高三年级第三次联考试卷理科数学
第三次六校联考高三数学(理科)试题
主视图左视图222第三次六校联考 高三数学（理科）试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 第 Ⅰ 卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是非空集合，命题甲：AB B =，命题乙：A B ⊂≠，那么 （ ）A.甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 2.复数21ii =- （ ）A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i --3.已知点(,)N x y 在由不等式组002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域内，则(,)N x y 所在平面区域的面积是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84.等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为 （ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 165. 函数21log 1xy x+=-的图像 （ ） A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A.B.7.已知平面,,αβγ，直线,m l ，点A ，有下面四个命题： A . 若l α⊂，mA α=则l 与m 必为异面直线；B. 若,l l m α则m α；C. 若 , , ,l m l m αββα⊂⊂则 αβ；D. 若 ,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥，则l α⊥.其中正确的命题是 （ ）8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完段、黄“电子狗”爬完段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ） A. 0B. 1C.2D.3第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9. 021x dx --=⎰.10.函数2()sin cos 2f x x x =+,x R ∈的最小正周期为 11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ， 1=BC ，D 为斜边AB 的中点，则 ⋅= .12.若双曲线22219x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为320x y -=，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…， 右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相应最后的输出S 的值是__________.ONMBA（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2πρθ=-+，cos()104πθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为________.15．（几何证明选讲选做题） 如图，点M 为O 的弦AB 上的一点，连接MO .MN OM ⊥，MN 交圆于N ，若2MA =，4MB =，则MN = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积， （1）若(2sin cos ,sin cos )2B a B B B =-，(sin cos ,2sin )2Bb B B =+，//a b ，求角B 的度数；（2）若8a =，23B π=，S =b 的值.17（本小题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和4假设两人射击是否击中目标，相互 之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ. （结果可以用分数表示）图1图218. （本小题满分14分）如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC的中点，1,DC =BC =，AB AD ==将（图1）沿直线折起，使二面角A BD C --为060（如图2） （1）求证：AE ⊥平面BDC ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点B 到平面ACD 的距离.19（本小题满分14分）已知函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++ .（1）设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值; （2）a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.20.（本小题满分l4分）如图，P 是抛物线C ：212y x =上横坐标大于零的一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 与抛物线C 相交于另一点Q .（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）若0OP OQ ⋅=，求过点,,P Q O 的圆的方程.21. （本小题满分l4分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，正数数列{}n b 中 ,2e b = (e 为自然对数的底718.2≈)且*N n ∈∀总有12-n 是n S 与n a 的等差中项，1 1++n n n b b b 与是的等比中项.(1) 求证: *N n ∈∀有nn n a a 21<<+；(2) 求证：*N n ∈∀有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a .。
2023湘豫名校联考高三5月第三次模拟考试 理科数学试题(含答案解析)
数学(理科)参考答案 第1 页(共9页)湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号123456789101112答案C C B B C D D C D A A B一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C ʌ命题意图ɔ本题考查元素与集合的关系,考查数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ因为U ={1,2,3,4,5},∁U A ={2,4},所以A ={1,3,5}.又∁UB ={3,4},所以B ={1,2,5}.所以3ɪA ,3∉B .故选C .2.C ʌ命题意图ɔ本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由i 3=a -b i (a ,b ɪR ),得-i =a -b i .所以a =0,b =1.所以a +b =1.故选C .3.B ʌ命题意图ɔ本题考查向量的投影,考查直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题知,向量b =a +b -a =(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a ㊃b =-2+12=10.又|b |=4+16=25.所以向量a 在向量b 方向上的投影为a ㊃b |b |=1025=5.故选B .4.B ʌ命题意图ɔ本题考查排列组合㊁古典概型,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C 13C 24C 222+C 14㊃C 33()㊃A 2234=3ˑ3+4()ˑ234=1427.故选B .5.C ʌ命题意图ɔ本题考查双曲线的标准方程,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ设双曲线C 1的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),因为C 1和C 2有相同的焦距,双曲线C 2:x 27-y 2=1的焦距为42,所以双曲线C 1的焦距2c =42.若C 1的焦点在x 轴上,将点(3,1)代入x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),得32a 2-12b2=1①.又a 2+b 2=c 2=8②,联立①②两式得a 2=6,b 2=2.所以双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1.若C 1的焦点在y 轴上,将点(3,1)代入y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),得12a2-32b2=1③.又a 2+b 2=c 2=8④,联立③④两式得a 2=9-73,b 2=73-1,所以双曲线C 1的标准方程为y 29-73-x 273-1=1.综上所述,双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1或y 29-73-x 273-1=1.故选C .6.D ʌ命题意图ɔ本题考查四个平均数的大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ方法一:a b ɤa +b 2()2=14(当且仅当a =b 时取等号),A 正确;易知a +b 2ɤa 2+b 22,则12ɤa 2+b 22,即a 2+b 2ȡ12(当且仅当a =b 时取等号),B 正确;由题得1a +1b +1=11-b +1b +1=21-b 2,1-b 2ɪ(0,1),故1a +1b +1>2,C 正确;易知a +b 2ɤa +b 2=12,即a +b ɤ2(当且仅当a =b 时取等数学(理科)参考答案 第2 页(共9页)号),D 错误.故选D.方法二(特殊情况):取a =b =12,则a +b =12+12=2,故D 错误.故选D.7.D ʌ命题意图ɔ本题考查程序框图,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ执行程序框图,第一次循环:1<5,M =12+12=2,b =2,a =0,n =2;第二次循环:2<5,M =02+22=4,b =1,a =2,n =3;第三次循环:3<5,M =22+12=5,b =3,a =3,n =4;第四次循环:4<5,M =32+32=18,b =4,a =16,n =5;第五次循环:5=5,M =162+42=272,b =17,a =270,n =6,此时6>5,退出循环,输出M =272.故选D .8.C ʌ命题意图ɔ本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ1y +x ()(x +3y )6=1y (x +3y )6+x (x +3y )6.(x +3y )6的展开式的通项为T r +1=C r 6x 6-r (3y )r =C r 63r x 6-r y r .因为1y (x +3y )6的展开式中没有x 4y 3项,x (x +3y )6的展开式中x 4y 3项为x ˑC 3633x 3y 3=540x 4y 3,所以1y+x ()(x +3y )6的展开式中x 4y 3的系数为540.故选C .9.D ʌ命题意图ɔ本题考查等差数列的基本运算,数列的前n 项和,考查数学抽象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则由a 1+a 8=2a 5-2,a 3+a 11=26,{得a 1+a 1+7d =2(a 1+4d )-2,a 1+2d +a 1+10d =26,{化简得7d =8d -2,2a 1+12d =26,{解得a 1=1,d =2.{所以a n =1+(n -1)ˑ2=2n -1.设数列a n ㊃c o s n π{}的前n 项和为S n ,则S 2022=-a 1+a 2-a 3+a 4- -a 2021+a 2022=(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+ +(a 2022-a 2021)=1011d =2022.故选D .10.A ʌ命题意图ɔ本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ在әP A Q 中,设A Q =x ,则P Q =x 2+(2)2=x 2+2.所以әP A Q 的周长为2+x +x 2+2ȡ1+2+3.所以x 2+2ȡ1+3-x ,不等式两边平方,得x 2+2ȡ4+23-2(1+3)x +x 2,解得x ȡ1,即A Q 的最小值是1.所以点A 到边B C 的距离为1.当A Q 取最小值时,因为在R t әA B Q 中,A B =2,所以øB A Q =60ʎ.又øB A C =60ʎ,所以C ,Q 两点重合,所以øA C B =90ʎ,即A C ʅB C .又P A ʅ平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以P A ʅB C .因为P A ɘA C =A ,所以B C ʅ平面P A C .因为P C ⊂平面P A C ,所以B C ʅP C .因为P B 是R t әP A B 和R t әP C B 的公共斜边,所以P B 为三棱锥P A B C 的外接球的直径,设外接球的半径为R ,则R =12P B =12P A 2+A B 2=12(2)2+22=62,所以三棱锥P A B C 的外接球的体积V =43πR 3=43πˑ62æèçöø÷3=6π.故选A .11.A ʌ命题意图ɔ本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象㊁数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ如图,不妨设点A 在x 轴上方,由抛物线的定义可知|A F |=|AM |,因为øF MD =30ʎ,所以øAM F =90ʎ-30ʎ=60ʎ,所以әAM F 是正三角形.由y 2=4x 可知F (1,0),D (-1,0),设A (x A ,y A ),B (x B ,yB ),因为øF M D =30ʎ,|D F |=2,所以|D M |=23,|M F |=|AM |=4.所以x A =4-1=3.所以点A 的坐标为(3,23),所数学(理科)参考答案 第3 页(共9页)以直线A B 的方程为y -230-23=x -31-3,整理得y =3x -3.由y =3x -3,y 2=4x ,{得3x 2-10x +3=0,解得x A =3,x B =13.将x B =13代入直线A B 的方程,得y B =3ˑ13-3=-233.所以点B 的坐标为13,-233æèçöø÷.所以S 四边形A M D B =S 四边形A M D F +S әB D F =12ˑ(2+4)ˑ23+12ˑ2ˑ233=2033.故选A .12.B ʌ命题意图ɔ本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔa =11+e 2=1-11e 2+1,b =1e =1e 2,c =l n 1+e 2e 2=l n 1e 2+1(),令f (x )=x -l n (x +1),0<x <1,则f '(x )=1-1x +1=x x +1>0,所以f (x )在(0,1)上单调递增.所以f (x )>f (0)=0,即x >l n (x +1).令g (x )=l n (x +1)-1+1x +1,0<x <1,则g '(x )=1x +1-1(x +1)2=x (x +1)2>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增.所以g (x )>g (0)=0,即l n (x +1)>1-1x +1.又当0<x <1时,x >x ,所以当0<x <1时,x >x >l n (x +1)>1-1x +1.所以当x =1e 2时,1e 2>1e 2>l n 1e 2+1()>1-11e 2+1,即b >c >a .故选B .二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14x -y -8=0 ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题得f '(x )=6x 2+8x ,所以曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f '(1)=14.又f (1)=6,所以曲线f (x )=2x 3+4x 2在点(1,f (1))处的切线方程为y -6=14ˑ(x -1),即14x -y -8=0.14.3(答案不唯一,答对即可得分) ʌ命题意图ɔ本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ因为圆心C (a ,1)到直线l 的距离d =|a -1|12+(-1)2=|a -1|2,所以r =d 2+|A B |2()2=|a -1|2æèçöø÷2+(2)2,即r 2=|a -1|22+2.由题意,得|a -1|22必为整数,且0<|a -1|2<r ,所以可取a =-1或a =3,此时r =2.因此a 的值可以取3.15.7或8(只答一个不得分) ʌ命题意图ɔ本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题可知a 4ʂ0,因为8a 7=a 4,所以q 3=a 7a 4=18,解得q =12.又S 6=252,所以a 11-12()6[]1-12=252,解得a 1=128.所以a n =128ˑ12()n -1.令a n =128ˑ12()n -1ɤ1,得n ȡ8.又a 8=128ˑ12()7=1,所以当n =7或8时,a 1a 2 a n 最大.16.15π ʌ命题意图ɔ本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题图知A =2.由f 3π4-x ()=f (x )知,函数f (x )的图象关于直线x =3π8对称.则由图象可知3π8--π8()=K 2T (K ɪN *),解得T =πK (K ɪN *).又π8<T 4,所以T >π2.所以K =1,最小正周期T =π.所以ω=2πT =2.所以f (x )=2s i n (2x +φ).因为函数f (x )的图象经过点-π8,-2(),所以f -π8()=数学(理科)参考答案 第4 页(共9页)2s i n -π4+φ()=-2,解得φ=-π4+2k π(k ɪZ ).又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f (x )=2s i n 2x -π4().设方程f (x )=1在(0,λ)上的8个根从小到大依次为x 1,x 2, ,x 8.令2x -π4=π2,则x =3π8.根据f (x )的图象的对称性,可得x 1+x 22=3π8.由f (x )的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8,x 5+x 62=3π8+2T =19π8,x 7+x 82=3π8+3T =27π8,所以ð8i =1x i =2ˑ3π8+11π8+19π8+27π8()=15π.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ʌ命题意图ɔ本题考查解三角形,三角形的面积与周长,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为3a s i n C +c c o s A =a +b ,所以由正弦定理得3s i n A s i n C +s i n C c o s A =s i n A +s i n B .1分…………………………………………………………………………………………………………………因为B =π-A -C ,所以s i n B =s i n (π-A -C )=s i n (A +C )=s i n A c o s C +c o s A s i n C ,所以3s i n A s i n C =s i n A c o s C +s i n A .3分……………………………………………………………………因为A ɪ(0,π),所以s i n A ʂ0,所以3s i n C =c o s C +1,即3s i n C -c o s C =1.4分………………………所以2s i n C -π6()=1,即s i n C -π6()=12.5分………………………………………………………………又C ɪ(0,π),所以C =π3.6分…………………………………………………………………………………(2)因为әA B C 的面积为3,所以12a b s i n C =3.由(1)知C =π3,所以a b =4①.8分……………………………………………………………………………由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C ,又c =2,所以a 2+b 2=8②.10分………………………………………………………………………………由①②解得a =b =2.11分………………………………………………………………………………………故әA B C 的周长为a +b +c =6.12分……………………………………………………………………………18.ʌ命题意图ɔ本题考查独立性检验思想㊁离散型随机变量的分布列与数学期望,考查逻辑推理㊁数学运算㊁数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为套餐价格在[898,1498]内的频率为(0.00100+0.00050+0.00025)ˑ200=0.35,所以选择 尊享套餐 的客户有0.35ˑ200=70(名).2分………………………………………………………完善2ˑ2列联表如下:选择 尊享套餐 选择 普通套餐合计年龄不低于45岁5070120年龄低于45岁206080合计70130200K 2的观测值k =200ˑ(50ˑ60-70ˑ20)2120ˑ80ˑ70ˑ130ʈ5.861<6.635.4分……………………………………………所以没有99%的把握认为是否选择尊享套餐 与年龄有关.5分……………………………………………数学(理科)参考答案 第5 页(共9页)(2)由题设,年龄低于45岁的所有客户中,估计选择 普通套餐 的概率为6080=34,6分……………………易知ξ~B 3,34().7分……………………………………………………………………………………………所以P (ξ=0)=C 03ˑ34()0ˑ14()3=164,P ξ=1()=C 13ˑ34()1ˑ14()2=964,P (ξ=2)=C 23ˑ34()2ˑ14()1=2764,P ξ=3()=C 33ˑ34()3ˑ14()0=2764,9分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P1649642764276410分………………………………………………………………………………………………………………所以E (ξ)=3ˑ34=94.12分……………………………………………………………………………………19.ʌ命题意图ɔ本题考查面面垂直的证明㊁三棱柱的体积㊁二面角等,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)方法一(几何法):如图,作C E ʅA B 于点E ,E F ʊB B 1交A B 1于点F ,连接D F .因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分……………………………………………………………所以C E =A C ㊃B C A B =2ˑ313=61313.由勾股定理得A E =A C 2-C E 2=22-61313æèçöø÷2=41313,所以E F B B 1=A E A B =4131313=413=C D C C 1,所以E F =C D .3分………………………………………………………又E F ʊB B 1,C D ʊB B 1,所以E F ʊC D .所以四边形E F D C 是平行四边形,所以D F ʊC E .4分…………………………………………………………因为平面A B C ʅ平面A B B 1A 1,平面A B C ɘ平面A B B 1A 1=A B ,C E ʅA B ,所以C E ʅ平面A B B 1A 1.5分……………………………………………………………………………………所以D F ʅ平面A B B 1A 1.又D F ⊂平面A B 1D ,所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………方法二(向量法):因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分………………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设C C 1=a (a >0),则A (2,0,0),A 1(2,0,a ),B 1(0,3,a ),D 0,0,4a 13().数学(理科)参考答案 第6 页(共9页)所以A B 1ң=(-2,3,a ),A D ң=-2,0,4a 13(),A A 1ң=(0,0,a ).2分………设平面A B 1D 的法向量为m =(x ,y ,z ),由m ㊃A B 1ң=-2x +3y +a z =0,m ㊃A D ң=-2x +4a z 13=0,{得x =2a z 13,y =-3a z 13.ìîíïïïï令z =13,得平面A B 1D 的一个法向量为m =(2a ,-3a ,13).3分………设平面A B B 1A 1的法向量为n =(x ',y',z '),由n ㊃A B 1ң=-2x '+3y '+a z '=0,n ㊃A A 1ң=a z '=0,{得y '=23x ',z '=0.{令x '=3,得平面A B B 1A 1的一个法向量为n =3,2,0().4分…………………………………………………因为m ㊃n =6a -6a +0=0,所以m ʅn .5分……………………………………………………………………………………………………所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………………………………(2)因为直三棱柱A B C A 1B 1C 1的体积为392,所以12ˑ2ˑ3ˑC C 1=392,解得C C 1=132.所以C D =2,C 1D =92.7分………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B 10,3,132(),D (0,0,2),所以A B 1ң=-2,3,132(),A D ң=(-2,0,2).8分…………………………设平面A B 1D 的法向量为u =(x 1,y1,z 1),由u ㊃A B 1ң=-2x 1+3y 1+132z 1=0,u ㊃A D ң=-2x 1+2z 1=0,{得y 1=-32z 1,x 1=z 1.{令z 1=2,得平面A B 1D 的一个法向量为u =(2,-3,2).9分……………易知平面B B 1D 的一个法向量为v =(1,0,0),10分……………………设二面角A B 1D B 的大小为θ,则c o s θ=u ㊃v |u ||v |=(2,-3,2)㊃(1,0,0)17ˑ1=21717.易知θ为锐角,所以二面角A B 1D B 的余弦值为21717.12分………………………………………………………………20.ʌ命题意图ɔ本题考查椭圆的标准方程㊁直线与椭圆的位置关系㊁三角形的周长等,考查直观想象和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)依题意,әMN F 2的周长为|M F 2|+|MN |+|N F 2|=|M F 1|+|M F 2|+|N F 1|+|N F 2|=4a =12,解得a =3.1分……………………………………………………………………………………………………数学(理科)参考答案 第7 页(共9页)设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的离心率为23,所以e =c a =23,即c 3=23,解得c =2.2分……………………………………………………………………因为a 2=b 2+c2,所以b =a 2-c 2=32-22=5.3分…………………………………………………………………………所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1.4分……………………………………………………………………(2)由(1)知,F 1(0,2),A (0,3).易知直线l 的方程为y =k x +2(k ʂ0).5分…………………………………由y =k x +2,y 29+x 25=1,{消去y 得(5k 2+9)x 2+20k x -25=0,Δ>0.6分……………………………………………设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-20k 5k 2+9,x 1x 2=-255k 2+9.7分………………………………………所以k 1=y 1-3x 1=k x 1+2-3x 1=k x 1-1x 1,k 2=y 2-3x 2=k x 2+2-3x 2=k x 2-1x 2.8分………………………………所以k 1+k 2=k -1x 1+k -1x 2=2k -x 1+x 2x 1x 2=65k .k 1㊃k 2=k-1x 1()㊃k -1x 2()=k 2-k ˑx 1+x 2x 1x 2+1x 1x 2=-925.所以1k 1+1k 2=k 1+k 2k 1㊃k 2=-103k .11分……………………………………………………………………………所以1k 1k 1+1k 2()=-103,为定值.12分………………………………………………………………………21.ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)由f (x )=e x -s i n x -c o s x -12a x 2,得f '(x )=e x-c o s x +s i n x -a x .1分……………………所以曲线y =f (x )在点π4,fπ4()()处的切线的斜率为f 'π4()=e π4-π4a .2分…………………………所以e π4-π4a =e π4-π,解得a =4.4分…………………………………………………………………………(2)由(1)知,f'(x )=e x-c o s x +s i n x -a x ,所以不等式f '(x )ȡl n (1-x ),即e x-c o s x +s i n x -a x -l n (1-x )ȡ0对任意x ɪ(-ɕ,1)恒成立.5分…………………………………………………………………………………………………………………令g (x )=e x+s i n x -c o s x -a x -l n (1-x )(x <1),则g '(x )=e x+c o s x +s i n x -a +11-x .6分……………………………………………………………………因为g (x )ȡ0,g (0)=0,所以∀x ɪ(-ɕ,1),g (x )ȡg (0),即g (0)为g (x )的最小值,x =0为g (x )的一个极小值点.所以g '(0)=e 0+c o s 0+s i n0-a +11-0=0,解得a =3.7分…………………………………………………当a =3时,g (x )=e x+s i n x -c o s x -3x -l n (1-x )(x <1),所以g '(x )=e x +c o s x +s i n x -3+11-x =e x+2s i n x +π4()-3+11-x.8分……………………………数学(理科)参考答案 第8 页(共9页)令φ(x )=e x+11-x -3,h (x )=2s i n x +π4(),易知φ(x )在(-ɕ,1)上单调递增.①当0ɤx <1时,[φ(x )]m i n =φ(0)=-1,[h (x )]m i n =h (0)=1,所以g '(x )ȡg '(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),所以g (x )在[0,1)上单调递增.9分…………………………………………………………………………………………………………………②当x <0时,若-π2ɤx <0,则φ(x )<φ(0),h (x )<h (0),所以g '(x )<g '(0)=0;若x <-π2,则φ(x )<φ-π2()=e -π2+2π+2-3,h (x )ɤ2,所以g '(x )<e -π2+2-3+2π+2<12+32-3+2π+2<0.所以g (x )在(-ɕ,0)上单调递减.11分…………………………………………………………………………综上所述,g (x )在(-ɕ,0)上单调递减,在[0,1)上单调递增.所以当a =3时,g (x )ȡg (0)=0.12分…………………………………………………………………………(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.ʌ命题意图ɔ本题考查极坐标与参数方程,考查直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为直线l 的参数方程为x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数),所以消去参数t 可得直线l 的普通方程为x -3y =0.2分……………………………………………………因为曲线C 的极坐标方程为ρ=2s i n θ+π6(),即ρ=3s i n θ+c o s θ,所以ρ2=3ρs i n θ+ρc o s θ.由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,{得x 2+y 2-x -3y =0.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-x -3y =0.4分……………………………………………………(2)因为点P 的极坐标为23,π6(),所以点P 的直角坐标为(3,3).易得点P 在直线l 上,将直线l 的参数方程x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数)代入x 2+y 2-x -3y =0,6分………………………………化简得t 2-33t +6=0,Δ>0.设A ,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=33,t 1t 2=6,8分………………………………………所以t 1>0,t 2>0.所以1|P A |+1|P B |=1|t 1|+1|t 2|=1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=336=32.10分………………………………………23.ʌ命题意图ɔ本题考查绝对值不等式的求解,绝对值不等式恒成立问题,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.数学(理科)参考答案 第9 页(共9页)ʌ解析ɔ(1)当a =2时,f (x )=|x +4|+|x -4|,1分……………………………………………………………不等式f (x )ɤ13,即为|x +4|+|x -4|ɤ13.则x ɤ-4,-(x +4)-(x -4)ɤ13,{或-4<x <4,(x +4)-(x -4)ɤ13,{或x ȡ4,(x +4)+(x -4)ɤ13.{3分……………………解得-132ɤx ɤ-4或-4<x <4或4ɤx ɤ132.4分……………………………………………………………故不等式f (x )ɤ13的解集为-132,132[].5分…………………………………………………………………(2)f (x )=|x +4|+|x -2a |ȡ|x +4-(x -2a )|=|2a +4|(当且仅当(x +4)(x -2a )ɤ0时等号成立)6分…………………………………………………………………………………………………………………因为f (x )ȡa 2+5a 恒成立,所以|2a +4|ȡa 2+5a .7分………………………………………………………所以2a +4ȡa 2+5a ①或2a +4ɤ-(a 2+5a )②.8分…………………………………………………………由①解得-4ɤa ɤ1,由②解得-7-332ɤa ɤ-7+332.9分………………………………………………综上所述,-7-332ɤa ɤ1,故实数a 的取值范围是-7-332,1[].10分………………………………。
高三数学第三次联考试题理含解析试题
“皖南八校〞2021届高三第三次联考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理科〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.的实部与虚部相等，那么实数的值是〔〕A. B. C. 5 D. 2【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，结合条件即可求出a的值．【详解】∵复数的实部与虚部相等，∴，∴.应选B.【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，是根底题．，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【详解】或者，，那么.应选A.【点睛】此题考察了交集的概念及运算，属于根底题．3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，理解他们对今年HY的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如下图，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。
【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确；应选A。
【点睛】此题主要考察了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题。
，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将两等式两边分别平方相加，结合同角的平方关系和两角差的正弦公式，化简整理，即可得到所求值．【详解】，①，②①2+②2，可得〔sin2α+cos2α〕+〔sin2β+cos2β〕-2〔sinαcosβ-cosαsinβ〕，即为2-2sin〔α-β〕，即有sin〔α-β〕，应选：D．【点睛】此题考察三角函数的求值，注意运用平方法和三角函数的恒等变换公式，考察了化简整理的运算才能，属于根底题．的大数图象为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，应选A.【点睛】此题主要考察了函数图象的识别，其中解答中纯熟应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.6.七巧板是古代中国劳动人民创造的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形一共七块板组成.清陆以湉?冷庐杂识?卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，假设在此正方形中任取一点，那么此点取自阴影局部的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出阴影局部的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案.【详解】设正方形的边长为4，那么正方形的面积为，此时阴影局部所对应的直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为，所以阴影局部的面积为，根据几何概型，可得概率为，应选A.【点睛】此题主要考察了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的根本领件对应的“几何度量〞，再求出总的根本领件对应的“几何度量〞，然后根据求解，着重考察了分析问题和解答问题的才能.7.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，再由体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，所以几何体的体积为：，应选D.【点睛】此题考察了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图复原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的外表积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.8.，满足约束条件，假设目的函数的最小值为-5，那么的最大值为〔〕A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】由目的函数z＝3x+y的最小值为`-5，可以画出满足条件的可行域，结合目的函数的解析式形式，分析获得最优解的点的坐标，得到参数的取值，然后求出目的函数的最大值即可．【详解】画出x，y满足的可行域如以下图：z＝3x+y变形为y=-3x+z，其中z表示直线的截距，可得在直线与直线＝0的交点A处，使目的函数z＝3x+y获得最小值-5，当过点B时，目的函数z＝3x+y获得最大值，故由，解得x＝-2，y＝1，代入＝0得a=1，由⇒B〔3，-4〕当过点B〔3，-4〕时，目的函数z＝3x+y获得最大值，最大值为5．应选：D．【点睛】此题考察了含参数的线性规划问题，当约束条件中含有参数时，可以先大致画出几个不等式对应的平面区域，分析获得最优解是哪两条直线的交点，再代入求解，此题属于中档题．9.是椭圆：的右焦点，为椭圆上一点，，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F′，那么有|PF|+|PF′|＝，而所求|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，从而求出|PA|+|PF|的最大值．【详解】如图，设椭圆的左焦点为F′，那么|PF|+|PF′|＝；又F′〔﹣1，0〕，|AF′|，∴|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，根据图形可以看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大，为|AF′|，∴|PA|+|PF|的最大值为，应选：D．【点睛】此题考察椭圆的HY方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于第三边的几何知识，考察了数形结合思想，属于中档题．的四个顶点都在球的球面上，的外表积为，那么三棱锥体积的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据是正三角形，可得面积及外接圆的半径，利用垂径定理可得，可求得三棱锥高的最大值，进而求得体积的最大值.【详解】由题意得的面积为，又设的外心为，那么，由，得，∵面∴.∴球心O在棱锥内部时，棱锥的体积最大．此时三棱锥高的最大值为，∴三棱锥体积最大值为.应选A.【点睛】此题考察了有关球的组合体问题，考察了垂径定理的应用，考察了空间想象才能，属于中档题.，假设对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，且，解得，根据且，结合图象，即可求解。
高三年级第三次检测数学(理科)试卷
高三年级第三次检测数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U={0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，集合M={0，﹣1，﹣2}，N={0，﹣3，﹣4}，则（∁U M ）∩N=（ ） A ．{0}B ．{﹣3，﹣4}C ．{﹣4，﹣2}D ．φ2．复数32iz i-+=+的共轭复数是（ ）A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i3．y f x =（）是定义域在R 上的函数，则y f x =（）为奇函数的一个充要条件为（ ） A ．00f =（） B ．0x R f x ∀∈=对，（）都成立 C ．0000x R f x f x ∃∈+=，使得（）（﹣） D ．0x R f x f x ∀∈+=对，（）（﹣）都成立 4．cos xdx π=⎰（ ）A ．1B ．﹣2C ．0D ．π5．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．i ≤4 ？B ．i ≤5 ？C ．i ≤6 ？D ．i ≤7 ？6．为等比数列，472a a +=，568a a ⋅=-，则110a a +=（ ） A ．7 B ．5 C ．-5 D ．-7 7．将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．524π C ．4πD ．724π 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6πB ．103πC ．3πD ．83π9．对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．[﹣2，+∞）C ．[﹣2，2]D ．[0，+∞）10．数列{}n a 中，372,1a a ==，又数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则8a =（ ）A ．0B ．12 C ．1113D ．－1 11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） ABC1 D1-12．已知函数()()ln xe f x a x x x=+-，在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个不同的极值点（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．()e e --,B ．()e e --,2C ．()0,e - D ．)2,[e e -- 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
青海省玉树州2023届高三第三次联考数学理科试题
A． y 6 x 2
B． y 3 x
2
C． y 2 x 3
D． y 6 x 3
12．设 a sin 1 ， b 1 cos 1 ， c ln 11 ，则（ ）
5
55
9
A． a b c
B． a c b
C． b c a
D． c a b
四、填空题
13．抛物线 y
1 4
A． x 36, s2 48
B． x 36, s2 48
C． x 36, s2 48
D． x 36, s2 48
7．已知角
的终边落在直线
y
3x
上，则
5
cos2 sin 2
sin 2
π 4
1
（
A． 9 4
B． 3 4
C． 8 3
）
D．
9 2
8．已知
x
a x3
2
x
1 x
5
3t , 2 ( t 是参数)，以 O 为极点，
y=1+
t 2
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 4cos ．
(1)求直线 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程;
(2)若点 P 的直角坐标为 1,1 ， 且直线 l 与 C 交于 A,B 两点， 求| PA |2 | PB |2 的值;
国家境内举行、也是继 2002 年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯
足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次
由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世
界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答 2 道题，至少答对一道题后，
河南省青桐鸣2023届高三上学期第三次大联考理科数学试题(1)
一、单选题1. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2.若，则的坐标可以是（ ）A．B．C．D．3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边按顺时针方向旋转后经过点，则（ ）A．B．C．D．4. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“”的边长都是下一行“”边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.8的视标边长为（）A．B．C．D．5. 已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线C 的方程为（ ）A．B．C．D．6.如图为函数的大致图象，其解析式可能为（）A．B．C．D．7. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（ ）河南省青桐鸣2023届高三上学期第三次大联考理科数学试题(1)河南省青桐鸣2023届高三上学期第三次大联考理科数学试题(1)二、多选题A．B．C．D．8. 某中学为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，500名学生身高的全体是（ ）A ．总体B ．个体C ．从总体中抽取的一个样本D ．样本的容量9.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）A．B．关于对称C ．在区间上有644个零点D ．若在上是增函数，则的最大值为10.函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知，．下列四个判断中，正确的有（ ）A ．当时，的值只有0或B ．当时，函数既有对称轴又有对称中心C ．对于给定的正整数，存在，使得成立D．当时，对于给定的正整数，不存在且，使得成立11. 如图为某市某年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位；套）与成交量（单位，套）作出如下判断，则判断正确的是（）A ．日成交量的中位数是16B ．日成交量超过平均成交量的只有1天C ．10月7日认购量的增长率大于10月7日成交量的增长率D ．认购量的方差大于成交量的方差12. 已知直四棱柱的底面为正方形，，P 为直四棱柱内一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，存在点P，使得三、填空题四、解答题C ．当时，的最小值为D．当时，存在唯一的点P ，使得平面平面PBC 13. 已知点A ，B ，C ，D均在表面积为的球面上，且，，是边长为3的等边三角形，则______．14.已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a 的取值范围是________．15.已知随机变量服从，则当______时，概率最大.16. 已知函数（其中为自然对数的底数，）.（1）试讨论函数零点的个数；（2）当时，令，求证：不等式对恒成立.17. 已知，.(1)求的值；(2)求的值.18. 3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求.某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品.质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了50个零件进行测量，根据所测量的零件质量（单位：克），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这50个零件质量的中位数（结果精确到0.01)；（2）若从这50个零件中质量位于之外的零件中随机抽取2个，求这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率（3）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知这批零件有10000个，某采购商提出两种收购方案：A.所有零件均以50元/百克收购；B.质量位于的零件以40元/个收购，其他零件以30元/个收购.请你通过计算为该厂选择收益最好的方案.19. 若函数（，）的部分图象如图所示，其中，．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角，，的对边分别为，，，，且满足，求面积的最大值．20. 已知中，内角，，的对边分别为，，，.(1)求；(2)若，，在上，且，求的长.21. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围．。
高三第三次联考数学(理)试题(解析版)
2020届高三第三次联考数学（理科）―、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}14A x x =≤≤，{}*2N 23B x x x =∈-≤，则A B =I ( ) A. {}13x x ≤≤ B. {}03x x ≤≤C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】解不等式223x x -≤，结合*N x ∈，用列举法表示集合B ，从而可求交集.【详解】{}{}{}*2*23131,2,3B x N x x x N x =∈-≤=∈-≤≤=Q ，{}1,2,3A B ∴⋂=.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易错点是忽略集合B 中*N x ∈这一条件. 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()122i z i -=+，则z z ⋅=( ) A. 4B. 2C. 4-D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】由已知可求出2221iz i i+==-，进而可求2z i =-，则可求出z z ⋅的值. 【详解】()122i z i -=+Q ，()()()()211222111i i i z i i i i +++∴===--+，2z i ∴=-，4z z ∴⋅=. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念.本题的关键是通过复数的除法运算，求出复数z .3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若888S a ==，则公差d 等于( ) A.14B.12C. 1D. 2【答案】D【解析】 【分析】由88S a =，可求出4707S a ==，进而可知40a =，结合88a =，可求出公差. 【详解】解：888S a ==Q ，1288a a a a ∴+++=L ，()17747207a a a S ∴+===，40a ∴=. 又由844a a d =+，得8480244a a d --===. 故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量.4.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A ，B ，C ，D ，E 五个等级.某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果，得到如图表：针对该校“选择考”情况，2019年与2017年比较，下列说法正确的是( ) A. 获得A 等级的人数不变 B. 获得B 等级的人数增加了1倍 C. 获得C 等级的人数减少了 D. 获得E 等级的人数不变【答案】D 【解析】 【分析】设2017年参加“选择考”总人数为a ，分别求出2017,2019年获得A ，B ，C ，E 等级的人数，进而可选出正确选项.【详解】解：设2017年参加“选择考”总人数为a ，则2019年参加“选择考”总人数为2a ； 则2017年获得A 等级有0.25a 人，2019年获得A 等级有0.2520.50.25a a a ⨯=≠，排除A ；2017年获得B 等级有0.35a 人，2019年获得B 等级有0.420.820.35a a a ⨯=≠⨯，排除B ； 2017年获得C 等级有0.28a 人，2019年获得C 等级有0.2320.460.28a a a ⨯=>，排除C ； 2017年获得E 等级有0.04a 人，2019年获得E 等级有0.0220.04a a ⨯=，人数不变， 故选:D.【点睛】本题考查了扇形统计图，考查了由统计图分析数据. 5.函数()cos x xy e ex -=-的部分图象大致是( )A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A,C.代入特殊值，如1x =，通过判断函数值的符号，可选出正确答案. 【详解】解：由()()cos xx x e e y ---=-，可知函数()cos x xy x e e -=-为奇函数，由此排除A ，C ，又1x =时，()11cos1y e e-=-，因为1,012e π><<，则110,cos10e e -->>，即此时()cos 0xxy e e x -=->，排除D .故选:B.【点睛】本题考查了函数图像的选择.选择函数的图像时，常结合函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域排除选项，再代入特殊值，判断函数值的符号进行选择.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线C 的离心率为( ) A.23B.3 C. 2 D.2【答案】A【解析】 【分析】求出圆心坐标、半径以及双曲线的渐近线，由渐近线和圆相切，可求出圆心到渐近线的距离为半径，即1=，结合双曲线中222+=a b c ，进而可求出离心率的大小.【详解】解：由题意知，圆心为()2,0在x 轴上，则圆与双曲线的两条渐近线都相切， 则圆心到渐近线by x a =的距离为半径1r =1=，即223b a =， 又222+=a b c ，则()2223c a a-=，解得c e a ==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的性质，考查了直线和圆相切问题，考查了双曲线离心率的求解.本题的关键是由相切得到223b a =.一般求圆锥曲线的离心率时，常根据题意列出,,a b c 的关系式进行变形求ca 的值.本题的易错点是混淆了椭圆和双曲线中,a c 的关系. 7.在ABC V 中，5AC AD =u u u r u u u r ，E 是直线BD 上一点，且2BE BD=u u u r u u u r，若AE mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r 则m n +=( )A.25B. 25-C.35D. 35-【答案】D 【解析】 【分析】通过向量的线性运算，以,AB AC u u u r u u u r为基底，表示出25AE AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ，进而求出m n +的值.【详解】解：()2225AE AB BE AB BD AB AD AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，35m n ∴+=-.故选:D.【点睛】本题考查了向量的加法运算，考查了向量的减法运算.本题的难点是由题目条件求出,m n 的具体值. 8.若函数()cos f x x x =+在区间[],a b 上是增函数，且()2f a =-，()2f b =，则函数()sin x x g x =-在区间[],a b 上( )A. 是增函数B. 是减函数C. 可以取得最大值2D. 可以取得最小值2-【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式可求得()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()2sin 3g x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，由题意可知，不妨取2,33a b ππ=-=，令3t x π=-，结合()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-的图像，可选出正确选项.【详解】解：()313sin cos 2sin cos 2sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()313cos sin 2cos sin 2sin 23g x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在区间[],a b 上是增函数，且()2f a =-，()2f b =， 则2,2,6262a kb k k Z ππππππ+=-++=+∈，即22,2,33a kb k k Z ππππ=-+=+∈，不妨取2,33a b ππ=-=，设3t x π=-，则()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-，则图像为所以，()3sin x x g x -在[],a b 先增后减，可取到最大值为2. 故选:C.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角函数的单调性，考查了三角函数的最值，考查了数形结合.本题的关键是由单调性和最值，确定,a b 的值.9.若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =-（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11ea b+的取值范围是( ) A. [)2,e B. (],4eC. [)2,+∞D. [),e +∞【答案】C 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，由题意知()000ln 1x a ex b e x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，从而可得2ea b +=，根据 “1”的代换，可求出11122b ea ea b ea b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可求出取值范围. 【详解】解：()ln y x a =+Q ，1y x a ∴'=+，设切点为()00,x y ，则()000ln 1x a ex be x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，2ea b ∴+=，()111111222b ea ea b ea b ea b ea b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴.,,0a b e >Q ∴ 原式12222b ea ea b ⎛⎫≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当b ea ea b =，即1,1a b e==时等号成立， 即112ea b+≥. 故选:C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式.切线问题，一般设出切点，由切点处的导数值为切线的斜率以及切点既在切线上又在函数图像上，可列出方程组.运用基本不等式求最值时注意一正二定三相等.10.在三棱锥P ABC -中，已知4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，三棱锥P ABC -的体积为3，若点,,,P A B C 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A .4πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】A 【解析】 【分析】取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，由题意可知，AO BO R ==，由133P ABC PBC V S AO -=⋅=V ，可列出关于R 的方程，进而可求出球的半径，则可求球的表面积. 【详解】解：取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，因为3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，所以AO BO R ==，2PC R =，PB R =，3BC R =， 因为4APC π∠=，PA AC ⊥，所以PA AC =，则AO PC ⊥,因为平面PAC ⊥平面PBC ，所以AO ⊥平面PBC ，即133P ABC PBC V S AO -=⋅=V ， 所以333R =，1R ∴=，∴球的表面积为244R ππ=.故选:A .【点睛】本题考查了椎体的体积，考查了面面垂直的性质，考查了球的表面积的求解.求球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，通常设半径，结合勾股定理列方程求解.本题的关键是面面垂直这一条件的应用. 11.已知函数()223f x x x=-+，()()g x f x b =+，若函数()()y f g x =有6个零点，则实数b 的取值范围为( ) A. ()2,+∞ B. ()1,-+∞C. ()1,2-D. ()2,1-【答案】A 【解析】 【分析】结合导数，求出()223f x x x=-+的单调性，由()()120f f -==，可得其零点及函数的简图，通过分析可知，()()f g x 有6个零点等价于()1f x b =--和()2f x b =-都分别有3个实数根，结合图像可得关于b 的不等式，进而可求出b 的取值范围.【详解】解：因为()223f x x x =-+，所以()()3222122x f x x x x+'=--=-， 故当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当10x -<<和0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；又()()120f f -==，∴函数有两个零点分别为1-，2.则函数的简图为Q 函数()()f g x 有6个零点，()1g x ∴=-与()2g x =的根共有6个，()1f x b ∴=--和()2f x b =-都分别有3个实数根，则10b --<且20b -<，即2b >.故选:A.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，考查了运用导数求函数的单调性，考查了数形结合.本题的难点是对()()y f g x =有6个零点这一条件的理解.一般地，若()()()f x g x h x =-，则()f x 的零点个数就等于()(),y g x y h x ==的图像交点个数.12.已知抛物线()2:20C y px p =>，其焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线C 于点,A B （其中A 在x 轴上方），,A B 两点在抛物线的准线上的投影分别为,M N ，若23MF =2NF =，则AFBF=( ) 3 B. 2C. 3D. 4.【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知2MFN π∠=，由22216MNNF MF =+=，可求出4MN =，由MNF S V 可求出3p =，由1cos 2p MFO MF ∠==可知3MFO π∠=，从而可知23AF MF ==， 231cos 3p BF θ==+，进而可求AF BF 的值. 【详解】解：由题意知，AF AM =，BF BN =，则,AMF AFM BFN BNF ∠=∠∠=∠, 由////BN AM x 轴，可知22AFM BFN π∠+∠=，则2MFN π∠=，22216MN NF MF ∴=+=，4MN ∴=，112322MNF p MN NF S MF =⋅=⋅=V Q ， 3p ∴=，则1cos 2p MFO MF ∠== ，3MFO π∴∠=，AF AM =Q ， AMF ∴△为等边三角形，∴直线AB 的倾斜角3πθ=，且23AF MF ==,又因为cos cos BN BF BF BF p θθ+=+=，则231cos p BF θ==+.3AF BF ∴=.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系.本题的关键是p 的求解.对于抛物线的问题，一般结合抛物线的定义，可减少运算量.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.6x x ⎛⎝展开式中常数项为________.【答案】240 【解析】 【分析】先求出二项式6x x ⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项.【详解】6x ⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.在平面直角坐标系中，若角α的始边是x 轴非负半轴，终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则()cos πα+=________.【答案】 【解析】 【分析】化简出P的坐标，从而可求出cos α=()cos πα+的值.【详解】解：由题意知，221sin ,cos 332P P ππ⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则P 到原点的距离为1，cos α∴=()cos cos παα+=-=故答案为: . 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数值的求解.由P 点坐标求出角的余弦值是本题的关键. 15.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，x R ∀∈，都有()()2f x f x +=-，当01x <≤时，()213log ,02112x x f x x ⎧-<<⎪⎪=≤≤，则()9114f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【答案】5 【解析】 【分析】由题意可知()f x 周期为2，从而可求出91544f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110f f ==，进而可求出()9114f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】解：由()()2f x f x +=-可知，()f x 关于1x =对称，又因为()f x 是偶函数，所以()f x 周期为2，则9915444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()1110f f == ()()9111150544f f f f ⎛⎫⎛⎫∴-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:5.【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的周期性的应用.由奇偶性和对称性求出函数的周期是求解本题的关键.16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足333321232n n n a a a a S S ++++=+L ，设2nn na b =数列{}n b 的前n 项和为nT，则使得n T m <成立的最小的m 的值为________.【答案】3 【解析】 【分析】由333321232n n n a a a a S S ++++=+L ，得333321231112n n n a a a a S S ---++++=+L ，两式相减可得()2122n n n a S S n -=++≥，结合1,2n n n a S S n -=-≥，可求出()113n n a a n --=≥，又21321a a -=-=，从而可求出{}n a 的通项公式1n a n =+，用错位相减法可求出332n n n T +=-，进而可求使得n T m <成立的最小的m 的值.【详解】解：由333321232n n n a a a a S S ++++=+L ，得333321231112n n n a a a a S S ---++++=+L ，两式相减得()()3221112222n n n n n n n n n a S S S S a S S a n ---=+--=++≥，整理得，()2122n n n a S S n -=++≥，()211223n n n a S S n ---∴=++≥，两式相减得()22113n n n n a a a a n ---=+≥.Q 数列{}n a 的各项为正数，()113n n a a n -∴-=≥，当1n = 时，321112a a a =+，即()211120a a a --=，解得12a =或1-（舍）或0（舍）， 又22212224a S S a =++=++，解得：23a =或22a =-（舍），则21321a a -=-=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，()2111n a n n ∴=+-=+⨯，12n n n b +∴=，12323412222nnn T +=++++L ，则23411111122222n n n T ++=++++L ， 相减得1234111111111111111221222222222212n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++++-=+--L ，3332n n n T +∴=-<，∴满足不等式的m 的最小正整数为3. 故答案为:3.【点睛】本题考查了通项公式的求解，考查了错位相减法求和.本题的难点是由已知,n n S a 递推关系式的整理.一般地，已知,n n S a 递推关系时，常结合11,2,,1n n n S S n n N a S n *-⎧-≥∈=⎨=⎩进行求解. 本题的易错点是由错位相减法求n T 时，计算量大，容易算错.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+. （1）求A ；（2）若ABC V的面积为a =ABC V 的周长. 【答案】（1）3π；（2）10+【解析】 【分析】（1）由正弦定理对已知式子进行边角互化，结合三角形的内角和定理，化简后可得1cos 2A =，进而可求出A ； （2）由1sin 2ABC S bc A ==V 24bc =，结合余弦定理可求出10b c +=，从而可求周长. 【详解】解：（1）由2cos cos cos a A b C c B =+知，2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，()2sin cos sin sin A A B C A ∴=+=.0A π<<Q ，1cos 2A ∴=，则3A π=. （2）12sin ABC bc S A ==V Q ，24bc ∴=.由余弦定理知，2222cos 28=+-=a b c bc A ，即()222283b c bc b c bc =+-=+-，()2283100b c bc +=+=∴，解得10b c +=，ABC ∴V 的周长为1027+.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式.一般地，若题目已知式子中既有边又有角，常结合正弦定理和余弦定理进行边角互化；若式子中三个角都存在，则常结合三角形的内角和定理进行消角化简.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为长方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，3BC =，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求平面AEF 与平面PCD 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）17830.【解析】 【分析】（1）通过BC PA ⊥，BC AB ⊥可证明BC ⊥平面PAB ，进而可得AE BC ⊥，结合AE PB ⊥证明线面垂直.（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，可求出平面AEF 的法向量()1,4,1m =--u r，平面PCD 的法向量()0,4,3n =r，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值.【详解】（1）证明：PA AB =Q ，E 为线段PB 中点，AE PB ∴⊥.PA ⊥Q 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥.又Q 底面ABCD 是长方形，BC AB ∴⊥.又PA AB A =I ，BC ∴⊥平面PAB .AE ⊂Q 平面PAB ，AE BC ∴⊥. 又PB BC B ⋂=，AE ∴⊥平面PBC .（2）解：由题意，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,2E ，()4,1,0F ，()0,0,4P ，()4,3,0C ，()0,3,0D .所以()2,0,2AE =u u u r ,()4,1,0AF =u u u r ，()4,3,4PC =-u u u r ，()0,3,4PD =-u u u r，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =u r ，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即22040x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则4y =-，1z =-，()1,4,1m ∴=--u r ，同理可求平面PCD 的法向量()0,4,3n =r，192cos ,30,mn m n m n ⋅∴==-u r ru r r u r r ，2178sin 1cos ,30,m m n n ∴=-=u r u r r r ，即平面AEF 与平面PCD 所成角的正弦值为17830.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了二面角正弦值的求解，考查了同角三角函数的基本关系.证明线线垂直时，可结合等腰三角形三线合一、勾股定理、矩形的邻边、菱形的对边、线面垂直的性质证明. 19.2019新型冠状病毒（2019―nCoV ）于2020年1月12日被世界卫生组织命名.冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病.某医院对病患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表： 戴口罩 未戴口罩 总计 未感染 30 10 40 感染 4 6 10 总计 341650（1）根据上表，判断是否有95%的把握认为未感染与戴口罩有关；（2）从上述感染者中随机抽取3人，记未戴口罩的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）有把握；（2）分布列见解析，95. 【解析】 【分析】（1）由表求出245043841..K ≈>，即可判断；（2）由题意知X 的取值可能为0，1，2，3，求出每种情况的概率，从而可得分布列，进而可求数学期望.【详解】解：（1）由列联表可知，()225030641045043841341640.10.K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 所以有95%的把握认为未感染与戴口罩有关.（2）由题知，感染者中有4人戴口罩，6人未戴口罩，则X 的取值可能为0，1，2，3.()343101030C P X C ===；()21463103110C C P X C ===；()1246210122CC P X C ===；()36310136C P X C ===，则X 的分布列为()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=∴. 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了离散型随机变量的分布列，考查了数学期望的求解.在第一问求2K 时，由于数据较大，应注意计算.一般对于求分布列的问题，写出分布列后，可结合概率之和为1这一性质，进行检验.20.已知点1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点，椭圆上一点P 满足1PF x ⊥轴，215PF PF =，12F F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，当1ABF V 的内切圆面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）y x =y x =-. 【解析】 【分析】（1）由1PF x ⊥轴，结合勾股定理可得2221122PF F F PF +=，从而可求出23PF =13PF =，则可知a =122F F c ==21b =，即可求出椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，:l x ty =+12y y +=，12213y y t =-+，从而可用t 表示出1121223AF B F F A F F BS S S t =+=+V V V ，用内切圆半径表示出()11112AF BS AF F B AB r =++⋅=V ，即可知23r t =+，结合基本不等式，可求出当半径取最大时，t 的值，从而可求出直线的方程.【详解】解：（1）因为1PF x ⊥轴，所以122PF F π∠=，则2221122PF F F PF +=，由215PF PF =，12F F =2PF =1PF =122F F c ==由椭圆的定义知2a == a ∴=2221b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）要使1AF B △的内切圆的面积最大，需且仅需其1AF B △的内切圆的半径r 最大.因为()1F ，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，易知，直线l 的斜率不为0，设直线:l x ty =+2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22310t y ++-=，故12y y +=，12213y y t =-+； 所以11212121212AF B F F A F F B S S S F F y y =+=-=V V V==， 又()1111114222AF B S AF F B AB r a r r =++⋅=⋅⋅=⋅=V ，=，即，21232r t ==≤+；=，即1t =±时等号成立，此时内切圆半径取最大值为12， ∴直线l 的方程为y x =y x =-+.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆内三角形周长的求解，考查了三角形的面积公式，考查了直线与椭圆的位置关系.本题的关键是用内切圆半径表示出三角形的面积.本题的难点是计算化简. 21.已知函数()()()2ln 2f x x a x a R =++∈.（1）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()122f x f x +>.【答案】（1）当0a >时，()f x 的最大值为1ln3a +，当0a ≤时，()f x 的最大值为1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数()2242x x a f x x ++'=+，分为2a ≥，02a <<，0a ≤三种情况，结合导数判断函数的单调性，继而求出最大值.（2）由函数()f x 存在两个极值点可知2240x x a ++=在()2,-+∞上存在两不等的实根，令()224p x x x a =++，从而可知()168020a p ∆=->⎧⎨->⎩，可求出a 的取值范围，结合韦达定理可求出()()12ln 42af x f x a a +=-+，结合令()ln 42x q x x x =-+，在()0,2x ∈上的单调性，可证明()()12ln 422af x f x a a +=-+>.【详解】解：（1）由题意知，()f x 定义域为()2,-+∞，且()2242x x af x x ++'=+，当1680a ∆=-≤时，解得2a ≥，此时()0f x '≥对[]1,1x ∈-成立， 则()f x 在[]1,1-上是增函数，此时最大值为()11ln3f a =+， 当2a <时，由2240x x a ++=得12x =-±，由[]11,1---，取01x =-，则[)01,x x ∈-时，()0f x '≤；[)0,x x ∈+∞时，()0f x '≥， 所以()f x 在[)01,x x ∈-上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，又()11f -= 则当()()11f f >-，即0a >时，此时，()f x 在[]1,1-上的最大值为1ln3a +； 当()()11f f ≤-，即0a ≤时，()f x 在[]1,1-上的最大值为()11f -=，∴综上，当0a >时，函数()f x 在[]1,1x ∈-的最大值为1ln3a +，当0a ≤时，函数()f x 在[]1,1x ∈-的最大值为1.（2）要使()f x 存在两个极值点，则2240x x a ++=在()2,-+∞上存在两不等的实根，令()224p x x x a =++，则对称轴为1x =-，则()168020a p ∆=->⎧⎨->⎩，解得02a <<，由韦达定理知121222x x a x x +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，()()()()22121122ln 2ln 2f x f x x a x x a x ∴+=+++++()()2121212122ln 24x x x x a x x x x =+-++++⎡⎤⎣⎦()()222ln 22422a a a ⎡⎤=--⋅++⋅-+⎢⎥⎣⎦ln 42a a a =-+.令()ln42x q x x x =-+，()0,2x ∈，()ln 02xq x '∴=<，()q x ∴在()0,2上单调递减， 02x ∴<<时，()()22q x q >=，()()122f x f x ∴+>.【点睛】本题考查了二次函数根的分布，考查了韦达定理，考查了运用导数求最值，考查了已知极值点的个数求参数.本题的难点在于第一问中，参数范围的确定；第二问中，如何将极值点个数转化为参数的取值范围.一般地，含参函数求最值时，首先求出定义域，然后求得导数，令导数为零，讨论导数为零有无根；当有根时，再讨论根是否属于定义域，结合单调性，即可求最值.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试求,A B 两点间的距离. 【答案】（1）3cos 4sin 10ρθρθ-+=，220x y x y +--=；（2）75.【解析】 【分析】（1）将直线参数方程通过消参得到普通直角坐标方程，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得其极坐标方程；结合两角差的余弦公式，可得2cos sin ρρθρθ=+，从而可求出曲线C 的普通方程.（2）联立直线参数方程和圆的方程，可求出12127,05t t t t +=-=，则1275AB t t =-=. 【详解】解：（1）消参得，直线:3410l x y -+=，即3cos 4sin 10ρθρθ-+=；曲线:cos cos sin sin 444C πππρθθθ⎛⎫⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎭，即2cos sin ρρθρθ=+，则22x y x y +=+ ，所以曲线C 的普通方程为220x y x y +--=.（2）设,A B 两点在直线上对应的参数分别为12,t t ，将415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入220x y x y +--=，得2705t t +=，则12127,05t t t t +=-=，则1275AB t t =-==. 【点睛】本题考查了参数方程与普通直角坐标方程的转化，考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了弦长问题.求第二问的弦长时，可结合直线和圆的图形，由勾股定理求解，但是计算稍麻烦；也可结合参数的几何意义求解.选修4-5：不等式选讲23.已知0a >，0b >，1a b +=.（1 （2）若不等式111x m x a b+-+≤+对任意x ∈R 及条件中的任意,a b 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1；（2）[]3,5-. 【解析】 【分析】（1）求结合基本不等式可求出2的最大值为6+（2）结合基本不等式中“1”的代换，可求出114a b+≥，结合11x m x m +-+≤-，可得14m -≤，从而可求出m 的取值范围.【详解】解：（1）21111116a b a b a b =+++++++++++=，=12a b ==时取等号，. （2）()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即a b =时取等号，11a b∴+的最小值为4.又11x m x m +-+≤-，∴ 14m -≤，解得35m -≤≤， 即m 的取值范围为[]3,5-.【点睛】本题考查了基本不等式，考查了“1”的代换，考查了含绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式.在应用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.。
2020-2021学年高考数学理科第三次联考检测试题及答案解析
最新度高三年级第三次联考数学试题(理科)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{}{}2|x 10,|0x 4A x B x =-<=<<，则A B U 等于A. {}|0x 1x <<B. {}|1x 1x -<<C. {}|1x 4x -<<D. {}|1x 4x << 2.设复数2z i =+，则复数()1z z -的共轭复数为A. 13i --B. 13i -+C. 13i +D. 13i -3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r，则A. 11,2x y =-=-B. 11,2x y ==C. 11,2x y =-=D.11,2x y ==-4.若,21,45x x x ++是等比数列{}n a 的前三项，则n a 等于 A. 12n - B. 13n - C. 2nD. 3n5.已知函数()()2303f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()2cos 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为 A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π=D. 2x π=6.已知11eea dx x =⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 A. 160 B. 80 C. -80 D. -1607.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线1x =-的一个交点的纵坐标为0y ，若02y <，则双曲线C 的离心率的取值范围是 A. (3 B. (5 C.()3,+∞ D.()5,+∞8.执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于 A.12 B. 35 C. 56 D.679.设命题()000:0,,.xp x e x e ∃∈+∞+=，命题:q ，若圆2221:C x y a +=与圆()()2221:C x b y c a -+-=相切，则2222b c a +=.那么下列命题为假命题的是A. q ⌝B.p ⌝C. ()()p q ⌝∨⌝D.()p q ∧⌝ 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 72 B. 80 C. 86 D. 92 11.设函数()()1232,2x f x x a g x x -=-+=-，若在区间()0,3上，()f x 的图象在()g x 的图象的上方，则实数a 的取值范围为A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. ()3,+∞D.[)3,+∞12.若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为A. 3B. 22C. 23D. 33第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知实数,y x 满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则z x y =+的最小值为.14.椭圆()2211mx y m +=>的短轴长为22m ，则m =. 15.若函数()21ax f x x-=在()2,3上为增函数，则实数a 的取值范围是.16.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()2sin2cos 2n n a n n ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且2n S an bn =+，则a b -=.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分) 如图，在四边形ABCB '中，ABC AB C '≅V V ,3,cos ,2 2.4AB AB BCB BC ''⊥∠==（1）求sin ;BCA ∠ （2）求BB '及AC 的长.18.(本小题满分12分)在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，,PA CD BC ⊥⊥平面PAB ，且,,E M N 分别为,,PD CD AD 的中点,3PF FD =u u u r u u u r.（1）证明：//PB 平面FMN ；（2）若PA AB =，求二面角E AC B --的余弦值.19.(本小题满分12分)在一次全国高中生五省大联考中，有90万名学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，应用成绩服从正态分布()2,N μδ，右表用茎叶图列举了20名学生的英语成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9. （1）求,;μδ(P X μδμ-<<+（2）给出正态分布的数据： （ⅰ）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在()82.1,103.1内的概率；（ⅱ）如从这90万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中英语成绩在()82.1,103.1内的人数，求X 的数学期望.20.(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线22(0)y px p =>的准线l 与x 轴交于点M ，过点M的直线与抛物线交于A,B 两点，设()11,A x y 到准线l 的距离()20.d p λλ=> （1）若13,y d ==求抛物线的标准方程；（2）若0AM AB λ+=u u u u r u u u r r，求证：直线AB 的斜率的平方为定值.21.(本小题满分12分) 已知函数()ln 1mf x n x x =++（,m n 为常数）的图象在1x =处的切线方程为20x y +-= （1）判断函数()f x 的单调性；（2）已知()0,1p ∈，且()2f p =，若对任意(),1x p ∈，任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()3222f x t t at ≥--+与()3222f x t t at ≤--+中恰有一个恒成立，求实数a 的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABO V 三边上的点,,C D E 都在O e 上，已知//,.AB DE AC CB = （1）求证：直线AB 与O e 相切； （2）若2AD =，且1tan 3ACD ∠=，求AO 的长.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的方程为()3cos 4sin 2,ρθθ-=，曲线C 的方程为()0.m m ρ=> （1）求直线l 与极轴的交点到极点的距离； （2）若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为15，求实数m 的取值范围.24.(本小题满分10分)不等式选讲已知不等式2210x x ++-<的解集为A. （1）求集合A ；（2）若,a b A ∀∈，x R ∈，不等式()149a b x m x ⎛⎫+>--+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(3)
一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 若，则（ ）A．B．C．D．2.等比数列的前项和为，若，，，，则（ ）A．B．C．D．3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是A．B．C．D．4. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，的外接圆半径为2.则（ ）A．B ．2C．D ．45. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或6. 已知函数＝的值域为R ，则实数a 的取值范围是A．B．C．D．7. 已知数列，满足：，，，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列单调递增B ．数列单调递增C ．数列单调递增D ．数列从某项以后单调递增8. 已知直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为1，，O 是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）A ．直线l的方程为B ．过点O 且与直线l平行的直线方程为C ．若点到直线l 的距离为，则D ．点O 关于直线l对称的点为9. 设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为__________.10.设复数，在复平面内的对应点分别为，若点与关于实轴对称，且，则___________.11. M 是抛物线上一点，N 是圆C：关于直线x －y ＋1＝0的对称圆上的一点，则的最小值是______．12. 已知，，，则______．13.已知圆的方程为：.（1）求实数的取值范围；（2）若直线与圆相切，求实数的值.14. 对于问题“已知正实数x 、y 满足，求的最小值”，申辉中学的小刚给出了一个解答：陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(3)陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(3)因为，所以的最小值为．问：他的解答过程是否正确？判断并说明理由．15. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于P，Q两点，若的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）动直线交椭圆于，两点，交轴于点．点是关于的对称点，的半径为．设为的中点，，与分别相切于点，，求的最小值.16. 甲、乙二人各有6张扑克牌,每人都是3张红心,2张草花,1张方片.每次两人从自己的6张牌中任意抽取一张进行比较,规定:两人花色相同时甲胜,花色不同时乙胜.(1)此规定是否公平?为什么?(2)若又规定:当甲取红心、草花、方片而获胜所得的分数分别为3,2,1,否则得0分,求甲得分的均值.。
陕西省安康市2023届高三第三次质量联考 理科数学答案
理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DABACCBCCADA1.D解析：由题意得2y x y x ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，故{(0,0),(1,1)}A B = .2.A 解析：()()()()()i 2i 22i i 2i 2i 2i 2i 5a b a b b a z a b +-++-+===+++-为纯虚数，∴20,20a b b a +=⎧⎨-≠⎩∴2ba =-.3.B 解析：S 6＝6（a 1＋a 6）2＝6（a 3＋a 4）2＝12.4.A解析：由题意可得2a －b ＝(3，2－x )，，∴3x ＝2－x ，解得x ＝12，∴|b |＝1＋14＝52.5.C 解析：由题意，1234535x ++++==，75849398100905y ++++==，将()3,90代入 6.4y x a =+，可得90 6.43a =⨯+，解得70.8a =，线性回归直线方程为 6.470.8y x =+，将58x =代入上式， 6.45870.8442y =⨯+=.6.C 解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为x ＋6，由相似得163x x =+，即x ＝3，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为332π12π⋅=.7.B解析：展开式所有项的二项式系数和为27＝128，故A 错误；展开式共有8项，∴第4项和第5项二项式系数最大，故B 正确；令x ＝1得所有项的系数和为(2－1)7＝1，故C 错误；T r ＋1＝C r 7·(－1)r ·27－r ·x 2r －7，∴T 2，T 4，T 6均小于0，T 1＝128x －7，T 3＝672x －3，T 5＝280x ，T 7＝14x 5，∴第3项的系数最大，故D 错误．8.C解析：设方程()()2227270x mx x nx -+-+=的四个根由小到大依次为1a ，2a ，3a ，4a .不妨设2270x mx -+=的一根为1，则另一根为27，12728m ∴=+=.由等比数列的性质可知1423a a a a =，411,27a a ∴==，∴等比数列1a ，2a ，3a ，4a 的公比为4313a q a ==，2133a ∴=⨯=，23139a =⨯=，由韦达定理得3912n =+=，∴281216m n -=-=.9.C 解析：如图，设点Q 为ABC 的中心，则PQ ⊥平面ABC ，π3,33PAQ AQ PQ ∴∠=∴==，.球心O 在直线PQ 上，连接AO ，设球O 的半径为r ，则OA OP r ==，3OQ r =-，在Rt OAQ △中，2r =22(3)(3)r +-，解得2r =，∴球O 的表面积为24π16πr =.10.A 解析：如图，由题意得23F M =，1260F PF ∠=︒，∴13PM a =，223PF a =，由椭圆定义可得212112,PF PF PM MF PF a MF a +=++=∴=，在Rt 12MF F ∆中，由勾股定理得22243a c a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，可得c e a ==11.D解析：∵()()2=f x f x -，∴()f x 关于1x =对称.∵()21f x +-为奇函数，∴由平移可得()f x 关于()2,1对称，且()21f =，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.()()()13222f f f +==，()()241f f ==，∴()()()()12344f f f f +++=，∴()2023120244420234()k f k f ==⨯-==∑.12.A1e 1.011bc ===-可得21.0112a -=，ln1.01b =，11 1.01c =-，比较a 和b ，构造函数()21ln 2x f x x -=-，当1x >，()10f x x x =->'，()f x 在()1,+∞上单调递增，故()()1.0110f f >=，即a b >.同理比较b 和c ，构造函数()1ln 1g x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当1x >，()210x g x x -'=>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增，∴()()1.0110g g >=，即b c >.综上，a b c >>.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114.91615.1或3或5或7(写出其中一个即可)16.313.1解析：作出可行域，易得目标函数z x y =-在点A （4，3）处取得最大值1.14.916解析：f (2log 3)＝f (2log 3－1)＝f (23log 2)＝f (23log 2-1)＝f (23log 4)＝2233log 2log 4494216==.15.1或3或5或7(写出其中一个即可)解析：由已知可得cos(ω·π2)＝0，∴ω·π2＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋2k ，k ∈Z .∵f (x )在区间[0，π8]上单调，∴ωx ∈[0，π8ω]，∴结合y ＝cos u 的图象可得π8ω≤π，∴0<ω≤8，∴ω＝1或3或5或7.16.3解析：由题意知渐近线方程为y ＝±b a x ，右焦点为F (c ，0)，∴d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .＝1＝b ax 得x ＝ab ；由1－y 2b 2＝1（x >0）得x ＝a2（1＋1b 2）＝a b 2＋1b ，∴截面面积为π(a 2（b 2＋1）b 2－a 2b 2)＝πa 2，阴影部分绕y 轴旋转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，∴V ＝2πa 2＝63dc π＝63bc π，即6a 2＝bc ，∴6a 4＝b 2c 2＝(c 2－a 2)c 2，即6a 4＝c 4－a 2c 2，∴e 4－e 2－6＝0，解得e 2＝3，∴e ＝ 3.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，（或3131sin cos (cos sin )(cos sin )362π22π2A A A A A A ⎛⎫⎛⎫-+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭）∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵0πA <<，∴ππ7π2333A <+<，∴π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，∵a c <，∴π2A <，∴π6A =．（6分）（2）由（1）知6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理得224312a c b +==，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，即223123232c c c -=+-⋅，整理得22390c c --=，由0c >得3c =，∴11133sin 332224ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△．（12分）18.解析：（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖．从该样本中随机抽取的2名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ，设“抽取的2名学生中恰有1名学生获奖”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为117030C C ，∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴()1170302100C C 14C 33P A ==，即抽取的2名学生中恰有1名学生获奖的概率为1433．（4分）（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值350.00610450.01210550.01810650.03410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.01610850.00810950.0061064+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（8分）（3）由题意所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布()264,14N ．∵78μσ+=，∴()10.6827780.158652P X ->≈=．故参赛学生中成绩超过78分的学生数为0.15865100001587⨯≈．（12分）19．解析：(1)取DM 中点O ，连接A ′O ，CO ，则由已知可得DM ⊥A ′O ，DM ⊥CO ，∵A ′O ∩CO ＝O ，∴DM ⊥平面A ′CO ，∴DM ⊥A ′C ，∵DC ＝DA ′＝4，∴DN ⊥A ′C ，∵DN ∩DM ＝D ，∴A ′C ⊥平面DMN ，∵A ′C ⊂平面A ′BC ，∴平面A ′BC ⊥平面DMN .(5分)(2)由已知可求得OC ＝OA ′＝23，∴OC 2＋OA ′2＝A ′C 2，∴OC ⊥OA ′，∵A ′O ⊥OD ，CO ⊥OD ，∴以O 为坐标原点，分别以OD ，OC ，OA ′所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz ，则D (2，0，0)，M (－2，0，0)，C (0，23，0)，A ′(0，0，23)．设A ′N →＝λA ′C →(0≤λ≤1)，则A ′N →＝(0，23λ，－23λ)，∴N (0，23λ，23－23λ)，∴DN →＝(－2，23λ，23－23λ)，MD →＝(4，0，0)．设平面DMN 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )·n 1＝4x ＝0·n 1＝－2x ＋23λy ＋（23－23λ）z ＝0，令y ＝λ－1，则n 1＝(0，λ－1，λ)．易得平面CDM 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)．设二面角C-DM-N 的平面角为θ，由图可得θ为锐角，∴cos θ＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝|λ（λ－1）2＋λ2|＝55，解得λ＝13或－1(舍去)．∴A ′N NC ＝12.(12分)(几何法：连接A ′O ，CO ，NO ，则二面角C-DM-N 的平面角为∠CON ，过点N 作NH ⊥CO ，则NH ∥A ′O ，NH ＝CH ＝2HO ，∴OH HC ＝A ′N NC ＝12)20.解析：（1）当m=0时，()ln 21x f x x-=+，其定义域为()0,∞+，()23ln xf x x -'=，∴当()30,e x ∈时，()0f x ¢>；当()3e ,x ∞∈+时，()0f x '<，()f x \在()30,e 单调递增，在()3e ,+∞单调递减，()f x \的极大值为()331e 1ef =+，无极小值.（4分）（2）由()0f x <得ln 2e 10xx m x -++<，2ln exx xm x --∴<在()0,∞+上恒成立.令()2ln e xx x h x x --=，则()()()()()22112ln 113ln e e x xx x x x x x x x h x x x ⎛⎫-----+ ⎪+-+⎝⎭'==，令()3ln x x x ϕ=-+，易知()x ϕ在()0,∞+单调递增，∵()2ln 210ϕ=-<，()3ln 30ϕ=>，()02,3x ∴∃∈，使得()00x ϕ=，即00ln 3x x =-，∴当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>；()h x ∴在()00,x 单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0000min 02ln e x x x h x h x x --∴==.由00ln 3x x =-得()0000ln ln e ln e 3x x x x +==，030e e x x ∴=，()()00003min 02ln 1e e x x x h x h x x --∴===-，31em ∴<-，∴m 的取值范围是31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（12分）（由()0f x <得ln 2e 10xx m x -++<，ln 2ln 2ln e e x x xx x x xm x +----∴<=在()0,∞+上恒成立，令ln ,t x x =+易得R,t ∈2e t t m -∴<恒成立，min321()e e t t m -∴<=-）21.解析：（1）由已知可得12p=，解得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =.（3分）（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，若AB x ⊥轴，由MF AB ⊥得(0,0)M ，(1,2)A ，(1,2)B -或(1,2)A -，(1,2)B ，此时不满足AM BM ⊥，∴不满足题意；设直线AB 的方程为1(0)x my m =+≠，直线MF 的方程为11(0)x y m m=-+≠，将1x my =+代入抛物线方程得2440y my --=，216(1)0m ∆=+>，∴124y y m +=，124y y =-．将11x y m=-+代入抛物线方程得2440y y m +-=，∴233440y y m +-=①．直线AM 的斜率为313122313131444y y y y y y x x y y --==-+-，同理直线BM 的斜率为324y y +．∵AM ⊥BM ，∴3132441y y y y ⋅=-++，∴()231231216y y y y y y +++=-，即2334120y my ++=②．由①②解得3241m y m=-，将其代入①可得()()222244110m m m +---=，解得3m y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩3m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩当3m y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩AB的方程为1x =+，(3,M -，||4MF =．∵1y ，2y满足240y --=，∴12y y +=124y y =-．∴12||216AB y =-=，∴11||||1643222ABM S AB MF =⨯⨯=⨯⨯=△.同理可得，当3m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB 的方程为1x =+，(3,M ，||4MF =，∵1y ，2y 满足240y -=+，∴12y y +=-124y y =-．∴12||216AB y =-=，∴11||||1643222ABM S AB MF =⨯⨯=⨯⨯=△，∴ABM 的面积为32．（12分）22.解析：（1）由(2x t y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得2(x y=-，即20x y -+.故直线l的普通方程是20x y -+.由()2213sin 4ρθ+=得2223sin 4ρρθ+=，代入公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得22234x y y ++=，∴2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程是2214x y +=.（4分）（2）方法一：由θβ=（其中()0,πβ∈，且1tan 2β=-，0ρ≥），得sin β=cos 5β=-.将射线(0)θβρ=≥代入曲线C的极坐标方程，可得222513sin 123544M ρβ===+⎫+⨯⎪⎝⎭，∴2Mρ=.直线l的极坐标方程为cos 2sin 0ρθρθ-+=，将(0)θβρ=≥代入直线l的极坐标方程可得cos 2sin 0ρβρβ-+=，∴N ρ=，∴22N M MN ρρ=-=.（10分）方法二：由题可得射线θβ=（其中()0,πβ∈，且1tan 2β=-，0ρ≥）的直角坐标方程为1(0)2y x x =-≤.联立()2214102x y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-≤⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则点2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.联立()20102x y y x x ⎧-+⎪⎨=-≤⎪⎩解得x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(N -.∴MN .（10分）23.解析：（1）()223f x x x =++-=31,15,1331,3x x x x x x -+≤-⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩，①当1x ≤-时，43153x x -+≤⇒≥-，解得413x -≤≤-；②当13x -<<时，550x x +≤⇒≤，解得10-<≤x ；③当3x ≥时，3152x x -≤⇒≤，无解，∴不等式的解集为403x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（5分）（2）∵22min R,3(),3()x a a f x a a f x ∀∈-≤∴-≤，由（1）知()f x 在(,1)-∞-递减，[1,3)-递增，[3,)+∞递增，min ()(1)4f x f ∴=-=，2234,434a a a a ∴-≤∴-≤-≤，解得14a -≤≤（10分）。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(含答案与解析)
“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第三次大联考数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答案均写在答题纸上，满分150分，时间2.答卷前将答题卡上的学校､姓名､班级填写清楚，并检查条形码是否完整､信息是否准确.3.答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整､笔迹清晰.并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效.第I 卷（选择题共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则（ ） A. M ∪N =RB. M ∪N ={x |-3≤x <4} C M ∩N ={x |-2≤x ≤4}D. M ∩N ={x |-2≤x <4}2. 已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（ ） A. 1i --B. 1i +C. 1i -+D. 2i -+3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495%B. 0.9405%C. 0.99%D. 0.9995%4. 已知等比数列{}n a 的前2项和为2424,6a a -=，则8a =（ ） A. 1B.12C.14D.185. 已知p ：0x y +>，q：))ln ln0x y ->，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件.的6. 将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ） A.32B. 2C. 3D.7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.12B.23C.34D.568. 已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a ”，则以下命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. p q ∧C. ()p q ∨⌝D. ()()p q ⌝∧⌝9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C.D.10. 设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<11. 已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若90ADB ∠=︒，则AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 1012. 已知函数()1f x +是偶函数，且()()2f x f x +=-．当(]0,1x ∈时，()1cos f x x x=，则下列说法的正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 C. ()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点 第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知(1,a a b =+= ，则a 与b的夹角为__________.14. ()4221x x -+的展开式中3x 项的系数为___________.15. 如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．16. 已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11,n n n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为________．三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，已知13,4,cos 3AC BC A ===-. （1）求角B 的值； （2）求边长AB 的值.18. 如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.（1）证明：EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值.19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．20. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长． （1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 内一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB 的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>P 也在1E 上，求证：直线AB 与1E 相切．21. 已知函数()e 21xf x ax =+-，其中a 为实数，e 为自然对数底数，e=2.71828 ．（1）已知函数x ∈R ，()0f x ≥，求实数a 取值的集合； （2）已知函数()()2F x f x ax =-有两个不同极值点1x 、2x ．①求实数a 的取值范围；②证明：)12123x x x x +>．请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 选修4-4：坐标系与参数方程选讲.的22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积最大值. 选修4-5：不等式选讲.23. 设,,R,,,1a b c a b c ∈-均不为零，且1a b c ++=． （1）证明：(1)(1)0ab b c c a +-+-<； （2）求222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值．参考答案一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则（ ） A. M ∪N =R B. M ∪N ={x |-3≤x <4} C. M ∩N ={x |-2≤x ≤4} D. M ∩N ={x |-2≤x <4}【答案】D 【解析】 【分析】先求集合N ，再求两个集合的并集和交集，判断选项.【详解】2280x x --≤，解得：24x -≤≤，即{}24N x x =-≤≤，{}34M x x =-≤<，{}34M N x x ⋃=-≤≤， {}24M N x x ⋂=-≤<.故选：D2. 已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -+D. 2i -+【答案】C 【解析】的【分析】依题意设i z a b =+()0,0a b <>，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.【详解】设i z a b =+()0,0a b <>，则i z a b =-，因为()224i z z z z -+⋅=+， 所以()()()2i i i i 24i a b a b a b a b +-+++⋅-=+，所以224i 24i b a b ++=+，所以22244a b b ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或11b a =⎧⎨=⎩（舍去），所以1i z =-+. 故选：C3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495% B. 0.9405%C. 0.99%D. 0.9995%【答案】A 【解析】【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.【详解】记感染新冠病毒为事件A ,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件,B 则()0.5%,()99%P A P B A ==,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为()()()P AB P A P B A ==0.5%99%0.495%⨯=，故选：A4. 已知等比数列{}n a 的前2项和为2424,6a a -=，则8a =（ ） A 1B.12C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】首先根据题意得到()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩，解方程组得到12q =，116a =，再求8a 即可. 【详解】因为246a a -=，所以1q ≠，由题知：()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩， .所以()141q q =-，解得12q =，所以111242a a +=，即116a =， 所以78111628a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选：D5. 已知p ：0x y +>，q ：))ln ln0x y ->，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】令)()ln,R f x x x =+∈,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.【详解】令)()ln ,R f x x x =+∈，(0)0f =，且))()()ln ln ln10f x f x x x +-=++-==，故)()ln f x x =+为奇函数，0x >x +递增，则)()ln f x x =+也递增，又()f x 为奇函数，则()f x 在R 上递增，p q ⇒，若0x y +>，则x y >-，则()()f x f y >-，即))ln lnx y >即))lnln0x y +-->；p q ⇐，若))lnln0x y ->，则等价于))ln ln x y +>，即()()f x f y >-，由()f x 在R 上递增，则x y >-， 即0x y +>， 故p 是q 的充要条件， 故选：C.6. 将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ）A.32B. 2C. 3D.【答案】B 【解析】【分析】先求出()g x ，又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数，则ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，即可求出ω最大值.【详解】函数π()2sin(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象， 则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为()y g x =在ππ[,64-上为增函数，所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤， 解得：2ω≤，故ω的最大值为2. 故选：B.7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.12B.23C.34D.56【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有1244C C 24=种可能． 要使所拨数字大于200，则：若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有1224C C 12=种； 若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠， 有1123C C 6=种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=， 故选：C ．8. 已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a ”，则以下命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. p q ∧C. ()p q ∨⌝D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】A 【解析】【分析】根据线面的关系判断命题p 的真假，根据正四面体外接球的表面积公式计算判断命题q 的真假，结合复合命题真假的判断方法即可求解. 【详解】命题p ：若//a α，α//β，则//a β或a ⊂β，故命题p 为假命题；命题q ，所以外接球的表面积为223π4π2a =，故命题q 为真命题.所以命题p q ∨为真命题，命题()()()p q p q p q ∧∨⌝⌝∧⌝、、为假命题. 故选：A.9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义可得21,MF MF ，根据平行关系可知12cos aF F M c∠=，由余弦定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】设:bl y x a=，则点M 位于第四象限， 由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=； 设过点2F 且与l 平行直线的倾斜角为α，则tan ba α=，cos a cα∴==， 12cos aF F M c∴∠=； 在12F F M △中，由余弦定理得：222122112122cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，e ∴==故选：C.10. 设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. b c a <<【答案】A 【解析】【分析】通过构造函数()e 1xf x x =--，利用导数研究函数单调性，证得e 1x x >+，则有,a c b c >>，再通过作商法比较,a b .【详解】设()e 1x f x x =--，因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以当R x ∈，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+. 所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e 13e 33b a -==<<，所以b a <.综上，c b a <<. 故选：A11. 已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若的90ADB ∠=︒，则AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与抛物线方程，求得12x x +，12x x ，12y y ，由90ADB ∠=︒可得0DA DB ⋅=，从而可求k 的值，根据弦长公式即可求AB ．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，()()22222244404y k x k x k x k y x⎧=+⇒+-+=⎨=⎩， 由题知，0∆>，故21212244,4k x x x x k-+==， 则()()()222121212122882224448k y y k x k x k x x x x k k ⎛⎫-⎡⎤=+⋅+=+++=++= ⎪⎣⎦⎝⎭， 由()()1212900220ADB DA DB x x y y ∠=⇒⋅=⇒--+=，即()121212240x x x x y y -+++=，即()224142840k k --⋅++=，解得213k=，则12443813x x -+==，则28AB x =-===．故选：C ． 12. 已知函数()1f x +是偶函数，且()()2f x f x +=-．当(]0,1x ∈时，()1cos f x x x=，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 C. ()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点 的【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，由()1f x +是偶函数，故()()11f x f x -+=+，结合()()2f x f x +=-，推导出()()f x f x -=-，A 正确；B 选项，求出()f x 的一个周期为4，从而只需求()f x 在区间12π1,ππ-⎛⎫⎪⎝⎭上的零点个数，结合函数性质得到2220ππf f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；C 选项，求导得到()111cos sin f x x x x'=+，换元后得到()cos sin h t t t t =+，15π1,6t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，再次求导，得到()h t 的单调性，结合()10h >，5π06h ⎛⎫⎪⎝⎭>，得到()0h t >在5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，得到()f x 在6,15π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；D 选项，与C 选项一样得到()h t 的单调性，结合零点存在性定理得到隐零点，进而得到()f x 的单调性，求出()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点. 【详解】函数()1f x +是偶函数，故()()11f x f x -+=+，因为()()2f x f x +=-，所以()()11f x f x +=--， 故()()11f x f x -+=--，将x 替换为1x +，得到()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，A 正确； 因为()()2f x f x +=-，故()()42f x f x +=-+，故()()4f x f x +=， 所以()f x 的一个周期为4， 故()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫ ⎪⎝⎭上的零点个数与在区间12π1,ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上的相同，因为22πcos 20ππf ⎛⎫==⎪⎝⎭，而()()()2f x f x f x +=-=-，故2220ππf f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2212π1,2,ππππ-⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 故()f x 在区间12π1,ππ-⎛⎫⎪⎝⎭至少有2个零点，B 错误； 6,15πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos f x x x =，则()111cossin f x x x x'=+，令1t x =，()cos sin h t t t t =+，当5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，所以()sin sin cos cos h t t t t t t t '=-++=，当π1,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=>，()h t 单调递增， 当π5π,26t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=<，()h t 单调递减， 又()1cos1sin10h =+>，0cos si 5π5π5π5π2n 5π66661h ⎛⎫==⎪⎝⎭=>+， 故()0h t >在5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以()0f x ¢>在6,15πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确； D 选项，1,1πx ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1cos f x x x =，故()111cossin f x x x x '=+，令1t x=，()cos sin h t t t t =+，当()1,πt ∈时， 则()cos h t t t '=， 当π1,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=>，()h t 单调递增， 当π,π2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=<，()h t 单调递减， 因为()1cos1sin10h =+>，πππππ02222cos 2sin h ⎪=⎛⎫=+⎝⎭>，()0cos s n πππ1i πh =-+<=， 由零点存在性定理，0π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h t =，当()01,t t ∈时，()0h t >，当()0,πt t ∈时，()0h t <，011,πx t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，01,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 所以()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点，D 正确. 故选：ACD【点睛】设函数()y f x =，x ∈R ，0a >，a b ¹．（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （3）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （4）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ； （5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 周期为a b -；（6）若函数()f x 的图象关于直线x a =与x b =对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（7）若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2b a -； （8）若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4b a -；（9）若函数()f x 是偶函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a ； （10）若函数()f x 是奇函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a .第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知(1,a a b =+= ，则a 与b的夹角为__________.【答案】30 【解析】【分析】首先根据题意得到a b += ，从而得到32a b ⋅= ，再根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅求解即可.【详解】因为(a b +=，所以a b +== ，所以()22223127a ba b a b a b +=++⋅=++⋅=，即32a b ⋅= .所以cos ,a b a b a b⋅===⋅， 因为0,180a b ≤≤，所以a 与b 的夹角为30 .故答案为：3014. ()4221x x -+的展开式中3x 项的系数为___________.的【答案】56- 【解析】【分析】先整理二项式为()81x -，由此即可求解. 【详解】解：二项式()()()442822111x x x x ⎡⎤=⎣⎦-+-=-， 所以展开式中含3x 的项为()55338156C x x ⋅-=-，所以3x 项的系数为56-， 故答案为：56-.15. 如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．【解析】【分析】易证得//OC BD ，由异面直线所成角定义可知所求角为SCO ∠，由长度关系可求得结果. 【详解】设圆锥底面圆心为O ，连接,,OC OD OS ，,C D 为弧AB 的两个三等分点，π3COD BOD ∴∠=∠=， 又OB OD =，OBD ∴△为等边三角形，π3ODB COD ∴∠=∠=，//OC BD ∴， SCO ∴∠即为异面直线SC 与BD 所成角，SO ⊥ 平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，SO OC ∴⊥，SO == ，122a OC AB ==，tan SO SCO OC ∴∠=== 即SC 与BD16. 已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11,nn n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为________．【答案】(),48-∞ 【解析】【分析】利用,n n a S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，再用裂项相消法求得n T ，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数λ的取值范围. 【详解】当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 当1n =时，111a S ==满足上式， 所以32,N n a n n *=-∈. 所以111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以1111111111(1)(()(1)343473323133131n T n n n n n =-+-++-=-=-+++ ， 由93n T n λ<+，可得9331n n n λ<++，即23(31)13(96)n n n nλ+<=++， 因为函数19y x x =+在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增， 所以当1n =时，19n n+有最小值为10， 所以13(96)48n n++≥，所以48λ<， 所以实数λ的取值范围为(),48∞-. 故答案为：(),48-∞.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，已知13,4,cos 3AC BC A ===-. （1）求角B 的值； （2）求边长AB 的值. 【答案】（1）π4（2）1 【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系及正弦定理可求解； （2）利用两角差的余弦公式结合余弦定理求解. 【小问1详解】在ABC 中，由1cos 3A =-，()22cos sin 1,0,πA A A +=∈,得sin A =.由正弦定理得，sin sin a b A B=3sin B =，故sin B =又因为A 为钝角，所以π4B = 【小问2详解】在ABC 中，()1cos cos sin sin cos cos 3C A B A B A B =-+=-=+=由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅()2223423491=+-⨯⨯=-=-所以1AB =-18. 如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.（1）证明：EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD 夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 的中点G ，连接EG FG ，，通过证明平面GEF 平面PAB ，可得EF 平面PAB ；（2）点A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由260，PA PAB ==∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30 ，可得P 坐标，后利用向量法可得平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值. 【小问1详解】取AD 的中点G ，连接,EG FG ，F 是PD 的中点，GF AP ∴∥，AP ⊂ 平面,PAB FG ⊄平面PAB ，GF ∴ 平面PAB ，同理可得GE 平面PAB ，，GE GF G GE =⊂ 平面，GEF GF ⊂平面GEF ，∴平面GEF 平面PAB ，EF ⊂ 平面GEF ，//EF ∴平面PAB ；【小问2详解】以点A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,2,4,0A B D C ，()()400040,,，,,AB AD ==.设(),,P x y z ，因2PA =，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30 ，则2sin 301z == . 又因60,PAB =∠ 则点P 的横坐标2cos 601x == . 又2PA =2=，结合题图可知y =，的则()P，()11,AP =.设()111,,m x y z =r 是平面PAB的一个法向量，则111140m AB x m AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令11y =，则(10,1,z m ==.设()222,,n x y z =r 是平面PAD的一个法向量，则222240n AD y n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩令11x =，则()111,0,1，z n =-=-.又因两平面夹角范围为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设平面PAB 与平面PAD 夹角为θ，cos =cos ,m n m n m n θ⋅===，∴平面PAB 与平面PAD19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．【答案】（1）总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23（2）0.004 【解析】【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解； （2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算. 【小问1详解】把男性样本记为12120,,,x x x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ；把女性样本记为1290,,,y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ．则2214,6;21,17x y x s y s ====．记总样本数据的平均数为z ，方差为2s ．由14,21x y ==，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数为120901209012090z x y =+++．120149021210⨯+⨯=17,=根据方差的定义，总样本方差为()()12090222111210i i i i s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()1209022111,210i i i i x x x z y x y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑ 由()120120111200iii i x x x x ==-=-=∑∑可得()()120120112()2(0iii i x x x z x z x x ==--=--=∑∑同理，()()9090112()2()0iii i y y y z y z y y ==--=--=∑∑，因此，()()12012090902222211111()()210i i i i i i s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ {}22221120(90(,210x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦ 所以{}22211206(1417)9017(2117)23210s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-≈⎣⎦⎣⎦， 所以总样本的均值为17，方差为23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23． 【小问2详解】由（1）知223σ=，所以()17,23X N ~4.8≈， 所以()()12.221.817 4.817 4.80.6827P X P X ≤≤=-≤≤+≈，()1(12.2)10.68270.15865,2P X <≈⨯-= 因为()3,0.15865X B ~，所以()3333C 0.158650.004P X ==⨯≈． 所以3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004．20. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 内的一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB 的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>P 也在1E 上，求证：直线AB 与1E 相切． 【答案】（1）2214x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据菱形1122F B F B 的周长和面积可构造方程组求得,b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:AB y kx t =+，与椭圆E 方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可求得P 点坐标；将AB 与椭圆1E 联立，可得1∆，由P 在椭圆1E 上可得等量关系，化简1∆可得10∆=，由此可得结论.【小问1详解】菱形1122F B F B 的周长为8，面积为122248b c a ⎧⋅⋅=⎪∴⎨⎪=⎩222a b c =+，1b c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，又椭圆E 的焦距大于短轴长，即22c b >，1b c =⎧⎪∴⎨=⎪⎩24a ∴=，则椭圆E 的方程为：2214x y +=. 【小问2详解】由题意知：直线AB 的斜率必然存在，可设其方程为：y kx t =+， 由2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2216140k t ∆=+->，即2214<+t k ，122814kt x x k ∴+=-+，21224414t x x k-=+， 21212228221414k t t y y kx t kx t t k k∴+=+++=-+=++，224,1414kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭； 椭圆1Ee ∴==224=m n ， 2221:44E x y n ∴+=，由22244x y n y kx t⎧+=⎨=+⎩得：()2222148440k x ktx t n +++-=， ()()()22222222216441444164k t k t n k n n t ∴∆=-+-=+-，P 在椭圆1E 上，()()2222222216441414k t t n k k ∴+=++，整理可得：()22241t n k =+， ()222222116440k n n k n n ∴∆=+--=，∴直线AB 与1E 相切.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系的证明问题，解题关键是能够利用点在椭圆上得到变量之间所满足的等量关系，将等量关系代入判别式中进行化简整理即可得到直线与椭圆的位置关系. 21. 已知函数()e 21x f x ax =+-，其中a 为实数，e 为自然对数底数，e=2.71828 ． （1）已知函数x ∈R ，()0f x ≥，求实数a 取值的集合；（2）已知函数()()2F x f x ax =-有两个不同极值点1x 、2x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：)12123x x x x +>．【答案】（1）12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭（2）① 212e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭，；②证明见解析 【解析】【分析】（1）利用不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，通过对a 的讨论，求出()f x 在给定区间的最值即可求出a 的值；（2）①由函数()F x 有两个不同的极值点1x ，2x 得，()e 22x F x ax a '=-+有两个不同零点，通过参数分离有112e x x a -=，构造函数()1e x x x ϕ-=，确定()1ex x x ϕ-=的单调性和极值，进而可求a 的取值范围； ②由已知得21211e e 1x x x x -=-，取对数得()()2121ln 1ln 1x x x x -=---，通过换元111x t -=，221x t -=，构造函数()ln u t t t =-，讨论函数()ln u t t t =-的单调性，确定12t t ，的不等关系，再转化为1x ，2x 的关系即可证明．【小问1详解】由()e 21x f x ax =+-，得()e 2xf x a '=+， 当0a ≥时，因为()11120e f a ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，不合题意； 当a<0时，当()()ln 2x a ∈-∞-，时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()()ln 2x a ∈-+∞，时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()min ()ln 222ln 21f x f a a a a =-=-+--，要()0f x ≥，只需()min ()22ln 210f x a a a =-+--≥，令()ln 1g x x x x =--，则()ln g x x '=-， 当()01x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，则由()()222ln 210g a a a a -=-+--≥得21a -=， 所以12a =-，故实数a 取值的集合12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭． 【小问2详解】 ①由已知()2e 21x F x ax ax =-+-，()e 22x F x ax a '=-+，因为函数()F x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以()e 22xF x ax a '=-+有两个不同零点， 若0a ≤时，则()F x '在R 上单调递增，()F x '在R 上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；当0a >时，由e 220x ax a -+=，得112e x x a -=，令()1ex x x ϕ-=所以()2ex x x ϕ-'=，当()2x ∈-∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()2x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 所以max 21()2e x ϕϕ==（）， 因为(1)0ϕ=，1lim 0e x x x →+∞-=，所以21102e a <<，所以22e a >， 故实数a 的取值范围为21e 2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，． ②设12x x <，由①则1212x x <<<，因为()()120x x ϕϕ==，所以11e 22x ax a =-，22e 22x ax a =-， 则21211e e 1x x x x -=-，取对数得()()2121ln 1ln 1x x x x -=---， 令111x t -=，221x t -=，则2121ln ln t t t t -=-，即221112ln ln (01)t t t t t t -=-<<<，令()ln u t t t =-，则()()12u t u t =，因为()1tu t t '=-，所以()ln u t t t =-在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增， 令()()112ln v t u t u t t t t⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 则()22(1)0t v t t-'=≥，()v t 在()0+∞，上单调递增， 又10v =（），所以当()01t ∈，时，()10v t v <=()，即()1u t u t ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 因为21t >，121t ->，()ln u t t t =-在()1+∞，上单调递增，所以211t t <， 所以21111x x -<-，即1212x x x x <+，所以))12121212x x x x x x x x <+<+<+，故)12123x x x x <+成立．请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）2sin 2cos ρθθ=-（21+【解析】【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线C 的极坐标方程；（2）求出OA 、OB ，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换可得π214AOB S α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，结合π02α≤<可求得AOB S 的最大值. 【小问1详解】解：由11x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩可得()()))2222112x y θθ++-=+=，即22220x y x y ++-=，故曲线C 的普通方程为22220x y x y ++-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即2sin 2cos ρθθ=-.【小问2详解】解：由题意知2sin π2cos π2OA =-=，ππ2sin 2cos 2cos 2sin 22OB αααα⎛⎫⎛⎫=+-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()21π·sin π2cos 2sin cos 2cos sin222AOB S OA OB αααααα⎡⎤⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin2cos21214ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 因为π02α≤<，则ππ5π2444α≤+<，所以当242ππα+=，即当π8α=时，AOB 1+. 选修4-5：不等式选讲.23. 设,,R,,,1a b c a b c ∈-均不为零，且1a b c ++=．（1）证明：(1)(1)0ab b c c a +-+-<；（2）求222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答. （2）利用柯西不等式求解最小值作答.【小问1详解】依题意，(1)0a b c ++-=，且,,(1)a b c -均不为零， 则22221(1)(1){[(1)][(1)2]}ab b c c a a b c a b c +-+-=++--++-2221[(1])02a b c =-++-<， 所以(1)(1)0ab b c c a +-+-<.【小问2详解】因为2222222](111[(2)(2)1()))[112(2)(2(2)]a b c a b c ⨯-++++-+++++≥⨯⨯+2(2)9a b c =+++=， 当且仅当222111a b c -++==，即3,1,1a b c ==-=-时取等号，因此222(2)(2)(2)3a b c -++++≥， 所以222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值为3.。
2020届全国示范性名校高三第三次联考数学(理)试卷及参考答案
绝密★启用前（在此卷上答题无效）姓名：________________准考证号：________________2020届全国示范性名校高三三联数学（理科）试题（150分，120分钟）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数为( ) A ． 57 B ． 56 C ． 49 D ． 82.一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63.在球O 内任取一点P ，使得点P 在球O 的内接正方体中的概率是( ) A ．π B ．π C ．π D ．π4.在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩ξ～N(95，σ2)，p(ξ＞120)＝a ，P(70＜ξ＜95)＝b ，则直线ax ＋by ＋＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ． 相离 B ． 相交 C ． 相离或相切 D ． 相交或相切5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足＝ (a ＋b ).曲线C ＝{P|＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r ≤| |≤R ，r ＜R}.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ． 1＜r ＜R ＜3B ． 1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ． 1＜r ＜3＜R6.已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ． (－∞，－1)∪(0，＋∞)B ． (－∞，0)∪(1，＋∞)C ． (－1,0)D ． (0,1)7.如图所示，有三根柱子和套在一根柱子上的n 个盘子，按下列规则，把盘子从一根柱子上全部移到另一根柱子上.(1)每次只能移动一个盘子；(2)在每次移动过程中，每根柱子上较大的盘子不能放在较小的盘子上面.若将n 个盘子从1号柱子移到3号柱子最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)等于( )A ． 33B ． 31C ． 17D ． 15 8.已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2等于( )A ． 2＋iB ． 1＋3iC ． 2＋i 或1＋3iD ． 条件不够，无法求出9.已知函数f(x)＝ x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R ) 在区间[－1,3]上是减函数，则b 的最小值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410.由9个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵中，每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有（ ） ①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列-1-（20-GSSL-QGYB ） -24-52GH-③④若9个数之和等于9，则A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个11.tan(π－θ)＋tan(π＋θ)＋tan(π－θ)tan(π＋θ)的值是( )A． B． C． 2 D．12.已知偶函数f(x)：Z Z，且f(x)满足：f(1)＝1，f(2 015)≠1，对任意整数a，b都有f(a＋b)≤max{f(a)，f(b)}，其中max(x，y)＝则f(2 016)的值为( )A． 0 B． 1 C． 2 015 D． 2 016二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为________．14.已知平面区域C1：x2＋y2≤4(＋|y|)，则平面区域C1的面积是________．15.已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个子数列中，由1开始的第29个数是________；（2分）第2 014个数是________.（3分）三、解答题(共70分)（一）必考题（60分）17.（本小题满分12分）设f(x)＝cos2x＋asinx－－(0≤x≤π).(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；(2)当M(a)＝2时，求a的值.18.（本小题满分12分）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈Z，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n.(1)当n∈Z，n≥2时，用P n－1表示P n；(2)求P n关于n的表达式．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求函数f(x)在[1,2]上的最值．(2)若对任意x1，x2∈[0,2]且x1>x2，都有>－1，求m的取值范围．(3)当m≤2时，证明f(x)>0.-2-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成△MF1F2的面积为，又椭圆C的离心率为.(1)若直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝2，又直线l1：y＝k1x＋m是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；(2)椭圆C的下顶点为N，过点T(t,2)(t≠0)的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．21.（本小题满分12分）已知Q2＝称为x，y的二维平方平均数，A2＝称为x，y的二维算术平均数，G2＝称为x，y的二维几何平均数，H2＝称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数.(1)试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想；(2)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想；(3)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，P＝Q2－A2，试判断M，N，P三者之间的大小关系，并证明你的猜想. （二）选考题（10分）（请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按22题记分）-3-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-23.（选修4-5：不等式选讲）伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。
【全国卷】名校教研联盟2023届高三联考(三)理科数学试卷及参考答案
绝密食启用前〈全国卷〉理科数学试卷注意事项：1.答Ai-前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，这出每小题答案后，用铅笔j巳辛辛题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再这涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答是巨卡上。
写在本试卷土元效。
3.考试结束后，将本试卷和毛在通卡一并交回。
一、选择题z本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.已知z+i＝刀，则lz-il=A豆豆 B.J22 2C.I2. 己知集合M= {xllx -II< 2} , N = {xl2x < 8｝，则MnN=A.｛斗－3＜工＜I}B.{xl-2<x<2}C.{xi-i<x<3}3.己灿，b为单位向景，若la-2bl＝刃，则。
·(a.-2b) =A.0B. -IC.I4.(x－三－1)5的展开式中x的系数为A.-35B.-15 c.5/(1) +f (2) +· · +f(I 0) s.定义域为R的函数f(x）满足f(x)= 2/(x+ I)< 0，则/(11) + /(12）÷…＋ /(30)220A. －－－：－：：－一－B.一一－－－＝－c.2102’υ＋ I 1-2，。
6.已知直线a,b, c两两异丽，且al.c,bl.c P下列说法正确的是A.存在平面α，β，使a cα，b cβ，且ellα，c IIβ，α土βB.存在平面α，β，使a cα，b cβ，且ellα，C IIβ，α／／βc.存在l啦一的平面y，使c c y，且α，b与y所成角相等D.存在平面y，使ally,blly, .llcl.y 。
..!.D.｛斗－I＜工＜2} D.2D.25D.-2107.我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着－辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表而接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表而接触，若该列车行驶了距离’s，贝I］此时P到铁轨上表丽的距离为A.R sin二RB.2R sin !_RC.R(l－咛）理科数学试题（全国卷）第l页（共4页〉D.R(l+cos言）8.已知x 2+ y 2=2x ，则2-=-的最大值为x＋」己A..!_2B..!_3卢布7卢布了D9.记s，，为等差数列｛。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n +1（n ∈N*），其中a 是常数，则a =（ ）A．B．C ．1D ．22. 复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC的重心，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 已知的展开式中的系数为，则实数（ ）A ．2B．C ．1D．5. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）①若，，且，则； ②若，，且，则；③若，，且，则； ④若，，且，则：A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．③④6. 已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（ ）A ．1B ．2C．D．7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 在中，，为的中点，则A．B．C．D．9. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（ ）A ．直线与蒙日圆相切B．椭圆的蒙日圆方程为C．若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4D ．记点到直线的距离为，则的最小值为10. 已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）A ．为单调递增数列B．C．，，成等比数列D．11. 在如图所示的平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点.则（ ）陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(2)陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(2)三、填空题四、解答题A ．若A 点的横坐标为，点的纵坐标为，则B．C．D ．以，，为三边构成的三角形的外接圆的面积为12. 数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，其中满足关系式：，则（ ）A．B ．数据的平均数为C ．若数据，则D ．若，数据不全相等，则样本点的成对样本数据的样本相关系数为13. 如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是___________.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）14. 已知直线和直线平行，则实数的值为____________.15.已知数列中，，且，则其前项的和__________．16. 在斜三棱柱中，△ABC 是边长为2的正三角形，侧棱，顶点 在面ABC 的射影为BC 边的中点O .(1)求证：面⊥面(2)求面ABC与面所成锐二面角的余弦值.17. 已知函数，且.（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；（2）当时，求函数的最小值；（3）在（1）的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围.18.如图所示，在四棱锥中，平面，，四边形为梯形，，，，，，，点在上，满足.(1)求证：平面平面；(2)若点为的中点，求平面与平面所成角的余弦值.19. 已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足，.(1)求与；(2)设，，求的前项和.20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求．21. △ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，．(1)求A；(2)若，，求△ABC的面积．。
陕西省安康市2023届高三三模理科数学试题及参考答案
陕西省安康市2023届高三三模（第三次质量联考）理科数学试题及参考答案一.选择题1.已知集合(){}2,x y y x A ==，(){}x y y x B ==,，则=B A （）A.{}1,0 B.(){}0,0 C.(){}1,1 D.()(){}1,10,0，2.若复数()R b a bi a z ∈+=,满足i z +2为纯虚数，则=ab （）A.2- B.21-C.21 D.23.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，443=+a a ，则=6S （）A.6B.12C.18D.244.已知向量()1,2=a，()x b ,1= ，若b a -2与b 共线，则=b （）A.25 B.45 C.5 D.55.党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年3月1日至5月31日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年3月1日至3月5日时段的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数y （单位：万人）的数据如下表：依据表中的统计数据，经计算得y 与x 的线性回归方程为a x y+=4.6ˆ.请预测从2023年3月1日起的第58天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（）A.440B.441C.442D.4436.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成的圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（）A.3π B.2π C.32π D.π7.在72⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，下列说法正确的是（）A.所有项的二项式系数和为1B.第4项和第5项的二项式系数最大C.所有项的系数和为128D.第4项的系数最大8.已知方程()()0272722=+-+-nx x mx x 的四个根组成以1为首项的等比数列，则=-n m （）A.8B.12C.16D.209.已知正三棱锥ABC P -的顶点都在球O 的球面上，其侧棱与底面所成角为3π，且32=P A ，则球O 的表面积为（）A.π8 B.π12 C.π16 D.π1810.已知椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上一点，︒=∠6021PF F ，点2F 到直线1PF 的距离为a 33，则椭圆C 的离心率为（）A.33B.22 C.36 D.32211.定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f =-2，且()12-+x f 为奇函数，则()∑==20231k k f （）A.2023-B.2022- C.2022 D.202312.若01.11121=-==+ce a b，则（）A.cb a >> B.ca b >> C.ba c >> D.ab c >>二、填空题13.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤->7220y x y x x ，则y x z -=的最大值是.14.已知函数()()⎩⎨⎧>-≤=0,10,4x x f x x f x ，则()=3log 2f .15.已知函数()()0cos >=ωωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛02，π对称，且在区间⎦⎤⎢⎣⎡80π，单调，则ω的一个取值是.16.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线C ：()0012222>>=-b a by a x ，的右焦点到渐近线的距离记为d ，双曲线C 的两条渐近线与直线1=y ，1-=y 以及双曲线C 的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕y 轴旋转一周所得几何体的体积为πdc 36（其中222b a c +=），则双曲线C 的离心率为.三、解答题17.已知ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，且c a <，416cos 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ.（1）求A ；（2）若3=b ，B Cc A a sin 34sin sin =+,求ABC ∆的面积.18.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100)内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.（1）现从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生中恰有1名学生获奖的概率；（2）估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布()2,σμN ，其中14≈σ，μ为样本平均数的估计值，试估参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五入到整数）.附：若随机变量X 服从正态分布()2,σμN ，则()6827.0≈+≤≤-σμσμX P ,()9545.022≈+≤≤-σμσμX P ，()9973.033≈+≤≤-σμσμX P .19.如图1，四边形ABCD 是梯形，CD AB ∥，421====AB CB DC AD ，M 是AB 的中点，将ADM ∆沿DM 折起至DM A '∆，如图2，点N 在线段C A '上.（1）若N 是C A '的中点.证明：平面⊥DMN 平面BC A '；（2）若62='C A ，二面角N DM C --的余弦值为55，求NCN A '的值.20.已知函数()12ln +-+=xx me x f x.（1）若0=m ，求函数()x f 的极值；（2）若()0<x f 恒成立，求m 的取值范围.21.已知抛物线C ：px y 22=的焦点为()01，F .（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，M 为抛物线C 上的点，且BM AM ⊥，AB MF ⊥，求ABM ∆的面积.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()⎩⎨⎧=-=ty t x 222（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()4sin 3122=+θρ.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若射线βθ=（其中()πβ，0∈，且21tan -=β，0≥ρ)与曲线C 在x 轴上方交于点M ，与直线l 交于点N ，求MN .23.已知函数()322-++=x x x f .（1）求不等式()5≤x f 的解集；（2）若R x ∈∀，()x f a a ≤-32，求a 的取值范围.参考答案一.选择题1.D 解析：由题意得⎩⎨⎧==xy x y 2，解得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==11y x ，故=B A ()(){}1,10,0，.2.A解析：()()()()()52222222ia b b a i i i bi a i bi a i z -++=-+-+=++=+为纯虚数，∴⎩⎨⎧≠-=+0202a b b a ，∴2-=a b.3.B解析：()()12262643616=+=+=a a a a S .4.A 解析：由题意得()xb a -=-2,32 ，∴x x -=23，解得21=x ，∴25411=+=b .5.C解析：由题意，3554321=++++=x ，90510098938475=++++=y ，将()90,3代入a x y+=4.6ˆ，可得a +⨯=34.690，解得8.70=a ，线性回归直线方程为8.704.6ˆ+=x y，将58=x 代入上式，4428.70584.6ˆ=+⨯=y.6.C解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为6+x ，由相似得316=+x x ，解得3=x .∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为32312ππ=⋅.7.B解析：展开式所有项的二项式系数和为12827=，故A 错误；展开式共有8项，∴第4项和第5项二项式系数最大，故B 正确；令1=x 得所有项的系数和为()1127=-，故C 错误；()7277121--+⋅⋅-⋅=r r rr r x C T ，∴642,,T T T 均小于0，3371672,128--==x T x T ，57514280x T x T ==，，∴第3项的系数最大，故D 错误.8.C解析：设方程()()0272722=+-+-nx x mx x 的四个根由小到大依次为4321,,,a a a a 不妨设0272=+-mx x 的一个根为1，则另一根为27，∴28271=+=m .由等比数列的性质可知3241a a a a =，∴27141==a a ，，∴等比数列4321,,,a a a a 的公比为3314==a a q ，∴931331232=⨯==⨯=a a ，，由韦达定理得1293=+=n ，∴161228=-=-n m .9.C解析：如图，设点Q 为ABC ∆的中心，则⊥PQ 平面ABC ，∴3π=∠P AQ ，∴3=AQ ，3=PQ .球心O 在直线PQ 上，连接AO ，设球O 的半径为r ，则r OQ r OP OA -===3，，在OAQ Rt ∆中，()()22233r r -+=，解得2=r ，∴球O 的表面积为ππ1642=r .10.A 解析：如图，由题意得a M F 332=，︒=∠6021PF F ，∴a PF a PM 32312==，，由椭圆定义可得a PF MF PM PF PF 22121=++=+，∴a MF =1.在21F MF Rt ∆中，由勾股定理得222433c a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可得33==a c e .11.D 解析：∵()()x f x f =-2，∴()x f 关于1=x 对称，∵()12-+x f 为奇函数，∴由平移可得()x f 关于()1,2对称，且()12=f ，∴函数()x f 是以4为周期的周期函数.()()()()()12422231====+f f f f f ，，∴()()()()44321=+++f f f f ，∴()()2023442024420231=-⨯=∑=f k f k.12.A 解析：由01.11121=-==+c e a b得01.11101.1ln 2101.12-==-=c b a ，，，比较a 和b ，构造函数()x x x f ln 212--=，当1>x ，()01>-='x x x f ，()x f 在()∞+，1上单调递增，故()()0101.1=>f f ，即b a >.同理比较b 和c ，构造函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x g 11ln ，当1>x ，()012>-='xx x g ，∴()x g 在()∞+，1上单调递增，∴()()0101.1=>g g ，即c b >.综上：c b a >>.二、填空题13.1解析：作出可行域，易得目标函数y x z -=在点()3,4A 处取得最大值1.14.169解析：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=43log 123log 23log 13log 3log 22222f f f f f 1692443log 243log 22===.15.1或3或5或7（写出其中一个即可）解析：由已知可得02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅πω，∴Z k k ∈+=⋅,22πππω，∴Z k k ∈+=,21ω.∵()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡80π，单调，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ωπω8,0x ，∴结合x y cos =的图象可得πωπ≤8，∴80≤<ω，∴=ω1或3或5或7.16.3解析：由题意知渐近线方程为x a by ±=，右焦点为()0,c F ，∴b ba bc d =+=22由⎪⎩⎪⎨⎧±==x a b y y 1得b a x =；由()⎪⎩⎪⎨⎧>=-=0112222x b y a x y 得b b a b a x 111222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，∴截面面积为()2222221a b a b b a ππ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+，阴影部分绕y 轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，∴πππbc dc a V 363622===，即bc a =26，∴()2222246c a c c b a -==，即22446c a c a -=，∴0624=--e e ，解得32=e ，∴3=e .三、解答题17.解：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-A A A A A 6cos 6cos 32cos 6cos 3sin 2ππππππ412123cos =+⎪⎭⎫⎝⎛+=A π，∴2123cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+A π，∵π<<A 0，∴37233πππ<+<A ，∴3223ππ=+A 或3423ππ=+A ，解得6π=A 或2π=A ，∵c a <，∴2π<A ，∴6π=A .（2）由（1）知6π=A ，B C c A a sin 34sin sin =+，由正弦定理得123422==+b c a 由余弦定理得A bc c b a cos 2222⋅-+=，即233231222⋅-+=-c c c ，整理得09322=--c c ，由0>c 得3=c ，∴433213321sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC .18.解：（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖.从该样本中随机抽取的2名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ，设“抽取的2名学生中恰有1名学生获奖”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为130170C C ，∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴()33142100130170==C C C A P ,即抽取的2名学生中恰有1名学生获奖的概率为3314.（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值10034.06510018.05510012.04510006.035⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=x 6410006.09510008.08510016.075=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+.（3）由题意所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布()21464，N .∵78=+σμ，∴()15865.026827.0178=-≈>X P .故参赛学生中成绩超过78分的学生数为15871000015865.0≈⨯.19.解：（1）取DM 中点O ，连接CO O A ，'，则由已知可得CO DM O A DM ⊥'⊥，，∵O CO O A =' ，∴⊥DM 平面CO A '，∴C A DM '⊥，∵4='=A D DC ，∴C A DN '⊥，∵D DM DN = ，∴⊥'C A 平面DMN ，∵⊂'C A 平面BC A '，∴平面⊥DMN 平面BCA '（2）由已知可求得32='=A O OC ，∴222C A A O OC '='+，∴A O OC '⊥，∵OD CO OD O A ⊥⊥'，，∴以O 为坐标原点，分别以A O OC OD '，，所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示空间直角坐标系xyz O -.则()()()()32000,320002002，，，，，，，，，，A C M D '-.设()10≤≤'='λλC A N A ，则()λλ32,320-='，N A ，∴()λλ3232,320-，N ，∴()λλ3232,322--=，DN ，()00,4，=MD 设平面DMN 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则()⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=⋅==⋅032323220411z y x n DN x n MD λλ ，令1-=λy ，则()λλ,1,01-=n .易得平面CDM 的一个法向量为()1,0,02=n.设二面角N DM C --的平面角为θ，由图可得θ为锐角，()551cos 222121=+-=⋅=λλλθn n n n .解得31=λ或-1（舍去），∴21='NC N A .20.解：（1）当0=m 时，()12ln +-=x x x f ，其定义域为()∞+，0，()2ln 3x xx f -='，∴当()3,0ex ∈时，()0>'x f ；当()+∞∈,3e x 时，()0<'x f ，∴()x f 在()3,0e 上单调递增，在()+∞,3e 上单调递减，∴()xf 的极大值为()1133+=e e f ，无极小值.（2）由()0<x f 得012ln <+-+x x me x ，∴x xe x x m --<ln 2在()∞+，0上恒成立.令()x xe x x x h --=ln 2，则()()()()()xx e x x x x e x x x x x x x h 22ln 311ln 211+-+=+---⎪⎭⎫ ⎝⎛--='，令()x x x ln 3+-=ϕ，易知()x ϕ在()∞+，0单调递增，∵()012ln 2<-=ϕ，()03ln 3>=ϕ，∴()3,20∈∃x ，使得()00=x ϕ，即003ln x x -=，∴当()0,0x x ∈时，()0<'x h ；当()+∞∈,0x x 时，()0>'x h ；∴()x h 在()0,0x 上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，∴()()00000min ln 2x ex x x x h x h --==.由003ln x x -=得()3ln ln ln 0000==+x x e x ex ，∴300e e x x =，∴()()30000min 1ln 20e e x x x x h x h x -=--==，∴31e m -<，∴m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31e ，.21.解：（1）由已知可得12=p ，解得2=p ，∴抛物线C 的方程为x y 42=.（2）设()()2211,,y x B y x A ，，()33,y x M ，若x AB ⊥轴，由AB MF ⊥得()()()212100-，，，，，B A M 或()()2121，，，B A -，此时不满足BM AM ⊥，∴不满足题意；设直线AB 的方程为()01≠+=m my x ，直线MF 的方程为()011≠+-=m y m x ，将1+=my x 代入抛物线方程得0442=--my y ，()01162>+=∆m ，∴442121-==+y y m y y ，.将11+-=y m x 代入抛物线方程得0442=-+y m y ，∴044323=-+y my ①.直线AM 的斜率为132123131313444y y y y y y x x y y +=--=--，同理直线BM 的斜率为234y y +.∵BM AM ⊥，∴⋅+134y y 1423-=+y y ，∴()162132123-=+++y y y y y y ，即0124323=++my y ②.由①②解得2314m m y -=，将其代入①可得()()011442222=---+m m m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==3233y m 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=3233y m .当⎪⎩⎪⎨⎧-==3233y m 时，直线AB 的方程为13+=y x ，()323-，M ，4=MF .∵21,y y 满足04342=--y y ，∴4342121-==+y y y y ，.∴()161648242121221212=+=-+=-+=y y y y y y m AB ，∴324162121=⨯⨯=⨯⨯=∆MF AB S ABM .同理可得，当⎪⎩⎪⎨⎧=-=3233y m 时，直线AB 的方程为13+-=y x ，()323，M ，4=MF .∵21,y y 满足04342=-+y y ，∴4342121-=-=+y y y y ，.∴()161648242121221212=+=-+=-+=y y y y y y m AB ，∴324162121=⨯⨯=⨯⨯=∆MF AB S ABM .∴ABM ∆的面积为32.22.解：（1）由()⎩⎨⎧=-=t y t x 222得()222-=y x ，即0242=+-y x .故直线l 的普通方程是0242=+-y x .由()4sin 3122=+θρ得4sin 3222=+θρρ，代入公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 得43222=++y y x ，∴1422=+y x ，故曲线C 的直角坐标方程是1422=+y x .（2）由βθ=（其中()πβ，0∈，且21tan -=β，0≥ρ)得55sin =β，552cos -=β.将射线βθ=（0≥ρ）代入曲线C 的极坐标方程，可得2555314sin 314222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=+=βρM ，∴210=M ρ.直线l 的极坐标方程为024sin 2cos =+-θρθρ，将βθ=（0≥ρ）代入直线l 的极坐标方程可得：024sin 2cos =+-βρβρ，∴10=N ρ，∴21021010=-=-=M N MN ρρ.23.解：（1）()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+-=-++=3,1331,51,13322x x x x x x x x x f .①当1-≤x 时，34513-≥⇒≤+-x x ，解得134-≤≤-x ；②当31<<-x 时，055≤⇒≤+x x ，解得01≤<-x ；③当3≥x 时，2513≤⇒≤-x x ，无解.∴不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-034x x .（2）∵R x ∈∀，()x f a a ≤-32，∴()min 23x f a a ≤-，由（1）知()x f 在()1-∞-，单调递减，[)3,1-单调递增，[)∞+，3单调递增，∴()()41min =-=f x f ，∴432≤-a a ，∴4342≤-≤-a a ，解得41≤≤-a .。
高三数学理科第三次联考试卷试题
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
例如：由于 ，所以十进制中的563在12进制中就被表示为3MN．那么，十进制中2021在十二进制中被表示为
4 C
第二卷〔非选择题一共90分〕
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。把答案填在题中的横线上〕
13．在 的展开式中， 的系数是_________。
〔1〕 的周长为10〔ⅰ〕
〔2〕 的面积为10〔ⅱ〕
〔3〕 中， 〔ⅲ〕
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共74分，解容许写出文字说明、推理过程或者演算步骤〕
17．〔本小题总分值是12分〕
函数 [ ]。
〔Ⅰ〕假设 ，求函数 的值；〔Ⅱ〕求函数 的值域。
18．〔本小题总分值是12分〕
如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、D1D的中点。
二、填空题
13．241 16.(1)─〔ⅲ〕，〔2〕─〔ⅰ〕，〔3〕─〔ⅱ〕
三、解答题
17．〔Ⅰ〕
〔Ⅱ〕
≤ ≤ ， ≤ ≤ ≤
≤ ≤
故函数 的值域为[1，2]。
18．〔Ⅰ〕如图，连结 交 于 ，那么 ，连结
平面
为二面角 的平面角。
设正方体的棱长体为 ，那么
在 中，
〔Ⅱ〕过点 作 ，垂足为 ，那么 平面
英
语
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
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陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知抛物线的焦点为，点，在上，且的面积为，则（ ）A．B．C．D．2.如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（ ）A．B ．2C ．3D ．43.在△中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，△的面积为S ，若，则的值是（ ）．A．B．C．D．4.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（ ）A．B．C．D．5. 已知各棱长均为的正三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．6. 如果复数是实数，（为虚数单位，），则实数的值是（ ）A．B．C．D．7. 已知，若，则（ ）A．B．C．D．8. 已知向量，，若，则实数m 等于（ ）A．B ．0C ．1D．9. 已知，，则（ ）A．将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象B ．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象C ．的图象与的图象关于直线对称D ．的图象与的图象关于直线对称10. 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖；丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符，已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）.A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．乙和丁11.透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为注入体积为的液体.如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题三、填空题四、解答题A ．液面始终与地面平行B．时，液面始终是平行四边形C ．当时，有液体的部分可呈正三棱锥D ．当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为12. 设等比数列的公比为q ，其前n 项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）A．B．C ．是数列中的最大值D ．若，则n 最大为4038．13. 全国政协委员唐江澎说过：好的教育应该是培养终身运动者、责任担当者、问题解决者和优雅生活者．终身运动者，即要有敬畏生命、珍爱生命的态度，养成终身运动的习惯和健康的生活方式．某中学积极响应此项号召，大力倡导学生进行体育锻炼，为了解高三学生体育锻炼的情况，对该校高三学生的每日运动时间进行了调查，并根据调查结果制成如图所示的频率分布直方图，则该校高三学生每日运动时间的中位数约是______．14. 已知，是抛物线上两点，若线段的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的方程可能是______．（本题答案不唯一，符合题意即可）15. 函数则______.16. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数85205310250130155(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200(3)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，则X的期望是多少？附：0.050.0250.0103.841 5.024 6.635，其中.17. 的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）记边上的高为，求；（2）若，，求．18. 已知抛物线：顶点在坐标原点，轴为对称轴，且过点，（1）求抛物线的方程；（2）已知抛物线的准线为，焦点为，若点为直线：上的动点，设点横坐标为．试讨论，确定圆心在抛物线上，与相切，且过点的圆的个数？19. 如图：四面体的底面是直角三角形，，，，平面，，是上的动点（不包括端点）.（1）求证：与不垂直；（2）当时，求的值.20. 已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由.21. 目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为，m，．若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为．（1）求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；（2）三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望．。
高三数学第三次联考试题 理 试题
五校联盟2021届高三年级第三次联考试题数 学〔理科〕考前须知：1．本试题分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，考试用时120分钟。
2．答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上。
3．第一卷一共2页，答题时，考生需要需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上答题无效。
4．第二卷一律用黑色签字笔写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或者草纸上答题。
5．在在考试完毕之后以后，将答题卡和答题纸一起交回。
参考公式：1．假设事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 2．假设事件A B 、互相HY ，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．球的外表积公式24R S π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径第一卷〔选择题 一共60分〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日绝密★启用前一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.复数23(1)i i+的值是 〔 〕 A ．2i - B ．2i + C ．2- D ．22．在等差数列}{n a 中，836a a a +=， =9S 〔 〕 A.1- B.0 C ．1 D ．以上都不对3.函数y ＝2-x＋1〔x ＞0〕的反函数是 〔 〕A. y ＝log 21x -（），x ∈〔1，2〕B. y ＝1og 211x -，x ∈〔1，2〕 C ．y ＝log 21x -（），x ∈〔1，2] D ．y ＝1og 211x -，x ∈〔1，2]4. “2a =〞是“6()x a -的展开式的第三项是604x 〞的 〔 〕A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 假设向量a →＝(cos α ，sin α)，b →＝(cos β ，sin β)，那么a →与b →一定满足 ( )A ．a →∥b → B. a →⊥b → C ． 夹角为α－β D ．(a →＋b →)⊥(a →－b →))10(1||log )(<<+=a x x f a 的图象大致为 〔 〕A. B. C. D.7. 某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，假设这4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法一共有 ( ) A ． 140种 B ． 120种 C ． 35种 D ． 34种 8. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，那么点O 到平面ABC 1D 1的间隔 为 〔 〕 A ．21B.42 C ．22 D ．239. 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，那么PN PM ⋅的值是 〔 〕 A ． 2a B ．2b C ． ab 2 D ． 22b a +10.假如33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是〔 〕A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，那么所截得 几何体(球内局部)的外表积为 〔 〕 A ．54π B ． 78π C ． π D ． 74π12.假如以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，且被该双曲线的右准线分成弧长为２：１的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于〔 〕A ．25B.2 Ｃ．3 Ｄ．5第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上．13. 直线tan105l x y π++=：的倾斜角a =_________________ ．14．点(,)M x y 在不等式组5000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内，那么22(1)(2)z x y =-+-的最小值为________．()f x 对于任意实数x 满足条件：()()12f x f x +=，假设()15,f =- 那么()()5ff =_______________．16．桌面上一矩形纸板ABCD ，绕边AB 旋转4π，再绕边AD 旋转4π，那么此时的平面与旋转前的平面所成的二面角的大小为__________．三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17. 〔本小题满分是10分〕在△ABC 中，tanA=14，tanB=35．(1)求角C 的大小；(2)假设ABBC 边的长．18. 〔本小题满分是12分〕在举办的第九届全国少数民族传统体育运动会的某个餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位：℃)有关，假设日平均气温不超过23 ℃，那么日销售量为100瓶；假设日平均气温超过23℃但不超过26 ℃，那么日销售量为150 瓶；假设日平均气温超过26 ℃，那么日销售量为200瓶．据气象部门预测，在运动会期间每一天日平均气温不超过23 ℃，超过23 ℃但不超过26 ℃，超过26 ℃这三种情况发生的概率分别为P 1，P 2，P 3，又知P 1，P 2为方程5x 2－3x ＋a ＝0的两根，且P 2＝P 3.(1)求P 1，P 2，P 3的值；(2)记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位：瓶)， 求：ξ的分布列及数学期望．19.〔本小题满分是12分〕如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB是AB等边三角形，2DA AB ==， 12BC AD =，E 是线段的中点．〔Ⅰ〕求证：PE CD ⊥；〔Ⅱ〕求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．20.〔本小题满分是12分〕数列{}n a 满足412311=-=+a ,a a a n n n ．〔1〕1b 1()n nn N a *=-∈令 求数列{}n b 的通项公式； 〔2〕求满足1501121<+++-+m m m a ...a a 的最小正整数m 的值．21. 〔本小题满分是12分〕椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为12F F 、，短轴两个端点分别为A B 、，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形．〔I 〕求椭圆方程；〔II 〕假设C D 、分别是椭圆长轴的左、右两端点，动点M 满足CD MD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P .求证：OM OP ⋅为定值．22. 〔本小题满分是12分〕函数.)1ln()1()(22x x x f +-+= 〔1〕求函数)(x f 的单调区间；〔2〕假设当]1,11[--∈e ex 时〔其中 71828.2=e 〕，不等式m x f <)(恒成立，务实数m 的取值范围；〔3〕假设关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根，务实数a 的取值范围．五校联盟2021届高三第三次联考参考答案数 学〔理、文科〕一、选择题：C B B AD A D B A C A B 二、填空题：理科 13． 45π 14．92 15． 15- 16． 3π文科 13． 23π 14．9215． 5- 16． 4三、解答题：17．解 〔Ⅰ〕π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--．又0πC <<，3π4C ∴=．……5分 〔Ⅱ〕由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =… …… …7分 sin sin AB BC C A =，sin 2sin ABC AB C∴==．……10分18．解：(1)由得⎩⎪⎨⎪⎧P 1＋P 2＋P 3＝1P 1＋P 2＝35P 2＝P3，解得：P 1＝15，P 2＝25，P 3＝25.……5分(2)ξ的可能取值为200,250,300,350,400. … …… … … …… …… …6分 P(ξ＝200)＝15×15＝125，P(ξ＝250)＝2×15×25＝425，P(ξ＝300)＝2×15×25＋25×25＝825，P(ξ＝350)＝2×25×25＝825，P(ξ＝400)＝25×25＝425. ……………………10分〔理科〕随机变量ξ的分布列为所求的数学期望为Eξ＝200×125＋250×425＋300×825＋350×825＋400×425＝320(瓶)〔文科〕P (200 ≤ξ≤300)= 125+425+825=1325……………………12分19．〔Ⅰ〕证明：因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD PE ⊥.又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥． 因为ADAB A =，所以PE ⊥平面ABCD ．而CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥．…………………………………………5分〔Ⅱ〕解：以E 为原点，建立如下图的空间直角坐标系E xyz -． 那么(0,0,0)E ，(1,1,0)C -，(2,1,0)D，P ． (2,1,0)ED =，EP =，(1,1,PC =-． 设(,,)x y z =n 为平面PDE 的法向量．由0,0.ED EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,0.x y +=⎧⎪=令1x =，可得(1,2,0)=-n ．………………………9分 设PC 与平面PDE 所成的角为θ．||3sin cos ,5||||PC PC PC θ⋅=<>==n n n ．所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35． …………………………………12分 20．解：〔1〕由得,231n n a a a a -=+1132n na a +=-，)11(3111-=-∴+n n a a ，∴数列｛11-na ｝是首项为３，公比为３的等比数列， ∴n n na 333111=⋅=--， ……………………………4分 ∴).(131*∈+=N n a nn ……………………………6分 〔２〕由1知121121111313131m m m m m m a a a +-+-+++=++++++ 12111111111111113(1)(1)1333333323313mm m m m m m m m+----<+++=+++==-⋅-…10分 1321-⋅<m .令15013211≤⋅-m ，解得5≥m 故所求m 的最小值为5. ……12分 〔此题文科参考理科相应评分HY 〕21．〔I 〕222,,2c b a c b a +===，22=∴b ，∴椭圆方程为12422=+y x .………4分 〔II 〕)0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P y M ，那么),2(),,(011y OM y x OP ==→→. 直线CM ：0042y y y x -=-，即 00214y x y y +=，…… … … … … … 6分 代入椭圆4222=+y x , 得042121)81(2020220=-+++y x y x y 。
高三数学第三次联考试题理试题
届高三第三次联考数学试题理〔扫描〕数学〔理科〕试卷总分值是：150分考试时间是是：120分钟第一卷〔选择题总分值是50分〕一、选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1．选A解析：{|2},{|13},{|31}{|1}R R A x x B x x C B x x A C B x x =<=<<=≥≤=≤或，，2．C3．D4．选C 解析：22(1,0)()OC OA OB λλλ=-+=-+=-，即()C λ-，又120AOC ∠=所以3tan1202λ=-，解得1λ=， 5．D6．A解析：由41a a <得31q >即1q >，由53a a <得21q >即1q >或者1q <-7．B 解析：211334214322144C C C C A A ••= 8．选D解析：03(1)3(1)ay a y z x x -==•+--表示阴影局部内的点P 到点(1,0)A -的 连线斜率的3a 倍，由图可知连线斜率恒大于或者等于0，故当P 点的坐标 为(0,1)时z 的最大值为18，所以10130(1)8a -=--得38a =， 9．D 解析：作出()y f x =的图像如下所示，那么()()F x f x a =-的零点即为函数()y f x =与y a=图像交点的横坐标，由图可知一共有五个零点，不妨设为12345,,,,x x x x x 且12345x x x x x <<<<，从x y图中可看出1x 与2x 关于直线3x =-对称，4x 与5x 关于直线3x =对称，故12452(3)230x x x x +++=⨯-+⨯=，当(1,0)x ∈-时12()log (1)f x x =--+，因此由12log (1)x a --+=解得312a x =-，故1234512a x x x x x ++++=-10．选B ．由()cos sin 0f x x x x '=-=得cos sin 0x x x -=，显然cos 0x ≠所以1tan x x =，易知方程1tan x x =的实根就是()f x 的极值点。
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高三年级第三次联考试卷
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 2016.3.16
1．复数-1+31+i i =( ) A. 2+i B. 2-i C. 1+2i D. l-2i
2． 已知集合A={l ，3，m ），B={l ，m ），A B =A ，则m=( )
A. 0或3； B ．0或3 C ．1或3 D.1或3
3． 下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( )
A. a>b+l
B. a>b-l
C. a 2>b 2
D. a 3>b 3
4． 直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则，与C 所围成的图形的面积等于( )．
A ．43 B.2 C ．83
. D. 1623 5．某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补 种2粒，补种的种子数记为X,则X 的数学期望为( )．
A. 100
B. 200
C. 300
D. 400
6．51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A. -40
B. -20
C. 20
D. 40
7．△ABC 中，AB 边的高为CD.若CB =a ，CA =b ，a ·b =0，|a|=1，|b|=2，则AD =( )
A. 1155a b -
B.4455a b -
C. 1155b a -
D. 4455
b a - 8． 已知F 1，F 2为等轴双曲线C 的焦点，点P 在C 上，|PF l | =2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.
14 B. 35 C.34 D. 45 9．执行如图所示的程序框图，若输入n= 10，则输出S=( )
A.
511
B ．1011
C ．3655
D. 7255 10.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )
A. 28
B. 24+62 C ．20+213 D ．16+62+213
11．设P,Q 分别为圆x 2+(y 一6)2 =2和椭圆2
10
x +y 2 =1上的点，则 P ，Q 两点间的最大距离是( )
A. 52
B. 46+2
C. 62
D.7+2
12．设函数f(x) =2
ln(1)x x +-，函数(),0()(),0_f x x g x f x x ≥⎧=⎨-<⎩；以下命题中，假命题是（） A ．对任意实数a 、b ，a ≠b ，都有f （a ）≠f(b)
B ．存在实数a 、b ，a ≠b ，使得g(a ）=f(b)
c ．对任意实数a 、b ，O<a<b ，都有f(a)+f(一b ）>g(b)- g(-a)
D ．存在实数a 、b ，a<b<0，使得f(a)+f(—b)>g(b)一g （一a ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x ，y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则z=3x-y 的最小值为____．
14.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a l =10，a 2为整数，且S n ≤S 4，则公差d= ．
15．若函数f(x)= cos2x+asinx 在区间(
6π，2
π)是减函数，则a 的取值范围是 ． 16．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE=BF= 37,动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为____．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosA=23
， sinB=5cosC.
(1)求tanC 的值； (2)若a=2，求△ABC 的面积．
18.（本题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三
角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
(l)证明：SD ⊥平面SAB;
(2)求AB 与平面SBC 所成的角正弦值，
19.（本题满分12分）从某工厂生产的某产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标，
由测量结果得到下列频数分布表：
(1)作出这些数据的频率分布直方图，并估计该产品质量指标值的平均数x 及方差s 2 （同一组中的数据用该组的中点值作代表）；
(2)可以认为这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 x ，σ2。
近似为样本方差s 2; 一件产品的质量指标不小于110时该产品为优质品；利用该正 态分布，计算这种产品的优质品率p （结果保留小数点后4位）．
（以下数据可供使用：若Z~()2
N μδ，，则()68.26%,P μδξμδ-<<+= ()2295.44%)P μδξμδ-<<+=
20.（本题满分12分）设椭圆E 1：22
22x y a b
+=l （a>b>0）的两个顶点与两个焦点构成一个面积2的正方形，P 是E 1上的动点，椭圆E 2：22
82
x y +=l (1)若椭圆E 上的点Q 满足：(0)OQ OP λλ=>，求λ的最小值；
(2)设E 在P 处的切线为l ，l 与E 2交于A 、B 两点，求三角形OAB 面积的最大值，
21.（本题满分12分）设21()ln x f x x
-= (1)求证：f(x)在(0，1)和(1，+∞)上都是增函数；
(2)若在函数f(x)的定义域内，不等式af(x)>x 恒成立，求a 的取值范围，
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
作答 时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，D,E 分别为△ABC 的边AB, AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为 m ，AC 的长为n ，AD, AB 的长是关于x 的方程x 2 -14x+ mn=0的两个根．
(1)证明：C,B,D,E 四点共圆；
(2)若∠A=90°，且m=4，n=6，求C,B,D ，E 所在圆的半径．
23.（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(a 为参数) M 是C l 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线C 2．
(1)求C 2的直角坐标方程；
(2)在以a 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=至与C l 的异于极点的交点
为A ，与C 2的异于极点的交点为B 。
求|AB|．
24.选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=|x-a|+3x ，其中a>0.
(1)当a=l 时，求不等式f(x)≥3x+2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≤-1}，求a 的值．。