您的位置：360文档中心› 专题 平面向量常见题型与解题指导

专题 平面向量常见题型与解题指导

合集下载

专题：平面向量常见题型与解题指导

专题：平面向量常见题型与解题指导

专题：平面向量常见题型与解题指导平面向量常见题型与解题指导本章主要考察以下内容：1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3.掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6.掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7.掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8.通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

本章的考查主要分为以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质。

此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题。

此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。

3.向量在空间中的应用。

在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。

在复过程中，应该抓住源于课本，高于课本的指导方针。

本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本。

因此，掌握双基、精通课本是本章关键。

分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为研究解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的研究应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

复建议：本章知识分向量与解斜三角形两部分，因此应用本章知识解决的问题也分为两类：1.根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题。

2.运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法(带答案)

高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法(带答案)

高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法单选题1、在△ABC 中，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则△ABC －定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 答案：C分析：根据向量的数量积的运算公式，求得cosA <0，得到A 为钝角，即可求解. 由向量的数量积的运算公式，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA <0，即cosA <0， 因为A ∈(0,π)，所以A 为钝角，所以△ABC －定是钝角三角形. 故选：C.2、已知a ，b ⃗ 是不共线的向量，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b ⃗ ，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+1 答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 再由AB⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b⃗ ， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.3、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B =π3，b =3，a =√3，则c =（ ）． A ．√3B ．2√3C ．3−√3D ．3 答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC 中，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9，即c 2−√3c −6=0，解得：c =−√3（舍），∴c =2√3.c故选：B.4、已知非零向量a →与b →共线，下列说法不正确的是（ ） A ．a →=b →或a →=−b →B ．a →与b →平行C ．a →与b →方向相同或相反D ．存在实数λ，使得a →=λb →答案：A分析：根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果． 非零向量a →与b →共线，对于A ，a →=λb →，λ≠0，故A 错误；对于B ，∵向量a →与b →共线，∴向量a →与b →平行，故B 正确； 对于C ，∵向量a →与b →共线，∴a →与b →方向相同或相反，故C 正确； 对于D ，∵a →与b →共线，∴存在实数λ，使得a →=λb →，故D 正确. 故选：A.5、已知向量a =(−1,m )，b ⃗ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃗ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃗ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、已知f (x )=sin (ωx +π6)+cosωx （ω>0），将f (x )图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到g (x )的图象．g (x )的部分图象如图所示（D 、C 分别为函数的最高点和最低点）：其中CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，则ω=（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 答案：C分析：先求出g (x )的解析式，再利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22得到cos∠ACB =12，进而求出|AB |=2，所以T =2×2=4，ω=π 由f (x )=√32sinωx +32cosωx =√3sin (ωx +π3)，∴g (x )=√3sin (12ωx +π3)，因为D 、C 分别为函数的最高点和最低点，所以DA =AC =CB ，由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，即|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2⋅cos∠ACB =|AD |22∴cos∠ACB =12，∴△ACB 为正三角形，又△ABC 的高为√3， ∴|AB |=2 ∴T =2×2=4， ∴即2π12ω=4πω=4，∴ω=π， 故选：C ．7、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（ ） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ，再向北走3km，即向东北走3√2km.故选：B.8、在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2−(b−c)2，则2b2+c2bc 的取值范围为（）A．(4315,5915)B．[2√2,4315)C．[2√2,5915)D．[2√2,+∞)答案：C分析：根据余弦定理和△ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C表示B，求出bc =sinBsinC的取值范围，即可求出2b2+c2bc的取值范围．解：在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，且△ABC的面积S=12bcsinA，由2S=a2−(b−c)2，得bcsinA=2bc−2bccosA，化简得sinA+2cosA=2，又A∈(0,π2)，sin2A+cos2A=1，联立得5sin2A−4sinA=0，解得或sinA=0（舍去），所以bc =sinBsinC=sin(A+C)sinC=sinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35，因为△ABC为锐角三角形，所以0<C<π2，B=π−A−C<π2，所以π2−A<C<π2，所以tanC>tan(π2−A)=1tanA=34，所以1tanC∈(0,43)，所以bc∈(35,53)，设bc =t，其中t∈(35,53)，所以2b2+c2bc=2bc+cb=2t+1t=2(t+12t)，由对勾函数单调性知y=2t+1t 在(35,√22)上单调递减，在(√22,53)上单调递增，当t=√22时，y=2√2；当t=35时，y=4315；当t=53时，y=5915；所以y∈[2√2,5915)，即2b2+c2bc的取值范围是[2√2,5915)．故选：C.小提示：关键点点睛：由2b2+c2bc =2bc+cb，所以本题的解题关键点是根据已知及bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=4 sin5AsinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35求出bc的取值范围.多选题9、等边三角形ABC 中，BD →=DC →,EC →=2AE →，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ） A ．AD →=12(AB →+AC →)B ．BE →=23BC →+13BA →C ．AF →=12AD →D ．BF →=12BA →+13BC →答案：AC分析：可画出图形，根据条件可得出D 为边BC 的中点，从而得出选项A 正确； 由EC →=2AE →可得出AE →=13AC →，进而可得出BE →=13BC →+23BA →，从而得出选择B 错误；可设AF →=12AD →，进而得出AF →=λ2AB →+3λ2AE →，从而得出λ=12，进而得出选项C 正确；由AF →=12AD →即可得出BF →=12BA →+14BC →，从而得出选项D 错误． 如图，∵BD →=DC →，∴D 为BC 的中点，∴AD →=12(AB →+AC →)，∴A 正确； ∵EC →=2AE →，∴AE →=13AC →=13(BC →−BA →)，∴BE →=BA →+AE →=BA →+13(BC →−BA →)=13BC →+23BA →，∴ B 错误；设AF →=λAD →=λ2AB →+λ2AC →=λ2AB →+3λ2AE →，且B ，F ，E 三点共线，∴λ2+3λ2=1，解得λ=12，∴AF →=12AD →，∴C 正确；BF →=BA →+AF →=BA →+12AD →=BA →+12(BD →−BA →)=BA →+14BC →−12BA →=12BA →+14BC →，∴D 错误. 故选：AC10、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC,AB 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B ．AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C ．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3D ．ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为76 答案：BD解析：可证明EO =CE ，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 因为△ABC 是边长为2的等边三角形，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以E 为AB 的中点，且CE ⊥AB ，以E 为原点如图建立直角坐标系，则E (0,0)，A (−1,0)，B (1,0)，C(0,√3)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,2√33)，则D (−13,2√33)， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得GE//AD 且GE =12AD =DC ， 所以△CDO ≌△EGO ，EO =CO ，则O (0,√32)， 对于A ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误；对于B ，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故B 正确； 对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√32)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√36)， 所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,−√33)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23，故C 错误； 对于D ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,2√33)， 所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+22=76，故D 正确.故选：BD.小提示：关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键. 11、下列说法中错误的是（ ）. A ．若a //b ⃗ ，b ⃗ //c ，c //d ，则a //d B ．若|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，则a =b⃗ C ．若a ，b ⃗ 非零向量且|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，则a ⊥b ⃗ D ．若a //b ⃗ ，则有且只有一个实数λ，使得a =λb ⃗ 答案：ABD分析：对于题中所给的条件与结论需要考虑周全，可以得出结论. A 选项，当b ⃗ ，c 中至少有一个0⃗ 时，a 与d 可能不平行，故A 错误； B 选项，由|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，可得a =b ⃗ 或a =−b⃗ ，故B 错误； C 选项，|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，根据数量积规则，则两边平方化简可得a ⋅b ⃗ =0， ∴a ⊥b⃗ ，故C 正确； D 选项，根据向量共线基本定理可知当a ,b⃗ 都为非零向量时成立， a 为零向量时也成立(λ=0) ，若b ⃗ =0⃗ 时，λ 不存在，但b ⃗ //a （零向量与所有的向量共线），故D 错误； 故选：ABD.12、下列说法错误的是（ ）A ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb⃗ B ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b⃗ 共线且反向C ．已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞) D ．在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 为等腰三角形 答案：AC分析：若a =b ⃗ =0⃗ 可判断A ；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B ；求出a +λb ⃗ 的坐标，根据a ⋅(a +λb ⃗ )>0且a 与a +λb ⃗ 不共线求出λ的取值范围可判断C ；取AC 的中点D ，根据向量的线性运算可得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可判断D ，进而可得正确选项. 对于A ：若a =b ⃗ =0⃗ 满足a //b⃗ ，则实数λ不唯一，故选项A 错误； 对于B ：两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则(a −b ⃗ )2=(|a |+|b⃗ |)2， 所以a 2+b ⃗ 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2|a ||b ⃗ |，可得2a ⋅b ⃗ =2|a ||b ⃗ |⋅cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−2|a ||b ⃗ |，cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−1，因为0≤〈a ⋅b ⃗ 〉≤π，所以〈a ⋅b ⃗ 〉=π，所以a 与b⃗ 共线且反向，故选项B 正确； 对于C ：已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，所以a +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，若a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则a ⋅(a +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)>0，解得：λ>−53，当λ=0时，a +λb ⃗ =a ，此时a 与a +λb ⃗ 的夹角为0，不符合题意，所以λ≠0，所以λ的取值范围是(−53,0)∪(0,+∞)，故选项C 不正确；对于D ：在△ABC 中，取AC 的中点D ，由BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故BD 垂直平分AC ，所以△ABC 为等腰三角形，故选项D 正确． 故选：AC ．13、有下列说法，其中错误的说法为 A ．若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //cB ．若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，S ΔAOC ，S ΔABC 分别表示ΔAOC ，ΔABC 的面积，则S ΔAOC :S ΔABC =1:6 C ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向D ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb ⃗ 答案：AD分析：对每一个选项逐一分析判断得解.A. 若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //c ，如果a ，c 都是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；B. 如图，D,E 分别是AC,BC 的中点，2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴2（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0⃗ ，∴4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OD =16AB,则S ΔAOC :S ΔABC =1:6,所以该选项是正确的；C. 两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向，所以该选项是正确的；D. 若a //b ⃗ ，如果a 是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，则不存在实数λ使得a =λb ⃗ ，所以该选项是错误的. 故选A,D小提示：本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 填空题14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且a ,b ⃗ 是不共线的向量，则向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =___________. 答案：−12a −12b⃗ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a −12b⃗ .所以答案是：−12a−12b⃗15、在△ABC中，若a=2，c=2√3,cosC=−12，M是BC的中点，则AM的长为____________．答案：√7分析：在△ABC中，由余弦定理求出b=2，进而，在△AMC中，由余弦定理可得AM.在△ABC中，由余弦定理c2=b2+a2−2abcosC得b2+2b−8=0，又b>0，所以b=2.在△AMC中，CA=b=2，CM=a2=1，由余弦定理得AM2=CA2+CM2−2CA⋅CM⋅cosC=22+12−2×2×1×(−12)=7，所以AM=√7.所以答案是：√7.16、在△ABC中，cos∠BAC=−13，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可.设DC=x,AB=y，因为BD＝2DC，AD＝DC，所以BC=3x,AD=DC=x，在△ADC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅DC =4+x2−x24x=1x，在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CB2−AB22AC⋅BC =4+9x2−y212x，于是有4+9x2−y212x =1x⇒9x2−y2=8(1)，在△ABC中，由余弦定理可知：cosA=AB2+CA2−CB22AB⋅AC =y2+4−9x24y=−13，⇒27x2−3y2−4y=12(2)，把(1)代入(2)中得，y=3，所以答案是：3解答题17、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2答案：(1)5π8；(2)证明见解析．分析：（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．（2）由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．18、如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ；（1）当θ=π12时，求四边形ABCD的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l的最大值.答案：（1）√6−√24+14；（2）5分析：（1）把四边形ABCD分解为三个等腰三角形：△COB,△COD,△DOA，利用三角形的面积公式即得解；（2）利用θ表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示BC，CD和DA，令t=sinθ2，转化为二次函数的最值问题，即得解.（1）连结，则∠COD=π12,∠AOD=5π6∴四边形ABCD的面积为2×12×1×1×sinπ12+12×1×1×sin5π6=√6−√24+14（2）由题意，在△BOC中，∠OBC=π−θ2，由正弦定理BC sinθ=OBsin(π−θ2)=1cosθ2∴BC=CD=sinθcosθ2=2sinθ2同理在△AOD中，∠OAD=θ,∠DOA=π−2θ，由正弦定理DAsin(π−2θ)=ODsinθ∴DA=sin2θsinθ=2cosθ∴l=2+4sin θ2+2cosθ=2+4sinθ2+2(1−2sin2θ2),0<θ<π2OD令t =sin θ2(0<t <√22) ∴l =2+4t +2(1−2t 2)=4+4t −4t 2=−4(t −12)2+5 ∴t =12时，即θ=π3，l 的最大值为5 小提示：本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题。

平面向量题型归类及解题方法

平面向量题型归类及解题方法

平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。

平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。

- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。

- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。

- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。

- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。

- 向量可以缩放，即乘以一个标量。

- 向量可以平移，即使原点发生变化。

2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。

2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。

2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。

2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。

如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。

2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。

向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。

3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。

3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。

•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。

平面向量重难点题型训练

平面向量重难点题型训练

平面向量重难点题型训练摘要：一、平面向量的基本概念二、平面向量的重难点题型三、平面向量的解题技巧四、总结与展望正文：一、平面向量的基本概念平面向量是平面内的有序线段，可以用来表示平面内的物理量，如速度、加速度、力等。

平面向量具有大小和方向两个属性，通常用有序实数对(a,b) 来表示，其中a 和b 分别表示向量的水平和垂直分量。

平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和向量积等。

二、平面向量的重难点题型1.向量加法与减法向量加法和减法是平面向量的基本运算之一，其难点在于处理不同方向的向量。

解决这类问题时，需要将向量分解为水平和垂直分量，然后进行相应的加减运算。

2.向量数乘向量数乘是平面向量的另一个基本运算，其难点在于理解数乘的物理意义和计算方法。

向量数乘的结果是一个向量，其大小等于原向量的大小与数乘因子的乘积，方向与原向量相同或相反。

3.向量积向量积是平面向量的高级运算，其难点在于理解向量积的物理意义和计算方法。

向量积的结果是一个向量，其大小等于原向量之积与夹角的余弦值的乘积，方向垂直于原向量所在的平面。

三、平面向量的解题技巧1.图形法图形法是解决平面向量问题的一种直观方法，通过画图可以直观地表示向量的大小和方向，以及向量之间的运算关系。

2.分解法分解法是解决平面向量问题的一种常用方法，通过将向量分解为水平和垂直分量，可以简化向量运算，尤其是处理不同方向的向量时。

3.数学建模法数学建模法是解决平面向量问题的一种高级方法，通过将实际问题抽象为数学模型，可以更好地理解向量的物理意义和计算方法。

四、总结与展望平面向量是物理学、工程学等领域中的重要概念，掌握平面向量的基本概念和解题技巧对于解决实际问题具有重要意义。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

平面向量知识点+例题+练习+答案

平面向量知识点+例题+练习+答案

五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

平面向量(3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错(原卷版)

平面向量(3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错(原卷版)

专题07平面向量易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律a b b a +=+ ②结合律()a b c ++ =()a b c ++减法求a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a与b的差三角形法则()a b a b -=+-数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）||||||a a λλ=（2）当0λ>时，a λ 与a的方向相同；当0λ<时，a λ 与a的方向相同；当0λ=时，0a λ=()()a a λμλμ= ()a a aλμλμ+=+()a b a bλλλ+=+共线向量定理向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b a λ=.共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a b λ=，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.解决向量的概念问题应关注以下七点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(6)非零向量a 与||a a 的关系：||a a是a方向上的单位向量．(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小易错提醒：（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -= ，AM AN NM -= ，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+=.A ．AB AD AC+= C ．AB AD CD AD++=uu u r uuu r uu u r uuu r 变式1：给出下列命题，其中正确的命题为（A ．若AB CD = ，则必有B ．若1233AD AC AB =+ C ．若Q 为ABC 的重心，则D ．非零向量a ，b ，c 变式2：如图所示，在平行四边形(1)试用向量,a b来表示DN (2)AM 交DN 于O 点，求AO 变式3：如图所示，在矩形1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（）A ．ABC ，，三点共线C ．A BD ，，三点共线2．如图，在平行四边形ABCD A ．1233AB AD-+C ．1536AB AD - 3．在四边形ABCD 中，若AC AB = A ．四边形ABCD 是平行四边形C ．四边形ABCD 是菱形4．已知,AD BE 分别为ABC 的边A ．43a ＋23bC ．23a 43-b 5．如果21,e e是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（①(12,R a e e λμλμ=+∈②对于平面α内任一向量③若向量1112e e λμ+ 与λ④若实数λ、μ使得1e λ+ A ．①②B 6．给出下列各式：①AB 对这些式子进行化简，则其化简结果为A ．4B 7．已知平面向量a ，bA ．若a b ∥，则a = C ．若a b ∥，b c ∥，则8．设1e 与2e 是两个不共线的向量，k 的值为（）41．平面向量基本定理和性质（1）共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈ ，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠ ，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+ 叫做向量a关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+ 叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==．（3）线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB AC AD λλ+=+ ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．DACB（4）三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=；⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+；⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．（5）中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+ )AC，反之亦正确．DACB2．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+ ，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a的坐标，记作(,)a x y = ．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA 一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y = ，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．3．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||AB ②已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ= ，∥12211212向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a λ （λ∈R ），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(),a x y =，22(),b x y = ，则a b∥的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．易错提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相。

专题：平面向量常见题型与解题指导

专题：平面向量常见题型与解题指导

平面向量【1 】罕有题型与解题指点一、考点回想1.本章框图2.高考请求1.懂得向量的概念,控制向量的几何暗示,懂得共线向量的概念.2.控制向量的加法和减法的运算轨则及运算律.3.控制实数与向量的积的运算轨则及运算律,懂得两个向量共线的充要前提.4.懂得平面向量根本定理,懂得平面向量的坐标的概念,控制平面向量的坐标运算.5.控制平面向量的数目积及其几何意义,懂得用平面向量的数目积可以处理有关长度.角度和垂直的问题,控制向量垂直的前提.6.控制线段的定比分点和中点坐标公式,并且能闇练应用;控制平移公式.7.控制正.余弦定理,并能初步应用它们解斜三角形.8.经由过程解三角形的应用的教授教养,持续进步应用所学常识解决现实问题的才能.3.热门剖析对本章内容的考核重要分以下三类：1.以选择.填空题型考核本章的根本概念和性质.此类题一般难度不大,用以解决有关长度.夹角.垂直.断定多边形外形等问题.2.以解答题考核圆锥曲线中的典范问题.此类题分解性比较强,难度大,以解析几何中的通例题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下,经由过程向量的坐标的暗示,应用盘算的办法研讨三维空间几何图形的性质.在温习进程中,抓住源于教材,高于教材的指点方针.本章考题大多半是教材的变式题,即源于教材.是以,控制双基.精晓教材是本章症结.剖析近几年来的高测验题,有关平面向量部分凸起考核了向量的根本运算.对于息争析几何相干的线段的定比分点和平移等交叉内容,作为进修解析几何的根本对象,在相干内容中会进行考核.本章的另一部分是解斜三角形,它是考核的重点.总而言之,平面向量这一章的进修应容身基本,强化运算,看重应用.考核的重点是基本常识和根本技巧.4.温习建议因为本章常识分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章常识解决的问题也分为两类：一类是依据向量的概念.定理.轨则.公式对向量进交运算,并能应用向量常识解决平面几何中的一些盘算和证实问题;另一类是应用正.余弦定理精确地解斜三角形,并能应用解斜三角形常识解决测量不成到达的两点间的距离问题.在解决关于向量问题时,一是要擅长应用向量的平移.伸缩.合成.分化等变换,精确地进行向量的各类运算,进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的熟悉,并领会用向量处理问题的优胜性.二是向量的坐标运算表现了数与形互相转化和亲密联合的思惟,所以要经由过程向量法和坐标法的应用,进一步领会数形联合思惟在解决数学问题上的感化.在解决解斜三角形问题时,一方面要领会向量办法在解三角形方面的应用,另一方面要领会解斜三角形是重要的测量手腕,经由过程进修进步解决现实问题的才能.二.罕有题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出如今选择题与填空题中,在温习中要充分懂得平面向量的相干概念,闇练控制向量的坐标运算.数目积运算,控制两向量共线.垂直的充要前提.例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点,且与向量b = (－3,4)平行的单位向量,则向量a 的终点坐标是.思绪剖析：与a 平行的单位向量e =±||a a办法一：设向量a 的终点坐标是(x ,y ),则a =(x -3,y +1),则题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++-55185512101334229y x 1y x 13)()(或　解得）＋（）－（y x y x ,故填 (512,-51)或(518,-59) 办法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4),故可得a ＝±(-53,54),从而向量a 的终点坐标是(x ,y )= a －(3,－1),即可得成果. 点评：向量的概念较多,且轻易混杂,在进修中要分清.懂得各概念的本质,留意区分共线向量.平行向量.同向向量.反向向量.单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1,a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ,y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是若干？思绪剖析：要盘算x 与y 的夹角θ,需求出|x |,|y |,x ·y 的值.盘算时要留意盘算的精确性.解：由已知|a |=|b |=1,a 与b 的夹角α为60°,得a ·b =|a ||b |cosα=21. 要盘算x 与y 的夹角θ,需求出|x |,|y |,x ·y 的值.∵|x |2=x 2=(2a －b )2=4a 2－4a ·b +b 2=4－4×21+1=3, |y |2=y 2=(3b －a )2=9b 2－6b ·a +a 2=9－6×21+1=7. x ·y =(2a －b )·(3b －a )=6a ·b －2a 2－3b 2+a ·b=7a ·b －2a 2－3b 2 =7×21－2－3=－23, 又∵x ·y =|x ||y |cosθ,即－23=3×7cosθ, ∴cosθ=－1421 点评：①本题应用模的性质|a |2=a 2,②在盘算x ,y 的模时,还可以借助向量加法.减法的几何意义获得：如图所示,设AB =b , AC =a , AD =2a ,∠BAC =60°.由向量减法的几何意义,得BD =AD －AB =2a －b .由余弦定理易得|BD |=3,即|x |=3,同理可得|y |=7.题型二：向量共线与垂直前提的考核例1．平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(3, 1),B(－1, 3), 若点C 知足OC OA OB =α+β,个中α,β∈R 且α+β=1,求点C 的轨迹方程..解：（法一）设C (x ,y ),则OC =(x ,y ),由OC =(x ,y )= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)∴⎩⎨⎧+=-=βαβα33y x , （可从中解出α.β）又∵α+β＝1 消去α.β得x +2y -5=0（法二） 应用向量的几何运算,斟酌定比分点公式的向量情势,联合前提知：A,B,C 三点共线,故点C 的轨迹方程即为直线AB 的方程x ＋2y －5=0,例2．已知平面向量a ＝(3,－1),b ＝(21, 23).(1) 若消失实数k 和t ,便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ,且x ⊥y ,试求函数的关系式k ＝f(t);(2) 依据(1)的结论,肯定k ＝f(t)的单调区间.思绪剖析：①欲求函数关系式k=f(t),只需找到k 与t 之间的等量关系,k 与t 之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些办法？（导数法.界说法）导数法是求单调区间的简捷有用的办法？解：（1）法一：由题意知x ＝(23322--t ,223232--t ), y ＝(21t －3k,23t ＋k),又x ⊥y 故x ·y ＝23322--t ×（21t －3k ）＋223232--t ×(23t ＋k)＝0. 整顿得：t 3－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－43t. 法二：∵a ＝(3,－1),b ＝(21, 23), ∴.a ＝2,b ＝1且a ⊥b ∵x ⊥y ,∴x ·y ＝0,即－k a 2＋t(t 2－3)b 2＝0,∴t 3－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－43t (2)由(1)知：k ＝f(t) ＝41t 3－43t ∴k ˊ＝f ˊ(t) ＝43t 3－43, 令k ˊ＜0得－1＜t ＜1;令k ˊ＞0得t ＜－1或t ＞1.故k ＝f(t)的单调递减区间是(－1,1 ),单调递增区间是（－∞,－1）和（1,＋∞）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种罕有的办法：一是先应用向量的坐标运算分离求得两个向量的坐标,再应用向量垂直的充要前提;二是直接应用向量垂直的充要前提,其进程要用到向量的数目积公式及求模公式,达到同样的求解目标（但运算进程大大简化,值得留意）.第（2）问中求函数的极值应用的是求导的办法,这是新旧常识交汇点处的分解应用.例3： 已知平面向量a ＝(3,－1),b ＝(21,23),若消失不为零的实数k 和角α,使向量c ＝a ＋(sin α－3)b , d ＝－k a ＋(sin α)b ,且c ⊥d ,试求实数k 的取值规模.解：由前提可得：k ＝41( sin α－23)2－169,而－1≤sin α≤1, ∴当sin α＝－1时,k 取最大值1; sin α＝1时,k 取最小值－21. 又∵k ≠0 ∴k 的取值规模为 1[,0)(0,1]2-.点拨与提醒：将例题中的t 略加修改,旧题新掘,消失了意想不到的后果,很好地考核了向量与三角函数.不等式分解应用才能.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ,若正数k 和t 使得向量b ta k yb t a x 1)1(2+-=++=与垂直,求k 的最小值. 解：0)1(])1([02=+-•++=⋅⇔⊥b ta kb t a y x y x 即 0)1(112222=⋅+-⋅+++-⇔b a t k b a tb t t a k ∵)1,2(),2,1(-==b a ,∴|a |=3,|b |=3b a ⋅＝－2＋2 , 代入上式 －3k ＋32112≥+=+tt t t 当且仅当t=t 1,即t=1时,取“＝”号,即k 的最小值是2.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考核向量与三角函数联合,标题新鲜而又精致,既相符在常识的“交汇处”构题,又增强了对双基的考核.例7．设函数f(x )＝a·b ,个中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π,3π],求x ;（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n)(m ﹤2π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象,求实数m.n 的值. 思绪剖析：本题重要考核平面向量的概念和盘算.平移公式以及三角函数的恒等变换等根本技巧,解： (1)依题设,f(x )＝（2cos x ,1）·(cos x ,3sin2x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋6π) 由1＋2sin(2x ＋6π)=1－3,得sin(2x ＋6π)＝－23. ∵－3π≤x ≤3π , ∴－2π≤2x ＋6π≤65π, ∴2x ＋6π=－3π, 即x ＝－4π. （2）函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝（m,n ）平移后得到函数y ＝2sin2(x －m)+n 的图象,即函数y ＝f(x )的图象.由(1)得f (x )＝1)12(2sin 2++πx ∵m ＜2π, ∴m ＝－12π,n ＝1. 点评： ①把函数的图像按向量平移,可以算作是C 上任一点按向量平移,由这些点平移后的对应点所构成的图象是C ˊ,明白了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系,也就找到了此问题的解题门路.②一般地,函数y ＝f(x )的图象按向量a ＝(h , k)平移后的函数解析式为y －k ＝f （x －h ）.例8：已知a =（cosα,sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π),（1）求证：a +b 与a -b 互相垂直; （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0),求β－α解：（1）证法一：∵a =（cosα,sin α）,b =（cosβ,sinβ）∴a +b ＝（cosα+cosβ,sin α+ sinβ）, a -b ＝（cosα-cosβ,sin α- sinβ）∴(a +b )·(a -b )=（cosα+cosβ,sin α+ sinβ）·（cosα-cosβ,sin α- sinβ）=cos 2α-cos 2β+sin 2α- sin 2β=0∴(a +b )⊥(a -b )证法二：∵a =（cosα,sin α）,b =（cosβ,sinβ） ∴|a |＝1,|b |＝1∴(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0∴(a +b )⊥(a -b )证法三：∵a =（cos α,sin α）,b =（cos β,sin β）∴|a |＝1,|b |＝1, 记OA ＝a ,OB ＝b ,则|OA |＝|OB |=1,又α≠β,∴O .A .B 三点不共线.由向量加.减法的几何意义,可知以OA .OB 为邻边的平行四边形OACB 是菱形,个中OC ＝a +b ,BA ＝a -b ,由菱形对角线互相垂直,知(a +b )⊥(a -b )（2）解：由已知得|k a +b |与|a -k b |,又∵|k a +b |2＝(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k 2+1+2kcos (β－α),|k a +b |2＝(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=k 2+1-2kcos (β－α),∴2kcos (β－α)= -2kcos (β－α)又∵k ≠0∴cos (β－α)＝0∵0<α<β<π∴0<β－α<π, ∴β－α=2π 注：本题是以平面向量的常识为平台,考核了三角函数的有关运算,同时也表现了向量垂直问题的多种证实办法,经常应用的办法有三种,一是依据数目积的界说证实,二是应用数目积的坐标运算来证实,三是应用向量运算的几何意义来证实.题型四：向量运算的几何意义与解析几何因为向量既能表现“形”的直不雅地位特点,又具有“数”的优胜运算性质,是数形联合与转换的桥梁和纽带,文科应看重由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程.例9：设G .H 分离为非等边三角形ABC 的重心与外心,A(0,2),B （0,－2）且AB GM λ=(λ∈R).（Ⅰ）求点C(x ,y )的轨迹E 的方程;（Ⅱ）过点(2,0)作直线L 与曲线E 交于点M.N 两点,设ON OM OP +=,是否消失如许的直线L,使四边形OMPN 是矩形？若消失,求出直线的方程;若不消失,试解释来由.思绪剖析：（1）经由过程向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）依据矩形应当具备的充要前提,得到向量垂直关系,联合韦达定理,求得k 的值.解：（１）由已知得(,)33x yG , 又GH AB λ=,∴(,0)3x H∵CH=HA ∴222()()433x x x y -+=+即221(124x y x +=≠± （2）设l 方程为y =k(x -2),代入曲线E 得（3k 2+1）x 2-12k 2x +12(k 2-1)=0设N (x 1,y 1),M (x 2,y 2),则x 1 +x 2=221231k k +,x 1x 2=2212(1)31k k -+ ∵OP ON OM =+ ,∴ 四边形OMPN 是平行四边形.若四边形OMPN 是矩形,则ON OM ⊥∴x 1x 2+y 1y 2=0 ∴222222212(1)12(1)24(4)0313131k k k k k k k --+-+=+++得k=∴ 直线l 为：y = 2)y x =-点评：这是一道平面几何.解析几何.向量三者之间奇妙联合的问题.例10：已知椭圆方程1422=+y x ,过B （－1,0）的直线l 交随圆于C.D 两点,交直线x ＝－4于E 点,B.E 分CD 的比分λ1.λ2．求证：λ1＋λ2＝0解：设l 的方程为y ＝k(x ＋1),代入椭圆方程整顿得（4k 2＋1）x 2＋8k 2x ＋4(k 2－1)＝0. 设C （x 1,y 2）,D(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－1444,148222122+-=+k k x x k k . 由BD CB 1λ=得 ),1(),1(2211y x y x +=---λ 所以11),1(1211211++-=+=--x x x x λλ.同理,记E ED CE y E 2),,4(λ=- 得44),4(4212221++-=+=--x x x x λλ4411212121++-++-=+∴x x x x λλ )4)(1(8)(52222121+++++-=x x x x x x 个中 ,081485144428)(5222222121=++⋅-+-⋅=+++k k k kx x x x 021=+∴λλ.例11：给定抛物线C:y 2＝4x ,F 是C 的核心,过点F 的直线l 与C 订交于A.B l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的余弦.解：C 的核心为F （1,0）,直线l 的斜率为1,所以l 的方程为y ＝x －1,将y ＝x －1代入方程y 2=4x ,并整顿得x 2－6x ＋1＝0设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则有x 1＋x 2＝6, x 1x 2＝1, 从而OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2－(x 1+x 2)+1＝－3 ︱OA ︱·︱OB ︱＝2121y x +·2222y x +＝41,OB OA ＝41413-例12．已知点G 是△ABC 的重心,A(0, －1),B(0, 1),在x 轴上有一点M,知足|MA |=|MC |,GM AB =λ (λ∈R)．⑴求点C 的轨迹方程;⑵若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不合两点P,Q,且知足|AP |=|AQ |,试求k 的取值规模．[剖析] 本题依托向量给出等量关系,既考核向量的模.共线等基本常识,又考核动点的轨迹,直线与椭圆的地位关系.经由过程向量息争析几何间的接洽,陈题新组,考核基本常识和根本办法.按照求轨迹方程的办法步调,把向量问题坐标化,几何问题代数化.解： ⑴设C(x , y ),则G(x 3,y 3)．∵GM AB =λ(λ∈R),∴GM//AB, 又M 是x 轴上一点,则M(x 3, 0)．又|MA |=|MC |,=整顿得22x y 1(x 0)3+=≠,即为曲线C 的方程． ⑵①当k =0时,l 和椭圆C 有不合两交点P,Q,依据椭圆对称性有|AP |=|AQ |．②当k ≠0时,可设l 的方程为y =k x ＋m,联立方程组 2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ,整顿行(1＋3k 2)x 2＋6k m x ＋3(m 2－1)=0（*） ∵直线l 和椭圆C 交于不合两点,∴△=(6k m)2－4(1＋3k 2)×( m 2－1)＞0,即1＋3k 2－m 2＞0． (1)设P(x 1, y 1),Q(x 2, y 2),则x 1, x 2是方程（*）的两相异实根,∴x 1＋x 2=－26km 13k + 则PQ 的中点N(x 0, y 0)的坐标是x 0=12x x 2+=－23km 13k +,y 0= kx 0＋m=2m 13k+, 即N(－23km 13k +, 2m 13k+),又|AP |=|AQ |,∴AN ⊥PQ ,∴k ·k AN =k ·22m 113k 3km 13k ++-+=－1,∴m=213k 2+. 将m=213k 2+代入(1)式,得 1＋3k 2－(213k 2+)2＞0（k ≠0）, 即k 2＜1,∴k ∈(－1, 0)∪(0, 1)．分解①②得,k 的取值规模是(－1, 1)．对标题标请求：有较大的难度,有特此外解题思绪.演化角度,要有必定的梯度.。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)pdf版

高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)pdf版
等，为菱形．答案：（1）平行四边形 （2）菱形 给出如下命题： ①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同； 3
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上．
a (x1, y1) ， b (x2 , y2 ) a b x1x2 y1 y2
3．其他概念 （1）平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 1 ， 2 ，
使 a 1e1 2 e2 ，我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2
C．3
D．4
解析：① AB 和 BA 长度相等，方向相反，正确； ②当为零向量时，不满足条件，错误；
③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确；
④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误；
⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；
零向量 长度为 0 的向量
记作 0 ，方向任意
单位向量 长度等于 1 个单位的向量
a 即为单位向量 |a|
平行向量
方向相同或相反的非零向量（也
叫共线向量）
记为 a∥b ，规定 0 与任意向量共线
相等向量 长度相等方向相同的向量
记为 a b ，相等一定平行，平行不 一定相等
相反向量 长度相等方向相反的向量
性质
字母表示
平行
a b
垂直
a b | a || b | cos 0

方法技巧专题26 平面向量(解析版)

方法技巧专题26 平面向量(解析版)

方法技巧专题26 平面向量解析版【一】向量的概念1.例题【例1】给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4【答案】D【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量AB ，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确. 【例2】下列命题中，正确的个数是（ ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足b a >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a b b c ∥，∥，则a c ∥． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误； 对于⑤，0b =时，a b b c ∥，∥，，则a 与c 不一定平行． 综上，以上正确的命题个数是0． 2.巩固提升综合练习 【练习1】给出下列命题： ①若c b b a ==,则c a=；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③b a==且b a //；④若c b b a //,//，则c a //； 其中正确命题的序号是 . 【答案】①②【解析】①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵DC AB ==且DC AB //， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，=且DC AB //，，因此，DC AB =.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②.【二】平面向量的线性表示1.例题【例1】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB （ ）A.AC AB 4143- B. AC AB 4341- C. AC AB 4143+ D. AC AB 4341+ 【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【例2】在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →等于( )A ．－13AB →＋23AD → B ．－23AB →＋43AD → C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →【解析】 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形， 则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →；故选D.【例3】已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若()12AO AB AC =+则AB 与AC 的夹角为__________． 【解析】由()12AO AB AC =+可得O 为BC 的中点，则BC 为圆O 的直径，即∠BAC ＝90°，故AB 与AC 的夹角为90°. 2.巩固提升综合练习【练习1】在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B【解析】由题得1111111122222222AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =+=+=-+=-+, 11,1,22λμλμ∴=-=∴+=.故选：B【练习2】已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足：OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++OC OB OA 22121，则P 一定为△ABC 的( )A ．重心B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．AB 边中线的中点D ．AB 边的中点【解析】如图所示：设AB 的中点是E ，△O 是三角形ABC 的重心，OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O 22121＝13()OE →＋2OC →，△2EO →＝OC →， △OP →＝13()4EO →＋OE →＝EO →，△P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.【练习3】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A.2116B.32C.2516D.3【答案】A【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD 为等边三角形，BD =.设(01)DE tDC t =≤≤AE BE ⋅223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116，选A.【三】向量共线的应用1.例题【例1】设两个非零向量a 与b不共线．(1)若b a AB +=，b a BC 82+=，)(3b a CD-=，求证：D B A ,,三点共线；(2)试确定实数k ，使b a k +和b k a+共线．【答案】（1）见解析；（2）k ＝±1.【解析】(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0. 消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.【例2】已知点()3,1A ，()1,4B -，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭1.共线向量定理：向量a (0≠a )与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得a b λ=2.平面向量共线定理的三个应用：3.求解向量共线问题的注意事项：（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线；（3）直线的向量式参数方程：B P A ,,三点共线OB t OA t OP +-=⇔)1((O 为平面内任一点，R t ∈)．【解析】(4,3)AB =-,∴向量AB 的方向相反的单位向量为4343(,)(,)5555||AB AB --=-=-，2.巩固提升综合练习【练习1】设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34【解析】 因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.【练习2】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【四】平面向量基本定理及应用 1.例题【例1】如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简()11DE DA AE DA AC AD AB AD 44=+=+=-++ 13AB AD 44=-，所以13λ,μ44==-，即1λμ2+=-，【例2】在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，所以， 所以 ， ， 故的取值范围.2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3 DE →，BC →＝3 BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n △R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由题设可得AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13AD →＝AB →＋13AD →，又AC→＝mAE →＋nAF →，故AC →＝mAD →＋13mAB →＋nAB →＋13nAD →＝(13m ＋n )AB →＋(m ＋13n )AD →，而AC →＝12(AB →＋AD →)，故⎩⎨⎧13m ＋n ＝12m ＋13n ＝12△m ＋n ＝32. 故应填答案32.ABC ∆D 34BD BC =E AD A AE AB AC λμ=+()221λμ++()1,+∞E AD A ,0AE k AD k =<34BD BC=()()33444kk AE k AB AD k AB AC AB AB AC ⎡⎤=+=+-=+⎢⎥⎣⎦4{34kk λμ==()2222295291114168510k t k k λμ⎛⎫⎛⎫=++=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221λμ++()1,+∞【练习2】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，EA BE 2=，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【五】平面向量的坐标运算1.例题【例1】已知向量)3,2(=a，)2,3(=b ，则=-b a （ ）A ．2B ．2C ．52D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b故选A【例2】在平面直角坐标系中，向量n ＝(2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转π3后得向量m ，若向量a满足|a －m －n |＝1，则|a |的最大值是( )A ．23－1B ．23＋1C ．3 D.6＋2＋1 【解析】 由题意得m ＝(1，3)．设a ＝(x ，y )，则a －m －n ＝(x －3，y －3)， △|a －m －n |2＝(x －3)2＋(y －3)2＝1，而(x ，y )表示圆心为(3，3)的圆上的点， 求|a |的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为23＋1.【例3】在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]【解析】 法一：设出点D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又△OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， △|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.△|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义为点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.法二：根据向量OA →＋OB →的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解．如图，设M (－1，3)，则OA →＋OB →＝OM →，取N (1，－3)，△OM →＝－ON →.由|CD →|＝1，可知点D 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上， △OA →＋OB →＋OD →＝OD →－ON →＝ND →，△|OA →＋OB →＋OD →|＝|ND →|，△|ND →|max ＝|NC →|＋1＝7＋1，|ND →|min ＝7－1.2.巩固提升综合练习【练习1】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C. 5D ．2【解析】如图所示，建立平面直角坐标系：设A (0,1)，B (0,0)，C (2,0)，D (2,1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2,0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14＋1≤25，解得1≤z ≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.【练习2】如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A ．2 B.83 C.65 D.85【解析】 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， AM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，BN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21，AC →＝(1,1)．△AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1＋μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-μλμλ2,2，△⎩⎨⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB →，AD →作为基底，△M ，N 分别为BC ，CD 的中点， △AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，因此AC →＝λAM →＋μBN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2μλAB →＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+μλ2AD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85【例1】已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（ ） A.C.D.0【答案】C 【解析】.【例2】若()3,4a =-，则与a 同方向的单位向量0a =____________【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】与a 同方向的单位向量0134(3,4)(,)555aa a ==-=-2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2， 则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝， AD ＝，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF＝32=D（）， AC ＝（2,2），AD＝（3-），AE ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+，所以，（2,2）＝λ（3-，3）+μ（2,1），所以，2223μλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：43λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ【练习2】已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )△b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( )A.55 B.15 C ．－55 D ．－15【解析】 △a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，△a －c ＝(3－k,3)，△(a －c )△b ， △(3－k )·3＝3×1，△k ＝2，△a ·c ＝3×2＋1×(－2)＝4，△|a |＝10，|c |＝22， △cos 〈a ，b 〉＝a ·c |a |·|c |＝410·22＝55，故选A.【一】平面向量数量积的概念 1.例题【例1】在如图的平面图形中，已知0120,2,1=∠==MON ON OM ,NA CN MA BM 2,2==则OM BC •的值为（ ）1.两个向量的夹角：（1）定义：已知两个非零向量a 和b ，作a =，b =，则θ=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角．（2）范围：向量夹角θ的范围是πθ≤≤0；a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b垂直，记作b a ⊥.2.平面向量的数量积的概念：（1）已知两个非零向量a 与b ，则数量θcos b a ⋅叫做a 与b的数量积，记作b a •，即：b a •=θcos b a ⋅，其中θ是a 与b的夹角．规定：00=•a ；（2）b a •的几何意义：数量积b a•等于a 的长度a与b在a的方向上的投影θcos b的乘积． 3.数量积的运算律：（1）交换律：a b b a•=•；（2）分配律：()c b c a c b a •+•=•+；（3）对R ∈λ，()())(b a b a b aλλλ•=•=•．4.计算向量数量积的三种常用方法：（1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即b a •=θcos b a⋅，其中θ是a 与b的夹角．（2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．（3）坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．OA OBA ．B ．C ．D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ， 由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项.【例2】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．2.巩固提升综合练习【练习1】如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点．若6OA =，则MD NC ⋅的值是（ ）A.12B.C.26D.36【答案】C 【解析】连接,OC OD ，由C 、D 是弧AB 的三等分点，得∠AOD ＝∠BOC ＝60°，()()MD NC OD OM OC ON ⋅=-⋅-OD OC OD ON OM OC OM ON =⋅-⋅-⋅+⋅66cos6062cos12026cos12022=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯18664=++-26=．【练习2】已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【练习3】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.【解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t .∴t ＝2.1.例题【例1】已知平面向量,a b不共线，且1a=，1a b⋅=，记b与2a b+的夹角是θ，则θ最大时，a b-=（）A．1B C D．2【答案】C【解析】设|b|=x，则()22·22?2b a b a b b x+=+=+，22|2+|=44?8a b a a b b++=+所以()2·22cos 28b a bb a bx θ++==++易得cos 0θ>，()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x xx θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭， 当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值， 此时22||=2?12a b a a b b --+=-=故选C.【例2】已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【例3】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a mab ⊥-，则m =_________. 【解析】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-.2.巩固提升综合练习【练习1】若两个非零向量a ，b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角是（ ） A.6πB.2π C.23π D.56π 【解析】将2a b a b a +=-=平方得：22222224a a b b a a b b a +⋅+=-⋅+=，解得：2203a b b a⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩ . 222()()1cos ,42||||a b a b a b a b a b a a b a b +⋅--<+->===-+-.所以向量a b +与a b -的夹角是23π.【练习2】已知非零向量a与b满足b a2=，且b b a⊥-）（，则a与b的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【练习3】已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 【解析】由|2a －b |＝10，得4 a 2－4 a ·b ＋b 2＝10，得4－4×|b |×cos45°＋|b |2＝10，即－6－22|b |＋|b |2＝0，解得|b |＝32或|b |＝－2(舍去)．1.例题【例1】已知e b a ，，是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e的夹角为3π，向量b 满足0342=+•-b e b ，则b a-的最小值是（ ）A ．1-3B ．13+C ．2D ．3-2 【答案】A 【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【例2】在ABC △，若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC △的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断【答案】C【解析】由题意可得：()cos cos AB BC B AC BC C AB AC BC AB AC AB AC ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos BC C B =⨯-，故()cos cos 0BC C B ⨯-=，cos cos ,B C B C ∴==，且：cos 1cos 2AB AC A AB AC A ABACAB AC⨯⨯⋅===⨯，则3A π=， 结合,3B C A π==可知△ABC 为等边三角形.【例3】如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b △R )，则ab 的值为( )A.14 B ．1 C.12 D.18【解析】由题意易知E 1(2,1),E 2(2，－1)，△e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，故OP →＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )，又点P 在双曲线上，△(2a ＋2b )24－(a －b )2＝1，整理可得4ab ＝1，△ab ＝14.【答案】 A2.巩固提升综合练习【练习1】在平面四边形ABCD 中，o90=∠BAD ，1,2==AD AB ，若CB CA BC BA AC AB •=•+•34， 则CD CB 21+的最小值为____．【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上. 在轴上取，连接可得，所以，所以由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.此时最小为.【练习2】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为23-.【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈， 从而π1cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-.1.已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，且20AC CB +=，则OC =（ ） A.2OA OB - B.2OA OB -+C.2133OA OB - D.1233OA OB -+【答案】A【解析】因为20AC CB +=，所以2()()0OC OA OB OC -+-=, 所以OC =2OA OB -， 故选：A.2.已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点 则GA GB GC +-=____________ 【答案】4GD【解析】因为D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，即2GC GD =- 又1()2GD GA GB =+，所以2GA GB GD +=, 所以2(2)4GA GB GC GD GD GD +-=--=, 故答案为：4GD .3.在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．4.在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE y x =-，直线AE的斜率为-y x =.由(3y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.5.已知数列{}n a 为等差数列，且满足12107OA a OB a OC =+，若AB AC λ=（R λ∈），点O 为直线BC 外一点，则1009a =（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ．12【答案】D6.设向量a，b 满足|+|=a b ||-=a b ，则a ·b ＝( )．A ．1B ．2C ．3D ．5 【解析】∵|+|=a b (a ＋b )2＝10，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.①∵||-=a b ，∴(a －b )2＝6，即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.②由①②可得a ·b ＝1.故选A.7.已知a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，若λa ＋b 与a ＋λb 平行，则λ＝________.【解析】 △a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，△λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)，△λa ＋b △a ＋λb ，△(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)， 解得λ＝±18.在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝3，|AB →|＝5，AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，cos A ＝35，则|EF →|＝( )A.14 B ．2 5 C ．4 2 D ．211 【解析】如图，取AE 的中点G ，连接BG △AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，△AG →＝12AE →＝13AD →＝13BC →＝BF →，△EF →＝GB →，△|GB →|2＝|AB →－AG |2＝AB →2－2AB →·AG →＋AG →2＝52－2×5×1×35＋1＝20，△|EF →|＝|GB →|＝25，故选B.9.已知锐角△ABC 的外接圆的半径为1，△B ＝π6，则BA →·BC →的取值范围为__________．【解析】如图，设|BA →|＝c ，|BC →|＝a ，△ABC 的外接圆的半径为1，△B ＝π6.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝2，△a＝2sin A ，c ＝2sin C ，C ＝5π6－A ，由⎩⎨⎧0<A <π20<5π6－A <π2，得π3<A <π2，△BA →·BC →＝ca cos π6＝4×32sin A sin C ＝23sin A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 65π ＝23sin A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A sin 23cos 21＝3sin A cos A ＋3sin 2A＝32sin2A ＋3(1－cos2A )2＝32sin2A ＋32cos2A ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32. △π3<A <π2，△π3<2A －π3<2π3，△32<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ≤1，△3<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32≤3＋32. △BA →·BC →的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛+233,3.10.已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心 【解析】因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心． 【答案】 C11.设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a △b ＝(a 1，a 2)△(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21，n ＝⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m △OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ上的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 2 D ．23【解析】 因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m △OP →＋n △(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21△(x 0，cos x 0)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π△(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+00cos 4,621x x π△⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00cos 462xy x x π△y ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ， 即f (x )＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx ，当x △⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ时，由π6≤x ≤π3△π3≤2x ≤2π3△0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤1△2≤4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ的最大值是4，故选A. 12.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1【解析】 以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标， 则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以 P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y －32≥－32当P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0时，所求的最小值为－32，故选B.13.已知O 是正△ABC 的中心．若CO AB ACλμ→→→=+，其中λ， R μ∈，则λμ的值为（ ） A ． 14-B ． 13-C ． 12- D ． 2 【解析】由题O 是正△ABC 的中心，延长CO 交AB 与.D 则()()221112,332333CO CD CA CB AC AB AC AB AC ⎡⎤==+=-+-=-⎢⎥⎣⎦ 即121,,.332λλμμ==-=- 故选C.。

第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型(解析版)

第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型(解析版)

第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法边长为a 的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆【题型目录】【题型目录】题型一： 建坐标系求向量值题型二： 三角形建坐标系求向量最值问题题型三： 四边形建坐标系求向量最值问题题型四： 多边形建坐标系求向量最值问题题型五： 建坐标系设三角函数求向量最值问题【典型例题】题型一： 建坐标系求向量值【例1】如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．-15B ．-13C ．13D ．14 利用向量坐标运算法则求出95EB ⎛= ⎝，，515EA ⎛=- ⎝1010则(7610BE BF FE BF FC +==+=-，(776,1010EA EF FA CF FA =+=+=-则92855EB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，515EA EB ⋅=-⨯故选：C ．【例2】已知正方形ABCD 的边长为2，以CD 为边作正三角形CDE ，使得,A E 位于直线CD 的两侧，则AC AE →→⋅的值为（ ）A ．6-B ．6-C ．6+D ．6+【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.【详解】以A 为坐标原点，以,AB AD 为,x y 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（ ）A 20OB OE OG ++=B ．2OA OD ⋅=-C ．4AG EH +=D ．AO 在OH 方向上的投影向量为 【答案】C【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.【详解】由题意，分别以,HD BF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：36045= OM AM =2AM ==，22(0,2)(2,2)(2,2)(0,0)0OB OE OG ++=-++-==，选项：()()222022OA OD ⋅=-⨯+-⨯=-，故B 正确，选项：(0,22),(22,2)AG EH ==---所以(0,22)(22,AG EH +=+---22(22)(2)AG EH +=--+选项：(2,2),(2,0)AO OH ==-所以AO 在OH 方向上的投影向量为：222242AO OH OH OH OH OH ⎛⎫-==- ⎪⎭，故D 故选：C.【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即1CE =丈10=尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇,AB AC 均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC DE ⋅=（ ）．A ．90平方尺B ．92平方尺C ．94平方尺D ．98平方尺 【答案】C【分析】设AB x =（尺），利用勾股定理可构造方程求得AB ，以A 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】设AB x =（尺），则1AC x =+（尺）， 5AD =（尺），()22251x x ∴+=+，解得：12x =．以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），则()0,0A ，()5,0D ，()5,12C ，()5,12E -，()5,12AC ∴=，()10,12DE =-，5014494AC DE ∴⋅=-+=（平方尺）． 故选：C.【例5】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1). (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.【题型专练】1．已知矩形ABCD 中，4AB ，2AD =，3DM MC =，BP PC =，则AM AP ⋅=（ ） A ．6B ．10C ．14D ．38 【答案】C 【分析】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，由条件得出点,P M 的坐标，进而得出向量,AP AM 的坐标，从而得出向量的数量积.【详解】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()0,4A , ()2,4,D ()2,0C由BP PC =，则()1,0P , 由3DM MC =，则()2,1M所以()1,4AP =-, ()2,3AM =-所以()()124314AM AP ⋅=⨯+-⨯-=故选：C2．（多选题）已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，下列结论正确的是（ ）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【详解】因为ABC 是边长为的等边三角形，AE EB =，的中点，且为原点建立平面直角坐标系，如图所示：，(1,AC =由2AD DC =得22,33AD AC ⎛== ⎝123,33D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，BD 的中点G ，连接GE ，易得GE AD 且GE CO ，⎭，0OC EO EC +=≠，故A 错误；，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故，31,2OA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,OB ⎛=-⎝，0,OC ⎛= ⎝，13OD ⎛=- ⎝所以13,33OA OB OC OD ⎛⎫+++=-- ⎪ ⎪⎝⎭，23OA OB OC OD +++=，故C 错误；D ，()1,3BC =-，13ED ⎛=- ⎝所以ED 在BC 方向上的投影为132BC ED BC+⋅=故选：BD.3．已知矩形ABCD ，3AB =，4=AD ．P 为矩形ABCD 所在平面内一点，1PA =， PC =则PB PD ⋅=______．【答案】0【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 坐标满足的关系，结合平面向量数量积的坐标运算，即可求得结果.【详解】以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：则()()()()0,0,3,0,0,4,3,4A B D C ，设点P 的坐标为(),x y ，则()(3,,,4PB x y PD x =--=-上述两式相减可得：则PB PD ⋅=2x +故答案为：0.4．如图，四边形ABCD 是边长为8的正方形，若14DE DC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=___________.【答案】20 【分析】建立平面直角坐标系，表示出来EA ，EF 的坐标，然后利用坐标求数量积即可.【详解】以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,8E ，()8,4F ，则()2,8EA =--，()6,4EF =-，所以()()268420EA EF ⋅=-⨯+-⨯-=. 故答案为：20.5．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为1，则a b ⋅=___________.【答案】6-【分析】根据向量的坐标运算求解即可【详解】由图可得()()2,1,3,0a b ==-，故6a b ⋅=- 故答案为：6-题型二： 三角形建坐标系求向量最值问题【例1】已知在边长为2的正三角形ABC 中，M ､N 分别为边BC ､AC 上的动点，且CN BM =，则AM MN ⋅的最大值为（ ）A ．73-B ．43-C ．13D ．34则(20)BC =，，(1CA =-，，设BM tBC =(0t ≤则t CN CA =(01t ≤≤)，则10)-，，(1N t -，∴(213)AM t =--，，(233)MN t t =-，，∴(21)(23)(3)(3)6MN t t t A M ⋅=-⨯-+-⨯=-当13t =时AM MN ⋅取最大值43-故选：B.【例2】已知OAB △是边长为1的正三角形，若点P 满足()()2OP t OA tOB t =-+∈R ，则AP 的最小值为 AB ．1 CD【答案】C【解析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立坐标系，∴OAB △为边长为1的正三角形，()1,1,02A B ⎛∴ ⎝⎭，∴()2OP t OA tOB =-+1122t t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，11,2222AP OP OA t ⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴12AP⎛===≥ 故选C ．【例3】在Rt ∴ABC 中，∴C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP ·BP 的最小值为（ ） A ．－12B ．0C ．4D ．－1【答案】A【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点P 的坐标，写出CP BP ，的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果.【详解】依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0，2)，D (2，0)，所以直线BD 的方程为y ＝－x ＋2， 因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以可设P (t ，2－t )(0≤t ≤2)， 所以CP ＝(t ，2－t )，BP ＝(t ，－t )，所以CP ·BP ＝t 2－＝12时，CP ·BP 取得最小值－故选：A.【点睛】本题考查用解析法求平面向量的数量积，注意参数范围即可，属基础题【例4】已知ABC 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．22a - B ．232a -C ．243a -D ．2a -()PA PB PC ⋅+；利用平方为非负数的特性求得最小值．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系则()()(,3,,,,PA x a y PB a x y PC a x =--=---=-所以()PA PB PC ⋅+()()(),3,,x a y a x y a x y --⋅---+--⎡⎤⎣⎦ ()(),32,2x a y x y --⋅-- 22223y ay +-【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题． 【例5】在直角∴ABC 中，90,1BCA CA CB ∠=︒==,P 为AB 边上的点且AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅≥⋅，则λ的取值范围是A ．1[,1]2B ．12[,22C ．22[]22D ．2[2【答案】D【详解】分析：把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围． 详解：∴直角∴ABC 中，∴BCA=90°，CA=CB=1，∴以C 为坐标原点CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，如图：C （0，0），A （1，0），B （0，1），()11AB =-，， ∴AP =λAB ， ∴λ∴[0，1]()11AP λ=-，，()1CP ，λλ=-，()11PB ，λλ=--． CP •AB ≥PA •PB ，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ． 2λ2﹣4λ+1≤0，点睛：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想． 【例6】已知AB AC ⊥， 1AB t=， AC t =，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯-=1174t t--17-≤= 13（当且仅当14t t =，即12t 时取等号），所以PB PC ⋅的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2- B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．，则(,PA x =-，(1PB =--，(1PC x =-则22()222[(PA PB PC x x y +=-+-当0x =，32y =时，取得最小值32(4⨯-故选：B ．2．在ABC 中，满足AB AC ⊥，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则()OA OB OC ⋅+的最小值为（ ）A ．0B ．C ．12-D ．2【分析】由已知可得ABC 为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数量积，进而可得【详解】由AB AC ⊥，2AB AC ==ABC ∴为等腰直角三角形，以A 为原点，AB ，AC 为x 轴和y 轴建立直角坐标系，如图所示，M 是BC O 是线段∴可设O 2(2OB ∴=，(,OC x =-，(,OA x =-()222OB OC x ∴+=-，()()()2224OA OB OC x x x ∴⋅+=---=故当24x =时，()OA OB OC ⋅+的最小值为1故选：C ．3．在Rt ABC 中90,2,4C CB CA ∠=︒==，P 在边AC 的中线BD 上，则CP BP ⋅的值可以为（ ） A ．12-B ．0C ．5D ．1-【答案】AB【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点P 的坐标，写出CP BP ，的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的性质，可求得CP ·BP 的最值得选项.【详解】解：依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x ，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，所以CP ＝(t ，，BP ＝(t ，－所以CP ·BP ＝t 2－－t )＝2t 2＝12时，CP ·BP 取得最小值－时，CP ·BP 取得最大值故选：AB.4．在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．28 可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得【详解】以A 为原点，则(,),(2,2),(32MA x y MB x y MC =--=---=-(MA MB MB MC MC MA x =⋅+⋅+⋅=5．如图，在∴ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，A ＝60°．若D 为BC 边上的任意一点，M 为线段AD 的中点，则()MB MC AD +⋅的最大值是_____．()MB MC AD +⋅，再利用二次函数的最值，142122⨯⨯⨯=，(232,2),(2,MB MC x AD x +=--=-()2(232)4MB MC AD x x +⋅=-+=当32x =时，()MB MC AD +⋅的最大值，最大值是故答案为：7.【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量数量积的最值，属于较难题. 6．已知0AB AC ⋅=，M 是BC 的中点(1)若2AB AC =，求向量AB AC -与向量AB AC +的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上的任意一点，且22AB AC ==，求⋅+⋅OA OB OC OA 的最小值．）建立直角坐标系，设出数据，写出向量AB AC -与向量AB AC +的坐标，代入夹角公式，计算的坐标，写出各个向量的坐标，代入⋅+⋅OA OB OC OA 计算得关于x ）因为0AB AC ⋅=，所以为原点，AB y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．AC a =，则，所以()(2,,2,AB AC a a AB AC a -=-+=设向量AB AC -与向量AB AC +的夹角为θ，所以()()2243cos 555AB AC AB AC a a a a AB AC AB ACθ-⋅+-===⋅-⋅+；22AB AC ==，所以[],,0,12x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，⋅+⋅OA OB OC OA()2OA OB OC OA OM =⋅+=⋅ 12,1,222x x x x ⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22244x x x x ⎫⎛-+-⎪ ⎝⎭当且仅当12x =时，⋅+⋅OA OB OC OA 取得最小值58-． 题型三： 四边形建坐标系求向量最值问题 【例1】如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅ 1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∴3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3,22A ⎛ ⎝⎭,∴又∴16AD BC =,则5,22D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132.【例2】如图，四边形ABCD 满足：1,2,3AB AD BD BC C π====∠=．若点M 为线段BD 上的动点，则AM CM ⋅的最小值为（ ）A ．54-B ．2516-C ．58-D ．158-【答案】B∴(AM CM x x ⋅=当58x =时，AM CM ⋅的最小值为故选：B ．【点睛】关键点点睛：构建坐标系，设【例3】已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=︒，AP AB ⋅的取值范围是（ ） A ．[2,4]- B ．(2,4)- C ．[2,2]- D ．(2,2)-，则可得AP AB ⋅的表达式，根据(13)D -，.，故(,AP AB x y ⋅=即AP AB ⋅的取值范围是4]，. 故选：A【例4】如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从D 点出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到C 点，在此过程中CD DE ⋅的最大值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．﹣1【答案】A【分析】以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出C 、D 、E 点坐标，然后分类讨论E 在线段DA ，AB ，BC 时，并结合数量积的坐标公式求DE CD →→⋅的最大值即可求解. 【详解】以BC 、BA 所在直线为x 轴、y 轴，建立坐标系如图:可得(0,1)A ，(0,0)B ，(1,0)C ，(1,1)D ， ∴当E 在DA 上，设1(,1)E x ，其中101x ≤≤， 此时1(1,0)DE x →=-，(0,1)CD →=， 故0DE CD →→⋅=；∴当E 在AB 上，设1(0,)E y ，101y ≤≤， 此时1(1,1)DE y →=--，(0,1)CD →= 110DE CD y →→⋅=-≤此时DE CD →→⋅最大值为0；∴当E 在BC 上，设2(,0)E x ，其中201x ≤≤， 2(1,1)DE x →=--，(0,1)CD →=，此时1DE CD →→⋅=-，综上所述，DE CD →→⋅的最大值是0. 故选：A ．【例5】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（ ）A ．83B ．214C ．114-D ．133-(AM DM a ⋅=-【详解】以B 点为原点，以所示，过点D 作因为,AB BC ⊥，则(2,),(3,AM a DM =-=-所以36(3)(2AM DM a a a ⋅=+-=-所以AM DM ⋅的最小值为214. 故答案为：B.【题型专练】1．正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围为__________．点坐标，求出各点及()AP PB PD ⋅+的坐标，代入所(,AP x x =，(1PB =-，(,1PD x =-()2(1AP PB PD x ∴⋅+=2114(044x x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭当14x =时，函数有最大值为()AP PB PD ∴⋅+的取值范围是4⎣⎦2．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为______. 【详解】则(32,PA PB +=-325PA PB +=+故答案为：5【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，求：(1)DE CB ⋅的值； (2)DE DC ⋅的最大值． 【答案】(1)1，(2)1【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解. (1)解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()()0,0,0,1,1,1D C B ，设()()1,,01E x x ≤≤， 所以()()1,,1,0DE x CB ==， 所以1101DE CB x ⋅=⨯+⨯=； (2)因为()()1,,0,1DE x DC ==， 所以101DE CB x x ⋅=⨯+⨯=， 因为01x ≤≤，所以DE DC ⋅的最大值是1.4．如图，,E F 分别是矩形ABCD 的边CD 和BC 上的动点，且2,1AB AD ==.（1）若,E F 都是中点，求EF AC ⋅.（2）若,E F 都是中点，N 是线段EF 上的任意一点，求AN NB ⋅的最大值. （3）若45EAF ∠=︒，求AE AF ⋅的最小值. ）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求EF AC ⋅.由EN EF λ=求N 关于应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求AN NB ⋅，则45DAE ∠=︒-，可得cos AF AE θ⋅=，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求AE AF ⋅的最小值【详解】1,1(1,EF =-,(2,1)AC =∴32EF AC ⋅=. （2）由（1）知，设1),(1,(,1,22EN EF x y λλλλ===---1(1,12N λλ+-，1(1,1),(1,2AN NB λλλ=+-+=-+∴2115(1)(1)224AN NB λλλλλ⋅=+-+-=-+=-时，AN NB ⋅最大值∴cos 45AF AE AF AE ⋅=21cos 2sin 22222θθ=++当且仅当24590θ+︒=︒时，等号成立，故AF AE ⋅最小值是5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，2CD =，60DAB ∠=︒，（1）AD DC ⋅=________．（2）P 是AB 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为___________．）根据图形，应用数量积的定义求AD DC ⋅即可.）令PA BA λ=且0≤，将PC PD ⋅转化为()()PA AD DC PA AD ++⋅+，结合数量积的运算律得到关的函数，即可求最小值【详解】（1）由题设知：1||||cos604242AD DC AD DC ⋅=︒=⨯⨯=.（2）若PA BA λ=且01λ≤≤，∴PD PA AD =+，PC PD DC PA AD DC =+=++，∴2()()PC PD PA AD DC PA AD PA AD PA DC PA ⋅=++⋅+=+⋅+⋅2PA AD AD DC AD +⋅++⋅，∴22325302025()115PC PD λλλ⋅=-+=-+，故当35λ=时，PC PD ⋅的最小值为11.故答案为：4，11. 题型四： 多边形建坐标系求向量最值问题【例1】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．由正八边形的性质可得轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，A 、C 、E 点坐标及AE 、AF 、AC 坐标，根据AE AC AF λμ=+的坐标运算可得答案.【详解】45⎫=⎪， 18045135-=，所以22.5，13522.5112.5-∠=-=HAB CAB ，所以180∠=AHO ，轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2=====OD OF OE OA OC ，(0,2F 2=MC ，所以(22,2=AE ，(2,2=AF ，(22,0=AC 由AE AC AF λμ=+得()22,22,0μ+即()222222222λμμ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得22-， 所以2222λμ+=-+-【例2】设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． (2221288PA PA PA x +++=22.5|OP ≤【详解】以圆心为原点，所在直线为于是(2221288PA PA PA x +++=cos 22.5||1OP ≤≤，所以245x ≤+，故222128PA PA PA +++的取值范围是故答案为：[1222,16]+．【题型专练】 1.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ）A. ()2,6-B. (6,2)-C. (2,4)-D. (4,6)-【答案】A【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，题型五： 建坐标系设三角函数求向量最值问题【例1】（多选题）如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（ ）A ．||OA OC +有最大值也有最小值B ．OA OC ⋅有最大值无最小值 C ．||OA BC +有最小值无最大值D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值 ()30,090α<<，所以)30),sin(30)α+， ()2sin ,2cos BC αα=-.由2OA OC +化简为30)根据；由OA OC ⋅化简为1sin(230)2α++根据α的范围可判断B ；由2OA BC +化简为60)+根据α的范围可判断C ；由OA BC ⋅化简为214sin α-根据α的范围可判断D.【详解】由题意30BCA ∠=，2,90BC A =∠=，所以3,1AC AB ==，设OCB α∠=，的补角即AB 与x 轴正半轴的夹角()30,090ABx αα∠=+<<，)30),sin(30)α+，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，(2sin BC α=-所以()3sin(30),sin(30)2cos OA OC ααα+=+++()()2223sin(30)sin(30)2cos OA OC ααα+=+++224sin (30)4cos 4sin(30)cos αααα=++++54sin(230)α=++，由于090α<<，所以30230210α<+<，3090+=得30α=时，sin(230)α+取最大值为2OA OC +有最大值为459+=，无最小值， 故||OA OC +有最大值无最小值，即错误；所以12cos 30)sin(230)2OA OC α⋅==++， 由于090α<<，所以30230210α<+<，23090α+=得30α=时，sin(230)α+取最大值为1130)2α++的最大值为131+=，无最小值，故OA OC ⋅有最大值()()22230)2sin sin(30)2cos OA BC ααα+=-+++22223sin (30)4sin 43sin(30)sin sin (30)4cos 4sin(30)cos αααααααα=++-++++++24sin (30)443sin(30)sin 4sin(30)cos ααααα=++-+++423sin(260)α=++，090α<<，所以60260240α<+<，6090+=得15α=时，sin(260)α+取最大值2OA BC +有最大值423+，无最小值，||OA BC +有最大值3+无最小值，故C 错误；23sin 30)2cos sin(30)OA BC ααα+⋅-=+ 33123sin sin 2cos sin cos 222ααααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝= ⎪⎝⎭⎭23sin α--=090α<<，所以0sin 1α<<，2314sin 1α-<-<，OA BC ⋅既无最大值也无最小值，故选：BD.【例2】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的直径均为1，∴ABE ，∴BEC ，∴ECD 均是边长为1的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP BD ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．3+C ．3D ．所以1cos 2AP ⎛ =⎝．3,2BD =⎛ ⎝故331sin 22AP BD α⎛⋅=⨯⨯ 所以AP BD ⋅的最大值为故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题【例3】如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角ABC 的斜边AB ，直角边BC ，AC ．若BC =2AC =，E 为半圆1O 弧的中点，F 为半圆2O弧上的任一点，则⋅BE AF 的最大值为（ ）A ．BC ．D ．4 点坐标，用坐标法计算⋅BE AF ，利用三角函数性质求得最大值．轴建立平面直角坐标系，则2(3,3),(cos BE AF θ=--=3cos 3BE AF θ⋅=-+-322ππθ≤≤，则344ππθ≤+所以⋅BE AF 取得最大值3故选：B.【题型专练】1.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC ⋅的最大值是（ ）A．1B C．2D．故(cosOB=同理可求得，即(sin=OCθ所以(cos sin,cos)(sin,cos sin⋅=+⋅+OB OCθθθθ所以当sin21θ=时，OB OC⋅取得最大值为2，故选：C．2．如图，在半径为4的扇形AOB中，=120∠，点P是AB上的一点，则·AOBAP BP的最小值为（）A．8-B．3-C．2-D．4-，建系，写出各点的坐标，将·AP BP表示为关于所在的直线为2π则(4cos AP =，(4cos BP =所以，()(4cos 234cos ·AP BP =⋅因为，203πθ≤≤，所以56π≤. 则，当62ππθ+=，即时，该式子有最小值为A. 3．（多选题）已知扇形AOB 的半径为1，120AOB ∠=︒，点C 在弧AB 上运动，12OC xOA yOB =+，下列说法正确的有（ ）A ．当C 位于A 点时，x y +的值最小B ．当C 位于B 点时，x y +的值最大 C ．CA CB ⋅的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．OC BA ⋅的取值范围33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π03θ，A 因为12OC xOA yOB =+，而(1CA=-，12CB⎛=-⎝所以1(cos cos2CA CBθ⋅=---113cos222θ--sinθ⎛-+⎝2π3θ，所以ππ5π666θ+,故12≤所以CA CB⋅的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故()(cosOC OA OB⋅-=，sin)θ，3,2⎛-⎝因为2π3θ，所以ππ5π666θ+,故-⎝π3cos6θ⎛⎫⎡⎤∴+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴3()2OC OA OB⎡⋅-∈-⎢⎣故选：ACD4．如图，点C是半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB上的点．(1)若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求OC OD+的最小值：(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE CD⋅的取值范围．，则OC OD t ⎛+=- ⎝222222OC OD t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22时，min 22OC OD +=，即OC OD +的最小值为2.11⎛⎫⎛⎫3⎡⎤所以cos CE CD ⎛⋅= ⎝30,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则所以1,12CE CD ⎡⋅∈⎢⎣。

平面向量常见题型与解题方法归纳学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳1常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算例1：已知a 是以点A 3;－1为起点;且与向量b = －3;4平行的单位向量;则向量a 的终点坐标是 .例2：已知| a |=1;| b |=1;a 与b 的夹角为60°; x =2a －b ;y =3b －a ;则x 与y 的夹角的余弦是多少题型二：向量共线与垂直条件的考查例11,a b 为非零向量..“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的A 充分而不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2已知O;N;P 在ABC ∆所在平面内;且,0OA OB OC NA NB NC ==++=;且PA PB PB PC PC PA •=•=•;则点O;N;P 依次是ABC ∆的A.重心 外心 垂心B.重心 外心 内心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21; 23.1 若存在实数k 和t ;便得x ＝a ＋t 2－3b ; y ＝－k a ＋t b ;且x ⊥y ;试求函数的关系式k ＝ft ；2 根据1的结论;确定k ＝ft 的单调区间.例3： 已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21;23;若存在不为零的实数k 和角α;使向量c ＝a ＋sin α－3b ; d ＝－k a ＋sin αb ;且c ⊥d ;试求实数k 的取值范围.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ;若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直;求k 的最小值.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合;题目新颖而又精巧;既符合在知识的“交汇处”构题;又加强了对双基的考查.例7．设函数f x ＝a · b ;其中向量a ＝2cos x ; 1; b ＝cos x ;3sin2x ; x ∈R.1若f x ＝1－3且x ∈－3π;3π;求x ；2若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝m ; n m ﹤2π平移后得到函数y ＝f x 的图象;求实数m 、n 的值.例8：已知a =cosα;sin α;b =cosβ;sinβ0<α<β<π;1求证： a +b 与a -b 互相垂直； 2若k a +b 与a -k b 的模大小相等k ∈R 且k ≠0;求β－α巩固练习1.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ;'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时;向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π- .(,2)6C π- .(,2)6D π 1. 2.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ;它们的夹角为120o .如图所示;点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈;则x y +的最大值是________.3给出下列命题① 非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a -b |;则a 与a +b 的夹角为30°；② a ·b ＞0是a 、b 的夹角为锐角的充要条件；③ 将函数y =|x -1|的图象按向量a =-1;0平移;得到的图像对应的函数为y =|x |；④若AC AB +·AC AB -=0;则△ABC 为等腰三角形 以上命题正确的是 ..注：把你认为正确的命题的序号都填上。

平面向量产考题型总结

平面向量产考题型总结

平面向量常考题型与解题方法基础篇类型（一）：向量的夹角问题这种题型当以基础的方式呈现的时候，解题方法一般就是直接通过运算关系得到数量积与模长的关系，再用夹角定义解题。

1.平面向量b a ,，满足4,1==b a 且满足2.=b a ，则b a 与的夹角为 2.已知非零向量b a ,满足）（，a b b b a 2-⊥=，则b a 与的夹角为 3.已知平面向量b a ,满足424)2.(==-=+-b a b a b a ，且）（且，则b a 与的夹角为 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , 5.已知的夹角。

与求b a b a b a ,7,3,2=+==6.若非零向量b a ,满足,0).2(=+=b b a b a ，则b a 与的夹角为类型（二）：向量共线问题这种问题如果是以坐标运算的方式呈现的时候就是用坐标的倍数关系解题即可。

1. 已知平面向量），（x a 32=，平面向量），，（182--=b 若a ∥b ，则实数x2. 设向量），（），，（3212==b a 若向量b a +λ与向量)74(--=，c 共线，则=λ3.已知向量），（），，（x b a 211==若a b b a 24-+与平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．2_____)10,(),54(),12,(.4=-===k C B A k OC OB k OA 则三点共线，，，，且，已知向量5．已知），（），，（），，（73231x C B A --，设a AB =，b BC =且a ∥b ，则x 的值为 （ ） (A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 186．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 共线，求实数k 的值；7．已知a ，c 是同一平面内的两个向量，其中a =（1，2）若52=c ，且a ∥c ，求c 的坐标8.n 为何值时，向量），（1n a =与),4(n b =共线且方向相同？ 9.已知且),2,1(,3==b a a ∥b ，求a 的坐标。

2024年高考复习数学知识点+题型12+5类平面向量解题技巧

2024年高考复习数学知识点+题型12+5类平面向量解题技巧

题型125类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法01“爪子定理”的应用及解题技巧知识迁移形如AD xAB y AC =+条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+.则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++（全国·高考真题）例1-1.设D 为ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC =-+ B.1334AD AB AC =-C.4133AD AB AC=+D.4133AD AB AC=-解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+ ，解得：1433AD AB AC =-+答案：A（2023江苏模拟）例1-2．如图，在ABC 中，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若211AP m AB AC =+，则实数m 的值为（）A.911B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP m AB n AN=+，且1m n +=，由13AN NC = 可得14AN AC = ，所以14AP m AB n AC =+ ，由已知211AP m AB AC =+ 可得：12841111n n =⇒=，所以311m =答案：C（2022·全国·统考高考真题）1．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ （全国·高考真题）2．在ABC 中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）3．已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF 等于（）A ．()12a b+ B ．()12a b- C ．()12b a- D ．12a b+ （全国·高考真题）4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC -C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC（江苏·高考真题）5．设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =.若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧知识迁移如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ= 而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关.我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画.因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O 作AB 边的垂线l '，设点P 在l '上的射影为P '，直线l '交直线AB 于点1P ，则1||||||OP k OP '=（k 的符号由点P 的位置确定），因此只需求出||OP '的范围便知x y +的范围（全国·高考真题）例2-1．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP=λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）A ．3B ．CD ．2【系数和】分析：如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λμ+最大，此时33AF AB BE EF ABAB AB ABλμ+++====, 故选A .（衡水中学二模）例2-2．边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含短点）上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量(,)AP m AB n AF m n R =+∈，则m n+的取值范围是（）(][][][].1,2.5,6.2,5.3,5A B C D分析:如图，设AP mAB nAF =+ ，由等和线结论，22AG ABm n AB AB+===.此为m n +的最小值；同理，设AP mAB nAF =+ ，由等和线结论，5AHm n AB+==.此为m n +的最大值.综上可知[2,5]m n +∈.例2-3．已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上.若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是__________【解析】如图，取AB 中点为D ，2AP AB AC AD ACλμλμ=+=+ 显然，当P 与C 重合时，2λμ+取最小值1.将CD 平行移动至与O 相切处，P 为切点时，2λμ+取最大值.延长PO 交CD 于G ，易知12OG OF FP ===.由等和线及平行截割定理，52,2EF AP FP AE ==.所以2λμ+的最大值为52.故2λμ+的取值范围是51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．27．如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP ＝αAB＋βAF（α，β∈R ），则α＋β的取值范围是.8．如图在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，13AD DC AB ===，，动点P 在以C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设(,R)AP AD AB αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围是9．若点C 在以P 为圆心，6为半径的弧 AB 上，且120APB ∠=，PC = xPA yPB + ，则23x y +的取值范围为（2023·浙江·高三专题练习）10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yAC =+，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）A ．32234⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，B ．5232⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，C ．253342⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，D ．17173322⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，技法03极化恒等式的应用及解题技巧知识迁移极化恒等式22()()4a b a b a b +--⋅=恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b==则22()()4AB AD AB AD a b +--⋅=在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M 点，则对于三角形来说:2222()()||||44AB AD AB AD DB a b AM +--⋅==-（全国·高考真题）例3-1．设向量,a b 满足||10a b +，||6a b -= a b （）A ．1B ．2C ．3D ．5由极化恒等式可得：2222()()144a b a b a b a b a b +--+--⋅=== ，故选A ．（2023·全国·统考高考真题）例3-2．正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：22134EC ED EO DC ⋅=-= 故选：B.（江苏·高考真题）11．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅uur uur的值是.12．如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE == ，点F 为DE 中点，则BF DE的值为.13．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-技法04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧知识迁移1.奔驰定理如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBC PAC PABS OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2.奔驰定理的证明如图：延长OA 与BC 边相交于点D则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOC AOBS S S S S BD DC S S S S S -===- DC BD OD OB OCBC BC=+ AOC AOBAOC AOB AOC AOBS S OB OC S S S S =+++ BOD COD BOD CODBOA COA BOA BOC AOC AOB COA S S S S S OD OA S S S S S S +====++BOC AOC AOBS OD OAS S ∴=-+ BOC AOC AOBAOC AOB AOC AOB AOC AOBS S S OA OB OCS S S S S S ∴-=++++ 0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∴⋅+⋅+⋅=3.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点，且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=，则::::BOC COA AOB S S S x y z=△△△有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论：①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；②若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC== ③若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 也对.④若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅ （宁夏·高考真题）例4-1．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（）（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D．外心重心内心因为OA OB OC == ，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++= ，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-= ，所以2NE CN = ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅= ，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC∆的垂心，故选C.（江苏·高考真题）例4-2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,[)0λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D．垂心【详解】OP OA AP -= ，()||||AB ACAP AB AC λ∴=+令||||AB ACAM AB AC +=，则AM 是以A 为始点，向量||ABAB与||AC AC 为邻边的菱形的对角线对应的向量，即AM →在BAC ∠的平分线上，AP AM λ= ，,AP AM ∴ 共线，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选：B（2023·全国·高三专题练习）例4-3．奔驰定理：已知点O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则cos C =（）A ．31010B ．1010C ．255D ．55【详解】延长CO 交AB 于点P ，O 是ABC 的垂心，OP AB ∴⊥，1211::22S S OC BP OC AP ⎛⎫⎛⎫∴=⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:(tan ):(tan )BP AP OP POB OP POA ==∠∠tan :tan tan():tan()tan :tan COB COA A B A B ππ=∠∠=--=．同理可得13:tan :tan S S A C =，231::tan :tan :tan S S S A B C ∴=．又1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，tan tan tan 0A OA B OB C OC ∴⋅+⋅+⋅=．又230OA OB OC ++= ，tan :tan :tan 1:2:3A B C ∴=．不妨设tan ,tan 2,tan 3A k B k C k ===，其中0k ≠．tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C +=-+=-- ，23123k kk k k+∴=--⋅，解得1k =±．当1k =-时，此时tan 0,tan 0,tan 0A B C <<<，则A ，B ，C 都是钝角，不合题意，舍掉．故1k =，则tan 30C =>，故C 为锐角，∴22sin 3cos sin cos 1CC C C ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得cos 10C =，故选：B．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）14．若O 是ABC 内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心（2023·江苏·高三专题练习）15．在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，则点H 是ABC 的（）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心（2023春·湖南株洲·高三炎陵县第一中学校联考期末）16．如图.P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A ．若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n ⎡+∈⎣技法05范围与最值的应用及解题技巧（浙江·高考真题）例5-1．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-= ，则c的最大值是（）A ．1B ．2C ．D ．【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．（四川·高考真题）例5-2．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ，DA ⋅ DB =DB ⋅ DC =DC ⋅ DA =–2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC，则2BM 的最大值是（）A ．434B ．494C ．37634+D ．372334+【详解】试题分析：由已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,3,3.A B C --设(),,P x y 由已知1AP = ，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()(222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎫∴=+=⎪⎭，故选B.（2023·全国·高三专题练习）例5-3．若平面向量a ，b ，c 满足1c = ，1a c ⋅= ，3b c ⋅= ，2a b ×=，则a ，b 夹角的取值范围是（）A ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】设OA a = ，OB b = ，OC c = ，以O 为原点，c方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，10a c ⋅=> ，30b c ⋅=> ，20a b ⋅=>，a ∴ ，b ，c三者直接各自的夹角都为锐角，1c =，cos ,1a c a c a c ⋅=⋅= ，c s 3o ,b c b c b c ⋅⋅== ，cos ,1a a c ∴= ，,3cos b b c = ，即a 在c 上的投影为1，b 在c 上的投影为3，()1,A m ∴，()3,B n，如图()1,a m ∴=，()3,b n = 32a mn b =∴+=⋅即1mn =-，且cos ,a b a b a b ⋅==⋅则2222222244cos ,99109a b n m m n n m ===+++++ ，由基本不等式得22966n m mn +≥==，21cos ,4a b ∴≤ ，a 与b的夹角为锐角，10cos ,2a b ∴<≤ ，由余弦函数可得：a 与b 夹角的取值范围是ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，（湖南·高考真题）17．已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦（湖南·高考真题）18．已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9（2023·全国·高三专题练习）19．已知平面向量a OA = ，b OB = ，c OC =，满足241OC AC OA ⋅=- ，241OB CB OC ⋅=- ，则向量4a b - 与2c b -所成夹角的最大值是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）20．已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，22c b c =⋅，则22c a c b-+- 的最小值为.（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）21．在平面内，定点,,,A B C O ，满足2OA OB OC === ，且0OA OB OC ++=，则AB =；平面内的动点,P M 满足1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是．参考答案：1．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．2．A【详解】试题分析：，故选A ．3．A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222EF AC a b ==+ ，故选：A 4．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．12【详解】依题意，121212()232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴121263AB AC AB AC λλ-+=+ ，∴116λ=-，223λ=，故12121632λλ+=-+=.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.6．A【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r ，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A .【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.7．[3，4]【详解】直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈[，]＝[3，4].8．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆方程，设(,)P x y ，再根据(,R)AP AD AB αβαβ=+∈，可求出点P 的坐标，再根据P 在圆内，可得关于,αβ的一个不等关系，设t αβ+=，进而可得出答案.【详解】如图所示以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,1,1,0,1A B C D ，直线BD 的方程为131xy+=，化简得330x y +-=，∴点C 到BD的距离10d =，可得以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆方程为221(1)(1)10x y -+-=，设(,)P x y ，则(,)AP x y =，(0,1)AD = ，(3,0)AB =，(),R AP AD AB αβαβ=+∈，()()()(),0,13,03,x y αββα∴=+=，可得3x β=且y α=，P 的坐标为()3,βα，P 在圆内，()()22131110βα-+-<，设t αβ+=，则t αβ=-，代入上式化简整理得()221910242010t t t ββ-++-+<，若要上述不等式有实数解，则()2219Δ244102010t t t ⎛⎫=+-⨯⨯-+> ⎪⎝⎭，化简得23850t t -+<，解得513t <<，即513αβ<+<，αβ∴+取值范围是51,3⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：51,3⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点P 的坐标用,αβ表示是解决本题的关键.9．⎡⎢⎣⎦【分析】首先根据三点共线的推论得1111,23PA PA PB PB ==，而在11PA B △中，11113,2,120PA PB A PB ︒==∠=，进一步由向量模的公式得11A B =11PA B △中，由等面积法得出||319PD ≤≤，结合623PC x y PD PD +== 即可得解.【详解】令(23)PC x y PD =+，则2323x y PD PA PB x y x y=+++ ，即11232323x y PD PA PB x y x y =+++，其中1111,23PA PA PB PB == .由2312323x yx y x y+=++知点D 在线段11A B 上，如下图:由于在11PA B △中，11113,2,120PA PB A PB ︒==∠=，且点D 在线段11A B 上（含端点11,A B ），因此1PH PD PA ≤≤，其中PH 是边11A B 上的高.()222211111111219A B PB PA PB PA PB PA =-=+-⋅=可得11A B =1111111111sin 22PA B S PA PB A PB A B PH =⋅⋅∠=⋅可得||19PH =.||3PD ≤≤.再由(23)PC x y PD =+ ，可知623PC x y PD PD ⎡+==∈⎢⎣⎦ .故答案为：⎡⎢⎣⎦.10．B【分析】建立直角坐标系，将4x y -由P 点坐标转化后数形结合求解【详解】以A 点为坐标原点，,AB AD方向为x ,y 轴正方向建立直角坐标系，则(0,0),(2,0),(1,1),(0,1)A B C D ，(2,0),(1,1)AB BC ==- ，设(,)P m n ，则2m x y n y =-⎧⎨=⎩，解得2m n x y n+⎧=⎪⎨⎪=⎩，故42z x y m n =-=+，即2n m z =-+，数形结合可得当1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值2，当直线与圆221(1)(1)4x y -+-=12=，z 取得最大值3.故选：B11．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--== （）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC == ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--=== （）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．12．4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 考点：向量数量积13．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D14．D 【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.【详解】取线段AB 的中点D ，连接OD ，则2OA OB OD +=，而0OA OB OC ++= ，因此2CO OD =，即,,C O D 三点共线，线段CD 是ABC 的中线，且O 是靠近中点D 的三等分点，所以O 是ABC 的重心.故选：D 15．A 【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.【详解】因为HA HB HB HC ⋅=⋅，则()0HB HA HC HB CA ⋅-=⋅=uu u r uu u r uuu r uu u r uu r ，所以HB CA ⊥uu u r uu r，即点H 在边CA 的高线所在直线上，同理可得：,HA CB HC AB ⊥⊥uu u r uu r uuu r uu u r，所以点H 为ABC 的三条高线的交点，即点H 是ABC 的垂心.故选：A.16．AB【分析】对于A ：利用重心的性质=PBC S △=PAC PAB S S △△，代入0PBC PAC PABS PA S PB S PC ++=即可；对于B ：利用三角形的面积公式结合0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++= 与0aPA bPB cPC ++=可知点P 到AB BC CA 、、的距离相等.对于C ：利用AB AC 、将PA PB PC、、表示出来，代入0PBC PAC PABS PA S PB S PC ++= ，化简即可表示出PBC PAC PAB S S S 、、△△△的关系式，用PAB S 将ABP ABC S S 、△△表示出来即可得处其比值.对于D ：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将PA mPB nPC =+两边平方，化简可得22+1m n =，结合m n 、的取值范围可得出答案.【详解】对于A ：如图所示：因为D E F 、、分别为CA AB BC 、、的中点，所以2CP PE =，121,233AEC ABC APC AEC ABC S S S S S === ，同理可得13APB ABC S S = 、13BPC ABC S S = ，所以=PBC S △=PAC PAB S S △△，又因为0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=，所以0PA PB PC ++=uu r uu r uu u r r.正确；对于B ：记点P 到AB BC CA 、、的距离分别为123h h h 、、，231111=,,222PBC PAC PAB a h h h S c S S ==⋅⋅⋅△△△，因为0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=，则2311110222a h PAb h PBc h PC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即2310a h PA b h PB c h PC ⋅+⋅+⋅= ，又因为0aPA bPB cPC ++=，所以123==h h h ，所以点P 是ABC 的内心，正确；对于C ：因为2155AP AB AC =+，所以2155PA AB AC =--，所以3155PB PA AB AB AC =+=- ，所以2455PC PA AC AB AC =+=-+，所以2131240555555PBC PAC PAB S AB AC S AB AC S AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：232114+0555555PBC PAC PAB PBC PAC PAB S S S AB S S S AC ⎛⎫⎛⎫--+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为AB AC、不共线，所以232+=0555114=0555PBC PAC PABPBC PAC PAB S S S S S S ⎧--⎪⎪⎨⎪--+⎪⎩ ，所以=2=2PBC PAB PAC PAB S S S S ⎧⎨⎩ ，所以15ABP PAB PBC PAC PAB ABC S S S S S S =++= △△，错误；对于D ：因为P 是ABC 的外心，π4A =，所以π2BPC ∠=,PA PB PC == ，所以=cos 0PB PC PB PC BPC ⋅⨯⨯∠=，因为PA mPB nPC =+ ，则222222PA m PB mnPB PC n PC =+⋅+ ，化简得：22+1m n =，由题意知m n 、同时为负，记cos sin m n αα=⎧⎨=⎩，3ππ2α<<，则πcos sin sin +4m n ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为5ππ7π444α<+<，所以π1sin 4α⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭所以π2+14α⎛⎫-≤<- ⎪⎝⎭，所以)1m n ⎡+∈-⎣，错误.故答案为：AB.17．A【详解】因为1c a b --= ，()1c a b -+= ，做出图形可知，当且仅当c 与()a b +方向相反且1c a b -+= 时，c1；当且仅当c 与()a b +方向相同且1a b c +-=时，c1.18．B【详解】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=,当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.19．A【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到22441c a c a -⋅=- ，22441b b c c -⋅=- ，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到cos θ=cos 2θ≥，由此可得θ的最大值.【详解】()2244441OC AC OC OC OA OC OC OA OA⋅=⋅-=-⋅=-，即22441c a c a -⋅=- ，()2224421c a c a c a∴-⋅+=-= ；()2244441OB CB OB OB OC OB OB OC OC⋅=⋅-=-⋅=- ，即22441b b c c -⋅=- ，()2224421b b c c b c∴-⋅+=-= ；设向量4a b - 与2c b -所成夹角为θ，242cos a b c b θ-⋅-∴=()2222211311244444a a b b a b -+-⋅+-+=≥4a b -= 号）；又[]0,πθ∈，max π6θ∴=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.20．72【分析】令OA a = ，OB b =，OC c = ，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F，a 与b 的夹角为θ，由题意，计算π3θ=，AB = C 的轨迹为以OD 为直径的圆，利用向量基底表示，将()()222222+=+-- c b BC a AC c 转化为()222243-+-=+ c b CE c a ，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解()222+--c ab c 最小值.【详解】令OA a = ，OB b = ，OC c =，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，a 与b的夹角为θ，连接CA 、CB 、CD 、CO 、EF .由1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，得112cos θ=⨯⨯，1cos 2θ=，因为[]0,πθ∈，所以π3θ=，在OAB中，由余弦定理得AB = 又由22c b c =⋅，得02⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭b c c ，即()0OC OC OD OC DC ⋅-=⋅= ，所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆.因为()()222222+=+-- c b BCa AC c 2222112422EC AB EC AB CE AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦uu ur uu u r uu u r uu u r uur uu ur 222114343437222CE EF ⎫⎛⎫=+≥-+≥+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当点C 、E 、F 共线，且点C 在点E 、F 之间时，等号成立.所以22c a c b -+-的最小值为72故答案为：72【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.21．494【分析】（1）利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出2O B O C ⋅=-，进而根据AB OB OA =- ，平方后计算出212AB =，从而求出AB =uu u r 设出()cos ,sin P θθ，表达出3sin 2M θ⎫+⎪⎪⎝⎭和2π373sin 34BM θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，利用三角函数有界性求出最大值.【详解】因为2OA OB OC === ，0OA OB OC ++= ，所以()OA OB OC =-+ ，两边平方得：()2222OA OB OC OB OB OC OC =-+=+⋅+ ，即4424OB OC =+⋅+ ，解得：2O B O C ⋅=-，因为AB OB OA =- ，所以222244412AB OB OA OA OB =+-⋅=++= ，因为0AB ≥所以AB =uu u r ；可得到△ABC是等边三角形，且边长为如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 为y轴建立平面直角坐标系，)C，()B ，因为1AP = ，所以设()cos ,sin P θθ，[)0,2πθ∈，由PM MC = 可得：M 是线段PC的中点，则cos 3sin ,22M θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则222cos 3sin 3733sin cos 22422BM θθθθ++⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭⎝ π373sin 34θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 13θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，2π373sin 34BM θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 取得最大值，最大值为494.故答案为：494。

高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)

高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)

平面向量六大题型知识点：1．向量的有关概念（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． （2）表示：a AB(,)OA x y =2121(,)AB x x y y =--（3）向量的长度（模）：a 或AB 的模记作||a 或||AB ． （4）几种特殊向量： 定义备注0，方向任意||aa 即为单位向量记为ab ∥，规定0与任意向量共线a b =，相等一定平行，平行不一定相等a b =-，AB BA =-2．向量的运算 运算几何表示字母表示坐标表示加法a b AB BC AC +=+=三角形法则 类比“位移之和”首尾相连，首位连11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y +=++a b AB AD AC +=+= 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线减法a b AB AC CB -=-= 共起点，后指前11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y -=--数乘长度变为||λ倍0λ>，方向相同0λ<，方向相反 0λ=，0a λ=11(,)a x y =12(,)a x x λλλ=数量积||||cos a b a b θ⋅=11(,)a x y =，22(,)b x y =1212a b x x y y ⋅=+3．其他概念（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+，我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）投影：||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．常用投影计算公式：||cos ||||||a b a a a b θ⋅==||a bb ⋅． （3）向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+（等号在向量a ，b 共线时取得）．4．重要结论ABC 中，的中点ABC 的重心(1)PC PA PB λλ=+-1()2AD AB AC =+GB GC ++5．常用性质设向量a 与b 夹角为θ，11(,)a x y =，22(,)b x y =．a b λ= ||||cos 0a b a b θ⋅==12a b x x ⋅=+2||a a = 21||a x y =+cos ||||a ba b θ⋅=122211cos x x x yθ+=+重要考试题型：题型一：向量概念1给出如下命题： ①若||||a b =，则a b =；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是||||a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥． 其中正确的命题的序号是______．解析：①两向量模相等，方向不一定相同，所以a b =不正确；②AB DC =说明AB 和DC 两条边即平行又相等，可以推出四边形为平行四边形，反之也成立，是充要条件，正确；③两个向量相等说明它们大小相等，方向相同，故满足此条件的都是相等向量，正确； ④两向量模相等，且平行，不能说明它们方向相同，故错误；⑤若0b =，根据0与任意向量平行的性质，则a b ∥且b c ∥，但a 与c 之间不一定平行，不排除0时，向量之间没有平行的传递性，故错误；主要考察向量定义，表示、以及特殊向量，属于基础题型，需要注意的是： （1）向量二要素（大小、方向）（2）加模后变为实数，去掉了方向的要素，可以比较大小 （3）0与任意向量共线（没有平行传递性） （4）共线向量方向相同或相反 （5）相反向量长度相等AD BC =；AB DC =且||||AB AD =．AD BC =说明AD 和BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形；AB DC =说明AB 和DC 相等且平行，为平行四边形，|||AB AD =说明两临边相等，为菱形．答案：（1）平行四边形 （2给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；AB 与向量CD 是共线向量，则点其中正确的命题个数是（ B ．2 C ．3AB 和BA 长度相等，方向相反，正确；②当为零向量时，不满足条件，错误；③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确；④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误；⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；答案：C题型二：向量四则运算1如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ） A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF解析：由于BA DE =，故BA CD EF CD DE EF CF ++=++=． 答案：D2根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将向量OE ，BF ，BD ，FD 表示出来.解析：OE BO a b ==+；2BF BA AF BA BO a b =+=+=+；2BD BC CD BC BO a b =+=+=+；FD AC BC BA b a ==-=-．答案： a b +，2a b +，2a b +，b a -3AB AC BC --=（ ）A ．2BCB ．0C ．2BC -D ．2AC主要考察向量的加法、减法、数乘、数量积四种运算法则，包含纯字母运算、纯坐标运算、字母结合图形运算、坐标结合图形运算等形式，属于基础题型，需要注意： （1）向量没有位置概念，相等向量的有向线段等价 （2）熟练掌握加减法的口诀，可以直接计算的就不必画图 （3）注意数形结合思想的运用，加减法的对角线性质 （4）字母运算和坐标运算自成一体，也可相互转化AC AB BD CD --+=（ A ．0 B ．DA BC AB 0AC AB BD CD BC BD CD DC CD --+=-+=+=． A OA OC OB CO --+-=_____．解析：原式等于 ()()OB OA CO CO AB -+-=． AB如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ） A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=AD FE =，BE EC =，则0AD BE CF FE EC CF ++=++=，A 正确．A在ABCD 中，BC CD BA -+=（ ） A ．BC B ．AD C ．AB D ．AC在平行四边形中，BA 和CD 是相反向，则0CD BA -+=，故0BC BC +=．答案：A8若O 是ABC 所在平面内一点，且满足||2|OB OC OB OC OA -=+-，则的形状为_______．2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，ABC为直角三角(2,4)a=，(1,1)b=-，则a b-=（）B．(5,9)．(3,7)D(4,8)(1,1)(5,7)a b-=--=．已知四边形ABCD2BC AD=，则顶点D的坐标为（(,AD x=2(24)(4,3)BC AD x y==-=，即72y=．(1,3)a=-，(2,4)b=-，若表示向量a，32b a-，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（1)-．(1,1)-4,6)D．(4,6)-(,)c x y=，能构成三角432230a b a c a b c+-+=++=，即2,4)(,6)(6,12)(4,6)(0,0)x y x y-+-+--++=，即40x-+=，，解得4x=，(2,3)BA=(4,7)CA=BC=（2,4)-B．(3,4)C．(6,10)(4,7)AC=--，(2,3)(4,BC BA AC=+=+-ABC 中，|5BC =，|8CA =，BC CA ⋅．解析：设BC 和CA 的夹角为θ，则120θ=︒，因为||5BC =，|8CA =，则||||cos 58cos120BC CA BC CA θ⋅==⨯答案：20-14已知a ，b 为单位向量，其夹角为)a b b -⋅=（ ） A ．1- B D ．2 221)22||||cos60||2102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=︒-=⨯-=．已知两个单位向量a ，b 夹角为60︒，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则2(1)cos6010b c ta b t b t t ⋅=⋅+-=︒+-=，解得2t =． 2设(1,2)a =-，(3,4)b =-，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅=（ ） A ．(15,12)- B ．0 C ． D ．11- 2(1,2)2(3,4)5,6)a b +=-+-=-，(2)(5,6)(3,2)a b c +⋅=-⋅C已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b ⋅=______．2212121211221(2)(34)32832862b b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-⨯-=-． 6-题型三：平面向量基本定理1在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 的中点，则MN =_____．解析：33()44AN AC a b ==+，1122AM AB BM AB AD a b =+=+=+， 所以1144MN AN AM a b =-=-+．答案：1144a b -+2如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM c =，AN d =，试用c ，d 表示AB ，AD ．解析：设AB a =，AD b =，则1212c AM AD DM b a d AN AB BN a b⎧==+=+⎪⎪⎨⎪==+=+⎪⎩，解得2(2)32(2)3a d c b c d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以4233AB d c =-，4233AD c d =-． 答案：4233AB d c =-，4233AD c d =-主要考察用两个不共线向量表示一个向量，即12a e e λμ=+，大部分是围绕求基底的系数出题，属简单题型，但考查方式较为灵活，需要注意：（1）有些目标向量用已知基底不太好构造，可以用相对熟悉的基底（例如平行四边形的临边）来表示已知基底，再用熟悉的基底来表示目标向量（2）有些题目会用到几何图形比例问题，注意观察图形中的三角形相似 （3）在求一些长度问题时，可能会用到解三角形内容在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=______．2AB AN NB AN CN AN CA AN AN CM MA =+=+=++=++=14AN AB AM --，所以8455AB AN AM =-，即45λ=-，85μ=，故λ+答案：454在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ．2133b c + B ．5233c b - C ．13b c - D ．1233b c + 22221()()()33333AD AB BD AB BC AB AC AB c b c b c =+=+=+-=+-=+．答案：A在平行四边形ABCD 中，AC 与DB 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 延长线与CD 交于F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ） A ．1142a b + B ．2133a b +C ．1124a b + D ．1233a b +AD AB aAD AB b+=-=，解得1()2AD a b =+，1()2AB a b =-，EDFEBA ，DE 13=，故11121()()23233AF AD DF a b a b a b =+=++⨯-=+．B如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，OA 与OB 夹角为120︒，OA 与OC 夹角为30︒，且||||1OA OB ==，||23OC =，若OC OA OB λμ=+，则λμ+的值为_____．解析：作平行四边形ODCE ，则OC OD OE OA OB λμ=+=+，4cos30OCOD ==︒，2tan30OCOE ==︒，即4λ=，2μ=，6λμ+=． 答案：6(1,1)a =，(1,1)b =-，(4,2)c =，则c =（ ）a b + B ．3a b - C ．3a b + D ．3a b +(,)(,)(,)(4,2)c a b λμλλμμλμλμ=+=+-=-+=，所以4λμ-=，λ+3，1μ=-，则3c a b =-．如图：向量a b -=（ ） A ．1224e e -- B ．1242e e -- C ．123e e - D ．123e e -+解析：由图可知12()3a b a b e e -=+-=-+． 答案：D向量a b c ++可表示为（ ） A ．1232e e - B ．1233e e -- C ．1232e e + D ．1223e e +解析：a b c ++在图上画出来，可知1232a b c e e ++=+．答案：C10向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+，则λμ=______． 解析：如图所示建立平面直角坐标系，可得(1,1)a =--，(6,2)b =，(1,3)c =--，则(,)(6,2)c a b λμλλμμ=+=-+=(6,2)(1,3)μλλμ-+=--，解得2λ=-，12μ=-，则4λμ=． 答案：4题型四：共线、中点、重心问题1设1e ，2e 是不共线向量，若向量1235a e e =+与向量123b me e =-共线，则m 的值等于（ ）A ．95-B ．53-C ．35-D ．59-解析，a 与b 共线，则满足b a λ=，即12123(35)me e e e λ-=+，则335m λλ=⎧⎨-=⎩，解得95m =-．答案：A主要考察一些常用结论，即本学案知识点第4点的内容，属中下难度题型，再强调一下：（1）(0)a b a b b λ⇔=≠∥，1221x y x y =（2）(1),,PC PA PB A B C λλ=+-⇔三点共线，P A 和PB 系数和为0（3）D 为BC 中点，1()2AD AB AC =+，即平行四边形对角线的一半（4）G 为ABC 重心，0GA GB GC ++=a b λ+与(2)b a --共线((2))a b b a λμ+=--，即2a b a b λμμ+=-，12μλμ=⎧⎨=-⎩，解得λ答案：D3已知(1,0)a =，(2,1)b =，ka b -与2a b +共线；（23AB a b =+，BC a mb =+，且A 三点共线，求m 的值．1）(,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--2(1,0)(4,2)(5,2)a b +=+=，两者共线，2)(1)5=-⨯，解得12k =-．，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即23()a b a mb λ+=+，则23=⎧⎨=⎩32m = (2,2)，(,0)B a ，(0,)C b (0)ab ≠共线，则1a b(AB a =-(2,AC =-AB AC ∥，2)(2)=-⨯，化简得2ab a -，得1112a b +=BC ，已知点(A -AB DC =，设D (8,8)AB =(8DC =-0=，2y =-，故．答案：(0,6已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）363AD AB BC CD a b AB =++=+=，所以AD AB ∥，A ，AABC 中，12AM AC =，29AD mAB AC =+，则m =______．12(1)(1)29AD AB AM AB AC mAB AC λλλλ=+-=+-=+，则12，则59m λ==．59设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB ，的中点，则EB FC +=（ ）A ．ADB ．12ADC ．BC D ．12BC 11()()()22EB FC BE CF BA BC CA CB AB AC AD +=-+=-+++=+=.A已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）AO OD = 2AO OD = 3AO OD = D ．2AO OD =是中点，则有2OB OC OD +=，原式变为220OA OD +=，即OA OD =-，故AO OD =．答案：A10设M 是ABC 所在平面上的一点，且33022MB MA MC ++=，D 是AC 中点，则||||MD BM 的值为（ A ．13 B ．12D ．23)232MA MC MD MD BM +=⋅==，即MD 与BM 共线，则||13||MD BM =．ABC 和点Ｍ满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =_____．解析：由0MA MB MC ++=可知M 为ABC 的重心，则2211[()]()3323AM AD AB AC AB AC ==+=+，即3AB AC AM +=，则3m =． 答案：312如图，在ABC 中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为______．1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，因为，O ，N 三点共线，m n2n =． 2在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ ） ．23 3D ．23- 解析：因为A ，D ，13CD CA CB λ=+，则113λ+=，23λ=．三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，0pOA qOB rOC ++= ，0pOA qOB rOC ++=变形得q rOA OB OC p p=--，因，B ，C 三点共线，则有0=，化简得p q r ++=答案：015已知点G 是ABC 的重心，点P 是GBC 内一点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是（ ）A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．(1,2)解析：P 是GBC 内一点，则1λμ+<，当且仅当P 在线段BC 上时，λμ+最大等于1，当P 和G 重合时，λμ+最小，此时1()3AP AG AB AC ==+，即23λμ+=，故213λμ<+<． 答案：B 16在ABC 中，2AB =，3AC =，D 是边B C 的中点，则AD BC ⋅=______．解析：1()2AD AB AC =+，BC AC AB =-，则221()2AD BC AC AB ⋅=-15(94)22=-=．答案：52题型五：面积比问题1在ABC 所在平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-，那么PBC 与ABC 的面积之比是（ ） A ．34 B ．12 C ．13D ．23 主要考察用向量性质来研究三角形的关系，掌握了原理后较为简单，大体有3种形式：（1）高相同，底不同，向量线性计算得出底的比例关系（2）高不同，底相同，高的比转换为相似三角形的比，再转化为向量基底的长度比 （3）三角形店内一点与三个顶点的连线把三角形分成三个小三角，它们的面积比问题，把题目给出的向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比解析：2PA PC AB PB +=-化简可得3PC AP =，即P 在AC 上，两个三角形高相等，则34S PBC PC S ABC AC ==．答案：A如图，设P ，Q 为ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则ABP 与ABQ 的面积之比为______．解析：如图作辅助线，EF ，GH 分别为两个三角形的高，15AE AC =，14AG AC =，则45S ABP EF AE S ABQ GH AG ===．答案：45已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则OAC 与OAB 的面23 D ．13解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则OAC 与OAB 的面积比为2:3． 答案：BABC 内一点且满足320PA PB PC ++=，则PBC ，PAC ，PAB 的面积比为（ ）4:3:2 2:3:4 C ．1:1:1 D ．3:4:6 解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则面积比为4:3:2． 答案：A题型六：垂直、求模、求角、投影问题1已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则k =（ ） A ．92- B ．0 C ．3 D ．152解析：23(2,6)(3,12)(23,6)a b k k -=-=--，由题意知(23)0a b c -⋅=，则(23,6)(2,1)2(23)60k k --⋅=--=，解得3k =．答案：C2设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：由||10a b +=两边平方得22210a b a b ++⋅=，由||6a b -=两边平方得2226a b a b +-⋅=，两式相减得1a b ⋅=．答案：A 3已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为主要考察数量积的性质，即本学案知识点第5点的内容，利用数量积的字母公式或坐标公式进行带入计算，由于是本章最后一节，题目融合程度可以比较高，需要记住一些常见题型和结论，大量的练习，高考出题大部分是考察这里，题目难度较低，但也可以出一些中等难度题型，需要注意的是：（1）两个向量的夹角一定要看准，向量的夹角不是线段的夹角，是方向的夹角 （2）0a b a b ⊥⇔⋅=，此乃五星级考点（3）求模公式2||a a =和2211||a x y =+一定要熟练运用，给你带模的条件很多时候都需要平方后再使用（4）求角公式就是数量积公式反过来用 （5）投影有简化公式||a bb ⋅，考察方式比较多样，涉及数量积最值的投影问题，通常需要作图来看，数形结合22222)()21226a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-⨯+⋅=-，解1a b ⋅=，11cos 122||||a b a b ⋅==⨯，3πθ=．答案：3π4已知点1,1)-，(1,2)B AB 在CD 方向上的投影为(2,1)AB =(5,5)CD = ，||52CD =10510||||552AB CD AB CD ⋅+==⨯ ，投影为3103|cos 510AB θ⨯=322如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC ⋅=_____．22||||cos AP AC AP AO AP AO ⋅=⋅=∠Rt APO 中，|cos ||AO PAC AP ∠=，所以22||218AP AC AP ⋅==⨯．答案：186在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=为CD 的中点，1AC BE ⋅=，则AB 的长为_____．AB a =，AD b =，AC a b =+，12BE b a=-，222111111()()||||11222222AC BE a b b a a b a b a a ⋅=+⋅-=⋅-+=⨯-+=，解得||0()a =舍去或1||2=a ．答案：127已知1e ，2e 是夹角为2π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若a ⋅则实数k 的值为______a ，b 不共线，且|||a b =，则下列结论中正确的是（a b +与a b -垂直 B ．a b +与a b -共线 a b +与a 垂直 D ．a b +与a 共线|||a b =可得22||||a b =，即2222||||()()0a b a b a b a b -=-=+⋅-=，A 项很明显都不正确．答案：A 设向量a ，b 满足||||1a b ==，12a b ⋅=-，则|2|a b +=（ ） B ．3 C ．5 D ．72222|(2)441423a b a b a b a b +=+=++⋅=+-=．B若(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，则||AB =______解析：设||(,)OB x y =，由两个条件可知2221330x y x y ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩，解得(3,1)(3,OB =-或，则(2,4)2)AB OB OA =-=-或，22||=AB 答案：2511设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ）A ．B ．2C ．3D ．5解析：条件中两式分别平方得22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得4a b ⋅=，1a b ⋅=．答案：Aa b ∥ a b ⊥ |||a b = a b a b +=-解析：法一：根据向量加法和减法法则，||a b +和||a b -分别代表以a ，b 为临边的平行四边形的对角线长度，两对角线长度一样，说明四边形为矩形．故有a b ⊥；可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，则a b ⊥．(2,4)a =，(1,2)b =-，若()c a a b b =-⋅，则||c =_____． ()(2,4)(28)(1,2)(8,8)c a a b b =-⋅=--+-=-，22||8(8)82c =+-=．82(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-a c ⊥，b c ∥，则||a b +=（ A ．5 B ．10 ．25 D ．10a c ⊥，则240a c x ⋅=-=，得2x =，bc ∥，则42y -=，(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，故|9110a b +=+=．答案：B15已知(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λA ．4- ．3- C ．2- D ．1-(2m n λ+=+(1,m n -=--()()(2m n m n λ+⋅-=-．B单位向量1e 与2e 的夹角为α，且13=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹，则cos β=_____1212(32)(3)8a b e e e e ⋅=-⋅-=，212|(32)3a e e =-=，212||(3)8b e e =-=，8||||38a b a b ⋅==2 已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，|1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为222)()2186a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=-，所以1a b ⋅=，故11122||||a b a b ⋅==⨯，60θ=︒． 60︒若向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则a b +与a b -的夹角等于（A ．4π- B ．6π 4π D ．34π (3,3)a b +=，(0,3)a b -=，)()9a b a b +⋅-=，|2|32a b +=，922||||323a b a b ⋅===⨯，夹角为4π．设向量a ，b 夹角为θ(3,3)a =，(1,1)b a -=-(,)b x y =，2(23,23)(1,1)b a x y -=---，得(1,2)b =，9a b ⋅=，||32a =，|5b =，9310cos 10||||325a b a b θ⋅===⨯． 答案：31010已知i ，j 为互相垂直的单位向量，2a i j =+，i j +，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ5(,0)(0,)3-+∞ 3 C ．5[,0)(0,)3-+∞ D ．5(,0)3- 由题意知(1,2)a =，(1,1)b =，(1,2)a b λλλ+=++，夹角为锐角，即cos 0θ>|||||sin a b a b θ⨯=，a 与b 的夹角，若(3,a =--(1,3)b =|a b ⨯=（ ）A ．3B ．23C ．2D ．432||||a b a b ⋅-=⨯|||||sin a b a b θ⨯==已知点(1,1)A -(3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）D ．3152- (2,1)AB =(5,5)CD =15AB CD ⋅=，|5AB =，|52CD =151010||||552a b a b θ⋅===⨯，投影为2||cos AB θ=． A (,1)A a ，(2,B 为平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（．543a b -= D ．5414a b +=OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则有OA OC OB OC ⋅=⋅，带入坐标，则有85b =+，即45a b -=．A向量a 的模为1，且a ，b 满足||4a b -=，||2a b +=，则b 在a 方向上的投影等|4a b -=两22216a b a b +-⋅=，|2a b +=两2224a b a b ++⋅=，两式相减得3a b ⋅=-，则投影为3||a b a ⋅=-． 答案：3- 25 在矩形ABCD 中，2，1BC =，的中点，若界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为（2．4 C ．2解析：如图，建立坐标系，设AE 与AF 夹角为θ，则||||cos AE AF AE AF θ⋅==2212()||cos 2AF θ+，||cos AF θ为AF 在AE 方向上的投影，由投影定义可知，只有点F 取点C 时，投影有最大值，此时19(2,)(2,1)22AE AF ⋅=⋅=． 答案：C如图，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，22BC =，G 是ABC 的重心，P 是ABC 内的任意一点（含边界），则BG BP ⋅的最大值为_____．解析：如图所示，2222225||413333BG BD AB AD ==+=+=， 25||||cos ||cos 3BG BP BG BP BP θθ⋅==，则BG BP ⋅的最大值即||cos BP θ最大，由投影定义可知，当P 与C 重合时，有最大值，由余弦定理得222581310cos 2102522BD BC CD BD BC θ+-+-===⋅⨯，则最大值25310||||cos 224310BG BP BG BC θ⋅==⨯⨯=．数学浪子整理制作，侵权必究。

高考数学重难点培优讲义之平面向量典型题型(含答案解析)

高考数学重难点培优讲义之平面向量典型题型(含答案解析)

平面向量【题型1 平面向量共线定理及其应用】 (4)【题型2 平面向量基本定理及其应用】 (5)【题型3 平面向量的数量积】 (7)【题型4 平面向量的模的问题】 (8)【题型5 平面向量夹角与垂直问题】 (9)【题型6 极化恒等式】 (10)【题型7 向量与解三角形综合】 (10)【题型8 向量与几何最值、范围问题】 (11)【题型9 向量在几何中的其他应用】 (12)平面向量是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来分析，平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，常常以平面图形为载体，考查数量积、模、夹角与垂直的条件等问题，也时也会与平面解析几何、三角函数、不等式等知识相结合，以工具的形式出现，试题难度中等.学生在高考复习中应注意加强对平面向量的数量积、模、夹角等知识的掌握，能灵活运用向量知识解决有关问题.【知识点1 平面向量线性运算问题的解题策略】1.平面向量线性运算问题的求解思路：(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.2.向量线性运算的含参问题的解题策略：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.3.利用共线向量定理解题的策略：(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.(3)若与不共线且，则(4)λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.【知识点2 平面向量基本定理的解题策略】1.应用平面向量基本定理求向量的实质应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.【知识点3 平面向量坐标运算的方法技巧】1.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.【知识点4 平面向量数量积问题的解题方法】1.平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.2.夹角与垂直问题根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.3.向量的模的求解思路：(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；(2)公式法：利用，把向量的模的运算转化为数量积运算；(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 【知识点5 极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++−=+r r r r r r .证明：不妨设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，则C A a b =+u u u r r r ，DB a b =−u u u r r r，()22222C AC A a ba ab b ==+=+⋅+u u u r u u u r r r r r r ①， ()222222DB DB a ba ab b ==−=−⋅+u u u r u u u r r r r r r r ②，①②两式相加得：()()22222222AC DB a b AB AD +=+=+u u u r u u u r r r u u u r u u u r .(2)极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+−−⎢⎥⎣⎦r rr r ————极化恒等式平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=−⎣⎦r r .(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14． 【知识点6 平面向量的应用的方法技巧】1.平面向量的应用的解题方法；平面向量的应用方向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，主要解题方法有：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.2.平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题型1 平面向量共线定理及其应用】【例1】（2023·江苏·统考模拟预测）在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在CD 上，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R)，则m =（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【变式1-1】（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）设e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −ke 2⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，若三点A ，B ，D 共线，则k 的值为（ ）A ．－8B ．8C ．6D ．－6【变式1-2】（2023·陕西安康·统考一模）已知O 是△ABC 内一点，2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若△AOB 与△ABC 的面积之比为47，则实数m 的值为（ ）A ．−103B ．103C ．−203D ．203【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）在△OAB 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点.若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0)，则λ+μ的最小值为（ ）A ．3+√35B ．2+2√37C ．3+2√35D ．3+2√25【题型2 平面向量基本定理及其应用】【例2】（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D 、E 分别AC 、BC 的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，F 是DE 的中点，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．12a +12b⃗ B ．−12a +12b⃗ C ．14a +12b⃗ D ．−14a +12b⃗【变式2-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在△ABC中BE⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ )，点P为AE与BF的交点，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ−μ=（）A．0B．14C．12D．34【变式2-2】（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为√5−12.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BF⊥AC,DH⊥AC,AE⊥BD,CG⊥BD，且点E为线段BO的黄金分割点，则BF⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A．3−√52BA⃗⃗⃗⃗⃗ +5+√510BG⃗⃗⃗⃗⃗ B．3−√52BA⃗⃗⃗⃗⃗ +5−√510BG⃗⃗⃗⃗⃗C．√5−12BA⃗⃗⃗⃗⃗ +5−√510BG⃗⃗⃗⃗⃗ D．3−√52BA⃗⃗⃗⃗⃗ +√55BG⃗⃗⃗⃗⃗【变式2-3】（2023·重庆江北·校考一模）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点且BD=2AD，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是∠ABC的平分线，则|BC||BA|=（）A．4B．3C．2D．12【题型3 平面向量的数量积】【例3】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量a =(1,2)，b ⃗ =(3,4)，c =(5,m )（m ∈R ），则(2a −b ⃗ )⋅c =（ ）A ．5B ．−5C ．5mD ．−5m【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量a ，b ⃗ 满足a =λb ⃗ (λ>0)，|b ⃗ |=2，|a −b ⃗ |=1，则(a +b ⃗ )⋅a =（ ）A ．3B ．15C ．-3或15D ．3或15【变式3-2】（2023·广东佛山·统考一模）设四边形ABCD 为矩形，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M ，N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．28B ．32C ．36D ．40【变式3-3】（2023·广东广州·华南师大附中校考一模）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥ CD,AB =5,AD =4,DC =1,E 是线段AB 上一点，且AE =4EB ，动点P 在以E 为圆心，1为半径的圆上，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为（ ）A ．√3−√21B ．2√3−6C ．√21−6D ．−√3【题型4 平面向量的模的问题】【例4】（2023·四川成都·成都七中校考一模）若向量a 、b ⃗ 满足：|a |=1，(a +b ⃗ )⊥a ，|2a −b ⃗ |=√10，则|b⃗ |=（ ） A ．2 B ．√2 C ．10 D ．√10【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量a =(x,1)，b ⃗ =(2,y)，c =(x,y).若(a +b ⃗ )⊥(a −b ⃗ )，且a //b ⃗ ，则|c |=（ ）A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【变式4-2】（2023·四川甘孜·统考一模）已知平面向量a ,b ⃗ ,|a |=2,|b ⃗ |=1，且a 与b ⃗ 的夹角为π3，则|a −2b⃗ |=（ ）A ．√5B ．4C ．2D ．0【变式4-3】（2023上·安徽·高二校联考期中）如图，在长方形 ABCD 中，AB =6,AD =4，点 P 满足DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,23]，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是（ ）A．[4,5]B．[8,10]C．[4,√17]D．[2√17,10]【题型5 平面向量夹角与垂直问题】【例5】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）向量a，b⃗满足|a|=4，|b⃗|=1，(2a−3b⃗)⋅b⃗=3，则向量a，b⃗夹角的余弦值为（）A．23B．34C．−34D．−23【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=(−1,−2)，b⃗=(4,−2)，若(a−λb⃗)⊥(a+μb⃗)，则（）A．4λμ=1B．4λμ=−1C．4(λ+μ)=1D．4(λ+μ)=−1【变式5-2】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知平面向量a=(2,0)，b⃗=(1,√3)，则向量a−b⃗与a−12b⃗的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC 中，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且O 为△ABC 的外心．若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且cos∠AOC ∈[13,23]，则μ的取值范围为（ ） A ．[23,56]B ．[15,310]C ．[43,53]D ．[15,35]【题型6 极化恒等式】【例6】（2023·福建宁德·校考二模）在平行四边形ABCD 中，已知DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ．【变式6-1】（2023·四川乐山·统考一模）已知正方形ABCD 边长为2√2，MN 是正方形ABCD 的外接圆的一条动弦，|MN |=2，P 为正方形ABCD 边上的动点，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .【变式6-2】（2022·全国·高一假期作业）设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅P 0C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则三角形ABC 形状为 .【变式6-3】（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6 的可移动的线段，AD =4，AB =8√3，BC =12 ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 .【题型7 向量与解三角形综合】【例7】（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知点O 为△ABC 的外心，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ <CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【变式7-1】（2023·山东济南·统考三模）在△ABC 中，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则△ABC 面积的最大值为（ ）A ．38B ．34C ．1D ．√52【变式7-2】（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）在△AOB 中，已知|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∠AOB =45°，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ+2μ=2，μ∈[0,1]，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为me （e 为与OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量），则m 的取值范围是（ ）A ．[−√22,1] B ．[√22,1] C ．(−√22,1] D ．(√22,1]【变式7-3】（2023下·江苏扬州·高一统考期中）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BCD =60°，∠ADC =150°，BE =3EC ，CD =2√33，BE =√3，若点F 为边AD 上的动点，则EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A ．1B ．1516C ．3132D ．2【题型8 向量与几何最值、范围问题】【例8】（2023·贵州毕节·统考二模）等腰三角形ABC 内接于半径为2的圆O 中，AB =AC =2，且M 为圆O 上一点，则MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为（ ）A ．2B ．5C ．14D ．16【变式8-1】（2023·山东日照·统考一模）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，P 是正六边形ABCDEF 边上任意一点，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．8 D ．2√3【变式8-2】（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形ABCD 中，动点E 从点B 出发，经过C ，D ，到达A ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的取值范围是（ ） A ．[−1,1] B ．[0,1] C ．[−1,2] D ．[0,2]【变式8-3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知△ABC 中，AB =AC =2√2，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =2(λ∈R )，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2α⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2α⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，α∈[π6,π3]，则|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为（ ） A ．[4√23,4√53] B ．[43,4√53] C ．[√173,√413] D ．[43,√413]【题型9 向量在几何中的其他应用】【例9】（2023·甘肃天水·统考二模）已知非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |且AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|·AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则△ABC 为（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形【变式9-1】（2023·江西抚州·校考模拟预测）△ABC 是等腰直角三角形，C =90°，AB =2，D 为AB 的中点，动点E 在边AC 上，线段CD 与BE 交于点P ，设t =BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当动点E 自点C 向点A 运动的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．t 一直增大B ．t 一直减小C ．t 先增大后减小D ．t 为定值【变式9-2】（2023·吉林·统考三模）已知A ､B 为平面上的两个定点，且|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，该平面上的动线段PQ 的端点P ､Q ，满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ） A ．36 B ．60C ．72D ．108【变式9-3】（2023·浙江·校联考二模）如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 的动点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值； B ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值； C ．|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |是定值； D ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2是定值．1．（2023·北京·统考高考真题）已知向量a ，b ⃗ 满足a +b ⃗ =(2,3),a −b ⃗ =(−2,1)，则|a |2−|b⃗ |2=（ ）A ．−2B ．−1C ．0D ．12．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a =(3,1),b ⃗ =(2,2)，则cos⟨a +b ⃗ ,a −b ⃗ ⟩=（ ） A ．117B ．√1717C ．√55D ．2√553．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a ,b ⃗ ,c 满足|a |=|b ⃗ |=1,|c |=√2，且a +b ⃗ +c =0⃗ ，则cos〈a −c ,b ⃗ −c 〉=（ ） A ．−45B ．−25C ．25D ．454．（2023·全国·统考高考真题）已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=√2，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为（ ） A ．1+√22B ．1+2√22C ．1+√2D ．2+√25．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a =(1,1),b ⃗ =(1,−1)，若(a +λb ⃗ )⊥(a +μb ⃗ )，则（ ） A ．λ+μ=1 B ．λ+μ=−1 C ．λμ=1 D ．λμ=−16．（2022·全国·统考高考真题）已知向量a =(2,1)，b ⃗ =(−2,4)，则|a −b ⃗ |（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．57．（2022·全国·统考高考真题）在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．3m ⃗⃗ −2n ⃗B ．−2m ⃗⃗ +3n ⃗C ．3m ⃗⃗ +2n ⃗D ．2m ⃗⃗ +3n ⃗8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a ，b ⃗ 满足|a −b ⃗ |=√3，|a +b ⃗ |=|2a −b ⃗ |，则|b ⃗ |= ．9．（2022·浙江·统考高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2⋯A 8的边A 1A 2上，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 12+PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+⋯+PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 82的取值范围是 ．10．（2022·天津·统考高考真题）在△ABC 中，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，D 是AC 中点，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试用a ,b ⃗ 表示DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为 ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则∠ACB 的最大值为 .平面向量小题【题型1 平面向量共线定理及其应用】 (4)【题型2 平面向量基本定理及其应用】 (6)【题型3 平面向量的数量积】 (9)【题型4 平面向量的模的问题】 (11)【题型5 平面向量夹角与垂直问题】 (13)【题型6 极化恒等式】 (15)【题型7 向量与解三角形综合】 (18)【题型8 向量与几何最值、范围问题】 (22)【题型9 向量在几何中的其他应用】 (25)平面向量是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来分析，平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，常常以平面图形为载体，考查数量积、模、夹角与垂直的条件等问题，也时也会与平面解析几何、三角函数、不等式等知识相结合，以工具的形式出现，试题难度中等.学生在高考复习中应注意加强对平面向量的数量积、模、夹角等知识的掌握，能灵活运用向量知识解决有关问题.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.2.向量线性运算的含参问题的解题策略：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.3.利用共线向量定理解题的策略：(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.(3)若与不共线且，则.(4)λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.【知识点2 平面向量基本定理的解题策略】1.应用平面向量基本定理求向量的实质应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.【知识点3 平面向量坐标运算的方法技巧】1.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【知识点4 平面向量数量积问题的解题方法】1.平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 2.夹角与垂直问题根据平面向量数量积的性质：若，夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.3.向量的模的求解思路：(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；(2)公式法：利用，把向量的模的运算转化为数量积运算；(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知识点5 极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++−=+.证明：不妨设,AB a AD b ==，则C A a b =+，DB a b =−，()22222C 2AC A a b a a b b ==+=+⋅+①， ()222222DB DB a ba ab b ==−=−⋅+②，①②两式相加得： ()()22222222AC DB a bAB AD+=+=+.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+−−⎢⎥⎣⎦————极化恒等式平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=−⎣⎦.(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14． 【知识点6 平面向量的应用的方法技巧】1.平面向量的应用的解题方法；平面向量的应用方向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，主要解题方法有：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.2.平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题型1 平面向量共线定理及其应用】【例1】（2023·江苏·统考模拟预测）在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在CD 上，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R)，则m =（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【解题思路】将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R)，利用共线定理推论可得. 【解答过程】因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13×32AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又P ，C ，D 三点共线，所以m +12=1，得m =12.故选：D.【变式1-1】（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）设e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −ke 2⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，若三点A ，B ，D 共线，则k 的值为（ ）A ．－8B ．8C ．6D ．－6【解题思路】根据三点A ，B ，D 共线，可得存在唯一实数λ使AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而可得出答案. 【解答过程】由已知得DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ −(2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )=−e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ ， ∵三点A ，B ，D 共线，∴存在唯一实数λ使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2e 1⃗⃗⃗ −ke 2⃗⃗⃗ =λ(−e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ )=−λe 1⃗⃗⃗ +4λe 2⃗⃗⃗ ， ∴{2=−λ−k =4λ ，解得{λ=−2k =8.故选：B.【变式1-2】（2023·陕西安康·统考一模）已知O 是△ABC 内一点，2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若△AOB 与△ABC 的面积之比为47，则实数m 的值为（ ）A ．−103B ．103C ．−203D ．203【解题思路】由2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 确定O 点的位置，再利用△AOB 与△ABC 的面积之比列方程来求得m 的值.【解答过程】由2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得25OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +35OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−m 5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设−m 5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +35OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .由于25+35=1，所以A ，B ，D 三点共线，如图所示， ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 反向共线，m >0，∴|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=m5，∴|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=m5m 5+1=mm+5，∴S△AOB S △ABC=|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=m m+5=47⇒m =203.故选：D.【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）在△OAB 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点.若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0)，则λ+μ的最小值为（ ）A ．3+√35B ．2+2√37C ．3+2√35D ．3+2√25【解题思路】利用平面向量共线定理的推论得到λ、μ的关系，进而利用均值定理即可求得λ+μ的最小值 【解答过程】由A 、M 、D 三点共线，可得存在实数t ，使OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(1−t)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 又由B 、M 、C 三点共线，可得存在实数m ，使得 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(1−m)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 则{t =13(1−m)m =12(1−t) ，解之得{t =15m =25，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25OB ⃗⃗⃗⃗⃗又OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0)， 则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ +25μOF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由E 、M 、F 三点共线，可得15λ+25μ=1 则λ+μ=(λ+μ)(15λ+25μ)=35+μ5λ+2λ5μ≥35+2√μ5λ×2λ5μ=3+2√25（当且仅当λ=√2+15，μ=√2+25时等号成立） 则λ+μ的最小值为3+2√25， 故选：D.【题型2 平面向量基本定理及其应用】【例2】（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D 、E 分别AC 、BC 的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，F 是DE 的中点，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．12a +12b⃗ B ．−12a +12b⃗ C ．14a +12b⃗ D ．−14a +12b⃗ 【解题思路】根据向量的运算，利用基底向量a ,b ⃗ 表示AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可. 【解答过程】因为点D 、E 分别BC 的中点，F 是DE 的中点， 所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 即AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +12b ⃗ . 故选：C.【变式2-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在△ABC 中BE⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，点P 为AE 与BF 的交点，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ−μ=（ ） A ．0B ．14C ．12D ．34【解题思路】利用平面向量基本定理得到AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12kAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而列出方程组，求出k,m ，得到λ=12,μ=14，求出答案.【解答过程】因为BF⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以F 为AC 中点， B,P,F 三点共线，故可设BP⃗⃗⃗⃗⃗ =kBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =kAF ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12kAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AE⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， A,P,E 三点共线，可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m (13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以{2m3=1−km 3=12k ，解得{k =12m =34，可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=12,μ=14，λ−μ=14. 故选：B.【变式2-2】（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为√5−12.如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，BF ⊥AC,DH ⊥AC,AE ⊥BD,CG ⊥BD ，且点E 为线段BO 的黄金分割点，则BF⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．3−√52BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5+√510BG ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．3−√52BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5−√510BG ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．√5−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗+5−√510BG⃗⃗⃗⃗⃗ D ．3−√52BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +√55BG⃗⃗⃗⃗⃗ 【解题思路】由题意得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√5−12BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合矩形的特征可用BG ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【解答过程】由题意得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√5−12BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，显然BE =DG ，BO =OD =12BD ， 同理有AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√5−12AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =√5−12DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BG⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−√5−12)BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =5−√52BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =5−√5⃗⃗ =√5(√5−1)⃗⃗ ， 因为BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +√5−12AO ⃗⃗⃗⃗⃗=BA⃗⃗⃗⃗⃗ +√5−12(BO ⃗⃗⃗⃗⃗−BA⃗⃗⃗⃗⃗ )=3−√52BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +√5−12BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3−√52BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +√55BG⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选：D.【变式2-3】（2023·重庆江北·校考一模）如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上一点且BD =2AD ，E 是边BC 的中点，直线AE 和直线CD 交于点F ，若BF 是∠ABC 的平分线，则|BC ||BA |=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12【解题思路】首先根据BF 是∠ABC 的平分线，则存在一个实数λ使得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(BA ⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+BC ⃗⃗⃗⃗⃗|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)， 再替换向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量基本定理的推论，即可求解. 【解答过程】因为BF 是∠ABC 的平分线，所以存在一个实数λ使得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）因为E 是边BC 的中点，所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+2BE⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)，又点A ，E ，F 共线，所以λ|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+2λ|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1①．（三点共线的应用：OA⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1） 因为BD =2AD ，所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(32BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+BC ⃗⃗⃗⃗⃗|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)，又点C ，F ，D 共线，所以3λ2|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+λ|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1②，联立①②，得12|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=1|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，即|BC ||BA |=2. 故选：C ．【题型3 平面向量的数量积】【例3】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量a =(1,2)，b ⃗ =(3,4)，c =(5,m )（m ∈R ），则(2a −b ⃗ )⋅c =（ ）A ．5B ．−5C ．5mD ．−5m【解题思路】求出向量2a −b ⃗ 的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案. 【解答过程】由题意向量a =(1,2)，b ⃗ =(3,4)，c =(5,m )可得2a −b ⃗ =(−1,0)， 故(2a −b ⃗ )⋅c =(−1,0)⋅(5,m)=−5， 故选：B.【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量a ，b ⃗ 满足a =λb ⃗ (λ>0)，|b ⃗ |=2，|a −b ⃗ |=1，则(a +b ⃗ )⋅a =（ ）A ．3B ．15C ．-3或15D ．3或15【解题思路】对|a −b ⃗ |=1两边同时平方，将a =λb ⃗ (λ>0)代入可求出λ的值，可求出|a |，代入(a +b ⃗ )⋅a 即可得出答案.【解答过程】因为向量a =λb ⃗ (λ>0)，所以a ⋅b ⃗ =|a |·|b ⃗ |=λ|b ⃗ |2=4λ， 又|a −b ⃗ |2=|a |2−2a ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2=4λ2−8λ+4=1， 解得:λ=12或32，即|a |=1或|a |=，所以当|a |=1时，(a +b ⃗ )⋅a =a ⋅b ⃗ +|a |2=2+1=3； 当|a |=3时，(a +b ⃗ )⋅a =a ⋅b ⃗ +|a |2=6+9=15， 故(a +b ⃗ )⋅a =3或15． 故选：D.【变式3-2】（2023·广东佛山·统考一模）设四边形ABCD 为矩形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M ，N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．28B ．32C ．36D ．40【解题思路】根据矩形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案.【解答过程】由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；由DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 在矩形ABCD 中，由AB ⊥AD ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×36+14×16=28.故选：A.【变式3-3】（2023·广东广州·华南师大附中校考一模）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥ CD,AB =5,AD =4,DC =1,E 是线段AB 上一点，且AE =4EB ，动点P 在以E 为圆心，1为半径的圆上，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为（ ）A ．√3−√21B ．2√3−6C ．√21−6D ．−√3【解题思路】过点D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，通过坐标运算和数量积的定义来求解最值. 【解答过程】过点D 作DO ⊥AB ，垂足为O ， 以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (−2,0),C(1,2√3),D(0,2√3),E (2,0)，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 其中DE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2√3)⋅(3,2√3)=6−12=−6， EP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=1×√9+12cos⟨EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=√21cos⟨EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩， 当cos⟨EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=1，即EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值√21， 所以DP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为√21−6.故选：C.【题型4 平面向量的模的问题】【例4】（2023·四川成都·成都七中校考一模）若向量a 、b ⃗ 满足：|a |=1，(a +b ⃗ )⊥a ，|2a −b ⃗ |=√10，则|b⃗ |=（ ） A ．2B ．√2C ．10D ．√10【解题思路】由平面向量垂直可得出a ⋅b ⃗ =−1，再利用平面向量数量积的运算性质可求得|b ⃗ |的值. 【解答过程】因为向量a 、b ⃗ 满足：|a |=1，(a +b ⃗ )⊥a ，|2a −b ⃗ |=√10， 则(a +b ⃗ )⋅a =a 2+a ⋅b ⃗ =1+a ⋅b ⃗ =0，所以，a ⋅b ⃗ =−1， 所以，|2a −b ⃗ |2=4a 2−4a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4+4+|b ⃗ |2=10，故|b ⃗ |=√2. 故选：B.【变式4-1】（2023·全国·a =(x,1)，b ⃗ =(2,y)，c =(x,y).若(a +b ⃗ )⊥(a −b ⃗ )，且a //b ⃗ ，则|c |=（ ）A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【解题思路】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为(a +b ⃗ )⋅(a −b ⃗ )=a 2−b ⃗ 2=0，然后利用向量的模的坐标运算公式和向量共线的坐标关系得到方程组，求解即得x,y 的值，进而计算向量c =(x,y)的模. 【解答过程】因为a =(x,1)，b⃗ =(2,y)， 由(a +b ⃗ )⊥(a −b ⃗ )可得，(a +b ⃗ )⋅(a −b ⃗ )=a 2−b ⃗ 2=0， 即(x 2+1)−(4+y 2)=0，整理得x 2−y 2=3. 又因为a ∥b⃗ ，所以xy =2， 联立{x 2−y 2=3xy =2，解得{x =2y =1 或{x =−2y =−1 ，故|c |=√x 2+y 2=√5， 故选C.【变式4-2】（2023·四川甘孜·统考一模）已知平面向量a ,b ⃗ ,|a |=2,|b ⃗ |=1，且a 与b ⃗ 的夹角为π3，则|a −2b⃗ |=（ ）A ．√5B ．4C ．2D ．0【解题思路】|a −2b ⃗ |平方展开后，利用向量的数量积定义进行运算即可. 【解答过程】因为|a −2b ⃗ |2=a 2−4a ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2 =4−4×2×1×cos π3+4=4， 所以|a −2b ⃗ |=2， 故选：C.【变式4-3】（2023上·安徽·高二校联考期中）如图，在长方形 ABCD 中，AB =6,AD =4，点 P 满足DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,23]，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是（ ）A ．[4,5]B ．[8,10]C ．[4,√17]D ．[2√17,10]【解题思路】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到P (6λ,4)，λ∈[0,23]，从而求出|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(6−12λ)2+64，求出最值.【解答过程】以A 为坐标原点，AB,AD 所在直线分别为x,y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (0,0),B (6,0),D (0,4),C (6,4)，设P (s,t )，因为DP⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(s,t −4)=λ(6,0)，即s =6λ,t =4， 故P (6λ,4)，λ∈[0,23]，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6λ,−4)+(6−6λ,−4)=(6−12λ,−8)， 则|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(6−12λ)2+64，因为λ∈[0,23]，所以6−12λ∈[−2,6]，(6−12λ)2∈[0,36]， 故|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(6−12λ)2+64∈[8,10].故选：B.【题型5 平面向量夹角与垂直问题】【例5】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）向量a ，b ⃗ 满足|a |=4，|b ⃗ |=1，(2a −3b ⃗ )⋅b ⃗ =3，则向量a ，b⃗ 夹角的余弦值为（ ） A ．23B ．34C ．−34D ．−23【解题思路】由|a |=4，|b ⃗ |=1，且(2a −3b ⃗ )·b ⃗ =2，从而可求解. 【解答过程】由题意知|a |=4，|b⃗ |=1， 又因为(2a −3b ⃗ )⋅b ⃗ =2a ⋅b ⃗ −3b ⃗ 2=2|a ||b ⃗ |cos⟨a ,b ⃗ ⟩−3|b ⃗ |2=3， 解之得：cos⟨a ,b ⃗ ⟩=34，故B 项正确 故选：B.【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量a =(−1,−2)，b ⃗ =(4,−2)，若(a −λb ⃗ )⊥(a +μb ⃗ )，则（ ）A ．4λμ=1B ．4λμ=−1C ．4(λ+μ)=1D ．4(λ+μ)=−1【解题思路】用坐标表示向量a −λb ⃗ ,a +μb ⃗ ，根据向量垂直的坐标运算建立方程，并化简得结果. 【解答过程】法一：用坐标表示向量a −λb ⃗ ,a +μb⃗ 由题意可知，a −λb ⃗ =(−1−4λ,−2+2λ),a +μb ⃗ =(−1+4μ,−2−2μ)， 由(a −λb ⃗ )⊥(a +μb⃗ )得， (−1−4λ)(−1+4μ)+(−2+2λ)(−2−2μ)=0， 整理得，5−20λμ=0，。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。

二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。

二、常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b= (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.思路分析：与a平行的单位向量e=±|a|方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++-55185512101334229y x 1y x 13)()(或　解得）＋（）－（y x y x ，故填 (512,-51)或(518,-59) 方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4)，故可得a ＝±(-53,54)，从而向量a 的终点坐标是(x ,y )= a －(3,－1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少思路分析：要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |,|y |,x ·y 的值.计算时要注意计算的准确性. 解：由已知|a |=|b |=1，a 与b 的夹角α为60°,得a ·b =|a ||b |cosα=21. 要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |，|y |，x ·y 的值. ∵|x |2=x 2=(2a －b )2=4a 2－4a ·b +b 2=4－4×21+1=3， |y |2=y 2=(3b －a )2=9b 2－6b ·a +a 2=9－6×21+1=7. x ·y =(2a －b )·(3b －a )=6a ·b －2a 2－3b 2+a ·b =7a ·b －2a 2－3b 2 =7×21－2－3=－23， 又∵x ·y =|x ||y |cosθ，即－23=3×7cosθ， ∴cosθ=－1421点评：①本题利用模的性质|a |2=a 2，②在计算x ,y 的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB =b , AC =a , AD =2a ,∠BAC =60°.由向量减法的几何意义，得BD =AD －AB =2a －b .由余弦定理易得|BD |=3，即|x |=3，同理可得|y |=7.题型二：向量共线与垂直条件的考查例1．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C 满足OC OA OB =α+βu u u r u u u r u u u r，其中α，β∈R 且α+β=1，求点C 的轨迹方程。

.解：（法一）设C (x ,y )，则OC =(x ,y )，由OC =(x ,y )= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)∴⎩⎨⎧+=-=βαβα33y x , （可从中解出α、β）又∵α+β＝1 消去α、β得x +2y -5=0（法二） 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A ，B ，C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线AB 的方程x ＋2y －5=0， 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21,23).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间.思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k 与t 之间的等量关系，k 与t 之间的等量关系怎么得到②求函数单调区间有哪些方法（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法解：（1）法一：由题意知x ＝(23322--t ,223232--t ),y ＝(21t －3k ，23t ＋k)，又x ⊥y故x · y ＝23322--t ×（21t －3k ）＋223232--t ×(23t ＋k)＝0.整理得：t 3－3t －4k ＝0，即k ＝41t 3－43t. 法二：∵a ＝(3，－1)，b ＝(21, 23), ∴. a ＝2，b ＝1且a ⊥b ∵x ⊥y ，∴x · y ＝0，即－k a 2＋t(t 2－3)b 2＝0，∴t 3－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－43t(2) 由(1)知：k ＝f(t) ＝41t 3－43t ∴k ˊ＝f ˊ(t) ＝43t 3－43, 令k ˊ＜0得－1＜t ＜1；令k ˊ＞0得t ＜－1或t ＞1.故k ＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）. 点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例3： 已知平面向量a ϖ＝(3，－1)，b ϖ＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量cϖ＝a ϖ＋(sin α－3)b ϖ,d ϖ＝－k a ϖ＋(sin α)b ϖ,且c ϖ⊥d ϖ，试求实数k 的取值范围.解：由条件可得：k ＝41( sin α－23)2－169,而－1≤sin α≤1, ∴当sin α＝－1时，k 取最大值1； sin α＝1时，k 取最小值－21. 又∵k ≠0 ∴k 的取值范围为 1[,0)(0,1]2-U .点拨与提示：将例题中的t 略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==，若正数k 和t 使得向量b ta k yb t a x 1)1(2+-=++=与垂直，求k 的最小值.解：0)1(])1([02=+-•++=⋅⇔⊥tk t 即∵)1,2(),2,1(-==，∴||=3，|b |=3⋅＝－2＋2 ， 代入上式 －3k ＋32112≥+=+tt t t 当且仅当t=t1，即t=1时，取“＝”号，即k 的最小值是2.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n) (m ﹤2π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求实数m 、n 的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解： (1)依题设，f(x )＝（2cos x ，1）·(cos x ,3sin2x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋6π) 由1＋2sin(2x ＋6π)=1－3，得sin(2x ＋6π)＝－23.∵－3π≤x ≤3π , ∴－2π≤2x ＋6π≤65π, ∴2x ＋6π=－3π, 即x ＝－4π.（2）函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝（m , n ）平移后得到函数y ＝2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y ＝f(x )的图象.由(1)得f (x )＝1)12(2sin 2++πx ∵m ＜2π， ∴m ＝－12π，n ＝1.点评： ①把函数的图像按向量平移，可以看成是C 上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C ˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y ＝f (x )的图象按向量a ＝(h , k)平移后的函数解析式为y －k ＝f （x －h ）、例8：已知a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证： a +b 与a -b 互相垂直； （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α解：（1）证法一：∵a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）∴a +b ＝（cosα+cosβ，sin α+ sinβ）, a -b ＝（cosα-cosβ，sin α- sinβ） ∴(a +b )·(a -b )=（cosα+cosβ，sin α+ sinβ）·（cosα-cosβ，sin α- sinβ）=cos 2α-cos 2β+sin 2α- sin 2β=0∴(a +b )⊥(a -b )证法二：∵a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ） ∴|a |＝1，|b |＝1 ∴(a +b )·(a -b )= a 2-b 2=|a |2-|b |2=0 ∴(a +b )⊥(a -b ) 证法三：∵a =（cos α，sin α）,b =（cos β,sin β）∴|a |＝1，|b |＝1, 记＝a ，＝b ，则||＝||=1, 又α≠β，∴O 、A 、B 三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA 、OB 为邻边的平行四边形OACB 是菱形，其中＝a +b ，＝a -b ，由菱形对角线互相垂直，知(a +b )⊥(a -b )（2）解：由已知得|k a +b |与|a -k b |,又∵|k a +b |2＝(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k 2+1+2kcos (β－α),|k a +b |2＝(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=k 2+1-2kcos (β－α), ∴2kcos (β－α)= -2kcos (β－α) 又∵k ≠0 ∴cos (β－α)＝0∵0<α<β<π ∴0<β－α<π, ∴β－α=2π注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明. 题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。

相关文档
最新文档