-麦克斯韦速率分布律

分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。
f (v) O2
H2
o vpo
vpH
v
太原理工大学物理系
例3 试求分子在最概然速率vp 附近与在方均根速
率 v附2 近出现的概率之比。
解：分子速率在最概然速率 vp附近dv 速率区间的
概率为f(vp)dv ，在方均根速率 v2 附近 dv速率区
间的概率为 f ( v2 )dv 。利用v2p =2kT/m，麦克斯韦
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽 的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数
每个槽内的钢球数与总数之比：
N1 , N 2 N i
NN
N
Ni 1）与狭槽的宽度有关 N 2）与狭槽的位置有关
Ni f (x) x N
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f (x) Ni 称为概率分布函数 Nx
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同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
f (v ) p3 T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
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同一温度下不同种气体速率分布比较
f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速率
大的分子数越多。
m3
v v O
v p1 p2 p3
v
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例1 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线
如图所示，已知 T1 300K T2 1200K
在曲线上标出温度
f (v)
T1 300K
T2 1200K
o v v p1
p2
v
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例2 同一温度下两种气体 O2和 H2 的速率
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平衡态下的理想气体,在一定温度下分布在最概
然速率 多。
附v 近p 单位速率间隔内的相对分子数最
f (v)
Ov
v
p
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(2)平均速率： 气体分子速率的算术平均值。 太原理工大学物理系
(3)方均根速率：气体分子速率平方的平均值的平方根。
v2 3kT 3kNAT
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麦克斯韦速率分布曲线 f (v)
f (v)
O v vp
v
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讨论 1）f (v ) 的意义
表示分子速率在v附近，单位速率间隔内的分子 数占总分子数的百分比。
f (v )为速率分布图上的一条竖线 2）f (v ) dv的意义
表示分子速率在v—v+dv间隔内的分子数占总分子 数的百分比。
m
mN A
3RT 1.73 RT
M mol
M mol
或由
t
1 mv2 2

3 kT 2
得出
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三种速率比较 f (v)
三种速率均与 T 成正
比,与 M mol 成反比，但
三者有一个确定的比例
关系;三种速率使用于不
同的场合。
O
v p
v
v2
v
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三种速率使用于不同的场合
f (x) 是位置的函数
f (x)
概率分布函数表示随 机变量x处单位区间内 的概率，所以概率分 布函数又称为概率密 度。
0
x x x
x
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一、 速率分布函数
o

+
把速率分成很多相等的间隔
统计出每个间隔内的分子数N
N + 间隔内分子数与分子总数N之比 N
vp
取 v v 2 ，并注意到
v2

3kT m

3 2
2kT m

3 2
Hale Waihona Puke Baidu
v
2 p
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f ( v2 )
概率之比为
4
3
1
3
e2
2 vp
f (vp )dv
f (vp )

2

e
1 2
1.10
f ( v2 )dv f ( v2 ) 3
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四、分子速率的实验测定
速率分布函数 f(v)可写为
f (v) 4 (
m
)3
2
v2e
mv2 2kT
2 kT

4

1
3
2
v2 v3p
ev2
v
2 p

4
2
v v2
v
2 p
e 3
vp
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f (v)
4
2
v ev2
v
2 p

v
3 p
在上式中取v=vp ,得
f (vp )
4 1 e1
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比 N 1 N v
N 1 N v 只与速率v有关，只是v 的函数。
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速率分布函数 说明了理想气体分子速度大小的分布是有规律 的，这一结论由麦克斯韦 1859年用概率论证明. 二、麦克斯韦速率分布律
反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分 子数占总分子数的百分比的规律。
f (v ) dv为速率分布图上的一个窄条面积
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f (v)
面积
面积
f (v)
O
v1 v2
v
dv
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3）
的意义
是速率分布曲线下的一个有限面积，表示速率
在v1v2范围内分子数与总分子数之比。
4）
的意义

f (v)dv 1 是速率分布曲线下的总面积.
0
称为归一化条件
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例1
表示单位体积内分布在速率区间 数。
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内的分子
表示分布在速率区间
内的分子数。
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表示分布在单位体积内，速率区间 子数。
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内的分
三、 气体的三种统计速率
(1)最概然速率:
速率分布函数
中的极大值对应的分子速率 vp
极值条件
2kNAT mN A
§4-4 麦克斯韦速率分布律
热力学系统中分子数量多，分子速度的大小、
方向千变万化，分子的速度分布、速率分布有
无规律? 气体分子的平均平动动能
t

1 2
mv2
方均根速率
分子速率的一种统 计平均值
单个分子的速率无规则，但从大量分子的整体 来看，在平衡状态下，分子的速率分布遵循一 定的统计规律。
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1920年，史特恩从实验上证实了麦克斯韦分子 按速率分布的统计规律. 1934年，中国科学家葛 正权对实验装置进行了改进。
接抽气泵
显
金属

蒸汽 狭
示 屏
缝
L υt
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vp --- 用于讨论速率分布
v --- 用于讨论分子碰撞
v 2 ---用于计算分子的平均平动动能
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很 多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的 逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和 氦了。
N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25， 故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧 气(占大气质量的23%)。