数与代数

“数与代数”内容变化与教学建议

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新标准”）关于“数与代数”领域的内容结构没有变化，但“数的认识”“数的运算”“式与方程”的内容发生了一定的变化。

一、“数的认识”内容变化及教学

1.内容变化情况。

主要有三个方面的变化：一是内容有所增加。第一学段增加了“知道用算盘可以表示多位数”，“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小”。第二学段增加了“了解公倍数和最小公倍数；了解公因数和最大公因数”。二是要求适当调整，并使用新标准规定的课程目标术语，使得要求更加明确。例如，第一学段将“认识符号＜，＝，＞的含义”调整为“理解符号＜，＝，＞的含义”；将“识别各数位上的数字表示的意义”调整为“理解各数位上的数字表示的意义”。三是要求表述进一步准确、完整。例如，在第一学段中，将“能认、读、写万以内的数”修改为“在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数”；在第二学段中，将“能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流”修改为“会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用”；将“进一步认识小数和分数，认识百分数”修改为“结合具体情境，理解小数和分数的意义,理解百分数的意义”。

“数的认识”内容变化表现出三方面特点：一是突出数概念在小学数学中的核心地位。自然数、整数、小数、分数、百分数等，都是小学数学中最基本的概念，这些概念都是学生今后构建“概念网络图”、学习数的运算、研究数量关系的重要基础，是小学数学中的核心内容。新标准的修改有利于增强内容标准的可操作性，让课程目标切实得以落实。二是突出理解数的意义是认数教学的重点。新标准在继承从数的含义、计数技能、数的相对大小关系、用数进行交流等方面理解数的意义的基础上，进一步丰富学习的途径与内容。例如，引入认数工具算盘，有利于学生了解十进制计数法，了解祖国的传统文化；把比较两个一位小数的大小、比较两个同分母分数的大小单列出来，有利于学生在比较活动中进一步加深对一位小数和同分母分数意义的理解；增加了解公倍数、最小公倍数、公因数、最大公因数的学习，不仅是建立正确数概念的需要，也是学生后面正确开展相关数学活动的需要；强调结合具体情境认识数，不仅能让学生感受数学与生活的联系，而且有利于学生体会数的意义和作用，增强应用数的意识。三是突出数感的学习与培养。数感是数学课程内容的核心之一。数感是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。新标准在“数的认识”学习中，处处体现出对学生数感的培养。在现实情境中认数、读数、写数，感受数值大小，体会数的量化功能，不仅有利于学生加深对数的意义的理解，也给学生体会数用来表示和交流的作用、初步建立数感提供了机会；在具体情境中感受大数的意义，开展估计

活动，在数量与它们所表示的实际含义建立起联系，能使学生加深对大数的感觉。

2.教学中需要注意的问题。

“数的认识”在小学主要分为认识整数、认识分数（正分数）和认识小数三大块。第一学段认识万以内的整数，初步认识小数和分数；第二学段认识万以上的整数，了解倍数和因数、质数和合数，进一步认识小数、分数和百分数，了解负整数，从而完成有理数系的认识。教学时，要理清每部分内容编排的线索，把握内容的梯度。教学中，还要注意以下几点：

（1）把握认数的本质。

华罗庚先生说：“数起源于数，量起源于量。”数和量都离不开单位。自然数是“十进位值制”的，不同计数单位与其个数的累加就构成了全部的自然数，例如，2048=2×1000+0×100+4×10+8×1；小数也是如此，其累加的过程与自然数基本相同，只不过分“有限次累加”和“与无限次累加”两类；分数也是其分数单位累加的结果，即先有“分数单位”，再数出单位的个数，个数与分数单位相乘的结果就是“分数”。这样看待“数”，全部“数”的构成与结构就都一致了。进而，我们就能理解“加减法计算的本质就是相同计数单位…个数‟相加减”。

（2）让学生在具体情境中认数。

实践证明，理解数的意义，既需要从数的组成去建构，又需要联系实际来体会。教学数的认识，要把丰富多彩的现实世界当作学生学

习数学的背景，引导学生在具体情境中感受数的意义。如，认识整数时，选择现实的、有趣的素材，组织学生在具体情境中认数、读数、写数，感受数值大小，体会数的量化功能，有利于学生加深对数的意义的理解，同时也给学生体会数用来表示和交流的作用、建立数感提供机会；初步认识小数时，创设学生熟悉的生活情境，能有效激活学生已有的经验，促进学生对小数含义的领会；认识百分数时，让学生解释每个百分数在具体情境中的含义，举出生活中见到过的百分数并进行解释，学生在交流中能深化对百分数的认识。

（3）借助直观手段教学认数知识。

数是比较抽象的数学概念，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教学的难度。以认识整数为例，了解十进制计数法教学的重点，十进制计数法的主要内容有两部分：一是计数单位及每相邻两个计数单位间的关系；二是计数法的位值原则。教学中，一方面可以引导学生操作实物、小棒、小方块等学具，认识计数单位，体会计数单位之间的十进关系；另一方面，通过引进计数器、算盘等认数工具，能帮助学生理解位值原则（同一个数字在不同的数位其意义不同，它表示的是不同计数单位的个数），逐渐扩展数位顺序表。再以认识小数、分数为例，如果用正方形表示整数“1”，要求学生用小数、分数表示其中的一部分，能促进学生对小数、分数意义的理解；“数轴显示了数的存在性及其内部结构”，在数轴上建立点与相应的小数、分数的联系，不仅有助于学生理解数的意义，而且有助于沟通整数、小数、分数之间的联系，体会数的稠密性、无限性。

（4）设计活动，促进学生意义建构。

学生对数概念的意义建构，离不开教师对数学活动的科学设计。以分数初步认识为例，为了让学生理解分数是在平均分的时候产生的数，加深对分数意义的理解，动手操作（折纸、涂色）应当成为这部分内容学习最基本、最主要的活动。这种操作活动应置于数学心理学理论的视角下。例如，认识几分之一时，可以利用变式原理，从不同角度组织感性材料，变换事物的非本质特征，在各种表现形式中突出事物的本质特征，从而使学生对分数的理解越来越概括；认识几分之几时，应注意运用迁移原理，在学生原有认知结构中寻找和确定可以固定新知的相关旧知，促使学生头脑中几分之一的经验向几分之几迁移。

二、“数的运算”内容变化及教学

1.内容变化情况。

主要有以下几方面变化：一是把原来第二学段“能口算百以内一位数乘、除两位数”调到第一学段，并连同百以内的加减法改为“能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数”。二是内容有所增加。第一学段增加“认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）”。第二学段增加两条，即“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题。”“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。”三是表述有所变动。在第一学段中，将“能结合具体情境进行估算，并解释估算