高中数学学案52直线与圆锥曲线位置关系

学案52直线与圆锥曲线位置关系导学目标： 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．直线与椭圆的位置关系的判定方法(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．(3)直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①当a≠0，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程(1)AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的一条弦，M (x 0，y 0)是AB 的中点，则k AB ＝______，k AB ·k OM ＝________.点差法求弦的斜率的步骤是：①将端点坐标代入方程：x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1.②两等式对应相减：x 21a 2－x 22a 2＋y 21b 2－y 22b2＝0.③分解因式整理：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－b 2x 0a 2y 0.(2)运用类比的手法可以推出：已知AB 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的弦，中点M (x 0，y 0)，则k AB ＝________________.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的弦AB 的中点M (x 0，y 0)，则k AB ＝________.3．弦长公式直线l ：y ＝kx ＋b 与圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2或AB ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.自我检测1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是________．2．如果直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1没有公共点，则k 的取值范围是________________．3．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．4．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA→·OB→的值为________．5．经过抛物线y2＝4x焦点的直线l交抛物线于A、B两点，且AB＝8，则直线l的倾斜角的大小为________.探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点有一个公共点没有公共点变式迁移1 已知抛物线C的方程为x2＝12y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是________________．探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2 如图所示，直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 24＋y 2＝1交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S .(1)求在k＝0,0<b<1的条件下，S的最大值；(2)当AB＝2，S＝1时，求直线AB的方程．变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，离心率e＝3 2 .(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且PQ等于椭圆的短轴长，求m的值．探究点三求参数的范围问题例3直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2,0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．变式迁移3 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP→＋OQ→与AB→共线如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．函数思想例(14分)已知椭圆C 的方程为x 2a2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线为l 1，l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A ，B .(1)当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程及离心率；(2)求FAAP的最大值．【答题模板】解 (1)双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，两渐近线夹角为60°，又ba<1，∴∠POx ＝30°，∴b a ＝tan 30°＝33，∴a ＝3b .又a 2＋b 2＝22， ∴3b 2＋b 2＝4，[2分]∴b 2＝1，a 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1，∴离心率e ＝a 2－b 2a ＝63.[5分](2)由已知，l ：y ＝a b (x －c )与y ＝bax 联立，解方程组得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，ab c .[7分]设FAAP＝λ，则FA →＝λAP →，∵F (c,0)，设A (x 0，y 0)， 则(x 0－c ，y 0)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －x 0，abc －y 0，∴x 0＝c ＋λ·a 2c 1＋λ，y 0＝λ·ab c 1＋λ.即A ⎝⎛⎭⎪⎫c ＋λ·a 2c 1＋λ，λ·ab c 1＋λ.[10分] 将A 点坐标代入椭圆方程，得(c 2＋λa 2)2＋λ2a 4＝(1＋λ)2a 2c 2， 等式两边同除以a 4，(e 2＋λ)2＋λ2＝e 2(1＋λ)2，e ∈(0,1)，[12分]∴λ2＝e 4－e 2e 2－2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－e 2＋22－e 2＋3≤－2 2－e2·22－e2＋3＝3－22＝(2－1)2， ∴当2－e 2＝2，即e 2＝2－2时，λ有最大值2－1，即FAAP的最大值为2－1.[14分]【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．【易错点剖析】不能把FAAP转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝e4－e2e2－2不会求最值或忽视e2－2<0这个隐含条件．1．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知抛物线y 2＝4x ，则过点P (－1,1)与抛物线有且只有一个交点的直线的条数是________．2．(2009·重庆)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为________． 4．已知直线y ＝k (x ＋2) (k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若FA ＝2FB ，则k ＝________.5．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则AB的最大值为________．6．(2011·镇江模拟)若直线y ＝kx ＋1 (k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2t＝1恒有公共点，则t 的范围是_______________________________________________________________．7．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________． 8．(2010·全国Ⅱ)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若A M →＝M B →，则p ＝________.二、解答题(共42分)9．(14分)已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，求AB 的长．10．(14分)(2010·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e＝32，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB→＝4，求y 0的值．11．(14分)(2011·江西)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．学案52 直线与圆锥曲线位置关系 答案自主梳理1．(1)相交 相切 相离 (2)①相交 相切 相离 ②一个(3)②平行 一个 2.(1)－b 2x 0a 2y 0 －b 2a 2 (2)b 2x 0a 2y 0 py 0自我检测1．4 3 2.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 3.±344．－14 或34π课堂活动区例1 解题导引 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，2x 2＋3y 2＝6，得2x 2＋3(kx ＋2)2＝6，即(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48.当Δ＝72k2－48>0，即k>63或k<－63时，直线和曲线有两个公共点；当Δ＝72k2－48＝0，即k＝63或k＝－63时，直线和曲线有一个公共点；当Δ＝72k2－48<0，即－63<k<63时，直线和曲线没有公共点．变式迁移1 (－∞，－2)∪(2，＋∞)例2解题导引本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．解 (1)设点A 的坐标为(x 1，b )，点B 的坐标为(x 2，b )，由x 24＋y 2＝1，解得x 1,2＝±21－b 2，所以S ＝12b |x 1－x 2|＝2b 1－b 2≤b 2＋1－b 2＝1.当且仅当b ＝22时，S 取到最大值1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)． ①AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·164k 2－b 2＋14k 2＋1＝2. ②又因为O 到AB 的距离d ＝|b |1＋k 2＝2SAB ＝1， 所以b 2＝k 2＋1. ③将③代入②并整理，得4k 4－4k 2＋1＝0， 解得k 2＝12，b 2＝32，代入①式检查，Δ>0.故直线AB 的方程是：y ＝22x ＋62或y ＝22x －62或y ＝－22x＋62或y ＝－22x －62.变式迁移2 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，则c ＝3，c a ＝32.∴a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y 得关于x 的方程：5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，解得m 2<5.(*) 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－85m ，x 1x 2＝4m 2－15，y 1－y 2＝x 1－x 2，∴PQ ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2x 1－x 22＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－85m 2－165m 2－1＝2， 解得m 2＝158，满足(*)，∴m ＝±304.例3 解题导引 直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2－y 2＝1 (x ≤－1)得(k 2－1)x 2＋2kx ＋2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋81－k 2>0x 1＋x 2＝2k 1－k 2<0x 1x 2＝－21－k2>0，∴1<k < 2.设M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝k1－k2y 0＝y 1＋y 22＝11－k2设l 与y 轴的交点为Q (0，b )，则由P (－2,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1－k 2，11－k 2，Q (0，b )三点共线得b ＝2－2k 2＋k ＋2， 设f (k )＝－2k 2＋k ＋2，则f (k )在(1，2)上单调递减， ∴f (k )∈(－2＋2，1)，∴b ∈(－∞，－2－2)∪(2，＋∞)．变式迁移3 解 (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，＋∞.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP→＋OQ→＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，x1＋x2＝－42k1＋2k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 2.③而A(2，0)，B(0,1)，AB→＝(－2，1)．所以OP→＋OQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝2 2 .由(1)知k<－22或k>22，故没有符合题意的常数k.课后练习区1．3 ＝x3．2解析由抛物线y2＝4x知直线l2为其准线，焦点为F(1,0)．由抛物线的定义可知动点P 到直线l 2的距离与P 到焦点F (1,0)的距离相等，所以P 到直线l 1的距离与P 到焦点F (1,0)的距离之和的最小值为焦点F (1,0)到直线l 1的距离(如图)，则d ＝|4×1－0＋6|32＋42＝2. 6.[1,5)9．解 设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3，y ＝x ＋b消去y 得x 2＋x ＋b －3＝0，(4分)∴x 1＋x 2＝－1.于是AB 的中点M (－12，－12＋b )，且Δ＝1－4(b －3)>0，即b <134.(7分)又M (－12，－12＋b )在直线x ＋y ＝0上，∴b ＝1符合．(10分)∴x 2＋x －2＝0.由弦长公式可得AB ＝1＋12－12－4×－2＝3 2.(14分)10．解 (1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(2)由(1)可知A (－2,0)，且直线l 的斜率必存在．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由根与系数的关系，得－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，所以x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k1＋4k 2.设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k1＋4k 2)．(6分)以下分两种情况讨论：①当k ＝0时，点B 的坐标是(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)．由QA →·QB →＝4，得y 0＝±2 2.(8分)②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线的方程为 y －2k 1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2)．令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2.由QA →＝(－2，－y 0)，QB→＝(x 1，y 1－y 0)，QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－22－8k 21＋4k 2＋6k 1＋4k 2(4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2)＝416k 4＋15k 2－11＋4k 22＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147.所以y 0＝±2145.(13分)综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.(14分)11．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，(4分)可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(7分)(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24. ①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB→，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.(10分)又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.(12分) 由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c ) ＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. (14分)。