数学解题中的构造法思想.(优选)

数学解题中的构造法思想

数学科 庞春英

我们首先从下面例题的解法开始讨论： 例：解方程组 ⎪⎩

⎪⎨⎧=++=++=++323232c z c cy x b z b by x a z a ay x 解法一：直接按照三元一次方程组的消元法解题 （略）。

解法二：把原方程组改写为⎪⎩⎪⎨⎧=---=---=---0002323

23x cy z c c x by z b b x ay z a a 利用方程根的定义，我

们把a,b,c 看成关于t 的三次方程023=---x yt zt t 的三个根。根据韦达定理得：

x abc y ac bc ab z c b a ==++=++,,，因此原方程组的解为：⎪⎩

⎪

⎨⎧++=++==c b a z ca bc ab y abc

x 。

比较例题的两种解法：解法一作为一般的方法，求解极为麻烦，运算量大；解法二则是构造一个满足问题条件的关于t 的三次方程，构造的元件是a,b,c ，构造的“支架”是原方程变形的关系式“023=---x yt zt t ”。在解法二中，以问题已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系式为“支架”，在思维中构造了一种新的“建筑物”这种方法有一定的普遍意义。

在解题过程中思维的创造活动的特点是“构造”，我们称之为构造性思维，运用构造性思维解题的方法称为构造法，即为了解决某个数学问题，我们通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、模型、方程、函数以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，可以看作是构造解题。

早在公元前三百年左右，欧几里德为了证明素数有无穷多个，假设只有有限个素数n p p p p 321,,，而构造一个新素数121+n p p p ，从而证明了原命题。另外，古希腊人为了证明毕达哥拉斯学派的信条“万物皆为（有理数）”是不对的，构造一个边长为1的正方形，则它的对角线竟不是一个“有理数”。上述这些大概是数学史上最早采用构造法解题的例子吧。

所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。构造法体现了数学发现的思想，因为解决问题同获得知识一样，首先需要感知它，要通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件；构造法还体现了类比的思想，为了找出解题的途径，很自然地联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供了参照对象；构造法还体现了化归的思想，把一个个零散的发现由表及里，由浅入深地集中和联系起来，通过恰当的方法加

以处理化为已有的认识，就自然形成了构造模型的方法。除此之外，构造法还渗透着猜想、试验、归纳等数学思想。

那么，如何构造呢？关于构造法解题可以概括如下： 1、分析命题的条件与结论。

2、从命题的结构特征联想熟悉的数学问题或者考虑题目本身的意义，如几何意义，公式变形等。

3、构造新的数学模式（方程、函数、图形……）。

4、研究新的数学模型的性质并求解。

5、然后将求解结论转化到原来的命题。

6、作出结论。

构造法的内涵十分丰富，使用时不存在一个完全固定的模式可以套用，尽管如此，关于构造法的解题过程的模式还是可以用下列框图表示：

构造法在数学领域内有着很普遍的应用，有些数学题目看似困难、繁琐，当搭起构造的“桥”后不仅迎刃而解，而且有时会因构思的奇巧而拍手叫绝，常有一种“柳暗花明又一村”的感觉，因此构造法在许多数学问题的解题过程中显示出令人瞩目的特殊作用。

一、构造法在数学解题中的应用

（一） 优化解题途径

有些数学问题虽不用构造法也可以解，但求解过程繁琐，若用构造法，往往可简化复杂的运算和讨论，使问题简捷获解。

例：使抛物线()012≠-=a ax y 上总有关于直线L ：0=+y x 对称的两点，求a 的范围

析与解：用辅助点法、参数法等方法求解都很繁琐，若利用L ：0=+y x 是第二、四象限角平分线这一特征，构造抛物线12-=ax y 关于直线L 的对称曲线

12-=-ay x ，则可简捷求解，假设对称点存在，那么当且仅当上述两抛物线有

相异交点，由⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1

1

2

2

ay x ax y 得))((y x y x a y x -+=+，注意到0≠+y x 且0≠a ，a

x y 1

-

=∴ 代入12-=ax y

得011

2=-+

-a

x ax 。此方程应有两个不相等的实根， 其充要条件为0)11(41>--=∆a a ，解之得：4

3

>a 。

（二）显露隐含条件

运用构造思想分析题目的结构特征或数量关系，有助于挖掘含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。 例：已知()2

44+=x x

x f ，求

⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭

⎫ ⎝⎛100110001001210011f f f 。 析与解：将待求式看作一个整体，其数字特征提示我们研究())1(x f x f -与之间的关系，从而发现

隐含条件12

42

44244244244244)1()(11=++=⨯+++=+++=-+--x x x x x x x x

x x f x f 构造整体)10011000

()10012()10011(f f f S +++= ，

亦有)1001

1

()1001999()10011000(f f f S +++=

将上述两式对应项相加得10002=S

500)10011000()10012()10011(=+++f f f （三） 沟通条件和结论的关系

许多问题仅利用已知条件难于直接求解，需要按一定目标构造某种数学模型（如式、线、形、体等等）作为桥梁，沟通条件与结论之间的逻辑关系，才能求得结论。

例：设R b a ∈,，并且方程01234=++++ax bx ax x 至少有一个实数解，试求22b a +的最小值。

解：设0x 是方程的一个实根， 则00≠x 代入方程可得01

20

002

0=++++x x a b ax x ， 构造直线和圆（b a ,作变量），

0112020

00=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x b a x x ，222R b a =+， 依题意直线和圆必有公共点，