-麦克斯韦速率分布律
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大学物理(12.5.1)--Maxwell气体分子速率分布率
2．平均速率（mean speed）
1）定义：大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率，用 v 表示。
v＝
N i vi Ni
=
N i vi N
2）计算：如取 dN 代表气体分子在 v→v+dv 间隔内的分子数，则平均速
率可由积分计算
v
=
vdN
N
由速率分布函数可得
dN = Nf (v)dv
=
4
m 2kT
3
/
2
e
mv 2 2 kT
v
2
dv
这个结论称为麦克斯韦速率分布律。式中 m 是分子的质量；T 是热力学温度；k
是玻耳兹曼常量。
而 f (v) 为
f
(v)
=
4
m 2kT
3 / 2
mv 2
e 2kT
v2
——速率分布函数
f(v)的物理意义：f(v)表示气体处于平衡态时，气体分子在速率 v 附近单位速率
因而平均速率为
v
=
vdN
N
＝
vNf (v)dv N
=
vf
(v)dv
考虑到
f
(v)
=
4
m 2kT
3 / 2
mv 2
e 2kT
v2
和积分公式 ex2 x3dx = 1/(2 2 ) 0
得平均速率为
v=
8kT m
用摩尔质量表示，有
v=
8RT M
＝1.60
RT M
+
e
m 2 kT
v2
�2v
麦克斯韦速率分布律的推导
麦克斯韦速率分布律的推导
麦克斯韦速率分布律是一种有用的概念，其可以帮助我们对问题的复杂性进行评估，
包括对问题的解决方案的可行性进行评估。
通常，当我们正在设计一个程序，并面临着复
杂和不可预测的问题时，麦克斯韦速率分布律就可以派上用场了。
麦克斯韦速率分布律是由美国数学家麦可·斯韦尔博士提出的。
斯韦尔提出了一套基
于序列分析法的分析工具，以对 inerconnected events 的速率进行统计分析。
他认为，
复杂系统中的事件有若干 nested stages：这些阶段之前的事件可能会影响后续的事件，
产生一种 cascade effect。
因此，他提出了一种分布式的统计模型，来描述这种指数级
跌落的现象，即 ------------->
麦克斯韦速率分布律。
该模型指出，问题的复杂性在问题维度上是以指数方式递增的，这一模型可以以下形式表达： problem complexity = C * z ^ n , 其中C 为一个常数，
z 为问题的附加复杂维度， n 为问题的基础复杂度等级。
这种模型可以帮助我们评估问题的复杂性是否可控、可维护，以及是否满足事件驱动
的应用通用性要求。
例如，如果一个系统的维度太多，其复杂程度就会指数级增长，那么
就需要对这一系统进行重构，以简化其复杂性并可持续维护。
此外，它也可以帮助我们推
断出某些系统是否有效解决会议解决方案。
总而言之，麦克斯韦速率分布律有助于识别可能会遇到的问题，并给出比较有效的解
决方案。
这种概念可以为我们设计可持续高性能系统提供一定的指导作用，进而有助于实
现系统的稳定和可靠性。
4麦克斯韦速率分布率
o v p2 v p1
v
dengyonghe1@
时的最概然速率v 例：求空气分子在27ºC时的最概然速率 P 求空气分子在 时的最概然速率 解：由公式
vp =
2 RT M
T = 300K
M = 29 g/mol
2 × 8.31 × 300 vp = = 414m/s −3 29 × 10
S1 S2
B
ϕ
C
A
ω
l
抽真空
P
dengyonghe1@
讨论
1. vP与温度T的关系 与温度 的关系
T ↑ → vp ↑
f (v )
2kT vp = m
物理意义：温度越高，速率较大的分子数越多， 物理意义：温度越高，速率较大的分子数越多， 分子运动越剧烈。 分子运动越剧烈。
T2 > T1
曲线的峰值右移,由于 曲线的峰值右移 由于 曲线下面积为1不变 不变， 曲线下面积为 不变， 所以峰值降低。 所以峰值降低。
T1
T2
v
dengyonghe1@
o
v p1
vp2
2. vP与分子质量m的关系 分子质量 的关系
2kT vp = m
m ↑ → vp ↓
m2 > m1
曲线的峰值左移,由 曲线的峰值左移 由 于曲线下面积为1不 于曲线下面积为 不 所以峰值升高。 变，所以峰值升高。
f (v) m2 m1
三、麦克斯韦速率分布律的应用
利用麦克斯韦速率分布率可计算最概然速率、 利用麦克斯韦速率分布率可计算最概然速率、方均 根速率、平均速率等物理量。 根速率、平均速率等物理量。
1.最概然速率 P 最概然速率v 最概然速率 最概然速率也称 最可几速率， 最可几速率，表示在 该速率下分子出现的 该速率下分子出现的 概率最大。 概率最大。
麦克斯韦速率分布律
粒子速率分布实验曲线
粒子速率分布实验曲线如下所示
结论：气体分子速率分布符合麦克斯韦分布率
理想气体状态方程
或
三个速率
麦克斯韦速率分布率
上节基本概念回顾
速率分布函数
温度越高，速率大的分子数越多
讨论：1、同一气体不同温度下速率分布比较
比较 的高低
讨论：2、同一温度下不同种气体速率分布比较
分子质量越小，速率大的分子数越多。
比较 的大小
--- 用于讨论分子碰撞
三种速率的使用场合
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和氦了。 N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧气(占大气质量的23%)。
气体分子速率的算术平均值。
(2)平均速率：
气体分子速率平方的平均值的平方根。
(3)方均根速率：
三种速率均与 成正比,与 成反比，但三者有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的场合。
三个速率的比较
vp --- 用于讨论速率分布
---用于计算分子的平均平动动能
把速率分成很多相等的间隔
+
o
统计出每个间隔内的分子数N
间隔内分子数与分子总数N之比
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比
速率分布函数表达式 的意义
（1）速率分布函数 意义是v处单位速率间隔内的分子数占总 数的比值。
（2）如果分布函数 确定，则处于速率 内的分子数占总 数的比值为
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数
粒子速率分布实验曲线如下所示
结论：气体分子速率分布符合麦克斯韦分布率
理想气体状态方程
或
三个速率
麦克斯韦速率分布率
上节基本概念回顾
速率分布函数
温度越高，速率大的分子数越多
讨论：1、同一气体不同温度下速率分布比较
比较 的高低
讨论：2、同一温度下不同种气体速率分布比较
分子质量越小，速率大的分子数越多。
比较 的大小
--- 用于讨论分子碰撞
三种速率的使用场合
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和氦了。 N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧气(占大气质量的23%)。
气体分子速率的算术平均值。
(2)平均速率：
气体分子速率平方的平均值的平方根。
(3)方均根速率：
三种速率均与 成正比,与 成反比，但三者有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的场合。
三个速率的比较
vp --- 用于讨论速率分布
---用于计算分子的平均平动动能
把速率分成很多相等的间隔
+
o
统计出每个间隔内的分子数N
间隔内分子数与分子总数N之比
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比
速率分布函数表达式 的意义
（1）速率分布函数 意义是v处单位速率间隔内的分子数占总 数的比值。
（2）如果分布函数 确定，则处于速率 内的分子数占总 数的比值为
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数
麦克斯韦速率分布定律
(4) 平均速率和方均根速率.
f ( )
解：（1）求 C :
C (0 ) (0 0 ) 0 ( 0 )
0
f ( )d 1 C
6
3 0
（2） N 0 ~ 0 / 4 N
0 / 4
0
5 f ( ) d N 32
0 df ( ) （3）最可几速率 0 p d p 2
6.5 麦克斯韦速率分布定律
气体中个别分子的速度大小和方向完全是偶然的 , 但 平衡态下，气体分子的速度分布遵从一定的统计规律 — — 麦克斯韦速度分布定律. 若不考虑分子速度的方向， 这个规律就成为麦克斯韦速率分布定律.
1859年, 麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布 定律，后由玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出. 1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
f (v )
av ， (0 v v 0 ) 0 ， (v v 0 )
2
f (v )
v0 v 求： （1）常量 a 和υ0 的关系 0 （2）平均速率 v v0 （3）速率在 0 之间分子的平均速率 v 2
解： （1）由归一化条件
0
2 0
0
f ( )d 1
3 得 a 3 v0
f ( v)
T1 300K T2 1200K
f ( v)
麦克斯韦速度分布律公式
麦克斯韦速度分布律公式麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律是统计物理学中描述理想气体速度分布的重要定律之一。
它描述了在给定温度下，气体分子速度的分布情况。
以下是与麦克斯韦速度分布律相关的公式和解释说明：麦克斯韦速度分布律公式1.麦克斯韦速度分布函数：f(v) = (m / (2 * π * k * T) )^(3/2) * 4 * π * v^2 * exp(-m*v^2 / (2 * k * T))其中，f(v)是速度的概率密度函数，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是气体的温度，v是速度。
2.平均速度：<v> = ∫(v * f(v)) dv计算麦克斯韦速度分布函数与速度的乘积的积分，求得平均速度。
3.均方根速度：vrms = √(3 * k * T / m)均方根速度描述了气体中分子速度的大小，它是所有分子速度平方的平均值的平方根。
麦克斯韦速度分布律解释以下是对麦克斯韦速度分布律公式的解释说明和例子：1.麦克斯韦速度分布函数公式解释：麦克斯韦速度分布函数表示了在给定温度下，速度在不同取值上的概率密度。
函数中的指数项含有一个负号，指数的绝对值大小与速度的平方成正比，即速度越大，对应的指数项越小，概率越小。
这符合物质中分子速度的分布趋势，常见的速度大都集中在某个范围内。
2.平均速度解释：平均速度表示在给定温度下，所有可能速度的加权平均值。
将速度与麦克斯韦速度分布函数相乘后积分，可以得到平均速度。
这意味着在一个气体体系中，速度的概率分布决定了平均速度的大小。
3.均方根速度解释：均方根速度是速度分布的一种描述方式，它描述了速度的大小和分散程度。
均方根速度是气体中所有分子速度平方的平均值的平方根。
根据麦克斯韦速度分布律，均方根速度与温度呈正比，与分子质量的平方根成反比。
总结麦克斯韦速度分布律是描述气体速度分布的重要定律，通过麦克斯韦速度分布函数、平均速度和均方根速度等公式，我们可以计算在给定温度下，气体分子速度的分布情况。
麦克斯韦速率分布律
理气
d(m )F (器 dt壁）
真实气体 d (m ) (F 器 壁 f 内 部 )d t 分 子
pi
β
a
修正为
RT
Pb Pi
由于分子之间存在引力 而造成对器壁压强减少 内压强 P i
基本完成了第二 步的修正
内压强 1) 与碰壁的分子数成正比 2) 与对碰壁分子有吸引力作用的分子数成正比
解： 已知 T27 K,3 p1.0at m 1.01 1350 P,a d3.51 0 1m 0
kT 2d 2 p
1 .4 1 3 .1 1 . 3 4 (3 .5 8 1 1 2 0 3 1 0 2 )0 1 7 .0 3 150 6 .9 1 8 0 m
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
例 计算在 27C时，氢气和氧气分子的方均
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
1.测定气体分子速率分布的实验
m ( H 2 ) m ( O 2 )
o
2000 v/ms1 vp(H 2)vp(O 2)
vp(H2) vp(O2)
14.6 麦克斯韦速率分布律
o
v1 v2
v
dN = Nf ( v )dv
v v1 → v2 区间的分子数 ∆N = ∫v 2 N f ( v )dv 速率位于 1
区间的分子数占总数的百分比： 速率位于 v1 → v2 区间的分子数占总数的百分比：
∆ N ( v1 → v 2 ) v2 ∆S = = ∫v f ( v )d v 1 N
气体在一定温度下分布在最概然 速率 v p 附近单位速率间隔内的相对 分子数最多 .
2）平均速率 ）
v (mean speed)
∞ 0
∫ v=
N
0
vdN N
∫ =
vNf (v)dv N
8kT πm
f (v)
v = ∫ v f ( v )dv =
0
∞
=
8 RT πM mol
o
v
v ≈ 1 .6 0
kT = 1 .6 0 m
df (v) = 0 决定 (2)最概然速率由 最概然速率 dv v p
df (v) = A(v0 − 2v) v = 0 p dv vp
v0 vp = 2
v0
v0 6 2 平均速率： 平均速率： v = vf (v)dv = ∫ v (v0 − v)dv = 3 0 0 2 v0 ∞ v 6 3 2 3 2 2 v = v f (v)dv = ∫0 3 v (v0 − v)dv = v0 而 0 v0 10
三种统计速率 1）最概然速率 ）
vp
(most probable speed)
f max
f v)
df ( v) =0 dv v=vp
根据分布函数求得
v ∵Mmol = mNA , R = NA k
普通物理PPT课件4.3 麦克斯韦速率分布律
速率在v1 的百分比为
v2 区间的分子数N 占分子总数
v2 N ＝ f (v )dv v1 N
它对应于曲线下阴影部分的面积
0
f (v )dv＝1
——速率分布函数的归一化
*由麦克斯韦速率分布函数表示一些平均值
v
v
2
vdN N
2
0
0
dN v N
vf (v )dv
0
在v = vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1）内 的分子数总数为
6.02 1023 105 0.2 0 0 1.2 1026 个
在v = 10vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1） 内的分子数总数为
6.02 1023 105 2.0 1042 0 0 1.2 10
速率在区间的分子数占分子总数的百分比为它对应于曲线下阴影部分的面积速率分布函数的归一化432最概然速率平均速率和方均根速率最概然速率定义速率分布曲线上速率分布函数f最大值对应的速率叫做最概然速率
4.3 麦克斯韦速率分布律
4.3.1 麦克斯韦速率分布律 4.3.2 最概然速率 平均速率和方均根速率 4.3.4 例题分析
v2
k 玻耳兹曼常数 m 分子的质量 T－热力学温度
以v为横坐标，f (v)为纵坐标画出的曲线叫 做气体分子的速率分布曲线．
f (v )
dN f ( v )dv N
o
vp
v v dv
v
麦克斯韦速率分布曲线
3.麦克斯韦速率分布曲线
面积：
f(v)
意义：分布在区间v~ v+v 内的分子数的百分率 面积：
v2 区间的分子数N 占分子总数
v2 N ＝ f (v )dv v1 N
它对应于曲线下阴影部分的面积
0
f (v )dv＝1
——速率分布函数的归一化
*由麦克斯韦速率分布函数表示一些平均值
v
v
2
vdN N
2
0
0
dN v N
vf (v )dv
0
在v = vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1）内 的分子数总数为
6.02 1023 105 0.2 0 0 1.2 1026 个
在v = 10vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1） 内的分子数总数为
6.02 1023 105 2.0 1042 0 0 1.2 10
速率在区间的分子数占分子总数的百分比为它对应于曲线下阴影部分的面积速率分布函数的归一化432最概然速率平均速率和方均根速率最概然速率定义速率分布曲线上速率分布函数f最大值对应的速率叫做最概然速率
4.3 麦克斯韦速率分布律
4.3.1 麦克斯韦速率分布律 4.3.2 最概然速率 平均速率和方均根速率 4.3.4 例题分析
v2
k 玻耳兹曼常数 m 分子的质量 T－热力学温度
以v为横坐标，f (v)为纵坐标画出的曲线叫 做气体分子的速率分布曲线．
f (v )
dN f ( v )dv N
o
vp
v v dv
v
麦克斯韦速率分布曲线
3.麦克斯韦速率分布曲线
面积：
f(v)
意义：分布在区间v~ v+v 内的分子数的百分率 面积：
麦克斯韦速率分布律ppt课件.ppt
f (v)
dS
o v v dv
v
dN f (v)dv dS N
归一化条件
物理意义
表示在温度为 T 的平衡
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的 百分比。
表示速率在v v dv
区间的分子数占总分子数的 百分比 。
0N
dN N
0
f
(v)dv
1
首页
上页
下页
末页
退出
f (v)
S
o
（2） v2 f (v)dv， f (v)dv， v0 Nf (v)dv ；
v1
0
0
（3） v2 f (v)dv ， v2 Nvf (v)dv 。
0
v1
首页
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下页
末页
退出
【例题7–3】有一N个粒子组成的系统，其速率分 布函数如图7–9所示。（1）由v0求常量C；（2）求粒 子的平均速率。
解：（1）由归一化条
f(v)
件，有
C
1 2
Cv0
1
C 2 v0
（2）粒子的速率分布函数为 O
图7–9
4v
f
(v)
v02
4v v0
1
v v0
0 v v0
2
v0 2
v
v0
首页
上页
下页
v0 v
末页
退出
粒子的平均速率为
v 0 vf (v)dv
v0 0
/
2
v
4v v02
dv
v0 v0 / 2
dN 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2dv
麦克斯韦速率分布律
dN m 3 / 2 mv 2 / 2 kT 2 f ( v) 4 ( ) e v Ndv 2 π kT
23 ´ 当m 2 10 g , T 273k , V 800m / s
f (800) 10 什么含义
6
在800-800+dv速率区间，单位速 率区间分子数占总分子数之比
f (v ) d v
0 v0 2 av d v 0
0
1 3 av 0 3
3 a 3 v0
（2）设总分子数为N， 则
v
v 0
Nf (v ) d v N
2
v 0
f (v ) d v
v0 v 0
a 4 1 3 4 3 av d v v 0 ( 3 )v 0 v 0 4 v0 4 4
m 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95
总人数1380 1.50-1.55m的人数130
30 25 20 15 10 5 0 25 26 26 26 27
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
50 40 30 20 10 0
N v d N v 0 N d Nv 0
i
N v 0
d Nv N
v 0
f (v ) d v
8kT 8RT 对麦氏速率分布经计算得： v πm π
v (v ) f (v ) d v
0
规律：任意v 的函数(v)对 全体分子的平均值都可以用 速率分布函数由上式求得：
课件：麦克斯韦速率分布律
Nf (v) a
o
解：（1）由图可写出分子速率分布函数：
v0
2v0 v
a
Nv0
v
f
(v)
a N
0
(0 v v0 )
(v0 v 2v0 ) (v v0 )
由归一化条件，得
f (v)dv 1
，即
0
v0 a vdv 2v0 a dv 1
0 Nv0
N v0
2N a
3v0
（2）速率在区间[1.5v0，2.0v0]内的分子数：
区间的分子数占总分子数的 百分比 .
归一化条件
N dN f ( v )dv 1
0N
0
f (v)
dN f (v)dv dS
N
S
速率位于v v dv 内分子数
o
v1 v2 v
dN Nf (v)dv
速率位于
v1
v2
区间的分子数 N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
v
v f (v)dv
v0 v f (v)dv
v v0 1 dv v0
0
0
0 v0
2
2、导体中自由电子的运动，可看作类似气体分子 的运动（称为电子气）。设导体中共有N个自由电
子，其中电子的最大速率为vF（称为费米速率）。
电子速率分布函数为
f
(v
)
4 A
N
v
2
0
0 v vF v vF
v v1dN1 v2dN2 vidNi vndNn N
N
vdN vNf (v)dv
v 0
0
麦克斯韦速率分布定律
υ 附近单位速率区
间的分子数
(5) nf ()d N dN dN
VN V
单位体积中速率在υ ~ υ+dυ区间的分子数
(6) 2 f ()d 1
dN N
N1 2 N
速率在υ1 ~ υ2区间的分
子数占总分子数的百分比
(7) 2 Nf ()d 1
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
(1) f () dN Nd
(2) f ( )d dN
N
υ附近单位速率区间的分子
数占总分子数的百分比
速率在υ ~ υ+dυ区间的分
子数占总分子数的百分比
(3) N f ()d N dN dN
N
速率在υ ~ υ+dυ
区间的分子数
(4) N f () N dN dN Nd d
f ()
T1
T2 T1
T2
p
2kT m
麦克斯韦速率分布定律
1859年, 麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布 定律，后由玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出.
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
麦克斯韦速率分布
m f (v ) 4 Ndv 2kT dN
3/ 2 mv
2
e
2 kT
v , ( , n均匀）
2
2、分子在势场中，n不均匀，考虑空间分布：
dN ndV n0 e
p
kT
dxdydz
——在x，y，z处得体元dV中的分子数
在势场中，分子总是优先占据势能较低的状态。
N / N 0
0
100－200 200－300 300－400 400－500 500－600 600－700 700－800 800－900
1.4 8.1
16.5 21.4 20.6 15.1 9.2 4.8 2.0
N
Nv
ΔN－在v－v＋Δv区间内 的分子数 N－总分子数 Δv －速率区间
分布
2、公式推导：——流体静力学 h+dh h 今取一垂直于地面的气体圆 P+dP＝P’ 柱体。设地面处分子数密度 为 n 高度为h处的分子数密 0 为度 n P
dP gdh
nm
dP nmgdh —（1）
平衡时， P nkT
h+dh h
P+dP＝P’ P
T处处相等，
dP kT dn —（2）
0
m 4 2kT
3/ 2
mv
2
e
2 kT
v dv
3
__
v 4 2kT
3/ 2
mv
2
e
2 kT
k3dv R / N 0 v
mN0
8kT
m
8 RT 1.60 RT
3/ 2 mv
2
e
2 kT
v , ( , n均匀）
2
2、分子在势场中，n不均匀，考虑空间分布：
dN ndV n0 e
p
kT
dxdydz
——在x，y，z处得体元dV中的分子数
在势场中，分子总是优先占据势能较低的状态。
N / N 0
0
100－200 200－300 300－400 400－500 500－600 600－700 700－800 800－900
1.4 8.1
16.5 21.4 20.6 15.1 9.2 4.8 2.0
N
Nv
ΔN－在v－v＋Δv区间内 的分子数 N－总分子数 Δv －速率区间
分布
2、公式推导：——流体静力学 h+dh h 今取一垂直于地面的气体圆 P+dP＝P’ 柱体。设地面处分子数密度 为 n 高度为h处的分子数密 0 为度 n P
dP gdh
nm
dP nmgdh —（1）
平衡时， P nkT
h+dh h
P+dP＝P’ P
T处处相等，
dP kT dn —（2）
0
m 4 2kT
3/ 2
mv
2
e
2 kT
v dv
3
__
v 4 2kT
3/ 2
mv
2
e
2 kT
k3dv R / N 0 v
mN0
8kT
m
8 RT 1.60 RT
麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦速率分布律介绍麦克斯韦速率分布律是描述理想气体粒子速度分布的统计物理学定律。
它是由19世纪物理学家詹姆斯·麦克斯韦提出的，通过分析气体分子的碰撞和运动，揭示了粒子速度的分布规律。
麦克斯韦速率分布律在理解和研究气体的性质和行为方面起着重要作用。
物理背景在理想气体状态下，气体分子间无相互作用力，分子之间碰撞时可以视为弹性碰撞，满足动量守恒和能量守恒。
根据统计物理学的理论，在给定温度下，气体粒子的速度具有一定范围的分布。
麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数是描述理想气体速度分布的函数，可以用来计算在给定温度下不同速度范围内气体分子的数量。
麦克斯韦速率分布函数的形式为：[f(v)=4()^{3/2} v^2 e^{-}]其中，[f(v)]为速度为[v]的气体分子的数量，[m]为分子的质量，[k]为玻尔兹曼常数，[T]为气体的温度。
速度分布特点根据麦克斯韦速率分布律，气体分子的速度分布具有以下特点：1. 最概然速度最概然速度是指在给定温度下，气体粒子速度分布函数的峰值对应的速度值[v_p]。
最概然速度与温度无关，只取决于粒子的质量。
最概然速度可以通过对速度分布函数求导并令导数等于零来求得。
2. 平均速度平均速度是指在给定温度下，所有速度可能取值的加权平均值。
根据麦克斯韦速率分布律，平均速度与温度成正比，与粒子质量无关。
3. 方均根速度方均根速度是指在给定温度下，速度平方的平均值的开平方。
方均根速度与温度成正比，与粒子质量无关。
麦克斯韦速率分布律的应用麦克斯韦速率分布律在研究气体性质和行为时具有广泛的应用。
以下是一些麦克斯韦速率分布律的应用：1. 气体的热容根据麦克斯韦速率分布律可以计算出给定温度下气体分子的平均动能和热容。
热容是指单位物质在温度变化下吸收或释放的热量。
通过麦克斯韦速率分布律，我们可以计算气体的平均动能，并根据统计物理学的理论将其与热容联系起来。
2. 气体的扩散速率扩散是指气体中各个分子在温度梯度下的运动。
高二物理竞赛麦克斯韦速率分布律课件
2 3
n k
微观 理论
(p, V, T)
温度公式
T
2 3
1 k
k
统计规律
能量均分定理
ki
1 2
kT
理想气体模型：
宏观 规律 1、忽略分子大小 ( 看作质点 )
2、忽略分子间的作用力，忽略重力
3、碰撞(分子之间、分子与器壁间)属完全弹性
气体状态方程 4、分子服从经典力学规律
pV M R T M mol
8
分子速率的实验测定
1、实验装置
2、实验原理
O —— 蒸汽源 S —— 分子束射出方向孔 R —— 长为 l 、刻有螺旋形细槽的铝钢滚筒 D —— 检测器，测定通过细槽的分子射线强度
当圆盘以角速度ω转动时，
每转动一周，分子射线通
过圆盘一次，由于分子的
速率不一样，分子通过圆
盘的时间不一样，只有速
率满足下式的分子才能通
提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，
预言了以光速传播的电磁波的存在。
讨论速率分布(不同温度、同温但分子质量不同)时——
用最概然速率
都含有统计的平均意义，
反映大量分子作热运动的统计规律。
例3 图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，问：（1）哪一条曲线对应的温度高？（2）如果这两条曲线分别对应的
则分布在vP所在区间的分子数比率最大(而不是速率最大)。
是分布函数的一个特征值。
• vP的值：
df v
0 dv
vvp
vp
2 RT M mol
1.41 RT M mol
15
三种统计速率
1、最概然速率
vp
2 RT M mol
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太原理工大学物理系
麦克斯韦速率分布曲线 f (v)
f (v)
O v vp
v
太原理工大学物理系
讨论 1）f (v ) 的意义
表示分子速率在v附近，单位速率间隔内的分子 数占总分子数的百分比。
f (v )为速率分布图上的一条竖线 2）f (v ) dv的意义
表示分子速率在v—v+dv间隔内的分子数占总分子 数的百分比。
太原理工大学物理系
例1
表示单位体积内分布在速率区间 数。
太原理工大学物理系
内的分子
表示分布在速率区间
内的分子数。
太原理工大学物理系
表示分布在单位体积内，速率区间 子数。
太原理工大学物理系
内的分
三、 气体的三种统计速率
(1)最概然速率:
速率分布函数
中的极大值对应的分子速率 vp
极值条件
2kNAT mN A
太原理工大学物理系
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
f (v ) p3 T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
太原理工大学物理系
同一温度下不同种气体速率分布比较
f (v)
m1
m1 m2 m3
1920年，史特恩从实验上证实了麦克斯韦分子 按速率分布的统计规律. 1934年，中国科学家葛 正权对实验装置进行了改进。
接抽气泵
显
金属
蒸汽 狭
示 屏
缝
L υt
太原理工大学物理系
m2
分子质量越小，速率
大的分子数越多。
m3
v v O
v p1 p2 p3
v
太原理工大学物理系
例1 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线
如图所示，已知 T1 300K T2 1200K
在曲线上标出温度
f (v)
T1 300K
T2 1200K
o v v p1
p2
v
太原理工大学物理系
例2 同一温度下两种气体 O2和 H2 的速率
速率分布函数 f(v)可写为
f (v) 4 (
m
)3
2
v2e
mv2 2kT
2 kT
4
1
3
2
v2 v3p
ev2
v
2 p
4
2
v v2
v
2 p
e 3
vp
太原理工大学物理系
f (v)
4
2
v ev2
v
2 p
v
3 p
在上式中取v=vp ,得
f (vp )
4 1 e1
m
mN A
3RT 1.73 RT
M mol
M mol
或由
t
1 mv2 2
3 kT 2
得出
太原理工大学物理系
三种速率比较 f (v)
三种速率均与 T 成正
比,与 M mol 成反比，但
三者有一个确定的比例
关系;三种速率使用于不
同的场合。
O
v p
v
v2
v
太原理工大学物理系
三种速率使用于不同的场合
f (x) 是位置的函数
f (x)
概率分布函数表示随 机变量x处单位区间内 的概率，所以概率分 布函数又称为概率密 度。
0
x x x
x
太原理工大学物理系
一、 速率分布函数
o
Байду номын сангаас
+
把速率分成很多相等的间隔
统计出每个间隔内的分子数N
N + 间隔内分子数与分子总数N之比 N
vp --- 用于讨论速率分布
v --- 用于讨论分子碰撞
v 2 ---用于计算分子的平均平动动能
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很 多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的 逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和 氦了。
N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25， 故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧 气(占大气质量的23%)。
太原理工大学物理系
平衡态下的理想气体,在一定温度下分布在最概
然速率 多。
附v 近p 单位速率间隔内的相对分子数最
f (v)
Ov
v
p
太原理工大学物理系
(2)平均速率： 气体分子速率的算术平均值。 太原理工大学物理系
(3)方均根速率：气体分子速率平方的平均值的平方根。
v2 3kT 3kNAT
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽 的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数
每个槽内的钢球数与总数之比：
N1 , N 2 N i
NN
N
Ni 1）与狭槽的宽度有关 N 2）与狭槽的位置有关
Ni f (x) x N
太原理工大学物理系
f (x) Ni 称为概率分布函数 Nx
f (v ) dv为速率分布图上的一个窄条面积
太原理工大学物理系
f (v)
面积
面积
f (v)
O
v1 v2
v
dv
太原理工大学物理系
3）
的意义
是速率分布曲线下的一个有限面积，表示速率
在v1v2范围内分子数与总分子数之比。
4）
的意义
f (v)dv 1 是速率分布曲线下的总面积.
0
称为归一化条件
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比 N 1 N v
N 1 N v 只与速率v有关，只是v 的函数。
太原理工大学物理系
速率分布函数 说明了理想气体分子速度大小的分布是有规律 的，这一结论由麦克斯韦 1859年用概率论证明. 二、麦克斯韦速率分布律
反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分 子数占总分子数的百分比的规律。
§4-4 麦克斯韦速率分布律
热力学系统中分子数量多，分子速度的大小、
方向千变万化，分子的速度分布、速率分布有
无规律? 气体分子的平均平动动能
t
1 2
mv2
方均根速率
分子速率的一种统 计平均值
单个分子的速率无规则，但从大量分子的整体 来看，在平衡状态下，分子的速率分布遵循一 定的统计规律。
太原理工大学物理系
vp
取 v v 2 ，并注意到
v2
3kT m
3 2
2kT m
3 2
v
2 p
太原理工大学物理系
f ( v2 )
概率之比为
4
3
1
3
e2
2 vp
f (vp )dv
f (vp )
2
e
1 2
1.10
f ( v2 )dv f ( v2 ) 3
太原理工大学物理系
四、分子速率的实验测定
分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。
f (v) O2
H2
o vpo
vpH
v
太原理工大学物理系
例3 试求分子在最概然速率vp 附近与在方均根速
率 v附2 近出现的概率之比。
解：分子速率在最概然速率 vp附近dv 速率区间的
概率为f(vp)dv ，在方均根速率 v2 附近 dv速率区
间的概率为 f ( v2 )dv 。利用v2p =2kT/m，麦克斯韦
麦克斯韦速率分布曲线 f (v)
f (v)
O v vp
v
太原理工大学物理系
讨论 1）f (v ) 的意义
表示分子速率在v附近，单位速率间隔内的分子 数占总分子数的百分比。
f (v )为速率分布图上的一条竖线 2）f (v ) dv的意义
表示分子速率在v—v+dv间隔内的分子数占总分子 数的百分比。
太原理工大学物理系
例1
表示单位体积内分布在速率区间 数。
太原理工大学物理系
内的分子
表示分布在速率区间
内的分子数。
太原理工大学物理系
表示分布在单位体积内，速率区间 子数。
太原理工大学物理系
内的分
三、 气体的三种统计速率
(1)最概然速率:
速率分布函数
中的极大值对应的分子速率 vp
极值条件
2kNAT mN A
太原理工大学物理系
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
f (v ) p3 T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
太原理工大学物理系
同一温度下不同种气体速率分布比较
f (v)
m1
m1 m2 m3
1920年，史特恩从实验上证实了麦克斯韦分子 按速率分布的统计规律. 1934年，中国科学家葛 正权对实验装置进行了改进。
接抽气泵
显
金属
蒸汽 狭
示 屏
缝
L υt
太原理工大学物理系
m2
分子质量越小，速率
大的分子数越多。
m3
v v O
v p1 p2 p3
v
太原理工大学物理系
例1 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线
如图所示，已知 T1 300K T2 1200K
在曲线上标出温度
f (v)
T1 300K
T2 1200K
o v v p1
p2
v
太原理工大学物理系
例2 同一温度下两种气体 O2和 H2 的速率
速率分布函数 f(v)可写为
f (v) 4 (
m
)3
2
v2e
mv2 2kT
2 kT
4
1
3
2
v2 v3p
ev2
v
2 p
4
2
v v2
v
2 p
e 3
vp
太原理工大学物理系
f (v)
4
2
v ev2
v
2 p
v
3 p
在上式中取v=vp ,得
f (vp )
4 1 e1
m
mN A
3RT 1.73 RT
M mol
M mol
或由
t
1 mv2 2
3 kT 2
得出
太原理工大学物理系
三种速率比较 f (v)
三种速率均与 T 成正
比,与 M mol 成反比，但
三者有一个确定的比例
关系;三种速率使用于不
同的场合。
O
v p
v
v2
v
太原理工大学物理系
三种速率使用于不同的场合
f (x) 是位置的函数
f (x)
概率分布函数表示随 机变量x处单位区间内 的概率，所以概率分 布函数又称为概率密 度。
0
x x x
x
太原理工大学物理系
一、 速率分布函数
o
Байду номын сангаас
+
把速率分成很多相等的间隔
统计出每个间隔内的分子数N
N + 间隔内分子数与分子总数N之比 N
vp --- 用于讨论速率分布
v --- 用于讨论分子碰撞
v 2 ---用于计算分子的平均平动动能
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很 多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的 逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和 氦了。
N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25， 故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧 气(占大气质量的23%)。
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平衡态下的理想气体,在一定温度下分布在最概
然速率 多。
附v 近p 单位速率间隔内的相对分子数最
f (v)
Ov
v
p
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(2)平均速率： 气体分子速率的算术平均值。 太原理工大学物理系
(3)方均根速率：气体分子速率平方的平均值的平方根。
v2 3kT 3kNAT
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽 的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数
每个槽内的钢球数与总数之比：
N1 , N 2 N i
NN
N
Ni 1）与狭槽的宽度有关 N 2）与狭槽的位置有关
Ni f (x) x N
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f (x) Ni 称为概率分布函数 Nx
f (v ) dv为速率分布图上的一个窄条面积
太原理工大学物理系
f (v)
面积
面积
f (v)
O
v1 v2
v
dv
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3）
的意义
是速率分布曲线下的一个有限面积，表示速率
在v1v2范围内分子数与总分子数之比。
4）
的意义
f (v)dv 1 是速率分布曲线下的总面积.
0
称为归一化条件
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比 N 1 N v
N 1 N v 只与速率v有关，只是v 的函数。
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速率分布函数 说明了理想气体分子速度大小的分布是有规律 的，这一结论由麦克斯韦 1859年用概率论证明. 二、麦克斯韦速率分布律
反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分 子数占总分子数的百分比的规律。
§4-4 麦克斯韦速率分布律
热力学系统中分子数量多，分子速度的大小、
方向千变万化，分子的速度分布、速率分布有
无规律? 气体分子的平均平动动能
t
1 2
mv2
方均根速率
分子速率的一种统 计平均值
单个分子的速率无规则，但从大量分子的整体 来看，在平衡状态下，分子的速率分布遵循一 定的统计规律。
太原理工大学物理系
vp
取 v v 2 ，并注意到
v2
3kT m
3 2
2kT m
3 2
v
2 p
太原理工大学物理系
f ( v2 )
概率之比为
4
3
1
3
e2
2 vp
f (vp )dv
f (vp )
2
e
1 2
1.10
f ( v2 )dv f ( v2 ) 3
太原理工大学物理系
四、分子速率的实验测定
分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。
f (v) O2
H2
o vpo
vpH
v
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例3 试求分子在最概然速率vp 附近与在方均根速
率 v附2 近出现的概率之比。
解：分子速率在最概然速率 vp附近dv 速率区间的
概率为f(vp)dv ，在方均根速率 v2 附近 dv速率区
间的概率为 f ( v2 )dv 。利用v2p =2kT/m，麦克斯韦