椭球不确定集下的投资组合鲁棒优化模型
投资组合优化的数学模型
投资组合优化的数学模型一、引言投资组合优化是金融领域的一个重要问题，其目的是通过合理地分配不同资产的权重，使得投资组合的收益最大化或风险最小化。
在实际投资中，很多投资者都会采用投资组合优化方法进行资产配置，以期达到最优化的投资效果。
本文将对投资组合优化的数学模型进行分析和探讨。
二、投资组合优化模型投资组合优化模型可以分为两类：均值-方差模型和风险价值模型。
下面将分别进行介绍。
1.均值-方差模型均值-方差模型是目前最为广泛使用的投资组合优化模型。
其核心思想是通过计算投资组合的期望收益和风险来优化资产配置。
具体来说，该模型首先计算出每种资产的预期收益率和标准差，然后在给定预期收益率的条件下，通过调整各资产的权重，使得投资组合的方差最小化。
均值-方差模型的数学表达式如下：$$\begin{aligned} \min \frac{1}{2}w^{T}\Sigma w \\ s.t.\:w^{T}r= \mu,\: w^{T}\mathbb{1}=1, \:w_i \geq 0 \end{aligned}$$其中，$w$为资产权重向量，$\Sigma$为资产之间的协方差矩阵，$r$为资产的预期收益率向量，$\mu$为投资组合的预期收益率，$\mathbb{1}$为全1向量。
该模型通过最小化风险的方式，来达到最大化收益的目的。
但是，由于均值-方差模型假设资产收益率服从正态分布，并且只考虑了资产的一阶统计量，忽略资产之间的非线性关系，因此在实际应用中有着一定的局限性。
2.风险价值模型风险价值模型是一种相对新的投资组合优化模型，与均值-方差模型相比，其考虑的是投资组合的非对称风险。
与传统的风险度量方法不同，风险价值模型采用了风险价值（Value-at-Risk，VaR）作为风险度量。
VaR是指在一定置信水平下，某资产或投资组合的最大可能损失，即在置信水平为$\alpha$的条件下，VaR表示的是在未来一段时间里资产或投资组合可能出现的最大损失。
数学中的robust optimization
数学中的robust optimization
鲁棒优化（robust optimization）是一种数学优化方法，旨在处
理在不确定条件下的优化问题。
它主要关注的是如何在给定的不确定性条件下找到最佳解，使其在不确定参数变化时尽可能稳健。
在传统的优化问题中，问题的参数一般是确定的，问题可以完全定义并解决。
然而，在现实世界中，很多问题的参数是不确定的，可能受到一些随机变化、测量误差或者模型假设的影响。
鲁棒优化就是为了解决这种不确定性问题而发展起来的。
鲁棒优化的目标是寻找一个最优解，使得在所有可能的不确定情况下都能够保持一定的性能水平。
它考虑的是在最坏情况下的最优性能，而不是在特定情况下的最优性能。
鲁棒优化方法通常基于一个确定性优化问题，通过引入不确定性集合来描述不确定性条件。
这个不确定性集合可以是参数的范围、概率分布或者其他形式的不确定性模型。
然后，在确定性优化问题的约束条件中引入这个不确定性集合，从而将不确定性考虑进优化问题中。
鲁棒优化方法可以帮助我们在不确定条件下做出更可靠的决策，并降低由于参数变化而导致的风险。
它在许多领域中都有广泛的应用，例如供应链管理、金融风险管理、交通规划等。
鲁棒优化模型目标函数梯度
鲁棒优化模型目标函数梯度鲁棒优化是指在不确定性条件下，通过寻找健壮性最强的方案来优化目标函数。
在实际应用中，鲁棒优化可以应用于多种领域，如工程设计、金融、制造业等。
本文将讨论鲁棒优化模型目标函数梯度的相关问题。
一、鲁棒优化模型目标函数梯度的定义在鲁棒优化中，目标函数的梯度是指目标函数对于每一个自变量的偏导数。
对于鲁棒优化模型而言，目标函数通常具有多个自变量，因此目标函数的梯度也是一个向量，即每个自变量的偏导数构成的向量。
二、鲁棒优化模型目标函数梯度的重要性鲁棒优化模型目标函数梯度是鲁棒优化的核心。
通过计算目标函数梯度，可以确定每个自变量对目标函数的影响程度，从而优化目标函数。
此外，目标函数梯度还可以用于确定目标函数的局部最优解和全局最优解，为鲁棒优化提供更加精准的优化方案。
三、鲁棒优化模型目标函数梯度的计算方法鲁棒优化模型目标函数梯度的计算方法通常采用数值计算方法。
数值计算方法是通过数值逼近的方式计算目标函数的梯度，其中最常用的数值计算方法包括有限差分法和自适应梯度法。
1. 有限差分法有限差分法是一种基于差分逼近的数值计算方法，通常用于计算目标函数梯度。
有限差分法的基本思想是通过计算目标函数在某个点的函数值和相邻点的函数值之间的差异，来逼近目标函数在该点处的梯度。
具体而言，有限差分法可以分为前向差分法、后向差分法和中心差分法三种。
前向差分法的计算公式为：$f'(x)=frac{f(x+h)-f(x)}{h}$后向差分法的计算公式为：$f'(x)=frac{f(x)-f(x-h)}{h}$中心差分法的计算公式为：$f'(x)=frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$其中，h为差分步长。
2. 自适应梯度法自适应梯度法是一种基于梯度下降的数值计算方法，通常用于计算目标函数梯度。
自适应梯度法的基本思想是通过不断迭代目标函数，逐步逼近目标函数的最优解。
具体而言，自适应梯度法可以分为标准梯度下降法、随机梯度下降法和批量梯度下降法三种。
基于ATIS下的鲁棒连续交通网络设计问题
是用变分不等式（ ａｉ ｉ ａＩｅ ｕｌБайду номын сангаасｓ ｉ来反映这种均衡条 Ｖ ｒ ｔ ｎｌｎ ｑａｉｅ， ） ａｏ ｔ ｖ 件。无论写成何种形 式 ， 型的非线性 、 凸 的特性 给求解带 模 非
ｔｅｐ ｐｅ ｅ ｏ ｕ ｔ ｐｉ ｚ ｔ ｎｔ ｓａ ｌ ｈａ Ｓ ａｅ ｏ ｕｓ ｍｏ ｌｏｄｅｉｎｔ ｏ ｔ ｕ ｕｓｒｆｉ ｅｗｏｋ ｗ ｃ ｏｖｄｕ ｉｇｄ — ｈ ａ ｒ ｕｓｓｒｂ ｓ ｔ ｏ ｍｉａｉ ｅｔｂｉ ｎＡＴＩ—ｂ ｓ ｄｒｂ ｔ ｄｅ ｓｇ ｃ ｎｉ ｏ ａｆｃｎ ｔ ｒ ， ｈｉｈｉ ｓｌｅ ｓｎ ｅ ｏ ｏ ｓ ｔ ｈｅ ｎ ｔ ｓ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａｓ ｕ ｎ ｅｔａ ｉ ｅ ｎ ｔ ｉ ｏ ｔｎ ｏ ｓｔ ｆ ｃ ｎ ｔ ｒ ｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ｏ ｆｎ ｄ ｔ ｏ ｄ ｄ ａ ｄ ｃｏ ｅ ｌ ｐｓ ｉ ｅ ， ｓ ｒ ｃ ： ｓ ｍｉ ｇｔ ｆ ｃｄ ｍａ ｄｗｉ ｎａｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ａ ｆ ｅ ｗｏ ｋ ｉ ｕ ｃ ｒａ ｎｂｕ ｎ ｉ ｅ ａｂ ｕｎ ｅ ｌ ｓ ｄ ｅｌ ｏ ｄ ｓ ｔ ｈ ｒ ｈ ｒ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ ｉ
出行路径选 择行为有着一定 的影 响 ，是缓解交 通拥堵和 提高 交通 网络性 能的重要手段 。而连 续交 通 网络设 计是依据 出行 者 的出行路 径选 择行为 的反馈 ， 通过改善道 路的通行 能力 ， 从
华
城市交通复杂 系统 理论 与技术教育部 重点实验室， 北京 １０ ４ ） ００４
要】 考虑基于 Ａ Ｉ 下 的连续交通 网络设计 问题 ， 网络上交通需求不确定 ， ＴＳ 假定 但属于一个有界椭球闭集 ， 应用鲁棒优化
智能控制技术-第十三课鲁棒优化
NSGA-II
2. 拥挤距离的计算 :
为了保持个体分布均匀，防止个体在局部堆积，NSGAII算法首次提出了拥挤距离的概念。它指目标空间上的每 一点与同等级相邻两点之间的局部拥挤距离。使用这一方 法可自动调整小生境，使计算结果在目标空间比较均匀地 散布，具有较好的鲁棒性。
NSGA-II
P[i]dis tan ce ( P[i 1]. f1 P[i 1]. f1 ) ( P[i 1]. f 2 P[i 1]. f 2 )
NSGA-II
4.精英保留策略:
首先，将父体和子代全部个体合并成一个统一的种群放 入进化池中，种群的个体数成为2N。然后种群按非劣解等 级分类并计算每一个体的局部拥挤距离。依据等级的高低 逐一选取个体直到个体总数达到N，从而形成新一轮进化 的父代种群，其个体数为N。在此基础上开始新一轮的选 择，交叉和变异，形成新的子代种群。这种方法可加快进 化的速度。
f1 ( x1 ) x1 n g ( x2 ,..., xn ) 1 9 i 2 xi (n 1) h( f1 , g ) 1 f1 g
matlab演示
鲁棒优化
鲁棒的概念
Minimize f ( x) 2 0.8e Subject to : x 0, 1
4.参数较多，如果设置不恰当会导致算法运行的性能下降
NSGA
非支配排序遗传算法NSGA（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm）是由Srinivas和Deb提出的，这是一种基于Pareto最优 概念的遗传算法。 优点：优化目标个数任选，非劣最优解分布均匀，并允许存在多个 不同的等价解。
一种基于maximin的多目标优化算法
投资组合优化模型及策略研究
投资组合优化模型及策略研究在当今复杂多变的金融市场中，投资者们都渴望找到一种能够实现资产增值、降低风险的有效方法。
投资组合优化模型及策略的研究，就成为了帮助投资者实现这一目标的重要工具。
投资组合，简单来说，就是将资金分配到不同的资产类别中，如股票、债券、基金、房地产等。
而投资组合优化，则是通过数学模型和策略，确定在各种资产之间的最优配置比例，以达到在给定风险水平下获得最大收益，或者在给定收益目标下承担最小风险的目的。
一、常见的投资组合优化模型1、均值方差模型这是由马科维茨提出的经典模型。
它基于资产的预期收益率和收益率的方差（风险）来构建投资组合。
投资者需要根据自己对风险的承受能力，在预期收益和风险之间进行权衡。
然而，该模型的缺点也较为明显，例如对输入数据的准确性要求较高，对资产收益率的正态分布假设在实际中不一定成立。
2、资本资产定价模型（CAPM）CAPM 认为，资产的预期收益率取决于其系统性风险（用贝塔系数衡量）。
该模型为资产定价和投资组合的构建提供了一种简单的方法，但它也存在一些局限性，比如假设条件过于理想化，无法完全解释市场中的所有现象。
3、套利定价理论（APT）APT 认为，资产的收益率可以由多个因素来解释，而不仅仅是系统性风险。
这一理论为投资组合的构建提供了更灵活的框架，但在实际应用中确定影响资产收益率的因素较为困难。
二、投资组合优化策略1、积极型策略积极型投资者试图通过对市场的深入研究和预测，选择那些被低估或具有潜在增长机会的资产，以获取超额收益。
然而，这种策略需要投资者具备丰富的专业知识和经验，以及对市场的敏锐洞察力，同时也伴随着较高的交易成本和风险。
2、消极型策略消极型策略通常是指投资者按照市场指数的权重来构建投资组合，以获得市场的平均收益。
这种策略的优点是成本低、操作简单，适合那些没有足够时间和精力进行投资研究的投资者。
3、混合策略混合策略则是结合了积极型和消极型策略的特点，在部分资产上采用积极管理，而在其他资产上采用消极跟踪。
数学中的robust optimization
数学中的Robust Optimization在数学中，Robust Optimization（鲁棒优化）是指在处理不确定性和变动性问题时，寻求一种能够保证系统稳定性和最佳性能的优化方法。
在实际应用中，很多问题都存在不确定性和变动性，例如经济模型中的市场波动、工程设计中的材料变化、交通规划中的天气变化等等。
传统的优化方法往往无法有效处理这些问题，而鲁棒优化则能够更好地应对这些挑战。
1. 概念理解鲁棒优化的概念源于20世纪90年代，最初主要应用于控制理论和运筹学领域。
随着对不确定性建模和处理技术的不断完善，鲁棒优化逐渐成为了数学优化领域的热门研究方向。
其核心思想是在优化问题中引入不确定因素的范围，使得所得到的解对于一定范围内的不确定性都具有稳定的性能。
这一点对于实际问题的解决非常重要，因为现实世界中很多问题的输入数据都难以完全确定，甚至是随机变动的。
2. 鲁棒优化的应用领域鲁棒优化在实际应用中有着广泛的应用。
在工程领域，例如建筑结构设计中考虑到材料强度的波动、电力系统中考虑到负荷变动等都涉及到鲁棒优化；在金融领域，投资组合优化中考虑到市场波动、风险控制中考虑到利率变化等也需要运用鲁棒优化方法；在交通运输领域，交通流量预测中考虑到交通事故、天气影响等都需要鲁棒优化的技术支持。
鲁棒优化在各个领域都有着非常重要的应用和意义。
3. 个人观点个人认为，鲁棒优化的重要性在当今社会中日益凸显。
随着社会经济的发展和科技的进步，不确定性和变动性问题必然会越来越复杂和严重。
在这种背景下，如何合理地处理这些问题，有效地利用有限的资源，实现系统的稳定性和性能最优是当前亟待解决的问题。
鲁棒优化恰恰提供了一种有效的方法来解决这些问题，为实际问题的解决提供了新的途径和思路。
4. 总结回顾通过对鲁棒优化的学习和研究，我们不仅对于优化问题的理解更加深入，而且也为实际问题的解决提供了更多的选择和方法。
在未来的研究和实践中，我相信鲁棒优化一定会有着更广泛的应用和更深远的影响。
基于矩不确定分布鲁棒优化的发电自调度算法
基于矩不确定分布鲁棒优化的发电自调度算法潘伟;黄民翔【摘要】针对发电商在电力市场中的自调度计划问题,对模型中节点边际电价的不确定性进行了研究.提出了基于矩不确定分布鲁棒优化方法(DRO-MU),用于解决含不确定节点边际电价的发电自调度问题.建立了以收益最大为目标的发电自调度模型,构建了LMPs的不确定集合,在该不确定集合下将发电自调度模型转化为DRO-MU模型,再通过拉格朗日对偶原理将模型转化为一个确定性的半正定规划进行了求解.研究结果表明,随着不确定集范围的增大,发电公司收益减少;与确定性调度计划计算结果相比,DRO-MU模型收益少,但方案安全性更高、鲁棒性更强.%Aiming at the self-scheduling problem of the generation companies in the electricity market, the uncertainty of locational marginal prices ( LMPs) was studied.A distributional robust optimization under moment uncertainty ( DRO-MU) was proposed to solve the problem. The generation self-scheduling model with the objective of maximum profit was established to construct the uncertain set of LMPs. Under the uncertain set, the self-scheduling model was transformed into the DRO-MU model, and then the model was transformed into a deterministic semidefinite programming model by Lagrangian duality. The results indicate that with the increase of the uncertainty set, the profit of genera-tion companies decreases. Compared with the results of deterministic scheduling, the DRO-MU model yields less, but the scheme is more se-cure and more robust.【期刊名称】《机电工程》【年(卷),期】2017(034)006【总页数】5页(P643-647)【关键词】发电自调度;分布鲁棒优化;矩;半正定规划;节点边际电价【作者】潘伟;黄民翔【作者单位】浙江大学电气工程学院,浙江杭州310027;浙江大学电气工程学院,浙江杭州310027【正文语种】中文【中图分类】TM73在解除管制的电力市场中，发电公司为了在竞争中获得最大收益，需要依据某种优化理论得到的竞标曲线进行投标[1]。
鲁棒多目标线性规划模型及混合遗传算法
王 君
（ 天津财经大学 商学院，天津 ３ ０ ０ ２ ２ ２ ）
摘 要 ：针 对 目标 函数 系数和 约束条 件 系数均 在椭球 扰 动集 下的 不确定 多 目标 线性规 划 ， 提 出了椭球 扰动 集 下
的鲁棒 多 目标 线性规 划 问题 。基 于每 个 目标均 需获得 鲁棒 解 的假设 下给 出了定理及证 明， 以此把 原 问题 转换 为 具有 二阶锥 约 束的确 定性 多 目标优化 问题 。设 计 了一种 混合 策略 求解 算 法 ， 整 体流 程 采 用 多 目标遗 传 算 法 ， 局 部采用 Ｓ Ｏ Ｃ Ｐ优化 软件 Ｓ ｅ ｄ ｕ ｍ ｉ 进行 计 算 ， 从 而获 得 不确定 多 目标线 性规 划的鲁 棒 解 集 ， 并通 过数 值 算例 验证 了
该 算 法的有 效性 。
关键词 ：多 目 标线性规划 ；鲁棒优化 ；二阶锥规划；椭球扰动；混合策略算法
中图分 类号 ：Ｔ Ｐ ３ ０ １ 文献标 志码 ：Ａ 文章 编号 ：１ ０ ０ １ — ３ ６ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ — ２ ６ ３ ３ － ０ ４
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ ． ３ ６ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ９ ． ０ １ ９
鲁棒信用风险优化的线性锥优化模型
性．
关键词 信用风 险优化 ， 最差在值风险 ， 线性优化 ， 二阶锥优化
中 图 分 类号 Ｏ２ ２ １ ． ２ ２ ０ １ ０数学分类号 ９ ０ Ｃ３ ０
０ Ｉ ｎ ｔ ｒ ｏｄｕｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｉ ｎ ａ ｓ ｓ ｅ ｔ ａ ｌ ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， ｔ ｈ ｅ ｒ ｉ ｓ ｋ ｍａ ｎ ａ ｇ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｉ ｓ ａ ｃ ｏ ｒ ｅ ａ ｃ ｔ ｉ ｖ ｉ ｔ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｕ ｃ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ ｂ ａ ｎ ｋ ｓ ， ｉ ｎ ｓ ｕ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ｃ ｒ ｅ ｄ ｉ ｔ ｒ ｉ ｓ ｋ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ，ｗｏ ｒ ｓ ｔ — ｃ ａ ｓ ｅ ＣＶ＿ ａ Ｒ，ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ，ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ —
ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｃ ｏ ｎ ｅ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｃ ｈｉ ｎｅ ｓ ｅ Ｌｉ ｂｒ ａ ｒ ｙ Ｃｌ ａｓ ｓ ｉ ｉｃ ｆ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｏ２ ２ １ ． ２
ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ． Ｆｉ ｎａ ｌ ｌ ｙ ，ｗｅ ｓ ｈ ｏ ｗ ａ ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｏ ｄ ｅ ｍｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆｅ ｃ ｔ ｉ ｒ ｅ ｏ ｆ ｏ ｕ ｒ
鲁棒优化 例题
鲁棒优化例题（最新版）目录1.鲁棒优化的定义与特点2.鲁棒优化的应用领域3.鲁棒优化的例题解析4.鲁棒优化的实际应用案例5.鲁棒优化的发展前景与挑战正文一、鲁棒优化的定义与特点鲁棒优化（Robust Optimization）是一种针对不确定性问题的优化方法，旨在寻求一个能够在多种情况下均表现良好的解决方案。
与传统优化方法相比，鲁棒优化具有以下特点：1.考虑不确定性：鲁棒优化方法在问题建模阶段就考虑了不确定性因素，使得求解的结果具有较强的鲁棒性。
2.灵活性：鲁棒优化方法可以处理多种类型的不确定性，如参数不确定性、数据不确定性等。
3.实用性：鲁棒优化方法可以应用于各种实际问题，如工程设计、供应链管理、金融投资等。
二、鲁棒优化的应用领域鲁棒优化方法在许多领域都有广泛的应用，主要包括：1.工程设计：在工程设计中，鲁棒优化可以帮助工程师在不确定的环境下寻求最优设计方案，提高产品的性能和可靠性。
2.供应链管理：在供应链管理中，鲁棒优化可以用于优化库存策略、运输计划等，提高供应链的效率和稳定性。
3.金融投资：在金融投资领域，鲁棒优化可以用于优化投资组合，降低风险，提高收益。
三、鲁棒优化的例题解析假设有一个线性规划问题，其中某些参数具有不确定性。
我们可以通过鲁棒优化方法来求解这个问题。
具体步骤如下：1.构建不确定性模型：假设参数 x 在不确定性区间 [a, b] 内变化，构建不确定性模型。
2.确定等效参数：将不确定性参数 x 转化为等效参数，使原问题转化为只涉及等效参数的优化问题。
3.求解优化问题：利用传统优化方法求解只涉及等效参数的优化问题，得到最优解。
四、鲁棒优化的实际应用案例某汽车制造企业需要设计一款新车型，面临如下不确定性问题：市场需求的不确定性、生产成本的不确定性、原材料价格的不确定性等。
通过鲁棒优化方法，企业可以在考虑这些不确定性因素的情况下，寻求最优的设计方案，提高新车型的市场竞争力。
五、鲁棒优化的发展前景与挑战随着不确定性问题在各个领域的日益突出，鲁棒优化方法具有广阔的发展前景。
χ２－_散度信息集下的分布鲁棒优化问题
ｄｏｉ:１０ １１９２０/ｘｎｍｄｚｋ ２０２４ ０１ ０１３χ２－散度信息集下的分布鲁棒优化问题丁可伟１ꎬ刘玲伶２(１.西南民族大学数学学院ꎬ四川成都６１００４１ꎻ２.西南石油大学理学院ꎬ四川成都６１０５００)摘㊀要:讨论了χ２－散度刻画的信息集下的一类分布鲁棒优化问题.利用测度转换技巧及凸分析理论ꎬ得到该分布鲁棒优化问题的确定等价形式ꎬ其结构为经验分布下目标函数的期望添加了关于模糊因子和标准乘积的罚项.发现χ２－散度下的机会约束问题可以转化为经验分布下的更为保守的机会约束问题.最后讨论了一个χ２－散度信息集下的分布鲁棒投资组合问题并得到了其解析解.关键词:分布鲁棒ꎻ机会约束ꎻχ２－散度中图分类号:Ｏ２２１ꎻＯ２２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:２０９５￣４２７１(２０２４)０１￣０１１２￣０７收稿日期:２０２３￣０３￣１８作者简介:丁可伟(１９８６￣)ꎬ男ꎬ博士研究生ꎬ研究方向:金融数学通信作者:刘玲伶(１９８６￣)ꎬ女ꎬ副教授ꎬ研究方向:应用数学.Ｅ￣ｍａｉｌ:ａ６００ａａ＠１６３.ｃｏｍ基金项目:中央高校基本科研业务费专项项目(２０２１１２８)ꎻ四川省自然科学基金青年基金项目(２０２２ＮＳＦＳＣ１８３４)Ａｃｌａｓｓｏｆｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｅｔｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄｂｙχ２－ｄｉｓｔａｎｃｅＤＩＮＧＫｅ￣ｗｅｉ１ꎬＬＩＵＬｉｎｇ￣ｌｉｎｇ２(１ ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬＳｏｕｔｈｗｅｓｔＭｉｎｚｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＣｈｅｎｇｄｕ６１００４１Ｃｈｉｎａꎻ２.ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓꎬＳｏｕｔｈｗｅｓｔＰｅｔｒｏｌｅｕｍＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＣｈｅｎｇｄｕ６１０５００Ｃｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｔｈｅｄｉｓｔｒｕｂｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｅｔｗｈｉｃｈｉｓｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄｂｙχ２－ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｗａｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ.Ｂｙｔｈｅｃｈａｎｇｅ￣ｏｆ￣ｍｅａｓｕｒｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅａｎｄｃｏｎｖｅｘａｎａｌｙｓｉｓꎬｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｆｏｒｍｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄｆｏｒｔｈｅｄｉｓ￣ｔｒｕｂｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍ.Ｔｈｅｎꎬｉｔｗａｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｃｈａｎｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｐｒｏｂｌｅｍｃｏｕｌｄｂｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｉｎｔｏｔｈｅｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅｃｈａｎｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒｔｈｅｅｍｐｉｒｉｃａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｍｅａｓｕｒｅ.Ｆｉｎａｌ￣ｌｙꎬｔｈｅｃｌｏｓｅｄｆｏｒｍｓｏｌｕｔｉｏｎｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄｆｏｒｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｐｏｒｔｆｏｌｉｏｐｒｏｂｌｅｍ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔꎻｃｈａｎｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔꎻχ２－ｄｉｓｔａｎｃｅ㊀㊀在经典的数学规划问题中ꎬ通常假设所有的参数都是给定的.而在实际问题中会不可避免地遇到各种各样的不确定性ꎬ如生鲜食品的日销售额是不确定的等等.而不确定因素的完全信息是很难被准确获取的ꎬ如何在不确定环境下做出相应的决策从而提高收益规避风险是非常值得探讨的.分布鲁棒优化是在不确定环境下处理带未知分布的随机变量的优化问题的一个有效方法ꎬ其思想是赋予带有随机变量的函数以期望运算ꎬ寻找对分布不确定集的每一个概率分布都可行的解ꎬ即寻找对不确定性免疫的稳健解.分布鲁棒优化的研究始于１９５８年Ｓｃａｒｆ[１]在研究库存问题时将其转化为精确二阶矩信息下的极大极小的随机问题ꎬ最近几十年ꎬ分布鲁棒优化因为在管理工程及数据科学的应用得到了极大的关注ꎬ具体请见文献[２￣４]及引文.处理分布鲁棒优化问题的一个关键因素是构造分布信息集ꎬ构造分布信息集所用到的度量工具则体现了决策者对概率分布信息的认知程度ꎬ而规模大小反映了决策者所拥有的分布信息的精确性ꎬ这两者直接影㊀３１１第１期丁可伟ꎬ等:χ２－散度信息集下的分布鲁棒优化问题响了所建模型求解的难度和解的稳健性.构造分布信息集合主要由两类工具ꎬ一类是统计中的矩信息ꎬ例如二阶矩信息等等.Ｄｅｌａｇｅ和Ｙｅ[５]从数据驱动的角度讨论了椭球矩信息下的分布鲁棒优化问题ꎬ并证明了该问题是多项式时间内可解的.Ｍｅｈｒｏｔｒａ和Ｚｈａｎｇ[６]讨论了几类二阶矩信息下的分布鲁棒最小二乘问题并给出了其确定等价形式.另一类是统计中用来刻画两个概率分布测度之间距离的各类分散度量ꎬ例如Ｋｕｌｌｂａｃｋ￣Ｌｅｉｂｌｅｒ(ＫＬ)￣散度ꎬＷａｓｓｅｒｓｔｅｉｎ￣度量等等.Ｈｕ和Ｈｏｎｇ[７]讨论了ＫＬ￣散度下的分布鲁棒优化问题ꎬ并将其转化为确定的等价形式.Ｅｓｆａｈａｎｉ与Ｋｕｈｎ[８]用Ｗａｓｓｅｒｓｔｅｉｎ度量来刻画分布信息集合ꎬ然后将此分布信息集合下的分布鲁棒问题转化为有限凸规划问题.Ｇａｏ和Ｋｌｅｙｗｅｇｔ[９]讨论了具有更广义结构的Ｗａｓｓｅｒｓｔｅｉｎ度量下的分布鲁棒优化问题ꎬ并得到了对偶确定形式.他们证明了这些分布鲁棒问题可以在任意精度下用可行的鲁棒问题来逼近ꎬ通过这种方式得到了分布鲁棒问题的可行性.Ｊｉａｎｇ与Ｇｕａｎ[１０]研究了φ￣散度下的分布鲁棒机会约束问题ꎬ并将其转化为更为保守的经验分布下的机会约束问题 Ｄｉｎｇ等[１１]研究了Ｒｅｎｙｉ散度下的分布鲁棒投资组合问题并得到三类不确定情形下的解析解.Ｋｌａｂｊａｎ等[１２]考虑了离散χ２－散度下的随机需求库存管理问题并给出了其最优策略.本文研究χ２－散度下的分布鲁棒优化问题并得到了该分布鲁棒优化问题的确定等价形式.发现χ２－散度下的机会约束问题可以转化为经验分布下的更为保守的机会约束问题.最后应用到分布鲁棒投资组合问题并得到了其解析解.１㊀χ２－散度信息集下分布鲁棒优化问题㊀㊀本文讨论如下的分布鲁棒优化问题(ＤＲＯ)ｍｉｎｘɪＸｍａｘＰɪΔＥＰ[Ｈ(ｘꎬξ)]ꎬ(１)其中ꎬｘ是决策变量ꎬＸɪＲｎ是可行集ꎬξ:ΩңΞɪＲｍ是定义在概率空间(ΩꎬＦꎬＰ)上的随机变量ꎬ其中Ｆ是样本空间Ω中所有的子集(包括全集和空集)构成的集族ꎬＨ:ＲｎˑＲｍңＲ是实值函数.在实际问题中ꎬ随机变量ξ的真实概率分布Ｐ是很难被精确获取的.实际上ꎬ利用历史样本信息我们可以得到一个经验概率分布Ｐ０ꎬ虽然不是真实的概率分布ꎬ但真实概率分布应该 距离 经验概率分布不会太远.本文中用χ２－散度来刻画两个概率分布的 距离 ꎬ考虑如下的分布信息集合Δ＝{ＰɪＢꎬｄ(ＰꎬＰ０)£㊀η}ꎬ其中Ｂ表示所有的概率分布测度.η是刻画两个概率分布之间距离的模糊因子ꎬ其大小表示决策者对概率分布信息的认知.Ｄ(ＰꎬＰ０)表示Ｐ和Ｐ０之间的χ２－散度ꎬ其定义如下ｄ(ＰꎬＰ０)＝ʏΞ(ｐ(ξ)－ｐ０(ξ))２ｐ０(ξ)ｄξꎬ其中ꎬｐ(ξ)和ｐ０(ξ)分别是分布Ｐ和Ｐ０的概率密度函数.实际上ꎬ此时概率分布Ｐ关于经验概率分布Ｐ０是绝对连续的ꎬ记为Ｐ<<Ｐ０.如果Ｐ０是离散概率分布ꎬ把上述表达式中的连续状态的概率密度函数(ＰＤＦ)ｐ０(ξ)改写为离散状态下的ＰＭＦꎬ同时将积分改写为和式.如果Ｐ０是混合概率分布ꎬ相应的将积分改成积分与和式的混合即可.容易得到ｄ(ＰꎬＰ０)⩾０ꎬ等式成立当且仅当几乎处处ｐ(ξ)＝ｐ０(ξ).假设１㊀对于任意的ｘɪＸꎬ方差ＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))＝ＥＰ０[Ｈ２(ｘꎬξ)]－(ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)])２<＋¥假设１中目标函数关于随机变量ξ的方差是有限的.如果方差Ｄ(Ｈ(ｘꎬξ))是无限的ꎬ意味着此分布下带随机变量的目标函数值是极其不稳定的ꎬ那么在分布鲁棒意义下的内部问题此时也会变得非常保守甚至于无解ꎬ此时用分布鲁棒模型是不合适的.但当Ｐ０是离散分布且对所有的ｘɪＸꎬξɪΞꎬ都有Ｈ(ｘꎬξ)£Ｍꎬ其中Ｍ>０ꎬ此时很容易得到假设１是成立的.在后续的文章中总假设Ｈ(ｘꎬξ)£㊀Ｍꎬａ ｓ定理１㊀在满足假设１的条件下ꎬ分布鲁棒优化问题(１)等价于如下确定的优化问题西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍｉｎｘɪＸＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)]＋ηＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ).(２)其中ꎬ概率密度函数的最优解为ｐ∗(ξ)＝ｐ０(ξ)＋ηＨ(ｘꎬξ)－ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)]ＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))ｐ０(ξ).证明:问题(１)是极大极小问题ꎬ先讨论其内部问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘＰɪΔＥＰ[Ｈ(ｘꎬξ)](３)ｓ ｔ.ʏΩ(ｐ(ξ)－ｐ０(ξ))２ｐ０(ξ)ｄξ£η上述问题的决策变量是概率分布Ｐꎬ并不是传统意义上的优化问题.采用经典的测度转换技巧ꎬ可以将内部问题转化为一个确定的泛函极值问题.令Ｌ(ξ)＝ｐ(ξ)ｐ０(ξ)ꎬＬ( )通常被称为Ｒａｄｏｎ￣Ｎｉｋｏｄｙｍ导数.容易有Ｌ(ξ)⩾０和ＥＰ０[Ｌ(ξ)]＝１ꎬ由测度转化技巧ꎬ得ＥＰ[Ｈ(ｘꎬξ)]＝ʏΩＨ(ｘꎬξ)ｐ(ξ)ｄξ＝ʏΩＨ(ｘꎬξ)ｐ(ξ)ｐ０(ξ)ｐ０(ξ)ｄξ＝ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)]ꎬʏΩ(ｐ(ξ)－ｐ０(ξ))２ｐ０(ξ)ｄξ＝ʏΩ(ｐ(ξ)－ｐ０(ξ))２ｐ２０(ξ)ｐ０(ξ)ｄξ＝ＥＰ０[(Ｌ(ξ)－１)２] 把真实概率分布下的最大期望问题(３)转化为如下的经验分布下的相应问题:㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘＬ(ξ)ɪΥＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)](４)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｓ ｔ ＥＰ０[(Ｌ(ξ)－１)２]£㊀η 其中ꎬΥ＝{Ｌ:ＥＰ０[Ｌ(ξ)]＝１ꎬＬ(ξ)⩾０}表示由Ｐ生成的且满足Ｐ<<Ｐ０的所有Ｒａｄｏｎ￣Ｎｉｋｏｄｙｍ导数的集合.下面主要对问题(３)进行求解.首先ꎬ证明问题(４)关于决策变量Ｌ是凸的.对任意的λɪ[０ꎬ１]与Ｌ１ꎬＬ２ɪΥꎬ明显ꎬλＬ１＋(１￣λ)Ｌ２ɪΥ.且由于(ｘ－１)２关于ｘ是凸的ꎬ有(λＬ１(ξ)＋(１￣λ)Ｌ２(ξ)－１)２£㊀λ(Ｌ１(ξ)－１)２＋(１￣λ)(Ｌ２(ξ)－１)２ꎬ∀ξɪΞꎬ由于不等式两边同时进行经验分布Ｐ０下的期望运算并不会改变不等式的符号ꎬ因此ＥＰ０[(Ｌ(ξ)－１)２]关于决策变量Ｌ是凸的.同时ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)]关于Ｌ是线性的ꎬ所以问题(４)是一个凸的泛函极值问题 定义如下的拉格朗日函数:㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｌ０(αꎬＬ)＝ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)]＋α[η－ＥＰ０[(Ｌ(ξ)－１)２]].因此问题(４)等于如下问题ｍａｘＬɪΥｍｉｎα⩾０ｌ０(αꎬＬ).首先分析当α＝０时的最优解.对于任意ｘɪＸꎬ令ＳＨ(ｘ)＝ｉｎｆ{ｔɪＲꎬＰｒＰ０(Ｈ(ｘꎬξ)>ｔ)＝０}ꎬ其为函数Ｈ(ｘꎬξ)在测度Ｐ０下的本质上确界 构造一序列函数ｔｉ(ｘ)ʏＳＨ(ｘ)ꎬ定义如下关于随机变量的集合Ａｉ＝{ξ:ＰｒＰ０(ＳＨ(ｘ)⩾Ｈ(ｘꎬξ)⩾ｔｉ(ｘ))>０}很容易看出Ａｉ不是Ｌｅｂｅｓｇｕｅ零测度集合.构造一系列分布Ｐｉ(Ｌ(ξ))满足如下条件ʏＡｉＬｉ(ξ)ｐ０(ξ)ｄξ＝１及ʏΞ/ＡｉＬｉ(ξ)ｐ０(ξ)ｄξ＝０ 那么ＳＨ(ｘ)⩾ʏΞＨ(ｘꎬξ)Ｌｉ(ξ)ｄξ＝ʏＡｉＨ(ｘꎬξ)Ｌｉ(ξ)ｄξ＋ʏΞ/ＡｉＨ(ｘꎬξ)Ｌｉ(ξ)ｄξ⩾ｔｉ(ｘ)ʏＡｉＬｉ(ξ)ｄξ⩾ｔｉ(ｘ)当ｔｉ(ｘ)ʏＳＨ(ｘ)时ꎬＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)]ңＳＨ(ｘ)ꎬ此时整个问题的最优解会变得极为保守ꎬ且分布鲁棒问题(１)变为如下问题ｍｉｎｘɪＸｍａｘＰɪΔＥＰ[Ｈ(ｘꎬξ)]＝ｉｎｆｘɪＸｓｕｐξɪΩ/ＮＨ(ｘꎬξ)ꎬ４１１第１期丁可伟ꎬ等:χ２－散度信息集下的分布鲁棒优化问题㊀其中Ｎ表示Ｌｅｂｅｓｇｕｅ零测度集合且有定义Ｎ＝{ξ:Ｈ(ｘꎬξ)ң＋¥}.实际上ꎬα＝０意味着问题(３)的约束是非紧的ꎬ也就是说模糊因子η太大导致约束失效.另一方面η太大分布鲁棒问题(１)也会变得极为保守.接下来证明在η不太大的情况下拉格朗日乘子αʂ０ 交换极大极小两个算子的顺序ꎬ得到如下的朗格拉日对偶问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍｉｎα⩾０ｍａｘＬɪΥｌ０(αꎬＬ)(５)先分析(５)的内部最大值问题ꎬ其展开如下㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘＬ(ξ)ɪΥ０ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)－α(Ｌ(ξ)－１)２]＋αηｓ ｔ ＥＰ０[Ｌ(ξ)]＝１ꎬ(６)其中ꎬΥ０＝{Ｌ:Ｌ⩾０ꎬａ ｓ } 定义下列泛函Ｊ(Ｌ(ξ)):＝ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)－α(Ｌ(ξ)－１)２]＋αηꎬＪｃ(Ｌ(ξ)):＝ＥＰ０[Ｌ(ξ)]－１㊀㊀明显Ｊ(Ｌ(ξ))关于Ｌ是凹的ꎬＪｃ(Ｌ(ξ))关于Ｌ是线性的.现在计算Ｊ(Ｌ(ξ))和Ｊｃ(Ｌ(ξ))的导数ＤＪ(Ｌ(ξ))和ＤＪｃ(Ｌ(ξ)) 对于在Ｌ处的任意的可行方向Ｖ(ξ)ꎬ有ＤＪ(Ｌ(ξ))＝ｌｉｍｔң０Ｊ(Ｌ(ξ)＋ｔＶ(ξ))－Ｊ(Ｌ(ξ))ｔ＝ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)－２α(Ｌ(ξ)－１)Ｖ(ξ)]ꎬＤＪｃ(Ｌ(ξ))＝ＥＰ０[Ｖ(ξ)].问题(６)的拉格朗日对偶函数为㊀㊀㊀㊀ｌ(Ｌꎬλ)＝ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)－α(Ｌ(ξ)－１)２]＋λ[ＥＰ０[Ｌ(ξ)]－１]＋αη.㊀㊀由文献[１３]中的定理３ ３可知ꎬ如果存在(Ｌ∗ꎬλ∗)使得Ｌ∗ɪΥ０ꎬＪｃ(Ｌ∗(ξ))＝０且Ｌ∗ɪａｒｇｍａｘＬɪΥ０ｌ(Ｌꎬλ∗)ꎬ那么Ｌ∗是问题(６)的最优解.注意到上述问题是一个无约束的凹规划问题ꎬ那么其最优解应该位于某种意义下的驻点ꎬ即其导数为零的点ꎬ结合前面计算的导数ꎬ得Ｄｌ(Ｌꎬλ)＝ＥＰ０[(Ｈ(ｘꎬξ)－２α(Ｌ(ξ)－１)＋λ∗)Ｖ]为了保证上述算子为零算子ꎬ只需要Ｌ∗满足Ｈ(ｘꎬξ)－２α(Ｌ(ξ)－１)＋λ∗＝０即可.可知Ｌ∗(ξ)＝Ｈ(ｘꎬξ)＋λ∗２α＋１ꎬ进一步由Ｊｃ(Ｌ∗(ξ))＝０可得λ∗＝－ＥＰ０[(Ｈ(ｘꎬξ)].进而可得Ｌ∗(ξ)＝Ｈ(ｘꎬξ)－ＥＰ０[(Ｈ(ｘꎬξ)]２α＋１.由此得到了问题(６)的最优解ꎬ进而问题(５)可转化为ｍｉｎα⩾０ＥＰ０[(Ｈ(ｘꎬξ)]＋ＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))４α＋αη＝ＥＰ０[(Ｈ(ｘꎬξ)]＋ηＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))ꎬ其中α∗＝１２ＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))η>０ 最后将值进行代入后很容易验证ｌ０(α∗ꎬＬ)£ｌ０(α∗ꎬＬ∗)£ｌ０(αꎬＬ∗)ꎬ故(α∗ꎬＬ∗)是问题(４)的一个鞍点ꎬ即此时强对偶成立ꎬ故得证.当η＝０时ꎬ意味着此时问题(１)关于分布没有不确定性ꎬ由上述表达式容易知道问题(１)退化为原始的随机优化问题ｍｉｎｘɪＸＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)] 其中ꎬ经验分布此时就是精确的概率分布.注意到确定问题(２)尽管不是一个凸规划问题ꎬ但是其结构非常有意思.如果该目标函数在经验分布下的标准差非常大ꎬ意味着目标函数关于随机变量ξ非常敏感时ꎬ即使刻画分布信息集的模糊因子较小ꎬ但χ２－散度下的分布鲁棒优化问题(２)的罚项依然会较大ꎬ导致最优解变得较为保守.在一些特殊情况下ꎬ问题(２)可以是凸规划问题.例如当Ｈ(ｘꎬξ)＝(ｆ(ｘ))Ｔｇ(ξ)ꎬ其中ꎬｆ(ｘ)＝(ｆ１(ｘ)ꎬｆ２(ｘ)ꎬ ｆｍ(ｘ))中每一个ｆｉ(ｘ)都是线性函数.那么问题(１)可转化为如下的凸规划问题５１１西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍｉｎｘɪＸ(ｆ(ｘ))ＴＥＰ０[ｇ(ξ)]＋η(ｆ(ｘ))ＴＤＰ０[ｇ(ξ)]ｆ(ｘ)在实际问题中ꎬ不确定性往往也出现在约束当中ꎬ考虑如下的分布鲁棒优化问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍｉｎｘɪＸｈ(ｘ)ｓ ｔ ｍａｘＰɪΔＥＰ[Ｈ(ｘꎬξ)]£㊀０由定理１可得㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍｉｎｘɪＸｈ(ｘ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(７)ｓ ｔ ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)]＋ηＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))£㊀０问题(７)中的约束结构表明分布鲁棒约束不等式可以被转化为经验分布下的一个确定不等式ꎬ其中不等式的左侧被约束函数在经验分布下的标准差所惩罚.发现模糊因子η越大ꎬ那么问题(１)越保守.同时ꎬ如果约束函数在经验分布下的标准差越大ꎬ问题也会变得越来越保守.２㊀分布鲁棒机会约束问题２ １㊀极大极小概率问题考虑如下的极大极小概率问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘｘɪＸｍｉｎＰɪΔＰｒＰ{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}.(８)此处把前面的期望问题替换为一个概率问题.记ΙＡ表示集合Ａ的指示函数ꎬ可以把(８)转化为如下的分布鲁棒优化问题ｍａｘｘɪＸｍｉｎＰɪΔＥＰ[ΙＨ(ｘꎬξ)⩾０] 因此可以将(８)看成分布鲁棒优化问题(１)的一个特例.记κ(ｘ)＝ＰｒＰ０{Ｈ(ｘꎬξ)>０}ꎬ简单计算可得ＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ)>０)＝κ(ｘ)－κ２(ｘ).假设２:假设κ(ｘ)⩾ｓꎬ其中ｓ＝１/２－１/４η＋４.当模糊因子ηң０时ꎬ假设２变成κ(ｘ)⩾０.由于κ(ｘ)表示概率ꎬ此时假设２自然成立.另一方面ꎬ当ＰｒＰ{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}⩾１２时ꎬ假设２也是自然成立的.实际上ꎬ从表１中也能看到当概率ＰｒＰ{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}比较大且同时η比较小时ꎬ假设２是成立的.表１㊀η与ｓ的关系Ｔａｂｌｅ１Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆηａｎｄｓηｓ１０ １４６０ ５０ ０９２０ １０ ０２３０ ０１０ ００２㊀㊀定理２㊀如果假设２成立ꎬ问题(８)的最优解等同于如下经验分布㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘｘɪＸＰｒＰ０{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}(９)证明:由定理１中的目标函数替换为ΙＨ(ｘꎬξ)⩾０ꎬ那么问题(８)可改写为如下形式㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘｘɪＸκ(ｘ)－η(κ(ｘ)－κ２(ｘ))令ｔ＝κ(ｘ).那么上述问题的目标函数转化为ｆ(ｔ)＝ｔ－η(ｔ－ｔ２)ꎬ可得ｆᶄ(ｔ)＝１－η(１－２ｔ)２η(ｔ－ｔ２)ꎬ那么当ｔ⩾１２－１２η＋４时ꎬｆᶄ(ｔ)>０.由此可知ꎬ在假设２下ｆ(ｔ)关于ｔ是６１１第１期丁可伟ꎬ等:χ２－散度信息集下的分布鲁棒优化问题㊀严格单调递增的.故得证.由定理２可知ꎬ当分布信息集合是由χ２－散度所控制的时候ꎬ无论控制分布信息集合大小的模糊因子η取多大ꎬ极大极小概率问题(８)的最优解也是经验分布下的原始概率问题(９).因此ꎬ欲求极大极小概率问题(８)的最优解ꎬ只需要求解经验分布下的问题(９)即可.２ ２㊀分布鲁棒机会约束问题讨论如下的分布鲁棒机会约束问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｉｎｆｘɪＸｈ(ｘ)ｓ ｔ ｉｎｆＰɪΔＰｒＰ{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}⩾α(１０)定理３㊀当α>１２时ꎬ分布鲁棒机会约束问题(１０)可以等价地转化为如下的机会约束问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｉｎｆｘɪＸｈ(ｘ)ｓ ｔ ＰｒＰ０{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}⩾α－㊀㊀其中ꎬα－＝α＋η－２αη＋η２＋４αη(１－α)２(１＋η)证明:当η＝０时ꎬα－＝αꎬ显然成立 下面分析ηʂ０时的情形.将机会约束中的概率问题转化为期望问题ｉｎｆＰɪΔＥＰ[ΙＨ(ｘꎬξ)⩾０]ꎬ跟定理２中类似的分析ꎬ可以得到问题(１０)的机会约束可以转化为κ(ｘ)－η(κ(ｘ)－κ２(ｘ))⩾α很明显ꎬκ(ｘ)⩾αꎬ移项两边同时平方化简可得下式(η＋１)κ２(ｘ)－(２α＋η)κ(ｘ)＋α２⩾０.得κ(ｘ)⩾α＋η－２αη＋η２＋４αη(１－α)２(１＋η)或κ(ｘ)£㊀α＋η－２αη－η２＋４αη(１－α)２(１＋η).由于α>１２且ηʂ０ꎬκ(ｘ)£㊀α－η－２αη－η２＋４αη(１－α)２(１＋η)<αꎬ与κ(ｘ)⩾α矛盾.因此可得ꎬκ(ｘ)⩾α＋η－２αη＋η２＋４αη(１－α)２(１＋η)ꎬ故得证.注意到αɪ[０ꎬ１]及η⩾０ꎬ可以得到η２＋４αη(１－α)⩾(２α－１)ηꎬ即α－⩾αꎬ其中等式在η＝０时取到.３㊀投资组合问题㊀㊀考虑如下的投资组合问题ｓｕｐｘɪＸｉｎｆＰɪΔＥＰ[ｘＴξ]ꎬ其中ξɪＲｎ时ｎ只股票的收益率ꎬｘɪＲｎ是投资策略.Ｘ＝{ｘ:ｘＴｅ＝１}且ｅ代表元素全部为１的向量.假设ｎ只股票的收益率的经验分布的分布为Ｐ０~Ｎ(μ０ꎬΣ０)ꎬ则由定理１可知ꎬ可将上述问题转化为㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘｘｘＴμ０－ηｘＴΣ０ｘｓ ｔ.ｘＴｅ＝１虽然原始问题似乎并没有考虑风险项ꎬ但实际上分布鲁棒问题本身可以看成一个最小化一个一致风险度量问题ꎬ接下来对上述问题进行求解ꎬ其拉格朗日函数为Ｌ(ｘꎬλ)＝ｘＴμ０－ηｘＴΣ０ｘ＋λ(ｘＴｅ－１).７１１西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷令μＴ０Σ０μ０＝ＡꎬμＴ０Σ０ｅ＝ＢꎬｅＴΣ０ｅ＝Ｃ 对上述拉格朗日函数求偏导等于０ꎬ经过简单分析可得ꎬ当η⩾Ａ－Ｂ２Ｃ时ꎬ该投资组合问题的最优解ｘ∗及最优值ｖ∗分别为ｘ∗＝Σ－１０(Ｃμ０－(Ｂ－Ｂ２－(Ａ－η)Ｃ)ｅ)ＣＢ２－(Ａ－η)Ｃꎬｖ∗＝Ｂ－Ｂ２－(Ａ－η)ＣＣ.从ｖ∗的表达式可知ꎬ如果投资者获取的市场的信息越少ꎬ即模糊因子η的值变大时ꎬ那么在该分布鲁棒模型下投资者会变得相对保守ꎬ投资预期收益将会减少.参考文献[１]ＳＣＡＲＦＨ.Ａｍｉｎ￣ｍａｘｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆａｎｉｎｖｅｎｔｏｒｙｐｒｏｂｌｅｍ[Ｃ]//ＡＲＲＯＷＫꎬＫＡＲＬＩＮＳꎬＳＣＡＲＦＨ.ＳｔｕｄｉｅｓｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＴｈｅｏｒｙｏｆＩｎｖｅｎｔｏｒｙａｎｄＰｒｏ￣ｄｕｃｔｉｏｎ.Ｓｔａｎｆｏｒｄ:ＳｔａｎｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓꎬ１９５８:２０１￣２０９.[２]ＬＯＮＧＤꎬＳＩＭＭꎬＺＨＯＵＭ.Ｒｏｂｕｓｔｓａｔｉｓｆｉｃｉｎｇ[Ｊ].ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈꎬ２０２２ꎬ７１(１):１￣１２.ＤＯＩ:１０ １２８７/ｏｐｒｅ ２０２１ ２２３８.[３]ＳＡＧＡＷＡＳꎬＫＯＨＰꎬＨＡＳＨＩＭＯＴＯＴＢꎬｅｔａｌ.ＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙＲｏｂｕｓｔＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓｆｏｒＧｒｏｕｐＳｈｉｆｔｓ:ＯｎｔｈｅＩｍｐｏｒｔａｎｃｅｏｆＲｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｏｒＷｏｒｓｔ￣ＣａｓｅＧｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ[Ｊ/ＯＬ].ａｒＸｉｖ:１９１１.０８７３１ｖ２ꎬ２０１９.[４]ＳＵＮＨꎬＳＨＡＰＩＲＯＡꎬＣＨＥＮＸ.Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ[Ｊ].ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇꎬ２０２３ꎬ２００:２７９￣３１７. [５]ＤＥＬＡＧＥＥꎬＹＥＹ.Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｕｎｄｅｒｍｏｍｅｎｔｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｗｉｔｈａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｄａｔａ￣ｄｒｉｖｅｎｐｒｏｂｌｅｍｓ[Ｊ].ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈꎬ２０１０ꎬ５８:５９５￣６１２.[６]ＭＥＨＲＯＴＲＡＳꎬＺＨＡＮＧＨ.Ｍｏｄｅｌｓａｎｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｐｒｏｂｌｅｍｓ[Ｊ].ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇꎬ２０１４ꎬ１４６:１２３￣１４１. [７]ＨＵＺꎬＨＯＮＧＪ.Ｋｕｌｌｂａｃｋ￣Ｌｅｉｂｌｅｒｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ[Ｊ].ＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＯｎｌｉｎｅꎬ２０１２:３５￣３７.[８]ＥＳＦＡＨＡＮＩＰꎬＫＵＨＮＤ.Ｄａｔａ￣ｄｒｉｖｅｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｕｓｉｎｇｔｈｅＷａｓｓｅｒｓｔｅｉｎｍｅｔｒｉｃ:ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｇｕａｒａｎｔｅｅｓａｎｄｔｒａｃｔａｂｌｅｒｅｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇꎬ２０１５ꎬ２４:１￣５２.[９]ＧＡＯＲꎬＫＬＥＹＷＥＧＴＡ.Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｗｉｔｈｗａｓｓｅｒｓｔｅｉｎｄｉｓｔａｎｃｅ[Ｊ].ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｏｆＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈꎬ２０２２ꎬ４８(２):６０３￣６１５.ＤＯＩ:１０ １２８７/ｍｏｏｒ ２０２２ １２７５.[１０]ＪＩＡＮＧＲꎬＧＵＡＮＹ.Ｄａｔａ￣ｄｒｉｖｅｎｃｈａｎｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐｒｏｇｒａｍ[Ｊ].ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇꎬ２０１６ꎬ１５８:２９１￣３２７.[１１]ＤＩＮＧＫꎬＣＨＥＮＺꎬＨＵＡＮＧＮ.ＲｏｂｕｓｔｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒＲｅｎｙｉｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ[Ｊ].Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎꎬ２０１８ꎬ６７:２８７￣３０７. [１２]ＫＬＡＢＪＡＮＤꎬＳＩＭＣＨＩ￣ＬＥＶＩＤꎬＳＯＮＧＭ.Ｒｏｂｕｓｔｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｌｏｔ￣ｓｉｚｉｎｇｂｙｍｅａｎｓｏｆｈｉｓｔｏｇｒａｍｓ[Ｊ].ＰｒｏｄｕｃｔｉｏｎａｎｄＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＭａｎａｇｅｍｅｎｔꎬ２０１３ꎬ２２:６９１￣７１０.[１３]ＢＯＮＮＡＮＳＪꎬＳＨＡＰＩＲＯＡ.ＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓ[Ｍ].ＮｅｗＹｏｒｋ:Ｓｐｒｉｎｇｅｒ￣Ｖｅｒｌａｇꎬ２０００.(责任编辑:张阳ꎬ付强ꎬ和力新ꎬ肖丽ꎻ英文编辑:周序林ꎬ郑玉才)８１１。
鲁棒优化的方法及应用
鲁棒优化的方法及应用杨威在实际的优化中决策过程中，我们经常遇到这样的情形，数据是不确定的或者是非精确的；最优解不易计算，即使计算的非常精确，但是很难准确的实施；对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。
鲁棒优化是一个建模技术，可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。
早在19世纪70年代，Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一，他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。
几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。
在以后的很长的一段时间里，鲁棒优化方面都没有新的成果出现。
直到19世纪末，Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展，尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展，使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。
一个一般的数学规划的形式为0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}ni x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤=其中x 为设计向量，0f 为目标函数，12,,...,m f f f 是问题的结构元素。
ξ表示属于特定问题的数据。
U 是数据空间中的某个不确定的集合。
对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}ni x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=∀∈这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。
这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法，目前的最新的研究结果及在经济上的应用。
1 鲁棒优化的基本方法1.1鲁棒线性规划一个不确定线性规划{min{:}(,,)}Tnm nm xc x Ax b c A b U R RR ⨯≥∈⊂⨯⨯所对应的鲁棒优化问题为min{:,,(,,)}Txt t c x Ax b c A b U ≥≥∈，如果不确定的集合是一个计算上易处理的问题，则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。
哈尔滨工程大学校对论文模板
In this paper, we focus on the portfolio optimization problem with uncertain parameters. Assuming that the parameters are multi-dimensional random variables with only partial information of the distribution of the parameters available, i.e., the bound for the mean and the covariance of the parameters,this paperattempt to find the best of the worst-case expected returns among all possible distributions, thusthis paperestablish the distributionally robust model for portfolios optimization. Because the inner problem of the model is a semi-infinite programming with the distribution (measure) as its variable, it is quite difficult to solve the model.
投资组合优化模型及有效前沿分析方法
投资组合优化模型及有效前沿分析方法随着金融市场的发展和个人财富增长的需求，投资组合优化和有效前沿分析成为了投资者关注的重要内容。
本文将介绍投资组合优化模型的概念、意义以及有效前沿分析的方法。
投资组合优化模型是一种通过选择合适的资产组合来实现最大收益或者最小风险的数学模型。
通常情况下，投资者面临着多个投资标的和投资目标，如何在有限的资源和时间内做出最佳的投资选择，是一个值得探索的问题。
投资组合优化模型通常包括以下几个要素：投资标的、预期收益率、风险度量和决策变量。
投资标的是指投资者可以选择的各种资产，如股票、债券、房地产等。
预期收益率是对不同投资标的未来收益的估计。
风险度量是对投资标的风险的度量，通常使用标准差等方式来描述。
决策变量是指投资者需要做出的投资比例选择。
通过建立这些要素之间的数学关系，可以得到一个最优化的投资组合。
有效前沿分析方法是用来帮助投资者找到有效的投资组合的一种方法。
有效前沿是指在给定风险下，可以达到的最大收益；或者在给定收益下，可以达到的最小风险。
有效前沿分析方法通过对不同投资组合的收益和风险进行综合评估，找到处于有效前沿上的投资组合，为投资者提供一个合理的选择范围。
有效前沿分析方法通常包括以下几个步骤：首先，收集和整理投资标的的历史数据，包括收益率和风险度量。
其次，利用统计方法对历史数据进行分析，计算出各个投资标的的平均收益率、标准差等参数。
然后，通过建立投资组合的数学模型，计算出投资组合的预期收益率、标准差等指标。
最后，利用最优化算法，找到处于有效前沿上的投资组合。
有一些经典的有效前沿分析方法，如马科维茨理论和索提诺模型等。
马科维茨理论是通过均值-方差模型来实现有效前沿分析的一种方法。
该方法假设投资者追求的是最大化收益，并且认为收益与风险之间存在一定的权衡关系。
索提诺模型是一种基于期望效用理论的有效前沿分析方法。
该方法考虑了投资者对收益的偏好程度，通过一个效用函数来度量投资者的效用。
基于鲁棒能力的体系多目标组合优化
基于鲁棒能力的体系多目标组合优化李瑞阳; 王智学; 禹明刚; 何红悦【期刊名称】《《系统工程与电子技术》》【年(卷),期】2019(041)005【总页数】9页(P1034-1042)【关键词】体系; 多目标优化; 鲁棒能力; 基于参考点的非支配排序遗传算法【作者】李瑞阳; 王智学; 禹明刚; 何红悦【作者单位】陆军工程大学指挥控制工程学院江苏南京210000【正文语种】中文【中图分类】TP2020 引言在过去几年里,随着通信技术的快速发展,系统间信息的交互和共享愈加频繁。
在这一背景下,体系的概念应运而生[1]。
体系被描述为为完成某个特定的使命任务,将一系列独立操作运行的系统组合到一起,以提供完成该任务需要具备的多种能力[2]。
体系组合优化作为一种整体分析和解决问题的有效方法[3],在工业生产、交通运输、军事安全等多个领域受到学者们的广泛关注。
体系中包含两个重要要素:由于特定的使命任务而产生的多种能力需求以及为实现能力提供支持且相互独立的系统[4-5]。
能力是指完成一项目标或者任务所体现出来的综合素质。
火力打击、情报侦察、通信、指挥控制等都是军事领域中常见能力。
系统是指具有一种或多种功能的独立实体,能够为体系能力的实现做出贡献,例如火控系统、雷达系统、野战通信网络、任务规划系统等都属于军事应用系统。
不同的系统提供能力的种类、水平不同,所需要的研发成本、时间也都不同。
因此,体系组合优化问题[6]就是考虑如何选择提供所需能力的成员系统构成体系,从而获得较高的建设效费比,即在确保成员系统高效协同工作、满足使命任务效能目标的同时,减少体系建设的成本、代价和风险。
体系组合优化问题本质上是一个多目标0-1整数规划问题,优化目标是最大化体系整体能力以及最小化组成成员系统、系统间相互调用接口的总成本[7]。
近年来,许多学者都对类似问题开展了研究,采用多目标决策的方法对体系建设方案进行优化选择[8-12]。
然而,一个重要的问题不应该被忽视,那就是体系能力的不确定性[13]。
考虑不确定性的投资组合优化研究
考虑不确定性的投资组合优化研究投资组合优化是投资领域非常重要的问题之一。
它的主要目标是通过分散风险来获得最大回报。
传统的投资组合优化问题假设资产回报率是固定的。
然而，在实际投资中，资产回报率通常是不确定的。
因此，在研究投资组合优化时需要考虑不确定性。
本文将讨论考虑不确定性的投资组合优化。
具体来说，将介绍不确定性的来源、不确定性建模方法、投资组合优化的不确定性模型以及实际案例的应用等。
为了更好地讲解这个问题，本文将按照以下方式组织。
1. 不确定性的来源2. 不确定性建模方法3. 投资组合优化的不确定性模型4. 实际案例的应用1. 不确定性的来源不确定性是投资领域中的常见问题。
投资的不确定性来自以下原因：（1）市场的不确定性：市场的不确定性是指市场的未来情况不确定，如国际局势、自然灾害等。
（2）资产的不确定性：资产的不确定性是指资产的未来回报率不确定，这包括价格波动、股利变化等。
（3）模型的不确定性：模型的不确定性是指使用的数学模型不能完全描述真实的市场情况，如股票收益率服从什么分布等。
由于各种不确定性，投资组合优化问题变得更加具有挑战性。
不确定性的存在使得投资组合的建设需要一个更全面的方法，可以考虑复杂的因素。
2. 不确定性建模方法为了将不确定性考虑在内，我们需要使用适当的不确定性建模方法。
下面介绍了两种常见的建模方法。
（1）随机程序随机程序是一种将不确定信息引入模型的方式。
在这种方法中，变量被视为随机变量，而不是固定的值。
通过引入随机性，模型可以捕捉到不确定性。
在投资组合优化中，随机方法被用于建立不确定性的收益率分布。
（2）鲁棒优化鲁棒优化是一种将多种可能性考虑在内的方法。
在鲁棒优化中，假设最坏的情况下，一些变量的值可能变得非常不利。
通过引入惩罚函数，可以使得模型对这些非常差的情况产生一定的反应。
这个方法被广泛应用于建立投资组合优化中的不确定性模型。
3. 投资组合优化的不确定性模型在考虑不确定性时，投资组合优化问题需要用具有随机性的模型来描述资产的收益率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
龙源期刊网
椭球不确定集下的投资组合鲁棒优化模型
作者：安晓敏罗桂美
来源：《湖南大学学报·自然科学版》2010年第01期
摘要:对于含有不确定参数的采用CVaR风险度量的投资组合模型, 基于鲁棒优化理论的最新进展, 结合统计或时间序列, 构造形式较为简单的椭球不确定集作为对参数不确定性的近似, 把原问题转化为易于求解的确定型最优化问题, 解决了该模型由于参数具有不确定性的所造成的缺陷, 得到鲁棒性与最优性都较为满意的解. 并通过市场数据对模型的可操作性和实用性进行验证.
关键词:投资组合; 条件风险价值(CVaR); 鲁棒优化; 二阶锥规划(SOCP)
中图分类号:O221.2; F830.59文献标识码:A
Robust portfolio selection under ellipsoidal uncertainty
An Xiao-min,Luo Gui-Mei
(College of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha, Hunan, 410082,
P.R.China)
Abstract: we will study on the portfolio selection using CVaR strategy with data uncertainty. We show how to formulate and solve robust portfolio selection problems based on the recent progress in robust optimization. By the use of statistics theory and time series techniques, we construct ellipsoidal uncertainty set which contain most possible realizations of the uncertain parameters. Wethen convert the original problem to a deterministic problem which can obtain a solution that is guaranteed to be good for most possible realizations of the uncertainty parameters. To demonstrate our model and method, we do numerical experiments with real market data.
Key words: portfolio; Conditional Value at Risk (CvaR); robust optimization; Second-Order Cone Programming (SOCP)
自Markowitz[1]于1952年创立投资组合理论以来, 风险度量和投资组合模型的研究已经有了长足的发展, 金融风险也成为全球金融机构和监管当局普遍关注的焦点. VaR风险度量方法正是在这种背景下应运而生的, 它表示给定概率置信水平内的最坏情况下的损失, 因简单实用被广。