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2016年高考江苏卷数学试题解析

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2016年江苏高考数学试题及答案

2016年江苏高考数学试题及答案

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=______．2．（5分）（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是______．3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______．5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是______．6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是______．7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）（2016•江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是______．9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是______．11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是______．12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是______．13．（5分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是______．14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．19．（16分）（2016•江苏）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．20．（16分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．24．（2016•江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（2016•江苏）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC +（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）（2016•江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题．10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，13]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．17．（14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（16分）（2016•江苏）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2，b x＞0，则g（x）＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．24．（2016•江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（2016•江苏）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC +（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．祝福语祝你考试成功!。

江苏数学高考试卷含答案和解析

江苏数学高考试卷含答案和解析

2016年江苏数学高考试卷含答案和解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12016年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.则A∩B=______．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是______．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是______．5．（5分）函数y=的定义域是______．6．（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是______．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）已知{a n}是等差数列.S n是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是______．9．（5分）定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．10．（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是______．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f（）.则f（5a）的值是______．12．（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是______．13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.•=4.•=﹣1.则•的值是______．14．（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题.满分90分）15．（14分）在△ABC中.AC=6.cosB=.C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2.4）．（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．（1）设a=2.b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1.b＞1.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.求ab的值．20．（16分）记U={1.2.….100}.对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T.若T=∅.定义S T=0；若T={t1.t2.….t k}.定义S T=++…+．例如：T={1.3.66}时.S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100）.若T⊆{1.2.….k}.求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U.D⊆U.S C≥S D.求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E为BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）.椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长．24．设a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l：x﹣y﹣2=0.抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m.n∈N*.n≥m.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏数学参考答案与试题解析一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.则A∩B={﹣1.2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.∴A∩B={﹣1.2}.故答案为：{﹣1.2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算.难度不大.属于基础题．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是 5 ．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i.则z的实部是5.故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量.即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中.a=.b=.∴c==.∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质.考查学生的计算能力.比较基础．4．（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是0.1 ．【分析】先求出数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数.由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1.∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）函数y=的定义域是[﹣3.1] ．【分析】根据被开方数不小于0.构造不等式.解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0.解得：x∈[﹣3.1].故答案为：[﹣3.1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域.二次不等式的解法.难度不大.属于基础题．6．（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是9 ．【分析】根据已知的程序框图可得.该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值.模拟程序的运行过程.可得答案．【解答】解：当a=1.b=9时.不满足a＞b.故a=5.b=7.当a=5.b=7时.不满足a＞b.故a=9.b=5当a=9.b=5时.满足a＞b.故输出的a值为9.故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图.当循环次数不多.或有规律可循时.可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.基本事件总数为n=6×6=36.出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4.6）.（6.4）.（5.5）.（5.6）.（6.5）.（6.6）.共6个.∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）已知{a n}是等差数列.S n是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是20 ．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组.求出首项和公差.由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列.S n是其前n项和.a1+a22=﹣3.S5=10.∴.解得a1=﹣4.d=3.∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7 ．【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象如下：由图可知.共7个交点．故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象.作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象是关键.属于中档题．10．（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c.0）.将y=代入椭圆方程求得B.C的坐标.运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.结合离心率公式.计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c.0）.将y=代入椭圆方程可得x=±a=± a.可得B（﹣ a.）.C（ a.）.由∠BFC=90°.可得k BF•k CF=﹣1.即有•=﹣1.化简为b2=3a2﹣4c2.由b2=a2﹣c2.即有3c2=2a2.由e=.可得e2==.可得e=.故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法.注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.考查化简整理的运算能力.属于中档题．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f（）.则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性.结合f（﹣）=f（）.可得a值.进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a.f（）=f（）=|﹣|=.∴a=.∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣.故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用.函数的周期性.根据已知求出a值.是解答的关键．12．（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是[.13] ．【分析】作出不等式组对应的平面区域.利用目标函数的几何意义.结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域.设z=x2+y2.则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方.由图象知A到原点的距离最大.点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小.由得.即A（2.3）.此时z=22+32=4+9=13.点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==.则z=d2=（）2=.故z的取值范围是[.13].故答案为：[.13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用.涉及距离的计算.利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.•=4.•=﹣1.则•的值是．【分析】由已知可得=+.=﹣+.=+3.=﹣+3.=+2.=﹣+2.结合已知求出2=.2=.可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.∴=+.=﹣+.=+3.=﹣+3.∴•=2﹣2=﹣1.•=92﹣2=4.∴2=.2=.又∵=+2.=﹣+2.∴•=42﹣2=.故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算.平面向量的线性运算.难度中档．14．（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是8 ．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.进而得到tanB+tanC=2tanBtanC.结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC.sinA=2sinBsinC. 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.①由三角形ABC为锐角三角形.则cosB＞0.cosC＞0.在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC.又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②.则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC.由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣.令tanBtanC=t.由A.B.C为锐角可得tanA＞0.tanB＞0.tanC＞0.由②式得1﹣tanBtanC＜0.解得t＞1.tanAtanBtanC=﹣=﹣.=（）2﹣.由t＞1得.﹣≤＜0.因此tanAtanBtanC的最小值为8.当且仅当t=2时取到等号.此时tanB+tanC=4.tanBtanC=2.解得tanB=2+.tanC=2﹣.tanA=4.（或tanB.tanC互换）.此时A.B.C均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识.有一定灵活性．二、解答题（共6小题.满分90分）15．（14分）在△ABC中.AC=6.cosB=.C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理.即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA.利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中.cosB=.∴sinB=.∵.∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角.∴sinA=.∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【点评】本题考查正弦定理.考查两角和差的余弦公式.考查学生的计算能力.属于基础题．16．（14分）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC.进而DE∥A1C1.据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D.进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D.E分别为AB.BC的中点.∴DE为△ABC的中位线.∴DE∥AC.∵ABC﹣A1B1C1为棱柱.∴AC∥A1C1.∴DE∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1F.且DE⊄平面A1C1F.∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱.∴AA1⊥平面A1B1C1.∴AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1.且AA1∩A1B1=A1.AA1、A1B1⊂平面AA1B1B.∴A1C1⊥平面AA1B1B.∵DE∥A1C1.∴DE⊥平面AA1B1B.又∵A1F⊂平面AA1B1B.∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥B1D.DE∩B1D=D.且DE、B1D⊂平面B1DE.∴A1F⊥平面B1DE.又∵A1F⊂平面A1C1F.∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明.以及平面与平面相互垂直的证明.把握常用方法最关键.难度不大．17．（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.可得PO1=2m时.O1O=8m.进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m.代入体积公式.求出容积的表达式.利用导数法.可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m.正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m.∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3.（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m.则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x.（0＜x＜6）.∴V′=﹣26x2+312.（0＜x＜6）.当0＜x＜2时.V′＞0.V（x）单调递增；当2＜x＜6时.V′＜0.V（x）单调递减；故当x=2时.V（x）取最大值；即当PO1=2m时.仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积.导数法求函数的最大值.难度中档．18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2.4）．（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6.n）.则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2.n＞0.从而得到|7﹣n|=|n|+5.由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2.k OA=2.设l：y=2x+b.则圆心M到直线l的距离：d=.由此能求出直线l的方程．（3）=.即||=.又||≤10.得t∈[2﹣2.2+2].对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上.∴设N（6.n）.∵圆N与x轴相切.∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2.n＞0.又圆N与圆M外切.圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0.即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25.∴|7﹣n|=|n|+5.解得n=1.∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2.k OA=2.设l：y=2x+b.则圆心M到直线l的距离：d==.则|BC|=2=2.BC=2.即2=2.解得b=5或b=﹣15.∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=.即.即||=||.||=.又||≤10.即≤10.解得t∈[2﹣2.2+2].对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.此时.||≤10.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.必然与圆交于P、Q两点.此时||=||.即.因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2.2+2].．【点评】本题考查圆的标准方程的求法.考查直线方程的求法.考查实数的取值范围的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．（1）设a=2.b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1.b＞1.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.求ab的值．【分析】（1）①利用方程.直接求解即可．②列出不等式.利用二次函数的性质以及函数的最值.转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2.求出函数的导数.构造函数h（x）=+.求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0.g（x）至少有两个零点.与条件矛盾．②若g（x0）＞0.利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.推出g（x0）=0.然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．（1）设a=2.b=．①方程f（x）=2；即：=2.可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.即≥m（）﹣6恒成立．令t=.t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时.恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4.∴m∈（﹣∞.4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2.g′（x）=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb.0＜a＜1.b＞1可得.令h（x）=+.则h（x）是递增函数.而.lna＜0.lnb＞0.因此.x0=时.h（x0）=0.因此x∈（﹣∞.x0）时.h（x）＜0.a x lnb＞0.则g′（x）＜0．x∈（x0.+∞）时.h（x）＞0.a x lnb＞0.则g′（x）＞0.则g（x）在（﹣∞.x0）递减.（x0.+∞）递增.因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0.x＜log a2时.a x＞=2.b x＞0.则g（x）＞0.因此x1＜log a2.且x1＜x0时.g（x1）＞0.因此g（x）在（x1.x0）有零点.则g（x）至少有两个零点.与条件矛盾．②若g（x0）＞0.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.g（x）的最小值为g（x0）.可得g（x0）=0.由g（0）=a0+b0﹣2=0.因此x0=0.因此=0.﹣=1.即lna+lnb=0.ln（ab）=0.则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用.函数的导数的应用.基本不等式的应用.函数恒成立的应用.考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）记U={1.2.….100}.对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T.若T=∅.定义S T=0；若T={t1.t2.….t k}.定义S T=++…+．例如：T={1.3.66}时.S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100）.若T⊆{1.2.….k}.求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U.D⊆U.S C≥S D.求证：S C+S C∩D≥2S D．【分析】（1）根据题意.由S T的定义.分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30.计算可得a2=3.进而可得a1的值.由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意.由S T的定义.分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1.由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D）.B=∁D（C∩D）.则A∩B=∅.进而分析可以将原命题转化为证明S C ≥2S B.分2种情况进行讨论：①、若B=∅.②、若B≠∅.可以证明得到S A≥2S B.即可得证明．【解答】解：（1）当T={2.4}时.S T=a2+a4=a2+9a2=30.因此a2=3.从而a1==1.故a n=3n﹣1.（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1.（3）设A=∁C（C∩D）.B=∁D（C∩D）.则A∩B=∅.分析可得S C=S A+S C∩D.S D=S B+S C∩D.则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B.因此原命题的等价于证明S C≥2S B.由条件S C≥S D.可得S A≥S B.①、若B=∅.则S B=0.故S A≥2S B.②、若B≠∅.由S A≥S B可得A≠∅.设A中最大元素为l.B中最大元素为m.若m≥l+1.则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾.因为A∩B=∅.所以l≠m.则l≥m+1.S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=.即S A≥2S B.综上所述.S A≥2S B.故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用.涉及新定义的内容.解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E为BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意.知∠BDC=90°.∠EDC=∠C.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°.可得∠ABD=∠C.从而可证得结论．【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°.因为E为BC的中点.所以DE=CE=BC.则：∠EDC=∠C.由∠BDC=90°.可得∠C+∠DBC=90°.由∠ABC=90°.可得∠ABD+∠DBC=90°.因此∠ABD=∠C.而∠EDC=∠C.所以.∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°.证得∠ABD=∠C 是关键.属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB．【分析】依题意.利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==.再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=.∴B=（B﹣1）﹣1==.又A=.∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵.考查矩阵乘法的性质.属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）.椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程.然后联立方程组.求出直线与椭圆的交点坐标.代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由.由②得.代入①并整理得.．由.得.两式平方相加得．联立.解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程.考查了参数方程化普通方程.考查直线与椭圆位置关系的应用.是基础题．24．设a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|.结合不等式的基本性质.即可得证．【解答】证明：由a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a.则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明.注意运用绝对值不等式的性质.以及不等式的简单性质.考查运算能力.属于基础题．附加题【必做题】25．（10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l：x﹣y﹣2=0.抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标.然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1.y1）.Q（x2.y2）.通过抛物线方程.求解k PQ.通过P.Q关于直线l对称.点的k PQ=﹣1.推出.PQ的中点在直线l上.推出=2﹣p.即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p.﹣p）．推出.得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0.有两个不相等的实数根.列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0.∴l与x轴的交点坐标（2.0）.即抛物线的焦点坐标（2.0）．∴.∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1.y1）.Q（x2.y2）.则：.即：.k PQ==.又∵P.Q关于直线l对称.∴k PQ=﹣1.即y1+y2=﹣2p.∴.又PQ的中点在直线l上.∴==2﹣p.∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p.﹣p）．∴.即∴.即关于y2+2py+4p2﹣4p=0.有两个不相等的实数根.∴△＞0.（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0.∴p∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法.直线与抛物线的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m.n∈N*.n≥m.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*.当n=m时.验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立.推导出当n=k+1时.命题也成立.由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*.①当n=m时.左边=（m+1）=m+1.右边=（m+1）=m+1.等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立.即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1）. 当n=k+1时.左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=.右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2）.∴=（m+1）.∴左边=右边.∴n=k+1时.命题也成立.∴m.n∈N*.n≥m.（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【点评】本题考查组合数的计算与证明.是中档题.解题时要认真审题.注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

2016江苏省高考数学真题(含答案)

2016江苏省高考数学真题(含答案)

2016年江苏数学高考试题数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.5.函数y 的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -=，则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长；（2）求πcos(6A -)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的四倍.(1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程； (3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

2016年江苏高考数学试题(解析版)

2016年江苏高考数学试题(解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ． 【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2A B =- ．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】【解析】c ==，因此焦距为2c =4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； 【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y =的定义域是 ． 【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-． 6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ．【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56； 【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是． 【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．FC BOyx【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎭， 由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ===． 11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ． 【答案】25-；【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-． 12. 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是 ．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下xyB A –1–2–3–41234–1–2–3–4123422x y+为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线220x y+-=的距离，d，则()22min45x y+=，图中B点距离原点最远，B点为240x y-+=与330x y--=交点，则()2,3B，则()22max13x y+=．13.如图，在ABC△中，D是BC的中点，,E F是AD上两个三等分点，4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-，则BE CE⋅的值是．【答案】78；【解析】令DF a=，DB b=，则DC b=-，2DE a=，3DA a=，则3BA a b=-，3CA a b=+，2BE a b=-，2CE a b=+，BF a b=-，CF a b=+，则229BA CA a b⋅=-，22BF CF a b⋅=-，224BE CE a b⋅=-，由4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-可得2294a b-=，221a b-=-，因此22513,88a b==，因此22451374888BE CE a b⨯⋅=-=-=．14.在锐角三角形ABC中，sin2sin sinA B C=，则tan tan tanA B C的最小值是．【答案】8；【解析】由()()sin sinπsin sin cos cos sinA ABC B C B C=-=+=+，sin2sin sinA B C=，可得sin cos cos sin2sin sinB C B C B C+=（*），由三角形ABC为锐角三角形，则cos0,cos0B C>>，在（*）式两侧同时除以cos cosB C可得tan tan2tan tanB C B C+=，又()()tan tantan tanπtan1tan tanB CA AB CB C+=--=-+=--(#)，则tan tantan tan tan tan tan1tan tanB CA B C B CB C+=-⨯-，由tan tan2tan tanB C B C+=可得()22tan tantan tan tan1tan tanB CA B CB C=--，令tan tanB C t=，由,,A B C为锐角可得tan0,tan0,tan0A B C>>>，由(#)得1tan tan0B C-<，解得1t>FED CBA2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---， 221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =． ⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴． 【解析】⑴ 4cos 5B =，B 为三角形的内角 3sin 5B ∴= sinC sin AB ACB=635=，即：AB = ⑵ ()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A ∴=又A 为三角形的内角sin A ∴=π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上， 且11B D A F ⊥，1111A C A B ⊥． 求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．【答案】见解析；【解析】⑴ ,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线//DE AC ∴又111ABC A B C - 为棱柱，11//AC A C ∴11//DE A C ∴，又11A C ⊂ 平面11A C F ，且11DE A C F ⊄ //DE ∴平面11A C F ；⑵ 111ABC A B C - 为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C111AA A C ∴⊥，又1111A C A B ⊥且1111AA A B A = ，111,AA A B ⊂平面11AA B B 11A C ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE A C ，DE ∴⊥平面11AA B B 又1A F ⊂ 平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥又11A F B D ⊥ ，1DE B D D = ，且1,DE B D ⊂平面1B DE 1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F A C F ⊂ ∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍． ⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵m ； 【解析】⑴ 12m PO =，则18m OO =，FEDC BAC 1B 1A 11A1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ；⑵ 设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11m A O =，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<， ()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =时，()V x 取到最大值，即1m PO =时，仓库的容积最大．18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 及其上一点()2,4A ．⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣【解析】⑴ 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=；⑵ 由题意得OA =，2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d则BC ==BC =，即=，解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-；⑶ TA TP TQ += ，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ = ，，又10PQ≤,10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ = ，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．19. （本小题满分14分）已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． ⑴ 设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；【解析】⑴ ① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122x xt =+，则由20x >可得2t =≥， 此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t +=+≤恒成立 ∵2t ≥时44t t +=≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x xxxa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ， 可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=， 因此00x =，因此ln log 0ln b aa b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．20. （本小题满分14分）记{}1,2,,100U = ．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t = ，定义12k T t t t S a a a =+++ ．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++． 现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆ ，求证：1T k S a +<； ⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D D S S S + ≥． 【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；【解析】⑴ 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=； ⑵ 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<= ≤；⑶ 设()C A C D = ð，()D B C D = ð，则A B =∅ ，C A C D S S S =+ ，D B C D S S S =+ ，22C C D D A B S S S S S +-=- ，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ， 若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾． 因为A B =∅ ，所以l m ≠，所以1l m +≥， 211123113332222m m m l A B m a a S S a a a -+-+++=++++=< ≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C C D D S S S + ≥．数学Ⅱ（附加题）21. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点． 求证：EDC ABD ∠=∠．【答案】详见解析；【解析】由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==， 则EDC C ∠=∠，EDCBA由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒， 由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒， 因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；【解析】()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长． 【答案】167； 【解析】直线l0y --=，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB ==．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．【答案】详见解析； 【解析】由13a x -<可得2223a x -<， 22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．Cl yxO 【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】⑴ :20l x y --= ，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；⑵ ① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x py x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+- 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=- 即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上 12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；② 中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．23. （本小题满分10分）⑴ 求34677C 4C -的值；⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+ ．【答案】⑴0；⑵详见解析；【解析】⑴ 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；⑵ 对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+ ，当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m m m m m m m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++ ()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+， 而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++ ()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++ 又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++ ， 所以，左边=右边．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,参考版解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,参考版解析)

...因此 BE CE4a b4 5 137 ．2288 8在锐角三角形 ABC 中， sin A 2sin B sin C ，那么 tan A tan B tan C 的最小值是 ．8；xiv.由 sin Asin π A sin B C sin B cosC cos B sin C ， sin A 2sin Bsin C ，可得 sin B cosC cos B sin C 2sin Bsin C 〔 * 〕，由三角形 ABC 为锐角三角形，那么 cosB 0,cos C 0 ，在〔 * 〕式两侧同时除以 cos B cosC 可得 tan B tan C2tan Btan C ，又 tan Atan π Atan BCtan B tan C (#) ，1 tan B tanC那么 tan A tan B tan Ctan B tan C1tan B tanC ，tan B tanC2由 tan B tanC2 tan B tanC2 tan B tanC 可得 tan A tan B tanC1，tan B tan C令 tan B tanC t ，由 A, B, C 为锐角可得 tan A0, tan B0,tanC 0 ，由(#)得 1 tan B tan C 0 ，解得 t 1tan A tan B tan C2t 2 2 ，t11 1t 2t1 1 1 1 21 1 11，由 t 1 那么0 ，因此 tan Atan B tanC最小值为 8，t2tt24 t2t4当且仅当 t 2 时取到等号，此时 tan B tan C 4 ， tan B tan C 2 ，解得 tan B22,tan C22,tan A 4 〔或 tan B,tan C 互换〕，此时 A, B,C 均为锐角．二、解答题： 本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔本小题总分值14 分〕在△ABC 中， AC 6 ， cos B4， Cπ．54⑴求 AB 的长；⑵求 cos Aπ 的值．6⑴ 5 2；⑵7 26 ．201.cos B4， B 为三角形的内角5sin B 3 5AB ACsinC sin BAB623，即： AB 5 2 ；25a) cos A cos C B sin B sin C cos B cosC2cos A10又A为三角形的内角72sin A10cos Aπ3cos A1s in A726．62220〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， D, E 分别为 AB , BC 的中点，点F在侧棱 B1B 上，且 B D A F AC1A B C111，1 1 1 ．求证：⑴直线 DE // 平面 AC FA1B1；11⑵平面 BDE平面AC F．111F 见解析；2.D, E 为中点，DE 为ABC 的中位线DE // AC又ABC A B C 为棱柱，AC //AC1 1 111CEA D BDE // AC1 1，又AC1 1平面 AC11F，且DEAC1 1FDE //平面AC F；1 1a)ABC A1B1C1为直棱柱，AA1平面 A1B1C1AA AC，又AC1A B1 1 11 1 1且AA1 A1 B1 A1， AA1 , A1 B1平面 AA1B1 BAC1平面AAB B，11113又 A 1FB 1D ， DE B 1DD ，且 DE, B 1D平面 B 1 DEA F平面B DE，又A FAC F1111 1平面 B DE平面AC 1 F．11〔本小题总分值14 分〕现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥P A 1 B 1C 1D 1，下局部的形状是正四棱柱 ABCD A 1B 1C 1 D 1〔如下图〕 ，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高 PO 1的 4 倍．⑴假设AB6 m ， PO 12 m ，那么仓库的容积是多少；PD 1 C 1⑵ 假设正四棱锥的侧棱长为6 m ，当 PO 1为多少时，仓库的容积最大？O 1A 1B 13；⑵ 2 3 m ； DC⑴ 312 mO3. PO 1 2 m ，那么OO 18 m ，ABV P A 1B 1C 1D 1=1S ABCD PO 11 62 224 m 3， V ABCDA 1B 1C 1D 1=S ABCD OO 1628 288 m 3 ，33V =V PABCDV ABCDABCD312 m3 ，11 1 111 11故仓库的容积为 312 m 3；a) 设 PO 1x m ，仓库的容积为 V ( x)那么 OO 1 4 x m ， AO 1 136 x 2 m ， A 1B 12 36 x 2 m ，11212V P A 1B 1C 1D 1= S ABCD PO 172 2 x 2x72x 2 x 3 24xx 3 m 3 ，3 3332233V ABCD A 1B 1C 1D 1=S ABCD OO 1724 x 288x2x 8 x m ，V x =V PABCDV ABCD ABC D24x 2 x 3 288x8x 326 x 3 312 x 0 x6 ，1 11 11 1 1 133V ' x26x 2 312 26 x 212 0 x 6 ，当 x 0,2 3 时，V' x0 ， V x 单调递增，当 x2 3,6 时，V'x0 ， V x 单调递减，因此，当 x2 3时，Vx 取到最大值，即 PO 1 23 m 时，仓库的容积最大．〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，。

2016年高考数学全国卷WORD及答案详析(江苏卷)

2016年高考数学全国卷WORD及答案详析(江苏卷)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ． 【答案】{}1,2-；● 由交集的定义可得{}1,2A B =- ．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 【答案】5；● 由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】●c2c =．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； ● 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y 的定义域是 ． 【答案】[]3,1-；● 2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ．【答案】9；● ,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56； ● 将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；● 设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数s i n 2y x =的图象与c o s y x =的图象的交点个数是 ． 【答案】7；● 画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．●由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭， 由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅= ，2b BF c⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ==．11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ．【答案】25-；● 由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．12.已知实数,x y满足240,220,330,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y+的取值范围是．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；●在平面直角坐标系中画出可行域如下22x y+为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线220x y+-=的距离，d==()22min45x y+=，图中B点距离原点最远，B点为240x y-+=与330x y--=交点，则()2,3B，则()22max13x y+=．13.如图，在ABC△中，D是BC的中点，,E F是AD上两个三等分点，4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-，则BE CE⋅的值是．【答案】78；●令DF a=，DB b=，则DC b=-，2DE a=，3DA a=，则3BA a b=-，3CA a b=+，2BE a b=-，2CE a b=+，BF a b=-，CF a b=+，则229BA CA a b⋅=-，22BF CF a b⋅=-，224BE CE a b⋅=-，B由4BA CA ⋅= ，1BF CF ⋅=- 可得2294a b -= ，221a b -=- ，因此22513,88a b == ，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-= ．14. 在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则t a n t a n t a n AB C 的最小值是 ．【答案】8；由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*）， 由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=， 又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t > 2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 224B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴． ● 4cos 5B =，B 为三角形的内角 3sin 5B ∴= sinC sin AB ACB =635=，即：AB = ● ()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A ∴= 又A 为三角形的内角sin A ∴=π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上， 且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥． 求证：⑴ 直线//DE 平面11AC F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11AC F ．【答案】见解析；● ,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线//DE AC ∴又111ABC A B C - 为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂ 平面11AC F ，且11DE AC F ⊄ //DE ∴平面11AC F ；● 111ABC A B C - 为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥FEDC BAC 1B 1A 1且1111AA A B A = ，111,AA A B ⊂平面11AA B B 11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B 又1A F ⊂ 平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥又11A F B D ⊥ ，1DE B D D = ，且1,DE B D ⊂平面1B DE 1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂∴平面1B DE ⊥平面11AC F ．17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵； ● 12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==， 111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=， 故仓库的容积为3312m ；● 设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11AO，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，1A()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(0,x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =时，()V x 取到最大值，即1PO =时，仓库的容积最大．[来源:学|科|网] 18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 及其上一点()2,4A ．⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣● 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=； ● 由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d ==则BC =BC =，即=解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-；● TA TP TQ += ，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ = ，TA又10PQ≤,10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ = ，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．19. （本小题满分14分）已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． ⑴ 设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122x xt =+，则由20x >可得2t =≥， 此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t +=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ， 可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=， 因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．20. （本小题满分14分）记{}1,2,,100U = ．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t = ，定义12k T t t t S a a a =+++ ．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++． 现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆ ，求证：1T k S a +<； ⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D D S S S + ≥． 【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；● 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=； ● 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<= ≤；● 设()C A C D = ð，()D B C D = ð，则A B =∅ ，C A C D S S S =+ ，D B C D S S S =+ ，22C C D D A B S S S S S +-=- ，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ， 若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾． 因为A B =∅ ，所以l m ≠，所以1l m +≥， 211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=< ≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C C D D S S S + ≥．数学Ⅱ（附加题）21. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点． 求证：EDC ABD ∠=∠． 【答案】详见解析；● 由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==， 则EDC C ∠=∠，由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒， 由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，ECBA因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；● ()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【答案】167； ● 直线l0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB =．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．【答案】详见解析； ● 由13a x -<可得2223a x -<， 22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭● :20l x y --= ，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；● ① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=- 即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；② 中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．23. （本小题满分10分）⑴ 求34677C 4C -的值；⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+ ．【答案】⑴0；⑵详见解析；● 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；● 对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+ ，当1n k =+时， 左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m m m m m m m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++ ()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+， 而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++ ()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++ 又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++ ，所以，左边=右边．。

2016年江苏高考数学试卷及参考答案清晰版

2016年江苏高考数学试卷及参考答案清晰版

2016年全国高等学校招生考试数学试题江苏卷参考公式圆柱的体积公式：=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高.V 圆柱圆锥的体积公式： Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高.V圆锥131、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合 则________________. {1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<=A B I 2.复数 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________.(12i)(3i),z =+-3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的焦距是________________. 22173x y -=4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________________.5.函数y 的定义域是.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=—3，S 5=10，则a 9的值是.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆的右焦点，直线与椭圆22221()x y a b a b +=＞＞02b y =交于B ，C 两点，且 ,则该椭圆的离心率是.90BFC ∠=o11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[−1,1)上， 其中 若，则f （5a ）的值,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩.a ∈R 59()()22f f -=是.12. 已知实数x ，y 满足，则x 2+y 2的取值范围是 .240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，，4=∙ ，则 的值是.1BF CF ⋅=-u u u r u u u r BE CE ⋅u u u r u u u r14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在中，AC =6，ABC △4πcos .54B C ==，（1）求AB 的长；（2）求的值.πcos(6A -)16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且，11B D A F⊥.1111A C A B ⊥求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下1111P A B C D -部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱1111ABCD A B C D -1O O锥的高的四倍.1PO (1)若则仓库的容积是多少？16m,2m,AB PO ==(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库1PO 的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :及其上一点A (2，4)221214600x y x y +--+=(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3)设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,求实数t 的取值范围。

2016年江苏省高考数学试卷(含详细答案解析)

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2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．5．（5分）函数y=的定义域是．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案；法2：由sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，可得cosx=0或sinx=，结合题意，解之即可．【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．法2：依题意，sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，故cosx=0或sinx=，因为x∈[0，3π]，故x=，，，，，，，共7个，故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求．【解答】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=，另解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），=（﹣a﹣c，），=（a﹣c，），•=0，则c2﹣a2十b2=0，因为b2=a2﹣c2，代入得3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，13] ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，B∈（0，π），∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA═﹣cos（π﹣A）=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）在ABC﹣A1B1C1的直棱柱中，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，答：仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；答：当PO1=2m时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵A（2，4），T（t，0），，∴，①∵点Q在圆M上，∴（x2﹣6）2+（y2﹣7）2=25，②将①代入②，得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25，∴点P（x1，y1）即在圆M上，又在圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2=25上，从而圆（x﹣6）2+（y﹣7）2=25与圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2=25有公共点，∴5﹣5≤≤5+5．解得2﹣2≤t，∴实数t的取值范围是[2﹣2，2+2]．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，y=2x在R上单调，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2，b x＞0，则g（x）＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）≥0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）等比数列{a n}中是公比为3的等比数列，则a4=3a3=9a2，当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S A≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a1+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．【解答】解：在△ABC中，由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，根据绝对值不等式的性质，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q 关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

2016年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)

2016年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)

XC中高考资料第 1 页 共 15 页绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲ . 2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ .3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ▲ .4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是 ▲ . 5.函数y =232x x --的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ .9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ . 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

2016年江苏数学高考试卷含答案和解析

2016年江苏数学高考试卷含答案和解析

2016年江苏数学高考试卷含答案和解析D7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是______．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是______．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是______．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是______．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是______．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t 1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n ∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D ≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p ＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N *，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏数学参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S 2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5 当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e 2==，可得e=，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，13]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d 2=（）2=，故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD 上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC 可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC ＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA ＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F ⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO 1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A 1B1=•m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O 1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO 1=2m时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y ﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0，g （x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a ≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x 0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2，b x ＞0，则g（x）＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g （x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x 0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t 1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n ∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D ≥2S D．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p ＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l 上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N *，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N *，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

2016年高考数学江苏省(理科)试题及答案【解析版】

2016年高考数学江苏省(理科)试题及答案【解析版】

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分,满分70分）【2016江苏(理）】已知集合A={﹣1，2，3,6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．【答案】｛﹣1，2｝【解析】解：∵集合A=｛﹣1，2，3，6}，B=｛x｜﹣2＜x＜3}，∴A∩B=｛﹣1，2}，【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．【答案】5【解析】解：z=(1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，【2016江苏(理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．【答案】2【解析】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．【2016江苏（理）】已知一组数据4。

7，4.8，5。

1，5。

4，5.5，则该组数据的方差是．【答案】0。

1【解析】解：∵数据4。

7,4。

8,5.1，5。

4，5。

5的平均数为:=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5。

1,∴该组数据的方差：S2=［（4.7﹣5。

1)2+(4。

8﹣5。

1)2+(5。

1﹣5。

1)2+(5.4﹣5。

1）2+（5.5﹣5。

1)2］=0。

1．【2016江苏(理）】函数y=的定义域是．【答案】［﹣3,1］【解析】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0,解得：x∈[﹣3，1]，【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】解：当a=1,b=9时，不满足a＞b，故a=5,b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，【2016江苏（理)】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4,5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：(4，6)，（6，4)，(5，5),（5，6），（6,5），（6，6),共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．【2016江苏（理）】已知{a n｝是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．【答案】20【解析】解：∵｛a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴,解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．【2016江苏（理）】定义在区间［0，3π］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．【答案】7【解析】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间［0，3π］上的图象如下：由图可知,共7个交点．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B(﹣a,）,C(a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1,即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=,可得e2==，可得e=，【2016江苏（理）】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R,若f（﹣）=f（），则f(5a)的值是．【答案】﹣【解析】解：f(x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f(﹣）=f（﹣）=﹣+a，f(）=f(）=｜﹣｜=,∴a=，∴f（5a)=f(3）=f(﹣1）=﹣1+=﹣，【2016江苏(理）】已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．【答案】［,13］【解析】解:作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方,由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3）,此时z=22+32=4+9=13,点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是［,13]，故答案为:[，13]．【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点,•=4,•=﹣1，则•的值是．【答案】【解析】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1,•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．【答案】8【解析】解：由sinA=sin(π﹣A）=sin（B+C)=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0,在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0,解得t＞1,tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号,此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+,tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．二、解答题（共6小题，满分90分）【2016江苏(理）】在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．(1）求AB的长; （2)求cos（A﹣)的值．【解析】解：（1）∵△ABC中，cosB=,∴sinB=，∵，∴AB==5;（2）cosA=﹣cos(C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角,∴sinA=，∴cos(A﹣）=cosA+sinA=．【2016江苏(理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点,点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证:(1)直线DE∥平面A1C1F；（2)平面B1DE⊥平面A1C1F．【解析】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点,∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1,∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B,∵DE∥A1C1,∴DE⊥平面AA1B1B,又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D,且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P ﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【解析】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=m,则仓库的容积V=×(•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6）,∴V′=﹣26x2+312,(0＜x＜6），当0＜x＜2时,V′＞0，V(x)单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x)单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2+y2﹣12x ﹣14y+60=0及其上一点A（2,4）．(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程;（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=,求实数t的取值范围．【解析】解:（1）∵N在直线x=6上,∴设N（6,n）,∵圆N与x轴相切,∴圆N为：(x﹣6）2+（y﹣n)2=n2,n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（(x﹣6）2+（x﹣7)2=25，∴｜7﹣n|=|n｜+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+(y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC｜=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即｜｜=||，|｜=，又||≤10，即≤10，解得t∈［2﹣2，2+2］，对于任意t∈［2﹣2，2+2]，欲使，此时,｜｜≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为,必然与圆交于P、Q两点，此时｜｜=|｜,即，因此实数t的取值范围为t∈［2﹣2，2+2]，．【2016江苏（理）】已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1,b≠1)．(1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf(x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1,b＞1，函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【解析】解:函数f（x)=a x+b x（a＞0,b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2;即:=2，可得x=0．②不等式f(2x)≥mf(x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=,t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2)g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=axlna+bxlnb=ax[+］，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h(x0）=0，因此x∈（﹣∞,x0）时，h（x）＜0,a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h(x）＞0，a x lnb＞0,则g′（x）＞0,则g(x）在（﹣∞，x0）递减,（x0，+∞）递增,因此g（x）的最小值为：g（x0)．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2,b x＞0，则g（x)＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时,g(x1）＞0,因此g（x）在(x1，x0）有零点，则g(x)至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x)的最小值为g（x0）,可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0,因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0,ln（ab)=0,则ab=1．可得ab=1．【2016江苏（理)】记U={1，2,…，100}，对数列{a n}(n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0;若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如:T=｛1，3，66｝时，S T=a1+a3+a66．现设｛a n｝（n∈N*）是公比为3的等比数列,且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；(2)对任意正整数k(1≤k≤100），若T⊆｛1，2，…,k}，求证：S T＜a k+1；(3）设C⊆U,D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【解析】解：(1）当T=｛2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3,从而a1==1，故a n=3n﹣1,(2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，(3）设A=∁C(C∩D），B=∁D（C∩D),则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅,设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=＜=,即S A≥2S B,综上所述，S A≥2S B,故S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2016年高考江苏卷数学试题解析(正式版)

2016年高考江苏卷数学试题解析(正式版)

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.
3 5 5 13 17 1 ， 因为 x [0,3 ] ，所以 x , , , , , , ,共 2 2 2 6 6 6 6 2
x2 y 2 b 10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 2 2 1(a＞b＞0) 的右焦点，直线 y 与椭圆交于 a b 2
AA1 A1
学科知识供应商
又因为 B1D A1F，AC 1 1 平面A 1 C1F, A 1 F 平面A 1 C1F, AC 1 1 所以 B1D 平面A1 C1F 因为直线 B1 D 平面B1DE ，所以 平面B1 DE 平面A1C1F . 考点：直线与直线、平面与平面位置关系 17. （本小题满分 14 分）
【答案】（1）①0②4（2）1
学科知识供应商
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( f (0)) 2 4 ( f ( x))2 4 4 4 4， 而 f ( x) 2 f ( x) 4 ，且 f (0) f ( x) f ( x) f ( x)
所以 m 4 ，故实数 m 的最大值为 4.
若 x0 0 ，则 x0 又 g (loga 2) a
[来源:学*科*网]
15. （本小题满分 14 分） 在 △ABC 中，AC=6， cos B （1）求 AB 的长； （2）求 cos( A
π )的值. 6
4 ，C 5
π . 4
【答案】（1） 5 2 (2)
7 2 6 20
考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式 16. (本小题满分 14 分) 如图， 在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中， D， E 分别为 AB， BC 的中点， 点 F 在侧棱 B1B 上， 且 B1 D A1F ，

2016年高考真题——数学(江苏卷) Word版含解析

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【说明】： 【参考版答案】非官方版正式答案，有可能存在少量错误，仅供参考使用。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ．【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】【解析】c，因此焦距为2c =．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； 【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y 的定义域是 ． 【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ．【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56； 【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数s i n 2y x =的图象与c o s y x =的图象的交点个数是 ． 【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭， 由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，2b BFc ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ==．11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ．【答案】25-；【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-． 12. 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是 ．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下22x y +为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离， d ==()22min45x y +=， 图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ， 则()22max13x y +=．13. 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ．B【答案】78； 【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，2CE a b =+，BF a b =-，CF a b =+， 则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-，224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=． 14. 在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则t a n t a n t a n AB C 的最小值是 ．【答案】8；【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*）， 由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=， 又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t > 2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 224B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =． ⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴． 【解析】⑴ 4cos 5B =，B 为三角形的内角 3sin 5B ∴=sinC sin AB ACB =635=，即：AB = ⑵ ()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A ∴= 又A 为三角形的内角sin A ∴=π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上， 且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥． 求证：⑴ 直线//DE 平面11AC F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11AC F ．【答案】见解析；【解析】⑴ ,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线//DE AC ∴又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11AC F ，且11DE AC F ⊄FEC BAC 1B 1A 1//DE ∴平面11AC F ；⑵111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C 111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B 又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥ 又11A F B D ⊥，1DEB D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE 1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂∴平面1B DE ⊥平面11AC F ．17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵m ； 【解析】⑴ 12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==， 111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=， 故仓库的容积为3312m ；⑵ 设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11AO，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1A1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x -⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(0,x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =()V x 取到最大值，即1PO =时，仓库的容积最大．18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 及其上一点()2,4A ．⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣【解析】⑴ 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=； ⑵ 由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d ==则BC =BC =，即=解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-； ⑶ TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，(TA t =又10PQ ≤,10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA 2TA必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ =，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．19. （本小题满分14分）已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． ⑴ 设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；【解析】⑴ ① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122x xt =+，则由20x>可得2t =≥， 此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t +=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b aa xb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <； ()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2l o g 2bx >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ， 可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=， 因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．20. （本小题满分14分） 记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<； ⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；【解析】⑴ 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=；⑵ 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<=≤；⑶ 设()C A CD =ð，()D B C D =ð，则A B =∅，C A CDS S S =+，D B CDS S S =+，22C CDD A B S S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ， 若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾． 因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥， 211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C CDD S S S +≥．数学Ⅱ（附加题）21. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点． 求证：EDC ABD ∠=∠．【答案】详见解析；【解析】由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==， 则EDC C ∠=∠，由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒， 由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒， 因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）ECBA已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；【解析】()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【答案】167； 【解析】直线l0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB ．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．【答案】详见解析； 【解析】由13a x -<可得2223a x -<， 22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】⑴ :20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；⑵ ① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+- 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=- 即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；②中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．23. （本小题满分10分）⑴ 求34677C 4C -的值；⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．【答案】⑴0；⑵详见解析；【解析】⑴ 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；⑵ 对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时， 左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m mm m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+， 而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以 左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．。

2016届江苏省高考数学试卷 解析版

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2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 江苏）已知集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，则 ．．（ 分）（ 江苏）复数 （ ）（ ﹣ ），其中 为虚数单位，则 的实部是 ．．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线﹣ 的焦距是 ．．（ 分）（ 江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ．．（ 分）（ 江苏）函数 的定义域是 ．．（ 分）（ 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是．．（ 分）（ 江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是 ．．（ 分）（ 江苏）已知 是等差数列， 是其前 项和，若 ，则 的值是 ．﹣ ，．（ 分）（ 江苏）定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ．．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 （ ＞ ＞ ）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是 ．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，其中 ∈ ，若 （﹣） （），则 （ ）的值是 ．．（ 分）（ 江苏）已知实数 ， 满足，则 的取值范围是 ．．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ﹣ ，则 的值是 ．．（ 分）（ 江苏）在锐角三角形 中，若 ，则的最小值是 ．二、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 江苏）在△ 中， ， ， ．（ ）求 的长；（ ）求 （ ﹣）的值．．（ 分）（ 江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（ ）直线 ∥平面⊥平面 ．（ ）平面．（ 分）（ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高 的 倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（ ）若 ，（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当为多少时，仓库的容积最大？．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ： ﹣ ﹣ 及其上一点 （ ， ）．（ ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；（ ）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程；（ ）设点 （ ， ）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ．求方程 （ ） 的根；若对于任意 ∈ ，不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，求实数 的最大值；（ ）若 ＜ ＜ ， ＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，求 的值． ．（ 分）（ 江苏）记 ， ， ， ，对数列 （；若 ， ， ， ，定义∈ ）和 的子集 ，若 ∅，定义．例如： ， ， 时， ．现设 （ ∈ ）是公比为 的等比数列，且当 ， 时， ．（ ）求数列 的通项公式；（ ）对任意正整数 （ ≤ ≤ ），若 ⊆ ， ， ， ，求证： ＜ ； （ ）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．附加题【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．【选修 几何证明选讲】．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ， 为垂足， 为 的中点，求证：∠ ∠ ．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ 江苏）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ﹣，求矩阵 ．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），椭圆 的参数方程为（ 为参数），设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长．．（ 江苏）设 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证： ﹣ ＜ ．附加题【必做题】．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ﹣ ﹣ ，抛物线 ： （ ＞ ）．（ ）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；（ ）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．求证：线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求 的取值范围．．（ 分）（ 江苏）（ ）求 ﹣ 的值；（ ）设 ， ∈ ， ≥ ，求证：（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 江苏）已知集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，则 ﹣ ， ．【分析】根据已知中集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，∴ ﹣ ， ，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）复数 （ ）（ ﹣ ），其中 为虚数单位，则 的实部是 ．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解： （ ）（ ﹣ ） ，则 的实部是 ，故答案为： ．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线﹣ 的焦距是 ．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣ 的焦距．【解答】解：双曲线﹣ 中， ， ，∴ ，∴双曲线﹣ 的焦距是 ．故答案为： ．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．．（ 分）（ 江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ．【分析】先求出数据 ， ， ， ， 的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据 ， ， ， ， 的平均数为：（ ） ，∴该组数据的方差：（ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） ．故答案为： ．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．．（ 分）（ 江苏）函数 的定义域是 ﹣ ， ．【分析】根据被开方数不小于 ，构造不等式，解得答案．【解答】解：由 ﹣ ﹣ ≥ 得： ﹣ ≤ ，解得： ∈ ﹣ ， ，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 ．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当 ， 时，不满足 ＞ ，故 ， ，当 ， 时，不满足 ＞ ，故 ，当 ， 时，满足 ＞ ，故输出的 值为 ，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．．（ 分）（ 江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 ，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于 的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，基本事件总数为 × ，出现向上的点数之和小于 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 ，出现向上的点数之和不小于 包含的基本事件有：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共 个，∴出现向上的点数之和小于 的概率：﹣ ．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．．（ 分）（ 江苏）已知 是等差数列， 是其前 项和，若 ，则 的值是 ．﹣ ，【分析】利用等差数列的通项公式和前 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的值．是等差数列， 是其前 项和， ﹣ ， ，【解答】解：∵∴，﹣ ， ，解得﹣ × ．∴故答案为： ．【点评】本题考查等差数列的第 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．．（ 分）（ 江苏）定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ．【分析】画出函数 与 在区间 ， 上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数 与 在区间 ， 上的图象如下：由图可知，共 个交点．故答案为： ．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数 与 在区间 ， 上的图象是关键，属于中档题．．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 （ ＞ ＞ ）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点 （ ， ），将 代入椭圆方程求得 ， 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点 （ ， ），将 代入椭圆方程可得 ± ± ，可得 （﹣ ，）， （ ，），﹣ ，由∠ ，可得即有 ﹣ ，化简为 ﹣ ，由 ﹣ ，即有 ，由 ，可得 ，可得 ，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，考查化简整理的运算能力，属于中档题．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，其中 ∈ ，若 （﹣） （），则 （ ）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合 （﹣） （），可得 值，进而得到 （ ）的值．【解答】解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，∴ （﹣） （﹣） ﹣ ，（） （） ﹣ ，∴ ，∴ （ ） （ ） （﹣ ） ﹣ ﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出 值，是解答的关键．．（ 分）（ 江苏）已知实数 ， 满足，则 的取值范围是 ， ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设 ，则 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知 到原点的距离最大，点 到直线 ： ﹣ 的距离最小，由得，即 （ ， ），此时 ，点 到直线 ： ﹣ 的距离 ，则 （） ，故 的取值范围是 ， ，故答案为： ， ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ﹣ ，则 的值是．【分析】由已知可得 ， ﹣ ， ， ﹣ ， ， ﹣ ，结合已知求出 ， ，可得答案．【解答】解：∵ 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点，∴ ， ﹣ ，， ﹣ ，∴ ﹣ ﹣ ，﹣ ，∴ ， ，又∵ ， ﹣ ，∴ ﹣ ，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． ．（ 分）（ 江苏）在锐角三角形 中，若 ，则的最小值是 ．【分析】结合三角形关系和式子 可推出，进而得到 ，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由 （ ﹣ ） （ ） ，，可得 ，由三角形 为锐角三角形，则 ＞ ， ＞ ，在 式两侧同时除以 可得 ，又 ﹣ （ ﹣ ） ﹣ （ ） ﹣ ，则 ﹣ ，由 可得 ﹣，令 ，由 ， ， 为锐角可得 ＞ ， ＞ ， ＞ ，由 式得 ﹣ ＜ ，解得 ＞ ，﹣ ﹣，（） ﹣，由 ＞ 得，﹣≤＜ ，因此 的最小值为 ，当且仅当 时取到等号，此时 ， ，解得 ， ﹣， ，（或 ， 互换），此时 ， ， 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 江苏）在△ 中， ， ， ．（ ）求 的长；（ ）求 （ ﹣）的值．【分析】（ ）利用正弦定理，即可求 的长；（ ）求出 、 ，利用两角差的余弦公式求 （ ﹣）的值．【解答】解：（ ）∵△ 中， ，∴ ，∵，∴ ；（ ） ﹣ （ ） ﹣ ﹣．∵ 为三角形的内角，∴ ，∴ （ ﹣） ．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（ ）直线 ∥平面⊥平面 ．（ ）平面【分析】（ ）通过证明 ∥ ，进而 ∥ ，据此可得直线 ∥平面 ； （ ）通过证明 ⊥ 结合题目已知条件 ⊥ ，进而可得平面 ⊥平面 ．【解答】解：（ ）∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ 为△ 的中位线， ∴ ∥ ，∵ ﹣ 为棱柱， ∴ ∥ ， ∴ ∥ ，∵ ⊂平面 ，且 ⊄平面 ， ∴ ∥ ；（ ）∵ ﹣ 为直棱柱， ∴ ⊥平面 ， ∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ，且 ， 、 ⊂平面 ， ∴ ⊥平面 ， ∵ ∥ ，，∴ ⊥平面⊂平面 ，又∵，∴ ⊥⊥ ， ，且 、 ⊂平面 ，又∵⊥平面 ，∴⊂平面 ，又∵⊥平面 ．∴平面【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．．（ 分）（ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高 的 倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（ ）若 ，为多少时，仓库的容积最大？（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当是正四棱锥的高 的 倍，可得 时，【分析】（ ）由正四棱柱的高，进而可得仓库的容积；，则 ， ， ，（ ）设代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．，正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的 倍．【解答】解：（ ）∵，∴∴仓库的容积 × × × ，（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，，设， ， ，则则仓库的容积 ×（ ） （ ），（ ＜ ＜ ），∴ ﹣ ，（ ＜ ＜ ），当 ＜ ＜ 时， ＞ ， （ ）单调递增；当 ＜ ＜ 时， ＜ ， （ ）单调递减；故当 时， （ ）取最大值；时，仓库的容积最大．即当【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． ．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ： ﹣ ﹣ 及其上一点 （ ， ）．（ ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；（ ）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程；（ ）设点 （ ， ）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围．【分析】（ ）设 （ ， ），则圆 为：（ ﹣ ） （ ﹣ ） ， ＞ ，从而得到 ﹣ ，由此能求出圆 的标准方程．，设 ： ，则圆心 到直线 的距离：（ ）由题意得 ，，由此能求出直线 的方程．（ ） ，即 ，又 ≤ ，得 ∈ ﹣ ， ，对于任意 ∈ ﹣ ， ，欲使，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数 的取值范围．【解答】解：（ ）∵ 在直线 上，∴设 （ ， ），∵圆 与 轴相切，∴圆 为：（ ﹣ ） （ ﹣ ） ， ＞ ，又圆 与圆 外切，圆 ： ﹣ ﹣ ，即圆 ：（（ ﹣ ） （ ﹣ ） ，∴ ﹣ ，解得 ，∴圆 的标准方程为（ ﹣ ） （ ﹣ ） ．，设 ： ，（ ）由题意得 ，则圆心 到直线 的距离： ，则 ， ，即，解得 或 ﹣ ，∴直线 的方程为： 或 ﹣ ．（ ） ，即，即 ，，又 ≤ ，即≤ ，解得 ∈ ﹣ ， ，对于任意 ∈ ﹣ ， ，欲使，此时， ≤ ，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于 、 两点，此时 ，即，因此实数 的取值范围为 ∈ ﹣ ， ，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ．求方程 （ ） 的根；若对于任意 ∈ ，不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，求实数 的最大值；（ ）若 ＜ ＜ ， ＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，求 的值．【分析】（ ） 利用方程，直接求解即可． 列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（ ）求出 （ ） （ ）﹣ ﹣ ，求出函数的导数，构造函数 （ ），求出 （ ）的最小值为： （ ）．同理 若 （ ）＜ ， （ ）至少有两个）＞ ，利用函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，推零点，与条件矛盾． 若 （出 （） ，然后求解 ．【解答】解：函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ． 方程 （ ） ；即：，可得 ．不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，即≥ （）﹣ 恒成立．令， ≥ ．不等式化为： ﹣ ≥ 在 ≥ 时，恒成立．可得：△≤ 或即： ﹣ ≤ 或 ≤ ， ∴ ∈（﹣ ， ． 实数 的最大值为： ．（ ） （ ） （ ）﹣ ﹣ ， （ ），＜ ＜ ， ＞ 可得，令 （ ），则 （ ）是递增函数，而， ＜ ， ＞ ，因此，时， （ ） ，因此 ∈（﹣ ， ）时， （ ）＜ ， ＞ ，则 （ ）＜ ． ∈（ ， ）时， （ ）＞ ， ＞ ，则 （ ）＞ ，则 （ ）在（﹣ ， ）递减，（ ， ）递增，因此 （ ）的最小值为： （ ）． 若 （ ）＜ ， ＜ 时， ＞， ＞ ，则 （ ）＞ ，因此 ＜ ，且 ＜ 时， （ ）＞ ，因此 （ ）在（ ， ）有零点， 则 （ ）至少有两个零点，与条件矛盾．若 （ ）＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点， （ ）的最小值为 （ ），可得 （ ） ，由 （ ） ﹣ ， 因此 ，因此，﹣，即 ， （ ），则 ．可得 ．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．．（ 分）（ 江苏）记 ， ， ， ，对数列 （ ∈ ）和 的子集 ，若 ∅，定义 ；若 ， ， ， ，定义．例如： ， ， 时， ．现设 （ ∈ ）是公比为 的等比数列，且当 ， 时， ．（ ）求数列 的通项公式；（ ）对任意正整数 （ ≤ ≤ ），若 ⊆ ， ， ， ，求证： ＜ ； （ ）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．【分析】（ ）根据题意，由 的定义，分析可得 ，计算可得 ，进而可得 的值，由等比数列通项公式即可得答案；（ ）根据题意，由 的定义，分析可得 ≤﹣，由等比数列的前 项和公式计算可得证明；（ ）设 ∁ （ ）， ∁ （ ），则 ∅，进而分析可以将原命题转化为证明 ≥ ，分 种情况进行讨论： 、若 ∅， 、若 ≠∅，可以证明得到 ≥ ，即可得证明．【解答】解：（ ）当 ， 时， ， 因此 ，从而 ，故﹣，（ ） ≤ ﹣＜ ，（ ）设 ∁ （ ）， ∁ （ ），则 ∅，分析可得 ， ，则 ﹣ ﹣ ， 因此原命题的等价于证明 ≥ ， 由条件 ≥ ，可得 ≥ ， 、若 ∅，则 ，故 ≥ ，、若 ≠∅，由 ≥ 可得 ≠∅，设 中最大元素为 ， 中最大元素为 ， 若 ≥ ，则其与 ＜ ≤ ≤ 相矛盾， 因为 ∅，所以 ≠ ，则 ≥ ，≤ ﹣≤，即 ≥，综上所述， ≥ ， 故 ≥ ．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．【选修 几何证明选讲】．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ， 为垂足， 为 的中点，求证：∠ ∠ ．【分析】依题意，知∠ ，∠ ∠ ，利用∠ ∠ ∠ ∠，可得∠ ∠ ，从而可证得结论．【解答】解：由 ⊥ 可得∠ ，因为 为 的中点，所以 ，则：∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，因此∠ ∠ ，而∠ ∠ ，所以，∠ ∠ ．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠ ∠ ∠ ∠ ，证得∠ ∠ 是关键，属于中档题．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ 江苏）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ﹣，求矩阵 ．【分析】依题意，利用矩阵变换求得 （ ﹣ ）﹣ ，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵ ﹣ ，∴ （ ﹣ ）﹣ ，又 ，∴ ．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），椭圆 的参数方程为（ 为参数），设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由 得，代入 并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴ ．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．．（ 江苏）设 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证：﹣ ＜ ．【分析】运用绝对值不等式的性质： ≤ ，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，可得 ﹣ （ ﹣ ） （ ﹣ ）≤ ﹣ ﹣ ＜ ，则 ﹣ ＜ 成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ：﹣ ﹣ ，抛物线 ： （ ＞ ）．（ ）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；（ ）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．求证：线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求 的取值范围．【分析】（ ）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（ ）： 设点 （ ， ）， （ ， ），通过抛物线方程，求解 ，通过 ， 关于直线 对称，点的 ﹣ ，推出， 的中点在直线 上，推出 ﹣，即可证明线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；利用线段 中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．推出，得到关于﹣ ，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出 的范围．【解答】解：（ ）∵ ： ﹣ ﹣ ，∴ 与 轴的交点坐标（ ， ）， 即抛物线的焦点坐标（ ， ）． ∴，∴抛物线 ： ．（ ）证明： 设点 （ ， ）， （ ， ），则：，即：，，又∵ ， 关于直线 对称，∴ ﹣ ，即 ﹣ ，∴，又 的中点在直线 上，∴ ﹣ ，∴线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）； 因为 中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．∴，即∴，即关于 ﹣ ，有两个不相等的实数根，∴△＞ ，（ ） ﹣ （ ﹣ ）＞ ，∴ ∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．．（ 分）（ 江苏）（ ）求 ﹣ 的值；（ ）设 ， ∈ ， ≥ ，求证：（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） ．【分析】（ ）由已知直接利用组合公式能求出 的值．（ ）对任意 ∈ ，当 时，验证等式成立；再假设 （ ≥ ）时命题成立，推导出当 时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．【解答】解：（ ）﹣ ×× ﹣ × ．证明：（ ）对任意 ∈ ，当 时，左边 （ ） ，右边 （ ） ，等式成立．假设 （ ≥ ）时命题成立，即（ ） （ ） （ ） （ ） （ ），当 时，左边 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ），右边∵（ ） ﹣（ ）× ﹣（ ﹣ ）（ ）（ ），∴ （ ），∴左边 右边，∴ 时，命题也成立，∴ ， ∈ ， ≥ ，（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） ．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．剑影实验学校名师高中部 高一化学第二次月考试卷。

2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2016年江苏，1,5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______．【答案】{}1,2-【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．（2)【2016年江苏,2，5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______． 【答案】5【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(3)【2016年江苏,3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______．【答案】210【解析】2210c a b =+=,因此焦距为2210c =．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础 （4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4。

7，4。

8，5。

1,5.4，5。

5，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=．【点评】本题考查方差的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． (5）【2016年江苏，5，5分】函数232y x x =--的定义域是_______． 【答案】[]3,1-【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤,因此定义域为[]3,1-．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域,二次不等式的解法,难度不大,属于基础题． （6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________． 【答案】9【解析】,a b 的变化如下表：a 1 5 9b 9 7 5 则输出时9a =．【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】56【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种,概率为305366=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．(8)【2016年江苏，8，5分】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-,510S =，则9a 的值是_______． 【答案】20【解析】设公差为d ,则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=． 【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用．(9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是________．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数sin 2y x =与cos y x =在区间[]0,3π上的图象是关键,属于中档题．（10）【2016年江苏，10，5分】如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点,且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是________【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得 0BF CF ⋅=,2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭,2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则22231044c a b -+=,由222b a c =-可得 223142c a =，则c e a ==． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力,属于中档题．（11）【2016年江苏，11，5分】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ,若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()5f a 的值是________．【答案】25-【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =,则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性,根据已知求出a 值，是解答的关键．（12）【2016年江苏,12，5分】已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是________．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：22x y +为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离,d ==,则()22min 45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点,则()2,3B ，则()22max13x y +=．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键． （13)【2016年江苏,13，5分】如图,在ABC △中，D 是BC 的中点,,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-,2CE a b =+,BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-, 224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=．【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． （14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是_______． 【答案】8【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+,sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（＊)，由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>, 在（＊）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=,又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#),则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由（#）得1tan tan 0B C -<,解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C t t t =-=---,221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8, 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=,tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===(或tan ,tan B C 互换)，此时,,A B C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性． 二、解答题:本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2016年江苏，15,14分】在ABC △中,6AC =，4cos 5B =，π4C =．(1）求AB 的长；（2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 解:（1）4cos 5B =，B 为三角形的内角，3sin 5B ∴=,sinC sin AB ACB =，635=，即:AB = （2）()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，cos A ∴=又A 为三角形的内角，sin A ∴=，π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭【点评】本题考查正弦定理,考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2016年江苏，16，14分】如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证: （1）直线//DE 平面11A C F ； (2)平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：（1),D E 为中点,DE ∴为ABC ∆的中位线,//DE AC ∴，又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄，//DE ∴平面11A C F ．（2）111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C ,111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥,且1111AA A B A =,111,AA A B ⊂平面11AA B B ，11AC ∴⊥平面11AA B B ,又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B ， 又1A F ⊂平面11AA B B ,1DE A F ∴⊥,又11A F B D ⊥，1DEB D D =,且1,DE B D ⊂平面1B DE ,1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂,∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．【点评】本题考查直线与平面平行的证明,以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大． (17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -,下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱 的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．（1）若6m AB =，12m PO =,则仓库的容积是多少;(2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大?解：（1）12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==, 111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ． （2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x ,则14m OO x =，11m A O =，11m A B =,()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >,()V x 单调递增,当()x ∈时,()'0V x <,()V x 单调递减，因此,当x =时,()V x 取到最大值,即1m PO =时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积,导数法求函数的最大值，难度中档． （18）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； (2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围．解：（1）因为N 在直线6x =上,设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >,又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+,解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=．（2）由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l的距离d =，则BC ==BC ==1A FEDCBAC 1B 1A 1解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-． (3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =,(TA t =10PQ ≤,10,解得2t⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =,此时10TA ≤，只需要作直线TA 的平行线，2TA 必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ=,即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣,均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．（19）【2016年江苏，19，16分】已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． (1)设2a =,12b =． ①求方程()2f x =的根;②若对于任意x ∈R ,不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；(2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 解：（1）①()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由()2f x =可得1222x x +=,则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=,则21x =,0x =．②由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立,令122xx t =+,则由20x >可得2t =≥，此时226t mt --≥恒成立，即244t mt t t+=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +=≥，当且仅当2t =时 等号成立，因此实数m 的最大值为4．（2）()()22x x g x f x a b =-=+-,()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<,1b >可得1b a >,令()ln ln xb a h x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()h x 递增,而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =， 因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >,则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时,()0h x >，ln 0x a b >， 则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ，① 若()00g x <,log 2a x <时,log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >;x >log b 2时,0x a >，log 22b x b b >=， 则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时,()10g x >,因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时,()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点,与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点,()g x 最小值为()0g x ，可得()00g x =,由()00020g a b =+-=，因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =,则1ab =．【点评】本题考查函数与方程的综合应用,函数的导数的应用,基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．(20)【2016年江苏,20，16分】记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ,若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N )是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． (1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数k （1100k ≤≤)，若{}1,2,,T k ⊆，求证:1T k S a +<；(3）设C U ⊆,D U ⊆,C D S S ≥,求证：2C CDD S S S +≥．解:(1)当{}2,4T =时,2422930T S a a a a =+=+=,因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=． （2）2112131133332k k kT k k S a a a a -+-++=++++=<=≤(3)设()C A C D =，()D B C D =，A B =∅，C A C D S S S =+，D B CDS S S =+， 22C CDD A B S S S S S +-=-,因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥． ① 若B =∅,则0B S =,所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅,由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m ,若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥，211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤,即2A B S S >．综上所述,2A B S S ≥，因此2C C D D S S S +≥．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．数学Ⅱ【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．,若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21—A)【2016年江苏，21—A ，10分】（选修4-1:几何证明选讲）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒,BD AC ⊥，D 为垂足,E 是BC 中点，求证：EDC ABD ∠=∠．解:由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C ∠=∠， 由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒,由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠， 又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C 是关键,属于中档题．（21—B ）【2016年江苏，21—B ，10分】（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．解:()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ． 【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题． （21—C ）【2016年江苏,21—C,10分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数,椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．ED CB A解：直线l0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=,联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩,解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此167AB ==． 【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程,考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．（21—D ）【2016年江苏，21-D 】（本小题满分10分)(选修4—4:不等式选讲）设0a >，13a x -<，23ay -<,求证：24x y a +-<．解：由13a x -<可得2223a x -<，22422233a a x y x y a +--+-<+=≤． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明,注意运用绝对值不等式的性质,以及不等式的简单性质,考查运算能力，属于基础题．【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22)【2016年江苏，22,10分】如图，在平面直角坐标系xOy 中,已知直线:20l x y --=,抛物线()2:20C y px p =>．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程；（2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证:线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --; ②求p 的取值范围．解：（1）:20l x y --=,∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，22p∴=，28y x ∴=． （2)① 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-, 又,P Q 关于直线l 对称,1PQ k ∴=-，即122y y p +=-，122y y p +∴=-,又PQ 中点一定在直线l 上，12122222x x y y p ++∴=+=-，∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --;② 中点坐标为()2,p p --,122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩，12212244y y p y y p p +=-⎧∴⎨=-⎩， 即关于222440y py p p ++-=有两个不等根，0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． （23）【2016年江苏,23，10分】（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ,n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．解:（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=．(2）对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m mm m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时,左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m mm m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C2Cm m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+,而()()()()()()()()()22323!2!1C 1C 12!1!2!!m m k k k k m m m m k m m k m ++++⎡⎤+++-+=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()12!1!13122C 2!1!!1!mk k k m k k m k k m k m m k m +++=+⨯+--+=+=+⎡⎤⎣⎦+-+-+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+,因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立,综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解:因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C CCkk k n n n ---=+,知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题,解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

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2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：1 n样本数据 捲必,L ,X n 的方差S 2-X in i i棱柱的体积V Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高. 棱锥的体积V -Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 为高.3、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合 A 1,2,3,6 , B x| 2 x 3，则 AI B ___________________________【答案】 1,2 ;【解析】由交集的定义可得 AI B 1,2 .1 2i 3 i ,其中i 为虚数单位，则z 的实部是 【答案】5;【解析】由复数乘法可得 z 5 5i ，则则z 的实部是5.2 23. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 —— 1的焦距是 _____________ 73【答案】2 .10 ; 【解析】c ■. a 2 b 2 .10，因此焦距为 2c 2.10 .4.已知一组数据 4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5，则该组数据的方差是 ________________【答案】0.1 ; 【解析】x5.1 ,s 2 10.42 0.32 020.320.42 0.1 .55. 函数y ■■ 3 2x ______________________ x 2的定义域是 .【答案】 3,1 ;【解析】3 2x x 2 > 0,解得 3< x < 1，因此定义域为 3,1 . 6.如图是一个算法的流程图，则输出 a 的值是 _________________-21 nx ，其中x - x -n i i2.复数z【答案】9;【解析】a,b的变化如下表:a159b975则输出时a 9•7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷现向上的点数之和小于10的概率是_____________ •【答案】5；6【解析】将先后两次点数记为x,y，则共有6 6 36个等可能基本事件，其中点数之和大于等于4,6 , 5,5 , 5,6 , 6,4 , 6,5 , 6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为3036 8. 已知a n是等差数列，S n是其前n项和•若a i a2 3 , S5 10，则a9的值是__________ 【答案】20;2【解析】设公差为d，则由题意可得a, a, d 3, 5a1 10d 10 ,解得a1 4 , d 3，则a9 4 8 3 20 .9. 定义在区间0,3 n上的函数y sin 2x的图象与y cosx的图象的交点个数是【答案】7;【解析】画出函数图象草图，共7个交点.2次，则出10有5610.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 笃 % 1 a b 0的右焦点，直线 y -与椭圆交于a b2B,C 两点，且 BFC 90，则该椭圆的离心率是 ___________________ .【答案】 A ；3a 2 c 2 可得—c 3- a 2，贝U e—42a其中a R , 若f5 f 9 则f 5a的值是【答案】2 ；225【解析】由题意得f5f -1—a ,f 目f 丄2 1 1222 2 25 210由f5 f 9 可得 - 1 a 一 , n r 3则a 一，22 2 10 523 2 1 , 22则c 3a -b o ,由b【解析】由题意得F c,0，直线y b 与椭圆方程联立可得B2 朽a b 2 ,2»'3a b 2 ,2由 BFCuuu 90可得BF uuurCFuu u BFlulnCF 11.设f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间x a,1,1 上 f x 2-x51 x 0, 0x1,~2 6 3 I 6则f 5ax 2y 412. 已知实数x,y满足2x y 23x y 34【答案】4,13 ；5【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下9 9x y为可行域内的点到原点距离的平方.可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线2x y 20的距离,B点为x 2y 4 0与3x y 3 0交点，贝U B 2,3 ,则x2 y213.max13. 如图，在△ ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上两个三等分点,uuu nu则BE CE的值是_______________ .【答案】7;8uur【解析】令DFrbr ra WE r2auur uur 「2 则BA CA 9a 2rb2rauur uun iuur uuu由BA CA 4 , BF CF「2 「2 「2 「2 r 2 5 r21 可得9a b 4, a b 1，因此a 5,b 813一80,20,则x0,9y的取值范围是uur uur uuu uurB AC A 4, B F C F45图中B点距离原点最远,uuf由三角形 ABC 为锐角三角形, 则 cosB 0,cosC 0 ,二、解答题：本大题共6小题，共计90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明 过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在厶ABC 中，AC 6, cosB -, C 丄.5 4⑴求AB 的长； ⑵求cos A —的值.6 【答案】⑴5 2 ；2)7 2云.204【解析】⑴Q cosB , B 为三角形的内角5「 ,, uur 因此BEmui r 2CE 4a 14.在锐角三角形 【答案】8； ABC中, si nA 2s in Bsi nC ，则 tan Ata nBta nC 的最小值是【解析】由sin A sin n Asin B C sin BcosC cos Bs in C ， si nA 2sin Bsi nC ，可得 sin BcosC cosBsinC 2sinBsinC （*）, 在（* ）式两侧同时除以 cosBcosC 可得tan B tanC 2ta nBta nC , 又 tan A tan n Ata n B C tan B tan C1 tan BtanC （， tan B tan C 则 tan AtanBtanC1 tan BtanCtan BtanC ，由 tan B tanC 2ta nBta nC 可得 tan Ata nBta nC 22 tan BtanC 1 tan BtanC 'tan A 0,tan B 0,tan C 0 ,由(#)得1 tan Bta nC 0 , 解得t 12t2 2 tan Ata n Bta nC1 t1 1t 2 t21 12 — 1 1 1 由t 1 则 0 g 1t 2tt 2 4t t令tan BtanC t ，由A, B, C 为锐角可得 当且仅当t 2时取到等号，此时tanB 1，因此tanAtanBtanC 最小值为8 , 4tanC 4 , tanBtanC解得tan B 22, tanC22, ta nA 4 （或tan B,ta nC 互换），此时 A,B,C 均为锐角.sinB 3 5 又QA 为三角形的内角-IcosA 1sinA 7 2 •2 2 20 16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱 ABC ABG 中，D,E 分别为AB,BC 的中点，点F 在侧棱BB 上, 且 B 1D AF ， AC 1 A Bi • 求证：⑴直线DE II 平面AGF ；⑵平面B 1DE 平面AGF •【答案】见解析； 【解析】⑴Q D,E 为中点，DE 为 ABC 的中位线DEIIAC又 Q ABC A 1B 1C 1 为棱柱，AC IIAC 1DEIIAC 1，又 Q AG 平面 AGF ，且 DE AC 1FDEII 平面 A 1C 1F ；⑵Q ABC AB 1C 1为直棱柱，AA 1 平面ABQAA| A|C 1，又 Q AC 1 A B|且 AA I A 1B 1 A , AA 1, A B 平面 AA B 1B AC 1 平面 AA B 1B , 又Q DEIIAC 1 ,DE 平面 AARB又Q AF 平面 AA 1B 1B , DE AFsin A7 2 10AB si nC AC sin BAB "2 2 即: AB 5 .2 ;⑵ cos Acos C B sinBsinC cos B cosCcos A” ncos A - 610C 1B 1又Q A i F B i D , DEI B i D D ，且 DE, B i D 平面 B i DE AF 平面 B i DE ，又Q AF AC i F 平面B i DE 平面AGF .i7.（本小题满分I4分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥p A B i C i Di ，下部分的形状是正四棱柱ABCD AB i C i D i （如图所示），并要求正四棱柱的高 O i O 是正四棱锥的高 PO i 的4倍. ⑴若AB 6m , PO i 2m ,则仓库的容积是多少；⑵若正四棱锥的侧棱长为 6m ，当PO i 为多少时，仓库的容积最大?【答案】⑴3i2 m 3 ；⑵2、3m ； 【解析】⑴PO i 2 m ,则00i 8m ,因此，当x 2 3时，V x 取到最大值,即PO i 2 3m 时，仓库的容积最大.1 V P AB i C iD i= -S AB CD PO 13622 3 24 m , VABCD AiBC i D i=S ABCDOO i 62 8 288 m 3 ,3i2 m 3 2361 1 ____________________V P碎才尹翻POi§72 2x2i-72x 32x 324xVABCD A 1B 1C 1 D 1=S ABCD OO i ：：'72_____ 22x 24x 288x 8x 3V x=V P A 1B 1C 1D 1V ABCD A 1B 1C 1D 124x - x 333288x 8x26 x 33 312x 0x6 , V' x 26x 2 3i226 x 2i2 0x6 , 0,2 3 时, V'x 单调递增, 2.3,6 时，V'x 单调递减,C iC18.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以M 为圆心的圆M : x 2 $ 12x 14y 60 0 及其上一点A 2,4 设圆N 与x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线x 6上, 求圆N 的标准方程; 设平行于OA 的直线I 与圆M 相交于B,C 两点，且BC OA ，求直线I 的方程; 设点T t,0满足：存在圆 ULT M 上的两点P 和Q ，使得TA UL T TP 【答案】⑴1⑵y 2x 5或 2x 15⑶ 2 【解析】⑴ 因为 N 在直线6上，设N 6,n 因为与x 轴相切,则圆又圆 N 与圆M 外切，圆M :2 26 x 725 ,^.21,2 uuTQ ，求实数t 的取值范围. I |n 5，解得 n 1 ,即圆N 的标准方程为 x 由题意得OA 2・、5， k OA 212 7 b设l :y2x b ，则圆心M 到直线 I 的距离则 BC 2 后~d^ 255 bBC 2 5，即 2 25 25，解得b 5或b 15，即I : uuu TQ ULT ULT UUUUL TTA TP TQ ，即 TA y ur TP 2x 5 或 y 2x 15 ;--，uuu PQ ，即ur TAULUPQ W 10,解得2 2 21,2 2 21 ， 对于任意t2 2 .21,2 2.21ULT ，欲使TA uuPQ，uir此时TA 10,只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 r~ UL T2 125k4必然与圆交于P 、Q 两点，此时ULT LUT TA PQULT UUT ，即 TA PQ ,因此对于任意t 2 2.21,2 ^.21，均满足题意,综上 t 2 2 . 21,2 2.2119. （本小题满分14分）已知函数 f x a x b x a 0,b 0,a1,b 11⑴设a 2, b -.2①求方程f x 2的根；【答案】⑴①x 0 :②4 :⑵1 ;x【解析】⑴①f x 2x 1 ，由f x 2可得2x 丄2 ,2 2x2 2贝U 2x 2 2x 1 0，即卩 2x 10 ,则 2x 1 , x 0 ;②由题意得22x 丄＞ m 2x 丄 6恒成立，2 2令 t 2x 2.，则由 2x 0可得 t > 2（2x 2- 2 ,22t 44此时t 2 > mt 6恒成立，即 m < —t t -恒成立••• t > 2时t 扌》2 t 44，当且仅当t 2时等号成立，x Iog b 2 时，a x 0, b x b '°9b2x时，h x 0 , a Inb 0,贝U g' x 0；则g x 在，X °递减，X 。

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