数学解题中的构造法思想.(优选)
数学问题中的构造法
数学问题中的构造法数学是一门以逻辑和推理为基础的学科，而构造法则是数学中解决问题的一种重要方法。
构造法的本质是通过建立一个具体的数学对象，以此为基础进行问题的分析和推导。
在数学问题中，构造法被广泛运用于证明和解决各种难题。
本文将介绍构造法在数学问题中的应用，并探讨其重要性和优势。
构造法通过具体而明确的构造过程，使数学问题变得直观而易懂。
当我们面对一个抽象而复杂的问题时，往往难以找到有效的解决方法。
而通过构造法，我们可以把问题具象化，以具体的例子和对象进行思考和分析。
通过构造一个特定的数学对象，我们可以通过观察和推理，得到一些规律和性质，从而推导出问题的解答。
构造法在数学问题中的一个重要应用是通过构造反例来证明某些命题的错误。
当我们面对一个陈述或者猜想时，往往需要通过构造一个具体的例子来验证其是否成立。
如果我们能够找到一个反例，即一个具体的案例使得命题不成立，那么我们就可以推断该命题是错误的。
通过构造反例，我们可以发现并纠正一些常见的数学错误，从而提高我们的数学思维能力和推理能力。
另外，构造法也经常应用于解决一些组合、几何和代数等问题。
在这类问题中，我们需要找到一种方法或者一组步骤，通过构造特定的对象或者变换，来满足或者推导出问题的条件和要求。
通过巧妙地构造，我们可以大大简化问题的复杂度，从而更加容易地找到解决方法。
构造法还可以用于解决一些经典的数学问题，例如哥德巴赫猜想和费马大定理。
这类问题往往具有极高的难度和复杂性，无法直接通过常规的证明方法来解决。
而通过建立具体的数学对象，如构造一个特定的数列或者几何图形，我们可以从一个特定的角度出发，逐渐接近问题的解决方法。
构造法为解决这类问题提供了一种新的思路和途径。
总而言之，构造法在数学问题中具有重要的作用。
通过具体的构造过程，我们可以更好地理解问题的本质和背后的规律。
构造法不仅可以帮助我们证明和解决问题，还有助于培养我们的数学思维能力和创造能力。
因此，在学习数学时，我们应该积极运用构造法，探索问题的解决方法，提高自己的数学水平。
高中数学构造法求解题技巧
高中数学构造法求解题技巧高中数学构造法是一种解题思路和技巧，它通过构造适当的数学结构，使得问题的求解变得更加简单明了。
构造方法在高中数学中应用广泛，可以用于解决各类题型，包括代数题、几何题、概率题等等。
一、构造法的基本思想构造法是一种通过建立合适的数学结构，简化问题的解决方法和步骤的思想。
通过构造一些符合题意的数学对象，我们可以发现一些规律，从而提供问题的解答方式。
二、构造法的常见技巧1.构造等差数列或等比数列在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个等差数列或者等比数列。
通过构造这样的数列，我们可以找到其中的规律，从而解决问题。
2.构造图形在解决几何问题时，我们可以尝试构造一个与原图形相似或者关联的图形。
通过构造这样的图形，我们可以将复杂的几何问题简化为一些基本的几何性质，从而解决问题。
3.构造排列组合在解决一些概率问题和组合问题时，我们可以尝试构造排列组合。
通过构造排列组合，我们可以得到一些计算公式或者规律，从而解决问题。
4.构造方程组在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个方程组。
通过构造这样的方程组，我们可以得到一些方程之间的关系，从而解决问题。
5.构造递推公式在解决一些数列问题时，我们可以尝试构造一个递推公式。
通过构造递推公式，我们可以找到数列中的规律，从而解决问题。
三、构造法的实例分析1.构造等差数列例题：有一些连续的整数，它们的和是45，这些整数中最小的是多少？解析：我们可以假设这些连续的整数的首项是x，公差是1，那么这些整数的和可以表示为：x+(x+1)+(x+2)+...+(x+n)=45。
通过求和公式，我们可以得到(x+45)/(n+1)=45，进一步化简得到x=15-n。
我们可以发现，当n=30时，x=15-n=0，此时连续整数中的最小值为0。
2.构造图形例题：在平面直角坐标系中，有一条线l过点(0, 0)和(1, 2)，线l与x轴、y轴以及x=y共同围成一个三角形，求这个三角形的面积。
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法构造法是数学解题的一种常用方法，它通过构造一些合适的图形或者算式，从而得出问题的解。
下面将详细介绍在高中数学解题中的应用方法。
1.构造举例法构造举例法是指通过举例子来说明问题的性质和解法。
在解决问题时，可以先为问题中的某些元素赋予具体的值，然后通过计算和观察找出规律或者结论，进而解决问题。
在解决函数的性质或者图形的性质的问题时，可以通过构造一些特殊的函数或者图形来观察其特点，然后得出结论。
2.构造等价问题法构造等价问题法是指将原问题转化为一个与原问题性质类似但更易解决的等价问题，然后解决该等价问题，最后将等价问题的解转化为原问题的解。
在解决问题时，可以通过思考和变换，将原问题转化为一个已知的问题或者与已知问题相似的问题。
在解决几何证明问题时，可以通过构造一些辅助线或者引入一些辅助概念，将原问题转化为已知的几何定理或者性质，从而简化问题的解决过程。
3.构造反证法构造反证法是指通过假设原命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。
在解决问题时，可以假设问题的反面或者与问题相反的情况，然后推导出矛盾的结论，从而证明问题的真实性。
在解决一些证明问题时，可以对问题做出一个取非的假设，然后通过逻辑推导得出一个矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。
4.构造递归法构造递归法是指通过递归地应用某一规则或者某一性质，依次构造解的方法。
在解决问题时，可以通过将问题分解为若干个子问题，并且将子问题的解合并为原问题的解，从而解决问题。
在解决数列的性质问题时，可以通过递归地应用数列的递推公式，依次计算出数列的各项值，从而得到数列的性质。
构造法在高中数学解题中具有很大的灵活性和实用性。
通过构造法，可以把抽象的问题转化为具体的问题，通过观察和计算得出结论，从而解决问题。
构造法还可以帮助学生培养创造力和逻辑思维能力，提高解题的效率和准确性。
在高中数学教学中，应该鼓励学生灵活运用构造法，积极参与解题，提高数学解决问题的能力。
高中数学解题方法之构造法(含答案)
十、构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。
在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。
历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。
数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。
近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。
构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。
用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。
但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。
再现性题组 1、求证： 31091022≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则42511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a（构造图形、复数）4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。
（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当ca b 111+=时取等号。
构造法——数学解题中的思维亮点
构造法——数学解题中的思维亮点摘要：构造法是指在解决数学问题时，寻找与问题相关的内在联系，恰当地构造数学模型，将原问题化归为新问题，直观明了，从而使原问题获解的方法。
它在解题中起到化简、转化和桥梁的作用。
它是建立在观察联想、分析、综合的基础之上的，体现了发现类比、归纳的数学思想，渗透着猜测、探究、检验的数学方法。
构造法重在构造。
通过新旧知识的交融，培养学生的发散思维和探究创新能力，发展学生个性，优化学生数学思维品质，消除习惯思维定式的消极影响。
关键词：构造法；探究；分析；联系；创新“构造法”是一种关系映射反演方法，是通过构造数学模型，寻找与原来问题的内在联系，把比较困难的问题转化为易于处理的问题，以达到解决问题的目的。
“构造法”是建立在观察联想、分析综合的基础上的。
它体现了数学中发现、类比、化归的思想，渗透猜测、探索、检验等数学方法，它没有固定的模式，是分析、思维、联想的产物，以广泛抽象的普遍性与问题的特殊性为基础，针对具体问题采取相应的解决方法。
古今中外数学家们常用此思想方法，如瑞士数学家欧拉通过映射构造数学模型，成功地解决了著名的哥尼斯保七桥问题，确定散步者不可能不重复地一次通过这七座桥返回出发点；我国古代数学家通过割补构造给出了勾股定理的证明。
构造法重在“构造”，关键是恰当地构造出一种“构造物”。
而“构造物”的形式多样，可以是图形、函数、复数、方程、数列等，甚至是一个与原命题相关的命题。
其构造思路：下列运用具体题例分析说明：1 构造图形几何问题中的构造经常通过添加辅助线来完成，然而怎样添加辅助线取决于原来问题的关系结构，也取决于我们希望构造什么样的图形。
结合数学美学思想方法，常用的添加方法有对称、平移、旋转、形外发展等创造性的几何变换。
2 构造函数在初等函数的关系结构中对问题进行函数处理，得到函数结论，再利用函数性质进行反演，使原问题轻松获解。
3 构造方程考察题设条件中的数量关系和结构特征，巧妙设计新的方程，创立新的问题情境，灵活快速地解决问题。
例谈“构造法”在高中数学解题中的应用
例谈 构造法 在高中数学解题中的应用曾㊀智(光泽县第一中学ꎬ福建南平３５４１００)摘㊀要:高中数学新课程提出ꎬ高中数学的教学重点之一就是空间形式与数量关系ꎬ这两点数学知识是探讨研究自然规律与社会规律的基础工具.构造法ꎬ一方面ꎬ它是高中数学学习的一种重要方法ꎬ能够有效帮助学生理解空间形式与数量关系ꎻ另一方面ꎬ它也是培养学生 构造思维 的重要基础ꎬ是高中数学教育的关键之一.本文在此背景下ꎬ总结了在高中数学解题中应用 构造法 的原则ꎬ又进一步分类总结了具体应用 构造法 的解题案例ꎬ以期为我国高中数学教师开展 构造法 教学提供参考.关键词:构造法ꎻ高中数学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０３－００６０－０３收稿日期:２０２３－１０－２５作者简介:曾智(１９８４.１－)ꎬ男ꎬ福建省光泽人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高中数学知识相对于初中而言难度更高ꎬ高中生在学习中不免会面临许多难以解决的问题ꎬ尤其是高中生本身解题经验较少ꎬ解题时常常会出现无法找到题目提供的各项条件与问题间的联系的情况ꎬ进而使解题变得十分艰难[１].这种情况一方面会导致学生解题效率降低ꎬ数学考试成绩下降ꎬ另一方面也会使学生长期承受较大的学习压力ꎬ导致对数学学习的兴趣降低ꎬ甚至抵触数学学习[２].此时ꎬ若学生掌握了 构造法 ꎬ则能够以新的角度审视难题ꎬ通过分析问题条件构造与题目本不相关的知识或模型ꎬ间接地解决难题[３].在这一过程中ꎬ高中生的数学思维能力与逻辑推理能力也得到了提高.因此ꎬ对 构造法 在高中数学解题中的应用进行研究ꎬ是具有一定的理论与现实价值的.１在高中数学解题中应用 构造法 的原则在高中数学解题中应用 构造法 是具有一定的原则的ꎬ其具体内容包括:相似性原则㊀在实际应用 构造法 进行解题时ꎬ需要仔细分析题目中提供的条件或题目本身特征ꎬ展开具有相似性的联想ꎬ进而构造出合理的数学对象ꎬ最终通过该数学对象完成数学解题[４].直观性原则㊀高中生在以 构造法 解题时ꎬ应遵循直观性原则ꎬ通过构造某种辅助解题的数学形式ꎬ使得题目中的条件与结论间形成直观的联系ꎬ进而快速地完成解题.熟悉化原则㊀这一原则指的是高中生在解题时应仔细分析题目的结构特征ꎬ并将其与自身熟悉的某种数学式㊁形㊁方程等进行对比ꎬ进而构造出能够与题目相对应的数学形式ꎬ从而解决问题[５].２应用 构造法 进行高中数学解题的案例应用 构造法 进行高中数学解题的重点在于:(１)应用 构造法 的目的ꎬ即想要通过该方法得到的结论是什么ꎻ(２)构造哪种数学形式才能实现应用 构造法 的目的.只有有效实现上述两个重点ꎬ高中生才能够应用 构造法 解决问题[６].本文通过展示几类高中数学常见问题的 构造法 解法ꎬ展示 构造法 的具体应用方法ꎬ如下所示.２.１ 函数构造法 解题案例在高中数学学习中ꎬ函数是重点学习的内容之一ꎬ而在实际题目中ꎬ包含函数的题目往往还会与方０６程㊁数列㊁图形等其他数学知识结合ꎬ使高中生解题难度增大.在这一类问题中应用 构造法 能够有效降低解题难度ꎬ进而加快学生解题速度[７].具体案例如下.案例１㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ｘ－１ꎬ讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎬ并证明ｆ(ｘ)有且仅有两个零点.解㊀ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ１)ɣ(１ꎬ＋¥)ꎬ因为ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋２(ｘ－１)２>０ꎬ则ｆ(ｘ)在０ꎬ１()和(１ꎬ＋ɕ)这两个区间上单调递增.通过分析题意发现该函数有两个零点ꎬ因为ｆ(ｅ)＝１－ｅ＋１ｅ－１<０ꎬｆ(ｅ２)＝２－ｅ２＋１ｅ２－１＝ｅ２－３ｅ２－１>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)有唯一零点ｘ１ꎬ即ｆ(ｘ１)＝０.又因为０<１ｘ１<１ꎬ则ｆ(１ｘ１)＝－ｌｎｘ１＋ｘ１＋１ｘ１－１＝－ｆ(ｘ１)＝０.故ｆ(ｘ)在０ꎬ１()有唯一零点１ｘ１.综上所述ꎬｆ(ｘ)有且仅有两个零点.２.２ 方程构造法 解题案例在 构造法 中ꎬ方程是一种较为常见的数学形式. 方程构造法 是高中数学解题中的常用方法之一ꎬ尤其是在函数相关题目的解题中.这种方法主要是通过分析题目中的数量关系或特征结构ꎬ构造出一组等量的关系式ꎬ并通过解析关系式找到题目中几个未知量间的关系ꎬ进而得到方程中包含的等量关系[８].具体案例如下.案例２㊀若ａ１ꎬａ２ꎬａ３ꎬａ４均为非零的实数ꎬ且(ａ２１＋ａ２２)ａ２４－２ａ２(ａ１＋ａ３)ａ４＋ａ２２＋ａ２３＝０ꎬ证明四个非零实数中ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.证明㊀分析题目可推导得出ꎬ在四个非零实数中ꎬａ４这一非零实数是一元二次方程(ａ２１＋ａ２２)ｘ２－２ａ２(ａ１＋ａ３)ｘ＋(ａ２２＋ａ２３)＝０的实数根ꎬ则可以推出关系式:ә＝４ａ２２(ａ１＋ａ３)２－４(ａ２１＋ａ２２)(ａ２２＋ａ２３)＝４(２ａ１ａ２２ａ３－ａ２１ａ２３－ａ４２)＝－４(ａ２２－ａ１ａ３)２ȡ０ꎬ因此ꎬ只有当ａ２２－ａ１ａ３＝０时ꎬ关系式才能成立ꎬ则可推导出ａ２２＝ａ１ａ３ꎬ同时由于题中表明ａ１ꎬａ２ꎬａ３均为非零实数.则可得出ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成等比数列.且通过构造的求根公式可知ａ４＝２ａ２(ａ１＋ａ３)２(ａ２１＋ａ２２)＝ａ２(ａ１＋ａ３)ａ２１＋ａ１ａ３＝ａ２ａ１ꎬ则ａ４为该等比数列的公比.综上所述可以证明ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.２.３ 向量构造法 解题案例在高中数学的所有知识点中ꎬ向量的相关知识是教学与学习的重难点之一.在高中数学考试中ꎬ与这一知识点相关的题目大多相对简单ꎬ以选择题或填空题为主ꎬ但当这一知识点出现在解答题中时ꎬ常常与立体几何相联系ꎬ解题难度增加许多ꎬ对学生的数学能力要求也相对较高[９].应用 向量构造法 进行解题ꎬ能够引导高中生将日常学习的向量知识点与三角函数㊁复数㊁函数等知识点联系起来ꎬ进而更加轻松地解决问题ꎬ案例如下.案例３㊀已知ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ求ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ的值.解㊀设Ｐ(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＱ(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＲ(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ)为单位圆上的三个点ꎬ则根据题意可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ的外心.由此可以得到关系式:ＯＰң＝(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＯＱң＝(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＯＲң＝(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ).因为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ则ＯＰң＋ＯＱң＋ＯＲң＝(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣꎬｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ)＝０ꎬ可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ重心ꎬ也是әＰＱＲ的外心ꎬ则әＰＱＲ为正三角形.由此可得出关系式Ｂ＝Ａ＋２π３＋２ｋπꎬＣ＝Ａ－２π３＋２ｋπꎬ则ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ａ＋２π３æèçöø÷＋ｓｉｎ２Ａ－２π３æèçöø÷＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３＋ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３－ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２１６＝ｓｉｎ２Ａ＋１２ｓｉｎ２Ａ＋３２ｃｏｓ２Ａ＝３２综上所述可得ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝３２.２.４ 复数构造法 解题案例复数构造法 的应用ꎬ简单来说可以主要分为两类ꎬ一类题目本身就是复数问题ꎬ通过应用复数本身的性质就可以完成解题ꎻ另一类则是非复数问题ꎬ需要间接构造复数形式来完成解题[１０].案例如下.案例４㊀求函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－５)２＋１６＋(ｘ－１)２＋４的最小值.证明:构造复数ｚ１＝５－ｘ＋４ｉꎬｚ２＝ｘ－１＋２ｉꎬ则ｆ(ｘ)＝ｚ１＋ｚ２ȡｚ１＋ｚ２＝４＋６ｉ＝２１３.当ｚ１＝ｋｚ２ꎬ即５－ｘ＋４ｉ＝ｋ(ｘ－１)＋２ｉ[]时取等号ꎬ解得ｘ＝７３ꎬ即ｘ＝７３时ꎬｆ(ｘ)有最小值２１３.２.５ 图形构造法 解题案例数形结合思维是高中数学思维培养中的关键ꎬ这一思维的形成与 图形构造法 的应用有着密不可分的关系.应用 图形构造法 进行解题的案例具体如下所示.案例５㊀证明正弦两角和公式ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ.证明:如图１所示ꎬ在线段ＣＤ上任取一点Ａꎬ以Ａ为圆心ꎬ１为半径做圆弧分别过Ｃ点和Ｄ点ꎬ且和ＣＤ垂直的直线相交于点Ｂ与点Ｅꎬ令øＢＡＣ＝αꎬøＥＡＤ＝βꎬ则øＢＡＥ＝π－(α＋β)ꎬＢＣ＝ｓｉｎαꎬＡＣ＝ｃｏｓαꎬＤＥ＝ｓｉｎβꎬＡＤ＝ｃｏｓβ.图１㊀案例５证明示意图梯形ＢＣＤＥ＝әＡＢＣ＋әＡＤＥ＋әＡＢＥꎬ考虑面积相等可得:１２(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝１２ｓｉｎαｃｏｓα＋１２ｓｉｎβｃｏｓβ＋１２ˑ１２ˑｓｉｎ(π－α－β)即(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎβｃｏｓβ＋ｓｉｎ(α＋β)ꎬ展开整理得ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ即可得证.３结束语«普通高中数学课程标准»中提出ꎬ数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力ꎬ是数学知识㊁技能㊁思想㊁经验及情感㊁态度㊁价值观的综合体现. 构造法 作为高中最常使用的数学思想方法之一ꎬ能够有效培养高中生的创造思维与创新意识ꎬ综合提升其数学学科思维ꎬ但目前我国高中生对于 构造法 的了解大多有限.本文探讨了 构造法 在高中数学解题中的应用ꎬ为 构造法 在我国高中的推广应用贡献力量.㊀参考文献:[１]吴玉辉.构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０２１(３５):３１－３２.[２]顾建华.基于 构造法 的高中数学解题思路探索[Ｊ].科学咨询(教育科研)ꎬ２０２０(１０):１６６.[３]吴建文.构造法在高中数学教学中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０１９(１９):４０.[４]袁胜蓝ꎬ袁野.高中数学数列通项公式的几种求法[Ｊ].六盘水师范学院学报ꎬ２０１９ꎬ３１(０３):１１７－１２０.[５]杨丽菲.高中数学解题中应用构造法的实践尝试[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(１２):７.[６]何婷.构造函数求解高中数学问题[Ｊ].科学咨询(科技 管理)ꎬ２０１８(０６):１４４.[７]李正臣.高中数学解题中应用构造法之实践[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(０２):３４.[８]罗杰.分析高中数学三角函数的解题技巧[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１７(２２):１０２.[９]洪云松.高中数学圆锥曲线解题中构造法的使用[Ｊ].农家参谋ꎬ２０１７(１３):１６０.[１０]刘米可.构造函数法在高中数学解题中的应用[Ｊ].经贸实践ꎬ２０１６(２３):２２６.[责任编辑:李㊀璟]２６。
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法一、引言高中数学是学生的重要学科之一，也是学生学习数理知识的基础。
在高中数学学习中，构造法是一种重要的解题方法，它可以帮助学生解决许多数学问题。
构造法是通过构造一些特定的对象或图形，从而找到问题的解决方法。
在高中数学解题中，构造法的应用方法非常丰富，可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。
本文将介绍构造法在高中数学解题中的应用方法，以及一些常见的例题解析。
1. 定义法在解决高中数学问题中，构造法的一个重要应用方法是定性定义法。
通过定义一些特定的概念或对象，可以帮助学生更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。
在解决平面几何问题时，可以通过定义某些特定的角度、线段或图形来简化问题，从而更容易找到解决方法。
2. 图形构造法3. 数学模型构造法4. 逻辑推理构造法5. 等价转化构造法三、构造法在高中数学解题中的实例分析1. 例题一已知正方体的一条对角线长为a，求其表面积和体积。
解析：通过构造正方体的一个侧面，可以将问题转化为求正方体的一个侧面的面积和一个侧面的体积。
然后通过等价转化构造法，可以将问题转化为求正方体的一个侧面的面积和一个侧面的体积。
然后通过数学模型构造法，可以构造一个函数模型，通过求导数的方法，可以求出正方体的一个侧面的面积和一个侧面的体积。
最后通过逻辑推理构造法，可以得出正方体的表面积和体积的表达式。
已知直角三角形ABC，AB=3，BC=4，求AC的长度。
解析：通过构造直角三角形ABC的三条边，可以得到等边三角形ABC。
然后通过图形构造法，可以求得等边三角形ABC的高和底边，并得到等边三角形ABC。
通过等价转化构造法，可以将问题转化为求等边三角形ABC的高和底边。
然后通过逻辑推理构造法，可以得出等边三角形ABC的高和底边的表达式。
最后通过数学模型构造法，可以构造一个函数模型，通过求导数的方法，可以求出等边三角形ABC的高和底边的值，从而求得AC的长度。
四、总结在学习高中数学过程中，学校应该更加重视构造法的教学，培养学生的数学思维和解题能力，提高他们解决数学问题的效率和准确性。
富有创新思想的数学解题方法——构造法
答案 ： 选Ｂ 。
例４ ： （ ０ ６ 年福建高考题 ） 已知数列 ｔ ａ ） ｝ 茼足 ＝１ ， 口 ： ＝３ ，
口 ＝ ３ ａ ＋ Ｉ 一 ２ Ｄ ． （ ｎ Ｅ Ｎ’ ） 求数 列的 ｛ 口 ． 】 通 项公 式。 分析 ： 二阶线性 递归 数列求通 项 可通过 其 对 应 的特 征方 程 的 根 位， 构造新 数列 ： Ｄ ＋ ２ 一 ｐ ＋ ｌ ＝ａ （ 口 ． １ 一 口 ） 构造 特征方 程 。 ＝ ３ ｘ 一 ２ ＝ 批Ｉ ＝ １ ， ２ ＝ ２ 口 ＋ ２ － Ｏ ， ＋ ｌ ＝ ２ （ 口 ＋ Ｉ 一 口 ） 令６ ＝ 口 ＋ 。 一 口 ， 则 数列 ｛ ｂ 】 是以ｂ 。 ＝ 口 ２ 一ｏ 。 ＝ ２为首 项 ， 公
（ Ａ ） ００ ２ ８ （ Ｂ ） ２ ｏ １ ７ （ Ｃ ） ０１ ２ ３ （ Ｄ ） ００ ２ ８ 分析 ： 联想到等差数列的通项公式 ｔ １ ． ＝口 ＋ ｄ 则（ ｍ＋１ ） 圆ｎ ＝ｍ ＠ｎ 一１ 可等价构 造数 列 － ０ ． ． ． Ｉ ． 一口 ＝一１ 令， ｌ ＝ １ ， 则数列 ｌ 口 ＿ ． 。 ｝ 是首项为 ８ Ｉ ． １ ＝１ ０１＝ ２ ， 公差 ｄ＝一１
话数外学 习
Ｎｏ ． Ｏ ９ ． ２ Ｏ ｌ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ９期
富 有 创 新 思 想 的数 学解 题 方 法—— 构造 法
马新 明
（ 慈溪市 慈中书院， 浙江 慈溪 ３ １ ５ ３ ０ ０ ）
摘 要： 所谓 的构造 法是 指 某些数 学 问题 用常规 方法一 时难 以解 决 （ 或者 解 决起 来很 复 杂 ） 的情 况下 ， 我 们根 据 命题 的条件 和 结
中考数学构造思想总结
中考数学构造思想总结数学构造思想是数学教学中的一个重要概念，它是指通过逻辑推理、抽象思维、实际问题、模型应用等方式，对知识进行组织和建构的过程。
中考数学构造思想非常重要，能够帮助学生提高问题解决能力，培养创造性思维和创新精神。
下面我将对中考数学构造思想进行总结。
首先，数学构造思想要求学生具备较强的逻辑推理能力。
在数学中，逻辑推理是构造证明过程的基础。
通过逻辑推理，学生可以从已知条件中推导出所需结论，从而进一步构造问题解决的思路。
例如，在解决几何问题中，学生需要根据已知条件分析图形的性质，逐步推导出所需结论。
逻辑推理能力不仅在解决几何问题中起到重要作用，在其他数学学科中也同样重要。
其次，数学构造思想要求学生具备抽象思维能力。
抽象思维是数学建模和问题解决的重要手段。
通过抽象思维，学生可以将问题中的具体情况抽象成数学模型，从而找到问题的本质。
例如，有一个问题是：小明有20元钱，他买了一些苹果和橙子，苹果每个1元，橙子每个2元，他一共买了15个水果，请问他买了几个苹果和几个橙子？在解决这个问题时，可以把苹果的个数表示为x，橙子的个数表示为y，然后建立方程x+y=15，x+2y=20，从而得到x=5，y=10。
通过抽象思维，将具体的问题转化为抽象的数学模型，问题就变得容易解决了。
再次，数学构造思想要求学生具备实际问题应用能力。
实际问题是学校数学教学的重要部分，通过解决实际问题，学生可以将数学知识应用于实际生活中，培养实际问题解决的能力。
在解决实际问题时，需要学生将问题中的各种条件和要求进行分析，然后运用已有的数学知识和方法进行求解。
例如，在解决几何问题时，可以利用平面几何的相关知识和定理来解决问题；在解决代数问题时，可以利用代数运算和方程的相关知识来解决问题。
实际问题应用能力的培养，能够帮助学生将数学知识与实际生活相结合，提高数学的实用性。
最后，数学构造思想要求学生具备模型应用能力。
模型应用是数学建模的重要内容，通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题。
浅谈中学数学中的构造法解题
理论创新2014-02一、问题的提出G ·波利亚有一句名言“掌握数学就意味着善于解题”。
解决数学问题时，常规的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来解决问题却比较困难，甚至无从着手。
在这种情况下，就要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，找到一条绕过障碍的新途径。
构造法就是这样的手段之一。
G ·波利亚在他的《怎样解题》中给出了“怎样解题”表，其中第二步是拟定计划，“找出已知数与未知数之间的联系。
如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。
”运用辅助性数学模式，这也正是我们用构造法解决问题的思路。
构造法的特点：构造新的数学对象过程直观，有很大灵活性。
构造法作为一种数学方法，它不同于一般的逻辑方法，需要一步步地导求必要条件，直至推断出结论。
它属于非常规思维，其本质特征是“构造”。
构造法解决问题的活动是一种创造性的思维活动，关键是借助对问题特征的敏锐观察展开丰富的联想，通过观察、联想，构造出满足条件的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使问题的结论得以肯定或否定，或使问题转化。
二、中学数学中常见的构造解题用构造法解题时，因被构造的对象是多种多样的，可按它的内容分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、数学模型、算法等类别。
本文着重介绍以下几种：（一）构造辅助数与式例1.证明N=910·1112·1314…9999991000000<0.003.分析：构造M=1011.1213.1415 (999998999999).显然M ·N=91000000，又因为N <M （因为910<1011；1112<1213；…），所以N 2<M ·N=91000000，从而得N <31000=0.003.不等式证明题通常需要构造一个不等式，从它出发进行推理进而获得解决。
（二）构造辅助函数求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想、组合出一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转换。
数学解题中的构造法思想
数学解题中的构造法思想数学科 庞春英我们首先从下面例题的解法开始讨论： 例：解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++323232c z c cy x b z b by x a z a ay x 解法一：直接按照三元一次方程组的消元法解题 （略）。
解法二：把原方程组改写为⎪⎩⎪⎨⎧=---=---=---000232323x cy z c c x by z b b x ay z a a 利用方程根的定义，我们把a,b,c 看成关于t 的三次方程023=---x yt zt t 的三个根。
根据韦达定理得：x abc y ac bc ab z c b a ==++=++,,，因此原方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧++=++==c b a z ca bc ab y abcx 。
比较例题的两种解法：解法一作为一般的方法，求解极为麻烦，运算量大；解法二则是构造一个满足问题条件的关于t 的三次方程，构造的元件是a,b,c ，构造的“支架”是原方程变形的关系式“023=---x yt zt t ”。
在解法二中，以问题已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系式为“支架”，在思维中构造了一种新的“建筑物”这种方法有一定的普遍意义。
在解题过程中思维的创造活动的特点是“构造”，我们称之为构造性思维，运用构造性思维解题的方法称为构造法，即为了解决某个数学问题，我们通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、模型、方程、函数以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，可以看作是构造解题。
早在公元前三百年左右，欧几里德为了证明素数有无穷多个，假设只有有限个素数n p p p p 321,,，而构造一个新素数121+n p p p ，从而证明了原命题。
另外，古希腊人为了证明毕达哥拉斯学派的信条“万物皆为（有理数）”是不对的，构造一个边长为1的正方形，则它的对角线竟不是一个“有理数”。
上述这些大概是数学史上最早采用构造法解题的例子吧。
所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。
活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法
活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法
立体几何是数学的一大分支，可以涵盖各方面的概念，以及许多数学思想方法。
在解决立体几何问题时，运用的概念包括分类、证明、概念、规划、构造、确定等等。
以下是活跃于立体几何问题的几种数学思想方法：
1. 构造法：构造法是在立体几何问题中采用的非常有效的数学思想。
构造法
允许以特定的形式和结构来构造几何图形，可以帮助我们处理和理解立体几何里复杂的问题。
2. 命题证明法：在数学中，证明是一个十分重要的集合。
在立体几何问题中，利用蕴含关系进行命题证明是一种有效而又基础的方法。
有助于识别更复杂的立体表达式，从而更清楚地理解其内容。
3. 向量分析法：向量的分析是一种非常有利的思想方法，在立体几何问题中，它可以用于提取平面与立体几何图形的特征，从而更为清晰地判断立体几何中的平面位置，有助于解决几何形状间相互运动的状态等问题。
4. 理论结构法：结构理论是一种对象、数据和过程之间的关系的描述性方法。
在立体几何问题中，结构理论主要是用来研究特定几何形状的性质，比如形状的对称性、四边形的角度和根据特定关系来画出平行线的思路等。
以上是活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法。
有助于学习者更深入地理
解和掌握立体几何知识，有效地运用这些思想方法，可以推动学习者解决更复杂的立体几何问题。
构造法解决高中数学问题
构造法解决高中数学问题所谓构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。
怎样构造呢？当某些数学问题使用通常办法按定势思维去解，很难凑效时，应根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，常是从一个目标联想起我们曾经使用过可能达到目的的方法，手段，进而构造出解决问题的特殊模式，就是构造法解题的思路．在高中阶段一般有构造方程、不等式、函数、数列、向量与图形等。
一． 构造方程构造方程就是根据题目条件与形式联想到解决问题所用的知识，从而构造出一个方程或者方程组来解决。
例1：已知1()2()2f x f x x+=，求()f x分析：由1()2()2f x f x x +=构造出方程12()2()f f x x x+=，然后两式联立就可解出()f x 。
解析：在方程1()2()2f x f x x +=①中用1x代换x 构造出方程12()2()f f x x x +=②②2´-①得43()2(0)f x x x x =- ，所以42()(0)33xf x x x =- 例2：在等差数列{}n a 中，35266,5a a a a +==，求n a分析：在等差数列中356a a +=可以推出266a a +=结合265a a =解出26,a a 然后求出n a解：由356a a +=得266a a +=，构造方程2650x x -+=，则26,a a 是其两根。
所以261,5a a ==或者625,1a a ==。
当261,5a a ==时10,1a d ==此时1n a n =- 当625,1a a ==时16,1a d ==-此时7n a n =-所以1n a n =-或者7n a n =-。
二．构造函数函数是我们研究数学的主体之一，在高中阶段许多问题都可以转化为函数问题来处理，它在高考中所占比重较大。
构造函数解题是解决函数问题的一种手段，它主要是根据题设条件与形式、结构等构造出函数，利用函数的单调性、结合导数解决不等式、数列等问题。
高中数学核心方法 构造法
高中数学核心方法：构造法构造法，这是一种高级的数学思维方法，它通过将问题转化为另一种形式，从而帮助我们更深入地理解问题并找到解决方案。
尽管构造法在数学的其他领域中也有应用，但本文将集中讨论它在高中数学中的应用。
一、理解构造法构造法是一种通过创建或构造某种对象或模型来解决数学问题的策略。
这个对象或模型通常是为了更好地描绘和理解问题，以及提供一种能够揭示问题本质的直观表示。
在构造法的使用过程中，我们需要运用类比、想象和猜测等思维方式，以图找到解决问题的线索和灵感。
二、构造法的优势1、直观性：构造法能将抽象的数学问题转化为更具体、更直观的形式，从而让问题更容易理解。
2、创新性：通过构造法，我们可以从全新的角度看待问题，这有助于我们发现新的解决方案。
3、有效性：构造法能让我们更清楚地看到问题的核心，从而更有效地解决问题。
三、构造法的应用实例1、函数图像的构造：在解决一些函数问题时，我们可以根据函数的性质，如奇偶性、单调性等，来构造函数的图像。
这可以帮助我们直观地理解函数的行为，从而更容易地解决问题。
2、数列的构造：在解决一些数列问题时，我们可以根据数列的性质来构造新的数列，如等差数列等比数列等。
这可以帮助我们更好地理解数列的规律，从而更容易地解决问题。
3、几何图形的构造：在解决一些几何问题时，我们可以根据题目的条件来构造出相应的几何图形。
这可以帮助我们直观地理解问题的条件和结论，从而更容易地解决问题。
四、如何掌握构造法1、深入理解：要掌握构造法，首先需要对数学的基础知识有深入的理解。
只有理解了问题的本质，才能找到合适的构造方法。
2、练习实践：通过大量的练习和实践，我们可以逐渐掌握构造法的技巧和精髓。
只有不断地尝试和应用，才能真正理解和掌握这种方法。
3、总结反思：每次使用构造法解决问题后，都需要进行总结和反思。
看看哪些地方做得好，哪些地方需要改进，这样才能不断提高自己的构造法能力。
4、寻求帮助：如果遇到困难，不要害羞或害怕，积极寻求帮助。
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第15讲 构造思想与构造法-解析版
第15讲 构造思想与构造法构造法是高中数学学习中一种极其重要的思维方法与学科方法,通过对数学问题的已知条件和结论进行深入分析,抓住问题的本质特征,恰当地构造辅助元素或数学模型,转化原问题的结构,重组条件和结论之间的关系,产生一种新的结构,通常这种新结构的构思精巧,聅想丰富、思维灵活,通过构造所得新问题的解决出奇制胜地解决了原问题.构造法又可以分为直接构造法和间接构造法.直接构造法的作用是通过构造具体实例,使所研究的数学对象及其特性的存在得以肯定,或者通过构造反例否定所研究的数学对象或其特性的存在.一旦构造成功,结论也就一目了然,一般来说,直接构造法的知识体系没有改变.构造的对象不仅仅是直接导致结论肯定和否定的实例,还包含有辅助工具,通过辅助工具使问题得以顺利解决,这就是间接构造法.构造的工具是多种多样的,按它的内容可以分为数、式、函数、方程、数列、向量、图形、图表、计算程序、数学模型等.掌握间接构造法的关键在于审时度势,积极展开想象,灵活运用所学的数学基础知识.间接构造法常常会打破原有的知识体系,转化为另一个知识体系中的数学问题.构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法,并不是“无中生有",构造必有源头,也并不是高不可攀,而是敏锐的洞察能力发挥作用的结果.构造法是一种具有创造性的解题方法,体现了函数与方程数形结合,转化与化归的思想,渗透着猜想、实验、归纳、类比、特殊化等数学方法,注重解题时敢于打破常规.知识前后之间的联系与迁移,新旧知识之间的类比与转化,融合与贯通,总之,构造思想与构造法是攻克压轴题的锐利武器,必能让我们击穿壁垒，大获全胜.典型例题【例1】已知实数1212,,,x x y y 满足22221122121211,1,2x y x y x x y y +=+=+=,则的最大值为 .【分析】本题初看条件比较多,要求的代数式又带绝对值等号,似乎有点复杂,但是我们仔细覌察条件和结论中各式的特点,构造图形来解应当是首选.由22111x y +=,22221x y +=,我们肯现点()()1122,,,P x y Q y y 在单位圆221x y +=上.而正是P Q 、两点到直线10x y +-=的距离之和,条件1212x x y y +正好是12121,cos cos 2OP OP OQ A OQ OP OQ x x y y αα⋅⋅===+=,可知OP 与OQ 的夹角为3π,再进一步思考,其中还隐藏着许多信息,可以通过不同的角度去构选图形或关系式求解. 【解法1】如图28-所示,由题意知()()1122,,,P x y Q x y 在单位圆221x y +=上,且3POQ π∠=表示P Q 、两点到直线10x y +-=的距离之和,设PQ 的中点为,A A 到直线10x y +-=的距离为d .则根据梯形的中位线定理,2d =在OPQ 中,OA A =的轨迹是以O 为圆心.当OA l ⊥时,设()()1122,,,P x y Q x y ,由题意知,A B 两点在单位圆221x y +=上,令[)1122cos ,sin ;cos ,sin ,(,0,2x a y x y a αβββπ====∈且).αβ>由121212x x y y +=,可得()1cos ,23παβαβ-=∴-=,即3AOB π∠=.,10A B x y +-=到直线的距离,要使上述距离的和最大,A B 两点应在直线10x y +-=的左下方区域,此时112210,10.x y x y +-<+-<∴=2cos sin cos sin33ππββββ⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+-- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 5212πβ⎤⎛⎫=+ ⎪⎥⎝⎭⎦显然当5sin 112πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,即1312πβ=时,=. 【解法3】如图29-所示,由题意知,点()()1122,,P x y Q x y 在单位圆221x y +=上且满足3POQ π∠=(0为原点),所求最大值为,P Q 两点到直线10x y +-=的距离之和的最大值.为了充分利用单位圆简化运算,作直线y x =-,作1PP 垂直于1y x =-,垂足为1P ,作1QQ 垂直于1y x =-，垂足为1Q ,则11pp sin pop =∠,1112()3qq sin qoq sin pop π=∠=-∠=1pop ∠+112sin pop ∠.111113sin 23PP QQ POP POP POP π⎛⎫∴+=∠+∠=+∠ ⎪⎝⎭, 所求的 最大值在 11PP QQ + 的最大值的基础上再加上两条平行线距离的两倍即可,即的最大值为【解法四】（将已知条件放缩后用基本不等式求解， 基本不等式 a2+b2≥2ab 可变形得()2222222221122()2,1,12a ba b a b a b x y x y +⎫++++=+=⎪⎭即,易证112222x y x y +的最大值为1,因此有112x y +++=()()22112223 2.x y x y +++++【例2】在平面内,定点,,,A B C D 满足,2DA DB DC DA DB DB DC DC DA ==⋅=⋅=⋅=-,动点,P M 满足1,AP PM MC ==,则2||BM 的最大值是( )A.434B.494【分析】本题考考查向量的概念与运算,由于条件中可以深入挖掘其内在的几何 事义,如构造符合题意的图形求解就显得非常重要,不同的构造可以运用不同的知识来求解, 虽是小题,容量却相当大.【解法1】由DA DB DC ==知,D 为ABC 的外心,由DC DA DA DB DB DC ⋅=⋅=⋅知,D 为ABC 的内心.ABC ∴为正三角形,D 为正ABC 的中心.且2DA DB DC ===,23BA CA AB ===以BC 所在直线为x 轴,其中垂线为y 轴建立平面直角坐标系,则有())(),,0,3B CA .由PM MC =知M 为线段PC 的中点.设(),M x y ,则()2P x y .由1AP =,得22(2(23)1x y -+-=,即点M 的轨迹为圆22x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 23124y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,圆心为322N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 于是BM 的最大值为1722BM +=,故|2||BM 的最大值是494.故选B . 【解法2】由DA DB DC ==知,点,,A B C 在以点D 为圆心的圆上,设圆的半径为r ,由2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-得222cos cos cos 2r ADB r BDC r CDA ∠∠∠===-① 120ADB BDC CDA ∠∠∠∴===,代人①式得2r =.以点D 为原点,DA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,如图210-所示,易求得()((2,0,,1,A B C --.由|1AP =知,动点P 在以点A 为圆心,半径为1的圆上,故可设()2cos ,sin P θθ+,又由PM MC =知,点M 为PC 中点.12BM BC CM BC CP ∴=+=+()()1122BC BP BC BC BP =+-=+而()(0,23,3cos ,sin BC BP θθ=-=+.(13cos ,sin 2BM θθ∴=+-. ()22211||(3cos )(sin 376cos 44BM θθθθ⎡⎤∴=++-=+-⎣⎦ ()11493712cos 3712.B 4344πθ⎡⎤⎛⎫=++⨯+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选【例3】已知10,2,a b a b b>>+=+-求 【分析】本题求代数式的最大值,由于代数式中含两个字母,若用消元法,代数式更为复杂,且根式还在,求其最大值很难办到.解题的关键是首先应考虑化无理为有理,若按三角函数方向移植,可以有如下的解法:由0,0a b >>,且3a 12b+=得122a b >>.故可设1tan ,0,,22a πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭代入已知,解得1cot 22b θ=+2222sin 12cos 2a b θθ⎫⎛∴+=+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()2222231sin sin cos 1cos 1cos sin 4cos 4sin θθθθθθθθ--⎫=++++⎪⎝⎭22113312sin cos 4cos 44sin 4θθθθ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223114sin 4cos cos θθθ⎫==+⎪⎪⎝⎭至此,完成了对22a b +的化简,12sin cos θθ=+,实现了化无理为有理的目的，,即111tan cot 22222sin cos a b θθθθ+=+++--.那么如何求它的最大值呢？显然并不容易办到,需要进一步挖掘内在的含义.可见,对数学问题的构造,方向要对头,方向不对常会使问题的解答陷入死胡同.方向对,则问题迎刃而解.进一步观察a b +的结构,显然是Rt AOB 的内切圆的直径.因此,原问题相当于求Rt AOB 内切圆的直径的最大值,那么条件10,2a b b>>+=又是什么呢?如果将12b +=变形为112b =,可见是直线1(0,0)x y a b a b+=>>过定点12P ⎫⎪⎪⎝⎭则求代数式的最大值问题移植为几何问题.由于,a b 为变量且0,0a b >>,若引进角参数,则原问题又可构造为三角函数最值问题.【解析】12b =变形,112b +=,可见直线1(0,0)x ya b a b +=>>过定点122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,如图所示,显然有1||22a OA ==+1cot ,||tan 22b OB θθ==+，1||,||2sin PA PB θ==其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以,1||||||2sin AB PA PB θ==+=.故111cot tan 22222sin 2cos a b θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 11)22sin 2cos θθθθ--=++22222sin sin )22224sin cos 2cos sin 2222θθθθθθθ--=++⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin sin 2222cos 2cos sin 222θθθθθθ⎫-⎪⎝⎭=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭1tan 112tan 22221tan 2θθθ⎫-⎪⎝⎭=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭1tan 112tan 122221tan 2θθθ⎫+-⎪⎛⎫⎝⎭=+++ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭11tan 1221tan 2θ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭+1=当且仅当1tan 1221tan 2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+即tan 12θ=时,a b +1【例4】设()sin cos ,xxf a αα=+{}*|2,x n n k k ∈=∈,利用三角变换,估计()f α在2,4,6x =时的取值情况,进而对x 取一般值时对()f α的取值范围作出一个猜想并证明.【分析】本例是归约一猜想一证明类题型,当246x =、、时利用三角变化容易求出()f α的取值范图,则对x 取一般值时,很难用三角变换作进一步探索，故在获得猜想之后如何进行证明应考虑采用构造法.一是把三角函数的取值范范问题移植为代数函数的取值范围问题,用导数解决或由图像的凹凸性解决、函数性质的不等式知识在证明中起主导作用.二是通过构造运用二项式定理?合三角函数有界性求()f α的范围或直接运用基本不等式等放缩的技巧. 【解析】逐一计算:当2x =时,22()sin cos 1f ααα=+=. 当4x =时,()244222221()sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f a ααααααα=+=+-=-可得211()1sin 2,122f αα⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦,即1()12f α. 当6x =时,()()66224224()sin cos sin cos sinsin cos cos f ααααααααα=+=+-+2311sin 2,144α⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦,即21()12f a .由此猜想:当()*2x k k =∈N 时,()f α的取值范围为11()12k f α-. 【证法一】(构造函数,用导数解决) 设函数()(1),01,kkg x x x x =+-2k .则1111()(1)(1)k k k k g x kx k x k x x ----⎡⎤'=--=--⎣⎦,可以判断:()g x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递增,故当12x =时,1min 111()1222k k k g x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又∵(0)(1)1g g ==为最大值,故()g x 的值域为11,12k -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 令2sin ,x αα=∈R ,可得11()12k f α-. 【证法二】(构造函数,用图像的凹凸性解决) 构造函数12()(01,2),(),()(1)0kk k g x x x k g x kx g x k k x --='=''=->对任意01x <<恒成立.故()(01)kg x x x =为下凸函数,它在点12x =处的切线方程为111222k k k y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即111222k k k y x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 由图像的凹凸性可知,函数()(01)kg x x x =的图像总在切线111222k k k y x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的上方（或重合),故有111222kk k k xx -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭对任意01x 恒成立(当且仅当12x =时取等号). 对于α∈R ,有220sin 1,0cos 1αα,用22sin ,cos αα分别代替x 可得22111sin sin 222k k k k αα-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，① 22111cos cos 222k k k k αα-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，② ①+②,得222211111111()sin cos sin cos 2222222k k k k k k k k f ααααα---⎛⎫⎛⎫=+-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 另一方面,由220sin 1,0cos 1αα可得222222222222()sin cos sin sin cos cos sin cos k k k k k k f ααααααααα----=+=⋅+⋅+22sin cos 1αα+=,即11()12k f a - 【证法三】(构造二项式定理,用放缩法)2222{1cos 1cos ()sin cos 22kkk kf ααααα⎛⎫⎛⎫-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{01221cos 2cos 2(1)cos 22k k k k k k k k C C C a C αα⎡⎤=-+-+-⋅⎣⎦}0122cos 2cos 2cos 2k kk k k k C C C C ααα⎡⎤+++++⎣⎦()0224412cos 2cos 22k k k k C C C αα=⨯+++当cos20α=时,()02244mincos 2cos 21k k k C C C αα+++=;当cos21a =±时,()022440241maxcos 2cos 22k k k k k k k C C a C C C C α-+++=+++=;故11()12k f α-. 【证法四】（构造并运用基本不等式进行放缩或构造二项式实现放缩）222211(1)(1)2211111122sin cos (sin )(cos )2222222kkk k k k k kk k kk kk k k y x x x x ---=+=+++++++-个个222sin 2k k kk k k -⋅ ()12212222222sin cos 22222k k k k kk k k k k x x ----=⋅+-=-== 等号成立221sin cos 2k k kx x ⇔==,即当221sin cos 2x x ==时,此时1min 2k y -=. 另一方面,又∵()2222sin cos sincos 1kk k x xx x++=,等号成立sin cos 0x x ⇔=,此时max 1y =.故函数()22*sin cos k k y x x k =+∈N 的值域是12,1k-⎡⎤⎣⎦.强化训练1.(1)求证:||||||1||1||1||a b a b a b a b ++++++;(2)已知0a b >>,求证a ba b->+; (3)已知,a b +∈R ,且1a b +=,求证:11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】(1)证明:构造函数()[),0,1x f x x x ∞=∈++,即()111f x x=-+,由于11x+在[)0,∞+单调递减,因而()f x 在[)0,∞+单调递增, 令12,x a b x a b =+=+,则有()()1212,x x f x f x ∴.即111111a b a b a b a b a ba ba ba bab++=++++++++++++.(2)证明:设()(0)x xxxa b f x a b a b -=>>+. ()22211,0.1x x x x x x x x x x x x xa b a b b b f x a b a b a b a b a b -+-∴===-=->>+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭又1a b >,∴函数1xa yb ⎛⎫=+⎪⎝⎭在R 上是增函数. ()f x ∴在R上是增函数,()1ff ∴>,.a ba b->+ (3)证明:,a b +∈R ,且1a b +=,2124a b ab +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时等号成立. 又1111122a b a b a b ab ab ab a b ab b a b a ab ab ⎛⎫⎛⎫++=+++⋅++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 设函数()()1,0,f x x x x∞=+∈+, 易证()f x 在区间(]0,1上单调递㨔,在区间[)1,∞+上单调递增. 又()1117,4444abf ab ∴+=,12524ab ab∴++,即11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.2.(1)若,,,44x y a ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦R ,且满足方程:3sin 20x x a +-=和34sin cos 0y y y a ++=,求cos(2)x y +的值;(2)已知,a β为两相异锐角,且满足方程cos2sin 2a x b x c +=,求证:2cos ()αβ-222c a b =+【解析】(1)【解】构造函数()3sin f x x x =+,则()()32(2)sin 2f y y y =+.3sin 20x x a +-=()2f x a ∴=.34sin cos 0y y y a ++=,382sin cos 20y y y a ∴++=,()220f y a ∴+=,()22f y a ∴=-.()()2f x f y ∴=-.在,,44x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内()f x 为增函数且为奇函数,()()2,2f x f y x y ∴=-∴=- 20x y ∴+=,()()cos 2cos 01x y ∴+==.(2)证法一:(构造一元二次方程结合韦达定理） 由条件移项得cos2sin2a x c b x =-.两边平方可得方程()22222sin 22sin20a b x bc x c a +-+-=,根据条件sin2,sin2αβ是方程()2222220a b y bcy c a +-+-=的根,由韦达定理得2222sin2sin2c a a b αβ-=+, 同理可得2222cos2cos2c b a b αβ-=+,()()cos2cos 22cos2cos2sin2sin2αβαβαβαβ-=-=+ ()22222222221,c a b c a b a b-+==-++()()22221cos2cos .2c a bαβαβ+-∴-==+ 证法二:(构造直线方程,由点到直线的距离来解)由题设知,点()cos2,sin2A αα和点()cos2,sin2B ββ所在的直线方程是0ax by c +-=.(1)经过A B 、两点的直线方程还可以表示为sin2sin2sin2cos2cos2cos2y x αβααβα--=--,即()()()cos sin cos 0x y αβαβαβ+++--=.(2) 由于(1)(2)表示同一条直线,因而原点到两直线距离相等.=即()2222cos c a b αβ-=+.3.(1)试求函数22sin sin 1cos sin 3y αααα++=--的最大值;(2)求二元函数221(,)()1F x y x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭的最小值.【解析】(1)【解法一】 (常规解法)函数变形为()()21sin1sin 210y y y αα+++++=.1y ≠-,∴配方得21121sin 241y y α+⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭,由[]sin 1,1α∈-得2190sin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 1219414y y +∴-+,解不等式得max 333,477y y --∴=-.【解法二】(构造几何图形,利用斜率求三角函数最值)设点()22cos sin ,sin sin A αααα-+,点()3,1B -,,y y A B 则表示两点连线的斜率.点A 的轨迹方程是22cos sin ,sin sin ,x y αααα⎧=-⎨=+⎩即1x y +=, 由于2215cos sin sin 24x ααα⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,514x∴-. 故点A 的轨迹为线段()551:11,1,2,,444MN x y xM N ⎛⎫⎛⎫+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,如答图22-所示.BN BM 33,,74k k =-=-33,47y ∴--max 37y ∴=-.(2)【解法一】(构造图形,利用几何关系求解)由二元函数结构特点,可将函数关系看成是点(),1P x x --和点1,Q y y ⎛⎫⎪⎝⎭的距离,而点(),1P x x --的轨迹是直线10x y ++=,点1,Q y y ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是双曲线1xy =.∴问题就转化为直线10x y ++=上的点和双曲线1xy =上的点的距离平方的最小值.由答图23-可知,A B 、连线过原点且与直线10x y ++=垂直时,其交点C 到点B 最近.此时,3A B C 、、点的坐标是()()21111,11,1,,||.222A B C BC ⎛⎫----= ⎪⎝⎭、、即(),F x y 的最小值是12.【解法二】(构造二次函数配方法求最值) 首先看成关于x 的二次函数()22222111()12211f x x y x x y x y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++=+-+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭顶点在01112x y y ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭, ()()22220111111111(1222f x f x y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++--++=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时最小).。
构造法解题要义
构造法是一种解题方法，通过构造合适的例子或具体情况来解决问题。
它在数学、物理、工程等领域中广泛应用，并可以帮助理解问题的本质、找到规律和得出结论。
以下是构造法解题的要义：
充分理解问题：首先要充分理解问题陈述，明确问题的要求和限制条件。
了解问题的背景、目标和具体细节，确保对问题的理解正确和完整。
设定假设和条件：在构造法中，需要设定合适的假设和条件。
这些假设和条件应该与问题的要求和限制相一致，同时也需要合理且具有代表性，以便构造出合适的例子或情况。
构造具体例子：根据设定的假设和条件，开始构造具体的例子或情况。
通过选择合适的数值、参数或实际情况，构造出符合问题要求的具体案例。
这些例子可以是简化的特殊情况，也可以是一般性的典型情况。
探索规律和特征：通过对构造的例子进行观察和分析，探索其中的规律和特征。
注意观察变量之间的关系、数值的变化趋势、模式的出现等。
尝试推测可能的规律并进行验证。
归纳总结结论：根据观察和分析的结果，归纳总结出问题的结论。
将观察到的规律和特征推广到一般情况，并给出适用于所有情况的结论。
检验和验证：完成构造法解题后，需要对得出的结论进行检验和验证。
通过运用逻辑推理、数学证明或实验数据验证所得结论的正确性和适用性。
构造法解题的关键在于通过构造具体例子或情况，帮助我们理解问题、找到规律，并得出一般性的结论。
它可以激发创造性思维、培养问题解决能力，并在解决复杂问题时提供有力的思路和方法。
试论高中数学解题中运用构造法的措施
试论高中数学解题中运用构造法的措施高中数学解题中构造法是一种重要的解题思路和方法，通过构造一个符合条件的特殊例子或模型，从而得出一般情况的结论。
构造法在高中数学解题中具有广泛的应用，并且能够帮助学生理解概念、加深记忆、拓宽思路。
下面将从题目选择、构造思路和解题方法三个方面探讨高中数学解题中运用构造法的措施。
一、题目选择在解题过程中，首先要选择适合运用构造法的题目。
一般来说，构造法适合解决下面几种类型的问题：1.存在性问题：如证明某一条件下一定存在某种结果。
2.等式与不等式问题：如证明某一等式或不等式在某个特殊条件下成立。
3.图形问题：如构造某一特殊图形满足给定条件。
4.递推与逆推问题：如利用构造法来进行递推或逆推，从而得到一般情况的结论。
二、构造思路在解题过程中，可以通过以下几种构造思路进行推导和发现：1.类比法：通过类比已知的问题或模型，找到相似的结构，从而推导出一般情况的结果。
如利用平行线的性质类比解决相交线的问题。
2.分解法：将复杂的问题分解为若干简单的子问题，然后逐步构造出解决整个问题的结构。
如将一个多边形分解成若干个三角形，从而利用三角形的性质进行解题。
3.对称法：利用图形的对称性质进行构造，从而找到满足给定条件的特殊情况。
如通过利用图形的对称性质解决等腰三角形的问题。
4.反证法：假设所要证明的结论不成立，通过构造一个特殊例子进行推导得出矛盾，从而推出原命题成立。
如通过反证法证明无理数存在。
三、解题方法在实际解题过程中，可以采用以下几种方法来运用构造法：1.举例法：通过构造一个满足给定条件的特殊例子，从而发现或证明一般情况的结论。
特别是对于存在性问题，举一个具体例子往往可以帮助理清思路和跳出思维定势。
2.巧取法：利用已知条件和题目中给出的信息，巧妙地进行构造和推导，从而得到满足题目要求的解。
这种方法一般需要一定的数学见识和技巧，对于解答题来说特别有效。
3.推导法：通过观察已知的特殊例子或模型的性质，从中归纳出一般性质和结论。
构造法的数学思想及其运用
基础教育P UBLIC C OURSE147ＯＣＣＵＰＡＴＩＯＮ2014 07摘 要：构造的思想方法是解决数学问题常用的思想方法。
本文介绍了方程构造法、命题构造法、模型同类构造、解图形构造、函数构造等构造法的运用。
关键词：数学教学 构造 运用构造法的数学思想及其运用文/丁文敏在数学教学中，我们常常采用构造方法来解决数学问题。
因为有的结论难以直接表达，需要借助一定的条件才能转化到结论，于是就可以利用数学问题的特殊性，进行新的关系结构的设计，间接地寻找解决问题的具体方法。
这种方法不是直接解决原问题，而是创造一个与原来问题有关或等价的新问题。
它可以用于对经典数学的概念、定理的解释，也可以用于开发构造性数学的新领域。
在解决初等数学问题时，构造思想方法得到广泛的应用。
用构造思想解题的巧妙之处在于构造一个与原问题有关的辅助新问题，希望通过它的解决来帮助解决原问题。
一般情况下，创设一个比原问题更简单、更直观的新问题，使得原问题迎刃而解，此方法的运用就成功了。
一、方程构造法遇到等量性的问题都可能使用方程这个工具，对于一些计算问题也可运用方程的思想来解决。
倘若一个量不能或难于直接求得，就设法导出它所满足的方程，于是问题就归结为求解方程了。
我们可以根据解的定义构造方程，可以引入未知数，把问题转化为方程问题求解，可以用韦达定理逆定理构造方程，可以利用判别式构造方程，可以根据题目特点把问题转化为方程来解决。
例1：若a+b+c=m，1/a+1/b+1/c=1/m，a、b、c互不相等，求证a、b、c中必有一个等于m。
若将a、b、c看作未知量，由条件可知其和为m，两两积和ab+bc+ca=—。
这样就可以设出abc后，按三次方程的韦达定理构造出a、b、c为根的方程。
这样我们可以证明：令abc=n，则ab+bc+ca=—，因此a、b、c是方程t 3－mt 2+t －n=0的三个根。
方程（t －m）（t 2+—)=0有一根t1=m，即a、b、c 中必有一个等于m。
例谈高中数学构造的思想-2019年文档
例谈高中数学构造的思想
历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。
构造法的核心是构造，要善于将数与形结合，将式与方程、函数、图形等建立联系，构造出新的数学形式，使问题巧妙地获得解决。
“构造思想”作为一种重要的化归思想，在数学中有着极为重要的作用，现举例谈谈其在数学解题中的运用。
一、构造对偶式
有些涉及到非对称式问题，有时构造出这些非对称式的对偶式，可以使问题得到解决。
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数学解题中的构造法思想数学科 庞春英我们首先从下面例题的解法开始讨论： 例：解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++323232c z c cy x b z b by x a z a ay x 解法一：直接按照三元一次方程组的消元法解题 （略）。
解法二：把原方程组改写为⎪⎩⎪⎨⎧=---=---=---000232323x cy z c c x by z b b x ay z a a 利用方程根的定义，我们把a,b,c 看成关于t 的三次方程023=---x yt zt t 的三个根。
根据韦达定理得：x abc y ac bc ab z c b a ==++=++,,，因此原方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧++=++==c b a z ca bc ab y abcx 。
比较例题的两种解法：解法一作为一般的方法，求解极为麻烦，运算量大；解法二则是构造一个满足问题条件的关于t 的三次方程，构造的元件是a,b,c ，构造的“支架”是原方程变形的关系式“023=---x yt zt t ”。
在解法二中，以问题已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系式为“支架”，在思维中构造了一种新的“建筑物”这种方法有一定的普遍意义。
在解题过程中思维的创造活动的特点是“构造”，我们称之为构造性思维，运用构造性思维解题的方法称为构造法，即为了解决某个数学问题，我们通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、模型、方程、函数以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，可以看作是构造解题。
早在公元前三百年左右，欧几里德为了证明素数有无穷多个，假设只有有限个素数n p p p p 321,,，而构造一个新素数121+n p p p ，从而证明了原命题。
另外，古希腊人为了证明毕达哥拉斯学派的信条“万物皆为（有理数）”是不对的，构造一个边长为1的正方形，则它的对角线竟不是一个“有理数”。
上述这些大概是数学史上最早采用构造法解题的例子吧。
所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。
构造法体现了数学发现的思想，因为解决问题同获得知识一样，首先需要感知它，要通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件；构造法还体现了类比的思想，为了找出解题的途径，很自然地联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供了参照对象；构造法还体现了化归的思想，把一个个零散的发现由表及里，由浅入深地集中和联系起来，通过恰当的方法加以处理化为已有的认识，就自然形成了构造模型的方法。
除此之外，构造法还渗透着猜想、试验、归纳等数学思想。
那么，如何构造呢？关于构造法解题可以概括如下： 1、分析命题的条件与结论。
2、从命题的结构特征联想熟悉的数学问题或者考虑题目本身的意义，如几何意义，公式变形等。
3、构造新的数学模式（方程、函数、图形……）。
4、研究新的数学模型的性质并求解。
5、然后将求解结论转化到原来的命题。
6、作出结论。
构造法的内涵十分丰富，使用时不存在一个完全固定的模式可以套用，尽管如此，关于构造法的解题过程的模式还是可以用下列框图表示：构造法在数学领域内有着很普遍的应用，有些数学题目看似困难、繁琐，当搭起构造的“桥”后不仅迎刃而解，而且有时会因构思的奇巧而拍手叫绝，常有一种“柳暗花明又一村”的感觉，因此构造法在许多数学问题的解题过程中显示出令人瞩目的特殊作用。
一、构造法在数学解题中的应用（一） 优化解题途径有些数学问题虽不用构造法也可以解，但求解过程繁琐，若用构造法，往往可简化复杂的运算和讨论，使问题简捷获解。
例：使抛物线()012≠-=a ax y 上总有关于直线L ：0=+y x 对称的两点，求a 的范围析与解：用辅助点法、参数法等方法求解都很繁琐，若利用L ：0=+y x 是第二、四象限角平分线这一特征，构造抛物线12-=ax y 关于直线L 的对称曲线12-=-ay x ，则可简捷求解，假设对称点存在，那么当且仅当上述两抛物线有相异交点，由⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1122ay x ax y 得))((y x y x a y x -+=+，注意到0≠+y x 且0≠a ，ax y 1-=∴ 代入12-=ax y得0112=-+-ax ax 。
此方程应有两个不相等的实根， 其充要条件为0)11(41>--=∆a a ，解之得：43>a 。
（二）显露隐含条件运用构造思想分析题目的结构特征或数量关系，有助于挖掘含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。
例：已知()244+=x xx f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛100110001001210011f f f 。
析与解：将待求式看作一个整体，其数字特征提示我们研究())1(x f x f -与之间的关系，从而发现隐含条件124244244244244244)1()(11=++=⨯+++=+++=-+--x x x x x x x xx x f x f 构造整体)10011000()10012()10011(f f f S +++= ，亦有)10011()1001999()10011000(f f f S +++=将上述两式对应项相加得10002=S500)10011000()10012()10011(=+++f f f （三） 沟通条件和结论的关系许多问题仅利用已知条件难于直接求解，需要按一定目标构造某种数学模型（如式、线、形、体等等）作为桥梁，沟通条件与结论之间的逻辑关系，才能求得结论。
例：设R b a ∈,，并且方程01234=++++ax bx ax x 至少有一个实数解，试求22b a +的最小值。
解：设0x 是方程的一个实根， 则00≠x 代入方程可得01200020=++++x x a b ax x ， 构造直线和圆（b a ,作变量），011202000=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x b a x x ，222R b a =+， 依题意直线和圆必有公共点，因此，圆心到直线的距离小于（或等于）半径，从而有R x x x x ≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1112002020 即2202022020311R x x x x ≤++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 45432113111220202202=+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤∴x x x x R， 时等号成立，即，当且仅当1154020202±==≥∴x x x R ，并代入方程得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+542222b a b a 和 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-542222b a a b ， 解之即可知，当52,54-=±=b a 时，()5422=+最小b a 。
（四） 促进数学相关知识的转化解综合题时，经常用到的构造图形解代数题，构造方程解几何题，构造函数求线段长或几何图形的最大值、最小值等方法，都能促进数学相关知识的相互转化。
例：设c b d a d c b a +=+<≤<<且0 求证c b d a +<+。
证明：利用条件c b d a +=+构造如图的两个边重合。
记d AB c AD b DC a BC ====,,,βα=∠=∠=DAC BAC r AC ,,，则︒≤<<︒450βα ，()()︒+=+=+∴452αααrSin Cos Sin r d a ， ()()︒+=+=+∴452βββrSin Cos Sin r c b ，︒≤︒+<︒+<9045450βα ，()()︒+<︒+∴4545βαSin Sin ，c b d a +<+∴。
（五） 加强数学思想的运用诸如构造函数、构造方程、构造图形、构造整体、逆向构造等等，分别是函数思想、方程思想、数形结合、整体思想、逆向思维等数学思想的体现，可见，运用构造思想能强化基本数学思想方法的运用。
例：求函数321)(2x x x f -+=的值域。
解：构造函数3212x y -=通过平方变形为方程)0(1312122≥=+y y x ， 此方程表示：中心在原点的椭圆的上半部分，并与x 轴交于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0220,22，，B A 两点， 设b y x =+它表示斜率为－1的动直线，显然，当它过第一象限与曲线相切时， b 取得最大值，当它过A 点时，b 取得最小值，由⎩⎨⎧=+=+13222y x by x 得0136522=-+-b bx x ， 由()()01354622=-⨯--b b ，得),65(65舍-==b b ， 将点），（－022A 坐标代入b y x =+得22-=b ， ∴函数()3212x x x f -+=的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,22。
综上所述，构造法不仅可以拓宽思路，创设出新的情境，提高分析问题和解决问题的能力，而且还能丰富我们的想象力，优化整体意识和创造思维。
不仅如此，构造法内涵丰富、形式多样，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。
因此，我们还是可以从所构造的对象进行分类，使特点更为突出，规律更为明显。
二、从所构造的对象不同进行分类（一） 构造命题1、构造等价（或接近）命题如果遇到的数学问题直接证明（或求解）较困难时，可以构造其等价（或接近）命题，并通过证明其等价（或接近）命题成立，从而使原命题成立。
例：求证：面积等于1的三角形不能被面积小于2的平行四边形所覆盖。
分析：我们将命题译成数学语言：“若2,1<=∆ABCD PQR S S ，则PQR ∆不在四边形ABCD 内部。
此题若直接证明，不易找出它的证题思路，若转化为它的等价命题，问题就简化了。
其等价命题是：若PQR ∆在四边形ABCD 内部，则ABCD PQR S S 21≤∆。
证明：如图，只要过P 作MN ∥AB ， ABMN ABMN PQE PQE h MN S h PE S ⋅=⋅=∆∆,21， ∵ ，ABMN PQE h h <∆， ∴ABMN PQE S S 21<∆，同理DCMN PRE S S 21<∆，所以等价命题得证，从而原命题得证。
2、构造辅助命题在解答数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么，我们可以证明了辅助命题是真命题，原命题就迎刃而解了。
例：正数a 为何值时，函数x x a y -++=632的最大值为210？ 分析：在中学数学中，没有定理可以直接对例题作出回答， 我们注意到在已知函数式中，有06,02,03,0≥-≥+>>x x a ， 且()()86222=-++xx （定值），于是构造一个辅助问题：设b a ,都是正数，变量0,0≥≥v u 且m v u =+22（定值），求函数bv au y +=①的最大值。