§3.2反证法和放缩法

§3.2反证法和放缩法

☆学习目标：1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法;

2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式☻知识情景：

1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．

20. 综合法和分析法．

30. 反证法、换元法、放缩法

2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,

通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.

用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒

⇒⇒ 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,

直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.

这是一种执 索 的思考和证明方法.

用分析法证明不等式的逻辑关系：

☻新知建构：

1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步 作出与所证不等式相反的假定；

第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例1 已知a +b +c > 0，a b +bc +c a >0，a bc >0，求证：a ,b ,c >0 .

例2 设233=+b a ，求证：2≤+b a 。

2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.

常用的换元有三角换元有：

10．已知2

22a y x =+，可设 ， ； 20．已知12

2≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )； 30．已知12222=+b y a x ，可设 ， . 例3 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ）

.A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞

例4 已知22

1x y +=，求证：y ax ≤-≤3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小

由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.

常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，

②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+-

③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+”

④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5(

)lg 4⋅<=<=；

⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +； ⑧利用常用结论：如：

2

=()*,1k N k ∈>，

2

=<=()*,1k N k ∈> ⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯ 例5 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-< 例6求证：.332113*********<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n

例7 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<

c a

d d b d c c a c b b d b a a 课后作业

1、若R y x ∈,+，且2>+y x ，则21<+x

y 和21<+y x 至少有一个成立。 2、已知 1≤22

x y +≤2，求证：12

≤22x xy y -+≤3 3、求证：223111112212n n n -<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)

4、求证：21

<⋅⋅⋅+<()*n N ∈ 教学反思：把握教材，注重通性通法的教学、做好学习方法的指导工作