人教版九年级下册第20题相似三角形与锐角三角函数专题练习(无答案)

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单元测试(八)：相似、锐角三角函数-2019-2020学年九年级数学人教版下册

2019—2020学年度下学期九年级单元测试（八）《相似》《锐角三角函数》一、选择题（每小题3分共30分） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若23AD DB，则AE AC＝( )A.13B.25C.23D.35 2．已知5y －4x ＝0，那么（x ＋y ）∶（x －y ）的值等于（）A.91B.－9C.9D.－91 3．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( )A.43B.34C.35D.454．在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若△ADE 与四边形DBC E 的面积相等，则DEBC 等于（） A.2 B.12 C.1 D. 145．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 边上的点，连接BE ，AF ，它们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线与点H ，则图中相似三角形共有（） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6．如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) 7．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( )A.13 B ．2 2 C.223 D.24第7题图第5题图第6题图9.在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F ，若EC ＝2BE ，则BFFD 的值是( )A.12B.13C.14D.1510. 如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是( ) A ．20B ．22C ．24D ．26二、填空题（每小题3分共18分）11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CFCD＝． 12．在Rt △ABC 中，若2AB ＝AC ，则cosC ＝．13．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在边AB 上，F ，G 分别在CD 和BC 的延长线上，且EF 经过AD 的中点，若△EFG 是等边三角形，则ABAD的值为 . 14．如图，已知△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB ＝2，BC ＝1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI ＝．15．已知,如图,矩形AOBC ,以O 为坐标原点,OB 、OA 分别在x 轴,y 轴上,点A 坐标为（0,3）,∠OAB =60°以AB 为轴对折后,使C 点落在D 点处,则D 点坐标为．16．如图，在菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠ABC ＝60°，∠EAF ＝60°，点E 在CB 的延长线上，点F 在DC 的延长线上，有下列结论：①BE ＝CF ；②∠EAB ＝∠CEF ；③△ABE ∽△EFC ；④若∠BAE ＝15°，则点F 到BC 的距离为23－2.其中正确的结论是____________（填上正确结论的序号）．第14题图第11题图第13题图第15题图第10题图第8题图第16题图三．解答题（共72分）17．计算（8分，每题4分）(1) 2sin30°＋(π－3.14)0＋|1－2|＋(－1)2 019；(2) －12－|3－10|＋25sin45°－( 2 019－1)2.18．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点G ；分别以点G ，B 为圆心，大于12GB 的长为半径画弧，两弧交点K ，作射线CK ；②以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点M ，交AB 的延长线于点N ；分别以点M ，N为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作直线BP交AC 的延长线于点D ，交射线CK 于点E. 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题：(1)线段CD 与CE 的大小关系是；(2)过点D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于点F.若AC ＝12，BC ＝5，求tan ∠DBF 的值．19.（8分）如图，在▱ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE ＝AB ，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G. (1)求证：BF ＝CF ；(2)若BC ＝6，DG ＝4，求FG 的长．20．（8分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE.21.（8分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，连接DE．（1）求证：△EOD∽△BOC；（2）若S△EOD=9，S△BOC=25，求AE∶AC及S△ADE∶S四边形BCDE的值．22．(10分) 如图1，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长．【变式】点D，E分别变到CB，AC的延长线上．如图2，△ABC是等边三角形，点D，E分别在CB，AC的延长线上，∠ADE＝60°.求证：△ABD∽△DCE图1 图223．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．24．(12分) 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝AFAD，当k为何值时，CF＝12AD?②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．8.《相似与解直角三角形》参考答案一、选择题1-10 BC D AC AB D B D 二、填空题11、1312、32或255 13、2 14、4315、(2,32-) 16、①② 三、计算题17、(1)解：原式＝1＋1＋(2－1)－1＝ 2.(2)解：原式＝－1－(10－3)＋25×22－(2 019－2 2 019＋1) ＝－1－10＋3＋10－2 019＋2 2 019－1 ＝－2 018＋2 2 019.18、(1) CD ＝CE(2) 解：∵BD 平分∠CBF ，BC ⊥CD ，BF ⊥DF ， ∴BC ＝BF ，∠CBD ＝∠FBD. 在△BCD 和△BFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DCB ＝∠DFB ，∠CBD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∴△BCD ≌△BFD(AAS)． ∴CD ＝DF.设CD ＝DF ＝x ，在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝13， ∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝BC AB ，即x 12＋x ＝513，解得x ＝152.∵BC ＝BF ＝5， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝152×15＝32.19. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴△EBF ∽△EAD. ∴BF AD ＝EB EA ＝12.∴BF ＝12AD ＝12BC.∴BF ＝CF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴△FGC ∽△DGA. ∴FG DG ＝FC AD ，即FG 4＝12. 解得FG ＝2.20. 解：设E 关于O 的对称点为M ，由光的反射定律知，延长GC ，FA 相交于点M ，连接GF 并延长交OE 于点H. ∵GF ∥AC ， ∴△MAC ∽△MFG . ∴AC FG ＝MA MF ＝MO MH，即AC BD ＝OE MH ＝OE MO ＋OH ＝OE OE ＋BF . ∴OE OE ＋1.6＝22.1.∴OE ＝32.答：楼的高度OE 为32米．21.（1）略（2）35AE AC ；9=16ADE BCDE S S 四形边22. 解：∵△ABC 是边长为9的等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝9. ∴∠BAD ＋∠ADB ＝120°. ∵∠ADE ＝60°， ∴∠CDE ＋∠ADB ＝120°. ∴∠BAD ＝∠CDE. ∴△ABD ∽△DCE. ∴AB DC ＝BD CE ，即99－3＝3CE.∴CE ＝2. ∴AE ＝9－2＝7.【变式】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∴∠ABD＝∠DCE＝120°.∵∠ABC＝∠DAB＋∠BDA，∠ADE＝∠EDC＋∠BDA，∠ABC＝∠ADE＝60°，∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.23.24. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A(－3，0)，B(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋3＝0，a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(－1，4)．(2)①∵在Rt △AOC 中，OA ＝3，OC ＝3， ∴AC 2＝OA 2＋OC 2＝18.∵D(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)， ∴CD 2＝12＋12＝2，AD 2＝22＋42＝20. ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°. ∵CF ＝12AD ，∴F 为AD 的中点．∴AF AD ＝12，即k ＝12. ②连接BC ，在Rt △ACD 中，tan ∠DAC ＝DC AC ＝232＝13，在Rt △OBC 中，tan ∠OCB ＝OB OC ＝13， ∴∠DAC ＝∠OCB.∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°. ∴∠FAO ＝∠ACB. 若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF ＝∠ABC 时，△AOF ∽△CBA ，∴OF ∥BC ，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋t ＝0，t ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，t ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋3. ∴直线OF 的解析式为y ＝－3x. 设直线AD 的解析式为y ＝mx ＋n ，9数学（下）8—11 ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝4，－3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝6.∴直线AD 的解析式为y ＝2x ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋6，y ＝－3x ，解得⎩⎨⎧x ＝－65，y ＝185.∴F(－65，185)；当∠AOF ＝∠CAB ＝45°时，△AOF ∽△CAB. ∵∠CAB ＝45°，∴直线OF 的解析式为y ＝－x.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∴F(－2，2)．综上所述，点F 的坐标为(－65，185)或(－2，2)．。

人教新版数学九年级下册《相似》习题含答案

人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。

人教版数学九年级下册第27章相似 27.2 相似三角形 27.2.2相似三角形的判定同步训

第27章相似 27.2 相似三角形 27.2.2相似三角形的判定同步训练1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对2. 如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对3．如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，则下列等式成立的是( )A.DE BC ＝AD DB B ．AE BC ＝AD BD C.DE CB ＝AE AB D ．AD AB ＝AE AC 4. 下列各组图形中有可能不相似的是( ) A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D ．两个等腰直角三角形5. 如图，∠1＝∠2＝∠3，则图中共有相似三角形( )A ．1对B ．2对 C.3对 D ．4对6. 如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E ，若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( )A ．18B ．1095 C.965 D ．2537. 如图，有三个三角形，其中相似的是 .8. 如图，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，△ABC 与△AED 相似吗？为什么？9. 如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且∠EFG ＝90°.求证：△EFB ∽△FCG.10. 如图已知，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，BE 交CD 于点O.求证：△ABE ∽△OCE.11．如图，在▱ABCD 中，AD ＝10cm ，CD ＝5cm ，E 为AD 上一点，且BE ＝BC ，CE ＝CD ，则DE ＝ cm.12．如图，正方形ABCD 中，BC ＝2，点M 是边AB 的中点，连接DM ，DM 与AC 交于点P ，点E 在DC 上，点F 在DP 上，且∠DFE ＝45°，若PF ＝56，则CE ＝ . 13. 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，E 为边AD 上一点．若∠1＝∠B ，CD ＝CE ，试说明△ACE ∽△BAD.14. 如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.(1)证明：∠BDC＝∠PDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．参考答案： 1---6 CDCAD B 7. ①与②8. 解：△ABC ∽△AED ，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ，∴∠BAC ＝∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，∵∠B ＝∠E ，∠BAC ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△AED. 9. 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴BEF ＋∠BFE ＝90°，∵∠EFG ＝90°，∴∠BFE ＝∠CFG ，∴△EFB ∽△FCG.10. 证明：因为CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，所以∠AEB ＝∠ADC ＝90°.又∠A ＝∠A ，所以∠ABE ＝∠OCE.又因为∠AEB ＝∠OEC ，所以△ABE ∽△OCE. 11. 2.5 12. 7613. 证明：∵CD ＝CE ，∴∠CED ＝∠CDE ，即∠B ＋∠3＝∠1＋∠2，又∠1＝∠B ，∴∠2＝∠3，∴△ACE ∽△BAD.14. (1)证明：∵AB ＝AD ，AC 平分∠BAD ，∴AC ⊥BD ，∴∠ACD ＋∠BDC ＝90°，∵AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∴∠ADC ＋∠BDC ＝90°，∵PD ⊥AD ，∴∠ADC ＋∠PDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠PDC ；(2)解：过点C 作CM ⊥PD 于点M ，∵∠BDC ＝∠PDC ，∴CE ＝CM ，∵∠CMP ＝∠ADP ＝90°，∠P ＝∠P ，∴△CPM ∽△APD ，∴ CM AD ＝PCPA ，设CM ＝CE ＝x ，∵CE ∶CP ＝2∶3，∴PC ＝32x ，∵AB ＝AD ＝AC ＝1，∴x 1＝32x 32x ＋1，解得：x ＝13，故AE ＝1－13＝23.。

相似三角形及锐角三角函数

九年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：一、相关概念：1. 相似图形：形状相同的图形。

2. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。

3. 相似比：相似多边形对应边的比。

二、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等三、相似三角形的判定✓通过定义（三边对应成比例，三角相等）✓平行于三角形一边的直线✓三边对应成比例（SSS）✓两边对应成比例且夹角相等（SAS）✓两角对应相等（AA）✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）四、相似三角形的性质✓对应角相等。

✓对应边成比例。

✓对应高的比等于相似比。

✓对应中线的比等于相似比。

✓对应角平分线的比等于相似比。

✓周长比等于相似比。

✓面积比等于相似比的平方。

五、位似：✓位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.✓在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.考点一一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列命题：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的等腰直角三角形都相似，④所有的直角三角形都相似.其中，正确的是 ( )A.②③B.②③④C.③④D.②④2.有两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.23.如图，点P 是△ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条4.如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对5.两个相似菱形边长的比是1:4，那么它们的面积比是 ( ) A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:166.下列条件中，不能判定以A /、B /、C /为顶点的三角形与△ABC 相似的是（） A.∠C=∠C /=90°,∠B=∠A /=50° B.AB=AC ，A /B /=A /C /，∠B=∠B /C.∠B=∠B /，////C B BC B A AB =D. ∠A=∠A /，////C B BC B A AB =7.△ABC 的周长等于16，D 是AC 的中点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC 的周长等于( ) A.2 B.4 C.6 D.88.在□ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 相交于H ，则△EFH 的面积与△ADH 的面积的比值为（） A ．21 B ． 81 C ．161 D ．41二、填空题（每小题3分，共18分）9．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，则这个地区的实际周长________。

完整word版人教版初三数学相似三角形的判定基础练习题含答案

1.相似三角形的判定(根底〕一、选择题以下判断中正确的选项是()A.C.全等三角形不一定是相似三角形不相似的三角形一定不全等B.不全等的三角形一定不是相似三角形D.相似三角形一定不是全等三角形2．△ABC的三边长分别为、、2,△A′B′C′的两边长分别是1和,如果△ABC与△A′B′C′相似,那么△A′B′C′的第三边长应该是() A.B. C. D.3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是〔〕．A．①和②①②B．②和③③C．①和③④D．②和④在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件()A.只有①B.只有②C.①和②分别都是D.①和②都不是5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，假设∠AEF＝90°，那么一定有〔〕A．ADE∽AEF B．ECF∽ΔAEF C．ADE∽ΔECF D．AEF∽ΔABF6.如下图在平行四边形ABCD 中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，那么CD的长为()A. B.8 C.10 D.167.二、填空题如下图，D、E两点分别在AB、AC上且DE和BC不平行，请你填上一个你认为适宜的条件___使△ADE∽△ACB.8.如下图，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，那么AC=________.如下图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△ AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,那么图中与△OEF相似的三角形为____.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,那么图中相似三角形共有_________对.三．解答题13.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，那么△ABC和△EDF相似吗？为什么？【答案与解析】一．选择题1.【答案】C2.【答案】A【解析】根据三边对应成比例，可以确定，所以第三边是3.【答案】C【解析】设方格边长为1，求出每个三角形的各边长，运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定方法来确定相似三角形.4.【答案】C5.【答案】C【解析】∵∠AEF＝90°,∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C【解析】∵EF∥AB，∴，∵，∴，，CD=10，应选C.二.填空题7.【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或.【解析】据判定三角形相似的方法来找条件.8.【答案】3.【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9.【答案】；10.【答案】4【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4BC=CD=2∴,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥∥CD∴△EFC∽△EAB;△EFC∽△AFD;△AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD．15.【解析】△ABC和△EDF都是直角三角形，且两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC 和DE，再看三边是否对应成比例.在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.由勾股定理得.在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.由勾股定理，得.在△ABC和△EDF中，，，，∴，∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).。

人教版九年级数学下册相似三角形的性-同步练习

27.2.2 相似三角形的性质1. 如果两个相似三角形对应边之比是 1：4，那么它们的对应中线之比是（）A ．1：2B ．1：4C ．1：8D ．1：162.两相似三角形对应高长的比为 3：4，则对应中线长的比为（） A ．3：4B ．9：16C ． 3 ：2D ．4：33.若 △ ABC ∽△DEF △，ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D ．１∶ 24.（2013 重庆）已 △知ABC ∽△DEF ， △若ABC 与△DEF 的相似比为 3︰4， △则ABC 与 △DEF 的面积之比为（）A ．4︰3B ．3︰4C ．16︰9D ．9︰165.(2014 上海徐汇一模)已知△ABC 和△DEF 相似，且△ABC 的三边长为 3、4、5，如果 △DEF 的周长为 6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．36. 如图， △在ABC 中，点 D 、E 分别在 AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若 AD ∶AB=3∶4， AE=6，则 AC 等于（） A. 3 B. 4C. 6D. 8 第 6（9）题图第 8 题图第 10 题图7. 如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3、4 及 x ，那么 x 的值为（）A ． 7B ．5C ． 7或 5 D ．无数个8. （2014 江苏宿迁）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AB =8，AD =3， BC=4，点 P 为 AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 个数是（） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个9.已 △知ABC ∽△A'B'C'，且 S ：S =16：9，若 AB=2，则 A'B'=_______． 9. 如图 △，ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于 D ，若 AB=4，BD=2，则 BC=__________．△ABC △A'B'C'11.（2014湖南长沙）如图，在ΔABC中，DE//BC，△ABC的面积为．DE2BC3△，ADE的面积是8，则。

九年级数学下册27.2相似三角形27.2.2《相似三角形的性质》测试(A卷,无答案)新人教版(20

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1 / 51《相似三角形的性质》A卷一、单项选择题（共5题，共37分）1。

若△ABC∽△DEF,相似比为 3:2，则对应高的比为（ )A.3：2B.3：5C.9：4 D。

4：92。

已知△ADF∽△DEF且相似比为4：3,若△ABC中BC边上的中线AM=8, 则△DEF中EF边上的中线( ）A。

3 B.4 C。

5 D。

63。

已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18,则△DEF的周长为 ( ）A。

2 B.3 C.6 D。

544.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则△EOD的周长与△BOC的周长的比为（）A. 1:2B.2：3C.1：3D. 1：45。

已知△ABC∽△,AD,分别是△ABC，△的高，且AD:=2:3，则（）A.△ABC 与△的周长比为4：9B.AB ：=2:3C.D 。

2 / 52二、填空题(共5题,共35分）1.若△ABC∽△，对应角平分线的比为2：,且BC边上的中线AD=5,则边上的中线=____。

2。

如图，在AD=10cm，CD=6cm，E为AD上一点，且 BE=BC，CE=CD, BM平分∠EBC,交CE于点M， CN平分∠ECD，交ED于点N.则的值是________.3。

【新】人教版九年级数学下册27.2 相似三角形同步练习及答案

27.2 相似三角形专题一相似形中的开放题1．如图，在正方形网2．格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC 的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三相似形中的探究规律题4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．275．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．专题四相似形中的阅读理解题6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：(1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为；(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.图1 图2专题五相似形中的操作题7．宽与长的比是215的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG= DB，请给予证明．专题六相似形中的综合题 9．正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM = 时，四边形ABCN 的面积最大．10．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 的中点O 为圆心，21AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是 AE的中点；（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ；（3）若21=∆∆OCD CEF S S ，且AC =4，求CF 的长.【知识要点】1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例. 2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等. 3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比. 8．相似三角形对应高的比等于相似比.9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案 1．22或42 【解析】根据题意得AD =1，AB=3，AC=26， ∵∠A=∠A ，∴若△ADE∽△ABC 时，ACAEAB AD =，即2631AE =，解得AE =22. 若△ADE∽△ACB 时，AB AE AC AD =3AE=，解得AE=42. ∴当AE =22或42时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．2．解：（1）△ADE∽△ACB ，△CEF∽△DBF ，△EFB∽△CFD (不唯一).（2）由∠BDE+∠BCE =180°，可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB ; ∴AC AD =ABAE.∵ ∠A=∠A ， ∴△AEB∽△ADC ;∵∠BDE+∠BC E =180°，∠BCE+∠ECF =180°， ∴∠ECF=∠BDF ，又∠F=∠F ， ∴△CEF∽△DBF ;∴BF EF =DFCF，而∠F=∠F ，∴△EFB∽△CFD . 3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD .∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb ，∴x ＝a －AB 2 ＝a －nb2. 4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm，40(cm)BC ==．设矩形纸条的长边分别与AC 、AB 交于点M 、N ，因为△AMN ∽△ACB ，所以BC MN AC AM =．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN ≥5 cm ，所以4053030≥-n ，得n ≤26.25，所以n 最多取整数26．5．解：（1）在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N ，交GF 于点M ．因为∠C =90°，AC =4，BC =3，所以AB =5．因为21×5CN=21×3×4，所以CN=512．因为GF∥AB ，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B ，所以△CGF∽△CAB ，所以ABGFCN CM =．设正方形的边长为x ，则1251255xx -=，解得3760=x ．所以正方形的边长为3760．（2）同（1），有12251255xx -=，解得4960=x ．（3）同（1），有12351255x x -=，解得6160=x ．（4）同（1），有1251255x nx -=，解得n x 122560+=． 6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x ，则a a 2=xm,∴x =2m. (3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°. 设新做扇形的半径为γ，则230γ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21，γ=152，即新做扇形的半径为152㎝. 7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a ，∵N 为BC 的中点，∴12NC BC a ==. 在Rt△DNC 中，2222(2)5.ND NC CD a a a =+=+= ∵NE=ND ，∴(51)CE NE CN a =-=-. ∴2152)15(-=-=a a CD CE ，故矩形DCEF 为黄金矩形. 8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB （E ）CD （F ）沿对角线BD （EF ）剪开，∴∠B =∠D .∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，∴BF =DF .∵∠HFG =∠B ，∴∠GFD =∠BHF ，∴△BFH∽△DGF ，∴BF BHDG DF=， ∴BH•GD =BF 2.（2）证明：∵AG∥CE ，∴∠FAG∥∠C .∵∠CFE=∠CEF ，∴∠AGF=∠CFE ，∴AF=AG . ∵∠BAD=∠C ，∴∠BAF=∠DAG ，△ABF≌△ADG ，∴FB=DG ，∴FD+DG=DB ， 9．210．解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵OD ∥BC ，∴AE ⊥OD ，∴D 是 ⌒AE的中点. （2）方法一：证明：如图，延长OD 交AB 于G ，则OG ∥BC .∴∠AGD=∠B .∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO . ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 方法二：证明：如图，延长AD 交BC 于H ，则∠ADO=∠AHC .∵∠AHC=∠B +∠BAD ，∴∠ADO =∠B +∠BAD . ∵OA=OD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD . （3） ∵AO=OC ，∴12OCD ACD S S ∆∆=.∵12CEF OCD S S ∆∆=，∴14CEF ACD S S ∆∆=.∵∠ACD=∠FCE ，∠ADC=∠FEC =90°，∴△ACD∽△FCE .∴2CEF ACD S CF S AC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2144CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴CF =2.。

人教版2024九年级下册数学第二十八章锐角三角函数课后练习

第二十八章锐角三角函数课后练习锐角三角函数的定义与求值1．在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则tan A的值是.2．把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍,则锐角A的余弦值()A．不变B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的12D．不能确定3．在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=8,sin A=34,则BC的长为()A．6B．7.5C．8D．12.54．如图,已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上,则下列结论错误的为()A．cos B．sin B=5C．tan B=12D．tan B·tan C=1特殊角的锐角三角函数值5．在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且(tan B-3)2+2cosA是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形,那么锐角α为30度.7．计算:3tan30°+tan45°-2sin60°.解直角三角形及其应用8．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,CB=43,解这个直角三角形.9．如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D．若AB=10,PC=12,则sin∠CAD等于()A．125B．1312C．135D．121310．某县动车站于2014年开通,方便了更多的人出行,如图是该动车站某扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).琪琪同学乘扶梯从扶梯底端A以0.5m/s的速度用时40s到达扶梯顶端B,则琪琪同学上升的铅直高度BC为m.11．如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌.经测量得到如下数据:AM=4m,AB=8m,∠MBC=30°,∠MAD=45°,则警示牌的高CD为多少米(结果保留根号)?12．2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站,如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态,当两臂AC=BC=10m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离(结果精确到0.1m;参考数据:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192).13．如图,某校数学兴趣小组需测量一古塔的高度AB．该古塔旁有一个小山坡,在山脚处C观测塔的顶端A的仰角为60°,已知BC=10m,ED⊥BD(点B,C,D在同一直线上).(1)求古塔的高度AB(结果保留根号);(2)涛涛站在古塔的顶端A处观测山坡的顶端E的俯角为30°,该山坡的坡度i=tan∠ECD=1∶3,求山坡的高度DE(结果保留根号).14．如图,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6m到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是45°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留根号).。

锐角三角函数值与锐角关系(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题28.7锐角三角函数值与锐角关系（专项练习）一、单选题1．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，3sin 5A =，则tanB 的值为（）A ．45B ．35C ．34D ．432．已知：22sin 32cos α1+= ，则锐角α等于（）A ．32B ．58C ．68D ．以上结论都不对3．在Rt ABC ，90C ∠=，3sin 5B =，则sin A 的值是（）A ．35B ．45C ．53D ．544．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则tanA·tanB 等于()A ．0B ．1C ．－1D ．不确定5．如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．则sinA 的值为（）A ．725B ．2425C ．724D ．2476．⊿ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列比值中不等于tan A 的是（）A ．BC ACB ．CD ADC ．BD CDD ．AC AB7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，则sin B 的值为()A ．54B ．45C ．53D ．358．在ABC 中，90C ∠=，3sin 5A =，那么cosB 的值等于（）A ．35B ．45C ．34D ．439．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k 1x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y=2k x在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ．若S △OBC =1，tan ∠BOC=13，则k 2的值是（）A ．﹣3B ．1C ．2D ．310．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：①2GF =；②OD =；③1tan 2CDE ∠=；④90ODF OCF ∠=∠=︒；⑤点D到CF 的距离为5．其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①②③⑤D ．①②④⑤二、填空题11．已知α∠为锐角，且5sin 13α=，则cos α=______．12．已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________.13．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．14．已知：tanx=2，则sin 2cos 2sin cos x xx x+-＝____.15．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．给出下列四个结论：①sinα=sinB ；②sinβ=sinC ；③sinB=cosC ；④sinα=cosβ.其中正确的结论有_____.16．如图，在菱形ABCD 中，10AB AC ==，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且3AM =，点P 为线段BD 上的一个动点，则12MP PB +的最小值是______．17．如图，在Rt ABC △中．90,2,4ABC AB BC ∠=︒==，点D 是边AC 上一动点．连接BD ，将ABD △沿BD 折叠，点A 落在A '处，当点A '在ABC 内部（不含边界）时，AD 长度的取值范围是___________．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB V 斜边上的高为1，30AOB ∠=︒，将Rt OAB V 绕原点顺时针旋转90︒得到Rt OCD △，点A 的对应点C 恰好在函数(0)ky k x=≠的图象上，若在ky x=的图象上另有一点M 使得30MOC ∠=︒，则点M 的坐标为_________．三、解答题19．求值：(1)260453456 cos sin tan tan+-⋅；()2已知2tanA=，求245sinA cosAsinA cosA-+的值．20．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．21．如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，BC=BD和AE的长．22．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）如果sin AAEF ABCS S ∆∆的值．23．如图，点P 为函数112y x =+与函数(0)m y x x =>图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B．（1）求m 的值；（2）点M 是函数(0)my x x=>图象上一动点，过点M 作MD BP ⊥于点D ，若1tan 2PMD ∠=，求点M 的坐标．24．如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC BD 、的交点，连接CE DG 、．（1）求证：DOG COE ∆∆≌；（2）若DG BD ⊥，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，12AM =，求正方形OEFG 的边长．参考答案1．D【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可．解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∵sinA=BC AB =35，设BC=3x ，则AB=5x ，∵BC 2+AC 2=AB 2∴AC=4x ．∴tanB=AC BC ＝4x 3x＝43．故选D ．【点拨】本题考查了求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．2．A解：∵sin 2α+cos 2α=1，α是锐角，∴α=32°．故选A ．3．B【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin 2A+sin 2B=1解答．解：∵在Rt △ABC 中,∠C =90︒，∴∠A +∠B =90︒，∴sin 2A+sin 2B=1，sin A >0，∵sin B =35，∴sin A =45.故选B.【点拨】本题考查互余两角三角函数的关系.4．B【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC 的边表示出两个三角函数，即可求解．解：•.1a b tanA tanB b a==故选B ．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A【分析】根据勾股定理逆定理推出∠C=90°，再根据sin =BCA AB进行计算即可；解：∵AB=25，BC=7，CA=24，又∵22225=247+，∴222=AB BC AC +，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∴sin =BC A AB =725；故选A.【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.6．D【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．解：如下图所示在Rt ABC 中，tan A =BC AC，故A 不符合题意；在Rt ACD △中，tan A =CDAD，故B 不符合题意；∵∠A ＋∠ACD=90°，∠BCD ＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD ∴tan A =tan ∠BCD=BDCD，故C 不符合题意；tan A ≠ACAB，故D 符合题意．故选D ．【点拨】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．7．D【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解．解：因为∠A ＋∠B ＝90°，所以sinB ＝cosA ，所以sinB ＝35．故选D【点拨】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A ＋∠B ＝90°，则sinA ＝cosB ，sinB ＝cosA8．A【分析】根据∠A +∠B =90°得出cos B =sin A ，代入即可．解：∵∠C =90°，sin A =35．又∵∠A +∠B =90°，∴cos B =sin A =35．故选A ．【点拨】本题考查了互余两角三角函数的关系，注意：已知∠A +∠B =90°，能推出sin A =cos B ，cos A =sin B ，tan A =cotB ，cotA =tan B ．9．D解：试题分析：先求得直线y=k 1x+2与y 轴交点C 的坐标为（0，2），然后根据△BOC 的面积求得BD 的长为1，然后利用∠BOC 的正切求得OD 的长为3,，从而求得点B 的坐标为（1，3），代入y=2k x求得k 2=3．故答案选D.考点：反比例函数与一次函数的交点问题．10．C【分析】由题意易得,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC 是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D 作DH ⊥CF ，交CF 的延长线于点H ，然后根据三角函数可进行求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，AC BD ⊥，∵点F 是DE 的中点，∴1,//2OF BE OF BE =，∵6OF =，4CE =，∴12BE =，则8CD BC ==，∵OF ∥BE ，∴△DGF ∽△DCE ，∴12DG GF CD CE ==，∴2GF =，故①正确；∴点G 是CD 的中点，∴OG ⊥CD ，∵∠ODC =45°，∴△DOC 是等腰直角三角形，∴OD =，故②正确；∵CE =4，CD =8，∠DCE =90°，∴1tan 2CE CDE CD ∠==，故③正确；∵1tan 12CDE ∠=≠，∴45CDE ∠≠︒，∴90ODF ∠≠︒，故④错误；过点D 作DH ⊥CF ，交CF 的延长线于点H ，如图所示：∵点F 是CD 的中点，∴CF =DF ，∴∠CDE =∠DCF ，∴1tan tan 2CDE DCF ∠=∠=，设DH x =，则2CH x =，在Rt △DHC 中，22464x x +=，解得：5x =±，∴DH =∴正确的结论是①②③⑤；故选C ．【点拨】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．11．1213【分析】根据5sin 13α=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cos α的值．解：∵22sin cos 1αα+=，5sin 13α=，∴12cos 13α=±，又∵α∠为锐角，∴12cos 13α=.故答案为：1213.【点拨】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．12．35【分析】根据∠A +∠B ＝90°，判定三角形ABC 为直角三角形，则根据互余两角的三角函数的关系求解即可.解：由∠A +∠B ＝90°，sin A ＝35，得：cos B ＝sin A ＝35，故答案为35．【点拨】本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在△ACB 中，∠A +∠B ＝90°，则∠C=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA=cotB ，cotA=tanB ．13．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．14．43解：分子分母同时除以cosx ，原分式可化为：221tanx tanx +-，当tanx=2时，原式=2242213+=⨯-．故答案为43．15．①②③④【分析】根据∠A=90°，AD ⊥BC ，可得∠α=∠B ，∠β=∠C ，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．解：∵∠A=90°，AD ⊥BC ，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B ，∠β=∠C ，∴sinα=sinB ，故①正确；sinβ=sinC ，故②正确；∵在Rt △ABC 中sinB=AC BC ，cosC=AC BC，∴sinB=cosC ，故③正确；∵sinα=sinB ，cos ∠β=cosC ，∴sinα=cos ∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点拨】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．16【分析】过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时12MP PB +的长度最小为MH ，再算出MC 的长度，在直角三角形MPC 中利用三角函数即可解得MH解：过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时12MP PB +的长度最小∵菱形ABCD 中，10AB AC ==∴AB =BC =AC =10，△ABC 为等边三角形∴∠PBC =30°，∠ACB =60°∴在直角△PBH 中，∠PBH =30°∴PH =12PB ∴此时12MP PB +得到最小值，1=2MP PB MP PH MH ++=∵AC =10，AM =3,∴MC =7又∠MPC =60°∴MH =MC【点拨】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P 点是解题关键.17．53AD <<【分析】分别求出当A '落在AC 和BC 上时AD 的长度即可.解：∵∠ABC =90°，AB =2，BC =4，∴AC ===当点A '落在AC 上时，如图，∵将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在A '处，∴∠ADB =A DB '∠=90°，∵AD AB cosA AB AC==，∴2AB AD AC ==当点A '落在BC 上时，如图，过点D 作DH ⊥AB 于H ，∵将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在A '处，∴∠ABD =∠DBC =45°，∵DH ⊥AB ，∴∠HDB =∠HBD =45°，∴BH =DH ，∵2HD BC tanA AH AB===，∴HD =2AH =BH ，∵AB =AH +BH =2AH +AH =2，∴23AH =，43BH DH ==，∴3AD ===，∴当点A '在△ABC 内部（不含边界）时，ADAD <<．【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．18．【分析】利用30°的正切可以求出C 点坐标，再利用C 、M 在(0)k y k x =≠上，设M 的坐标，最后通过30MOF ∠=︒可以求出M 点的坐标．解：如图，过点C 作CE y ⊥轴，过点M 作MF x ⊥轴，由题意可知30EOC MOF ∠=∠=︒，1CE =则tan 30CE OE ==︒C在0)y k ≠上，k ∴=设()M m m(0)m >30MOF ∠=︒tan 3MOF ∴∠==解得1,1m m ==-（不符合题意，舍去）所以M故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C 点的坐标是解决问题的关键．19．（1）0；（2）313.【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．解：（1）原式12=+（2）2﹣11122=+-1=0；（2）∵tan A =2，∴sin cos A A =2，∴sin A =2cos A ，∴原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．20．（1）α=30°；（2）α=60°．【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度数；（2）先求出sinα解：（1）解得：则α=30°；（2）解得：sinα=2，则α=60°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．21．(1)见分析(2)8,BD AE ==【分析】（1）由等腰三角形的性质得到,AD CD BD AC =⊥，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2）先求出AB =，由勾股定理得出BD 的长度，解直角三角形求出AF 的长度，再由菱形的性质即可求解．解：（1） BA =BC ，BD 平分∠ABC,AD CD BD AC∴=⊥ DE =DF∴四边形AECF 是菱形；（2）BD AC ⊥ ，BA ⊥AF90ADB BAF ∴∠=∠=︒BC = ，BA =BCAB ∴= AD =4∴在Rt ABD ∆中，BD 8==tan AD AF ABD BD AB∠== 48∴=AF ∴=四边形AECF 是菱形AE AF ∴==【点拨】菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．22．（1）见分析；（2）14【分析】（1）先求证AEB AFC △∽△，得到AE AB AF AC =，再根据A A ∠=∠，即可求证；（2）根据三角函数的定义以及关系，求得AE AB的值，即可求解．解：（1）∵BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高∴90AFC AEB ∠=∠=︒又∵A A∠=∠∴AEB AFC△∽△∴AE AB AF AC =，即AE AF AB AC=又∵A A ∠=∠∴AEF ABC∽（2）在Rt ABE △，sin 2BE A AB ==，cos AE A AB =由锐角三角函数关系可得：1cos 2A ==，即12AE AB =由（1）得，AEF ABC∽∴21(4AEF ABC S AE S AB ∆∆==【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键．23．（1）24；（2）M 点的坐标为(8,3)【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P 的横坐标，利用k =xy 计算m 即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.解：（1）∵点P 纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，(6,4)P ∴∴4=6m ，∴24m =．（2）∵1tan 2PMD ∠=，∴12PD PM =，设(0)PD t t =>，则2DM t =，当M 点在P点右侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t +-，∴（6+2t ）（4-t ）=24，解得：11t =，20t =（舍去），当11t =时，(8,3)M ，∴M 点的坐标为(8,3)，当M 点在P 点的左侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t -+，∴（6-2t ）（4+t ）=24，解得：10t =，21t =-，均舍去．综上，M 点的坐标为(8,3)．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．24．(1)见分析;(2)【分析】（1）由正方形ABCD 与正方形OEFG ，对角线AC BD 、，可得90DOA DOC ∠=∠=︒，90GOE ∠=︒，即可证得GOD COE ∠=∠，因,DO OC GO EO ==，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）方法一：过点M 作MH DO ⊥交DO 于点H ，由于45MDB ∠=︒，由可得,DH MH 长，从而求得HO ，即可求得MO ，再通过MH DG ∥，易证得D OHM O G △∽△，则有OH MO OD GO =，求得GO 即为正方形OEFG 的边长方法二：因为DG ⊥BD ，利用同旁内角互补证DG ∥OA ，进而得△DMG ∽△AMO 。

九年级数学下册相似三角形测试题人教新课标版(2021年整理)

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相似三角形测试题一、选择题（40分)1。

如图1，已知AB CD EF∥∥，那么下列结论正确的是（）A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD= C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=图4图2 图32。

如图2所示，给出下列条件：①B ACD∠=∠;②ADC ACB∠=∠；③AC ABCD BC=;④2AC AD AB=．其中单独能够判定ABC ACD△∽△的个数为（ )A．1 B．2 C．3 D．43。

如图3,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线，则下面四个结论:（1）DE=1，(2)△CDE∽△CAB,（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4。

其中正确的有：（）A．0个B．1个C．2个D．3个4. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（ )A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶25. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值（） A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个6。

美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4，某女士身高165cm，下半身长x与身高l 的比值是0。

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初中数学试卷桑水出品相似三角形练习题1．如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB =g ．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．42.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（） A ．AD BC DF CE = B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD ADEF AF= 3. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为 1：4.其中正确的有：（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（） A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D ．１∶25.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个6.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形7.如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2DBCA NM O格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格8.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

(完整word)九年级下数学相似三角形经典习题(含答案),推荐文档

九年级下数学相似三角形经典习题例1从下面这些三角形中，选出相似的三角形.例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似.（2）所有的等腰三角形都相似.（3）所有的等腰直角三角形都相似.（4）所有的等边三角形都相似.例5如图，D 点是 ABC 的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在 ABC 的边上，并且点D 、点E 和 ABC 的一个顶点组成的小三角形与ABC 相似•尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法.例6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约 30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.已知：如图，匸ABCD 中,如图，已知 ABD s AE: EB 1:2，求 AEF 与 CDF 的周长的比，如果 S AEF2 、6cm ，求 S CDF •ACE ，求证: ABC s ADE •B初三(下)相似三角形例7如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC 1.5m，小明的眼睛离地面的高度为 1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m).例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由.例9根据下列各组条件，判定ABC和ABC是否相似，并说明理由：(1)AB 3.5cm, BC 2.5cm, CA 4cm, A B 24.5cm, B C 17.5cm,C A 28cm .(2) A 35 , B 104 , C 44 , A 35 .(3)AB 3, BC 2.6, B 48 , A B 1.5,BC 1.3, B 48 .例10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据.例11已知：如图，在ABC中，AB AC, A 36 ,BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2 DC AC .初三（下）相似三角形例12已知ABC的三边长分别为5、12、13,与其相似的ABC的最大边长为26，求ABC的面积S.例13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法•小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.AGEHB C D例14•如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C,使AB BC , 然后再选点E,使EC BC，确定BC与AE的交点为D,测得BD 120米，DC 60米，EC 50米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？例15.如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD 的水平距离BD各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ ABC的边AB = 2.3 , AC= 2, BC边上的高AD = .3 .（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC , BC上，求这个正方形的面积.初三(下)相似三角形AC第4页共6页因此ABC s ABC本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形, CE 30 米，求 BC .由于 ADF s AEC ,-DF J AF，又 EC ACACFDF 60厘米DFs ABC,•——EC0.6米,GF 12厘米，从而可以求出解 AE EC, DF // EC ,• ADF AEC,DAF ADF sBCAEC . •匹 jAFEC AC又GFEC,BC EC , • GF // BC, AFGACB, AGFABC ,0.12米,BC 的长.AF• AGF s ABC ,• jAFGF BC ，DF EC GF BC 相似三角形经典习题答案例1. 解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例 2. 解 ABCD 是平行四边形，••• AB//CD, AB CD ,二 AEF s CDF ,又 AE: EB 1:2 ,• AE:CD 1:3 ,AEF 与 CDF 的周长的比是1: 3.S1又(—)2，S AEF 6(cm 2) ,••• S CDF 54(cm 2).S CDF 3BA CA例3分析由于 ABD s ACE ，贝U BAD CAE ，因此 BAC DAE ，如果再进一步证明，则AD AE问题得证.证明■/ ABD s ACE , • BAD CAE . 又BA BADDAC ,•DAEDACCAE ,• BACDAE.AB ACABD s ACEAD AE在ABC 和ADE中,BACABADE,- AC • ABC s ADEAD AE例4 .分析 (1) 不正确，因困为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同 (2 )也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同.(3)正确.设有等腰直角三角形 ABC 和ABC ，其中 C C 90 ,则 A A 45 , B B 45 ,设 ABC 的三边为a 、b 、c , ABC 的边为a 、b 、c , 贝y a b, c , 2a, a b , c , 2a ,ABC s ABC .(4)也正确，如 ABC 与 ABC 都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例,答：(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确.画法略. 例6 .分析初三(下)相似三角形 121121初三(下)相似三角形又DF 60厘米 0.6米，GF 12厘米 0.12米，EC 30米，二BC 6米•即电线杆的高为 6米. 例7•分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA 与 MNA 的相似关系就明确了.解因为 BC CA,MN AN, BACMAN ，所以 BCA s MNA •所以 MN:BC AN: AC ，即 MN :1.6 20:1.5 •所以 MN 1.6 20 1.5 21.3 (m ). 说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦.例&分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的•实际上格点无形中给图形增添了条件一一长度和角度.解在格点中DE EF, AB BC ，所以 E B 90 , 又EF 1,DE 2, BC 2, AB 4 •所以史兰 -•所以AB BC 2说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏.ABC 不相似;(3)因为B B , AB BC 2，所以 AB BC 1ABC 相似于ABC例 10.解(1) ADE s ABC 两角相等；(2)ADE s ACB 两角相等；(3)CDE s CAB 两角相等；(4) EAB s ECD 两边成比例夹角相等；(5) ABD s ACB 两边成比例夹角相等；(6)ABD s ACB 两边成比例夹角相等. 例 11 .分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°, 而BD 是底角的平分线，••• CBD 36，则可推出ABC s BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 A 36 , AB AC , • ABC C 72 .又 BD 平分ABC ,•• ABD CBD 36 .•- AD BDBC ，且 ABC s BCD ,• B C:AB CD:BC , •• BC 2 AB CD , •• AD 2 AC CD说明(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.adha(2)要说明线段的乘积式 ab cd ，或平方式a 2 be ，—般都是证明比例式，，或，再根据c b a c比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析由 ABC 的三边长可以判断出 ABC 为直角三角形，又因为 ABC s ABC ，所以 ABC 也是直角三角形，那么由 ABC 的最大边长为26,可以求出相似比，从而求出 AB C 的两条直角边长，再求得 ABC 的面积. 解设ABC 的三边依次为，BC 5, AC 12, AB13，则 AB 2 BC 2 AC 2, •• C 90BCACAB 13 1又ABC s ABC , •CC 90 .BCACA B 26 2又BC5, AC 12 ,• BC10, AC 24.•- S 1 AC1B C 24 10120 .22例13•分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高•按这种测量方法，过 F作FG AB 于G ,交CE 于H ，可知 AGF s EHF ，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得 AG ,故旗杆AB 可求.解这种测量方法可行•理由如下：DEF s ABC •例9 .解(1)因为AB AB(2)因为 C 1803.5cm 1 BC 2.5cm 1 CA 24.5cm 7 , BC17.5cmT CAA B 41，两个三角形中只有A 4cm 1，所以 ABC s ABC ；28cm 7A ，另外两个角都不相等，所以ABC 与设旗杆高AB x •过F作FG AB于G,交CE于H (如图)•所以AGF s EHF •因为FD 1.5,GF 27 3 30,HF 3，所以EH 3.5 1.5 2,AG x 1.5 •初三(下)相似三角形121121AG GF x 1.5 由 AGF s EHF ，得，即-EH HF所以旗杆的高为21.5米.说明在具体测量时，方法要现实、切实可行.以厶ABC 是直角三角形.由AEGF 是正方形，设 GF = x ,贝U FC = 2 — x .AC = 2,^ ABC 是等腰三角形，作 CP 丄AB 于P ,「. AP = 1AB 、3 ,2x•/ GH // AB ,「.A CGH CBA , v ——2』3 2 32 3、2―…SiE 方形 GFEH ( _) 1 2,3 1 2、3- 156因此，正方形的面积为 126-.3或15614.解:ADB EDC,ABC ECD 90 ABD sECD, AB翌AB CD BD CDEC15.答案：AB1506米，BD 30750步，(注意:120 5060KC 匹 CD100 (米)，答：两岸间AB大致相距100米.AK,KE 岸 AK.) 那么有两种情况存在，即点16.分析：要求 BC 的延长线上，所以求 BC 的长时要分两种情况讨论•求正方形的面积，关键是求正方形的边长. 解：(1)如上图，由 AD 丄BC ,由勾股定理得 BD = 3, DC = 1，所以如下图，同理可求 BD = 3, DC = 1，所以BC = BD — CD = 3— 1 = 2.BC 的长，需画图来解，因 AB 、AC 都大于高AD ,D 在BC 上或点D 在BC = BD + DC = 3 + 1 = 4.(2)如下图，由题目中的图知 16 , BC 2 16 , ••• AB 2 AC 2 BC 2 •所GF •/ GF // AB ,「.-AB AC ，即 ^3 宁S正方形AEGF12 63 .在Rt △ APC 中，由勾股定理得30，所以 x 1.520，解得 x 21.53(米) 如下图，当BC = 2, 156 48 348. 3。

第二十七章相似三角形专项练习 2022—2023学年人教版数学九年级下册

相似三角形相似多边形的性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．【题模一】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【变式训练1】两个相似多边形的面积之比为1：9，则它们的周长之比为（）A．1：3 B．1：9 C．1： D．2：3【变式训练2】下列多边形一定相似的为（）A．两个矩形 B．两个菱形C．两个正方形 D．两个平行四边形【变式训练3】两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积为（）A．9cm2 B．16cm2 C．56cm2 D．24cm2【变式训练4】将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍 B．3倍 C．81倍 D．18倍【变式训练5】若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．75° B．60° C．87° D．120°相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．【题模一】已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（）A． B． C． D．【变式训练1】如图，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式训练2】等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（）A．3：4 B．4：3 C．1：2 D．2：1【变式训练3】两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是度，最小角是度．【变式训练4】一个三角形的各边之比为2：3：5，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则最小边为cm．【变式训练5】如图，△ABC∽△ACD，若AD=5，BD=4，则△ACD与△ABC的相似比为．【题模二】如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC 的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【变式训练1】若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16【变式训练2】若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC 与△DEF的周长比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：【变式训练3】已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【变式训练4】已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF 的相似比为．【变式训练5】将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．【题模一】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【变式训练1】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④【变式训练2】如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（）A．△AFD B．△AED C．△FED D．不能确定【变式训练3】如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P 点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为．【题模二】如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【变式训练1】在△ABC和△A′B′C′中，已知∠B=∠B′，AB=6，BC=8，B′C′=4，那么当A′B′= 时，△ABC∽△A′B′C′．【变式训练2】已知：如图，AB•AD=AC•AE，求证：△ABC∽△AED．【变式训练3】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当时，△AED与△ABC相似．【变式训练4】如图，BD平分∠ABC，且AB=4，BC=6，则当BD= 时，△ABD∽△DBC．【变式训练5】如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．【题模三】如图，已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°，（1）请说明：△ADE∽△ABC；（2）若AD=4，AE=3，BE=5，求AC长．【变式训练1】如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M 点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式训练2】已知：如图，△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证：△ABC∽△EAD．【变式训练3】如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD．求证：△ABC∽△BDC．【变式训练4】如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O 交直线OD于A、B两点，连接BC，AC，OC．求证：（1）OC⊥DE；（2）△ACD∽△CBD．【题模四】已知：∠ACB=∠ABD=90°，AB=，AC=2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？【变式训练1】一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三（填角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形相似．“一定”、“不一定”或“一定不”）．【变式训练2】如图，在边长为9的正三角形ABC中，点D在BC边上且BD=3，点E在AC边上且∠ADE=60°，求AE的长．【题模五】如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=【变式训练1】如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．D．【变式训练2】如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练3】在下列说法中，正确的是（）A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似【变式训练4】如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED 【变式训练5】能使△ABC∽△DEF的条件是（）A．∠C=98°，∠B=98°，B．AB=1，AC=1.5，BC=2，EF=8，DE=10，FD=16C．∠A=∠F=90°，AC=5，BC=13，DF=10，EF=26D．∠A=46°，∠B=54°，∠E=54°，∠F=80°相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．【题模一】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A．4 B．7 C．3 D．12【变式训练1】如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE 与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练2】如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（）A． B． C． D．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．【变式训练4】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 【题模二】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【变式训练1】在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（）A．8 B．12 C．16 D．20【变式训练2】如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）A．9 B．12 C．15 D．18【变式训练3】如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练4】将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．【变式训练5】如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB 的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【题模二】如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m【变式训练1】如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（）A．6米 B．8米 C．10米D．15米【变式训练2】在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（）A．20m B．16m C．18m D．15m【变式训练3】如图，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度，设，且量得CD=b，则内槽的宽AB等于（）A．mb B． C． D．【变式训练4】如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．【题模】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A．（2，5） B．（2.5，5）C．（3，5） D．（3，6）【变式训练1】已知，如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点的坐标（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1）C．（2，﹣1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【变式训练2】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6【变式训练3】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）【变式训练4】如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2答案相似多边形的性质【题模一】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为=1：2．故选：B．【变式训练1】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：9，∴两个相似多边形的边长之比是1：3，∴它们的周长之比为1：3．故选A．【变式训练2】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；而两个正方形，对应角都是90°，对应边的比也都相当，故一定相似，C 正确．故选C．【变式训练3】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴两个相似多边形的相似比是2：3，∴两个相似多边形的面积比是4：9，∵较小多边形的面积为4cm2，∴较大多边形的面积为9cm2，故选：A．【变式训练4】解：五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，即得到的五边形与原来的五边形的面积的比是9：1，相似形面积的比等于相似比的平方，因而相似比是3：1，相似形周长的比等于相似比，因而周长扩大为原来的3倍．故选B．【变式训练5】解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以∠α=360°﹣60°﹣138°﹣75°=87°．故选C．相似三角形的性质【题模一】解：根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′，且相似比为：：1，∴△A′B′C′的第三边长应该是=．故选：A．【变式训练1】解：∵△ACD∽△BCA，∴=，∴AC2=CD•BC=4×9=36，∴AC=6．故选D．【变式训练2】解：∵等腰△ABC和△DEF相似，其相似比为3：4，∴它们底边上对应高线的比等于3：4．故选A．【变式训练3】解：∵一个三角形的两个内角是40°、60°．∴另一个内角为：180°﹣40°﹣60°=80°，∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°．故答案为：80，40．【变式训练4】解：∵两三角形相似，三边比=2：3：5，∴另一三角形三边比=2：3：5，设此三角形各边为2x，3x，5x，∴5x=15，解得x=3，∴2x=6cm．故答案为6．【变式训练5】解：∵△ABC∽△ACD，AD=5，BD=4，∴=，即AC2=AB•AD，∴AC===3，∴==：3．故答案为：：3．【题模二】解：△ADE与△ABC的面积比为（1：2）2=1：4．故选B．【变式训练1】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：2，∴它们的周长之比为1：2．故选A．【变式训练2】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．故选B．【变式训练3】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴其面积之比为1：4．故选B．【变式训练4】解：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，因为S△ABC ：S△DEF=4：25=（）2，所以△ABC与△DEF的相似比为2：5．【变式训练5】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，∴=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，而BF+FC=4，即2BF=4，解得BF=2．故BF的长度是或2．故答案为：或2．相似三角形的判定【题模一】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．【变式训练1】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴=，=，即==，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C．【变式训练2】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【变式训练3】解：∵AF=4，DF=4，AD=4，AB=2，BC=2，AC=2，∴===2，∴△AFD∽△ABC，故选：A．【变式训练4】解：∵AC=4，P是AC的中点，∴AP=AC=2，①若△APQ∽△ACB，则，即，解得：AQ=3；②若△APQ∽△ABC，则，即，解得：AQ=；∴AQ的长为3或．故答案为：3或．【题模二】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，B选项中三角形各角的度数都是60°，C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选C．【变式训练1】解：∵∠B=∠B′，当=时，△ABC∽△A′B′C′，即，解得：A′B′=3．故答案为：3．【变式训练2】证明：∵AB•AD=AC•AE，∴=．又∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED．【变式训练3】解：由题意，∠ADE=∠C即可．证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角∴△ADE∽△ACB．【变式训练4】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵△ABD∽△DBC，∴=，∵AB=4，BC=6，∴=，解得BD=2．故答案为：2．【变式训练5】证明：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠C=60°，BC=AB，∵AE=BE，∴CB=2AE，∵，∴CD=2AD，∴==，而∠A=∠C，∴△AED∽△CBD．【题模三】解：（1）∵∠A=35°，∠C=85°∴∠B=60°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠B，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；（2）由相似知：，∵AD=4，AE=3，BE=5，∴AB=8∴，∴AC=6．【变式训练1】解：∵截得的三角形与△ABC相似，∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意∴过点M作直线l共有三条，故选C．【变式训练2】证明：∵AD=DB，∴∠B=∠BAD．∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，又∵∠1=∠2，∴∠C=∠ADE．∴△ABC∽△EAD．【变式训练3】证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD．∵∠BAC=40°，∴∠ABD=40°，∵∠ABC=80°，∴∠DBC=40°，∴∠DBC=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC．【变式训练4】证明：（1）∵OE=OD，∴△ODE是等腰三角形．（1分）∵EC=DC，∴C是底边DE上的中点．∴OC⊥DE．（3分）（2）∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠B+∠BAC=90°．（4分）∵∠DCA+∠ACO=90°，∠ACO=∠BAC，∴∠DCA=∠B．∵∠ADC=∠CDB，（5分）∴△ACD∽△CBD．（6分）【题模四】解：∵∠ACB=∠ABD=90°，∴要使△ACB和△ABD相似，必须AC：AB=AB：AD或BC：AB=AB：AD，∵AC=2，AB=，∴BC==，∴AD=3或3．【变式训练1】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，∴=，若两边长分别是直角边，则利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；若此两边是直角边与斜边，则利用直角三角形中直角边与斜边对应成比例，两直角三角形相似，证得．∴这两个直角三角形一定相似．故答案为：一定．【变式训练2】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，则，即=，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．【题模五】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．【变式训练1】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C．【变式训练2】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．【变式训练3】在下列说法中，正确的是（）A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似解：A、两个钝角三角形不一定相似，例如有一个角是120°与有一个角是150°的三角形，故本选项错误；B、两个等腰三角形不一定相似，例如顶角是50°与顶角是70°的等腰三角形不相似，故本选项错误；C、两个直角三角形不一定相似，例如有一个锐角是50°与有一个锐角是60°的直角三角形不相似，故本选项错误；D、两个等边三角形一定相似，故本选项正确．故选D．【变式训练4】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选B．【变式训练5】解：A、若△ABC∽△DEF，则=，故本选项错误；B、若△ABC∽△DEF，则==，而=≠=，故本选项错误；C、若△ABC∽△DEF，∠A=90°，则∠D=90°，故本选项错误；D、若△ABC∽△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，由于，∠E=54°，∠F=80°，所以∠D=180°﹣54°﹣80°=46°，故∠A=∠D=46°，故本选项正确．故选D．相似三角形的判定与性质【题模一】解：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：7∵EF∥AB，∴，∵EF=3，∴，解得：AB=7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B．【变式训练1】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选：B．【变式训练2】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故选C．【变式训练3】解：过点B作BD⊥OD于点D，∵△ABC为直角三角形，∴∠BCD+∠ACO=90°，∴△BCD∽△COA，∴=，设点B坐标为（x，y），则=，y=﹣3x﹣9，∴BC==，AC==，∵∠B=30°，∴==，解得：x=﹣3﹣，则y=3．即点B的坐标为（﹣3﹣，3）．故答案为：（﹣3﹣，3）．【变式训练4】解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2，∵QO=OC，∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，∵正方形OABC的边AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ，∴=，即=，解得BP=2﹣2，∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，∴点P的坐标为（2，4﹣2）．故答案为：（2，4﹣2）．【变式训练5】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm），∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠BED=90°，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠BDE=90°时，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4﹣2=2，当B→A时，t=4+2=6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．【题模二】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE ：S△BFA=9：16．故选：B．【变式训练1】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ADE的面积为4，∴，∴S△ABC=16．故选：C．【变式训练2】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴S△DEF ：S△BCF=（）2，又∵E是AD中点，∴DE=AD=BC，∴DE：BC=DF：BF=1：2，∴S△DEF ：S△BCF=1：4，∴S△BCF=4，又∵DF：BF=1：2，∴S△DCF=2，∴S▱ABCD =2（S△DCF+S△BCF）=12．故选B．【变式训练3】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=（）2=．∵S△ACD=1，∴S△ABC =4，S△BCD=S△ABC﹣S△ACD=3．故选C．【变式训练4】解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1：∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．【变式训练5】（1）证明：∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，∴F为AD的中点，∵点E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BC；（2）解：∵EF为△ABD的中位线，∴，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF ：S△ABD=1：4，∴S△AEF ：S四边形BDFE=1：3，∵四边形BDFE的面积为6，∴S△AEF=2，∴S△ABD =S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8．相似三角形的应用【题模二】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴解得：AB=40，故选B．【变式训练1】解：根据题意，容易得到△ABP∽△PDC．即CD：AB=PD：BP，∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，∴CD=×AB=10；那么该古城墙的高度是10米．故选C．【变式训练2】解：∵，∴，解得旗杆的高度==18m．故选C．【变式训练3】解：∵，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△BOA∴，又∵CD=b，∴AB=bm．故选A．【变式训练4】解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故树的高度为7m．故选：A．位似变换【题模】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故选：B．【变式训练1】解：∵E（﹣4，2），以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，∴点E的对应点的坐标为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选D．【变式训练2】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故选：B．【变式训练3】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB 与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），∴BO=1，则AO=AB=，∴A（，），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故选：B．【变式训练4】解：∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴AC：DF=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积比是1：4．故选C．。