理论力学第六章习题答案

解 y x
a
A 动系圆环
a a = a rn + a en + a k
a ay = −rω 2 − 3rω 2 − 2rω 2 = −6rω 2 a ax = 0
B 动系圆环
a a = a rn + aen + a k
y x b y x
e a ay = −a n ( 2 / 5 ) = − 2 rω 2
o
曲柄长 OA = r
并以匀角速度 ω 绕 O 轴转动
o
装在水平
杆上的滑槽 DE 与水平线成 60 角 杆 BC 的速度
试求当曲柄与水平轴的交角分别为 ϕ = 0
30o 时
解
以 A 为动点
以 BC 杆为动系 有
va = ve + vr
在 ϕ = 0° 时 矢量右如图
υ BC = v e =
3 3 va = ωr 3 3
a a = a an + a at = a e + a rt + a rn + a c
式中各矢量如图 把各矢量分别向 x 方向和 y 方向投影得:
a an cos 60° + a at cos 30° = − a e cos 30° − a r cos 30° + a c cos 60° − a rn cos 60° a at sin 30° − a an sin 60° = − a e sin 30° + a rt sin 30° + a c sin 60° − a rn sin 60°
齿 条 又 带 动 半 径 为 0.1m 的 齿 轮 D 绕 固 定 轴 O1 转 动
ω = 5rad/s
试求当 ϕ = 30 时齿轮的角速度
o
解
令齿条平移速度 v条 , 以 K 为动点
以摇杆为动系
有
va = ve + vr ve = ωr = v K = va = 2 3ωl 3 ve = 0.267(m/s) sin 60°
解
v=
nπd = 0.628(m/s) 60 dv a= =0 dt v2 aP = = 3.95(m/s 2 ) r
6.3
揉茶机的揉桶由三个曲柄支持
如图所示
曲柄的支座 A
B
C 的连线与支座 并同以等转速
A1
B1
C1 的 连 线 都 恰 成 等 边 三 角 形
曲 柄 各 长 l = 0.2m
n = 45r / min 分别绕其支座转动 求揉桶中心点 O 的速度和加速度
6.1
图示 升 降机 装 置由 半径 为 R = 0.6m 的 鼓 轮带 动
被 升降 物 体的 运 动方 程 为 并求在任意瞬时 鼓轮轮
x = 6t 2
t 以s计
x以m计
试求鼓轮的角速度和角加速度
缘上一点的加速度大小
解
υ = at =
dx = 12t (m/s) dt
ω= α=
υ = 20t (rad/s) R
a ax = rω 2 + 5rω 2 (1 / 5 ) + 2rω 2 = 4rω 2
A 动系圆环
a a = a rn + a en + a k
由于
(3)
v r′ = 2 3ωr
可得
va
(
2
3 sin ϑ − cos ϑ = 2 3ωr
4 两式联立解得
)
4
va = 3ωr
即
ϑ = 120°
方向向上与 x 轴成 120° 角.
v = 3ωr
求加速度 把 va =
3ωr
ϑ = 120° 代入(1)
3
得
vr = 0
v r′ = −3ωr
以 P 为动点
解
由于 A B
C 三点总有同样的速度 揉桶平动
有
vO = v A1 = a O = a A1
2nπl = 0.94(m/s) 60 2 vA = 1 = 4.44(m/s 2 ) l
6.4
已知图示机构的尺寸如下
O1 A =O 2 B = AP = r = 0.2m
O1 O 2 = AB = l
如
O 2 轮按 ϕ = 50t
va sin 30° = v r sin ϑ
联立 1 2 两式可得
(2)
ϑ = 41°48′
υ r = 10.06(m/s)
6.13 同时
图示一摆动式汽缸 当曲柄 OA 以匀角速 ω 转动时 汽 缸 绕 固 定 轴 O′ 以 匀 角 速 ω 转 动
带动活塞 B 在汽缸内运动
设 OA = 20cm
ω = 5rad/s
n ′ cos 30° + a r′ t cos 30° + a ′ ′ a a cos ϕ = a e r cos 60° + a C cos 60°
′ sin 30° + a r′ t sin 30° − a r′ n sin 60° − a C ′ sin 60° a a sin ϕ = − a e
如图
解 首先求速度 以 P 为动点 以圆 O 为动系
有
va = ve + vr
式中各矢量如图 把各矢量分别向 x 方向和 y 方向投影得:
v a cos ϑ = v r cos 30° − v e cos 60° v a sin ϑ = v e sin 60° − v r sin 30°
由于
(1)
ve = 3ωr
在 ϕ = 30° 时 矢量如右图 把各矢量向 x 方向投影可知
ve = 0 v BC = ve = 0
6.6
倾角 ϕ = 30 的尖劈以匀速 v = 20cm/s 沿水平面向右运动
o
如图所示
使杆 OB 绕定
轴 O 转动
l = 20 3cm
试求当 θ = ϕ 时
杆 OB 的角速度和角加速度
解
以 B 为动点
a n = ω 2 R = 240t 2 (m/s 2 )
d2x = 12(m/s 2 ) 2 dt
at = 20(rad/s 2 ) R
2 a = an + a t2 = 1.2 1 + 400t 2 (m/s 2 )
图示滚子传送带中滚子做匀角速转动 已知滚子的直径 d = 0.2m 转速为 n = 0.2r / min 试求钢板 A 运动的速度和加速度 并求滚子上与钢板接触点 P 的加速度 6.2
为避免水流与工作轮叶片相冲击
应使水流对工作轮的相对速度与叶片相切
试求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度
解
以 P 点为动点
以工作轮为动系
有 va = ve + vr
2πnR = 6.28(m/s) 60 把各矢量向 x 方向投影可得 ve = va cos 30° = ve + v r cos ϑ
把各矢量向 y 方向投影可得 (1)
υe 与水平方向成 60° 角向下
把各矢量分别向 x 方向和 y 方向投影得:
v a cos 30° = v r cos 30° − v e cos 60° v a sin 30° = v e sin 60° − v r sin 30°
又 解得
ve = APω = 3ωr va = ωr v r = 2ωr
已知当
∠AOO′ = 47.5o 时 ∠AO′O = 12.5o
试求此时活塞在汽缸内运动的速度和加速度
解
令活塞速度 v , 加速度 a
以 A 为动点
以汽缸为动系
有
va = ve + vr
式中各矢量如图 其中
va = ωOA = 1(m/s)
v r = sin 60°v a = 0.866(m/s) ve = sin 30°va = 0.5(m/s) a a = a en + a et + a r + a c
a at α= = 3 / 27(rad/s 2 ) l

6.9
图示凸轮推杆机构中
偏心圆凸轮的偏心距 OC = e
半径 r =
3e
若凸轮以匀
角速度 ω 绕轴 O 作逆时针转动 杆 AB 的速度
且推杆 AB 的延长线通过轴 O 试求当 OC 与 CA 垂直时
解
以 A 为动点以 AB 杆为动系
有
va = ve + vr
式中各矢量如图
va = ωOA OA = OC 2 + CA 2 = 2e v AB = ve = 3 2 3 va = ωe 3 3
6.10
水流在图示水轮机工作轮入口处的绝对速度 va = 15m/s 转速 n = 30r / min
其方向与铅垂直径成
β = 60 o 角 工作轮半径 R = 2m
度
t 以s 计
ϕ 以 rad 计 的规律转动 试求三角板上点 P 的速度和加速
解
A
B 同速
∆ABP 平动 有
v P = v B = ωr =
2
dϕ r = 10(m/s) dt
2
dϕ a P = a B = ω r = r = 500(m/s 2 ) dt
6.5
图示曲柄滑道机构中
以圆 O 为动系
有
a a = a e + a rt + a rn + a C
其中
a rn = ae =
v r2 =0 r v r2 3r = 3ω 2 r
a C = 2ω e v r = 0
所以
a a = a e + a rt
式中各矢量如图 把各矢量分别向 x 方向和 y 方向投影得:
a a cos ϕ = a rt cos 30° − ae cos 30° a a sin ϕ = −a rt sin 30° − a e sin 30°
6.14 半径为 r 的两圆相交如图示 今圆 O′ 固定 圆 O 绕其圆周上一点 A 以匀角速 ω 转动 试求当 A O O′ 位于同一直线时两圆交点 P 的速度和加速度
解
以 P 为动点
以圆 O 为动系
有
va = ve + vr
式中各矢量如图 由于 OP = O′P = OO′ = r , ∠PAO′ = 30° ,
齿轮半径 R,则
令齿轮与齿条啮合点 P 齿轮角速度 ω 轮
ω轮 =
vP vK = = 2.67(rad/s) R R
6.16 图示转轴一匀角速度转动 转过一圈时 在与之联结的半径为 r 的圆环上做匀速 运动的质点 P 沿圆环也走过一圈 试求质点经过圆环上 A 和 B 两点时的绝对加速度 分 a b 两种情况
可得
va
(
3 sin ϑ + cos ϑ = 3ωr
以圆 O′ 为动系 有
)
2
以 P 为动点
′ + v′ va = ve r
把各矢量分别向 x 方向和 y 方向投影得:
′ sin 30° + v ′ va cos ϑ = ve r cos 30° ′ cos 30° + v r′ sin 30° v a sin ϑ = v e
以劈为动系
有
va = ve + vr
ve = v
va =
3 ve 3
ω OB =
va = 1 / 3(rad/s) l
a a = a an + a at = a e + a r
其中 a e = 0 所以
a an + a at = a r
式中各矢量如图
2 a an = ω OB r
a at =
3 n aa 3
如车刀横向走刀
解
以刀尖 P 为动点,以工件为动系
有
va = ve + vr va = v = 0.01(m/s) ve = nπd = 0.0314(m/s) 60 × 1000
v r = va2 + ve2 = 0.033(m/s)
6.12
图示摇杆 OC 绕 O 轴转动 通过固定于齿条 AB 上的销子 K 带动齿条平移 而 如 l = 0.4m 摇杆的角速度
由以上两式可得
a a cos ϕ + 3 sin ϕ = −3ω 2 r
以 P 为动点 以圆 O′ 为动系 有
t ′ + a′ ′n ′ aa = ae r + ar + aC
(
)
5
式中各矢量如图
其中
a r′ n = 9ω 2 r ′ = 4 3ω 2 r ae ′ = −12ω 2 r aC
把各矢量分别向 x 方向和 y 方向投影得:
由以上两式可解得 联立 5
a a cos ϕ − 3 sin ϕ = 6ω 2 r
(
)
6
6 两式可解得
a a = 3ω 2 r
即
ϕ = −60°
a = 3ω 2 r
6.11 图示车床主轴的转速 n = 30r / min 工件的直径 d = 20mm 速度为 v = 10mm/s 试求车刀对工件的相对速度
其中
aa =
va2 = 5(m/s 2 ) OA ve2 = 0.3670(m/s 2 ) O′A ve = 0.7339(rad/s) O′A
a en =
ωe =
a c = 2ω e v r = 1.2712(m/s 2 )
把各矢量向 a e 方向投影得:
n
− a a cos 60° = a en − a r a r = 2.867(m/s 2 )
其中
a an =
va2 = ω2 r r 2 3 2 ω r 3
n 2 a
a rn = 4ω 2 r
a c = 2ω e v r = 4ω 2 r
a e = 3ω 2 r
解得
a at = −
t 2 a
aa =
(a ) + (a )
=
21 2 ω r 3
6.15 上题中的两圆分别绕起圆周上点 A 与 B 以角速度 ω 与 2ω 反向匀速转动 示 试求当 A O O′ B 四点位于同一直线时点 P 的速度和加速度