利用三角函数有界性求函数的值域
函数值域的求法
函数值域的求法求函数的值域是函数部分的重点，也是难点。
本文通过对函数值域的求法的归纳与总结，使学生对其求法有一个总的轮廓和了解，便于学生在解题过程中灵活应用（1） 观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断函数值域的方法。
例1． 求函数)1(,11≥++-=x x x y 的值域。
),2[+∞例2． 求函数1062++=x x y 的值域。
),1[+∞ （2） 最值法：对于闭区间上的连续函数，利用求函数的最大值和最小值来求函数的值域的方法。
例3． 求函数]2,2[,2-∈=x y x 的值域。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41 例4． 求函数6522++-=x x y 的值域。
]873,(-∞ （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。
例5． 求函数22122+-+=x x x y 的值域。
),21[)1,(+∞-⋃--∞（4） 反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。
例6． 求函数⎪⎭⎫⎝⎛≠-+=32,2332x x x y 的值域。
⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,3232,例7． 求函数⎪⎭⎫⎝⎛-≠≠++=c d x c d cx b ax y ,0,的值域。
⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a（5） 换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式，来求值域的方法。
例8． 求函数x x y 21--=的值域。
提示：设x t 21-=，则0,212≥--=t t t y 且，…… ]21,(-∞ （6） 复合函数法：对函数)(),(x g u u f y ==，先求)(x g u =的值域充当)(u f y =的定义域，从而求出)(u f y =的值域的方法。
例9． 求函数()352log 221++-=x x y 的值域。
),849[+∞ （7） 利用基本不等式求值域：例10． 求函数xx y 1+=的值域。
函数求值域的方法
不同函数类型值域求解方法归纳题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1． 求6a )(2+-=x x x f 的值域解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(2222-≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f 所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-，4a 62例2． 求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：函数图像法：423216)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f画出函数的图像可知，6)(2+-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在1-=x 时取到最大值8，可得值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡8423，。
例3． 求6a )(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a-≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f , 此时值域为[]a 7a 7-+，.② 当0a2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a 74a 62，. ③ 当2a0≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知，a 7)1(max +=-=f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,所以此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a 74a 62，④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知，a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f所以此时的值域为[]a 7a 7+-，题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法例4． 求()62log )(22+-=x x x f 的值域解答：复合形式用换元：令622+-=x x t，则由例1可知，[)+∞∈,5t根据单调性，可求出t 2log 的值域为[)+∞,5log 2例5． 求624)(1++=+x x x f 的值域解答：因为()224x x=，所以，采用换元法，令xt 2=，则()+∞∈,0t则原函数变为622++t t，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6题型三：分式函数的值域分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界法);(3) 数形结合(解析几何法：求斜率);(4) 判别式法（定义域无限制为R ）; 例6． 求函数132)(++=x x x f 的值域 解法一：分离变量法。
求三角函数值域的常用方法
求三角函数值域的常用方法有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。
掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。
一、利用三角函数的有界性求值域1、形如y=asinx+bcosx+c 型引入辅助角公式化为22b a +sin(x+φ)+c 再求值域. 例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+3π)的值域2、形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型通过降幂转化为Asinx+Bcosx 再求值域.例2、（2011重庆高考）设a R ∈，2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-+-，满足()(0)3f f π-=，求函数11(),]424f x ππ在[上的最大值和最小值二、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin 2x+bsinx+c 型令sinx=t 转化为二次函数再求值域.例3、（2011北京卷）已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-（1）求()3f π的值 （2）求()f x 的最大值和最小值2、形如y=asinx·cosx+b （sinx±cosx ）+c ，换元令sinx±cosx=t 转化为二次函数在]2,2[-上的值域问题三、根据代数函数的单调性求值域形如y=sint+t b sin ，令sint=x ，根据函数y=x+xb 的单调性求值域. 例6、θ∈(0,π)，则函数y=sin θ+θsin 2的值域为_________.形如y=d x c b x a ++cos cos 型，可用分离常数法转化为y=x+xb 再求值域. 例5、求函数y=1cos 21cos 2-+x x 的值域.。
期末知识点总结和方法专练 函数的定义及表示-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019
2022-2023 高一数学上期末知识点总结和方法专练---函数的定义与表示一、 函数定义：函数是定义在两个非空数集A ，B 上的一种特殊对应关系，对于A 中每一个数x ，在B 中都有唯一的数与之对应（每一个x 对应唯一一个y ）。
函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点；当非空集合A 中有m 个元素，B 中有n 个元素时，则A 中每个元素在B 中的相都可以有n 种不同情况，故由A 到B 的函数共有n m 个．【例1】：下列图形可以表示函数y ＝f (x )图象的是( )【例2】：下列对应为A 到B 的函数的是( )A ．A R =，{|0}B x x =>，:||f x y x →= B ．A Z =，*B N =，2:f x y x →=C ．A Z =，B Z =，:f x y x →=D ．[1A =-，1]，{0}B =，:0f x y →=【例3】：已知集合P ＝{x|－4≤x≤4}，Q ＝{y|－2≤y≤2}，下列函数不表示从P 到Q 的函数的是( )A ．2y ＝xB ． y 2＝12(x ＋4)C ．y ＝14x 2－2 D ．x 2＝－8y【例4】：已知函数f (x )的定义域为，值域为，则满足条件的函数f (x )的个数为（ ）二、 同一函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备). 定义域、值域与解析式三个中只有一个不同就不是同一函数. 【例1】：f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋xx 2＋1C ．y ＝x 与y ＝(x )2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝3x 3【例2】：（多选）f (x )与g (x )表示同一函数的有( ) A ．32y x =-与2y x x =- B ．()2y x =与y x =C ．11y x x =+⋅-与()()11y x x =+- D ．()221f x x x =--与()221g t t t =--E. ()3f x x =-与2()69g x x x =-+；F. ()1f x x =-与2()21g t t t =-+； 三、定义域求法：(1)分式函数中分母不等于零，0指数幂的底数不为0． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R ． (4)对数的真数要大于0, 底数大于0且不等于1.(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R ． (6)y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }． (7)实际问题满足实际意义。
三角函数性质
+
φ )=sin( + φ)，所以-cos φ =cos φ ,
2
≤π,所以求得 φ = φ
得cos φ =0,又0≤
)=cosωx, 2 由f(x)的图象关于点M( 3 ,0)对称，知f( 3 )=0, 4 4 3 即cos =0 ① 4
因此，f(x)=sin(ωx+
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. 2
2
- x) 的定义域和值域.
2 由函数 1 - 2cos( ,利用单位圆 - x) ≥0,得sinx≤ 2 2 或三角函数的图象,易得所求函数的定义域是｛ x|2kπ 5 ≤x≤2kπ+ ,k∈Z ｝. 4 4 2 当sinx=cos( -x)= 时,ymin=0; 2 2
当sinx=cos(
域.
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2sinxcosxsinx 2cosx(1 - cos 2 x) 【解析】（1）∵y= 1 - cosx 1 - cosx
=2cos2x+2cosx=2(cosx+
1 2 1 )- . 2 2
于是当且仅当cosx=1时,ymax=4,
但cosx≠1,∴y<4.
1 且ymin=- ，当且仅当cosx=- 1 时取得. 2 2 1 故函数值域为(,4). 2
2k ,2k 2 (k Z )
单调减区间
单调性
单调减区间
3 2k 2 ,2k 2 ( k Z )
2k ,2k (k Z )
偶
奇偶性
奇
奇
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2.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使 得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数
2020年高考数学一轮复习：第29课__三角函数的最值问题
第29课三角函数的最值问题KAQGANG JlL XI1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象，求三角函数的最 值和值域.2.掌握求三角函数最值的常见方法，能运用三角函数最值解决一些实际问题1•阅读：必修 4第24〜33页、第103〜116页、第119〜122页. 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y = A si n( 3汁$ )(A>0,3 >0的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幕扩角公式是什么？必修 4第123页练习第4题怎么解？3. 践习：在教材空白处，完成必修4第131页复习题第9、10、16题. I…T 基础诊断 &Y* ----------------------1. 函数f(x) = sinx , x € g,手丿的值域为'1 1 __.2.函数 f(x) = sinx — cos[x + f 的值域为 [-羽，护].nQ 313\13解析：因为 f (x) =sinx — cos(x+ 6)= sinx — Tcosx+ 2sinx= 2sinx —T cosx所以函数f(x) = sinx — cos(x +》的值域为[—.3, ,3].3. 若函数 f(x) = (1 + . 3tan x) cosx , 0< x<n 贝U f(x)的最大值为 2 .解析：f(x) = (1 + J 3ta nx)cosx = cosx + J 3si nx = 2si n^ + •因为 0 < x<n ，所以詐 x + 才<|^所以 sin x +€ 土，1,所以当sin[j + ^;= 1时，f(x)有最大值2.4. 函数 y = 2sin 2x — 3sin2x 的最大值是，10+ 1.2形如y = asin x + bcosx + c 的三角函数的最值例 1 已知函数 f(x) = 2cos2x + sin 2x — 4cosx. (1) 求f nn 的值；(2) 求f(x)的最大值和最小值.解析：(1) f [^；;= 2cos 2n+ sin^— 4cos n=— 1+ 3— 2 =—：2 2(2) f(x) = 2(2cos x — 1) + (1 — cos x) — 4cosx2=3cos x — 4cosx — 1课本KE SEN XI=.3sin(x — 6),范例导航考向？cf 2-\7 “=3 cosx — 3 — 3, x € R.因为 cosx € [ — 1, 1],所以当cosx =— 1时，f(x)取最大值6;2 7 当cosx =孑时，f(x)取最小值一3. 33已知s 4+汴貉A €6扌)(1) 求cosA 的值；5(2) 求函数 f(x) = cos2x + qs in As inx 的值域. 解析：⑴ 因为n <A<n,且Sin 》+才戶, 所以2<A +4<¥’cos$+护-密所以 cosA = cos [(A +n - n =cos+ U2 x _2 10 2 10 23 5.4(2)由(1)可得 sinA = 5,5 2f . 1 "f 3 所以 f(x) = cos2x + 2sinAsinx = 1 — 2sin x + 2sinx =— 2 sinx — + ?, x € R. 因为 sinx € [ — 1, 1],1 3所以当sinx =2时，f(x)取最大值§; 当sinx =— 1时，f(x)取最小值一3. 所以函数f(x)的值域为 一3, 3 1门考向？形如y = Asin( 3x+ © + k 的三角函数的最值例 2 已知函数 f(x) = 2cosxsin & + 寸一屆in 2x + sinxcosx + 1. (1) 求当函数f(x)取得最大值时，x 的取值集合; (2) 当 x € 0, 1n 时，求 f(x)的值域.解析：(1)因为 f(x) = 2cosxsin x + 3 — - 3sin 2x + sinxcosx + 1A +=2cosx(?sinx + ycosx) — 3sin 2x + sinx •osx + 1 =2si nxcosx + 3cos 2x — 3si n 2x + 1 =si n2x + 3cos2x + 1 1 3=2/n2x + 〒cos2x) + 1n n n由 2x + 3 = 2k n+ ^, k € Z ,可得 x = k n+ 石，k € Z ,所以函数f(x )取得最大值时，x 的集合为{x|x = k n+-, k € Z}.12(2)由 x € o ,，'得2x+n n n ，所以 ~23<sin(2x + n )< 1, 所以•.3+ 1 w f(x)w 3, 故f(x)的值域为[,3 + 1, 3].【注】 对于三角函数最值问题，通常将表达式化为形如 y = Af (3x+ © + B 的形式，确定变量x 取值的集合通常由等式3x+ ©= 2k n+ 0, k € Z 解出x已知函数f(x)= sin 2 wx — 6 + 2cos 2 1( w >0)的最小正周期为 n.(1)求w 的值;2 n所以f(x)的最小正周期T = — = n,解得w= 1.(2)由(1)得 f(x)= sin 2x + 6 . 因为0w x w$,所以6w 2x +6w 莘所以当2x + 6= 2，即x = 6时，f(x)取得最大值为1;=2sin 2x +1.⑵求f(x)在区间気上的最大值和最小值.解析：(1)因为 f(x)= sin 2wx — o + 2cos wx — 1,3 1=~2"si n2 wx+ 2cos2 wx= sin当2x + n= 4n,即x = 1n 时f(x)取得最小值为一 弩.【变式题】 已知函数 f(x)= sin x ++ cosx.(1)求f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时，x 的集合;,f a+ n = ，求 f(2a)的值.所以 f(2 a) = . 3sin 2a+ f1 3=.3?sin2 a+ —cos2 a=,3[2X 2sin acos a+ 手 x (2cos 2 a — 1)]厂1 4 3 V39 =3X [-x 2X x +亠x (2x — 1)] V L2 5 5 2 '25 刀=V 3x 险—也1=竺吐1Y辽5 50 丿 50.考向？ 三角函数最值问题常见的其他函数形式2例3 (1)已知x € (0, n,求函数y = sinx +的最小值;sinx⑵ 已知 灰(0, n ，求函数y =1 豐nA 的最大值; ⑶ 求函数y = (sinx — 2)(cosx — 2)的最大值与最小值.a€ 0,扌：解析: (1) f(x)= sin x ++ cosx=^sinx + 3cosx = ,3 1=%；3si nx + 3 , 所以 f(x)max =【?3.此时，x +n= 2k n+n ，k € Z ,即 x = 2k n+n , k € 乙3 2 61sin x + ~fcosx故当f(x)取得最大值3时，x 的集合为{x|x = 2k n+n k € Z}.6⑵ 由 f a+ n = . 3sin( a+ n = ¥ ,得sinn_ 32 = 5,所以 cos a= 3, sin54 a= 一, a 52解析：⑴设sinx= t（O<t w 1），则原函数可化为y = t + -，在（0, 1］上为减函数,故当t= 1时，y min= 3.⑵ 因为茨(0, n,所以sin茨(0, 1], y = 一卫一w 丿=1当且仅当si n B= 亦e+ 3sin e 21等号成立，故y max=刁(3)原函数可化为y= sinxcosx—2(sinx+ cosx) + 4，令sinx+ cosx = t(|t|w 2), nt t2— 1贝U sinxcosx =—,2t —1 1 2 3所以y=—2t+ 4=2(t—2) +2因为对称轴为直线t = 2?[ —2, 2]，且函数在区间[—2, 2]上是减函数，所以当t= 2,即x = 2k n+ n(k € Z)时, y min = 2 - 2.2；— 3 n 9 —当t=—2，即x= 2k n—~4（k€ Z）时，y max= 2 . 2.【注】（1）直接利用三角函数的有界性，并直接利用基本不等式去求解.a（2）首先是对分数函数的一般的处理方式，然后回到（1）的步骤去解决.y= sinx+亦型三角函数求最值，当sinx>0, a>1时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解.（3）含有"正、余弦三姐妹"，即含有sinx±sosx, sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx= t, |t|< 2,将sinxcosx转化为关于t的函数关系式，从而转化为二次函数的最值问题，在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定.【变式题】(1)求函数y= 2—sinx的最小值;si nx+ 2n 1 1⑵ 若0<x<2,求函数y= (1+ cosx)(1 + 亦)的最小值・4 —2 —sinx 4 1解析：⑴y=—厂=s^zr1飞，1所以最小值为1⑵y=1+cosx1+si.sinx+ cosx+ 1=1 +sin xcosx令t= sinx+ cosx, t€ (1, .2],t2— 1贝U sinxcosx = 2 ,t + 1 t2+ 2t + 1 t+ 1 八2t2— 1 t2—1 t—1 t —T2由1<t W 2,得y》3 + 2 2, 所以函数的最小值为 3 + 2 2.自测反馈1.函数y= 2sin 3—x —cos 6 + x (x € R)的最小值是__—1解析：因为cos ¥+ x = sin n- x，所以y= 2sin n—x —cos 总+ x = 2sin 扌一x —sin n—x =—sin x —3 •因为x€ R,所以y min=—1.2.函数y= sin^在区间［0,b］上恰好取得2个最大值，则实数b的取值范围是_ -2, ^7\解析：因为函数y= singe的周期为年=6，函数y= sin^x在区间［0,3b］上恰好取得2个最大值，则实数b满足5T W b<94-，解得乎三b<27.故实数b的取值范围为3.函数y=也cosx的值域是[—1 , 1].2 + sinx解析：2y+ ysinx = 3cosx, ysinx—3cosx = —2y,得y2+ 3sin(x + —2y—2y<^ = -yz^3，则匕齐^|W 1,解得—1W y W 1.■15 27).2，2 丿()))=—2y, sin(x +4.函数f(x) = sinx+ cosx+ sinx •osx 的值域是—1,x + n 则t € [ —^2^2], t2= 1 + 2sinxcosx,则sinxcosxt? —1 t?—1 12 1 2 —厂，贝U f(x) = sinx + cosx + sinxcosx = t + 厂=?(t + 2t —1) = ^(t + 1) — 1.因为一.2 解析：令t = sinx+ cosx = ■2sin xW t W 2 所以f(x) € [ —1 , 2 + 1.反思搐遺1.求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：①形如y = asin x + bcos x + c的三角函数化为y = Asin（3汁$卅k的形式，再求值域（最值）；②形如y = asin2x + bcos x + c的三角函数，可先设sin x= t，化为关于t的二次函数求值域（最值）;③形如y = asin xcos x + b（sin x ±os x）+ c的三角函数，可先设t = sin x ±os x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.2•你还有哪些体悟，写下来:。
十一种类型的三角函数最值问题(附题目详解)
十一种类型的三角函数最值问题1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx ∣≤1,∣cosx ∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A ≠0, φ≠0)的函数最值.例:已知函数y=12 cos 2x+32 sinxcosx+1,x ∈R,当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.2.反函数法 例:求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c bx a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。
3.配方法—---转化为二次函数求最值例：求函数y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1的最值.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
例：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
5. 利用数形结合 例： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。
解：6、换元法例：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.7. 利用函数在区间内的单调性8. 例： 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
[分析] 此题为xax sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。
高中数学学案：三角函数的最值问题
高中数学学案:三角函数的最值问题1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域．2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题.1. 阅读:必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页．2. 解悟:①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？3. 践习:在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题.基础诊断1. 函数f(x)＝sin x,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为3]__． 解析:因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6),所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]．3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__．解析:f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1, 所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2.4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x范例导航考向❶ 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值例1 已知函数f(x)＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2) 求f(x)的最大值和最小值．解析:(1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2) f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－73,x ∈R. 因为cos x ∈[－1,1],所以当cos x ＝－1时,f (x )取最大值6；当cos x ＝23时,f (x )取最小值－73.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210,A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. (1) 求cos A 的值；(2) 求函数f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x 的值域．解析:(1) 因为π4<A <π2,且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210, 所以π2<A ＋π4<3π4,cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210, 所以cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4 ＝－210×22＋7210×22＝35.(2) 由(1)可得sin A ＝45,所以f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32,x ∈R. 因为sin x ∈[－1,1],所以当sin x ＝12时,f (x )取最大值32；当sin x ＝－1时,f (x )取最小值－3.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 考向❷ 形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的三角函数的最值例2 已知函数f(x)＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1) 求当函数f(x)取得最大值时,x 的取值集合；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时,求f(x)的值域． 解析:(1) 因为f(x)＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝2cos x(12sin x ＋32cos x)－3sin 2x ＋sin x·cos x ＋1＝2sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2(12sin 2x ＋32cos 2x)＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. 由2x ＋π3＝2k π＋π2,k ∈Z,可得x ＝k π＋π12,k ∈Z,所以函数f (x )取得最大值时,x 的集合为{x |x ＝k π＋π12,k ∈Z}．(2) 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12,得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2, 所以32≤sin(2x ＋π3)≤1,所以3＋1≤f (x )≤3,故f (x )的值域为[3＋1,3]．【注】 对于三角函数最值问题,通常将表达式化为形如y ＝Af (ωx ＋φ)＋B 的形式,确定变量x 取值的集合通常由等式ωx ＋φ＝2k π＋θ,k ∈Z 解出x .已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋2cos 2ωx －1(ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12上的最大值和最小值． 解析:(1) 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋2cos 2ωx －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2ωx cos π6－cos2ωx sin π6＋cos2ωx ＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6, 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π,解得ω＝1.(2) 由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为0≤x ≤7π12,所以π6≤2x ＋π6≤4π3,所以当2x ＋π6＝π2,即x ＝π6时,f (x )取得最大值为1；当2x ＋π6＝4π3,即x ＝7π12时,f (x )取得最小值为－32.【变式题】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos x . (1) 求f (x )的最大值,并写出当f (x )取得最大值时,x 的集合；(2) 若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝335,求f (2a )的值． 解析:(1) f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3, 所以f (x )max ＝ 3. 此时,x ＋π3＝2k π＋π2,k ∈Z,即x ＝2k π＋π6,k ∈Z.故当f (x )取得最大值3时,x 的集合为{x |x ＝2k π＋π6,k ∈Z}．(2) 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin(α＋π2)＝335, 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35, 所以cos α＝35,sin α＝45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2, 所以f (2α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2α＋32cos2α ＝3[12×2sin αcos α＋32×(2cos 2α－1)] ＝3×[12×2×45×35＋32×(2×925－1)]＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1225－7350＝243－2150. 考向❸ 三角函数最值问题常见的其他函数形式例3 (1) 已知x ∈(0,π),求函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值；(2) 已知θ∈(0,π),求函数y ＝3sin θ1＋3sin 2θ的最大值； (3) 求函数y ＝(sin x －2)(cos x －2)的最大值与最小值．解析:(1) 设sin x ＝t(0<t ≤1),则原函数可化为y ＝t ＋2t ,在(0,1]上为减函数, 故当t ＝1时,y min ＝3.(2) 因为θ∈(0,π),所以sin θ∈(0,1],y ＝31sin θ＋3sin θ≤323＝12,当且仅当sin θ＝33时等号成立,故y max ＝12.(3) 原函数可化为y ＝sin x cos x －2(sin x ＋cos x)＋4,令sin x ＋cos x ＝t(|t|≤2),则sin x cos x ＝t 2－12,所以y ＝t 2－12－2t ＋4＝12(t －2)2＋32.因为对称轴为直线t ＝2∉[－2,2],且函数在区间[－2,2]上是减函数,所以当t ＝2,即x ＝2k π＋π4(k ∈Z)时,y min ＝92－22；当t ＝－2,即x ＝2k π－3π4(k ∈Z)时,y max ＝92＋2 2.【注】 (1) 直接利用三角函数的有界性,并直接利用基本不等式去求解．(2) 首先是对分数函数的一般的处理方式,然后回到(1)的步骤去解决．y ＝sin x ＋a sin x 型三角函数求最值,当sin x >0,a >1时,不能用均值不等式求最值,适宜用函数在区间内的单调性求解．(3) 含有“正、余弦三姐妹”,即含有sin x ±cos x ,sin x cos x 的函数的最值问题,常用的方法是令sin x ±cos x ＝t ,|t |≤2,将sin x cos x 转化为关于t 的函数关系式,从而转化为二次函数的最值问题,在转化过程中尤其要注意新变量t 的范围的确定．【变式题】(1) 求函数y ＝2－sin x sin x ＋2的最小值； (2) 若0<x <π2,求函数y ＝(1＋1cos x )(1＋1sin x )的最小值．解析:(1) y ＝4－2－sin x sin x ＋2＝4sin x ＋2－1≥13, 所以最小值为13.(2) y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin x ＝1＋sin x ＋cos x ＋1sin x cos x ,令t ＝sin x ＋cos x ,t ∈(1,2],则sin x cos x ＝t 2－12,所以y ＝1＋t ＋1t 2－12＝t 2＋2t ＋1t 2－1＝t ＋1t －1＝1＋2t －1, 由1<t ≤2,得y ≥3＋22,所以函数的最小值为3＋2 2.自测反馈1. 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值是__－1__．解析:因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ,所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.因为x ∈R,所以y min ＝－1. 2. 函数y ＝sin π3x 在区间[0,b]上恰好取得2个最大值,则实数b 的取值范围是__⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，272__． 解析:因为函数y ＝sin π3x 的周期为2ππ3＝6,函数y ＝sin π3x 在区间[0,b]上恰好取得2个最大值,则实数b 满足5T 4≤b<9T 4,解得152≤b<272.故实数b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，272. 3. 函数y ＝3cos x 2＋sin x的值域是__[－1,1]__． 解析:2y ＋y sin x ＝3cos x,y sin x －3cos x ＝－2y,得y 2＋3sin (x ＋φ)＝－2y,sin (x ＋φ)＝－2y y 2＋3,则|－2y y 2＋3|≤1,解得－1≤y ≤1. 4. 函数f(x)＝sin x ＋cos x ＋sin x·cos x 的值域是⎦2． 解析:令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4,则t ∈[－2,2],t 2＝1＋2sin x cos x,则sin x cos x ＝t 2－12,则f(x)＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ＝t ＋t 2－12＝12(t 2＋2t －1)＝12(t ＋1)2－1.因为－2≤t ≤2,所以f(x)∈[－1,2＋12]．1. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的形式,再求值域(最值)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数,可先设sin x ＝t,化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数,可先设t ＝sin x±cos x,化为关于t 的二次函数求值域(最值).2. 你还有哪些体悟,写下来:。
三角函数求值域专题
三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
三角函数的有界性
a 4 因此 b 3
例3：要使 sin 3 co s 意义，则应满足（）
A .m 7 3
4m 6 4m
有
B .m 1
7 3
C .m 1 或 m
D. 1 m 7 3
例3
3
因此 2
解析: 由于 sin 3 cos 2 sin( ) 3 4m 由 2 2 s in (
例2:
解析: 由于 1 co s x 1 (1)当
a 0 时最大值为 a b
,
最小值为
a b
a b 7 由 a b 1 a 4 解得 b 3
(2)当
a 0 时最大值为 a b
b
,
最小值为 a
a b 7 由 a b 1 a 4 解得 b 3
三角函数的有界性函数的有界性函数有界性函数极限的局部有界性函数有界性的证明三角函数的图像与性质三角函数图像与性质三角函数性质三角函数的周期性三角函数的性质
三角函数的有界性
长治县六中 牛老师
三角函数是一种有界函数，其 有界性在解决值域，最值或取 值范围等问题时，起着重要作 用。
首先看下面几个例子：
例1：函数 y 的最大 2 sin x co s x 值是（）
作业:
(1).
y 1 3
求下列函数的值域
s in x
2
3 3
cos x
x 0, 3
(2). y 2 sin x 3 sin x 1 1 3 s in x (3). y 5 2 cos x
(4). y
高三数学正弦定理试题答案及解析
高三数学正弦定理试题答案及解析1.在中，,则的面积等于___ __.【答案】【解析】由余弦定理得：.所以.【考点】解三角形.2.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求的值；（2）求的范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先利用等差中项的定义找出等量关系，再利用三角恒等变换化简求解；（2）先由（1）得，从而代入，转化为只含Ａ的三角函数，利用三角公式将其化为的形式，再注意到，进而转化成三角函数求值域问题求解．试题解析：（1）由正弦定理得，，即：，.又在中，，.（2），所以，的范围是．【考点】１．等差数列的性质；２．正弦定理；３．三角函数的图象和性质．3.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.【答案】150【解析】根据题意，在中，已知，易得：;在中，已知，易得：，由正弦定理可解得：，即：;在中，已知，易得：.【考点】1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用4.若的内角满足，则的最小值是 .【答案】【解析】由已知及正弦定理可得，，当且仅当即时等号成立．【考点】正弦定理与余弦定理．5.在△ABC中,2sin2=sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,则=____________.【答案】【解析】2sin2=sinA⇔1-cosA=sinA⇔sin=,又0<A<π,所以<A+<,所以A+=,所以A=.再由余弦定理,得a2=b2+c2+bc①将sin(B-C)=2cosBsinC展开,得sinBcosC=3cosBsinC,所以将其角化边,得b·=3··c,即2b2-2c2=a2②将①代入②,得b2-3c2-bc=0,左右两边同除以bc,得-3×-1=0,③解③得=或=(舍),所以==.6.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且c＝3，a＝2，a＝2bsin A，则△ABC的面积为________．【答案】【解析】由题意知，bsin A＝1，又由正弦定理得：bsin A＝2sin B，故解得sin B＝，所以△ABC的面积为acsin B＝．7.设函数f(x)＝cos＋2cos2，x∈R．(1)求f(x)的值域；(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝，求a的值．【答案】（1）[0,2] （2）1或2【解析】(1)f(x)＝cos xcos －sin xsin ＋cos x＋1＝－cos x－sin x＋cos x＋1＝cos x－sin x＋1＝sin＋1，因此f(x)的值域为[0,2]．(2)由f(B)＝1得sin＋1＝1，即sin＝0，又因0<B<π，故B＝．方法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2．方法二由正弦定理＝，得sin C＝，C＝或．当C＝时，A＝，从而a＝＝2；当C＝时，A＝，又B＝，从而a＝b＝1．故a的值为1或2．8.已知分别为三个内角A、B、C的对边，若,则=_________.【答案】【解析】【考点】正弦定理和余弦定理.9.设函数.（1）求的值域；（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据两角和的余弦公式展开，再根据二倍角公式中的降幂公式展开，然后合并同类项，利用进行化简；利用三角函数的有界性求出值域.(2)若,,得到角的取值，方法一：可以利用余弦定理，将已知代入，得到关于的方程，方法二：利用正弦定理，先求,再求角C,然后利用特殊三角形，得到的值.试题解析：（1）4分因此的值域为[0，2]. 6分（2）由得，即，又因，故. 9分解法1：由余弦定理，得，解得. 12分解法2：由正弦定理，得. 9分当时，，从而； 10分当时，，又，从而. 11分故a的值为1或2. 12分【考点】两角和的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、正弦定理.10.已知向量，设函数（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积的坐标表示，先计算，然后代入中，利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数解析式化为，然后利用复合函数的单调性和正弦函数的单调区间，求出函数的单调递增区间；（2）三角形问题中，涉及边角混合的式子，往往进行边角转换，或转换为边的代数式，或转换为三角函数问题处理．将利用正弦定理转换为，同时结合已知和余弦定理得，，从而求，进而求的值．试题解析：（1）令 6分所以所求增区间为 7分（2）由，， 8分，即 10分又∵， 11分 12分【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的图象和性质.11.的三个内角A，B，C所对的边分别为，则()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据正弦定理可知，即，所以，选B.12.在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=.（1）求sinA的值；（2）设AC=，求ABC的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）∵sin(C-A)=1且A，B，C为三角形之内角，∴C-A=，又C+A=-B，∴A=-∴sinA=sin(-)=(cos-sin)，∴sin2A =(cos2+sin2-2sin cos)即，又，∴（2）如图，由正弦定理得∴，又∴13.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)要得到的最小正周期,必须对进行化简,首先观察与之间的关系,可以发现,故利用诱导公式(奇变偶不变符号看象限)把,再利用正弦的倍角公式即可得到函数的最简形式,利用周期即可得到最小正周期.(2)把带入(1)得到的中,化简即可求的C角的大小,A角已知,所以可以求的C,A两个角的正弦值,利用正弦定理可得所求比值即为A,C两个角的正弦之比,带入即可求出.试题解析：（1）因为，所以函数的最小正周期为 6分（2）由（1）得，，由已知，，又角为锐角，所以，由正弦定理，得 12分【考点】诱导公式正弦定理周期正弦倍角公式14.在三棱锥中，，，，则与平面所成角的余弦值为.【答案】【解析】作PO⊥面ABC，垂足为O，连结AO，BO，CO，∴∠PBO是PB与面ABC所成的角，因，∴≌≌，∴AO=BO=CO，∴O是△ABC的外心，由正弦定理知，===12（R为△ABC外接圆半径），∴R=6，∴在Rt△POB中，∠BPO=30，∴∠PBO=，其余弦值为.【考点】1.正弦定理；2.线面角.15.已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）设△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，，，，求的值．【答案】(1) (2)【解析】(1)首先利用正弦和差角公式展开,再利用正余弦的二倍角与辅助角公式化简,得到,则从x的范围得到的范围,再利用正弦函数的图像得到的取值范围,进而得到的取值范围.(2)把带入第(1)问得到的解析式,化简求值得到角A,再利用角A的余弦定理,可以求出a的值,再根据正弦定理,可以求的B角的正弦值,再利用正余弦之间的关系可以求的A,B的正余弦值,根据余弦的和差角公式即可得到的值.试题解析：（1）.4分∵，∴，．∴． .7分（2）由，得，又为锐角，所以，又，，所以，． .10分由，得，又，从而，．所以， 14分【考点】三角形正余弦定理正余弦和差角与倍角公式正弦函数图像16.在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项．(1)求B的大小；(2)若a＋c＝，b＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）B＝（2）【解析】(1)由题意，得acosC＋ccosA＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC＋cosAsinC＝2sinBcosB，即sin(A＋C)＝2sinBcosB.∵A＋C＝π－B，0＜B＜π，∴sin(A＋C)＝sinB≠0.∴cosB＝，∴B＝.(2)由B＝，得＝，即＝，∴ac＝2.∴S＝acsinB＝.△ABC17.已知函数,的最大值为2．（1）求函数在上的值域；（2）已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查三角函数的最值问题、函数的单调性、正弦定理等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力.第一问，利用最大值为，可以解出m的值，利用两角和的正弦公式化简，根据函数定义域求的值域；第二问，利用第一问的表达式，化简，再利用正弦定理将角转化成边，由，从而得到的值.试题解析：（1）由题意，的最大值为，所以． 2分而，于是，． 4分在上递增．在递减，所以函数在上的值域为； 5分（2）化简得． 7分由正弦定理，得， 9分因为△ABC的外接圆半径为．． 11分所以 12分【考点】1.两角和的正弦公式；2.正弦定理；3.三角函数值域.18.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】由正弦定理,得sinBcosC+cosBsinC=sin2A,则sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和定理及互为补角的诱导公式,得sin(B+C)=sin2A=1,所以A=,故选A.19.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若B=2A,a=1,b=,则c等于()(A)2 (B)2 (C) (D)1【答案】B【解析】由正弦定理,得=,∵B=2A,a=1,b=,∴==,∵sinA≠0,∴cosA=得A=,B=,C=.∴c==2.故选B.20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()A．2+2B．+1C．2-2D．-1【答案】B【解析】由正弦定理知c==2.又sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,所以△ABC的面积S=bcsin A=+1.故选B.21.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，故，所以，由正弦定理可得，故选B.【考点】1.二倍角公式；2.正弦定理22.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝120°，c＝a，则() A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定【答案】C【解析】因为sin 120°＝sin A，所以sin A＝，则A＝30°＝B，因此a＝b23.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________．【答案】【解析】因为cos A＝，cos B＝，所以sin A＝，sin B＝.由正弦定理得，即，所以a＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝＋c2－2c，解得c＝ (负值舍去)．24.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别a，b，c，且a cos C，b cos B，c cos A成等差数列，则角B等于()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】由题意，得2b cos B＝a cos C＋c cos A，根据正弦定理可得2sin B cos B＝sin A cos C＋cos A sin C，即2sin B cos B＝sin(A＋C)＝sin B，解得cos B＝，所以B＝60°25.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于________．【答案】【解析】先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．由，且8b＝5c，C＝2B，所以5c sin 2B＝8c sin B，所以cos B＝.所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.26.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.(1)求cos A的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．【答案】（1）－（2）【解析】(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，∴cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.(2)由cos A＝－，0<A<π，得sin A＝，由正弦定理，有，所以，sin B＝.由题知a>b，则A>B，故B＝，根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量在方向上的投影为||cos B＝.27.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为______米．【答案】400【解析】如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得所以，得AD＝400 (米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理，可得AC2＝AD2＋CD2－2×AD×CD×cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为400米．28.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值．【答案】（1）A＝（2）【解析】(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝，(2)由S＝bc sin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sin B＝sin A，sin C＝sin A.∴sin B·sin C＝sin2A＝×＝.29.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝()．A．B．C．D．【答案】C【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC cos ∠ABC＝()2＋32－2××3cos ＝5.∴AC＝，由正弦定理得sin ∠BAC＝.30.已知函数f(x)＝sin x cos x＋cos 2x－，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1.(1)求角B的大小；(2)若a＝，b＝1，求c的值．【答案】（1）B＝，（2）c＝1【解析】(1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以f(B)＝sin ＝1，又∈，所以2B＋＝，所以B＝(2)法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B得c2－3c＋2＝0，所以c＝1，或c＝2.法二由正弦定理得sin A＝，所以A＝或A＝，当A＝时，C＝，所以c＝2；当A＝时，C＝，所以c＝1.31.类比正弦定理，如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角B-AA1-C，C-BB1-A，B-CC1-A的平面角分别为α，β，γ，则有________．【答案】＝＝【解析】根据正弦定理得＝＝，即＝＝，而AA1＝BB1＝CC1，且EF·BB1＝SBB1C1C，DF·CC1＝SAA1C1C，DE·AA1＝SAA1B1B，因此＝＝32.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°，∴AC＝3.由正弦定理，得＝＝.33.设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，,则的取值范围为（）.A．B．C．．D．【答案】A【解析】要求的范围，首先用正弦定理建立一个关系，，从而，因此我们只要确定出的取值范围，就可求出的取值范围了，，从而，又，，所以有，，所以．【考点】正弦定理，锐角三角形的判定．34.在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本小题的突破口主要是抓住条件可使用正弦定理，得到，然后利用三角函数即可求得；（2）本小题首先通过正弦定理把三边用角表示出来，，然后把周长的问题转化为三角函数的值域求解问题；当然本小题也可采用余弦定理建立三边之间的关系，然后根据基本不等式求得，再根据三角形中两边之和大于第三边可得，于是，又，所以求得周长范围为.试题解析：（1）由条件结合正弦定理得，从而，∵，∴ 5分（2）法一：由正弦定理得：∴，， 7分9分∵ 10分∴，即（当且仅当时，等号成立）从而的周长的取值范围是 12分法二：由已知：，由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）∴（，又，∴，从而的周长的取值范围是 12分【考点】1 正弦定理；2 余弦定理；3 基本不等式35.在中，角所对的边分别为满足，,, 则的取值范围是 .【答案】【解析】∵,∴，∴，∴为钝角，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，，∴.【考点】1.向量的数量积；2.余弦定理；3.正弦定理；4.三角函数的值域.36.已知中，角的对边分别为，且满足.（I）求角的大小；（Ⅱ）设，求的最小值.【答案】（I）；（Ⅱ）当时，取得最小值为0．【解析】（I）利用正弦定理或余弦定理，将已知式化为：，再利用三角函数相关公式（两角和的正弦公式、诱导公式等），结合三角形内角和定理将其化简，即可求得角的大小；（Ⅱ）由已知及平面向量的数量积计算的坐标公式，可得的函数关系式：．由（I），，从而，只需求函数的最小值即可．试题解析：（I）由正弦定理，有， 2分代入得. 4分即.． 6分，． 7分． 8分（Ⅱ）， 10分由，得. 11分所以，当时，取得最小值为0． 12分【考点】1．利用正弦定理、余弦定理解三角形；2．平面向量的数量积运算；3．三角函数的最值．37.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，＝（sinA，1），＝（cosA，），且∥．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）；（II）△ABC的面积为或.【解析】（1）根据向量平行的坐标运算解答；（2）由（1）得出角A的大小，利用正弦定理计算，计算角大小，然后利用三角形中计算角，根据三角形面积公式解答即可.试题解析：（1） 4分（2）由正弦定理可得，，或. 6分当时，； 9分当时，. 11分故，△ABC的面积为或. 12分【考点】平面向量的坐标运算、正弦定理、解三角形、三角形面积公式.38.的角的对边分别为，已知.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，,求的值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)先根据正弦定理将已知表达式：，全部转化为边的关系，然后根据余弦定理求出角的余弦值，结合特殊角的三角函数值以及三角形的内角求角；(Ⅱ)先根据三三角形的面积公式求出，然后根据余弦定理的变形，求得，将已知的与代入此式可解得.试题解析：（1）根据正弦定理，原等式可转化为：， 2分， 4分∴. 6分(Ⅱ)，∴， 8分， 10分∴. 12分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理及其变形；3.解三角形；4.三角形的面积公式；5.特殊角的三角函数值39.在中，角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求和的值.【答案】（1）；（2），；【解析】（1）本小题主要通过正弦定理得边角互化把条件转化为，然后利用余弦定理化简可得；（2）本小题通过展开得，然后根据正弦定理求得，.试题解析：（1）由正弦定理得由余弦定理得故 6分（2）故13分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.40.在中，角的对边分别为,,.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据已知条件，建立的方程组即可得解.（Ⅱ）应用余弦定理可首先.进一步应用正弦定理即得.试题解析：（Ⅰ）由和可得, 2分所以， 3分又所以. 5分（Ⅱ）因为,,由余弦定理可得 7分，即. 9分由正弦定理可得 11分， 12分所以. 13分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积.41.在△中，角的对边分别为，若，则等于.【答案】【解析】因为，，，所以，，由正弦定理得，.【考点】，三角函数同角公式，正弦定理.42.已知的三个内角满足，则角的取值范围是．【答案】.【解析】设的外接圆的半径为，则三个内角、、的对边分别为、、，由于，则有，即，故有，由余弦定理得，，当且仅当的时候，上式取等号，，，即角的取值范围是.【考点】正弦定理与余弦定理、基本不等式43.在中，内角的对边分别为．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）【解析】（I）由正弦定理，设则所以………………4分即，化简可得又，所以因此……………….6分（II）由得由题意，…10分……………………………………12分【考点】正余弦定理解三角形点评：正弦定理，余弦定理，，，两定理可以实现三角形中边与角的互相转化44.如图，在某港口处获悉，其正东方向20海里处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西据港口10海里的处，救援船接到救援命令立即从处沿直线前往处营救渔船.(Ⅰ) 求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）试问救援船在处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（已知）.【答案】 (Ⅰ) 接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里.（Ⅱ）救援船应沿北偏东的方向救援.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中的应用，注意方位角与计算的准确性，考查计算能力．（Ⅰ）：△ABC中，求出边长AB，AC，∠CAB，利用余弦定理求出BC，即可求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）△ABC中，通过正弦定理求出sin∠ACB的值，结合已知数据，得到∠ACB即可知道救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．解：(Ⅰ) 由题意得：中，，……………3分即，所以接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里. (6)（Ⅱ）中, ,,由正弦定理得即………9分，，故救援船应沿北偏东的方向救援. …………… 12分45.在中，，，则 ( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由正弦定理，，故B>A,所以或，选C46.在中，若，则角B为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以.47.在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则．【答案】【解析】因为由正弦定理可知，得到sinB=，由于b<a，因此48.（本小题满分14分）中，角A，B,C的对边分别是且满足（１）求角B的大小；（２）若的面积为为，求的值；【答案】(1). ⑵a＋c＝．【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的综合运用，求解边和角的关系，同时也考查了三角形面积公式的运用。
三角函数的定义域、值域和最值讲解
三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。
通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。
sinx换为cosx也可以。
③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。
④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。
⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。
cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。
或者转化成两点连线的斜率。
以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。
二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。
三角函数有界性在求最值中应用
浅谈三角函数有界性在求最值中的应用在中学数学中，求某些函数的最值或值域是经常遇到的问题，在这一问题上是大有技巧的，应用三角函数的有界性求某些函数的值域或最值是求最值问题中常用的方法，而且这种方法简便，易被学生们掌握，对提高学生的解题能力大为有益，下面略谈一下它在函数求值域或最值中的几点应用。
一、在三角函数求最值中的应用这种类型是较为常见的，它往往涉及的知识面较广，要利用的公式较多，有时还要结合图象，这就要求学生有较强的逻辑思维能力。
求三角函数最大值、最小值的题目十分繁多，但最终都可化为两种类型的求最值问题:y=asinx+b或者y=acosx+by=asinx+bcosx第一种类型的求值域或最值问题是一目了然的，可直接用三角函数的有界性sinx≤1，cosx≤1求得。
第二种类型的题目应先把它化成一个三角函数，即化为y=asinx+bcosx=sin（x+?渍），然后再利用三角函数的有界性求其值域或最值，下面我们通过几个例子来看这一类问题的解法。
例1.求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值。
分析:题中含有sin2x，3cos2x，使我们联想到把它化成统一的同名三角函数，使之成为二次函数型，然后求最小值，但本题还出现了2sinxcosx=sin2x，当我们变为同名函数后，自变量一个是x，另一个是2x，这样又行不通了，须再使用公式cos2x=进行降幂，使之成为asinx+bcosx型，而y=asinx+bcosx=sin（x+?渍），这样，通过三角恒等变形，就可利用三角函数有界性来求最值了。
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+sin（2x+）由此，当sin（2x+）=-1时，即2x+=2kπ-，x=kπ-π（k∈z），亦即x∈x｜x=kπ-π，k∈z时，函数有最小值2-。
上面的题目既要考虑到倍角公式，又要考虑到三角函数的有界性，否则就很难说了。
常见求三角函数值域的类型
常见求三角函数值域的类型教师在处理题目时，不要只是就题论题，要通过这个题目让学生学会分析问题的方法，通过练习总结解题规律及方法，通过练习总结解题规律及方法，如通过解题总结三角函数最值的方法，利用三角函数的有界性，通过换元把三角函数最值问题转化成一般函数求最值问题，但要注意换元后新变元的取值范围。
解题过程中体现了数学思想，教师注意引导学生分析解题思路。
正、余弦函数都是有界函数，求以x sin 、x cos 为未知数的三角函数的值域时，首先要关注其自身的取值范围，否则很容易出错。
对于三角函数的值域，常见求值域的类型： 一、)cos (sin b x a b x a y ++=或型例1：已知函数()x x f cos 31-=，求函数()x f 的值域。
解析：1cos 1≤≤-x31cos 3131+≤-≤-∴x∴函数的值域为[]31,31+-点评：利用三角函数的值域，需注意对字母a 讨论。
二、x b x a y cos sin +=型例2：已知函数()x x x f cos 3sin +=，求函数()x f 的值域。
解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πx x x x f∴函数的值域为[]2,2-点评：借助辅助角化成()ϕ++=x b a y sin 22的形式，利用有界性解决。
强调：(),cos ,sin cos sin 2222ba a xb a x b x a y +=++=+=ϕϕ其中22sin ba b +=ϕ三、c x x a y ++=sin sin 2型例3：已知函数()1cos sin 2+-=x x x f ，求函数()x f 的值域。
思路点拔：配成关于x cos 的二次函数再结合x cos 的有界性求解。
解析：()4921cos cos cos 21cos sin 222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=+-=x x x x x x f∴函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡49,0点评：化成同名三角函数，通过配方后转化为二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束。
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
3三角函数的值域与最值
三角函数的值域与最值【知识回顾】1. 辅助角公式的应用：y=()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。
2. 化二次或高次函数，如y=x x 2cos 2sin - 【基础练习】1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 ．2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ______．3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________．4.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 _____ ．5.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k(cosx －1)的最小值是 _____ ．6.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为________． 【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值．（2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．例3. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)，x∈R (其中A>0，ω>0,0<ϕ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)． (1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，π12]时，求f(x)的最值．例4．扇形AOB 的半径为1，中心角为60︒，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出最大值． ，ABORS PQ【反馈演练】1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于___________．2．已知函数()3s i n f x x =，3()sin()2g x x π=-，直线m x =和它们分别交于M ，N ，则=m a x MN _________．3．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是_____________．4．函数sin cos 2xy x =+的最大值为_______，最小值为________.5．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .6．已知函数11()(sin cos )|sin cos |22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 .7．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________．8．（1）已知(0,)θπ∈，函数y =的最大值是_______. （2）已知(0,)x π∈，函数2sin sin y x x=+的最小值是____________. 9．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ_____________ ． 10．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．11．若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.12．已知函数2()2sin sin 2f x x x =+．（1）若[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x 的集合；（2）若关于x 的方程2[()]()0f x f x a ++=在[0,]4π内有实根，求实数a 的取值范围.专题十二： 三角函数的值域与最值【知识回顾】3. 辅助角公式的应用：y=()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。
高中数学求值域的10种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。
例 1．求函数y x1的值域。
【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。
【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。
③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。
4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。
形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。
【分析】y x24x 2( x2)2 6 。
∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。
∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。
例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。
【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。
说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。
例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。
【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。
利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。
求三角函数值域的常见类型
图$
6 P7 O 6 R 7 O 5Q O $Q O 3 5Q O $: O 3 6 S 7 O 6 T 7 O 5: O $Q O 3 5: O $: O 3 解 设一间民房的底面面积为 O* 按题 意并利用 6 =7式得 G ; < !% :
O O O 由于 * ; < ! % : * ; < ! % : * O O O 3 $ 5 为常量 * 所以 O 故应选 T O与 % * . 3: O $: O 5 例U 6 年全国高考试题 7 已知斜三 3 , , V 棱柱 BC C D BD D D2 B3 3 3 的侧面 B 3 3 与底面 BC D 垂 直* WBC D: , ) M * C D: $ * BD : 且 BB3 F B3 $ K 5* D * BB3 : B3 D . 与底面 略 求侧面 BC D 6 3 7 H 6 $ 7 B3 BC C 3 所成的二面角 % 的大小 . 解 6 $ 7如 图 过 B3 点 作 底 面 5 * 由已 BC D的 垂 线 * 知条件知垂足 X 在 且 BX: X BD上 * D : K 5* JX BC 是 JB3 BC 在 底 面
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