大学微积分的教程

一、函数的极值及其求法

定义设函数y =/（工）在工0的某一邻域内有定

义,

如果对任意的x^x0,恒有

/(x)/(x0))

则称/（必）为/⑵的一个极大（小）值.

函数的极大值与极小值统称为极值，函数取得极值的

点称为极值点.

■注意：0和2兀不是sin x 的极值

点

I ■ sin 兀在彗取极小值

极值存在的必要条件

定理设函数y =/(x)在极值点必可导，则

/ F(x0) = 0・

注1：如果/ \x) = 0,那么称必为/⑵的驻点•

极值存在的必要条件

定理设函数y =/(x)在极值点必可导，贝

f Z（X O）= 0.

注仁如果广(兀)=0,那么称必为于⑵的驻点・注2:驻点不一定是极值点.

注3:不可导点也可能是极值点.

9

■

极值可疑点

定理 设函数必是/仗）的极值可疑

点”3）在兀o 的某一

邻域内（x 0-S, x 0+S ）连续且可导（在％可以不可导）: ⑴当兀 w (x 0-8, x 0)时，广3) >0, 当兀 w

3°, x 0+8)时,f'(x) v 0, 则％是/ 3)的

极大值点.

(2)当 x w (x 0-8, x 0)时，f f

(x) v 0, 当 x

w (x 0, x 0+S)时,f'(x) > 0, 则兀0是/

仗)的极小值点.

（3）在上述两个区间，/©）同号，则x 0不

极值存在的第一充分条件

—阶导数 变号法

是极值点.

A , 个\ —厂

例1 I求函数/(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5的极值. 解f \x) = 3x2— 6x — 9

= 3(x + l)(x-3)

令广（兀）=0 得：= -1, X2=3

极大值/(-l) = 10 极小值/(3) = -22

例1 求函数/(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5的极值•图形如下:

例2］求函数f(x) = l-(x-2Y的极值.

2 _丄

解/'(x) = -s(x-2) 3(XH2)

当工=2时，广⑵不存在，但于⑵在R上连续.

极值存在的第二充分条件

(1) 如果7W > 0,则/(兀)在兀。取极小值;

(2) 如果/〃3。) < 0,则/(对在x 0取极大值.

称为“二阶导数非零法”

说明:1.记忆 ---- 特例法:y = x 2

, y= -x 2

2. 只适用于驻点，不能用于判断不可导点

3. /n

(x 0) = 0时不可使用.

定理 设函数丿=/(x)在驻点x 0

二阶可导，

A

-------- > 兀0

J A

例3 |求函数/(x) = x3 + 3x2 - 24x -20的极值. 解/\x) = 3x2+6x-24

=3(x + 4)(x - 2)

令广(兀)=0 得:x x= -4, X2=2

f zr(x) = 6x + 6

V/n(-4) = -18<0

・・・极大值/(-4) = 60

V/n(2)=18>0

・•・极小值于(2) = -48

例3 求函数/(x) = x3 + 3W — 24兀-20的极值•图形如下:

求极值的步骤：

1.确定函数的定义域;

2.求导数广（工）；

3・求定义域内的极值可疑点（即驻点和一阶不可导点）；

4.用极值的第一或第二充分条件判定. 注意：第二

充分条件只能判定驻点的情形.

二、函数的最值及其求法

极值是局部的，而最值是全局的.

若函数于（兀）在［a, b］上连续，则函数/（兀）在

［偽b］上存在最大值和最小值

求闭区间［a.b］上最值的步骤：

1.求出定义域内所有的极值可疑点（驻点和一阶不可

导点）可,兀2,…心,并算出相应函数值于（心）; 2・计算/（a）J（b）；

3・最大值M = max{/（A：i）,・・・,/（切,/@）,于（方）}

最小值加二min{/（A：i）,・・・,/（©）,/«）,/（〃）}・

例4 |求函数/(x)= (x-l)V^在［-l,0・5］上的最值. 鈕- --5v-2

鱗广(X)= 0 +(X _ l)x 3 = -_——

y/X

令广(工)=0得：x1= 4 x = 0是于(兀)的不可导点.

••• /(!)=-!< /(0)=0

/(-I) = -2 /(+) = —£血

【大值是0,最小值是-2

当时，厂＞0

又•・• y 在［JR +8）上是连续的

y 在［A /3, +°°）上单调递增

・•・最小值是/（V3）--V3

x 3

2 •・• !聲=1=+00・・・丿没有最大值

*3

E g ）上的最值. x 2(x 2

-3)

(X —1)2

求函数y

说明：

1.如果于⑵在［偽b］上单调，则它的最值必定在端点。

和〃处取得；

2.如果于（工）在［a, b］上连续,在（偽b）内可导，且有

唯一驻点必为极值点，贝!l/（^o）必定是最大或最小值；

更进一步,若实际问题中有最大（小）值，且有

唯一驻点，则不必判断极大还是极小，立即可以断

定该驻点即为最大（小）值点.