高一数学抽象函数

高一数学抽象函数

一课前预习：

1． 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )

2．设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(2017)的值。

3．设函数f （x ）对任意都有f （=f （，

已知f （1）=2，求f （

4. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？

二【典型例题】

例1、(1)定义在R 上的奇函数f(x),在区间[a,b],(0

求证：函数f(x),在区间[-b,-a]上的最小值为-M.

(2) 定义在R 上的奇函数f(x),在区间[a,b],(0

求证：函数f(x),在区间[-b,-a]上也单调递增.

例2、已知不恒为零的函数)(x f 对任意实数y x ,都满足()()()f x y f x f y +=+,判断)(x f 的奇偶性并证明.

⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21

,0,21x x )21x x +)()21x f x ⋅);41(),21f

变式：已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数，，恒有

f ()=f ()+f (),试判断f (x )的奇偶性。

例3、已知函数)(x f 是定义在[]4,4-上奇函数，且在[]4,4-单调增．若0)3()1(<-++a f a f ，求实数a 的取值范围．

例4、已知函数f(x)的定义域为(0,)+∞，当x>1时，f(x)>0，且f(xy)=f(x)+f(y)

（1）求f(1)

（2）证明f(x)的定义域上是增函数

（3）如果1()3f = - 1，求满足不等式1()(

)22f x f x -≥-的x 的取值范围。

课后练习：

1、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x 轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是 ．

2、已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意的正数d ，都有()()f x d f x +<，求满足(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 。

3、已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y)，且当x ＜0时，f （x ）＞1， 求证：（1）当x ＞0时，0＜f （x ）＜1；（2）f(x)在x ∈R 上是减函数.

4、已知函数f(x)的定义域为（0，+∞），对任意正实数x 、y 均有()()()x f f x f y y

=-，且当x>1时f(x)>0，判断函数f(x)的单调性并说明理由. 1x 2x 1x 2x 1x 2x

5、若()

f x

满足：

()()()2

f x y f x f y

+=+-

，且

x>

时，

()2>

x

f，求证：()x f在R上为增函数；

6、设f(x)是定义在(0,)

+∞上的单调增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1，求：

（1）f(1)

(2)若f(x)+f(x-8)≤2，求x的取值范围。

7、定义在R上的函数y=f(x),f(0)0

≠,当x>0时，f(x)>1，且对任意的实数a,b，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）证明：f(0)=1

（2）证明，对任意的实数x，恒有f(x)>0

（3）证明f(x)是R上的增函数