概率论论文-浅谈中心极限定理
【毕业论文】中心极限定理的理论及其应用
摘 要本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。
经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。
同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来进行讨论。
同时通过很多相关的正反例子，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件;强调在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。
最后了解一些简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理分支学科中的重要作用和应用价值。
关键词：随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理Abstrac tThis paper concerns on the convergence and relation of the series of random variable. By means of the studying on laws of large numbers and central---limit theorems under the condition either of independent and identically distribution or independent but different---distributions comprehensively，we illuminate that the mean value is stable which is the essential property for the event. And we enplaned the rules that the sum of in dependent random variables submitted the normal distribution according to central--limit theorems. At the same time，we analyzed and stated the Markov theorem under the different terms and conditions，so its theorems，i.e. Chebyshev theorem，Bemoulli theorem，Poisson theorem including Khintchine theorem based on the distribution. Moreover，we have got the strong law of large numbers in the sense of its probability with1 by generalization. Central---limit theorems were studied in the same way. In addition，we showed the relations between various law of large numbers，Various central---limit theorems and themselves mutually. The more interesting is that plenty of correlative examples including Positive and negative are illustrated to emphasize the importance of identifying the conditions of these theorems in all sorts of their applications. At last，we brought forth the value of laws of large numbers and central---limit Theorems in some subjects such as mathematical statistics，administrative Decision---making，approximate calculation，insurance and so on.Keywords: convergence of random variables，independent random variables，Characteristic function，central－limit theorem目录第一章 绪论 (1)1.1课题的研究意义 (1)1.2国内外研究现状 (1)1.3研究目标 (2)第二章 中心极限定理 (3)2.1中心极限定理的提法 (3)2.2独立同分布情形 (6)2.3独立不同分布情形下的中心极限定理 (9)第三章 中心极限定理的应用和推广 (10)3.1中心极限定理在经济中的应用 (13)3.2中心极限定理在商场管理中的应用 (19)参考文献 (20)致 谢 (21)声 明 (22)第一章 绪 论1.1 课题的研究意义概率统计学是一门研究随机现象统计规律性的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等。
概率论中的极限定理研究
概率论中的极限定理研究概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件及其规律性的数学理论。
而概率论中的极限定理则是研究随机过程中随机变量序列的极限行为，对于理解概率分布的特性以及实际问题的分析具有重要意义。
本文将介绍概率论中的几个著名极限定理，并探讨其数学原理及应用。
一、大数定律大数定律是概率论中最基本的极限定理之一，它研究随机事件频率的稳定性。
大数定律表明，当独立随机变量序列满足一定条件时，随着观测次数的增加，样本均值将以极高的概率收敛到其期望值。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律是指对于独立同分布的随机变量序列，样本均值以概率1收敛到其期望值。
而强大数定律则要求随机变量序列满足更高的条件，如独立同分布序列满足狄利克雷条件时，样本均值几乎处处收敛到其期望值。
大数定律的应用广泛，例如在统计学和金融领域中，可以通过大数定律来评估样本的稳定性和收敛性，从而进行有效的决策和预测。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中最重要的极限定理之一，它研究随机变量序列的和的极限行为。
中心极限定理表明，随机变量序列的和在适当条件下将以正态分布为极限。
中心极限定理包括林德伯格-列维定理、棣莫弗-拉普拉斯定理等。
其中林德伯格-列维定理是最常用的中心极限定理，它要求随机变量序列服从独立同分布，并满足一定的矩条件，如只有有限的前几阶矩存在时，随着样本容量的增加，随机变量序列的和以正态分布为极限。
中心极限定理的应用广泛，例如在统计学中，可以通过中心极限定理来构建置信区间和进行假设检验，从而对总体的性质进行推断和判断。
三、大数定理与中心极限定理的关系大数定理和中心极限定理是概率论中的两个重要极限定理，它们之间存在着一定的联系和区别。
大数定律研究的是随机变量序列的平均值在大样本情况下的极限行为，强调的是随机变量的稳定性和收敛性。
而中心极限定理研究的是随机变量序列的和在适当条件下的极限行为，重点在于极限分布的形态。
此外，大数定律更强调样本容量的增加对结果的影响，而中心极限定理则关注随机变量累加的过程。
中心极限定理及其简单应用
中心极限定理及其简单应用摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极pH定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。
关键词：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。
随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。
极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。
中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。
因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。
二、定理及应用中心极限定理有多种形式：1、独立同分布下的中心极限定理定理1[1]，设x1，X2，…，Xn，…是独立同分布随机变量，EXi=μDXi=σ2（i=1，2，…，n)则它表明当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
定理1也称为林德伯格定理或列维——林德伯格定理。
其中上下同除n，分子中有，其在数理统计中可表示样本的均值，可见独立同分布的样本均值近似地服从正态分布。
这使得中心极限定理在数理统计中有着广泛而重要的作用。
而上述定理应用到伯努利实验序列的情形，我们可以得到如下定理。
定理2[1](拉普拉斯定理)，在n重伯努利试验中，事件A在每次实验中出现的概率P(0<P<1)，μn为n次试验中事件A出现的次数，则2、同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。
例1[3]，设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少?解：设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量X1，X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。
谈谈中心极限定理及其应用
谈谈中心极限定理及其应用作者：付苗苗来源：《科学导报·学术》2020年第55期【摘要】中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个非常重要的定理，衔接着概率论的知识与数理统计的相关知识，既是教学重点又是难点。
中心极限定理证明了，一般的情况下，无论随机变量服从什么样的分布，个相互独立的随机变量的和，当趋向于无穷大时的极限分布，就是正态分布。
本文仅介绍其中两个最基本的中心极限定理，并通过举例简介它的应用。
【关键词】中心极限定理;正态分布;随机变量;应用在概率论与数理统计中，正态分布是一种最重要的分布，它不仅最常见，而且还具有良好的性质。
在现实生活中，许多随机变量都服从正态分布，即使有些原来并不服从正态分布的独立的随机变量序列，它们的和的分布也近似服从正态分布，一般地，如果随机现象的某个数量指标受到众多不确定因素的影响，而且这些不确定因素彼此之间没有什么依存关系，且谁也没有特别突出的影响，那么，这些不确定因素对该数列指标影响的“累积效应”将会使该数列指标近似地服从正态分布。
中心极限定理从理论上证明了，在一般的情况下，无论随机变量服从什么样的分布，个相互独立的随机变量的和，当趋向于无穷大时的极限分布，就是正态分布。
因此，中心极限定理不仅给我们提供了计算相互独立随机变量之和的概率的近似简单方法，而且解释了在现实生活中，为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。
根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。
这里我们仅介绍两个常用的最基本的中心极限定理，然后，再加以应用。
一、独立同分布的中心极限定理定理1（林德贝格一列维定理）（独立同分布的中心极限定理）：设随机变量序列相互独立，且服从同一分布，又具有有限的相同的数学期望和方差，且，则对于随机变量，有。
定理中随机变量的相互独立是说随机变量之间不相互影响，而同分布是指随机变量在序列的前n项部分和中的地位相同，或者说，每个随机变量对前n项的部分和的影响都是微小的。
浅谈应用_中心极限定理_在解决实际问题中的感想
浅谈应用“中心极限定理 ”在解决实际问题中的感想张 敏(西安市 42 中 陕西西安 710082 )【摘 要 】 本文对中心极限定理的几种情况作以分别阐述 ,并列举与之相应的实际生活中的例子 。
通过事例说明中心极限定理的重要性及如何将其应用于实际生活 。
【关键词 】 中心极限定理 ;随机变量 ;正态分布 ;独立性 ; 均值 ; 方差 一 、正态分布的优越性 、普遍性自从高斯指出测量误差服务从正态分布后 , 人们发现正态分布在 自然界中极为常见 。
例如 :炮弹的弹落点服从正态分布 ,人们许多生理 特征如身长 、体重等也服从正态分布 。
观察表明 : 如果一个量是由大量 互相独立的随机因素的影响所造成 , 而每一个别因素在总影响中起的 作用较小 ,则这种量通常都服从或近似服从正态分布 。
另一方面 ,正态 分布具有很多良好的性质 , 而且许多分布可由正态分布导出或与正态 分布近似 。
所以实际中大量的随机变量都是服从正态分布的 , 在随机 变量的所有分布中 ,正态分布占有重要地位 。
我们把凡描述或论证大量随机变量和的极限是正态分布的那些定理统称为中心极限定理 。
它肯定的是在某些特定条件下 , 随机变量之 和服从正态分布即给出过程的定量描述 。
粗略的说 : 中心极限定理指 出大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布 。
因此它不仅提供 了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法 , 而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形 (即正态 )曲线这一值得注意 的事实 ,以及应用这些定理能解决现实生活中的诸多问题 。
二 、中心极限定理的几种形式1、中心极限定理的最简形式林德贝尔格 ———勒维定理设 X 1 , X 2 为独立同分布的随机变量 , 且各有 均值 μ及方差 ζ, 则p lace 定理 (或称积分定理 ) 。
假设 Y n 表示 n 重贝努力实验中事件 A 发生的次数 ,而事件 A 在每 次实验中出现的概率为 P ( 0 < P < 1 ) ,则对 Π x,有1 = ∫x< x li n e d t -≦ 2π Y n - np它表明 , n 充分大时分布近似服从从标准正态分布 , 常 np ( 1 - p )称为“二项分布收剑于正态分布 ”,它的具体应用主要有以下几个方面 :( 1 )导出贝努利大数定理 。
二项分布的中心极限定理
二项分布的中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论中一项重要而强大的定理，它深刻地阐述了二项分布在特定条件下的极限行为。
本文以生动的方式解释中心极限定理的含义和应用，并为读者提供一些指导意义。
二项分布是离散概率分布的一种形式，它描述了在n次独立重复试验中成功的次数。
例如，在投硬币的实验中，假设我们连续投掷n 次，每次的成功定义为正面朝上，失败定义为反面朝上。
如果硬币是公平的，我们可以用二项分布来描述在n次投掷中正面朝上的次数。
具体而言，二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示在n次试验中成功k次的概率，C(n,k)是组合数，p是每次试验成功的概率，(1-p)则是失败的概率。
然而，当我们试图从一个很大的二项分布中计算和理解结果时，面临的计算和解释难题可能会变得非常困难。
这时，中心极限定理的出现就提供了一个非常有用的近似方法。
中心极限定理指出，当n足够大时，二项分布可以近似地由正态分布来描述。
简单地说，中心极限定理表明，当我们进行大量独立试验时，这些试验的和或平均值将呈现出近似正态分布的特性。
这一定理适用于满足一定条件的任何概率分布，不仅仅适用于二项分布。
这个定理的实际含义是什么呢？以一个例子解释可能更容易理解。
假设我们有一个非常大的人群，每个人都独立地做一个有二项分布的任务，而每个任务成功的概率相同。
例如，我们可能在一个足球场上观察所有观众的掌声情况。
如果我们测量来自每个观众的掌声次数，并将这些次数相加，根据中心极限定理，这个总和将近似为一个正态分布。
通过使用正态分布来近似二项分布，我们可以更好地理解和分析问题。
正态分布具有许多有用的性质，例如，我们可以用均值和标准差来描述它，从而更好地理解数据的变异性和趋势。
此外，通过计算正态分布的概率密度函数或使用标准正态分布表，我们可以计算和解释我们感兴趣的事件概率。
毕业论文：大数定律和中心极限定理的应用【范本模板】
学号： 学号： 08802053大数定律和中心极限定理的应用分 院 计算机科学与技术学院专 业 信息与计算科学班 级 信计本0801姓 名 李耀指 导 教 师 仝伟2012年5月10日商丘学院毕业设计（论文）商丘学院本科毕业设计（论文）摘要大数定律和中心极限定理是概率论中很重要的定理，也是概率论与数理统计联系的关键所在，更是生活中不可缺少的一部分。
较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限定理，并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性.但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少.本文介绍了几种较为常见的大数定律和中心极限定理，并列举了它们在经济生活、数学分析、信息论等各个不同领域的应用.将理论具体化、将可行的结论用于具体的数学模型中，以使得枯燥的数学理论与实际相结合,使大家对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有了更深的认识。
关键词：大数定律，中心极限定理，期望,方差,应用AbstractThe law of large numbers and central limit theorem is very important in probability theory theorem，and it is not only the contact key of Probability theory and mathematical statistics，but also an indispensable part of life。
Many literatures have given the dissimilar conditions of the law of large numbers and central limit theorem.Many literatures have given the dissimilar conditions of the law of large numbers，and have obtained the astringent using the law of large numbers and central limiting theorems.But here has no many results in practical life and applicable scope。
概率论中的中心极限定理分析
概率论中的中心极限定理分析概率论中的中心极限定理是一项重要的数学定理，它描述了独立随机变量和的极限分布的性质。
中心极限定理为我们理解概率和统计学提供了重要的工具，本文将对中心极限定理进行分析和解释。
1. 中心极限定理的概念中心极限定理是指当我们从一个总体中进行多次抽样，并计算这些样本的均值或总和时，这些样本的分布将逐渐收敛于正态分布。
其中最著名的是拉普拉斯-高斯中心极限定理和切比雪夫中心极限定理。
2. 拉普拉斯-高斯中心极限定理拉普拉斯-高斯中心极限定理是中心极限定理的最常见形式，它适用于独立同分布的随机变量。
定理表明，当抽样数量足够大时，这些独立同分布的随机变量的和将近似服从正态分布。
以一个掷硬币的例子来说明这个定理。
当我们将硬币掷1000次，每次记录正面朝上的次数。
根据概率分布，正面朝上的次数应该是一个接近500的数值。
然而，如果我们多次重复这个实验，并将每次正面朝上的次数求和，这些和将近似服从正态分布。
3. 切比雪夫中心极限定理切比雪夫中心极限定理比拉普拉斯-高斯中心极限定理更为一般化，它适用于独立但不一定同分布的随机变量。
定理表明，对于任意的随机变量，当样本数量足够大时，这些随机变量的和将近似服从正态分布。
切比雪夫中心极限定理的一个重要应用是在推断统计学中确定估计量的抽样分布。
通过样本数量的增加，可以提高估计量的准确性，并且使其更接近于真实参数值。
4. 应用和意义中心极限定理在实际中有广泛的应用，尤其在统计分析、假设检验和置信区间等领域中。
通过应用该定理，我们可以使用正态分布作为近似来进行各种分析。
此外，中心极限定理还为概率和统计学的理论提供了基础，并在概率论和统计学的发展中起到了重要的推动作用。
它不仅使我们对随机过程有了更深入的理解，还为建立更精确的模型提供了指导。
总结：中心极限定理是一项重要的数学定理，它描述了独立随机变量和的极限分布的性质。
拉普拉斯-高斯中心极限定理和切比雪夫中心极限定理是其中最重要的两个形式。
浅谈中心极限定理及其应用 论文
浅谈中心极限定理及其应用李月 20091103558数学科学学院 信息与计算科学 09信息一班指导老师 韩文忠摘要： 概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。
在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。
中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。
本文主要叙述中心极限定理在现实中的应用。
关键字：中心极限定理 随机变量 正态分布1.定理一（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量1X ,2X ,…,n X ,…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差，μ=)(k X E ，)(k X D =2σ>0(k = 3,2,1),则随机变量之和∑=nk k X 1的标准化变量n Y =∑∑∑===-nk nk k nk k kX D X E X111)()(=μμn n Xnk K∑=-1的分布函数)(x F n 对于任意x 满足)(lim x F n =)(lim x F n n ∞→=xn n xP nk k≤-∑=μμ1{lim }=dt etx2221-∞-⎰π= ).(x Φ这就是说，均值为μ，方差为02>σ 的独立同分布的随机变量1X ,2X ,…,n X 之和∑=nk k X 1的标准化变量，当n 充分大时，有μμn n Xnk n-∑=1～)1,0(N1．1：一加法器同时接收20个噪声电压k V （k = 3,2,1，)20,设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0,10）上服从均匀分布，记∑==201k kV V ，求}105{>V P 的近似值。
解：易知12/100)(,5)(==k k V D V E （k = 3,2,1，)20，由定理一，随机变量 2012100201∑==K kVZ =2012100520⨯-V 近似服从正态分布)1,0(N ,于是}105{>V P ={P 2012100520⨯-V }2012100520105⨯->=2012100520⨯-V }387.0>=-1{P 2012100520⨯-V }387.0≤=-1.384.0)387.0(1212387.02=Φ-=-∞-⎰dt etπ即有34.0}105{≈>V P2．（李雅谱诺夫（Lyapunov ）定理）设随机变量1X ,2X ,…,n X ,…相互独立，它们具有数学期望和方差,0)(,)(2>==KK k X D X E σμ,2,1 =k 记.121∑∑===nk kn k k σμ若存在正数δ，使得当∞→n 时，,0}{1122→-∑=++nk kk nX E Bδδμ则随机变量之和∑=nk k X 1的标准化变量nn k nk kknk k n k n k k kn B XXX D X E XZ ∑∑∑∑∑=====-=-=11111)()(的分布函数}{lim )(lim 11x B XP x F nnk nk kkn n n ≤-=∑∑==∞→∞→μ=dt etx2221-∞-⎰π= ).(x Φ此定理表明，在定理的条件下，随机变量nnk nk kkn B XXZ ∑∑==-=11当n 很大时，近似的服从正态分布),1,0(N 由此，当n 很大，∑=nk kX1∑=+=nk kn n Z B 1μ近似的服从正态分布),(12∑=nk n k B N μ.这就是说，无论各个随机变量)2,1( =k X k 服从什么分布，只要满足定理的条件，那么它们的和∑=nk kX1当n 很大时就近似地服从正态分布，在很多问题中所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和。
lyapunov中心极限定理
lyapunov中心极限定理Lyapunov中心极限定理，也被称为Lyapunov定理，是概率论和随机过程理论中的重要定理之一。
该定理可以描述在很多随机过程中，随着时间的推移，一个随机变量的均值会稳定在某个常数附近。
本文将分步骤对该定理进行阐述。
一、引言Lyapunov中心极限定理是在概率论发展的过程中逐渐形成的一个理论分支，它是从数学上推导出来的。
在实际生活中，人们经常面对的一些随机过程，比如赌场中的财富变化、股票市场中的股价变化等等，都可以应用到该定理。
二、定理内容Lyapunov中心极限定理所描述的内容是，随着时间的推移，一个随机变量的均值会稳定在某个常数附近。
即如果有一个随机变量X，且该随机变量的期望E(X)和方差Var(X)都存在，那么对于任意一个正数ε，有：$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=1}^n E|X_i -E(X_i)|^{2+\delta} = 0$$其中s_n表示X1,X2...Xn的标准差，δ是一个正数。
三、证明过程对于上述定理是否成立，需要进行证明。
证明的过程大致如下：1. 首先，考虑随机变量X的均值是有限的，如果均值不存在，那么任何收敛的概率分布都将包含无穷的随机变量，这违反了随机变量的特定定义。
2. 接下来，假设我们有两个随机变量X和Y，它们的期望和方差都存在。
那么有：$$E[(X+Y)^2] - [E(X+Y)]^2 = E[X^2] + E[Y^2] + 2E[XY] - [E(X)]^2 - [E(Y)]^2 - 2E[X]E[Y]$$$$Var(X+Y) = E[X^2] + E[Y^2] + 2E[XY] + [E(X)]^2 +[E(Y)]^2 - 2E[X]E[Y] - 2E[X]E[Y]$$将二式相减，可以得到：$$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$$其中，Cov表示协方差。
中心极限定理及其意义
中心极限定理及其意义中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论和数理统计学中的一个重要定理。
它表明，在一定条件下，独立同分布的随机变量的和的分布会逐渐趋近于正态分布，无论原始分布是什么样的形状。
具体来说，中心极限定理可以分为以下几个形式：1. 林德伯格-列维定理（Lindeberg-Levy Central Limit Theorem）：对于独立同分布（i.i.d）的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，若它们的方差有限，则这些随机变量的和Sn/n的极限分布为标准正态分布，即：\[ \lim_{n\to\infty} P\left(\frac{S_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\leq x\right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt \]2. 切比雪夫定理（Chebyshev's Inequality）：对于任意一个具有有限期望和有限方差的随机变量X，不论其分布形状如何，都有：\[ P(，X-\mu，\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]其中，k是一个大于零的常数，$\mu$是X的期望，$\sigma$是X的标准差。
3. 独立同分布定理（i.i.d. Theorem）：对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，若它们具有相同的期望和方差，表示为E(Xi)= $\mu$，Var(Xi) = $\sigma^2$，则这些随机变量的和Sn的均值和方差分别为E(Sn) = n$\mu$，Var(Sn) = n$\sigma^2$。
1.实际中许多现象可以看作是多个独立而随机的因素的加合结果，而这些因素往往都服从不同的分布。
中心极限定理表明，这些随机因素的加合结果很可能会近似地服从正态分布，这为实际问题的建模和分析提供了极大的便利。
浅谈中心极限定理的性质极其应用
浅谈中心极限定理的性质极其应用作者：沈逸飞来源：《赢未来》2018年第20期摘要：中心极限定理在现代概率论中已经起到了非常重要的作用，本文对三种常见的中心极限定理进行了简要的介绍，并通过实际问题的举例对定理的应用进行了论述。
关键词：概率；中心极限定理；应用1.概率论与中心极限定理对于概率论这一理论而言，其最早是由两个著名的数学家费马以及帕斯卡所提出的。
近些年来，伴随着越来越多的数学家的不断研究，这一理论已经变成了数学理论中的一个独立的分支了。
不同于其他学科，概率和统计学科所得到的结果不是必然的，这门学科主要是对随机现象所具有的规律进行一个解释。
由于现实生活里面大量的事物均是持续变化发展的，对于事物所产生的结果，我们并没有办法进行完全的掌控，因此对于概率统计而言，其条件和结果两者间也不是存在着必然的联系的，一般情况下，对于一个概率命题而言，其有可能出现A结果，同样也有能出现B结果。
对于我们而言，不但要针对于概率命题进行一个精准的计算，并且还应该拥有分析实际问题的能力。
在概率论里面有一个重要的定理就是中心极限定理，针对于数理统计以及误差分析理论而言，中心极限定理是其基础。
目前这一理论具有很广泛的应用前景，特别是对于经济学而言，这一理论的运用在企业进行相关决策时有着很重要的作用。
2.三种中心极限定理的简述2.1林德贝格-勒维中心极限定理定理1：这里现在假设为一个独立同分布的随机变量序列的集合，同时并且记：那么对于实数y，则：这一定理是由两个著名的数学家勒维以及林德贝格分别于1920年所提出来的，这一定理其告知我们针对于独立同分布的随机变量序列而言，它的共同部分既能够为连续分布的，同样也能够为离散分布的，能够为正态分布的，同样也能够为非正态分布的，只要是这个序列的共同分布存在着方差，同时这个方差的数值不是0，那么就能够对这个定理进行使用。
这个定理也可以这样理解：即当n的数值充分大的时候，能够通过标准正态分布对和有关事件的概率大小进行计算，但是在n的数值相对较小的时候，便不能夠确保这种近似程度了。
中心极限定理探讨及应用 数学与应用数学毕业论文
直观上，如果一随机变量决定于大量(乃至无穷多个)随机．因素的总合，其中每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从(或近似地服从)正态分布，下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观．
在许多情形下，一随机变量 可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和， (a)
这里，每个 直观上表示一种随机因素的效应，假如式(a)包含了决定 的充分多的随机因素的效应(即 充分大)，则 的分布就近似于X的分布．中心极限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下，当 时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的．
这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为0．8665
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在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p（0<p<1）， 为n次试验中事件A出现的次数，且记
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中心极限定理作为概率论的重要内容，其理论成果相对比较完善．这方面的文章较多，它们的结果也比较完美．但是他们注重于研究单一的方向，而几个定律之间的关系和应用方面的较少．出于这种现状本文通过对独立条件下的中心极限定理做系统的分析，主要研究和讨论几个中心极限定理之间的关系以及中心极限定理所揭示的理论意义和他们的应用．同时对文中出现的定理和结论做系统的分析和证明，所以对教学和科研方面具有一定的参考价值．
中心极限定理探讨及应用
摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理—中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性．经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据．同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值．
中心极限定理的理解与应用
中心极限定理的理解与应用中心极限定理是统计学中一个非常重要的定理，它描述了在一定条件下，大量独立随机变量的均值经过适当标准化后，近似服从正态分布。
这个定理在实际应用中具有广泛的意义，可以帮助我们更好地理解和处理各种数据。
本文将从中心极限定理的基本概念、理解和应用等方面展开讨论。
**1. 中心极限定理的基本概念**中心极限定理是概率论和数理统计中的一个基本定理，它指出在适当条件下，大量独立同分布的随机变量的均值的分布会随着样本量的增加而趋近于正态分布。
具体来说，中心极限定理包括三个主要方面的内容：（1）独立性：所考虑的随机变量必须是相互独立的，即它们之间的结果不会相互影响。
（2）同分布性：这些随机变量必须是同分布的，即它们具有相同的概率分布。
（3）样本量足够大：当样本量足够大时，随机变量的均值分布会趋近于正态分布。
中心极限定理的核心思想是通过大量独立同分布的随机变量，来逼近正态分布，从而为统计推断提供了重要的理论基础。
**2. 中心极限定理的理解**中心极限定理的理解对于统计学的学习和实践具有重要意义。
通过中心极限定理，我们可以更好地理解以下几个方面的内容：（1）抽样分布：在实际数据分析中，我们通常无法得知总体的分布情况，而只能通过样本来推断总体的特征。
中心极限定理告诉我们，当样本量足够大时，样本均值的分布会接近正态分布，这为我们进行参数估计和假设检验提供了便利。
（2）抽样误差：在实际调查和研究中，由于样本的随机性和有限性，我们无法避免抽样误差的存在。
中心极限定理告诉我们，通过多次独立抽样并计算样本均值，可以减小抽样误差，提高我们对总体特征的估计准确性。
（3）数据分布的稳定性：在实际数据分析中，我们常常遇到各种不同的数据分布，有时候甚至是非正态分布。
中心极限定理告诉我们，当样本量足够大时，不论原始数据的分布是什么样的，样本均值的分布都会接近正态分布，这为我们处理各种类型的数据提供了一种通用的方法。
中心极限定理levy lindeberg
中心极限定理levy lindeberg中心极限定理一、引言中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它描述了大量独立随机变量的和在一定条件下趋向于正态分布。
中心极限定理是概率论和数理统计学中最重要的基本工具之一，它在实际问题中得到广泛应用，如信号处理、金融风险管理、医学统计等领域。
二、定义设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \leqx\right) = \Phi(x)$$其中$\Phi(x)$是标准正态分布函数。
三、证明在证明中心极限定理时，我们需要用到两个重要的引理：Lindeberg-Levy引理和Lindeberg-Feller定理。
1. Lindeberg-Levy引理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sigma^2n}\sum_{i=1}^{n}E[(X_i-\mu)^2I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)] = 0$$其中$I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)$是指示函数，当$|X_i-\mu|>\epsilon \sigma$时，它的值为1；否则为0。
2. Lindeberg-Feller定理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
1.简述中心极限定理的含义
1.简述中心极限定理的含义中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以用来描述独立随机变量之和的分布情况。
简单来说，中心极限定理是指当独立随机变量的数量足够大时，它们的和的分布会趋近于正态分布。
这个定理在实际应用中非常广泛，例如在统计学、物理学、金融学等领域都有应用。
中心极限定理的含义是：当独立随机变量的数量足够大时，它们的和的分布会趋近于正态分布。
这个定理的重要性在于，它可以使我们对随机变量之和的分布情况有一个很好的估计，而无需知道每个随机变量的具体分布情况。
这对于实际应用非常有用，因为在很多情况下我们无法知道每个随机变量的具体分布情况，但是我们可以通过中心极限定理来得到一个近似的分布情况。
中心极限定理的证明比较复杂，需要一些高级数学知识。
但是我们可以通过一个简单的例子来说明中心极限定理的应用。
假设我们有一个硬币，正反面出现的概率分别为0.5。
我们抛掷这个硬币n次，记录正面朝上的次数。
那么正面朝上的次数就是一个随机变量，它的分布情况可以用二项分布来描述。
但是如果我们不知道n的具体值，只知道n很大，比如说n=10000，那么我们就可以使用中心极限定理来估计正面朝上的次数的分布情况。
根据中心极限定理，当n足够大时，正面朝上的次数的分布会趋近于正态分布，均值为n*p=5000，方差为n*p*(1-p)=2500。
因此，我们可以得到一个近似的正态分布，均值为5000，方差为2500。
这个近似的分布可以用来估计正面朝上的次数落在某个区间内的概率，比如说落在4500到5500之间的概率是多少。
总之，中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以使我们对随机变量之和的分布情况有一个很好的估计。
在实际应用中，中心极限定理被广泛应用于各个领域，例如统计学、物理学、金融学等。
概率论论文-浅谈中心极限定理
浅谈中心极限定理摘要：中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。
关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。
引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。
同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。
这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。
在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
王勇老师讲到中心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。
由此足以见得中心极限定理的重要性。
目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理：林德伯格-莱维中心极限定理：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
只有当n 充分大时,nY 才近似服从标准正态分布)1,0(N ，而当n 较小时，此种近似不能保证。
也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与nY 有关事件的概率，而n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。
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浅谈中心极限定理摘要：中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。
关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。
引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。
同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。
这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。
在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
王勇老师讲到中心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。
由此足以见得中心极限定理的重要性。
目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理：林德伯格-莱维中心极限定理：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
只有当n 充分大时,nY 才近似服从标准正态分布)1,0(N ，而当n 较小时，此种近似不能保证。
也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与nY 有关事件的概率，而n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。
当)1,0(~N Y n 时，则有),(~),,(~221n N X n n N Xni iσμσμ∑=。
现如今旅游、汽车等行业越来越受欢迎。
在这些行业中就会用得到中心极限定理。
例如，某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为λ=2的泊松分布，若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。
[1]解：设i ξ为第i 天出售的汽车的数量，则36521......ξξξξ+++=为一年的总销量，由2)()(==i i Var E ξξ，知=)(ξE 365×2=730利用中心极限定理得P(ξ>700)=1-P(ξ≤700)≈1—)730730700(-Φ=1-Φ(一1．11)=0.8665在理论中，我们也可用它来解决一些比较抽象的问题，比如下面的极限求解问题。
例如，利用中心极限定理证明：21!lim 0=∑=-∞→nk k nn k n e [1] 证明：设{k ξ}独立同分布且k ξ～P(1)，k=1，2…….则a=()k E ξ=l ，2σ=()k Var ξ=1∵由泊松分布的可加性知∑=nk k1ξ～P(n)∴nn k k n k n i i n k k ek n k P n P -====∑∑∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤0011!ξξ 又∵由中心极限定理知：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===010111k n k n k k n k k P n P n P ξξξ ()()00111Φ→⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-=∑=n k k n P ξ()∞→=n 21∴21!lim 0=∑=-∞→nk k nn k n e 如果在林德伯格-勒维中心极限定理中，nX 服从二项分布，就可以得到以下的定理。
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1），记nS 为n 次试验中事件A 出现的次数，且记npqnp S Y n n -=*，则对任意实数y ，有dtey y Y P ytn n ⎰∞--∞→==≤2*221)()(lim πφ。
它表明，n 充分大时，npqnp S Y n n -=*分布近似服从与标准正态分布，常称为“二项分布收敛于正态分布”，正态分布是二项分布的极限分布，当n 充分大时，我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率。
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用也很广泛，例如：假设某校要建新校区，里面有学生5000人，只有一个开水房。
由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。
假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：(1)未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？(2)至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？[2]解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X ，则)01.0,5000(~B X 拥挤的概率是：∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤≤-=>=450k 500099.001.05000-145)(0 P 145)P(p kk k ξξ由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，n=5000，p=0.01，q=0.99，04.7,50==npq np故2389.0)1.7()71.0()04.7500()04.75045()450(=---=---=≤≤φφφφξP即拥挤的概率为7611.02389.01)45(=-=>ξP（2）欲求m ，使得95.0)0(≥≤≤m P ξ，则由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知，95.0)04.7500()04.750(≥---φφm由于0)09.7()04.7500(≈-=-φφ即95.0)04.750(≥-m φ查表得645.104.750≥-m即6.61≥m故需装62个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤。
保险与我们的生活息息相关。
中心极限定理在保险行业方面也有很大应用。
例如，某保险公司有2500个人参加保险，每人每年付1200元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.002，死亡时其家属可向保险公司领得20万元。
问：(1)保险公司亏本的概率有多大?(2)保险公司一年的利润不少于1010万元，200万元的概率各为多大? [3]分析：首先，我们先设一年内死亡的人数为随机变量X ，保险公司亏本的概率为P 。
因为题中人和人之间是独立的，而且死亡的概率都一样为0.002，因此比较容易看出，此题中的X 是服从二项分布的，我们也可用二项分布的方法把p 具体地求出来，但要想求出()kk k k X P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2500)998.0(002.02500绝非易事，更何况还要算上几千个呢？为此我们不妨用中心极限定理来求解它。
解：设X 为一年内死亡的人数，则)002.0,2500(~B X ，5=np ，99.1)1(=-p np (1)由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知P(亏本)=(4.48)-1)4.995-15(-115)P(X -115) X ( P 300)(20X P φφ=≈≤=>=>=1-0.99993=0.00007所以，保险公司亏本的概率为0.00007，几乎为0。
(2)由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知P(利润100≥)98.0)99.4510()10()10020300(=-≈≤=≥-=φX P X PP(利润200≥)5.0)99.455()5()20020300(=-≈≤=≥-=φX P X P以上结果说明，保险公司几乎不可能亏本．不过，关键之处是对死亡率的估计必须正确，如果所估计的死亡率比实际低，甚至低得多，那么，情况就会不同。
结论中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路。
用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明，只要样本容量足够地大，得自未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。
从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。
参考文献：[1]杜伟娟,于文娟。
中心极限定理及其初步应用[J] 内蒙古电大学刊，2007 [2]孔祥凤，中心极限定理在管理中的应用[J] 西安邮电学院应用数理系，2009[3]孙蓓，中心极限定理及其在若干实际问题中的应用[D] 河南：开封基础教育研究室，2012（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。