第5章 马尔可夫链 PPT
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数据科学基础课件-第5章 随机游走与马尔可夫链
采样得到q(x)的一个样本z0。从均匀分布（0,kq(z0)) 中采样得到一个值u。如果u落在了上图中的灰色区 域，则拒绝这次抽样，否则接受这个样本z0
重复以上过程得到n个接受的样本z0,z1,...zn−1
24
Markov Chain Monte Carlo
基本思路：要得到给定概率分布P(x)的样本，利用马尔可
Weights Hidden Markov Model
2
Introduction
计算机科学的发展中，出现了一些领域独立的方 法，在处理各种领域的问题时，取得了很大成功
机器学习 马尔可夫链
3
马尔可夫与随机过程
安德烈·马尔可夫(Andrey Markov, 1856－1922)，俄国数学家，主要研究领 域在概率和统计方面，开创了随机过程 这个新的领域。
pj(t) = ∑ipi(t-1)pij
10
long-term probability distribution
Long-term probability distribution(长期概率分布)
设P(t) 是t步随机游走后的顶点概率分布，则 Long-term probability distribution a(t) 定义为：
Stationary Distribution
平稳分布示例
初始概率分布：
社会学家经常把人按其经 济状况分成3类：下层、 中层、上层，分别用1,2,3 表示
前n代人的分布状况：
P：
13
细致平稳条件
带有边概率强连通图的随机游走平稳概率分布的 一种求法
如果分布π满足 对于任意x, y,
，则π
是马尔可夫链的平稳分布，该式称为细致平稳条件。
重复以上过程得到n个接受的样本z0,z1,...zn−1
24
Markov Chain Monte Carlo
基本思路：要得到给定概率分布P(x)的样本，利用马尔可
Weights Hidden Markov Model
2
Introduction
计算机科学的发展中，出现了一些领域独立的方 法，在处理各种领域的问题时，取得了很大成功
机器学习 马尔可夫链
3
马尔可夫与随机过程
安德烈·马尔可夫(Andrey Markov, 1856－1922)，俄国数学家，主要研究领 域在概率和统计方面，开创了随机过程 这个新的领域。
pj(t) = ∑ipi(t-1)pij
10
long-term probability distribution
Long-term probability distribution(长期概率分布)
设P(t) 是t步随机游走后的顶点概率分布，则 Long-term probability distribution a(t) 定义为：
Stationary Distribution
平稳分布示例
初始概率分布：
社会学家经常把人按其经 济状况分成3类：下层、 中层、上层，分别用1,2,3 表示
前n代人的分布状况：
P：
13
细致平稳条件
带有边概率强连通图的随机游走平稳概率分布的 一种求法
如果分布π满足 对于任意x, y,
，则π
是马尔可夫链的平稳分布，该式称为细致平稳条件。
5马尔可夫链(精品PPT)
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n 1 j X n i ) P( f i, Yn 1 j ) P( f i, Y1 j )
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
i S , 有 aij 1
例5 Polya（波利亚）模型
罐中有b只黑球及r只红球，每次随机地取出一只后 把原球放回，并加入与抽出球同色的球c只，再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去，{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球这一事件，所以
i b r nc , i P X n 1 j X n i 1 , b r nc 0,
x
j i 1
( j i 1)!
dG x ,
j i 1, i 1 其它
Pij 0,
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G，服务时间分布为指数分布，参 数为 ，且与顾客到达过程独立。 Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数（包括 该顾客），则{Xn，n≥1}是马尔可夫链。记
jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。 2，n步转移概率 定义：设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链，称
n pij P X n m j X m i ,
n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
i (n) P X n i ,
j ic j i else
这是一个非齐次的马尔可夫链，在传染病研究中有用。
下面的定理提供了一个非常有用的获得马尔可夫链的方 法，并可用于检验一随机过程是否为马尔可夫链。
pij P( X n 1 j X n i ) P( f i, Yn 1 j ) P( f i, Y1 j )
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
i S , 有 aij 1
例5 Polya（波利亚）模型
罐中有b只黑球及r只红球，每次随机地取出一只后 把原球放回，并加入与抽出球同色的球c只，再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去，{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球这一事件，所以
i b r nc , i P X n 1 j X n i 1 , b r nc 0,
x
j i 1
( j i 1)!
dG x ,
j i 1, i 1 其它
Pij 0,
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G，服务时间分布为指数分布，参 数为 ，且与顾客到达过程独立。 Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数（包括 该顾客），则{Xn，n≥1}是马尔可夫链。记
jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。 2，n步转移概率 定义：设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链，称
n pij P X n m j X m i ,
n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
i (n) P X n i ,
j ic j i else
这是一个非齐次的马尔可夫链，在传染病研究中有用。
下面的定理提供了一个非常有用的获得马尔可夫链的方 法，并可用于检验一随机过程是否为马尔可夫链。
马尔可夫链课件
1的概率向左或向右移动一 3
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S )，记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远 留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S )，记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远 留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
第5章 马尔可夫链PPT课件
状态.
精选PPT课件
18
马尔可夫链
一般,一个特定的参保人年理赔要求的次数是参数为λ 的泊松随机变量,那么此参保人相继的状态将构成一个马 尔可夫链,并具有转移概率
但昨天没下雨,那么明天下雨的概率为0.5;如果昨天下雨
但今天没下雨,那么明天下雨的概率为0.4;如果昨、今两
天都没下雨,那么明天下雨的概率为0.2.
假设在时间n的状态只依赖于在时间n-1是否下雨,那么
上述模型就不是一个马尔可夫链.
但是,当假定在任意时间的状态是由这天与前一天两者
的天气条件所决定时,上面的模型就可以转变为一个马尔
令Xn为第n天结束时的存货量,则
XSX-nYn-nY++n1+1=,1,
若Xn≥s, 若Xn＜s.
构成的{Xn,n≥1}是Markov链.
例5.11 以Sn表示保险公司在时刻n的盈余,这里的时间以
适当的单位来计算(如天,月等), 初始盈余S0=x显然为
已知,但未来的盈余S1,S2,…却必须视为随机变量,增量
参保人的状态随着参保人要求理赔的次数而一年一年
地变化.低的状态对应于低的年保险金. 如果参保人在上
一年没有理赔要求,他的状态就将降低; 如果参保人在上
一年至少有一次理赔要求,他的状态一般会增加(可见,无
理赔是好的,并且会导致低保险金;而要求理赔是坏的,一
般会导致更高的保险金).
对于给定的一个好-坏系统, 以si(k)记一个在上一年 处在状态i,且在该年有k次理赔要求的参保人在下一年的
矩阵为
p11 p12 p13 p14
P=
p21 p22 p23 p24 0010
0001
例5.5(赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动)系统的状态
随机过程课件-马尔可夫链
定理二
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
《马尔可夫链讲》课件
3 机器翻译
马尔可夫链可用于翻译模型，通过对应不同 语言的状态和转移概率进行翻译。
4 股票预测
马尔可夫链可以将历史股票价格转化为状态 转移概率，进而预测未来股票价格。
算法
马尔可夫模型
马尔可夫模型通过状态转移矩 阵和初始状态分布，预测未来 状态的概率分布。
蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法使用马尔可夫链 模拟大量随机样本，用于求解 复杂问题的数值近似解。
《马尔可夫链讲》PPT课件
欢迎大家来到《马尔可夫链讲》PPT课件！本课程将带您深入了解马尔可夫链 的概念、特征、应用、算法以及其优点、缺点和发展前景。让我们一起开始夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，其未来状态仅依赖于当前状态，与其历史状态无关。
当马尔可夫链接近无穷大时， 各个状态出现的概率会趋于一 个稳定的分布。
细致平衡方程
细致平衡方程描述了马尔可夫 链中每个状态出现的平衡条件。
应用
1 自然语言处理
2 推荐系统
马尔可夫链可用于语言模型和自动文本生成， 如基于上下文的单词预测。
马尔可夫链可用于个性化推荐算法，根据用 户的历史行为预测其可能感兴趣的项。
隐马尔可夫模型
隐马尔可夫模型是马尔可夫链 的扩展，增加了观测状态与隐 藏状态的关联，常用于序列标 注和语音识别。
总结
优点
马尔可夫链是一种简洁而强大的数学模型，能够捕捉到状态之间的概率转移关系。
缺点
马尔可夫链假设未来状态仅与当前状态相关，无法考虑其他因素的影响。
发展前景
随着大数据和机器学习的发展，马尔可夫链在各个领域的应用将越来越广泛。
马尔可夫链定义
马尔可夫链是一种离散时间马尔可夫过程，其所有可能状态和状态间的转移概率构成了一个有向图。
《马尔可夫链分析法》课件
特点
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
连续时间的马尔可夫链
P X t n 1 i n 1 X t1 i1 , X t 2 i 2 , ..., X t n i n P X t n 1 in 1 X t n in
成立，称{X(t),t ≥0}为连续参数马尔可夫链。
(0)
1, Pij
(0)
1 , i j 0 ( i j ) 知 lim p ij ( t ) t 0 0 , i j
定义5.5：连续参数齐次马氏链{X(t),t ≥0}称 p P X 0 j
j
即X(0)的概率分布，为连续参数齐次马氏链的初 始分布。 称
ii ii
(1) lim
1 p ii ( t ) t p ij ( t ) t
t 0
i q ii
( 2 ) lim
t 0
q ij , j i
q ii 表 示 在 t时 刻 通 过 状 态 i的 通 过 速 度 , q ij 表 示 在 时 刻 t由 状 态 i 到 状 态 j的 速 度 。
证
由切普曼-柯尔莫哥洛夫方程有
kI
p ij ( t h )
p ik ( h ) p k j ( t )
p ij ( t h ) p ij ( t ) p ij ( t ) lim
k i
p ik ( h ) p k j ( t ) [1 p ii ( h )] p ij ( t )
e p ij ( s , t ) p ij ( t ) 0
t
( j i )! , j i
, j i
转移概率与s无关，泊松过程具有齐次性。
成立，称{X(t),t ≥0}为连续参数马尔可夫链。
(0)
1, Pij
(0)
1 , i j 0 ( i j ) 知 lim p ij ( t ) t 0 0 , i j
定义5.5：连续参数齐次马氏链{X(t),t ≥0}称 p P X 0 j
j
即X(0)的概率分布，为连续参数齐次马氏链的初 始分布。 称
ii ii
(1) lim
1 p ii ( t ) t p ij ( t ) t
t 0
i q ii
( 2 ) lim
t 0
q ij , j i
q ii 表 示 在 t时 刻 通 过 状 态 i的 通 过 速 度 , q ij 表 示 在 时 刻 t由 状 态 i 到 状 态 j的 速 度 。
证
由切普曼-柯尔莫哥洛夫方程有
kI
p ij ( t h )
p ik ( h ) p k j ( t )
p ij ( t h ) p ij ( t ) p ij ( t ) lim
k i
p ik ( h ) p k j ( t ) [1 p ii ( h )] p ij ( t )
e p ij ( s , t ) p ij ( t ) 0
t
( j i )! , j i
, j i
转移概率与s无关，泊松过程具有齐次性。
《马尔可夫链讲》课件
平稳分布的概率分布函数与时间无关，只与系统的状态空间和转移概率矩阵有关。
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
马尔可夫链精品PPT课件
1,i=j .
例2.1 (一维随机游动)
12345
设一随机游动的质点, 在如右上图所示的
直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒
…等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点
i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动
一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5)
式.
利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}.
即马尔可夫链的统计特性完全由条件概率
P{Xn+1=in+1|Xn=in} 所决定. 如何确定这个条件概率,是马尔可夫链理论和应
用中的重要问题之一.
2.转移概率 条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}的直观含义是:系统在时刻n处
于状态i的条件下,在时刻n+1系统处于状态j的概率.这相 当于随机游动的质点在时刻n处于状态i的条件下,下一步 转移到状态j的概率.
pij(n)为pij. 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略.
设I=P{为1,一2,步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间
…},则 P=
p11 p12 … p1n … p21 p22 … p2n … … … … ……
pi1 pi2 … pin … …… … … …
例2.1 (一维随机游动)
12345
设一随机游动的质点, 在如右上图所示的
直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒
…等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点
i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动
一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5)
式.
利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}.
即马尔可夫链的统计特性完全由条件概率
P{Xn+1=in+1|Xn=in} 所决定. 如何确定这个条件概率,是马尔可夫链理论和应
用中的重要问题之一.
2.转移概率 条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}的直观含义是:系统在时刻n处
于状态i的条件下,在时刻n+1系统处于状态j的概率.这相 当于随机游动的质点在时刻n处于状态i的条件下,下一步 转移到状态j的概率.
pij(n)为pij. 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略.
设I=P{为1,一2,步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间
…},则 P=
p11 p12 … p1n … p21 p22 … p2n … … … … ……
pi1 pi2 … pin … …… … … …
随机过程Ch5连续时间的马尔可夫链ppt课件
注：虽然前进方程和后退方程在形式上有所不同， 但两者的解都是同一的，费勒在1940年已证明。
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
马尔可夫链课件
p12 p22 0 0
p13 p23 1 0
p14 p24 0 1
三、马氏链的例子
例2 (0-1传输系统或简单信号模型)
X0 1 X1 2 X2 Xn-1 Xn
…
n
…
如图所示，只传输数字0和1的串联系统中，设每一级的传真率为p， 误码率为q=1-p。并设一个单位时间传输一级，X0是第一级的输入，Xn
n
P P X i |X ik k 1 和 1 P{ X n j | X n 1 i} 确定. {kX i} 分布 条件概率 0 k P X 0 i0，X 1 i1， ，X k 2 ik 2 马氏性
P X k 1 ik 1 | X 0 i0， ，X k 2 ik 2 P X k ik |X k 1 ik 1
则称 { X n，n 0}为齐次马尔可夫链，称 pij 为从状态 i
转移到状态 j 的一步转移概率. 若马尔科夫链 { X n，n 0}的状态空间是有限集，则
称 { X n，n 0}为有限状态的马尔科夫链；
若马尔科夫链 { X n，n 0}的状态空间是可列集，则 称 { X n，n 0} 为可列状态的马尔科夫链.
P X 0 i0 P X 1 i1 | X 0 i0 P X k ik |X k 1 ik 1
二、转移概率
定义1 设 { X n，n 0}是马尔可夫链，记
Байду номын сангаас
pij (n) P{X n 1 j | X n i}
称 pij 为马尔可夫链 { X n，n 0} 在时刻 n 时的一步转 移概率。 当 i，n 固定时，一步转移概率 pij (n) 实质上就是 在 X n i 的条件下，随机变量 X n 1的条件分布律，所以 条件分布律满足：
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0000…q0p
0000…001
(n+1)×(n+1)
马尔可夫链
例5.7 在任意给定的一天, 一个人的心情或者是快乐的, 或者是一般的,或者是郁闷的.如果今天她是快乐的,那么 明天她分别以概率0.5,0.4和0.1是快乐的,一般的和郁闷 的; 如果今天她的心情一般,那么她明天分别以概率0.3, 0.4和0.3是快乐的,一般的和郁闷的; 如果今天她是郁闷 的, 那么她明天分别以概率0.2,0.3和0.5是快乐的,一般 的和郁闷的. 以Xn记她第n天的心情, 则{Xn,n≥0}是一个 三个状态{快乐,一般,郁闷}={0,1,2}的马尔可夫链,其转 移概率矩阵
《应用数学基础》
应用随机过程
(Applied Stochastic processes)
2011年秋季学期
第5章 马尔可夫链
5.1 引言 本章,首先考察取有限个值或者可数个可能值的随机过
程{Xn,n=0,1,2,…}.一般将这种随机过程的可能值的集合 也记为{0,1,2,…}(即状态空间也是非负整数集).
是0到n,反映赌博者A在赌博期间拥有的钱数,当他输光或
拥有钱数为n时,赌博停止; 否则他将持续赌博,每次以概
率p赢得1,以概率q=1-p输掉1.该系统的转移概率矩阵为
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
马尔可夫链
1000…000
q0p0…000
P=
0q0p…000 ……… ………
由Markov链定义知 P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}
可见一旦Markov链的初始分布P{X0=i0}给定,其统计特 性
马尔可夫链
如何确定这个条件概率,是Markov链理论和应用中的重
要问题之一.
• 一般情况下,转移概率pij与状态i,j和时间n有关. 当有Markov链的转移概率P{Xn+1=j|Xn=i},只与状态i,j
关,而与n无关时,称Markov链为时齐的;否则,称为非时齐
的.
我们只讨论时齐Markov链,并简称为Markov链.
当Markov链的状态为有限时,称p为00有p限01链p;0否2 则p0称3 为…无
限链.但无论状态是有限还是 p10 p11 p12 p13 …
无限,我们都可以将pij(i,j∈ {0,1,2,…})排成一个矩阵的
… … … …… … pi0 pi1 pi2 pi3 … … …… … …
须经过几个阶段. 在每个阶段有一个概率p使进入的数字
在离开时不改变.以Xn记第n个阶段进入的数字,则{Xn,n= 0,1,2,…}是一个两个状态{0,1}的马尔可夫链,具有转移
概率矩阵: P= 例5.3(随机游动)
p 1-p 1-p p
有一个醉汉在直线上做
… … … …… … …
无限制的随机游动其状态 i=0,±1,±2,….且pi,i+1
形式. 记为: P=(pij),它等于
马尔可夫链
称P为转移概率矩阵,一般简称为转移矩阵.
转移概率矩阵具有性质(★). 称具有此性质的矩阵为随
机矩阵(随机矩阵是非负实数矩阵且每一行元素的和为1).
例5.1(天气预报)
假设明天下雨的机会只依赖于前一天的天气条件,即今
天是否下雨,而不依赖过去的天气条件.且如果今天下雨,
和S4(即相异原因的非生命状态)的模型. 若个体病愈,则
认为它处于状态S1, 若患病,则认为它处于S2,个体可以从
S1,S2进入S3和S4, 这是一个马尔可夫链的模型,转移概率
矩阵为
p11 p12 p13 p14
P=
p21 p22 p23 p24 0010
0001
例5.5(赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动)系统的状态
那么明天下雨的概率为α; 若今天没下雨,明天下雨的概
率为β.
如果下雨,记过程在状态0;如果不下雨,记过程在状态1.
如此,本例是一个两状态{0,1}的马尔可夫链,其转移概率
矩阵是: P=(pij)=
pp01=00
p01 p11
α 1-α β 1-β
马尔可夫链
例5.2(一个通讯系统)
考察一个传送数字0和1的通信系统.每个数字的传送必
pij表示过程处在状态i时, 下一次转移到状态j的概率. 由于概率值非负且过程必须转移到某个状态,所以有
pij≥0, i,j≥0(即i,j∈I);
pij=j10, i=0,1,2,…(即|Xn=i}=pij为Markov链 {Xn,n=0,1,2,…}的
马尔可夫链
0000…q0p
0000…001
(n+1)×(n+1)
例5.6(带反射壁的随机游动)在例5.5中当A输光时将获得
赞助1让他继续赌下去, 就如同一个在直线上做随机游
动的球在到达左侧0点处就立即反弹回1一样,这就是一
个一侧带有反射壁的随机游动.此时
0100…000
P=
q0p0…000 0q0p…000
……… ………
马尔可夫链
可夫链的特性为Markov性,亦称“无后效性”.此性质说 明:
要确定过程将来的状态, 知道它此刻的状态就足够了,
并不需要对它以往状况的认识. 也就是说
对于一个马尔可夫链,在给定过去的状态X0,X1,…,Xn-1 和过现在的状态Xn时, 将来的状态Xn+1的条件分布独立于
去的状态而只依赖于现在的状态.
…q0p0 …0000…
P=
… …
0q …
0p …0 … ……
00 …
0… …
=p=1-pi,i-1. 这也是一个
…0000 …0q0p…
Markov链,其转移矩阵为: … … … … … … …
马尔可夫链
例5.4(一个简单的疾病死亡模型,Fix-Neyman(1951))
考虑一个包含两个生命状态S1和S2以及两个死亡状态S3
如果Xn=i,那么称随机过程在时刻n在状态i. 设只要过程在状态i, 就有一个固定的概率pij,使它在 下一个时刻在状态j. 我们有 定义5.1.1若对于一切状态i0,i1,…,in-1,i,j与一切n≥0, 有 P{Xn+1=j|Xn=i,Xn-1=in-1,…,X1=i1,X0=i0}
=P{Xn+1=j|Xn=i} =pij 则称 这样的随机过程称为马尔可夫链.并称由此式刻画的马尔