中考数学一轮培优微专题 解直角三角形实际应用三大模型
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(六) 解直角三角形应用之三大模型
∴∠PBD＝60°， ∴∠CBD＝60°－45°＝15°，90°－15°＝75°. 即海监船由 B 处开始沿南偏东至多 75°的方向航行能安全通过这一海域．
3．(2020·泰州)泰州市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮 在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 15 m 的 A 处测 得在 C 处的龙舟俯角为 23°；他登高 6 m 到正上方的 B 处测得驶至 D 处 的龙舟俯角为 50°，两次观测期间龙舟前进了多少？ (结 果精确到 1 m，参考数据： tan 23°≈0.42，tan 40° ≈0.84，tan 50°≈1.19，tan 67°≈2.36)
1．如图，某校数学兴趣小组的小明同学为了测量位于玉溪大河畔的云铜 矿业大厦 AB 的高度，小明在他家所在的公寓楼顶 C 处测得大厦顶部 A 处 的仰角为 45°，底部 B 处的俯角为 30°.已知公寓 高为 40 m，请你帮助小明计算公寓楼与矿业大厦间 的水平距离 BD 的长度及矿业大厦 AB 的高度．(结果 保留根号)
解：楼房底端设为 E 点，由题意得 CE＝AE·tan 67°＝15×2.36＝35.4(m)， BE＝BA＋AE＝6＋15＝21(m)，
DE＝BE·tan 40°＝21×0.84≈17.6(m)． ∴CD＝CE－DE＝35.4－17.6≈18(m)． 答：两1·荆门)某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为 10(3＋ 3) 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60°的方向上，当海监船行驶 20 海里后到达 B 处，此时观测 小岛 P 位于 B 处北偏东 45°方向上． (1)求 A，P 之间的距离 AP； (2)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危 险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安 全通过这一海域？
2023年九年级中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用(含解析)
2023年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线kyx=（k≠0）上，则k的值为（）A．4B．﹣2C D．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分△BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，△ADC=60°，122AB BC==，则下列结论：①△CAD=30°；②14OE AD=；③S平行四边形ABCD=AB·AC；④27BD=⑤S△BEP=S△APO；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5 3．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。
若△BAC=α，则此车的速度为()A．5tanα米/秒B．80tanα米/秒C．5tanα米/秒D．80tanα米/秒二、填空题4．如图，在 ABC 中，AD 是BC 上的高， cos tanB DAC =∠ ，若 1213sinC =， 12BC = ，则AD 的长 ．5．某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ，则他上升的最大高度是 m ． 6．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，点D 到BC 的距离为20m ，在点D 处观察旗杆顶部A 的仰角为52°，观察底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度为 m ．（精确到0.1m ，参考数据：520.79sin ︒≈，52 1.28tan ︒≈ 1.41≈ 1.73≈．）三、综合题7．在Rt△ACB 中，△C=90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AB 、AC 分别交于点D 、E ，且△CBE=△A.（1）求证：BE 是△O 的切线； （2）连接DE ，求证：△AEB△△EDB ；（3）若点F 为 AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ，若AO=5，3sin 5CBE ∠= ，求OG 的长.8．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板 ABC 与(30)DEF B E ∠=∠=︒ ，若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2）， AB 与 DF 、 DE 分别交于点P 、M ， AC 与 DE 交于点Q ，其中 AC DF ==，设三角板 ABC 移动时间为x 秒.（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ 的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？9．已知AB 是△O 的切线，切点为B 点，AO 交△O 于点C ，点D 在AB 上且DB=DC ．（1）求证：DC 为△O 的切线；（2）当AD=2BD ，CD=2时，求AO 的长．10．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A 的仰角为 35︒ ，此时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到达点D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60︒ ，房屋的顶层横梁 12EF m = ，//EF CB ， AB 交 EF 于点G （点C ，D ， B 在同一水平线上）.（参考数据：sin350.6︒≈ ， cos350.8︒≈ ， tan350.7︒≈ ，1.7≈ ）（1）求屋顶到横梁的距离 AG ；（2）求房屋的高 AB （结果精确到 1m ）.11．如图，直线 (0)y mx n m =+≠ 与双曲线 (0)ky k x=≠ 交于 A B 、 两点，直线AB 与坐标轴分别交于 C D 、 两点，连接 OA ，若 OA = ，1tan 3AOC ∠= ，点 (3,)B b - .（1）分别求出直线 AB 与双曲线的解析式； （2）连接 OB ，求 AOBS.12．如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A 、B 处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由.（2）若“远航”号沿北偏东60︒方向航行，经过两个小时后位于F 处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE 海岸线上，若他从F 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里.他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由.13．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60︒ ，沿山坡向上走到p 处再测得点C 的仰角为 45︒ ，已知 100OA = 米，山坡坡度 1:2i = ，且O A B 、、 在同一条直线上，其中测倾器高度忽略不计.（1）求电视塔OC 的高度；(计算结果保留根号形式)（2）求此人所在位置点 P 的铅直高度.(结果精确到0.1米，参考数据：1.41= ， 1.73= )14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术的新高度．如图，运载火箭海面发射站点M 与岸边雷达站N 处在同一水平高度。
微专题解直角三角形的实际应用三大模型2020年安徽中考数学(沪科版)高分分项突破PPT课件
解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，
∵BC＝80，∠B＝30°，
∴DC＝BC·sin30°＝40，BD＝BC·cos30°＝40 3，
在Rt△ACD中，
∵∠A＝45°，
∴AD＝CD＝40，AC＝40 2， ∴AC＋BC＝40 2＋80≈40×1.41＋80＝136.4，
第2题图
解：设AC＝x米，则BC＝(x－10)米，
在Rt△ACD中，∠CDA＝∠CAD＝45°，
∴CD＝AC＝x.
在Rt△ECB中，CE＝CD＋DE＝x＋8，
∴tan∠CEB＝BC，即 CE
xx－＋180＝t
an30°＝
33.
解得，x＝
8＋10 3 3－1
≈34.59.
答：楼高AC约为34.59米．
1. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如 图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现 开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝ 45°，∠B ＝30°. 开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1千米，参考数 据： ≈1.421， ≈1.733)
【等量关系】如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG； 如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF， AC＋BD＋DF＝AG.
2. 一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB，某数学兴趣小组在一次活动中， 准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D 处测得条幅顶端A的仰角∠CDA＝45°，向后退8米到E点，测得条幅底端B的仰角 ∠CEB＝30°(点C，D，E在同一直线上，EC⊥AC)．请你根据以上数据，帮助该兴趣 小组计算楼高AC.(结果精确到0.01米，参考数据： ≈31.732， ≈21.414)
中考数学一轮复习课件微专题六 解直角三角形实际应用四大模型
参考数据:
sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.
解:∵CE∥AD,
∴∠A=∠ECA=37°,
∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°,
∴∠ABD=90°.
在 Rt△BCD 中,∠BDC=90°-53°=37°,CD=90 米,cos∠BDC=
答:最大水深约为 2.6 m.
模型二
“母抱子”型
图形
模型特点
一个直角三角形包含在另一个直角三角形中,两直角三角形有公共直角和一条
公共直角边,其中,这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介
4.(2022 重庆)湖中小岛上码头 C 处一名游客突发疾病,需要救援.位于湖面 B 点处的快艇和湖岸 A 处的
在 Rt△MOD 中,tan∠MOD= ,∴tan 76°= ,∴MD≈4OD.
设 OD=x m,则 MD≈4x m.
2
2
2
在 Rt△MOD 中,OM=OA= AB≈3.4 m,∴x +(4x) ≈3.4 .
∵x>0,∴x≈0.82,∴OD≈0.82 m,
∴DH=OH-OD=OA-OD≈3.4-0.82=2.58≈2.6(m).
解:(1)如图所示,过点 A 作 AD⊥CB,交 CB 的延长线于点 D.
根据题意,可知
∠NAC=∠CAB=30°,BC=900 米,BC∥AN,
∴∠C=∠NAC=30°=∠BAD,
∴AB=BC=900 米.
∵∠BAD=30°,
∴BD=450 米,
∴AD= BD=450 米,
2025年广西九年级中考数学一轮复习小专题过关课件：专题11+解直角三角形实际应用之四大模型
测量
方案
AC=BD=0.8 m,点A,B与F在同一条水平直线上,A,B之间的距
离可以直接测得,且点G,F,A,B,C,D都在同一竖直平面内,点
C,D,E在同一条直线上,点E在GF上(其中:CE⊥GF,
GF⊥AF,AC⊥AF,BD⊥AF),测量示意图如图所示;
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量
∠GCE的度数
式结构,造型独特别致,远可眺太子山露骨风月,近可收临夏市城建全貌,巍巍峨峨,
傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后,开展了测量乾元塔
高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端,AB⊥BC,点C,D在点B的正东方向,在C点
用高度为1.6米的测角仪(即CE=1.6米)测得A点仰角为37°,向西平移14.5米至点D,
电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在AH两侧,CD=EF=1.6 直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得
筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据:sin
tan
4
53°≈ )
3
4
53°≈ ,cos
5
3
53°≈ ,
分别解两个直角三角形,其中公共边BC是解题的关键
原型
【等量关系】BC为公共边
【等量关系】如图①,BF+FC+CE=BE;
如图②,BC+CE=BE;
变式
如图③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
【针对训练】
9.(2024·湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动,记录如下:
在Rt△CEG中,∠GCE=39°,∴EG=CE·tan 39°≈0.81(x+0.9)m,∴x=0.81(x+0.9),
解直角三角形的应用模型初中数学模型
地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°,在点F处测得灯管支架顶
部C的仰角为30°,测得AE=3 m,EF=8 m(点A,E,F在同一条直线上).根据
以上数据,解答下列问题:
(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长;(结果保留根号)
∵AB⊥BF,EF⊥BF,∴∠ABF=∠EFB=90°,
∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°,
∴四边形BFEH为矩形,
∴EH=BF=3m,在Rt△AHE中,tanα= ,∴AH=
,
当∠α=65°时,AH=
≈ ≈1.40(m).
° .
当∠α=45°时,AH=
=3,
°
答:遮阳宽度CD约为3.6m.
模型4
6
7
微专题8 解直角三角形的应用模型
返回类型清单
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果
精确到0.1 m).
(参考数据:sin65°≈0.90,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14, ≈1.41)
解：如图,过点E作EH⊥AB于点H, ∴∠BHE=90°.
返回类型清单
对应练习
5.(2022·铜仁一模)如图,某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌,广告牌高AB=2 m.根据商
场规定广告牌最高点不得高于地面20 m.经测量,测角仪支架高GH=CE=DF=1 m,在F处测得
广告牌底部点B的仰角为30°,在E处测得广告牌顶部点A的仰角为45°,EF=12 m.请计算说
如下结论:①AB≈18.8m;②CD≈8.4m;③若直
中考数学专题复习——解直角三角形的实际应用的基本类型课件
) D.6 3 m
2.(202X·益阳中考)南洞庭大桥是南益 高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校 外实践活动中对此开展测量活动.如 图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角 为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥
主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高
CD为 ( C )
【核心突破】 【类型一】 仰角俯角问题 例1(202X·天津中考)如图,海面上一艘 船由西向东航行,在A处测得正东方向上 一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m
到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测 得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60.
____2_2____海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, 5 ≈ 2.24)
5.(202X·上海宝山区模拟)地铁10 号线某站点出口横截面平面图如图 所示,电梯AB的两端分别距顶部9.9 米和2.4米,在距电梯起点A端6米的P处,用1.5米高的测 角仪测得电梯终端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度 与长度.
解直角三角形的实际 应用的基本类型
【主干必备】 解直角三角形的实际应用的基本类型
应用 类型
图示
测量方式
解答要点
仰角 俯角 问题
(1)运用仰角测距离. (2)运用俯角测距离. (3)综合运用仰角俯 角测距离.
水平线与竖直 线的夹角是 90°,据此构 造直角三角形.
应用 类型
坡度 (坡 比)、 坡角 问题
A.asinα+asinβ C.atanα+aβ D. a a
人教版九年级数学下册专题讲解：专训3 构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型
专训3 构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．构造一个直角三角形解实际问题1．【2018·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：s in 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)(第1题)2．【2017·鄂州】如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E 的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB ＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度．(第2题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问题3．【2018·资阳】如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里．(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)(第3题)4．【2018·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)(第4题)5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)．(第5题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问题6．【2018·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)．(第6题)7．【2018·绍兴】如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m.(1)求∠BCD的度数．(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 20°≈0.36，tan 18°≈0.32)(第7题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问题8．【2018·潍坊】如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5 m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5 m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14 m．求居民楼的高度．(精确到0.1 m，参考数据：3≈1.73)(第8题)答案1．解：如图，过点A 作AC⊥OB，垂足为点C ，(第1题)在Rt△ACO 中，∵∠AOC＝40°，AO ＝1.2米，∴AC＝AO·sin ∠AOC≈0.64×1.2＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．2．解：(1)设DE ＝x.∵AB＝DF ＝2，∴EF＝DE －DF ＝x －2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EF tan ∠EAF ＝x －233＝3(x －2)．又∵CD＝DEtan ∠DCE＝x3＝33x，BC＝ABtan ∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋33x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6.∴树DE的高度为6米；(第2题)(2)如图，延长NM交DB的延长线于点P，则AM＝BP＝3.由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3.∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4 3.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43，∴食堂MN的高度为(1＋43)米．3．解：(1)如图所示，过点C作CD⊥BA交BA延长线于点D，(第3题)由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，故cos 30°＝DCAC＝60AC＝32，则AC＝403海里．答：点A到岛礁C的距离为403海里．(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，A′E⊥AD于点E，可得∠A′BE＝90°－75°＝15°，则∠A′BC＝30°－∠A′BE＝15°.∴∠A′BE＝∠A′BC，即BA′平分∠CBA.∴A′N＝A′E，又易得∠AA′E＝30°，∠A′CN＝30°，设AA′＝x，则A′E＝32x，故CA′＝2A′N＝2A′E＝2×32x＝3x，∵3x＋x＝403，∴x＝20(3－3)海里．答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3－3)海里．4．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示．则∠G＝30°.(第4题)在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos 60°＝2，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin 60°＝23，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝DHtan G ＝23tan 30°＝6，∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8，设AB＝x m，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝ABtan G＝xt an 30°＝3x，∵BG－BC＝CG，∴3x－x＝8，解得：x≈11.答：电线杆的高约为11 m.5．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F. 在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，∴AF＝AB·sin 60°＝20×32＝103(m)．[:Z_xx_k]在Rt△AEF中，β＝45°，∴AF＝EF，∴AE＝AF2＋EF2＝（103）2＋（103）2＝106(m)．答：改造后的坡长AE为10 6 m.(第5题)(第6题)6．解：如图，作AD⊥BC于D，BH⊥水平线于H，由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32(m)，∴CD＝AD＝AB·sin 30°＝16 m，BD＝AB·cos30°＝16 3 m，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)m，则BH＝BC·sin 30°＝(8＋83)m.答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83) m.7．解：(1)如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，(第7题)∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.(2)由题意得，CE＝AB＝30 m，在Rt△CBE中，BE＝CE·tan 20°，在Rt△CDE中，DE＝CE·tan 18°，∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝CE·tan 20°＋CE·tan 18°≈20.4(m)．答：教学楼的高约为20.4 m.8．解：设每层楼高为x m，由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，则DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝DC′tan 60°＝33(5x＋1)m.在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝EC′tan 30°＝3(4x＋1)m.∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴3(4x＋1)－33(5x＋1)＝14.解得x≈3.18.∴DC＝DC′＋CC′＝5x＋1＋1.5≈18.4(m)．答：居民楼的高度约为18.4 m.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a+b ＞0B ．ab ＞0C ．a ﹣b ＜oD ．a÷b ＞0【答案】C【解析】利用数轴先判断出a 、b 的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可．【详解】解：由a 、b 在数轴上的位置可知：a ＜1，b ＞1，且|a|＞|b|，∴a+b ＜1，ab ＜1，a ﹣b ＜1，a÷b ＜1．故选：C ．2．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（ ）． x… 1- 01 2 … y… 1- 74- 2- 74- …A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点【答案】B 【解析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上则该二次函数的图像与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧故选B.【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成. 3．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。
解直角三角形之实际应用模型(学生版)
解直角三角形之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。
将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。
在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。
为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
【重要模型】模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边(高)CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
1(2023年西藏自治区中考数学真题)如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东60°的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．(结果保留根号)2(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；3(2023年湖北中考数学真题)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C =18°，求斜坡AB的长．(结果精确到米)(参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)4(2023年四川省达州市中考数学真题)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？(结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
【万能解题模型】13 解直角三角形的实际应用中的基本模型(课件)中考数学
解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 D，BF⊥CD 于点 F. ∵CD⊥AD， ∴四边形 BEDF 是矩形． ∴FD＝BE，FB＝DE. 在 Rt△ABE 中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12， 设 BE＝5x，AE＝12x， 根据勾股定理，得 AB＝13x， ∴13x＝52.
解得 x＝4. ∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48. ∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24. ∴在 Rt△CBF 中， CF＝FB·tan ∠CBF≈24×43＝32. ∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52. 答：大楼的高度 CD 约为 52 米．
图形演变 2：
3．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶 端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角α是 45°，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i＝1∶ 3，则大楼 AB 的高度约为(精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)( D )
又∵BC＝221，即 CD＋BD＝221， ∴0.85x＋0.53x＝221， 解得 x≈160. 答：AB 的长约为 160 m.
模型 2 母子型(在三角形外部作高)
模型分析： 通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边 是解题的关键．
等量关系： 在 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共边，AD＋DC＝AC. 图形演变 1：
2．如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC， BC.测得 BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°.根据测得的数据， 求 AB 的长．(结果取整数，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60)
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A ”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD 、BC 相交于点O ，连接AB 、CD ；结论：①A B C D ∠+∠=∠+∠；②AB CD AD BC +<+。
8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP 平分∠BAD ，线段CP 平分∠BCD ；结论：2∠P =∠B +∠D例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应（填“增加”或“减少”）度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠K 的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠K ＝∠IJL ＋∠MLJ ＋∠GML ＋∠G ＋∠GIJ ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段,AB CD 相交于点O ，连接,AC BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：A C B D ∠+∠=∠+∠；(2)如图2，若CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与,CD AB 分别相交于点M N 、．①若100,120B C ∠=︒∠=︒，求P ∠的度数；②若角平分线中角的关系改为“11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠”，试探究P ∠与,B C ∠∠之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①110︒；②()123P B C ∠=∠+∠【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；（2）①根据角平分线的定义得到CAP BAP ∠=∠，BDP CDP ∠=∠，再根据“8字形”得到,CAP C CDP P BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，两等式相减得到C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P B C ∠=∠+∠，即可求解．②根据11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，可得23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得()2C P P B ∠-∠=∠-∠，即可求解．【详解】（1）证明：在AOC 中，180A C AOC ∠+∠=︒-∠，在BOD 中，180B D BOD ∠+∠=︒-∠，∵AOC BOD ∠=∠，∴A C B D ∠+∠=∠+∠；（2）解：①∵CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，∴,CAP BAP BDP CDP ∠=∠∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠①，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠②，由-①②，得：C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P C B ∠=∠+∠，∵100,120B C ∠=︒∠=︒，∴()11001201102P ∠︒=︒︒=+；②∵11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，∴23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠，∴()111333C P BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，()222333P B BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，∴()2C P P B ∠-∠=∠-∠，∴()123P B C ∠=∠+∠），故答案为：()123P B C ∠=∠+∠．【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD BC +与AB CD +的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE OF =，连接PE ，PF ．求证：PE PF =；(3)如图3，在ABC 中，AB AC >，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB PC BD CD ->-．【答案】(1)AD BC AB CD +>+；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE BE AB +>，CE ED CD +>，两式相加即可得出结论；（2）根据SAS 证OEP OFP △≌△即可得出结论；（3）在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F ，证APE APC ≌，即PC PE =，同理证CD DE =，然后同理（1）得PB CD PC BD +>+，变形不等式即可得出结论．【详解】（1）解：AD BC AB CD +>+，理由如下：AE BE AB +> ，CE ED CD +>，AE BE CE ED AB CD ∴+++>+，即AD BC AB CD +>+；（2）证明：OC 平分AOB ∠，EOP FOP ∴∠=∠，在OEP 和OFP △中，OE OF EOP FOP OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OEP OFP SAS ∴ ≌，PE PF ∴=；（3）证明：在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F，AD 是BAC ∠的角平分线，EAP CAP ∴∠=∠，在APE V 和APC △中，AE AC EAP CAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()APE APC SAS ∴ ≌，PE PC ∴=，同理可证DE DC =，EF PF EP +> ，BF FD BD +>，EF PF BF FD EP BD ∴+++>+，即PB DE EP BD +>+，PB CD PC BD ∴+>+，PB PC BD CD ∴->-．【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论A B C D ∠+∠=∠+∠．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论AOC A C P ∠=∠+∠+∠．(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，说明：()12P B D ∠=∠+∠．(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，若30B ∠=︒，20D ∠=︒，求P ∠的度数．②在图4中，AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．【答案】(1)见解析(2)①25︒；②()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③()190+2P B D ∠=︒∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得1234∠=∠∠=∠，，再根据题干的结论列出3214P ABC P ADC ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，，相加得到22314P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，继而得到2P ABC ADC ∠=∠+∠，即可证明结论；（2）①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，根据（1）的结论得到()1252H B D ∠=∠+∠=︒，再由角平分线的定义和平角的定义证明90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，再根据题干的结论可推出25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，则由四边形内角和定理可得()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，由角平分线的定义得到1122BAP BAO BCP BCE ==∠，∠，再求出1902BCP BCD =︒-∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，由此可得()1902P B BAP BCP B D =++=︒++∠∠∠∠∠∠．【详解】（1）解：∵AP CP 、分别平分BAD BCD ∠∠、，∴1234∠=∠∠=∠，，∴2314∠+∠=∠+∠，由题干的结论得：32P ABC ∠+∠=∠+∠，∠14P ADC +∠=∠+∠，∴21324P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，∴2P ABC ADC ∠=∠+∠，∴()12P ABC ADC ∠=∠+∠，即()12P B D ∠=∠+∠；（2）解：①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()1252H B D ∠=∠+∠=︒，∵PC HC ，分别平分BCE BCD ∠，∠，∴1122BCP BCE BCH BCD ==∠，∠，∵180BCD BCE ∠+∠=︒∴119022BCP BCH BCD BCE +=+=︒∠∠∠∠，∴90PCH ∠=︒，同理可得90PAH ∠=︒，由题干的结论可得P PAH H PCH +=+∠∠∠∠，∴25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，∴()13601802P PAH PCH H B D =︒---=︒-+∠∠∠∠∠∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，∵AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，∴1122BAP BAO BCP BCE ==∠∠，∠∠，∵180BCE BCD =︒-∠∠，∴1902BCP BCD =︒-∠∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，∴BAO D BCD B =+-∠∠∠∠，∴P B BAP BCP =++∠∠∠∠119022B BAO BCD =++︒-∠∠1111902222B D BCD B BCD =++-+︒-∠∠∠∠()1902B D =︒++∠∠．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．模型2、“A ”字模型结论：①∠3+∠4=∠D +∠E ；②∠1+∠2=∠A +180°。
中考数学第四章 三角形 重难 微专项5 一线三直角模型
专项训练
【解析】
如图,过点A作AN⊥AB,且AN=BD,连接DN,CN.∵AD=BC,
∠DAN=∠CBD=90°,∴△DAN≌△CBD,∴∠AND=∠CDB,DN=DC.又
∵∠AND+∠NDA=90°,∴∠CDB+∠NDA=90°,∴∠NDC=90°,∴△CDN是等
腰直角三角形,∴∠NCD=45°.∵AN=DB,CE=BD,∴AN=CE.又∵AN∥CE,
1
∴EF=DF=1.易证△AFD∽△ACB,∴ = .设AF=a,则 = ,解得
+4 3
a=2,∴AE=AF+EF=2+1=3.
重难·微专项5 一线三直角模型
专项训练
1.如图,已知∠ABC=90°,AD=BC,CE=BD,AE与CD相交于点M,则
∠AMD=
45
°.
重难·微专项5 一线三直角模型
6,∴OE=OA-AE=10-6=4.根据一线三直角模型可知,△DOE∽△EAB,
4
∴ = ,即 = ,解得OD=3,∴点D的坐标为(0,3).设直线BD的解析式
6 8
1
1
为y=ax+3,将B(10,8)代入,解得a= ,故直线BD的解析式为y= x+3.
2
2
重难·微专项5 一线三直角模型
等角不仅可以是直角,也可以是锐角或钝角.本专题主要研究一线三直
角模型)
2.识别方法
(1)查找图形中已知的直角,顺着这个直角的顶点寻找或者构造模型中
的“一线”;
重难·微专项5 一线三直角模型
(2)构造其他直角,构造的直角的顶点必须在“同一条直线”上, “这条直
专题15 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略(解析版)
专题15难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 (1)【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】 (7)【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】 (13)【典型例题】【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】(1)天晴时打开“天幕”，若130∠=︒，求遮阳宽度CAE∠由130︒减少到90(2)下雨时收拢“天幕”，CAE【答案】(1)3.6m(2)1.2m∴ 2.2GE BF ==，当130CAE ∠=︒时，OAE ∠∴ 1.03m tan 65GE AG =≈︒，【变式训练】(1)BAD ∠=，ADB =∠；(2)求线段AD 的长；（结果保留整根号）(3)请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：【答案】(1)60︒，45︒；(2)()10103cm+(1)天晴时打开“晴雨伞，若60α∠=︒，求遮阳宽度(2)下雨时收拢“晴雨伞，使BAC ∠由120︒减少到106sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，3≈【答案】(1)3.46m∴90DFE ∠=︒，∵AD DQ ⊥，EQ DQ ⊥∴90ADQ EQD ︒∠=∠=，∴DFE ADQ EQD ∠=∠=∠(1)求CD 的长．(2)求点D 到底架CE 的高DF （结果精确到0.1cm ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，【答案】(1)13cm(2)7.8cm【分析】（1）根据题意得出13cm OA OB OC OD ====，由60COD AOB ∠=∠=︒，证明AOB【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形FECG 可由矩形ABCD 绕点C 旋转得到，点E 在AD 上，延长ED 交FG 于点H ．连接BE CH ，．(1)判断四边形BEHC 的形状并给予证明；(2)若点G 在水平地面上，AB 与水平地面平行，483cm 4cm BCE AB BC ∠=︒==，，，求点A 到水平地面的距离．（结果精确到0.1m ．）参考数据：sin480.75cos480.67tan48 1.11cos240.91tan240.45︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，【答案】(1)平行四边形，见解析(2)6.3m【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出CG CD EF ==，利用AAS 证明EDC HFE ≌△△，得到EH EC =，据此可证明四边形BEHC 是平行四边形；（2）延长AH 交水平地面于点M ，连接GM ．利用正切函数求得AE 的长，得到FG AD =，推出1.35GH AE ==，再根据余弦函数求得HM 的长，据此即可求解．【详解】（1）解：四边形BEHC 是平行四边形．证明：∵四边形FECG 是矩形，∴90F ∠=︒，CG EF =，FG EC ∥，∴CED EHF ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴90EDC F ∠∠=︒=，由旋转性质得CG CD =，∴CG CD EF ==，∴()AAS EDC HFE ≌，∴EH EC =，由旋转得EC BC =，∴EH BC =，∵EH BC ∥，∴四边形BEHC 为平行四边形；（2）解：如图，延长AH 交水平地面于点M ，连接GM ．∵48BCE ∠=︒，BC CE =，∴66EBC ∠=︒，∴9024ABE CBE ∠∠︒︒=-=，∴tan 30.45 1.35AE AB ABE ∠=⋅≈⨯=，由（1）知4FH ED EH BC ===，，又FG AD =，∴ 1.35GH AE ==，由平行线的性质知48GHM CED BCE ∠∠∠︒===，∴cos 1.350.670.90HM GH GHM ∠=⋅≈⨯≈，∴ 1.3540.90 6.3AM AE EH HM =++=++≈，即点A 到水平地面的距离约为6.3m ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．【变式训练】1．（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形ABCD 与正方形EFGH 的面积相等，且100cm AB =，CD EF ∥，14025CDE CGF ∠=︒∠=︒，(1)判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．(2)求CG 的长．（参考数据：sin250.42cos25︒≈，【答案】(1)四边形CFED 是菱形，详见解析(2)182cm在Rt FGM △中，cos FGM ∠=cos25100GM ∴︒=，得91cm GM ≈∠=______︒；(1)杯子与水平线CM的夹角BCM(2)由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？︒≈，tan360.73︒≈)︒≈，cos360.81sin360.59【答案】(1)54(2)点A的位置是下降了0.3厘米过点A 作AG CM ⊥于点G ，延长AD 交∵AD BC ∥，∴54H BCM ∠=∠=︒，∴36DCH ∠=︒，在Rt HDC △中，tan DH DCH DC∠=，()1当点P向下滑至点N处时，测得DCE60∠= 时①求滑槽MN的长度；②此时点A到直线DP的距离是多少？()2当点P向上滑至点M处时，点A在相对于()1的情况下向左移动的距离是多少？【点睛】此题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，找到对应长度是关键．【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】例题：（2023·浙江舟山·统考模拟预测）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小海买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为26cm ，图2是该自行车的车架示意图，立管AB 24cm =，上管32cm AC =，且它们互相垂直，座管AE 可以伸缩，点A 、B 、E 在同一条直线上，且75ABD ∠=︒．(1)求下管BC 的长；(2)若后下叉BD 与地面平行，座管AE 伸长到13cm ，求座垫E 离地面的距离．（结果精确到1cm 参考数据sin750.97cos750.26tan75 3.73︒≈︒≈︒≈，，）【答案】(1)下管BC 长40cm ;∵2413BE AB AE =+=+∴sin7537sin75EF BE =︒=∴()362662cm +=，答：座垫E 离地面的距离是【变式训练】(1)若30α=︒，求该系统正好能识别该汽车车牌的距离；tan 30CF OD EF DE︒== ，3753,3DE OD EF CF ∴====()50386.6cm DF DE EF ∴=-=≈故该系统正好能识别该汽车车牌的距离为tan80EF DE CF OD︒== ，tan80,tan80DE OD EF CF ∴=⋅︒=⋅︒，()50tan80283.6cm DF DE EF ∴=-=⋅︒≈．(1)当起重臂AC 长度为20m ，张角127CAE ∠=︒，求云梯消防车最高点(2)已知该小区层高为2.7m ，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．果精确到0.1，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈【答案】(1)云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF 为(2)该消防车能有效救援10层(1)问悬臂端点C到桌面(2)已知摄像头点D到桌面度数约为多少？（参考数据：【答案】(1)52cm(2)28︒∵BAF AFG FGB ∠=∠=∠=∴四边形BAFG 是矩形，∴18FG AB cm ==，ABG ∠∵148ABC ∠=︒，∴CBG ABC ABG ∠=∠-∠=(1)求E ∠的度数；(2)求该雕塑的高度．【答案】(1)58︒(2)52m【分析】（1）连接,BI BD ．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出,64AB AI A ︒=∠= ，(12ABI AIB ∴∠=∠=⨯又CB 与地面EF 平行，点CH EF ∴∥．（2）解：如图，过点A 作AM EF ⊥．,64AB BC CD AI A C ∠∠=====︒ ，∴ABI CDB ≌ ，.BI DB ∴=又,CH EF AM EF ⊥∥ ，AM CH ∴⊥即ANC ∠90=︒，BN IN ∴=，10m,58AB ABI ∠==︒ ，()cos58100.53 5.3m ,BN AB ∴=⋅︒≈⨯=210.6m.BI DB BN ∴===40.6m,DE = 61.2m,AE AB DB DE ∴=++=()sin5861.20.8552m AM AE ∴=⋅︒≈⨯≈故该雕塑的高度约为52m ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．5．（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄5cm OA =，BE 是底座，OA 与BE 所成的夹角为36.8°，O 点是把柄转轴所在的位咒，且O 点到底座BE 的距离2cm OC =．OD 与一根套管相连，OD 可绕O 点转动，此时，OD BE ∥，套管内含打孔针MN ，打孔针的顶端M 触及到OA ，但与OA 不相连，MN 始终与BE 垂直，且1cm OM =，2cm MN =．(1)打孔针MN 的针尖N 离底座BE 的距离是多少厘米?(2)压下把柄OA ，直到A 点与B 点重合，如图3，此时，M ．D 两点重合，把柄它锲入放在底座BE 上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针（参考数据：3sin 36.85︒≈，4cos36.85︒≈，3tan 36.84︒≈）由题意可知，OC BE ⊥，∴∥OC MN∵2cm OC MN ==，∴四边形COMN 是平行四边形．在Rt NCP △中，sin 1sin36.80.6cm NP CN NCP =⋅∠=⨯︒≈．cos 1cos36.80.8cm CP CN NCP =⋅∠=⨯︒≈．∴打孔针MN 的针尖N 离底座BE 的距离是06．厘米．（2）解：如答图1，∵OD BE ∥，∥OC MN ，∴四边形CODP 是平行四边形．∴0.8cmOD CP ==如图3中，设MN 与BE 的交点为Q ，则0.8cm OM OD ==，– 4.2cm BM OB OM ==．∵MN OC ∥，∴BMQ BOC∴::BM OB MQ OC =，∴4.2:5:2MQ =，解得 1.68cm MQ =．∴–2 1.680.32cm QN MN MQ ==-=．∴打孔针MN 锲入底座BE 有0．32厘米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确做出辅助线是解答本题的关键．。
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模型三 拥抱型
模型分析 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键． 等量关系 在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC＝BC.
图形演变
等量关系 如图①，BF＋FC＋CE＝BE； 如图②，BC＋CE＝BE； 如图③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.
针对演练 4. 如图，某数学兴趣小组为测量乙楼的高度，现从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰 角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m， 求乙楼的高CD.(结果保留根号)
微专题 解直角三角形实际应用三大模型
(绵阳：3考；宜宾：5考；眉山：必考) 模型一 背对背型(在三角形内部作高)
模型分析 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解， 其中公共边CD是解题的关键． 等量关系 在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD＋BD＝AB.
图形演变
图①
Байду номын сангаас图②
等量关系
图形演变2
图③
图④
图⑤
等量关系
如图③，BE＋EC＝BC； 如图④，EC－BC＝BE； 如图⑤，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG.
针对演练 2．在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用 测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角 为45°.问：该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果保留根号)
第2题图
解：如解图，设雕塑的底端为D，则CD⊥AD于D，即CD的长即为雕塑的高度．
根据题意得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，
在Rt△ACD中，AD＝
CD ＝ CD ＝ tan∠CAD tan30°
3CD，
在Rt△BCD中，BD＝CD，
∵AD－BD＝AB，AB＝4，
∴ 3 CD－CD＝4，
解得CD＝2( 3 ＋1)(米)． 答：雕塑的高度为2( 3 ＋1)米．
模型分析 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键． 等量关系 在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD＋DC＝AC.
图形演变1
图①
图②
等量关系
如图①，DE＝FC，DF＝EC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC； 如图②，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.
第3题图
解：在Rt△ACE中，∵∠A＝34°，CE＝55 m， ∴AC＝ CE ≈ 55 ≈82.1 m.
tan34° 0.67 ∴BC＝AC－AB≈82.1－21＝61.1 m. 在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°， ∴CD＝BC·tan60°≈61.1×1.73≈105.7 m. ∴DE＝CD－CE≈105.7－55≈51 m. 答：炎帝塑像DE的高度约为51 m.
第2题解图
3．(2019河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图 所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿 AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精 确到1 m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67， 3 ≈1.73)
第4题图
解：由题意可得：∠BDA＝45°， 则AD＝AB＝120m， 又∵∠CAD＝30°， ∴在Rt△ADC中， tan∠CAD＝tan30°＝ CD＝ 3 ，
AD 3 解得CD＝40 3 m. 答：乙楼的高CD为40 3 m.
W
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解：如解图，过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝x，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴DC＝AD＝x，BD＝30－x.
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝tan60°＝
即
x＝ 30－x
3， 解得x≈19.
AD＝ BD
3，
答：这条河的宽度约为19 m.
第1题解图
第1题图
模型二 母子型(在三角形外部作高)
如图①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB； 如图②CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB.
针对演练
1．如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任取一点A，再在河的这边沿河边
取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC的长为30 m，求这条河的宽
度．(结果精确到1 m．参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732)