专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题(解析版)
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值．【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．（2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率e =且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点(22,1).（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．（2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围.5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率； (Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 .6. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值.7．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆短轴的一个顶点，并且12PF F ∆是面积为1的等腰直角三角形. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1:1l x my =+与椭圆E 相交于,M N 两点，过M 作与y 轴垂直的直线2l ，已知点3(,0)2H ,问直线NH 与2l 的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.8．（2020·江西高三）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点1)2-.（1）求椭圆C 的方程.（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使当12k k λ=时，AOB ∆的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.9．（2020·甘肃省岷县第一中学期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.10．（2020·江苏高三期末）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ 的周长； （2）求1PF M 面积的最大值.11．（2020·河南高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于M ，N 两点.（1）证明：当229a b +取得最小值时，椭圆C . （2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.12．（2020·四川高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.13．（2020·内蒙古高三）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.14．（2020·河北高三期末）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0)，四条直线x a =±，y b =±所围成的区域面积为（1）求C 的方程；（2）设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，设弦AB 的中点为M ，且1||||2OM AB =（O 为原点），求直线l 的方程.15．（2020·山东高三期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2Q ⎛ ⎝⎭满足：122QF QF a +=.已知直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点2F ，且222AF F B =，求直线l 的方程；（3）若直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t （0t >），且AB 中点的横坐标等于23，证明：符合题意的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标.16．（2020·安徽高三）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点(1,1)M 离心率为2.（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值.17．（2020·福建省福州第一中学高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为y x =截圆O ：222x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2，椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为A .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点()00,B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC分别交x 轴于点M ，N .试判断OM ON ⋅是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.18．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭是椭圆上的点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.19．（2020·甘肃高三期末）设椭圆2222:1y x C a b +=(0)a b >>的离心率是2，直线1x =被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当MAB △的面积最大时，求直线l 的方程.20．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，F 为椭圆C 的右焦点，2D ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，C 的离心率2e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究||||PF MN 是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.21．（2020·青海高三期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，（1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论22．（2020·四川高三期末）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足直线AP 与BP 的斜率之积为34-.记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)若M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.23．（2020·山西高三期末）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，M 是椭圆C 上一点，当112MF F F ⊥时，有213MF MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点，试问在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由.专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，PF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,2P c ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭，b =则有222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OM =AB12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，详见解析.【解析】（1）抛物线2y =的焦点为，则c =椭圆C 的离心率c e a ==2222,1a b a c ==-=. 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）方法一：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，易知0t ≠，设直线l 的方程为(1)y k x t =-+， 代入椭圆方程并化简得22222(14)(88)48440k x kt k x k kt t ++-+-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212288214kt k x x k -+=-=+，解得14k t =-. 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-.令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有221114x y +=，222214x y +=，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y +-++-=.由线段AB 的中点为(1,)M t ，则12122,2x x y y t +=+=， 故直线l 的斜率121214y y k x x t-==--.因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-. 令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值． 【答案】（1）2212x y +=；（2）19.【解析】（1）根据条件有22222{13124a b a b=+=，解得222,1a b ==，所以椭圆22:12x C y +=． （2）根据12AM AB =，12CN CD =可知，,M N 分别为,AB DE 的中点， 且直线,AB DE 斜率均存在且不为0，现设点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1x my =+，不妨设0m >， 联立椭圆C 有()222210m y my ++-=， 根据韦达定理得：12222m y y m +=-+，()12122422x x m y y m +=++=+， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，MF =，同理可得12NF m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 所以MNF ∆面积2112142MNFm m S MF NF m m ∆+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，现令12t m m =+≥， 那么21124294MNF t S t t t∆==≤++，所以当2t =，1m =时，MNF ∆的面积取得最大值19． 【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）169【解析】（1）依题意画出下图可设2(,)b P c a-，(,0)A a ，(0,)B b ，则有：22221122OPAB POB b b k k ac a S bc b c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，Ⅰ椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）Ⅰ当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===； Ⅰ当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程2212x y +=，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=， Ⅰ12222k y y k +=+，12212y y k -=+， ⅠMN==)2212k k +=+，同理)22221111122k k ST k k⎫+⎪+⎝⎭==++， Ⅰ12S MN ST =()()()22228112221k k k +=++()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+，当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立， 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =．方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，由条件知直线MN 的斜率为12121y y x x -=-，直线OP 的斜率为121212y y x x +=-+，而22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+--===---+，即222a b =， 又左焦点为()1,0F -，所以22222221c a b b b b =-=-==，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线CD 的方程为1x my =-，记C ，D 过标为()11,x y ，()22,x y ，则1121212S AF y y y y =⋅-=-，2121212S BF y y y y =⋅-=-， 所以2112S S y y -=-.联立方程，22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，12y y -==，令21tm =+，则1t ≥，且()()()2222818882122122m tt mt t+==≤=+++++，当且仅当1t =时等号成立， 所以2112S S y y -=-21S S -.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b ab +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y+=；（2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时，MN =OMDN的面积为122=同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k∴+=++=+，12MN x x =-==，点O 到直线MN的距离d =，由OM OC OD +=，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k =+=+， 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为1222OMDN OMNS S MN d ∆==⨯⨯=()222121k k +====+故四边形OMDN . 【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【答案】（Ⅰ）2241x y +=;（Ⅰ）（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）12S S 的最大值为94，此时点P的坐标为1,)24【解析】（Ⅰ=，解得2a b =． 因为抛物线的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,2a b ==，所以椭圆的方程为2241x y +=．（Ⅰ）（1）设2,(0)2m m P m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =可得y x '=，所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为2()2m y m x m -=-，即22my mx =-． 设()()()112200,,,,,A x y B x y D x y ，联立方程组2222m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理可得()223441410m x m x m +-+-=，故由其判别式>0∆可得0m <<3122441m x x m +=+， 故312022241x x m x m +==+,代入22m y mx =-可得()202241m y m =-+， 因为0014y x m =-，所以直线OD 的方程为14y x m=-． 联立14y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得点的纵坐标为14y =-，即点M 在定直线14y =-上． （2）由（1）知直线l 的方程为22m y mx =-，令0x =得22m y =-，所以20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2322212,,,0,,2241241m m m P m F D m m ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2111||124S GF m m m ==+，()()22202211||2841m m S PM m x m +=⋅-=+， 所以()()()221222241121m m S S m ++=+，令221t m =+，则1222(21)(1)112S t t S t t t -+==-++， 因此当112t =，即2t =时，12S S 最大，其最大值为94，此时2m =满足>0∆，所以点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，因此12S S 的最大值为94，此时点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率2e =，且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）解：因为圆221x y +=过椭圆C 的上、下顶点，所以1b =.又离心率2e ==，所以21314a -=，则24a =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：椭圆221:1164x y C +=，当直线l 的斜率不存在时，这时直线l 的方程为2x =±，联立2221164x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩，得y =||MN =则12||2OMN S MN ∆=⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418410k x kmx m +++-=，由0∆=，可得2241m k =+. 联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418440k x kmx m +++-=.设()11,,M x y ()22,N x y ，所以1228,41km x x k +=-+()21224441m x x k -=+，则||MN ==.因为原点到直线l的距离d ==1||2OMNS MN d =⋅=. 综上所述，OMN ∆的面积为定值方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.【答案】（1）22182x y +=；（2）是，0. 【解析】（1）因为圆222x y +=过椭圆C的上，下顶点，所以b =又离心率2e =3a c =，于是有222b a a bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=； （2）由于直线l 的斜率为12，可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆C ：2248x y +=， 可得222240x tx t ++-=.由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t ∆=-->， 整理解得22t -<<设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点的对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-.若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则21211122AE AQ y y k k x x ---+=++-+()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-， 又Ⅰ1112y x t =+，2212y x t =+. 于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++--()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()12124x x t x x =-+--()()224240t t t =-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【答案】（1）2215y x +=；（2）[)8,+∞. 【解析】（1）由题意可知，设抛物线方程为：22x py =点在抛物线C 上，所以抛物线C 的方程为28x y =，所以椭圆的上焦点为(0,2)，所以椭圆的标准方程为2215y x +=；（2）设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在A 点处的切线的斜率114x k =，在B 点处的切线的斜率224x k =，又1212116x xk k ⋅==-，所以 22212188ABx x k x x -=-218x x +=,4m =212x x m +=，而12|||AB x =-===所以g()m =20m ≥，所以()8g m ≥.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．【答案】（1）22241x y +=（2）证明见解析【解析】由椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍得22a e =，即2a c =………..Ⅰ 设1122(,),(,)A x y B x y联立22221x y a b+=和4430x y -+=整理得222222239()0216a b x a x a a b +++-=； 所以2122232ax x a b +=-+， 依题意得：22232=1aa b--+，即222a b =……..Ⅰ· 由ⅠⅠ得依题意得：2211,24a b ==，所以椭圆C 的方程为22241x y +=.（2）设3344(,),(,)M x y N x y ，由223||||4OM ON +=得2222334434x y x y +++= 因为3344(,),(,)M x y N x y 在椭圆C 上，所以22332244241,241,x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩223412x x +=， 22223422342222343411(12)(12)44OM ON x x y y K K x x x x -⋅-⋅===222234342234112()4)1164x x x x x x -++=（ （2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2) (0,1)．【解析】(1)由已知得222222{2a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==ⅠC 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则Ⅰ22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y Ⅰ212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，Ⅰ2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得：214k =⇒12k =±.又由Ⅰ0>得：202m << 显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）设原点O 到直线l 的距离为d ,则1212OMNSMN d x ==-12== 故由m 得取值范围可得ⅠOMN 面积的取值范围为(0,1)【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，M 的坐标为62,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，最大值为．【解析】（Ⅰ）因为e =2223c a =，于是223a b .设椭圆C 上任一点，椭圆方程为，，=Ⅰ当，即时，（此时舍去；Ⅰ当即时，综上椭圆C 的方程为．（Ⅰ）圆心到直线l 的距离为221d m n=+，弦长，所以OAB ∆的面积为点,当时，由得综上所述，椭圆上存在四个点2⎫⎪⎪⎝⎭、⎛⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.【解析】（1）根据题意4a =8，∴a =2. 把y =x 代入椭圆方程x 24+y 2b 2=1得，x 2=4b 24+b 2， 因为直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427， 所以2√4b 24+b 2+4b 24+b 2=4√427，解得b 2=3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0)，由k 1k 2=−34，得3x 1x 2+4y 1y 2=0，当AB 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=−y 2，3x 12−4y 12=0，又3x 12+4y 12=12， ∴x 12=2，这时|OP |=√2.当AB 的斜率存在时，设直线AB:y =kx +m ，由得{3x 2+4y 2=12y =kx +m ：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 由Δ>0得m 2<4k 2+3Ⅰx 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，结合3x 1x 2+4y 1y 2=0得2m 2=4k 2+3≥3Ⅰ 由ⅠⅠ知m ≠0且m 2≥32，x 0=x 1+x 22=−2k m ，y 0=kx 0+m =32m ，∴|OP|2=x 02+y 02=4k 2m 2+94m 2=2m 2−3m 2+94m 2=2−34m 2≥32∴√2>|OP |≥√62综上|OP |的取值范围为[√62,√2]. 3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．【解析】（1）2212x y += （2）PM 的斜率不存在时， MN 的垂直平分线与x 轴重合，没有截距，故PM 的斜率存在. 设PM 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程 得： ()2212860k x kx +++=PM 与椭圆有两个不同的交点()()22841260k k ∴∆=-+⨯>，即232k >，即2k >或2k <-设()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点()0,0Q x y 则120002242,221212x x k x y kx k k +==-=+=++ MN ∴的垂直平分线的方程为222141212k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭∴在x 轴上的截距为222242121212k k kk k k -=-+++ 设()2212xf x x =-+，则()()()22222112x f x x-+'=， 232x ∴>时， ()0f x '>恒成立x ∴>()0;f x x <<<时()0f x <<MN ∴的垂直平分线在x 轴上的截距的范围是⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围. 【解析】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为(−√3,0)，所以点M 到两焦点的距离之和为√(2√3)2+(12)2+12=4.所以a =2.又因为c =√3，所以b =1，则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k OA +k OB =0，不符合题意. 故设l 直线的方程为y =kx +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0.所以{x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1, 而k OA +k OB =y 1x 1+y 2x 2=(kx 1+m )x 2+(kx 2+m )x 1x 1x 2=2k +m (x 1+x 2)x 1x 2=2k +−8km 24(m 2−1)=−2km 2−1，由k OA +k OB =−12，可得m 2=4k +1.所以k ≥−14，又因为16(4k 2−m 2+1)>0，所以4k 2−4k >0.综上，k ∈[−14,0)∪(1,+∞).5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率；(Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 . 【解析】（Ⅰ）因为a 2=4,b 2=2，所以a =2,b =√2,c =√2 所以离心率e =c a=√22（Ⅰ）设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)若k =12，则直线l 的方程为y =12x +1由{x 24+y 22=1y =12x +1 ，得3x 2+4x −4=0 解得 x 1=−2,x 2=23设A(0,1)，则 S ΔPBQ =12|AB|(|x 1|+|x 2|)=12×3×(23+2)=4（Ⅰ）法一： 设点C(x 3,y 3)，因为P(x 1,y 1)，B(0,−2)，所以{x 3=x 12y 3=−2+y 12又点P(x 1,y 1)，C(x 3,y 3)都在椭圆上，所以{x 124+y 122=1(x 12)24+(−2+y 12)22=1解得{x 1=√142y 1=−12 或{x 1=−√142y 1=−12 所以 k =−3√1414或k =3√1414法二：设C(x 3,y 3)显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y =k 1x −2 由{x 24+y 22=1y =k 1x −2， 得 (2k 12+1)x 2−8k 1x +4=0所以{Δ=16(2k 12−1)>0x 1+x 3=8k12k 12+1x 1x 3=42k 12+1又x 3=12x 1 解得{x 1=−√142k 1=−3√1414 或 {x 1=√142k 1=3√1414所以{x 1=−√142y 1=−12或 {x 1=√142y 1=−12所以k =3√1414或k =−3√14146. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值. 【解析】（I ）由2a =4，Ⅰa =2，e =√32，Ⅰc =√3，b =1所以椭圆方程为x 24+y 2=1（II ）设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2)，把y =kx +m 代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0 x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，∠AOB =90°，OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=0， x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=04k 2+4=5m 2，Δ=16(4k 2+1−m 2)>0 Ⅰ4k 2+1−m 2=4k 2+1−4k 2+45>0 Ⅰ16k 2+1>0，则|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−4k 2+454k 2+1=45√5⋅√16k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高考数学专题《椭圆》习题含答案解析
专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ） A B C ．D ．【答案】B 【解析】，选B ． 2.（2019·北京高考真题）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=235933e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则4y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得3x =，所以1,33A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=， 因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析． 【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =． 则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+，43-， ∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围. 【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b +（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-． 从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=． 再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤． 同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<， 故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+ 【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解 【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，而1AF ==∴10AM MF +≤当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为109．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】（1）由e =得：12c b a =，， 又点(21)A ，在椭圆上， 所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =， 因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-， 与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD = 10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △. 【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，① 又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>， 由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△. 即12F PF △.1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎣⎭【答案】C 【分析】练提升若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin baα=求椭圆离心率的范围. 【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 452b a α=≤︒=222a c ≤， ∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭． 故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠， ∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立， 在2AFF 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF e mnmn mn a+-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤． 故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.【答案】21 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率πcos 42c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1）2；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤故离心率最大值为2当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．【答案】2. 【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 解得112=+PF a a ，212=-PF a a ， 在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ， 整理得2221243=+c a a ， 所以22121134+=e e ，又221212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y ，所以点03⎫⎪⎝⎭H y由λ=HQ PH ，所以λ=HQ PH0⎛⎫=- ⎪⎝⎭HQ x y y ，0,0⎫=⎪⎭PH x又λ=HQ PH ，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x 所以00x y y ==由220014x y +=221=y 则点Q 221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥ 所以234e ≥，则e ≥，又1e < 所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得. 【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎭【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围. 【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ， 如图所示：A 、B 、C 、D 四点， 此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角， 所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==. 因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值． 【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y+=， 由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-， ∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6 综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足263MN OP =，求直线n 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x ，利用根与系数的关系，结合263MN OP =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率 【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ， 所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C ，原点O 到直线0bx cy bc +-=所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++. 因为263MN OP=，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-， 即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）练真题A．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 4.（2019·全国高考真题（文））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>. （1）证明：3ab ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】（1）c e a ===b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得b > 设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y = 所以，直线l0y --=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++ ()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。
2020高考数学最后十天压轴题 专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题(解析版)
典例 1
【山东省济南市
2018
届高三上学期期末考试】已知点 P 2,1 在椭圆 C :
x2 a2
y2 2
1a
0 上，
动点 A, B 都在椭圆上，且直线 AB 不经过原点 O ，直线 OP 经过弦 AB 的中点. （1）求椭圆 C 的方程和直线 AB 的斜率； （2）求 PAB 面积的最大值.
【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量 积为 0 处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理． 【 举 一 反 三 】【 山 东 省 恒 台 第 一 中 学 2019 届 高 三 上 学 期 诊 断 性 考 试 】 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 椭 圆
专题三 压轴解答题
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题
【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及 与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个 问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值 问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据 具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何 与其他数学知识的密切联系．
【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点
问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜
率；二是利用韦达定理，舍尔不求．
【举一反三】（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆 :
高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题
（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过 A2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点
P
、Q
，O
为原点，且有直线 OP
、 OQ
斜率满足
kOP
kOQ
1 2
，
求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为 M x1，y1， N x2，y2 ，线段 MN 的中点 Rx，y，则
示椭圆．
例 2、已知 x2 sin y2 cos 1 (0 ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求 的取值
范围．
解：方程可化为 x2 y2 1．
1
1
sin cos
因为焦点在 y 轴上，所以 1 1 0 ． cos sin
因此 sin
0 且 tan
1
从而
(
,
3)．
24
说明：(1)由椭圆的标准方程知 1 0 ， 1 0 ，这是容易忽视的地方．
由题意可知椭圆方程为 x2 y2 1， 36 9
设 AF1 m ， BF1 n ，则 AF2 12 m ， BF2 12 n ．
在 AF1F2 中，
AF2
2
AF1 2
F1F2
2 2 AF1
F1F2
cos
3
，
即 (12 m)2 m2 36 3 2 m 6 3 1 ； 2
∵ P(4 , 2) 为 AB 中点，
∴ 4 x1 x2 4k(4k 2) ， k 1 ．
2
4k 2 1
2
∴所求直线方程为 x 2 y 8 0 ．
方法二：（点差法）设直线与椭圆交点 A(x1 , y1) ， B(x2 , y2 ) ． ∵ P(4 , 2) 为 AB 中点，∴ x1 x2 8 ， y1 y2 4 ． 又∵ A ， B 在椭圆上，∴ x12 4 y12 36 ， x22 4 y22 36 两式相减得 (x12 x22 ) 4( y12 y22 ) 0 ， 即 (x1 x2 )(x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ． ∴ y1 y2 (x1 x2 ) 1 ．
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三压轴解答题第二关椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第(1) 问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第( 2)问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等•这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.【考点方向标】方向一中点问题典例 1 . (2020 •山东高三期末)已知椭圆2 _- 1a \ 2的右焦点为F , P是椭圆C上一点, 2PF x轴, PF(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线I与椭圆C交于A、B两点, 线段AB的中点为M , O为坐标原点，且OM2，求AOB 面积的最大值•【举一反三】(2020•河南南阳中学高三月考) 已知椭圆2 _b21(a b 0)的一个焦点与抛物线y243x的焦点重合，且椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线I交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为M (1,t)，直线m是线段AB的垂直平分线，求证: 直线m过定点，并求出该定点的坐标.方向二垂直问题（2）如图，过椭圆 C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线uuuv 1 uuv uuuv 1 uuvAM —AB ，DN —DE ，求 MNF 面积的最大值.2 2【举一反三】2 2（2020 吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C :务占1（ a b 0）的左焦点为F , P 是C 上一a b1点，且PF 与x 轴垂直，A , B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且 AB POP ，且 POB 的面积是-，其2中0是坐标原点• （1） 求椭圆C 的方程•（2） 若过点F 的直线h , 12互相垂直，且分别与椭圆 C 交于点M , N , S , T 四点，求四边形 MSNT 的 面积S 的最小值•方向三面积问题线与椭圆相交于 M , N 两点，点P 为线段MN 的中点，点0为坐标原点•当直线MN 的斜率为1时，直线1 0P 的斜率为2（1）求椭圆C 的标准方程；典例2. （2020 •安徽期末）已知椭圆2x ~2 a2721(b 0）的离心率e 2，且过点（丄2,上3） •2 2 2AB, DE 交椭圆分别于A, B,D, E ，且满足典例3. （2020 •安徽高三月考）已知椭圆 2 2E:十 1 a b 0的左焦点为Fa b1,0，经过点F 的直（1）求椭圆C 的方程;(ii )直线I 与y 轴交于点G ,记△ PFG 的面积为S 1,△ PDM 的面积为S ，求S1S 2的最大值及取得最大2 2(2020 •重庆高三月考)已知椭圆C :^- -y - 1 (aa b0)的离心率e—，且圆x 22y 1经过椭圆C(2)若点A 为椭圆的左顶点，点 B 为椭圆的右顶点，过 F 的动直线交该椭圆于 C , D 两点，记 ACD 的2 2r —C ：a b2 ia b 0的离心率e二，且椭圆过点习(1) 求椭圆C 的标准方程；(2)设直线|与C 交于 M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM 1 ON COD ，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由【举一反三】面积为S i ,BCD 的面积为S 2，求S 2 S i 的最大值.典例4. (2020河南高三月考)已知椭圆 (2020 •全国高三专题练习)平面直角坐标系2 2xOy 中，椭圆C :与笃 a b1 a > b >0 的离心率是-11，抛物2 线E : x 2 2y 的焦点F 是C 的一个顶点. (I)求椭圆C 的方程；(I)设P 是E 上的动点，且位于第一象限,E 在点P 处的切线|与C 交与不同的两点 A , B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点 M .(i )求证：点M 在定直线上 值时点P 的坐标.的上、下顶点 (1)求椭圆C 的方程;值(O 为坐标原点)方向四范围与定值问题过椭圆C 的上，下顶点 (1)求椭圆C 的方程.1(2)若直线|的斜率为1，且直线I 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为 E ,点A 2,1是椭2圆C 上一点，判断直线 AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.2典例6. (2020全国高三专题练习)已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆 岂 x 2 1的上焦点重合,a 2且过点(2「2,1). (1)求椭圆的标准方程;1(2)若抛物线上不同两点 A , B 作抛物线的切线，两切线的斜率k 1,若记AB 的中点的横坐标为 m ,k 2AB 的弦长g(m)，并求g(m)的取值范围【举一反三】2 2(2020全国高三专题练习(理))已知椭圆C :笃占 1 a b 0的长轴长是离心率的两倍，直线l :a 2b 214x 4y 30 交C 于A , B 两点，且AB 的中点横坐标为 一.2(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线I 与椭圆C 相切，且与椭圆C 14a 24b 21相交于M , N 两点，证明: VOMN 的面积为定典例5. (2020 内蒙古高三期末)已知椭圆C :b21a b 0的离心率e于，且圆x2 y2平方之积是定值.为互2(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设不过原点O 的直线I 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列, 求I OMN 面积的取值范围•【压轴选编】2 21. (2020全国高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C : A 占 1 ( a b 0)的离心a b率e . 2且椭圆C 上的点到点Q 0,2的距离的最大值为 3. (I)求椭圆C 的方程；(I)在椭圆C 上，是否存在点 M m,n ，使得直线I : mx ny 1与圆O : x 2 y 2 1相交于不同的两 点A 、B ，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的 OAB 的面积；若不存在，请说明 理由.?? ??2.【福建省龙岩市 2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆 +歹=1(??> ??> 0)的左、右焦 点分别为??,??,过点？?的直线与椭圆？交于？?,??两点，？?？???的周长为8,直线？?= ?被椭圆？截得的线段长*4用为〒(1 )求椭圆?的方程;(2)设？???是椭圆上两动点，线段???的中点为?????????的斜率分别为？？,？？(？?为坐标原点)，且4???? = -3 , 求|???的取值范围(2)若M , N 是椭圆C 上的点,O 为坐标原点，且满足 2OM2ON-，求证：OM , ON 斜率的4(2020 •四川石室中学高三月考(文)2 2)已知椭圆C:%厶 1(aa 2b 2b 0)的长轴长是短轴长的两倍，焦距2(1) 求椭圆方程；(2) 过点P 0,2的直线与椭圆交于 M 、N 两个不同的点，求线段 MN 的垂直平分线在 x 轴截距的范围.?? ??4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点??(^3,0)是椭圆？?钩+羽=1(??> ??> 0)的一1个焦点，点？？( V 3,2)在椭圆？上. (1) 求椭圆？?勺方程；1(2) 若直线？与椭圆？交于不同的？？？?两点，且?????+ ?????= - - ( ?为坐标原点)，求直线？斜率的取值范围椭圆？?交于不同的两点???? (I )求椭圆？?的离心率；(i )当？?= 2时，求？????的面积；(I )设直线???与椭圆？?的另一个交点为？？当？为???中点时，求？的值?? ?? ,36.【宁夏六盘山高级中学 2019届高三上学期期末考试】 已知椭圆???2 + ?? = 1(??> 0,??> 0)的离心率为三,长轴长为4，直线？?= ??????与椭圆？交于？??两点且/????为直角，？为坐标原点. (I)求椭圆？？勺方程； (I)求？??长度的最大值.7. ( 2020河南鹤壁高中高三月考)2 2已知椭圆E:笃占1(a b 0)的左右焦点分别为F 1,F 2 , P 是椭圆a b短轴的一个顶点，并且 PF 1F 2是面积为1的等腰直角三角形.(1) 求椭圆E 的方程；3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆2 2 xy 2,2ab1(a b 0)的离心率e 2，且经过点25.【北京市海淀区 2019届高三上学期期末考试】已知点?? ????(0,-2)和椭圆？？二 + y = 1.直线？???= ???? 1 与3(2)设直线11 : x my 1与椭圆E相交于M,N两点，过M作与y轴垂直的直线12，已知点H(—,0)，问2(2)求VPF 1M 面积的最大值直线NH 与12的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由2x8. ( 2020江西高三)已知椭圆 C : -Tab 21(a b 0)过点( .3, 1)，且它的焦距是短轴长的 (1)求椭圆C 的方程.(2)若A , B 是椭圆C 上的两个动点 A , B 两点不关于x 轴对称)，O 为坐标原点，OA , OB 的斜率分别为k i , k 2，问是否存在非零常数 ，使当kk时，AOB 的面积S 为定值？若存在，求的值;若不存在，请说明理由x 29.(2020甘肃省岷县第一中学期末) 已知椭圆C :二a0(0,0) , OAB 的面积为1. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：| AN | |BM |为 定值•古(a b 0)的离心率为于，A(a,0),B(0,b),2 210. (2020江苏高三期末)已知椭圆 C :务每 1(a b 0)的左右焦点分别为F i,F2，焦距为4,且椭 a b5圆过点(2,—)，过点F 2且不平行于坐标轴的直线I 交椭圆与P,Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线3PR 交x 轴于点M •(1 )求VPFQ 的周长;直的射线与椭圆 C 分别交于M ，N 两点. (2)若椭圆C 的焦距为2,是否存在定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明 理由.椭圆上异于A, B 的任意-一点，直线TA,TB 的斜率之积为 (1)求椭圆C 的方程；2 2 _14. (2020河北高三期末)设椭圆 C:% % 1 (a b 0)的一个焦点为 C'2,0)，四条直线x a , a by b 所围成的区域面积为(1 )求C 的方程；_ _ 1(2)设过D(0,3)的直线l 与C 交于不同的两点 代B ,设弦AB 的中点为M ，且|OM I ? I AB I ( O 为原11. (2020河南高三期末)已知椭圆x y a 2 b 23b 0过点1,-，过坐标原点O 作两条互相垂(1)证明：当a 2 9b 2取得最小值时，椭圆C 的离心率为2x12. (2020四川高三月考)已知椭圆 C:-rab 0的短轴顶点分别为 AB ,且短轴长为2,T 为2⑵设O 为坐标原点，圆O : x3的切线I 与椭圆 4C 相交于P,Q 两点，求△ POQ 面积的最大值.13. (2020内蒙古高三)已知椭圆b 0的离心率为丄6,以原点O 为圆心，椭圆C 的3长半轴长为半径的圆与直线 2x J2y0相切.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知点A , B 为动直线y0与椭圆C 的两个交点，问：在 x 轴上是否存在定点 E ,使得 Euu 2 E A A B 为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由点分别为A .(1)求椭圆E 的标准方程;1 )为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB , AC点),求直线I 的方程•15. (2020山东高三期末)已知椭圆1 ( a b 0)的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为F i 、满足:2a •已知直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;ujur (2)若直线I 过点F 2，且AF 2 unn2F 2B ，求直线I 的方程;(3)若直线I 与曲线y In x 相切于点T t,l nt (t 0)，且AB 中点的横坐标等于2―，证明：符合题意3的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标1(a b 0)过点M (1,1)离心率为求菱形ABCD 面积的最小值•17. (2020福建省福州第一中学高三开学考试)已知2 2O 为坐标原点，椭圆E :卑占 1 a a bb 0的焦距为2.3，直线y x 截圆O : x 2y 22a 与椭圆E 所得的弦长之比为-10，椭圆E 与y 轴正半轴的交2(2)设点 B x 0,y 0 ( y ° 0 且 y °QF i2 2(2)如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆 ，分别交x 轴于点M , N •试判断OM ON 是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由23 1b21（a b 0）过点P1,2，且离心率为2（1）求椭圆C 的方程;3（2）已知点Q 1, 2是椭圆上的点，A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A,B 运动时，满足APQBPQ ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由 •弦长为2 2 •（1） 求椭圆C 的方程；（2） 已知点M （1,「2），斜率为 2的直线I 与椭圆C 交于不同的两点 A , B ，当△ MAB 的面积最大时,求直线I 的方程•2 2C : X y 与 1(a b 0) , F 为椭圆C 的右焦点， a b（1） 求椭圆C 的标准方程；| PF |（2） 斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于M , N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究是| MN |18. （2020江西高三期末）已知椭圆19. （2020甘肃高三期末）设椭圆0）的离心率是—2，直线x21被椭圆C 截得的D 1,丄6为椭圆220. （2020江西高三期末）已知椭圆否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由离为2，(1 )试求椭圆M 的方程；1 3 (2)若斜率为一的直线|与椭圆M 交于C 、D 两点，点P(1, —)为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为K ，22直线PD 的斜率为k 2，试问：k 1 k 2是否为定值？请证明你的结论22. (2020四川高三期末)在平面直角坐标系中，已知点A( 2,0) , B(2,0)，动点P(x,y)满足直线AP 与BP 的斜率之积为3.记点P 的轨迹为曲线C .4(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；1⑵若M , N 是曲线C 上的动点，且直线 MN 过点D 0,，问在y 轴上是否存在定点 Q ，使得MQO NQO ?若存在，请求出定点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由2 22,0 ,F 2 2,0是椭圆 C ：a b1a b椭圆C 上一点，当MF 1 F 1F 2时，有MF 2 3MF 1 . (1)求椭圆C 的标准方程;使得 ATF 2 BTF 2恒成立？若存在，求出定点 T 的坐标，若不存在，请说明理由专题三压轴解答题21. (2020青海高三期末)已知椭圆a 2b 21(a b 0)的离心率为短轴的一个端点到右焦点的距23. (2020山西高三期末)已知 F 10的两个焦点,(2 )设过椭圆右焦点 F 2的动直线I 与椭圆交于A,B 两点，试问在x 铀上是否存在与 F 2不重合的定点T ,第二关椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、 导数相交汇，每个题一般设置了两个问， 第（1） 问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（ 2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等•这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知 识的密切联系.【考点方向标】 方向一中点问题面积的最大值【答案】 2(1)x82y1；(2)22.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为 2c c 0，由题知，点P c,2，b 2，则有c 2豆22 2c, ~1a3「 22 2 2，又 a b c 2 c , 42a 8 , c 26 ,2a22 2因此，椭圆C 的标准方程为 —1 ；8 2（2）当AB x 轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ,典例1. （2020 •山东高三期末）已知椭圆1 a .2的右焦点为F , P 是椭圆C 上一点,PF x 轴, PF(1) 求椭圆 C 的标准方程;(2) 若直线 I 与椭圆C 交于A 、 B 两点, 线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点，且OM J 2，求AOBOM 屉可得AB 逅，此时S AOB OM AB 灵;AB不垂直x轴时, 设直线AB 的方程为kx t，与椭圆交于 A x i,y i ,B X2, y2 ,x2 2y2kx 1，得 1 4k2 28ktx 4t 0.X i X28kt2，1 4k2x1x24t28，从而1 4k24 kt4k2'1t4k2已知OM .2，可得t22 1 4k2 21 16k2Q AB k2 2 4x1x2k28kt4k24t284k216 8k2t2 2224k2设O到直线AB的距离为d，则d2t2 1 k2S2AOB 16 8k2t221 4k2 2t2k2.将t22 1 4k216k2 16k2当且仅当P22—代入化简得S2AOB P，则S2AOB3时取等号,综上：AOB的面积最大,【举一反三】192k24k2 116k2 22 2192k 4k 12 21 16k12 p 1 P4-2P4.此时AOB的面积最大,最大值为2.(2020 •河南南阳中学高三月考) 已知椭圆2XC： Ta最大值为2.2& 1(a b 0)的一个焦点与抛物线 4.3x的焦点重合，且椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线|交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为M (1,t)，直线m是线段AB的垂直平分线，求证:直线m 过定点，并求出该定点的坐标.3综上所述，直线 m 过定点 ,0 .4方法二：显然点 M(1,t)在椭圆C 内部，故—3 t2当直线l 的斜率存在且不为0时，设A(X 1,yJ ， B(X 2,y 2)，2 2则有 M y 121，x2 y 21，44两式相减得―一空 (y 1 y 2)( y 1 y 2) 0.42【答案】(1)1 y 241 ；( 2)直线m 过定点3,0，详见解析•4【解析】(1)抛物线y4、,3X 的焦点为c.3,0)，则ca%2 ,3.椭圆C 的离心率eCa3，则 a 2,b 2a 22c 21.故椭圆C 的标准方程为 2x 2彳xr y1.(2)方法一：显然点 M (1,t)在椭圆C 内部，故■J 2 t 3，且直线 2I 的斜率不为0.当直线I 的斜率存在且不为 0时，易知t 0，设直线I 的方程为y k(x 1) t ，代入椭圆方程并化简得(12 2 2 2 24k 2 )x 2 (8 kt 8k 2)x 4k 28 kt 4t 20.设 Ag%)，B(X 2,y 2)，2nt[8kt 8k则 x 1 x 21 4k 22，解得k丄4t因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线 m: y t4t(x 1)，即 y t(4x 3).3令4x 3 0，此时x ,y40,于是直线m 过定点当直线I 的斜率不存在时，易知t 0，此时直线m:3，故直线m过定点訐.3，且直线l 的斜率不为0 .2由线段AB 的中点为M(1,t)，则x , x 22,y y 2 2t ,因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线 m: y t3 ,y 0，于是直线m 过定点43，故直线m 过定点 ,0 .4综上所述，直线 m 过定点 ,0 .4方向二垂直问题【答案】(1)且直线AB, DE 斜率均存在且不为0,现设点A x-], y 1 , B x 2, y 2 ,故直线l 的斜率k 生丄x 1 x 24t 4t(x 1)，即 y t(4x 3).令4x 30 ,此时x当直线l 的斜率不存在时, 易知 t 0，此时直线m : y2書1(abb 0)的离心率e 辽，且过点2f)-(2)如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线 AB, DE 交椭圆分别于 代B,D, E ,且满足uuuv 1 uuv AM -AB ,2uuu v DN1 uuu/ -DE , 2MNF 面积的最大值.【解析】(1) 根据条件有uuuu 1 uuu (2)根据 AM AB ,2a 21 2a 2uur CN 2b 2 32 4b，解得a 211 uuuCD 可知, 2 22x 2,b1，所以椭圆C ：—M ,N 分别为AB,DE 的中点, y 2 1 •典例2. (2020 安徽期末)已知椭圆(1)求椭圆C 的方程;直线AB 的方程为x my 1，不妨设m 0 ,联立椭圆C 有m 2 2 2my 1 0,根据韦达定理得：y 1 y 22m齐，为x 2 m…2 m m 2 2,m 2 2MF竺m 一1，同理可得NF2所以 MNF 面积SMNF!|MF 2NF1 m -m, 1 ' m - m一，现令2那么 SMNF t 4F4t 1 ~~2 t 所以当t 2, m1时, MNF 的面积取得最大值 【举一反三】 (2020 •吉林东北师大附中高三月考)已知椭圆 C : 2 x _2 a点，且PF 与x 轴垂直, A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且中0是坐标原点• (1)求椭圆C 的方程. (2)若过点F 的直线l 1, 12互相垂直，且分别与椭圆 C 交于点M面积S 的最小值. 2 I 答案】(1) f y2 1; (2)垃 9 b 2【解析】(1)依题意画出下图可设 P( c, —) , A(a,0) , B(0,b),a211 m 22AB POP 的左焦点为F ，P 是C 上一一1，且 POB 的面积是丄，其2T 四点，求四边形MSNT 的k ABb 2 ac则有: SPOBb 2c 2 1bc22abaa 、2，解得 b 1c 1 2 i 椭圆c 的标准方程为x 2 y 2 1； (2) i 当 11 x , J//X 时, S MSNT 2g2ag2^ 2b2 2； i 当11 ,I 2斜率存在时，设l i : x ky I 2: x 1y 1，分别联立椭圆方程 k y 2 1,联立 x 2 x2ky 1 得k 21 2 y 2 2ky i y 1y 2 2k 2，y 』21 ~2~ k2 21 MN ■■ k2 1 \ y 1 2y 24 y 1 y 22k k 2 24 k 2 22 2 k 2 k 2同理ST 2-2 丄 1 ___ k 2 丄 7 2.2 1 k 1 2k 2i S 1MNgST 2 28 k 21 2 1 2g k 2 2 2k 2 1 224 k 21 k2 2 2k 2 1212 2k 2 2k1)224 k 22 2 24(k 1) 9 k 2 1 2当且仅当k 2 2 2k 2 1 即 k 21 即 k 1时等号成立,故四边形MSNT 的面积S 的最小值S min16 912方向三面积问题2典例3. (2020 •安徽高三月考)已知椭圆 E ：仔aa b 0的左焦点为F 1,0，经过点F 的直线与椭圆相交于 M , N 两点，点p 为线段MN 的中点, 点0为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线1OP 的斜率为2(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点A 为椭圆的左顶点，点 B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于 C ，D 两点，记 ACD 的面积为3 , BCD 的面积为S 2，求S 23的最大值.2 所以椭圆E 的标准方程为—22【答案】(1)- 2y 21 (2)2【解析】(1 )设M x,y i , NX 2,y 2，则点PX , X 2 2宁，由条件知直线MN 的斜率为y i y 2 , 1,XX直线OP 的斜率为y , y 2X X 22X而a2 22X Lb 2y b 2，两式作差得，2 Xi2a2 X22 y 2b 2b 2所以二a 2X L 2 Xi2 y2 2 X2y 1 y 2 X-i X 2 又左焦点为1,0， 所以c 2y 1 y 2 X i-，即22b 2,b 2 2 22b b b 2(2)设直线CD 的方程为xmy 1 ，记C ， D 过标为 X 1,y 1 ， X 2,y 2 ，则 S , L |AF2y 1 y 2 y 1 y 2，y 1 y 2y i y 2，所以S 2 Sy 1 y 2.2 2【答案】（1） — — 1 ； （ 2）是定值，其定值为•' 6 •42ca22c c 0，由题意可得2 a2 a22 1 -2 1 ,解得 a 24，b 2 2，b b 2c 22 2因此，椭圆C 的标准方程为— 1 ；42（2）当直线|的斜率不存在时，直线 MN 的方程为x 1或x 1.联立方程,x 2 2y 22，消去x ，得 m 2 所以 y iy 2y iy 28 m 2 12所以 S 2 S 1典例 (1) (2) my2m m 2 28t t 1 2y 1 y 2y”24y i y 22 y 22my 1 0,1 m2 2 8 m 2122、、2，即 S4. （2020河南高三月考）已知椭圆求椭圆C 的标准方程;设直线I 与C 交于M 、N 两点,，令t2，当且仅当t2x c r a点D 在椭圆 C 上, 形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值; 1，则t i ，且1时等号成立,b 0的离心率O 是坐标原点，若 如果不是， 请说明理由e 2，且椭圆过点2,12uuu vOMONV ODV ，判定四边【解析】（1）设椭圆C 的焦距为12x 1x 1若直线I的方程为x1，联立x2y2，可得V6，一—1y4 22此时，MN晶，四边形OMDN的面积为丄苗2恵，2同理，当直线I 的方程为x 1时，可求得四边形 OMDN 的面积也为,6 ;当直线 I 的斜率存在时，设直线I 方程是y kx m , 代人到 2k 2 x 2 4kmx 2m 2 4 X i X 24 km 2， 1 2k x 1x 2 2m 2 4 1 2k 2 ' 2 8 4k 2 2y i y 2 k x i x 2 加半, 1 k 2 MN .i k 2 X i X 2 、i k 2 、 x i2x 24x 1x 22、〔2 一 4k 2 2 m 21 2k 2'点O 到直线MN 的距离d .1 k 2 ' 丄 uuun umr由 OM 0C OD ，得 XD X i X 2 4 km2k 2 1 y D y i y 22 ?2k Q 点D 在椭圆 C 上，所以有 4 km 1 2k 2 4 2m 1 2k 2，整理得2k 2c 22m ,由题意知，四边形 OMDN 为平行四边形, 平行四边形OMDN的面积为 S OMDN 2S OMN 2丄|MN2d 、i k 22.2 4k 2 2 m 2i 2k 2,i k 22 2 2 8k 4 2m 2 2k 2 1 8k 2 4 2k 21i 2k 2 2k 2 i 2k 2 1 -2 6 . 2k 1故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为 【举一反三】 （2020 •全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :£ i a > b >。
(完整版)椭圆定义与几何意义有关习题及答案
椭圆定义与几何意义习题及答案一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）2. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足12.0MF MF =u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ． 1(0,]2C ．(0,)2D ．[2 3. 已知椭圆1121622=+y x 的左焦点是1F ，右焦点是2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么 12:PF PF 的值为A ．35B ．12C ．56D ．534. 已知椭圆的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，M 是椭圆上一点，若021=⋅MF MF 8=，则该椭圆的方程是（ ） (A) 12722=+y x (B) 17222=+y x(C) 14922=+y x (D) 19422=+y x5. 设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=6. 椭圆22ax +22b y =1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈[12π,4π]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A ．[22,1 ) B ．[22,36] C ．[36，1) D ．[22,23] 7. 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 恰好是椭圆12222=+by a x ()0>>b a 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为 （A ）23-（B ）32（C ）12- （D ）36 8. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2212||||b MF MF =⋅，则椭圆离心率的范围是（ ） A ．]22,0( B ．)1,22[C ．)1,23[D ．)1,2[9. 设椭圆)0,0(12222>>=+n m n y m x 的右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为 （ ） A.1161222=+y x B.1121622=+y x C.1644822=+y x D.1486422=+y x 10. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2212||||b MF MF =⋅，则椭圆离心率的范围是（ ） A ．]22,0( B ．)1,22[ C ．)1,23[ D ．)1,2[二、填空题 (共4小题，每小题4分)11. 已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P 是C1与C2的一个公共点，12PF F ∆是一个以PF1为底的等腰三角形，1||4,PF =C1的离心率为3,7则C2的离心率为 。
高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)
圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点FI、F2的距离之和等于定长2a( 2a FIF2)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1 :在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和(记作2a)大于这两个定点之间的距离FIF2(记作2c)，否则点的轨迹就不是一个椭圆。
具体情形如下:(i)当2a 2c时，点的轨迹是椭圆；(ii)当2a 2c时，点的轨迹是线段FIF2;(iii)当2a 2c时，点的轨迹不存在。
注2 :若用M表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为MFI MF2 2a( 2a 2c,F1F2 2c)即MF i MF2 F1F2注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条,,, MF1 MF2 2a 工―r宀、r件： 1 2千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数椭圆。
、椭圆的标准方程(1) 焦点在X轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是(2) 焦点在y轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是e( 0 e 1)的点的轨迹叫做Xb2b 0);2注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在X 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。
长半轴跟X 走，椭圆的焦点在 X 轴；长半轴跟y走，椭圆的焦点在 y轴。
（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。
若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设2 2 2 2X y Iy X I其方程为^b（a b 0）或（a b 0）;若题目未指明椭圆的焦2 2 λ点究竟是在 X 轴上还是y轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 mX ny 1(m 0，n O ,且 m n )三、椭圆的性质2X-2以标准方程a对称性：关于X 轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称;长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c；(1) 范围：a）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。
对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。
若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。
同学们想一想 其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。
椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。
专题17 解析几何中的椭圆问题(解析版)
专题17 解析几何中的椭圆问题【高考真题】1．(2022·全国甲文) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为( ) A ．2211816x y += B ．22198x y += C ．22132x y += D ．2212x y +=1．答案 B 解析 因为离心率22113c b e a a==-，解得2289b a =，2289b a =，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b ，所以12(,),(,)BA a b BA a b =--=-，因为121BA BA ⋅=-，所以221a b -+=-，将2289b a =代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y +=．故选B ．2．(2022·全国甲理) 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( ) A 3 B ．22C ．12D ．132．答案 A 解析 (),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a-=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率2231c b e a a ==-=A ．3．(2022·新高考Ⅰ) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．3．答案 13 解析 ∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c cc+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 3，3 直线DE 的方程：3x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：22136390y cy c --=，判别式()2222634139616c c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴()212132264613cCD y ∆=+-==⨯⨯⨯=，∴ 138c =， 得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==．故答案为13．4．(2022·新高考Ⅰ) 已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y轴分别交于M ，N 两点，且||||, ||23MA NB MN ==l 的方程为___________．4．答案 2220x -= 解析 令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222163x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=,所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得mx k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mk m k⨯=--，解得2k =或2k =舍去)，又23MN =()22223MN m m=+=2m =或2m =-(舍去)，所以直线2:2AB y x =+，即2220x -=；故答案为2220x -=． 【知识总结】 1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)焦点：两个定点F 1，F 2．(3)焦距：两焦点间的距离|F 1F 2|；半焦距：焦距的一半． 2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)范围 －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a 顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴长 短轴长为2b ，长轴长为2a焦点 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率 e ＝ca (0<e <1) a ，b ，c 的关系 a 2＝b 2＋c 2【题型突破】题型一 椭圆的标准方程1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方 程为( )A ．4x 225＋y 26＝1B ．x 24＋y 22＝1C ．x 22＋y 2＝1D ．x 24＋y 23＝11．答案 D 解析 依题意椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12得c a ＝12，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6,2a ＋2c ＝6，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为：x 24＋y 23＝1，故选D ．2．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 28＋y 24＝12．答案 A 解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由点P (2，3)在椭圆上，知4a 2＋3b 2＝1．又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，则c a ＝12.又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆的方程为x 28＋y 26＝1．3．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 240＋y 215＝1C ．x 249＋y 224＝1D ．x 245＋y 220＝13．答案 C 解析 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∴∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，∴∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′．在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝49－52＝24，∴椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C ．4．(2013·全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝14．答案 D 解析 由题意知直线AB 的斜率k ＝0－(－1)3－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，即k ＝－b 2a 2×2－2＝12，∴b 2a 2＝12．又a 2－b 2＝c 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9．∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1．5．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝15．答案 B 解析 解法一 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m ．由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a ．在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2⎝⎛⎭⎫1a 2，得a 2＝3．又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1．故选B ．解法二 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a ．∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝|BF 1|＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a ．又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，∴点A 是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝⎛⎭⎫32，b 2．由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2．∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1．故选B ．6．设F 1，F 2分别是椭圆E ：222=1y x b+(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________． 6．答案 22312x y += 解析 设B 在x 轴上的射影为B 0，由题意得，011212||||33cB F F F ==，得B 0坐标为5,03c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即B 点横坐标为53c -．设直线AB 的斜率为k ，又直线过点F 1(－c ，0)，∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋c )．由222(),1y k x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(k 2＋b 2)x 2＋2ck 2x ＋k 2c 2－b 2＝0，其两根为53c -和c ，由韦达定理得2222222252,35,3ck c c k b k c b c c k b ⎧--+=⎪⎪+⎨-⎪-⨯=⎪+⎩解之，得213c =，∴b 2＝1－223c =．∴椭圆方程为22312x y +=． 7．已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________________．7．答案 5x 29＋5y 24＝1 解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可知c ＝1，即a 2－b 2＝1①，设点F (1，0)关于直线y ＝12x 的对称点为(m ，n )，可得n －0m －1＝－2②．又因为点F 与其对称点的中点坐标为⎝⎛⎭⎫m ＋12，n 2，且中点在直线y ＝12x 上，所以有n 2＝12×m ＋12③，联立②③，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，即对称点为⎝⎛⎭⎫35，45，代入椭圆方程可得925a 2＋1625b 2＝1④，联立①④，解得a 2＝95，b 2＝45，所以椭圆方程为5x 29＋5y 24＝1． 8．椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为e 1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为e 2，其中，a >b >0，e 1e 2＝33，直 线l ：x －y ＋3＝0与椭圆C 1相切，则椭圆C 1的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 24＋y 22＝1C ．x 26＋y 23＝1D ．x 216＋y 28＝18．答案 C 解析 椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝c 1a ＝1－b 2a 2，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e 2＝c 2a ＝1＋b 2a 2，由e 1e 2＝33，得1－b 2a 21＋b 2a2＝33，则a ＝2b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2b 2＝0，x －y ＋3＝0，得3x 2＋12x ＋18－2b 2＝0，由Δ＝122－4×3×(18－2b 2)＝0，解得b 2＝3，则a 2＝6，∴椭圆C 1的方程为x 26＋y 23＝1，故选C ．9．若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是( )A ．22=154x y +B ．22=145x y +C ．22=12516x y +D ．22=11625x y +9．答案 A 解析 因为一条切线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c ＝1，设点P （1，12），连结OP ，则OP ⊥AB ，因为12OP k =，所以2AB k =-，又因为直线AB 过点(1，0)，所以直线AB 的方程为220x y +-=，因为点(0，b )在直线AB 上,，所以b ＝2，又因为c ＝1，所以25a =，故椭圆方程是22=154x y +．10．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C的一个交点为A ，若AF 1⊥AF 2，S △F 1AF 2＝2，则椭圆C 的方程为( )A ．x 26＋y 22＝1B ．x 28＋y 24＝1C ．x 28＋y 22＝1D ．x 220＋y 216＝110．答案 A 解析 因为点A 在椭圆上，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，对其平方，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝4a 2，又AF 1⊥AF 2，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2，则2|AF 1||AF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，即|AF 1|·|AF 2|＝2b 2，所以S △F 1AF 2＝12|AF 1||AF 2|＝b 2＝2．又△AF 1F 2是直角三角形，∠F 1AF 2＝90°，且O为F 1F 2的中点，所以|OA |＝12|F 1F 2|＝c ，由已知不妨设A 点在第一象限，则∠AOF 2＝30°，所以A (32c ，12c )，则S △AF 1F 2＝12|F 1F 2|·12c ＝12c 2＝2，c 2＝4，故a 2＝b 2＋c 2＝6，所以椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选A ．题型二 椭圆中的求值11．(2019·全国Ⅰ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．11．答案 (3，15) 解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．12．已知椭圆E ：x 29＋y 24＝1，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，1，则l 的方程为( )A ．2x ＋9y －10＝0B ．2x －9y －10＝0C ．2x ＋9y ＋10＝0D ．2x －9y ＋10＝012．答案 D 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式作差并化简整理得y 2－y 1x 2－x 1＝－49×x 1＋x 2y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝－49×x 1＋x 2y 1＋y 2＝29，直线l 的方程为y －1＝29⎝⎛⎭⎫x ＋12，即2x －9y ＋10＝0.经验证可知符合题意．故选D ．13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，上下顶点分别为A 、B ，直线AF 2与该椭圆交于A 、M 两点．若∠F 1AF 2＝120°，则直线BM 的斜率为( )A ．14B ．34C ．32 D ．313．答案 B 解析 由题意，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且满足∠F 1AF 2＝120°，如图所示，则在△AF 2O 中，|OA |＝b ，|AF 2|＝a ，且∠OAF 2＝60°，所以a ＝2b ，不妨设b ＝1，则a＝2，所以c ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，又由A (0,1)，F 2(3，0)，所以kAF 2＝－33，所以直线AF 2的方程为y ＝－33x ＋1，联立方程组⎩⎨⎧y ＝－33x ＋1x24＋y 2＝1，整理得7x 2－83x ＝0，解得x ＝0或x ＝837，把x ＝837代入直线y ＝－33x ＋1，解得y ＝－17，即M ⎝⎛⎭⎫837，－17 ，又由点B (0，－1)，所以BM 的斜率为k BM ＝－17－(－1)837－0＝34，故选B ．14．已知P 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1上的一个动点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆C 在P 点处的切线距离为d ，若|PF 1|·|PF 2|＝247，则d ＝________． 14．答案 142解析 法一：因为点P 在椭圆上，所以有|PF 1|＋|PF 2|＝4，又因为|PF 1|·|PF 2|＝247，由余 弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝34，所以有sin ∠F 1PF 2＝74，所以△F 1PF 2的面积为S ＝12×247×74＝12×2×y p ，解得y p ＝37，因为点P 在椭圆上，所以x p ＝47．所以过该点的椭圆的切线方程为47x4＋37y 3＝1，即为x ＋y ＝7．所以原点O 到直线的距离为d ＝72＝142．法二：设P (m ，n )，则切线方程为mx 4＋ny3＝1，即3mx ＋4ny －12＝0．所以原点O 到该切线的距离d ＝129m 2＋16n 2．因为点P (m ，n )在椭圆上，所以m 24＋n 23＝1，所以有n 2＝3－3m 24，所以d ＝4316－m 2．因为|PF 1||PF 2|＝247，所以有(m ＋1)2＋n 2 (m －1)2＋n 2＝247，即有⎝⎛⎭⎫4＋14m 2＋2m ⎝⎛⎭⎫4＋14m 2－2m ＝4－14m 2＝247，解得16－m 2＝967，所以d ＝4316－m 2＝142．15．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________．15．答案 22 解析 方法一特殊化，设MN ⊥x 轴，则|MN |＝2b 2a ＝22＝2，|PQ |2＝4，|PQ |2|MN |＝42＝22． 方法二 由题意知F (－1，0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则MN 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)2k 2＋1．直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k 2，则|OP |2＝x 23＋y 23＝2(1＋k 2)1＋2k 2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2，所以|PQ |2|MN |＝22．综上，|PQ |2|MN |＝22． 16．已知点P (x ，y )在椭圆x 236＋y 2100＝1上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积为18，则∠F 1PF 2的余弦值为________．16．答案 35 解析 椭圆x 236＋y 2100＝1的两个焦点为F 1(0，－8)，F 2(0，8)，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝20，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝202，由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝162，两式相减得2|PF 1||PF 2|(1＋cos ∠F 1PF 2)＝144．又S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝18，所以1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2，解得cos ∠F 1PF 2＝35． 17．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝cbx 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为( )A ．12B ．32C ．1D ．217．答案 C 解析 联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0．设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b 2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a ，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1．18．如图所示，A 1，A 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与A 1，A 2重合，点N 满足NA 1⊥MA 1，NA 2⊥MA 2，则1212MA A NA A S S＝( )A ．32B ．23C ．94D ．4918．答案 C 解析 由题意以及选项的值可知：1212MA A NA A S S是常数，取M 为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可知N 在x 的正半轴上，如图：则A 1(0，2)，A 2是(0，－2)，M (－3，0)，由OM ·ON ＝OA 21，可得ON ＝43，则1212MA A NA A S S＝12|OM |·|A 1A 2|12|ON |·|A 1A 2|＝|OM ||ON |＝343＝94，故选C ．19．已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( )A ．2B ．2C ．22D ．3 19．答案 A 解析 由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1．又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝2．20．设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．620．答案 C 解析 ∵P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C ．题型三 椭圆的离心率21．(2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23 D ．1321．答案 A 解析 秒杀 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a ．又直线bx －ay ＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a ＝13，∴e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63．故选A ．22．(2016·全国Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．3422．答案 B 解析 不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0．由题意|－bc |b 2＋c 2＝12b ，且a 2＝b 2＋c 2，得b 2c 2＝14b 2a 2，所以e ＝c a ＝12．23．(2018·全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－3 C ．3－12D ．3－123．答案 D 解析 秒杀 e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 2|＋|PF 1|＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1＝sin90°sin30°＋sin60°3－1．故选D ．通法 由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ．由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1．故选D ．24．(2018·全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A ．23 B ．12 C ．13 D ．1424．答案 D 解析 由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.25．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．25．答案 63 解析 由已知条件易得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，∴BF →＝c ＋32a ，－b 2，CF →＝c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝⎛⎭⎫c －32a ⎝⎛⎭⎫c ＋32a ＋⎝⎛⎭⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63． 26．(2018·浙江)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1关于直线y ＝－3c 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是( ) A ．3－1 B ．3＋12 C ．2－3 D ．3326．答案 C 解析 ∵左焦点F 1关于直线y ＝－3c 的对称点为Q ，∴|F 1Q |＝23c ．设椭圆的右焦点为F 2，则|F 1F 2|＝2c ．由椭圆定义知，|F 2Q |＝2a －|F 1Q |＝2a －23c ．在Rt △F 1QF 2中，|F 1F 2|2＋|F 1Q |2＝|F 2Q |2，即(2c )2＋(23c )2＝(2a －23c )2，∴c 2＋23ac －a 2＝0，故e 2＋23e －1＝0，∴e ＝2－3(负值舍去)．故选C ．27．(2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 27．答案 3－1 2 解析 秒杀 双曲线N 的离心率e 1＝1＋tan 260°＝2．椭圆M 的离心率e 2＝sin ∠FDC sin ∠DFC ＋sin ∠DCF ＝sin90°sin30°＋sin60°＝3－1．通法一：如图，∵双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n m x ，∴nm＝tan 60°＝3，∴双曲线N的离心率e 1满足e 21＝1＋n2m2＝4，∴e 1＝2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b 2．设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2．∴4a 2b 23a 2＋b 2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0，∴3－6b 2a 2－⎝⎛⎭⎫b 2a 22＝0，解得b 2a 2＝23－3．∴椭圆M 的离心率e 22＝1－b 2a2＝4－23．∴e 2＝3－1．通法二：∵双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n m x ，则nm ＝tan 60°＝3．又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m ＝2．如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1．又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ，a ＝1＋32．∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1． 28．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫55，35B ．⎝⎛⎭⎫0，25C ．⎝⎛⎭⎫25，35D ．⎝⎛⎭⎫35，55 28．答案 A 解析 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎨⎧a ＞b2＋c ，b ＜b2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2＞14(a 2－c 2)，a 2－c 2＜2c ，解得55＜e ＜35．29．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．29．答案 ⎣⎡⎭⎫35，22 解析 因为|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b >c )，而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2．依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0，①．又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2，所以2e 2<1，②．联立①②，得35≤e <22．30．如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的交点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．23B ．4C ．25D ．2630．答案 A 通解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A ，B 关于原点对称，又AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，故|AF 1|＝|OF 1|＝|OA |＝|OB |＝c ，∴A ⎝⎛⎭⎫－c 2，32c ，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，结合b 2＝a 2－c 2及e ＝ca ，整理可得，e 4－8e 2＋4＝0，∵0<e <1，∴e 2＝4－23＝(3－1)2，∴e ＝3－1．同理可求得双曲线的离心率e 1＝3＋1，∴e ＋e 1＝23．秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，根据题意，可设|AF 1|＝1，|AF 2|＝3，|F 1 F 2|＝2，则a ＋m ＝3，a －m ＝１，∴e ＋e 1＝c a ＋cm ＝c (a ＋m )am ＝23．故选A ． 题型四 椭圆中的最值与范围31．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18 31．答案 D 解析 由椭圆的对称性可知，P ，Q 两点关于原点对称，设F ′为椭圆另一焦点，则四边形PFQF ′为平行四边形，由椭圆定义可知：|PF |＋|PF ′|＋|QF |＋|QF ′|＝4a ＝20，又|PF |＝|QF ′|，|QF |＝|PF ′|，∴|PF |＋|QF |＝10，又PQ 为椭圆内的弦，∴|PQ |min ＝2b ＝8，∴△PFQ 周长的最小值为：10＋8＝18．故选D ．32．已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4，3)，则|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为________．32．答案 (0，－1) 解析 设椭圆的右焦点为E ，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋2a －|PE |＝|PQ |－|PE |＋22．当P为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，|PQ |＋|PF |取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1，QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)．33．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( ) A ．55 B ．655 C ．855D ．45533．答案 C 解析 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′．因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855．故选C ．34．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________．34．答案 －5 解析 由椭圆的方程可知F 2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝（6－3）2＋（4－0）2＝5，2a ＝10，∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5．35．椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32，F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|的最大值等于________．35．答案 7 解析 因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2－1a ＝32，解得a ＝2，由椭圆定义得|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，即|AF 2|＋|BF 2|＝8－|AB |，而由焦点弦性质，知当AB ⊥x 轴时，|AB |取最小值2×b 2a ＝1，因此|AF 2|＋|BF 2|的最大值等于8－1＝7．36．已知椭圆C ：x 29＋y 26＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心作半径为1的圆F 2，P 为椭圆C 上一点，Q 为圆F 2上一点，则|PF 1|＋|PQ |的取值范围为________．36．答案 [5，7] 解析 如图所示，|PF 1|＋|PQ |＝2a －|PF 2|＋|PQ |≤2a ＋|QF 2|＝6＋1＝7．又|PF 1|＋|PQ |≥|PF 1|＋|PF 2|－|QF 2|＝6－1＝5．∴|PF 1|＋|PQ |的取值范围是[5，7]．故答案为：[5，7]．37．在椭圆x 24＋y 22＝1上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有F 1P →·F 2P →≤1，则F 1P →与F 2Q →的夹角余弦值的范围为________．37．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析 设P (x ，y )，则Q 点(x ，－y )，椭圆x 24＋y22＝1的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，∵F 1P →·F 2P →≤1，∴x 2－2＋y 2≤1，结合x 24＋y 22＝1，可得y 2∈[1,2]．故F 1P →与F 2Q →的夹角θ满足：cos θ＝F 1P →·F 2Q→|F 1P →|·|F 2Q →|＝x 2－2－y 2x 2＋2＋y 22－8x 2＝2－3y 2y 2＋2＝－3＋8y 2＋2∈⎣⎡⎦⎤－1，－13． 38．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，P (a ，0)为x 轴上一动点．若存在以点P 为圆心的圆O ，使得椭圆C 与圆O有四个不同的公共点，则a 的取值范围是________．38．答案 ⎝⎛⎭⎫－32，32 解析 因为圆O 的圆心在x 轴上，则由椭圆和圆的对称性得椭圆C 与圆O 的四个不同的公共点两两关于x 轴对称，设在x 轴上方的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，与椭圆方程联立消去y 化简得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，由Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＞0，得b 2＜4k 2＋1，此时x 1＋x 2＝－8kb4k 2＋1，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b 4k 2＋1，则AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－4kb 4k 2＋1，b 4k 2＋1，线段AB 的垂直平分线方程为y －b 4k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋4kb 4k 2＋1，令y ＝0，得点P 的横坐标a ＝－3kb4k 2＋1，则a 2＝9k 2b 2(4k 2＋1)2＜9k 2(4k 2＋1)(4k 2＋1)2＝94＋1k2＜94，所以－32＜a ＜32．39．(2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)39．答案 A 解析 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则ab≥tan 60° ＝3，即3m ≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b ≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9．故m 的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)．40．已知点P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若点M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM |的取值范围是________．40．答案(0，4)解析解法一：由椭圆的对称性，只需研究动点P在第一象限内的情况，当点P趋近于椭圆的上顶点时，点M趋近于点O，此时|OM|趋近于0；当点P趋近于椭圆的右顶点时，点M趋近于点F1，此时|OM|趋近于25－9＝4，所以|OM|的取值范围为(0，4)．解法二：如图，延长PF2，F1M，交于点N，∵PM是∠F1PF2的角平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，又O为F1F2的中点，∴|OM|＝12|F2N|＝12||PN|－|PF2||＝12(|PF1|－|PF2|)，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|OM|＝12．|2|PF1|－10|＝|PF1－5|，又|PF1|∈(1，5)∪(5，9)，∴|OM|∈(0，4)，故|OM|的取值范围是(0，4)．。
解析几何第二十六讲 椭圆答案
专题九解析几何第二十六讲椭圆答案部分1. 解析如图所示，设BF2 x ，则AF2 2x ，所以BF2 AB 3x .OyAF1F2x由椭圆定义BF1 BF2 2a ，即4x 2a . 又AF1 AF2 2a 4x ，AF2 2x ，所以A F1 2x .B因此点A为椭圆的上顶点，设其坐标为0,b. b3 由AF2 2 BF2 可得点B的坐标为, . 2 2x因为点B在椭圆2 2y2 9 1 4 1. 22 2a1 a b 0 上，所以1 0 4a2 b解得a2 3.又c 1，所以b2 2 .所以椭圆方程为x 2 y 2 .故选B. 1 3 2 y2．解析（1）由题设得y 1x 2 x 2 2 ，化简得x2 y2 4 2 1(| x | 2) ，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．c 1 a b 1 c 1 ，3. 解析由题意，e 2 2 2 ，则 4 ，得a 2 a a 4 2 2 所以4a2 4b2 a2 ，即3a2 4b．故选B．x2 2 y2 4. 解析设M (m,n) ，m,n 0 ，椭圆C：C: 36 20 1 的a 6 ，b 2 5 ，c 2 ，1ec 2 ，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得| MF || MF |，a3 1 2 △MF F 为等腰三角形，可能| MF | 2c 或| MF | 2c ，1 2 1 2 即有2 6 m 8 ，即m 3，n 15 ；3 2 6 m 3 2010-2018 年8，即m 3 0，舍去．可得M (3, 15). 1．D【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，yPAF1 OF2x设| F F | 2c ，所以1 2 1 2 1 2 =120 oPF F 为等腰三角形，且F F P，∴21 2 2 | PF || F F | 2c ，∵| OF | c ，∴点P 坐标为(c 2ccos 60,2csin 60) ，即点3的直线上，ooP(2c, 3c) ．∵点P 在过点A ，且斜率为6∴3c3 6 ，解得c 1 ．∴1 2c ae ，故选D．a1 ．∴1 4 4 a2 5 ，a 5 ．由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦点的距离2．C【解析】由题意之和为2a 2 5 ，故选C．3．B【解析】由题意可知a ，b2 4 ，∴c2 a2 b2 5 ，∴离心率2 9 c e5 ，a 3 选B 2 2 2 4．A【解析】以线段 A A 为直径的圆是x y a，直线bx ay 2ab 0 与圆相切，1 2 22ab所以圆心到直线的距离da b2 2 a ，整理为a2 3b，2即2a2 3c2 ，即c 2 ，2 c 6 a23 a2 c2 e ，故选A．6 a 2 ，c2 3 a 3 1，5．A【解析】设E(0,m) ，则直线AE 的方程为x y ，由题意可知M ( c,m mc) a b amc mm m (0, ) 和B(a,0) 三点共线，则2 2 acm ，化简得a 3c ，则C 的离心率2 ac 1 ．故选A．a 3 2 2 2 2 6．A【解析】由题意知m1 n1，即m n 2 ，em 1 n 1 n 1 n 1 2 2 2 2 n 2n 1 4 2 1 11 n 2n4 2 (e e )2 1 2 222 nn 2n4 2 ，m n n 2 所以e e ．故选A．1 2 1 7．D【解析】由题意可设Q( 10 cos,sin) ，圆的圆心坐标为C(0, 6) ，圆心到Q 的距离为| ( 10 cos )2 (sin 6)2 CQ| 2 50 9(sin2)2 ≤3 50 5 2 ，当且仅当sin 时取等号，所以| PQ | ≤| CQ | max r 5 2 2 6 2 ，所以P,Q max 3 两点间的最大距离是6 2 ．8．D【解析】设A(x , y ), B(x , y ) ，则x x =2，y y =－2，1 12 2 1 2 1 2x y2 122 x1①2 22 12 221②ab a b①－②得(x x )(x x ) (y y )(y y )1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 0 ，1 b12 2 ，c2 = ab，= = 22 2 ∴，又9= a = bb= b 02∴a 1 2 31 ，2又a2k=( )a2 (yy )2x y ，故选D. 2 2 b2 =9，a2 =18，∴椭圆方程为解得1 18 9 3o9．C【解析】 F PF 是底角为30的等腰三角形2 13 PF F F 2( a c) 2c2 2 1 ec 3 a 4 x 2x1 2 2 10．5【解析】设A(x , y ) ，1 1B(x , y )，由AP 2PB ，得2 2 1 y1 ，2(y 1)2 2 ，得即x1 2x2 ，4x2 (3 ) x m2 2 4 y13 2y2 ．因为点A ，B 在椭圆上，所以x22 y2 m2 41 3 1 5 9 1 y m ，所以x2 m (3 2y )2 m2 m (m 5)2 4≤4 ，2 2 2 4 4 4 2 4 4 所以当m 5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．11．3 1 ；2 【解析】设椭圆的右焦点为F(c, 0) ，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象c 3c c 3c限内的交点为A ，由题意可知2 2 A( , ) ，由点A 在椭圆M 上得，1，2 2 4a 4b2 2 ∴b2c2 3a2c2 4a2b2 ，b2 a2 c2 ，∴(a2 c2 )c2 3a2c2 4a2 (a2 c2 ) ，∴4a4 8a2c2 c4 0 ，∴e4 8e+4 0 椭椭2 e2 4 23 ，∴椭，∴e椭 3 1（舍去）或e椭 3 1，∴椭圆M 的离心率3 1，∵双曲线的渐近线过点c 3c A( , ) ，渐近线方程为y 3x，2 2 mn22故双曲线的离心率双．e2 2myAO Fx12．6 【解析】由题意得F c,0，直线3 y b 与椭圆方程联立可得B 24 3 , ，a b 2 2uuur 3a b ，由BFC 90 可得BF CF 0 ，3 , BF c C ,2 2 a b，2 2 uuur3 ac,2b ，则2 3 2 1 2 0c a b ，由b2 a2 c2 可得3 2 1 2 CFc a ， 22 3 6 ．3 4 4 4 2c 则ea13．( 3)2 2 2 25 【解析】由题意圆过(4, 0), (0, 2), (0,- 2)三个点，设圆心为(a,0)，x y4 3 2 2 a = ，所以圆的方程为(x ) y ．3 25 2 24 其中a >0 ，由4 a a2 4 ，解得2【解析】设A(x , y ) ，B(x , y )，分别代入椭圆方程相减得14．2 1 1 2 2(x x )(x x ) (y y )(y y )1 2 1 2 2 1 2 1 2 2ab0 ，根据题意有x x y y ，1 2 2, 1 2 2 1 y y 1 ，所以 2 2 1 2 2 2 2 且2 ( ) 0 ，得a 2b，整理a 2c，2 x x a b 2 1 2 2 2 2 所以e2 ．15．1 2【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接 F P 和F P ，利用中位线定理可得AN BN1 2 2 F P 2 F P 22a 4a 12 ．1 2 16．3【解析】由题意可得b2 3 ，b2 1 A(c, ) aB(c, ) ，由题意可知点D 为F B 的中点，所以点D 的坐标为b2 (0, ) 2a3 ．，由AD F B ，所以k1 ADkF B1 1，整理得3b2 2ac ，解得e3 2 AF b ，∴点B 坐标为( 5 , 1 2 ) 3 2 ．x y 1【解析】由题意得通径2 B 2 2 1 ( b ) 2 2 5 3 c将点B 坐标带入椭圆方程得( ) 1 2 ，3 b2 5 cb3 3 172 b3 2 1 2 2 3 又b1 c，解得c2∴椭圆方程为3 2 1 x y ．2 2 18．3 1【解析】由题意可知，MF1中，2 FMF1F2 160 , MF F 30 , F MF 90 ， 2 1 22 (2c)2 c，整理得eMF2 2 F F2 1 23 1，故答案为3 1．aMF所以有1 2aMF MF1 2 2 MF 3MF19．5 1 AF ，AF a c ，1 【解析】由椭圆的性质可知：1F1F2 2c ，F B a c .又已知1 52 2 F F ， F B 成等比数列，故(a c)(a c) (2c)2 ，即a2 c2 4c2 ，则a 5c. 1 2 1故ec a.即椭圆的离心率为5 ．5 5 5 2, 0), 2 ( 2, 0) F F ，20．(0,1)【解析】设点A 的坐标为(m,n)，B 点的坐标为(c,d) ．1( 可得 F A m1 ( n ， F B c2, ) 2 ( d ，∵2, ) F A F B ，1 5 2m 6 2 ∴nc5∴,d ，又点A, B 在椭圆上，5 m6 22 mn2 1，( ) 2 n ( )3 5 1 ，解得m 0,n 1，2 3 5 ∴点A 的坐标是(0,1) ．21．【解析】(1)由已知得F(1, 0) ，l 的方程为x 1．2 2 由已知可得，点A 的坐标为(1, ) (1, )．2 或2所以AM 的方程为yx或2 2 2 yx2 2 (2)当l 与x 轴重合时，OMA OMB 0．6 2 ．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y k(x 1)(k 0) ，A(x , y ), B(x , y ) ，11 2 2 ．则x1 2 ，x2 ，直线MA ，MB 的斜率之和为ykMBy2 2 kMA1 xx 1 2由ykx k ，y kx k 得1 21 2kk2kx x 3k(x x ) 4k1 2 1 2 ．MAMB(x 2)(x 2) 1 2将y k(x 1) 代入x y2 1得2 2 (2k 1)x 4k x 2k 2 0 ．2 2 2 2所以，4k2k 2 2 2 x x，x x．1 2 2 1 2 2 2kk 11 2则4k 4k 12k3 8k3 4k3 2kx x 3k(x x ) 4k0 ．1 2 2 2 1 2k1 从而0 kk，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ．MAMB综上，OMA OMB ．22．【解析】(1)设A(x , y ) ，B(x , y )，则x y ，x y ．1 12 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 434 3y y两式相减，并由1 2 k x x y y．得1 x x 2 1 2 k 0 1 2 4 3 x xyy由题设知1 2 1，1 2 m，2 2 2 23 于是k．①4m3 由题设得0 m k ．，故1 2 2 (2)由题意得F(1, 0) ，设P(x , y ) ，则3 3 (x 1, y ) (x 1, y ) (x 1, y ) (0, 0) ．3 3 1 1 2 2 由(1)及题设得x x x，y 3 3 ( 1 2 ) 1 3 7 y y ( 1 2 ) m ．2 0又点P 在C 上，所以uuur | 3 FPm ，从而P(1, 3)，| 3 4于是2 x2 ．xuuur2 | FA| (x 1) y (x 1) 3(12 1 2 1 2 1 ) 21 1 4 uuurx同理| FB | 2 2．2 uuur所以2 uuur1 12 ．| FA| | FB | 4 (x x ) 3 2 故2 | FP || FA| | FB |，即| FA|，| FP |，| FB |成等差数列．设该数列的公差为d ，则uuur uuur1 1 ( x x1 2 2 | | || | | || d FB FA | | x x1 2 ) 4 x x2 1 2 2 将2 3 m 代入①得k 1．4 所以l 的方程为y x 7 ，代入C 的方程，并整理得7 42 14 1 0 x x ．4 x x 1 ，代入②解得| | 3 21 故x x ，d ．x 1 2 2x 1 ，代入②解得| | 3 21 1 2 28 28 3 21 3 21 所以该数列的公差为28 或．28 c 5 23．【解析】设椭圆的焦距为2c ，由已知知2 ，又由a2 b2 c2 ，可得2a 3b ．a 9 2 由已知可得，FB a ，AB 2b ，由FB AB 6 2 ，可得ab 6 ，从而a 3，b 2 ．y ．所以，椭圆的方程为x 2 2 1 9 4 (2)设点P 的坐标为(x1, y1) ，点Q 的坐标为(x2 , y2 )．由已知有y1 y2 0 ，PQ sin AOQ y y ．1 2 故AQ 2y ．y 又因为AQ2 sin OAB ，而OAB ，故4 1 2 2 由AQ 5 2 sinAOQ ，可得5y 9y ．PQ4 8y kx，由方程组x26k 9k 4 2．y21 y消去x ，可得1 ，9 4 y kx，易知直线AB 的方程为x y 2 0 ，由方程组x y 2 0，2k．由5y1 9y2 ，可得消去x ，可得y2 k 1 5(k 1)3 9k24 ，1 112 两边平方，整理得56k 50k 11 0 ，解得k ，或k ． 2 281 11 所以，k 的值为或．2 28 24．【解析】（1）由于P ，P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P ，P 两点．3 4 3 4又由1 a2 1 b2 1 a2 3 知，C 不经过点P ，所以点P 在C 上．4b21 2因此2 ．1 1 a2 4 b 1 a2 ，解得3b2 11 4b2故C 的方程为x y2 1．2（2）设直线P A 与直线P B 的斜率分别为k ，k ，2 2 1 2 4 如果l 与x 轴垂直，设l ：x t ，由题设知t 0 ，且| t | 2 ，可得A，B 的坐标分别为4 t 4 t（t，2 2 2 ），（t，）．2 4 t 2 4 t 2 则2 2 k k 1，得t 2 ，不符合题设．1 2 2t 2t从而可设l ：y kx m （m 1 ）．将y kx m 代入x y2 1得2 (4k 1)x 8kmx 4m 4 0 2 2 2 由题设可知=16(4k2m2 1) 0 ．8km设B x y ，则x x A(x , y ) ，( , ) ，1 1 2 2 1 2 2 4k 1 y 1 y 1 kx m 1 kx m 1 而k k 1 2 1 2 1 2 xxx x1 2 1 2 9 4 4m 4 ．2 x x1 2 2 4k 12kx x (m 1)(x x )1 2 1 2 ．x x1 2由题设k1 k2 1，故(2k 1)x x (m 1)(x x ) 0 ．1 2 1 2 4m 4 2 8km(m 1)0 ．4k 1 2 即(2k 1)4k 1 2m 1 解得k ．2 当且仅当m 1时，0 ，欲使l ：ym2 所以l 过定点（2，1）1 x m ，即y 1 mx ，1( 2 2) 25．【解析】（1）设P(x, y) ，M (x , y ) ，则N(x ,0) ，0 0( , ) NM (0.y )．NP x x y ，0 0 由NP 2NM 得x x，2 y y ．0 0因为2x y ．2 2 0 0 M (x , y )在C 上，所以2 2 1 2 2 2 ．因此点P 的轨迹方程为xy（2）由题意知F(1, 0) ．设Q(3,t) ，P(m,n) ，则OQ (3,t)，PF (1 m,n) ，OQ PF 3 3m tn ，OP (m,n) ，PQ (3 m,t n) ，由OP PQ 1得3m m故3 3m tn 0．所以OQ PF 0 ，即OQ PF ．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．26．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为1 c 1 2a ，两准线之间的距离为8，所以，2 8 ，2 tn n2 1，又由（1）知m2n2 2 ，2 a 2 c解得a 2,c 1，于是b a因此椭圆E 的标准方程是2c2 3 ，x y . 2 2 1 4 3 10（2）由（1）知，F1(1,0)，(1, 0) F . 2 设P(x0 , y0 )，因为点P 为第一象限的点，故x0 0, y0 0. 当x0 1时，l 与l 相交于F ，与题设不符. 21 1 y当x0 1时，直线，直线PF2 的斜率为y0 .PF 的斜率为1 0 x0 1 x 1 0x0 1 因为l1⊥PF1 ，l2⊥PF2 ，所以直线l1 的斜率为，直线l2 的斜率为x 10 ，y0 y从而直线l1 的方程：yx 10 (x 1) ，①y0 直线l2 的方程：yx 10 (x 1) . ②y0 由①②，解得12 xx x , y0 x 12 ，所以Q(x , 0 ) . 0 0 y0 y1 x2因为点Q 在椭圆上，由对称性，得0 ，即xy0 2 0y2 0 或2 2 y1 x y . 0 0 1 0 又P 在椭圆E 上，故x y . 2 0 2 0 1 2x y 1 0 0 ，无解. 2由x 2y y1 12 42 3 x2 4 73 7 x , y ；2 2 0 0 x2 y2 x，解得0 0 y0 0 1 3 7 7 0 1 44 3 4 7 3 7 因此点P 的坐标为( , ) . 7 7 1 c ，a 2 p ，2 a1 a c ，解得a 1，2 27．【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(c,0).依题意，c 1 ，p 2 ，于是2所以，椭圆的方程为2 2 23 b a c .4 2 4y2 x3 1，抛物线的方程为y2 4x . （Ⅱ）设直线AP 的方程为x my 1(m 0) ，与直线l 的方程x 1联立，可得点11，故Q( 1, 2 ).将x my 1与2 4y22 P( 1, ) m整理得(3m2 m4)y2 x3 1联立，消去x ，6m . 6my 0，解得y 0，或4 y 3m 2 3m 4 2 6m. 由点B 异于点A ，可得点B( , ) 3m 4 3m 4 2 2 由2 Q(1, ) ，可得直线BQ 的方程为m6m23m 4 2 2 ) 0，令y 0，解得m6m2 x2 3m ，2 ( )(x 1) ( 3m 4 m 3m 4 2 1)(y 2 3m2 3m 2 2故2 3m22 .3m 2 3m 2 2 26 1 6m 2 6 ，，故又因为△APD 的面积为2 22 3m 2 | m | 2 2整理得3m2 2 6 | m | 2 0 ，解得| m | 6 ，所以D( ,0) .所以| AD | 1 3m 2 2 6 m.3 3 所以，直线AP 的方程为3x 6y 3 0 ，或3x 6y 3 0. 28．【解析】（I）由题意知e2 c ，2c 2 ，a 2 所以a 2,b 1，因此椭圆E 的方程为x y2 1．2 2 （Ⅱ）设A x yB x y ，1, 1 , 2 , 22 x 2 联立方程y k x 1 2 得,2 1, y34k22x2 4 3k x 1 0 ，1 1 由题意知0 ，，2 3k 1且x x 1 x x, 2 1 2 1 2 22k 1 2 2k 1 1 1所以AB 1 k x x 2 2 1 1 k2 1 1 2 1 8k2 1 2．1+2k1 121 + k 1 + 8k2 2 2 由题意可知圆M 的半径r 为2 2 AB3 2 由题设知k k1 2 3 2k + 1 2 1 ，4 所以k22 4k1因此直线OC 的方程为y2 x ．4k12 x y 1, 2联立方程2 2 y4k1 x,得x2 8k 1，2 y 2 1 , 1 4k 1 4k因此OCx1 8k2 ．y2 2 1 21 1 4k1 ，由题意可知sin SOT r OC 12 r OC r 而OC1 2 1 1 8k2 2 13 2 1 2k2 1，1 4k k 1k 1 8 4 1 4k2 1 r222 2 1 13 2k 1 2 1 令t 1 2k 2 ，1 1 则t 1, 0,1 ，t因此OC3 t3 1 3 1rt t2 2 2 1 2 2 1 1 2 12 1 t tt 22 1 1 2 当且仅当，即t 2 时等号成立，此时k ，1 t 2 2 所以sin SOT 1 ，2 2 因此SOT ，2 6 13 1 ，9 4．所以SOT 最大值为3综上所述：SOT 的最大值为2 ．2 1 ，取得最大值时直线l 的斜率为k3解得a 2,b 1. 29．【解析】（Ⅰ）由题意得c 3 , a 2 1, 2 1 aba2 b c , 2 2 x2 所以椭圆C 的方程为y 1 2 . 4 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，A(2,0),B(0,1)，设(x0 , y ) P0 ，则0 2 4y2 4 . 0 xy当0 0 时，直线PA 的方程为yx(x 2) . x 2 0 0令x 0 ，得2y0 My.从而BM 1yM2y 10 0 . x 2 0 x 2 y0 直线PB 的方程为y 1 x 1. x令y 0，得x0 xNy 1 0 AN 2 .从而xNx 20 . y 1 0所以AN BM 2x12y0 y 1x 2x2 04y2 0x0 4x y 4 4x y 0 0 4xx y8y 0 0 0 0 0 0 0 4x 4 . 8yy x 2y 2 0 0 0 8x 2y 2 当x0 0时，0 1 ，BM 2, AN 2, y所以AN BM 4 . 综上，AN BM 为定值.30．【解析】(Ⅰ)设直线l : y kx b (k 0,b 0)，A(x , y ) ，B(x , y )，M (x , y ) ．1 12 2 MM将y kx b 代入9x2 y2 m2 得(k2 9)x2 2kbx b2 m2 0 ，14x xkb 9b故1 2 xy kx b，．MM2 k9 k 9 2 2于是直线OM 的斜率ky 9 OM，即kk 9 ．MOMx kM所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．m因为直线l 过点( ,m) ，3 所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k 0 ，k 3 ．由(Ⅰ)得OM 的方程9 x ．为y x ．设点P 的横坐标为P由9 得x ，x k ．y x即P kPm,m3k 9kk29x y m ,2 2 289 1 mm( m．将点( ,m) 的坐标代入直线l 的方程得b 3 3 xkMk)(k，因此33 ) 3(k 9) 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x 2x．PM于是km22mk(k 3) 3(k2 9) 3 k 9 ．解得k 1 4 ，k7 24 ．7 因为k 0,k 3，i 1，2 ，所以当l 的斜率为4 7 或4 7 时，四边形OAPB 为ii平行四边形．1, 解得a2 =2．31．【解析】（Ⅰ）由题意得c 2a 2a b c . 2 2 2 ,故椭圆C 的方程为x y2 1．22 设M ( x ，0)．因为m 0 ，所以1 n 1．Nn 1 直线PA 的方程为y 1 x ，mm m所以．x = M，即M ( ,0) 1 n1 n15（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B(m,n)，设N(x ,0)，则x = Nm ．1 n”“存在点(0, ) Q y 使得= OQ ON Q y 使得OQM = ONQ 等价”，“存在点(0, ) QQOM OQ即y 满足y 2 xQQMx ．N因x 为Mm ，1 nxN 2 m m，n1，12 n所以mx x2 QMN2 y 22．．所以。
椭圆的常见题型及解法二
椭圆的常见题型及解法（二）一对称问题平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对称只有以下四类,分别为“点关于点对称”；“点关于直线对称”；“曲线关于点对称”；“曲线关于直线对称”.①点A 关于B 的对称点为C ，点B 为A 、C 的中点，由中点坐标公式有：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=11112222y b y x a x y y b x x a ； ②设点A(x 1,y 1)关于直线 ：ax+by+c=0的对称点为C(x,y),由AC 直线与 垂直，且AB的中点在 上，有：()();222202212211222211221111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--b a bc abx y b a y b a acaby x a b x c y y b x x a b a x x y y(当直线 中a=0或b=0时，上面结论也正确)③曲线F(x,y)=0关于点B(a,b)对称的曲线，在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x 1,y 1)，它关于点B(a,b)的对称点为C(x,y).其实点A 为主动点,点C 为从动点,由中点坐标公式有:⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y b y xa x y yb x x a 22221111,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:0)2,2(=--y b x a F .④曲线F(x,y)=0关于点ax+by+c=0对称的曲线, 在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x 1,y 1)，它关于直线ax+by+c=0的对称点为C(x,y),则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--2222122221111122220221b a bcabx y b a y b a acaby x a b x c y y b x x a b a x x y y ,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:()()0)22,22(22222222=+---+---b a bcabx y b a b a ac aby x a bF .圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求某参变量的取值范围.这一类问题求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就实例说明三个确保的实施.例1.已知椭圆C: 191622=+y x ,试确定m 的取值范围,使得对于直线 :m x y +=4在椭圆C 上存在不同的两点关于直线 对称.解:椭圆上存在两点A,B 关于直线 m x y +=4对称, 设直线AB 为:n x y +-=41(确保垂直). 设直线AB 与椭圆有两个不同的交点()()2211,,,y x B y x A .0728451916412222=-+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=n nx x y x n x y ()()072854422>-⨯⨯--=∆n n (确保存在)即：()10,10102-∈⇒<n n ()1545421nn x x =--=+ AB 两点的中点的横坐标为,52221n x x =+纵坐标为n n n 1095241=+⨯- 则点⎪⎭⎫⎝⎛n n 109,52在直线 m x y +=4上,m n n +⨯=524109. (确保平分).107n m -=⇒ 把上式代入(1)中,得：.1010710107<<-m 变式训练（2010年安徽理19）：已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I ）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=2222222211,,2,3,221.43c e a c b a c e a x yc e ====-=∴+=由即得椭圆方程具有形式 将A （2，3）代入上式，得22131,2,c c c+==解得 ∴椭圆E 的方程为22 1.1612x y += （II ）解法1：由（I ）知12(2,0),(2,0)F F -，所以直线AF 1的方程为：3(2),3460,4y x x y =+-+=即 直线AF 2的方程为： 2.x =由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设(,)P x y l 为上任一点，则|346||2|.5x y x -+=- 若346510,280x y x x y -+=-+-=得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l 的方程为：210.x y --= 解法2：121212121(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).114(4,3)(0,3)(1,2).535||||2,:32(1),210.A F F AF AF AF AF AF AF k l y x x y -∴=--=-∴+=--+-=-∴=∴-=---=即（III ）解法1：假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和2121121200001,.2(,),,,22BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴==-++==设的中点为则由于M 在l 上，故00210.x y -+= ①又B ，C 在椭圆上，所以有222211221 1.16121612x y x y +=+=与 两式相减，得222221210,1612x x y y --+=即12211221()()()()0.1612x x x x y y y y +-+-+=将该式写为122112211108262x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC 的中点，表示代入该表达式中， 得0000110,320.812x y x y -=-=即 ② ①×2—②得202,3x y ==，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B 和C. 解法2：假设存在1122(,),(,)B x y C x y l 两点关于直线对称， 则1,.2BC l BC k ⊥∴=-221,1,21612x y BC y x m =-++=设直线的方程为将其代入椭圆方程得一元二次方程2222134()48,120,2x x m x mx m +-+=-+-=即 则12x x 与是该方程的两个根， 由韦达定理得12,x x m +=于是121213()2,22m y y x x m +=-++= ∴B ，C 的中点坐标为3(,).24m m又线段BC 的中点在直线321,1, 4.4my x m m =-∴=-=上得即B ，C 的中点坐标为（2，3），与点A 重合，矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点.二 中点弦问题例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等章节综合检测专题练习(二)带答案新高考高中数学
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0 C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(汇编福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线22y x =-+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲3．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错 评卷人得分三、解答题4．（汇编年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l的交于不同的两点,M N .(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.5．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． (Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围； (Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>左右两焦点为12,F F ，P 是右支上一点，2121,PF F F OH PF ⊥⊥于H ， 111,,92OH OF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.(1)当13λ=时，求双曲线的渐近线方程； (2）求双曲线的离心率e 的取值范围；(3）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆的截y 轴的线段长为8，求该圆的方程. 17－17．已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题xy OPFQAB1．D 抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。
2020高考数学最后十天压轴题 专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题(解析版)
与 、 交于 、 两点，求证：
.
14. 【北京市通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末考试】已知椭圆 ：
过点
，且椭圆的离心率为 ．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)斜率为 的直线 交椭圆 于
，
两点，且
．若直线 上存在点 P，使得
是以
为顶角的等腰直角三角形，求直线 的方程．
15.
【2019
湖北省重点中学联考】已知椭圆
7【. 湖北省宜昌市 2019 届高三年级元月调研】已知椭圆 ：
的离心率为 ，短轴长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点
的直线 与椭圆 交于 、 两点， 是椭圆 的上焦点.问：是否存在直线 ，使得
？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
8．【福建省厦门市 2019 届高三年级第一学期期末质检】在平面直角坐标系中，点
【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量 积为 0 处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理． 【 举 一 反 三 】【 山 东 省 恒 台 第 一 中 学 2019 届 高 三 上 学 期 诊 断 性 考 试 】 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 椭 圆
3.（2020·山东高三期末）顺次连接椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的四个顶点恰好构成了一个边长为
7且
面积为 4 3 的菱形.
（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l 与椭圆 C 相切于点 A ，过点 O 作 OM l ，垂足为 M ，求 AMO 面积的最大值.
4. （2019·江西高三月考（理））
数学-椭圆大题专题及解析
椭圆 大题习题及答案解析1已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,0A，且离心率为2．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y kx =+与椭圆C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值． （（（由题意得 2a =（2c e a ==（ 所以c = 因为 222a b c =+（ 所以 1b =所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=（（（（若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 PA MN =. 所以 直线PA 的方程为()2y k x =-，所以 ()3,P k，PA =（设()11,M x y ，()22,N x y （由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得()224180k x +++=， 由0∆>，得 212k >（且12241x x k +=-+，122841x x k =+（ 所以MN ==因为 PA MN =， 所以=整理得 421656330k k -+=， 解得k =±，或 k =±经检验均符合0∆>，但2k =-时不满足PAMN 是平行四边形，舍去（所以 k =k =± 2已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+的左、右焦点分别为12,F F ，124F F =，过2F的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，1PQF ∆的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A ,1F 分别是椭圆C 的左顶点、左焦点，直线m 与椭圆C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且11AF M OF N ∠=∠．证明：直线m 过定点，并求出该定点的坐标.】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由题意，知1224F F c ==，可知2c =，由椭圆的定义知,1PQF ∆的周长为4a =，∴a =24b =∴椭圆C 的方程为22184x y += （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0．设直线:l y kx m =+ 设()()1122,,,M x y N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222124280k x kmx m +++-=,()228840k m ∆=-+>，即22840k m -+>∴122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+，∵111212,22F M F N y y k k x x ==++， ∵M 、N 都x 轴上方．且11AF M OF N ∠=∠，∴11F M F N k k =-，∴121222y y x x =-++，即()()122122y x y x +=-+,代入1122,y kx m y kx m =+=+ 整理可得()()12122240kx x k m x x m ++++=，2121222284,1212m kmx x x x k k -=+=-++ 即222241684840km k k m km k m m ---++=，整理可得4m k =， ∴直线l ()44y kx m kx k k x =+=+=+，∴直线l 过定点()4,0-3已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 、Q 、R分别是椭圆C 的上、右、左顶点，且3PQ PR ⋅=-，点S 是2PF 的中点，且1OS =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()1,0T -的直线与椭圆C 相交于点M 、N ，若QMN △的面积是125，求直线MN 的方程.解：（Ⅰ）由题意知(),PQ a b =-，(),PR a b =--，∴223PQ PR a b ⋅=-+=-， ∵点S 是2PF 的中点，且1OS =，∴211122OS PF a ===，∴2a =，1b =， 故所求椭圆方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN ：1x ty =-，联立方程组22114x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224230t y ty +--=， ∴12224t y y t +=+，12234y y t=-+，12y y -==24t =+，∴1211123225QMNS TQ y y =⋅⋅-=⨯=△， ∴1t =±.∴直线MN 的方程为1y x =+或1y x =--.（解法2：求出弦长12N M y =-=点Q 到直线MN 的距离d =11225QMNS MN d ===△， ∴1t =±.∴直线MN 的方程为1y x =+或1y x =--.4如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点.若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由. 【小问1详解】由题意，1c =，则()()()(),,,,,,,A a b B a b C a b D a b ----，所以22AC b bk a a==，22BDb b k a a ==--，所以B AC D k k ⋅=2212b a -=-，解得：a =1=，（椭圆的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】（方法一）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭. 设直线PQ ：y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()222124220k x ktx t +++-=， 12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由12OP OQ k k ⋅=-，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=，代入化简得：22212t k =+.（22221212121211222222x x y y x x y y x MO M y Q ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+2222121222x x y y ++=+， 又点P ，Q 在椭圆上，（221112x y +=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=，（()222221212122242222222kt t x x x x x x t t --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭， （2212142x x +=.（2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭.即2232MO MQ +=为定值. （方法二）由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩， 把12122x x y y =-代入上式，化简22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， ()22221222121322x x y y MO MQ ++==++. 5已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的中心是坐标原点O ，左右焦点分别为12,F F ，设P 是椭圆C 上一点，满足2PF x ⊥轴，212PF =，椭圆C的离心率为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求2ABF 内切圆半径的最大值.【小问1详解】以2214x y +=．【小问2详解】解：由（1）可知()1F ，222112248ABF CAB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==，设直线l为x my =-2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410m y +--=，设()11,A x y ，()22,B x y，则1224y y m +=+，12214y y m -=+ 所以1224y y m -===+所以2121212ABF SF F y y =⋅-=，令内切圆的半径为R ，则2182ABF SR =⨯⨯，即24R m =+，令t =，则12t R t==≤=+，当且仅当3t t=，t =，即m =时等号成立，所以当m =R 取得最大值12； 6已知直线220x y 经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB △的面积为15，若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由．【小问1详解】220x y ，令0x =得：1y =，令0y =得：2x =-，所以椭圆C 的左顶点为()2,0A -，上顶点为()0,1D ，所以2,1a b ==，故椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为()2y k x =+，从而1016,33k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立得：()222214161640k x k x k +++-=，设()11,S x y ，则212164214k x k --=+，解得：2122814k x k -=+，从而12414k y k =+，即222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()2,0B ，由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：13103y kx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故16133k MN k =+，又0k >，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当16133k k =即14k =时等号成立，故线段MN 的长度的最小值为83.【小问3详解】由第二问得：14k =，此时64,55S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5SB ==， 要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB △的面积等于15，只须T 到直线BS的距离等于24S SB =．其中直线SB ：4056225y x -=--，即20x y +-=，设平行于AB 的直线为0x y t ++=4=解得：32t =-或52t =-，当32t =-时，302x y +-=，联立椭圆方程2214x y +=得：275304y y --=，由9350∆=+>得：302x y +-=与椭圆方程有两个交点；当52t =-时，502x y +-=，联立椭圆方程2214x y +=得：295504y y -+=，由25450∆=-<，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点T 的个数为2．满足题意. 所以原题得证，即直线2l 过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭7己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为,A B ，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭该椭圆上，且该椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于,M N 两点，记直线AM 的斜率为k ，直线BN 的斜率为2k ，直线AN 的斜率3k ，求证：_____________.在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明. （直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上；（1213k k =； （1314k k =-..解（因为抛物线24y x =的焦点为(1,0).所以椭圆的右焦点用(1,0)又点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b += 又22221a b c b =+=+，所以224,3a b ==椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）选（设()()1122,,,M x y N x y 22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 联立得：()22223484120k x k x k +-+-=法一：直线11(2),(2)y k x y k x =+=+的交点的横坐标为()12212k k x k k +=-()2121212122212112162442233422481234234k x k k x x x x k x k k k x x x k --+-++==⋅=⋅=--+--+所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上法二：要证直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上，即()122124k k k k +=-，即证1213k k =即证12121232y y x x =+-，即证2212121292y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，即证1212221292x x x x -+=+- 即证()12122580x x x x -++=因为()2212122282482585803434k k x x x x k k ⎛⎫--++=-+= ⎪++⎝⎭所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上.选（设()()1122,,,M x y N x y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：()22223484120k x k x k +-+-=所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++ 法一：()()()()()()1212112122121212122122222122y x x x k x x x x k x y x x x x x x -----+===++--+- 222112212222221122412846223434134121834128322343434k k k x x x k k k k k k x x x k k k ⎛⎫-----+ ⎪-++⎝⎭+===-⎛⎫---+-- ⎪+++⎝⎭法二：()()12121222y x k k x y -=+ 所以()()()()()()()()222121212121222121212122222422242y x x x x x x x k k x x x x x x x y ----++⎛⎫=== ⎪++++++⎝⎭22222222224121644134344121636943434k k k k k k k k k k--+++===-++++因为12,k k 也同号，所以1213k k =法三：要证1213k k =，即证12121232y y x x =+-，即证2212121292y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭即证1212221292x x x x -+=+-，即证()12122580x x x x -++= 因为()2212122282482585803434k k x x x x k k ⎛⎫--++=-+= ⎪++⎝⎭ 所以1213k k =法四：由122(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616120k x k x k +++-=得21122116812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 同理22222228612,3434k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 因为,,M N F 为三点共线，所以12221222122212121234346886113434k k k k k k k k -++=----++即()()12214330k k k k +-= 因为12,k k 同号，所以1213k k = 选（设()()1122,,,M x y N x y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：()22223484120k x k x k +-+-=所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++.()()21212121312121212224k x x x x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++⎣⎦=⋅=+++++ ()2222222222222222412814128343434141241216121641634434k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫--+ ⎪--++++⎝⎭===---+++++++.所以1314k k =-8设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为A ，B ，AB 4=．过点(0,1)E ，且斜率为k 的直线l 与x 轴相交于点F ，与椭圆相交于C ，D 两点．（1）求椭圆的方程； （2）若FC DE =，求k 的值；（3）是否存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ？证明你的结论． 【小问1详解】由题意22224b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22164x y +=； 【小问2详解】由题意知，0k ≠，直线l 的方程为1y kx =+，则1(,0)F k -，联立221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2223690k x kx ++-=，()223636230k k ∆=++>，设1122(,),(,)C x y D x y ，有12122269,2323k x x x x k k --+==++，则CD 中点横坐标为1223223x x kk+-=+， 又,(0,1),1(0)F k E -，则EF 中点横坐标为12k-，又因为FC DE =，且,,,C E F D 四点共线，取EF 中点H ，则FH HE =，所以H F HE C DE F =--，即HC DH =，所以H 是CD 的中点，即,CD EF 的中点重合，即231232k k k -=-+，解得k = 【小问3详解】不存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ，证明如下：由题意，(0,2),(0,2)A B -，则()()1122,2,,2AC x y BD x y =-=+，若AC BD ，则AC BD ∥，所以()()122122x y x y +=-，即()12211220x y x y x x -++=，即()()()1221121120x kx x kx x x +-+++=， 化简得()121220x x x x -++=，213x x =-，由（2）得，12112266,32323k k x x x x k k --+=-=++，解得12323kx k=+， ()12112299,32323x x x x k k --=⋅-=++解得212323x k =+，所以222332323k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，整理得22233k k +=，无解，所以不存实数k ，使直线AC 平行于直线BD .9已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =.（1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和. 【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴222c a =∴212e =又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22a c =又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k-+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x k x x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k-+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PN x x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.10已知椭圆22143x y +=，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点（B 在第一象限）． （1）若点B 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求△OBC 面积的最大值；（2）设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），且3y 1+y 2=0，求当△OBC 面积最大时，直线l 的方程． 【小问1详解】 直线OB 的方程为32y x =，即3x -2y =0，设过点C 且平行于OB 的直线l '的方程为32y x b =+， 则当l '与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．联立221,433,2x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并整理，得3x 2+3bx +b 2-3=0，此时Δ=9b 2-12（b 2-3），令Δ=0，解得b =±当b =C ⎛ ⎝⎭；当b =-时，C ⎭，∴ △OBC=． 【小问2详解】显然可知直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为x =my +n ，联立221,43,x y x my n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得（3m 2+4）y 2+6mnx +3n 2-12=0， ∴12221226,34312,34nm y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∵ 3y 1+y 2=0，∴ 1222123,344,34nm y m n y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 从而()222222943434n m n m m -=++，即2223431m n m +=+， ∴21212216||6||||2||23431OBCm n m Sn y y n y m m =⋅-=⋅==++． ∵ B 在第一象限，∴ 21123034m nx my n n m =+=+>+，∴ n ＞0．∵ y 1＞0，∴ m ＞0，∴2661313OBCm Sm m m==≤=++当且仅当31m m =，即m =时取等号），此时2n =，∴ 直线l的方程为x y =+，即20y -=．11椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，过椭圆右焦点2F 的直线l和椭圆C 相交于E 、F 两点，1EFF △的周长为8，若P 是椭圆上一个动点，且12PF PF ⋅的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）四边形MNAB 的四个顶点均在椭圆C 上，且//MB NA ，MB x ⊥轴，若直线MN 和直线AB 交于点()4,0S ，问：四边形MNAB 的对角线交点D 是否是定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：1EFF △的周长为48a =∴2a =，令222c a b =-设()00,p x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c()()20000,,PF PF c x y c x y ⋅=---⋅--2220x c y =-+2222021b x b c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭当220x a =时，()22212max3PF PF a c b ⋅=-==∴21c =，∴23b =∴方程为22143x y += （2）解：设 :AM y kx b =+（k 一定存在） 与椭圆联知：()2223484120kxkbx b +++-=设()11,A x y ，()22,M x y ，()11,N x y -，()22,B x y -，122834kb x x k +=-+，212241234b x x k -=+ ，∵M 、N 、S 共线∴2121044y y x x +=-- 得()12122(4)80kx x b k x x b +-+-=，即()222412824803434b kb k b k b k k--⋅+-⋅-=++， 整理可得0k b +=∴:(1)AM y k x =-过点()1,0Q 下证：BN 也过()1,0Q 212111BQ NQ y y k k x x -=---()()()()()()2112211111011k x x k x x x x ----=--=-∴BN 和AM 相交于()1,0()1,0即为定点D .。
解析几何解答题--椭圆
解析几何解答题--椭圆1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有()kck 2＋12＋()c22＝()b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为()c ，233c . 由|FM |＝(c ＋c )2＋()233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈()－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈()23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈()－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是()－∞，－233∪()23，233. 2．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2.又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24()x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2()4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1.因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t . 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1.直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n，即M ()m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |. 因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为()23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为()52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为()x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为()54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b ＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：连接QF 1，如下图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝()a a 2－2b 2c＋c2＋b 4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12[]1＋()42＋2－12＝6－ 3.解法二：连接QF 1，如上图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.6.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bcb 2＋c2＝bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4， 解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋()122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2, x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋()122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c3，即点P 的坐标为()－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即||k ()－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15. 8．已知椭圆C 的中心在原点，离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP →＋OA →与F A →共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，又离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)，∴c a ＝32，c ＝3，∴a ＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设椭圆C 上存在点P (x 0，y 0)，使得向量OP →＋OA →与F A →共线． ∵OP →＋OA →＝(x 0，y 0＋1)，F A →＝(－3，1)， ∴x 0＝－3(y 0＋1)． ①又点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. ② 由①②解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－837，y 0＝17.∴P (0，－1)或P ()－837，17.当点P 的坐标为(0，－1)时，直线AP 的方程为x ＝0，当点P 的坐标为P ()－837，17时，直线AP 的方程为3x －4y ＋4＝0，故存在满足题意的点P ，直线AP 的方程为x ＝0或3x －4y ＋4＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到Q (0,3)距离的最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A 、B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N (x ，y )，则|NQ |＝(x －0)2＋(y －3)2＝4b 2－4y 2＋(y －3)2＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9＝－3(y ＋1)2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值4b 2＋12，则4b 2＋12＝4，解得b 2＝1，∴a 2＝4，故椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，直线AB 的方程为y ＝k (x －3)， 由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0.则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2， Δ＝(－24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，解得k 2<15.由题意得OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，则x ＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)，y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6k t (1＋4k 2). 由点P 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2)．①由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，得(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)[]242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2<3，化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0，则8k 2－1>0，即k 2>18，∴18<k 2<15.②由①得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k 2， 由②得3<t 2<4，∴－2<t <－3或3<t <2. 故实数t 的取值范围为－2<t <－3或3<t <2.10已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点()1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解 (1)由题意知c ＝1,2a ＝32＋()322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ()－1，－32，B ()－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝12(k 2＋1)3＋4k 2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2，∴△AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， ∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.11如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为()43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a .又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ()43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2ca 2＋c 2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，或⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为()2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为()2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2)a 2＋c2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c3·()－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.12已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，4为长轴长的椭圆．其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23则k OB ＝±22，所以k AB ＝±2，则直线AB 的方程为2x ＋y －6＝0或2x －y －6＝0.13. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解 (1)点P (－2，1)在椭圆上，∴2a 2＋1b2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上，∴M 为PF 2的中点，∴－2＋c ＝0，c ＝ 2.∴a 2－b 2＝2，② 联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x 12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 05.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2，∴－10≤－5x 0≤10， 即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．。
考点27 椭圆的综合问题 (解析版)
考点27 椭圆的综合问题1、掌握直线与椭圆的关系，能够解决椭圆问题中的直线的方程和斜率问题·2、掌握圆锥曲线中最值问题的解题策略3、掌握圆锥曲线中定点、定值等问题解答题中考查直线与椭圆的知识 .涉及重点是考查椭圆的标准方程、几何性质,以及直线与椭圆相交所产生的相关问题,如范围问题、最值问题及定点、定值问题等等 . 在解决这类问题时,要充分利用方程的思想、数形结合的思想,同时,注意定义及几何图形的性质的应用,另外,这类问题也会考查学生观察、推理以及分析问题、解决问题的能力解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的两种解法分属于设点法和设线法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以必要的计算量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利1、【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===，故选A ． 2、【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．3、【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =，2,b =1c =． 所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k-=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -． 由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±所以，直线PB的斜率为5或5-． 4、【2020年北京卷】.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【解析】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 5、【2020年江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【解析】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+= （2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥ ∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x =∴()4,Q Q y ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,0F -∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S = ∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅∴95d = ∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 6、【2020年全国1卷】0.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y += （2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭7、【2020年全国2卷】.已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程. 【解析】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22bAB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx=⎧⎨=⎩， 解得2x c y c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c +=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得23x c =或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =. 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =.8、【2020年天津卷】.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 9、【2020年浙江卷】.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=2214168242p p x p p -++⇒==-++222222182422228162p p p p m p p p λλλλλ+⇒-+=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，40p ≤， 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()22222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==时，p.10、【2020年山东卷】.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点A （2，1）．（1）求C的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【解析】(1)由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，， 于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 3=）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值. 题型一、椭圆与圆的结合问题1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部 D ．PQ 【答案】BC 【解析】2216x y +=a ∴=1b =c ∴===C 的焦距为6c e a ===.设(), P x y （x ≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ =. 故选：BC .2、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考（一)数学（文)试题）设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．BC ．D ．7【答案】C 【解析】圆()2262x y +-=的圆心为M (0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-，MQ ==[]0 ,?1,1y ∈-∴当0y =- 23时，MQ =最大PQ 的最大值为故选C.3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时亦与圆222:()C x y b b +-=（b 为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为e ，则2e =__________．【答案】32【解析】设切线方程为y x m =+，代入椭圆方程可得：()2222222220b axa mx a m ab +++-=.因为相切2220,m a b ∆=∴=+，由直线y x m =+与圆C ,(1b m b =∴=，或(1b -（舍去）.则有2222(1b a b +=+，因为222b a c =-，所以可得2221)2,)a c e ==∴故答案为：32.4、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知椭圆L ：()222210x y a b a b +=>>，短轴长为2.（1）求椭圆L 的标准方程；（2）过点()0,2Q 的直线l 与椭圆L 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及AB 的大小.【答案】(1) 2214x y += (2) 22y x =±+，AB =. 【解析】（1）由22222222314c a b b e a a a -===-=得224a b =， 又∵短轴长为2可得1b =，24a =，∴椭圆L 的标准方程为：2214x y +=.（2）易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为()0k k ≠，设直线l 的方程为：2y kx =+，则联立222440y kx x y =+⎧⎨+-=⎩， 消元得：()224116120k x kx +++=，()()2221616484116430k k k ∆=⨯-+=->，即234k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ， ∴1221641k x x k -+=+，1221241x x k ⋅=+， 由题意可知OA OB ⊥，0OA OB ⋅=即：()()2121212121240x x y y k x x k x x ⋅+⋅=+⋅+++=，∴()222212132401414k k k k+-+=++，解得2344k =>，∴12x AB =-===综上：直线l 的方程为：22y x =±+，17AB =. 题型二、椭圆中的直线问题1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，()()1 ,0,1,0A B -，设ABC 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ，已知1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程;(2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M N 、两点，若6SMGSHNSS=，求直线MN 的方程.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）12y x =+或12y x =-+.【解析】(1)由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =，∴CA CB CP CQ AP BQ +=+++24CP AB AB =+=>.所以曲线E 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点).设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b+=>>≠则1,24c a ==，即2222,3a b a c ==-=所以曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠.(2)因为HA x ⊥轴，所以31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()00,S y ， 所以03223y --=-，所以01y =，则()0,1S因为2a c =，所以2SG SH =，所以1sin 2261sin 2SMG SMNSM SG MSG SM S SSN SN SH NSH ∠===∠ 所以3SMSN=，所以3SM SN =- 设()()1122,, ,,M x y N x y 则()11,1SM x y =-()22,1SN x y =-，所以123x x =-①直线MN 斜率不存在时， MN 方程为0x=此时2SM SN==+. ②直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+.联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880,k x kx ++-=所以122122834834k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123x x =-代入得222228348334k x k k x k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224833434k kk k ⎛⎫=⎪⎭+ ⎝+. 所以23,22k k ==±， 所以直线MN的方程为1y x =+或1y x =+. 2、(2019苏州期初调查）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P ⎝⎛⎭⎫1，32为椭圆上一点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1＝2k 2，求直线l 斜率的值．规范解答 (1)因为椭圆的离心率为12，所以a ＝2c.又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3c. 所以椭圆的标准方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.(3分)又因为点P ⎝⎛⎭⎫1，32为椭圆上一点，所以14c 2＋943c 2＝1，解得c ＝1.(5分) 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx ＋1. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．联立方程组⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1，消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0.所以由根与系数关系可知x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2.(8分) 因为k 1＝y 1x 1＋2，k 2＝y 2x 2－2，且k 1＝2k 2，所以y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2.(10分)即y 21（x 1＋2）2＝4y 22（x 2－2）2. ① 又因为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在椭圆上， 所以y 21＝34(4－x 21)，y 22＝34(4－x 22)． ② 将②代入①可得：2－x 12＋x 1＝4（2＋x 2）2－x 2，即3x 1x 2＋10(x 1＋x 2)＋12＝0.(12分)所以3⎝⎛⎭⎫－83＋4k 2＋10⎝⎛⎭⎫－8k3＋4k 2＋12＝0，即12k 2－20k ＋3＝0.(14分)解得k ＝16或k ＝32，又因为k>1，所以k ＝32.(16分)3、(2019通州、海门、启东期末）如图，A 是椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点，点P ，Q 在椭圆上且均在x 轴上方，(1) 若直线AP 与OP 垂直，求点P 的坐标；(2) 若直线AP ，AQ 的斜率之积为34，求直线PQ 的斜率的取值范围．思路分析 第1问，由于点A ，O 已知，且AP ⊥PO ，由此可得点P 所满足的轨迹方程，再根据点P 在椭圆上，就可以通过两个方程所组成的方程组求得点P 的坐标．第2问，要研究直线PQ 的斜率的取值范围，由于点P 、Q 与直线AP ，AQ 有关，因此，利用解方程组的方法可以将点P 、Q 的坐标表示为直线AP ，AQ 的斜率的形式，进而将直线PQ 的斜率表示为直线AP ，AQ 的斜率的形式，利用k AP ·k AQ ＝34就可以利用基本不等式或利用消元法转化为单个变量的函数形式，通过函数求得它的取值范围．(1) 设P(x 0，y 0)，A(－2，0)，则AP →＝(x 0，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，因为直线AP 与OP 垂直， 所以AP →·OP →＝0，即x 0(x 0＋2)＋y 20＝0.(3分) 得x 20＋2x 0＋y 20＝0.①又点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1.② 由①②得x 0＝－23或－2(舍去)，代入②得y 0＝±223.因为点P 在x 轴上方，所以P ⎝⎛⎭⎫－23，223.(6分)(2)由于直线AP ，AQ 的斜率之积为34，点P ，Q 在椭圆上且均在x 轴上方．所以可设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝34，k 1>0，k 2>0.所以直线AP 的方程为y ＝k 1(x＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k 1（x ＋2）得(4k 21＋1)x 2＋16k 21x ＋16k 21－4＝0.(8分)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则－2x 1＝16k 21－44k 21＋1，即x 1＝－2（4k 21－1）4k 21＋1.同理可得，x 2＝－2（4k 22－1）4k 22＋1.(10分) 所以直线PQ的斜率为k＝y 1－y 2x 1－x 2＝k 1（x 1＋2）－k 2（x 2＋2）x 1－x 2＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2（4k 21－1）4k 21＋1＋2－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2（4k 22－1）4k 22＋1＋2－2（4k 21－1）4k 21＋1－－2（4k 22－1）4k 22＋1＝4k 1（4k 22＋1）－4k 1（4k 21＋1）2（4k 22－1）（4k 21＋1）－2（4k 21－1）（4k 22＋1）＝4（k 2－k 1）（4k 1k 2－1）16（k 22－k 21）＝4k 1k 2－14（k 2＋k 1）＝12（k 2＋k 1）.(12分) 因为k 1k 2＝34，k 1>0，k 2>0.所以k 1＋k 2≥2k 1k 2＝3，注意到，点P ，Q 不重合，所以重号不成立． 所以0<12（k 2＋k 1）<36，所以直线PQ 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，36.(14分) 4、(2019南京、盐城一模）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k(x －m)(m ∈R )与椭圆交于P ，Q 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆的左顶点为A ，记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2. ①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．规范解答 (1)因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分)(2)①设P(x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q(－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204，(5分) 所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.(8分)②由(1)得A(－2，0)．解法1 设P(x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k 1（x ＋2），消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，(10分)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 12， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21.(12分)由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21.(13分) 设M(m ，0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →， 即12k 13＋4k 21×⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21－21＋12k 21－m ＝－12k 11＋12k 21×⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21－m ， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1.(16分) 解法2 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －m ），消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2.(10分)而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k （x 1－m ）x 1＋2·k （x 2－m ）x 2＋2＝k 2x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝－14，(13分)化简得k 2（3m 2－12）4m 2k 2＋16mk 2＋16k 2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0.因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1.(16分) 题型三、椭圆中的最值问题1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=. （1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）221164x y += （2）k >k <【解析】（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =,又c e a==,222a b c =+,解得c =,2b =,所以椭圆的标准方程为221164x y +=（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-,22(3,)QB x y =-,联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=, 所以120x x +=,1221641x x k -=+,因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>, 所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+12121293()x x x x y y =-+++ 2121293()(1)x x k x x =-+++2216(1)9041k k +=->+, 解得3510k >或3510k <-2、(2019无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 求 △PCD 面积的最大值．解答. (1) 由题意得：⎩⎨⎧3a 2＋14b2＝1c a ＝32a 2＝b 2＋c2得a 2＝4，b 2＝1，(4分)故椭圆C 的标准方程为：x 24＋y 2＝1.(5分)(2) 由题意设l AP ：y ＝k(x ＋2)，－12<k<0，所以C(0，2k)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y2＝1，消y 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2， 由x A ＝－2得x P ＝2－8k 21＋4k 2，故y P ＝k(x P＋2)＝4k 1＋4k 2， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，(8分) 设D(x 0，0)，因B(0，1)，P ，B ，D 三点共，所以k BD ＝k PB ，故1－x 0＝4k1＋4k 2－12－8k 21＋4k 2，解得x 0＝2（1＋2k ）1－2k ，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（1＋2k ）1－2k ，0，(10分)所以S △PCD ＝S PAD －S △CAD ＝12×AD ×|y P －y C |＝12]⎪⎪⎪⎪4k1＋4k 2－2k ＝4|k （1＋2k ）|1＋4k 2，(12分) 因为－12<k<0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2×1－2k 1＋4k 2，令t ＝1－2k ，1<t<2，所以2k ＝1－t ，所以g(t)＝－2＋2t 1＋（1－t ）2＝－2＋2tt 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t－2≤2＋222－2＝2－1，(14分)当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.(16分)3、(2019宿迁期末）如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)； (3) 求线段AC 长的取值范围．规范解答 (1)由⎩⎨⎧e ＝c a ＝22，a2c ＝4，得a ＝22，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2)解法1 设直线l 1：y ＝kx ＋4，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由对称性可知D(－x 1，y 1)，C(－x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋4，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0,所以x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1·x 2＝241＋2k 2.(6分) 又k BQ ＝y 2－1x 2，k DQ ＝y 1－1－x 1， 则k BQ －k DQ ＝y 2－1x 2－y 1－1－x 1＝kx 2＋3x 2＋kx 1＋3x 1＝2k ＋3（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k ＋－48k1＋2k 2241＋2k 2＝2k －2k ＝0，(8分)知k BQ ＝k DQ ，故点B ，D ，Q 三点共线，即直线BD 经过点Q(0，1)． 同理可得直线AC 经过点Q(0，1)．所以直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)．(10分)解法2 设直线l 1：y ＝kx ＋4，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由对称性可知D(－x 1，y 1)，C(－x 2，y 2)，且k＝y 2－y 1x 2－x 1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋4，削去y 得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0，Δ＝(16k)2－4(1＋2k 2)·24＝64k 2－96>0. 所以x 1＋x 2＝16k 1＋2k 2，x 1·x 2＝241＋2k 2.(6分) 直线AC 的方程为y ＝－y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 1)＋y 1＝－y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 1)＋kx 1＋4. 直线BD 的方程为y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋kx 2＋4.联立直线AC 和直线BD 的方程并化简得k(x 1＋x 2)＝y 2－y 1x 2＋x 1，即k （x 1－x 2）y 2－y 1＝1x 2＋x 1＝2x x 2＋x 1－1，即k－k ＝－1＝2xx 2＋x 1－1，解得x ＝0.在直线AC 的方程中，令x ＝0，得y ＝－y 2－y 1x 2＋x 1(－x 1)＋kx 1＋4＝－kx 2－kx 1x 2＋x 1(－x 1)＋kx 1＋4＝2kx 2x 1x 2＋x 1＋4.将x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1·x 2＝241＋2k 2代入计算得y ＝2kx 2x 1x 2＋x 1＋4＝48k1＋2k 2－16k1＋2k 2＋4＝－3＋4＝1.同理可得，在直线BD的方程中，令x＝0，得y ＝2kx2x1x2＋x1＋4＝48k1＋2k2－16k1＋2k2＋4＝－3＋4＝1.故直线AC与直线BD交于点Q(0，1)．(3)由(2)可知AC2＝(x1＋x2)2＋(y1－y2)2＝(x1＋x2)2＋k2(x1－x2)2＝(x1＋x2)2＋k2[]（x1＋x2）2－4x1·x2＝162k2（1＋2k2）2＋k2⎣⎡⎦⎤162k2（1＋2k2）2－4×241＋2k2＝16×4k4＋10k24k4＋4k2＋1＝16⎝⎛⎭⎪⎫1＋6k2－14k4＋4k2＋1.(12分)令t＝6k2－1，则k2＝t＋16.又由Δ＝162k2－4×24×(1＋2k2)>0得k2>32，所以t>8，所以AC2＝16＋]＝16(1＋9tt2＋8t＋16]＝16(1＋9t＋16t＋8)．(14分)因为⎝⎛⎭⎫t＋16t＋8′＝1－16t2>0在t∈(8，＋∞)上恒成立，所以t＋16t＋8在t∈(8，＋∞)上单调递增，所以t＋16t＋8>18, 0<9t＋16t＋8<12，1<1＋9t＋16t＋8<32.所以16<AC2<24，4<AC<26，所以线段AC长的取值范围是(4，36)．(16分)题型四、椭圆中的定点与定值问题1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>的离心率e满足223220e e-+=，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为2．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】（1）由2220e -+=解得2e =或e =，∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a --==-a ∴=1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =-， 设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +-+=， ∴12122286,2121k x x x x k k +==++， ()()22=84621k k --⨯⨯+=216240k ->232k ∴>， ∴()121224421y y k x x k -+=+-=+，()()121222y y kx kx =--()21212=24k x x k x x -++=224221k k -+，直线BP 的方程为1111y y x x -=+，令0y =解得111x x y =-，则11,01x M y ⎛⎫⎪-⎝⎭，同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪-⎝⎭，12123411BOMBCNx x SSy y ∴=--=()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =---++=22226321444212121k k k k +-++++=12，BOM BON S S∆∴为定值12． 2、（2019·山东高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=.故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-，()101,PB x x y =-， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++()()()()22200022221201202485312143x x k x k x x x k x x k x k --+-=+-++++=+因为·PM PB 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 3、(2019苏北三市期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点到右准线l 的距离为1.过x 轴上一点M(m ，0)(m 为常数，且m ∈(0，2))的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q.(1) 求椭圆C 的标准方程．(2) 试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．规范解答 (1)由题意，得⎩⎨⎧e ＝c a ＝22，a 2c －c ＝1，，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，所以a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2)解法1 由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意，所以可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k(x －m)．又准线方程为x ＝2，所以点P 的坐标为P(2，k(2－m))．(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －m ），x 2＋2y 2＝2，得，x 2＋2k 2(x －m)2＝2，即(1＋2k 2)x 2－4k 2mx ＋2k 2m 2－2＝0， 所以x A ＋x B ＝4k 2m 2k 2＋1，则x D ＝12·4k 2m 2k 2＋1＝2k 2m 2k 2＋1，y D ＝k ⎝⎛⎭⎫2k 2m 2k 2＋1－m ＝－km 2k 2＋1， (8分)所以k OD ＝－12k，从而直线OD 的方程为y ＝－12kx(也可用点差法求解)， 所以点Q 的坐标为Q ⎝⎛⎭⎫2，－1k .(10分) 所以以P ，Q 为直径的圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋1k ＝0， 即x 2－4x ＋2＋m ＋y 2－]y ＝0.(14分)因为该式对∀k ≠0恒成立，令y ＝0，得x ＝2±2－m ， 所以以PQ 为直径的圆经过定点()2±2－m ，0.(16分)解法2 由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意．直线l ：x ＝2. 设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m ，则P ⎝⎛⎭⎫2，2－m n .(6分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则D ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(8分)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得(n 2＋2)y 2＋2nmy ＋m 2－2＝0，Δ＝8(n 2－m 2＋2)>0，y 1＋y 2＝－2nm n 2＋2，x 1＋x 2＝n(y 1＋y 2)＋2m ＝4m n 2＋2，故D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m n 2＋2，－nm n 2＋2.(10分)所以k OD ＝－n 2，直线OD: y ＝－n2x ，故Q(2，－n)，则PQ 中点为⎝⎛⎭⎫2，2－m －n 22n ，PQ 2＝（n 2－m ＋2）n 22，所以以P ，Q 为直径的圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋n 2＋m －22n 2＝⎝⎛⎭⎫n 2－m ＋22n 2，(14分)整理得(x －2)2＋y 2＋m －2＋n 2＋m －2n y ＝0，令y ＝0，解得x ＝2±2－m ，所以以PQ 为直径的圆经过定点(2±2－m ，0)．(16分)4、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．规范解答 (1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a －c ＝3（2－1），解得⎩⎨⎧a ＝32，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝9.(4分)椭圆C 的标准方程是x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9；(7分) 当直线l 的斜率为零时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16.(8分)这两圆仅有唯一公共点，也是椭圆的上顶点D(0，3)．猜想以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(9分) 证明如下：证法1(向量法) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．只要证DA →·DB →＝x 1x 2＋(y 1－3)(y 2－3)＝x 1x 2＋(kx 1－4)(kx 2－4)＝0即可．即要证DA →·DB →＝(1＋k 2)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝0.(11分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋2y 2＝18，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0，Δ＝16k 2＋64(1＋2k 2)>0，此方程总有两个不等实根x 1，x 2.x 1，2＝2k ±29k 2＋41＋2k 2，所以x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k 2.(14分) 所以DA →·DB →＝(1＋k 2)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝－16（1＋k 2）1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋16＝0.所以DA ⊥DB ，所以以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分)证法2(斜率法) 若设DA ，DB 的斜率分别为k 1，k 2，只要证k 1k 2＝－1即可．设直线l 的斜率为λ，则y A ＋1x A ＝λ. 由点A 在椭圆x 2＋2y 2＝18上，得x 2A ＋2y 2A ＝18，变形得y A －3x A ·y A ＋3x A ＝－12，即k 1·y A ＋3x A ＝－12. 设y A ＋3＝m(y A －3)＋n(y A ＋1)，可得m ＝－12，n ＝32，得y A ＋3x A ＝32λ－12k 1. 从而k 1(3λ－k 1)＝－1，即k 21－3λk 1－1＝0.同理k 22－3λk 2－1＝0，所以k 1，k 2是关于k 的方程k 2－3λk －1＝0的两实根．由根与系数关系，得k 1k 2＝－1.所以DA ⊥DB ，所以以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分) 5、(2019镇江期末）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k ′，求证：k·k′为定值．. 规范解答 (1)由长轴长2a ＝4，两准线间距离2a 2c＝42，解得a ＝2，c ＝2，(2分) 则b 2＝a 2－c 2＝2，即椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(4分) (2) 当直线l 的斜率不存在时，此时EF ＝6，△AEF 的面积S ＝12AD ·EF ＝326，不合题意；(5分) 故直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k(x －1)，代入椭圆方程得，(1＋2k 2)x －4k 2x ＋2k 2－4＝0.因为D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.(6分) 故EF ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2223k 2＋21＋2k 2.(7分) 又点A 到直线l 的距离d ＝3|k|1＋k 2，(8分) 则△AEF 的面积S ＝12d ·EF ＝12·3|k|1＋k 2·1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2＝323k 4＋2k 21＋2k 2＝10，则k ＝±1.(9分)综上，直线l 的方程为x －y －1＝0和x ＋y －1＝0.(10分)(3) 证法1 设点E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则直线AE ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理可得N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2， 所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，52y 1x 1＋2＋52y 2x 2＋2.(12分) 直线QD 的斜率为k′＝5y 12（x 1＋2）＋5y 22（x 2＋2）3－1＝54⎝⎛⎭⎫y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2，(13分) 而y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k （x 1－1）x 1＋2＋k （x 2－1）x 2＋2＝k·2x 1x 2＋x 1＋x 2－4x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4.(14分) 由(2)知x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，代入上式得，(15分) y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k·4k 2－8＋4k 2－4（1＋2k 2）2k 2－4＋8k 2＋4＋8k 2＝－12k 18k 2＝－23k . 则有k′＝－56k ，所以k·k′＝－56，为定值．(16分) (3) 证法2 设点M(3，m)，N(3，n)，且m ≠n ，则Q ⎝⎛⎭⎫3，m ＋n 2，从而k′＝m ＋n 23－1＝m ＋n 4. 直线AM 的方程为y ＝m 5(x ＋2)， 与椭圆方程联立得(x ＋2)(x －2)＋2m 225(x ＋2)2＝0， 可知x ＝－2或x ＝50－4m 225＋2m 2，即点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫50－4m 225＋2m 2，20m 25＋2m 2. 故k DE ＝20m25＋2m 250－4m 225＋2m 2－1＝20m 25－6m 2. 同理可得k DF ＝20n 25－6n 2.又D ，E ，F 三点共线， 则有k ＝k DE ＝k DF ＝20m 25－6m 2＝20n 25－6n 2＝20m －20n 6n 2－6m 2＝20（m －n ）－6（m ＋n ）（m －n ）＝－103（m ＋n ）. 从而有k·k′＝－56. 6、(2019苏锡常镇调研（一））已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.。
椭圆综合题总结[附答案]
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一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n的区别）2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •=u u u r u u u r⇔ 12120x x y y +=②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ=u u u r u u u r⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）；⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的合理选择）；6.化简与计算；7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。
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专题三 压轴解答题
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题
【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．
类型一 中点问题
典例1 【山东省济南市2018届高三上学期期末考试】已知点()2,1P -在椭圆()22
2:102
x y C a a +=>上，动点,A B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点.
（1）求椭圆C 的方程和直线AB 的斜率；
（2）求PAB ∆面积的最大值.
【解析】1）将()2,1P -代入22
212
x y a +=，得， 22
22112
a +=， 28a =， 椭圆方程为22
182
x y += 设直线:AB y kx m =+， ()11,A x y ， ()22,B x y ， ,A B 的中点为()00,M x y 由22
{ 182
y kx m
x y =++=得()222148480k x kmx m +++-= ()012214214km x x x k =+=-+， 002
14m y kx m k =+=+， 直线OP 经过弦AB 的中点，则OM
OP k k =， 0012y x =-， 142m km =--， 12
k =
设()()()()3
2222f m m m m =--+-<<，
则()()()()333222f m m m m ⎡⎤=--++-⎣'⎦
()()2421m m =--+ 求得()()max 127f m f =-=，所以max 2733S =.
【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求．
【举一反三】（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆2222:1x y a b Γ+=(0)a b >>3原点到椭255
. （1）求椭圆Γ的标准方程;
（2）斜率存在且不为零的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,若线段AB 的垂直平分线的纵截距为-1,求直线l 纵截距的取值范围. 【答案】（1）2
214
x y +=；（2）133m <<. 【解析】（12225a b +. 又离心率32
c a =，又因为222a b c =+， 解得2a =，1b =，所以椭圆Γ方程为2
214
x y +=．。