n -2n +14) =
32(-1)n ·（a n -3n +21）=-3
2b n 又b 1x -(λ+18),所以
当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴
3
2
1-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－3
2
为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－3
2）n -1
，于是可得 S n =-.321·)18(5
3⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+n ）－（－　λ 要使a <S n <b 对任意正整数n 成立， 即a <-
53(λ+18)·［1－（－3
2）n ］〈b(n ∈N +) ，则
令
得
)2
(1)()3
2(1)18(5
3
)3
2(1--=--<
+-<--n f b a n
n
λ ①
当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(95
;35<≤≤
n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 95
,
于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.183185
3
--<<--⇔a b b λ
当a <b ≤3a 时，由－b -18≥=-3a -18，不存在实数满足题目要求；
当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a <S n <b ,且λ的取值范围是（－b -18,-3a -18）.。