集合、常用逻辑用语,函数与导数,等式专题限时规范训练及详细答案

第1讲集合、常用逻辑用语
[限时45分钟，满分60分]
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2013·烟台一模)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则(∁R A)∩B等于A．{x|x＞－1}B．{x|－1＜x≤1}
C．{x|－1＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}
解析∁R A＝{x|x≤1}，所以(∁R A)∩B＝{x|－1＜x≤1}，选B.
答案 B
2．(2013·东城模拟)若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是A．{1,2} B．{x|x≤1}
C．{－1,0,1} D．R
解析因为A∩B＝B，所以B⊆A，
因为{1,2}⊆A，所以答案选A.
答案 A
3．若函数f(x)＝x2＋a
x(a∈R)，则下列结论正确的是
A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数
D．∃a∈R，f(x)是奇函数
解析∵f′(x)＝2x－a
x2＝
2x3－a
x2，
∴A，B不正确．在C中，
当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，C正确，
显然f(x)不是奇函数，D不正确．
答案 C
4．(2013·丰台模拟)设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁U M＝{5,7}，则实数a的值
为
A ．2或－8
B ．－2或－8
C ．－2或8
D ．2或8
解析 因为∁U M ＝{5,7}，所以|a －5|＝3，即a －5＝3或a －5＝－3，即a ＝8或2，选D. 答案 D
5．(2013·滨州一模)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则(∁U B )∪A 等于 A ．{1,2} B ．{2,3,4} C ．{3,4}
D ．{1,2,3}
解析 因为A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，所以∁U B ＝{1,3}， 即(∁U B )∪A ＝{1,2,3}，选D. 答案 D
6．(2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 ∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴q ⇒綈p ，但綈p ⇏q ，其逆否命题为p ⇒綈q ，但綈q ⇏p ，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.
答案 A
7．(2013·云南师大附中模拟)已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是
A ．[－1,1]
B ．[－4,4]
C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 p ：－1≤x ≤4，记q ：3－m ≤x ≤3＋m (m ＞0)或3＋m ≤x ≤3－m (m ＜0)，
依题意，⎩⎨⎧
m ＞0，
3－m ≤－1，
3＋m ≥4
或⎩⎨⎧
m ＜0，
3＋m ≤－1，3－m ≥4，
解得m ≤－4或m ≥4.选C.
答案 C
8．(2013·烟台一模)已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使02x ＜0.下列选项中为真命题的是
A ．綈p
B ．(綈p )∨q
C ．(綈q )∧p
D ．q
解析 命题p 为真，q 为假命题，所以(綈q )∧p 为真，选C. 答案 C
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．(2013·德州一模)命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是________．
解析 全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是∃x ∈R ，x 2－2x ≠0.
答案 ∃x ∈R ，x 2－2x ≠0
10．(2013·合肥模拟)若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪
y ＝2－1x ，0＜x ≤1，则A ∩B
等于________．
解析 A ＝{y |y ＝x 1
3，－1≤x ≤1}＝{y |－1≤y ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪
y ＝2－1x ，0＜x ≤1＝{y |y ≤1}， 所以A ∩B ＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1]． 答案 [－1,1]
11．设p ：x
x －2＜0，q ：0＜x ＜m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．
解析 不等式x
x －2＜0等价于x (x －2)＜0，解之得0＜x ＜2，
即p ：0＜x ＜2.又p 是q 成立的充分不必要条件，
∴{x |0＜x ＜2}{x |0＜x ＜m }，故m ＞2. 答案 (2，＋∞)
12．给定下列四个命题：
①“x ＝π6”是“sin x ＝1
2”的充分不必要条件； ②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ③若a ＜b ，则am 2＜bm 2； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .
其中为真命题的是________(填上所有正确命题的序号)．
解析 ①中由x ＝π6⇒sin x ＝12，但sin x ＝12⇏x ＝π
6，故①为真命题． ②中p ∨q 为真，但p 、q 不一定全为真命题， 则推不出p ∧q 为真，故②为假命题． ③中当m 2＝0时不成立，故③为假命题． ④中A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，故④为真命题． 故答案为①④. 答案 ①④
第2讲 函数、基本初等函数的图象性质
[限时45分钟，满分60分]
一、选择题(每小题5分，共45分) 1．函数f (x )＝
3x
1－x
＋lg(2x －1)的定义域为 A ．(－∞，1)
B ．(0,1]
C ．(0,1)
D ．(0，＋∞)
解析 要使函数有意义，则有⎩⎨⎧ 2x
－1＞01－x ＞0，即⎩
⎨⎧
x ＞0
x ＜1，
所以0＜x ＜1，即函数定义域为(0,1)，选C. 答案 C
2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1
x ，则f (－1)等于 A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 A
3．(2013·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－log 2x ，x ＞0，
1－x 2
，x ≤0，则不等式f (x )＞0的解集为 A ．{x |0＜x ＜1} B ．{x |－1＜x ≤0} C ．{x |－1＜x ＜1}
D ．{x |x ＞－1}
解析 若x ＞0，由f (x )＞0得，－log 2x ＞0， 解得0＜x ＜1；
若x ≤0，由f (x )＞0，得1－x 2＞0， 解得x 2＜1，即－1＜x ≤0. 综上－1＜x ＜1，选C. 答案 C
4．(2013·济南一模)函数y ＝x －1
3
x 的图象大致为
解析 函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除C ，D. 当x ＝1时，y ＝0，当x ＝8时， y ＝8－3
8＝8－2＝6＞0，排除B ，选A. 答案 A
5．(2013·浦东模拟)已知函数f (x )＝
14x ＋2
，若函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋12＋n 为奇函数，则实数n 为
A ．－1
2
B ．－1
4
C.1
4
D ．0
解析 据题意，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋12＋n ＝
12
14
2
x ++＋n ，
所以当x ＝0时，
102
1
4
2
+
+＋n ＝0，
解得n ＝－1
4. 答案 B
6．(2013·玉溪模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)＜0的解集是
A ．(－1,0)
B ．(－∞，0)∪(1,2)
C ．(1,2)
D ．(0,2)
解析 根据函数的性质作出函数f (x )的图象如图．把函数f (x )向右平移1个单位，得到函数f (x －1)，如图，则不等式f (x －1)＜0的解集为(0,2)，选
D.
答案 D
7．(2013·玉溪一中月考)函数f (x )＝
x
x 2＋a
的图象不可能是
解析 当a ＝0时，f (x )＝
x x 2
＋a
＝1
x ，C 选项有可能． 当a ≠0时，f (0)＝x
x 2＋a
＝0，所以D 图象不可能，选D.
答案 D
8．(2013·海淀模拟)若x ∈R ，n ∈N ＋，定义E n x ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如E 4
－4＝(－4)·
(－3)·(－2)·(－1)＝24，则f (x )＝x ·E 5x －2的奇偶性为
A ．偶函数不是奇函数
B ．奇函数不是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
解析 由题意知f (x )＝x E 5x －2＝x (x －2)(x －1)x (x ＋1)(x ＋2)＝x 2(x 2－4)(x 2－1)，所以函数为偶函
数，不是奇函数，选A.
答案 A
9．(2013·潮州一模)定义域为R 的奇函数f (x )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0恒成立，若a ＝3f (3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝－2f (－2)，则
A ．a ＞c ＞b
B ．c ＞b ＞a
C ．c ＞a ＞b
D ．a ＞b ＞c
解析 设g (x )＝xf (x )，依题意得g (x )是偶函数， 当x ∈(－∞，0)时f (x )＋xf ′(x )＜0，
即g ′(x )＜0恒成立，故g (x )在x ∈(－∞，0)单调递减， 则g (x )在(0，＋∞)上递增，
a ＝3f (3)＝g (3)，
b ＝(log π3)·f (log π3)＝g (log π3)，
c ＝－2f (－2)＝g (－2)＝g (2)． 又log π3＜1＜2＜3，故a ＞c ＞b . 答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
10．(2013·山东实验中学模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．
解析 因为y ＝|a x －1|的图象是由y ＝|a x |向下平移一个单位得到，当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －1|的图象如图，此时y ＝2a ＞2，如图只有一个交点，不成立．
当0＜a ＜1时，0＜2a ＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.
答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12
11．(2013·海淀模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
a x
， x ＞0，
ax ＋3a －8， x ≤0，
若函数f (x )的图象经过点(3,8)，则a ＝________；若函数f (x )是 (－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是________．
解析 若函数f (x )的图象经过点(3,8)， 则a 3＝8，解得a ＝2.
若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 则有⎩⎨⎧ a ＞1f (0)≤1，即⎩⎨⎧
a ＞13a －8≤1，
所以⎩⎨⎧
a ＞1a ≤3，即1＜a ≤3，
所以实数a 的取值范围是(1,3]． 答案 2 (1,3]
12．(2013·西城模拟)已知函数f (x )的定义域为R .若∃常数c ＞0，对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )，则称函数f (x )具有性质P .给定下列三个函数：
①f (x )＝2x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝x 3－x . 其中，具有性质P 的函数的序号是________．
解析 由题意可知当c ＞0时，x ＋c ＞x －c 恒成立，若对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )． ①若f (x )＝2x ，则由f (x ＋c )＞f (x －c )得2x ＋c ＞2x －c ，即x ＋c ＞x －c ，所以c ＞0，恒成立． 所以①具有性质P .②若f (x )＝sin x ，由f (x ＋c )＞f (x －c )得sin(x ＋c )＞sin(x －c )，整理cos x sin c ＞0，所以不存在常数c ＞0，对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )成立，所以②不具有性质P .③若f (x )＝x 3－x ，则由f (x ＋c )＞f (x －c )得由(x ＋c )3－(x ＋c )＞(x －c )3－(x －c )，整理得6x 2＋c 2＞2，所以当只要c ＞2，则f (x ＋c )＞f (x －c )成立，所以③具有性质P ，所以具有性质P 的函数的序号是①③.
答案 ①③
第3讲 函数与方程及函数的应用
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分) 1．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则 A ．k ＜0
B ．k ＝0
C ．k ＞0
D ．0≤k ＜1
解析 函数f (x )有两个零点，即方程|x |＝k 有两个不等的实数根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |和y ＝k 的图象，如图所示，可知当k ＞0时，二者有两个交点，即f (x )有两个零点．
答案 C
2．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表
那么方程x 3＋x 2－2x A ．1.2
B ．1.3
C ．1.4
D ．1.5
解析 根据所给表格与函数零点的存在性定理可知f (1.375)f (1.438)＜0，即函数f (x )的零点在区间(1.375，1.438)内，故方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确到0.1)为1.4.
答案 C
3．(2013·惠州模拟)已知函数f (x )＝3x ＋x －9的零点为x 0，则x 0所在区间为 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3
2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，12 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，52 解析 因为f (x )为增函数．
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32＝27＋32－9＜0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
52＝243＋52－9＞0.故选D. 答案 D
4．已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝1
2，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为
A ．2 011
B ．1 006
C ．2 013
D ．1 007
解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2， 由f (x )＝f (－x ＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称， 因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝1
2，
所以函数f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个，选C. 答案 C
5．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a (0＜a ＜2)有三个零点x 1、x 2、x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则下列结论正确的是
A ．x 1＞－1
B ．x 2＜0
C ．0＜x 2＜1
D ．x 3＞2
解析 因为f (－3)＝a －15＜0，f (－1)＝3＋a ＞0，f (0)＝a ＞0，f (1)＝a －3＜0，f (2)＝a ＞0，所以函数的三个零点分别在(－3，－1)，(0,1)，(1,2)之间，又因为x 1＜x 2＜x 3，所以－3＜x 1＜－1,0＜x 2＜1＜x 3＜2，选C.
答案 C
6．(2013·滨州一模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 12
(x ＋1)，x ∈[0，1)，
1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a,0＜a ＜1的所有零点之和为
A ．1－2a
B ．2a －1
C ．1－2－a
D ．2－a －1
解析 当0≤x ＜1时，f (x )≤0.当x ≥1时，函数f (x )＝1－|x －3|，关于x ＝3对称，当x ≤－1时，函数关于x ＝－3对称，由F (x )＝f (x )－a ＝0，得y ＝f (x )，y ＝a .所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1，所以f (－x )＝12
log (－x ＋1)＝－log 2(1－x )，即f (x )＝log 2(1－
x )，－1≤x ＜0.由f (x )＝log 2(1－x )＝a ，解得x ＝1－2a ，因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a,0＜a ＜1的所有零点之和为x ＝1－2a ，选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．方程12
log (a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．
解析 方程12
log (a －2x
)＝2＋x 等价为⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋x
＝a －2x ，
即a ＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋
x ＝2x ＋14×12x ≥2
2x ×14×12x ＝1，当且仅当2x ＝14×12x ，
即2x ＝1
2，x ＝－1时取等号，所以a 的最小值为1. 答案 1
8．(2013·滨州一模)定义在R 上的偶函数f (x )，且对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．
解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图象，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率0＜k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－(－1)＝14
，所以0＜k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.
答案 ⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，14
9．(2013·房山区一模)某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧
t 4＋22， 0≤t ＜40，t ∈N ，－t 2＋52， 40≤t ≤100，t ∈N ，
日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t 3＋109
3，
0≤t ≤100，t ∈N .则这种商品的日销售额的最大值为________．
解析 由条件可知，当0≤t ＜40，t ∈N 时，这种商品的日销售额为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫
－t 3＋1093，
则当t ＝10或t ＝11时，y max ＝808.5；当40≤t ≤100，t ∈N 时，这种商品的日销售额为y ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫
－t 2＋52⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－t 3＋1093，则当t ＝100时，y max ＝736. 答案 808.5
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p ＝⎩⎨⎧
t ＋20， 0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100， 25≤t ≤30，t ∈N .
该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是Q ＝－t ＋40,0＜t ≤30，t ∈N ，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？
解析 由题意得y ＝pQ ＝⎩⎨⎧
(－t ＋40)(t ＋20)， 0＜t ＜25，
(－t ＋40)(－t ＋100)， 25≤t ≤30，
所以当0＜t ＜25时，y max ＝f (10)＝900， 当25≤t ≤30时，y max ＝f (25)＝1 125， 综上所述，y max ＝f (25)＝1 125.
所以这种商品的日销售金额的最大值为1 125元，是30天中的第25天．
11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)，f (－2)＝f (0)＝0，f (x )的最小值为－1. (1)求函数f (x )的解析式；
(2)设函数h (x )＝1
2
[()]n f x --－1，若函数h (x )在其定义域上不存在零点，求实数n 的取值范围． 解析 (1)由题意设f (x )＝ax (x ＋2)， ∵f (x )的最小值为－1，
∴a ＞0，且f (－1)＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .
(2)∵函数h (x )＝1
2
[()]n f x -
-－1在定义域内不存在零点，必须且只须有n －f (x )＞0有解，且n －f (x )＝1无解．
∴n ＞f min (x )，且n 不属于f (x )＋1的值域． 又∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，
∴f (x )的最小值为－1，f (x )＋1的值域为[0，＋∞)， ∴n ＞－1，且n ＜0， ∴n 的取值范围为(－1,0)．
12．祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作实验区和台湾农业创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯收入(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．
(1)从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？
解析 (1)设从第n 年开始获取纯利润，则
f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12n ＋n (n －1)2·4＋72
＝－2n 2＋40n －72＞0， 整理得n 2－20n ＋36＜0，解得：2＜n ＜18， ∴从第三年开始获取纯利润．
(2)方案1 年平均利润为f (n )n ＝－2n 2
＋40n －72n ＝40－2
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫n ＋36n ≤40－4 n ·
36n ＝16，
当且仅当n ＝36
n ，即n ＝6时取等号， ∴总利润为y 1＝16×6＋48＝144(万元)．
方案2 纯利润总和为f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128， ∴n ＝10时，f (n )max ＝128，
∴总利润为y 2＝128＋16＝144(万元)． 由于方案1用时较短，故方案1最合算．
第4讲 不等式
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分) 1．下列不等式可以推出a ＜b 的是 A ．ac 2
＜bc 2
B.1a ＞1b C ．a 2＜b 2
D.a c ＜b c
解析 因为ac 2＜bc 2，所以c ≠0，即c 2＞0，故ac 2＜bc 2⇒a ＜b ，选A ；对于B ，当a ＝1，b ＝－1时，满足1a ＞1
b ，但a ＞b ；对于C ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a 2＜b 2，但a ＞b ；对于D ，当
c ＜0时，有a ＞b .
答案 A
2．若点(a ，a )和点(a ＋2，a )分别在直线x ＋y －3＝0的两侧，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，＋∞
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，32 解析 据题意知(a ＋a －3)(a ＋2＋a －3)＜0，即(2a －3)(2a －1)＜0，
解得12＜a ＜3
2，故选D. 答案 D
3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－1， x ≥0，
x 2－1， x ＜0，则满足不等式f (3－x 2)＜f (2x )的x 的取值范围为
A ．[－3,0)
B ．(－3,0)
C ．(－3,1)
D ．(－3，－3)
解析 由函数图象可知，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上是一条平行于x 轴
的射线，则原不等式的解为⎩⎨⎧
3－x 2
＞2x ，
2x ＜0，
即x ∈(－3,0)，故选B.
答案 B
4．(2013·深圳模拟)已知a ＞0，c ＞0，设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9
a 的最小值为
A ．3
B.9
2
C ．5
D ．7
解析 因为二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16－4ac ＝0，即ac ＝4，1ac ＝14，又1c ＋9a ＝2 1c ×9a ＝2
9ac ＝2
94＝3，当且仅当1c ＝9a ，ac ＝4，即c ＝23，a ＝6
时等号成立．
答案 A
5．(2013·潍坊一模)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
y ≤x y ≥1
2x
x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋1
2y 的最大值为
A.1
4
B.3
4
C.5
6
D.53
解析 由z ＝x ＋1
2y 得y ＝－2x ＋2z .作出可行域如图阴影部分，平移直线y ＝－2x ＋2z ，由平移可知，当直线经过点C 时，直线y ＝－2x ＋2z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12
x
x ＋y ＝1
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2
3
y ＝1
3
，
代入z ＝x ＋12y 得z ＝23＋12×13＝5
6，选C.
答案 C
6．(2013·枣庄一模)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧
x ＋2y ≥0
x －y ≤0
0≤y ≤k
，若z 的最大值为6，则z 的
最小值为
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
解析 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎨⎧
x ＋2y ≥0，
x －y ≤0的区域BCO ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图
象可知当直线经过C 时，直线的截距最大，此时z ＝6，由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝－x ＋6解得⎩⎨⎧
x ＝3
y ＝3，所以k ＝3，
解得B (－6,3)代入z ＝x ＋y 的最小值为z ＝－6＋3＝－3，选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知不等式x 2＋mx ＋n ＜0的解集是{x |－1＜x ＜6}，则mx ＋n ＞0的解集是________．
解析 据题意知x 2＋mx ＋n ＝0的两根为－1和6，由根与系数关系得m ＝－5，n ＝－6，则不等式mx ＋n ＞0
为－5x －6＞0，其解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＜－6
5
. 答案
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ＜－
6
5 8．(2013·杭州一模)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2y
xy 的最小值为________． 解析 由题意：2x ＋y －3＝0⇒2x 3＋y
3＝1，
x ＋2y xy ＝2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋y 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋53≥23·2＋
5
3＝3. 答案 3
9．(2013·滨州一模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x －2y ≤0，2x －y ≥0，
x 2＋y 2－2x －2y ≤0，
则目标函数z ＝x ＋y 的
最大值为________．
解析 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出不等式组对应的区域，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知，当直线y ＝－x ＋z 与圆在第一象限相切时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大．直线与圆的距离d ＝
|z |
2
＝2，即z ＝±4，所以目标函数z ＝x ＋y 的最大值是4.
答案 4
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．已知不等式ax 2－3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }． (1)求a 、b 的值；
(2)解关于x 的不等式x 2－b (a ＋c )x ＋4c ＞0.
解析 (1)由题意知a ＞0且1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的根， ∴a ＝1；又1×b ＝2
a ，∴
b ＝2.
(2)不等式可化为x 2－2(c ＋1)x ＋4c ＞0， 即(x －2c )(x －2)＞0，
当2c ＞2，即c ＞1时不等式的解集为{x |x ＜2，或x ＞2c }， 当2c ＝2，即c ＝1时不等式的解集为{x |x ≠2}，
当2c ＜2，即c ＜1时不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜2c }， 综上：当c ＞1时不等式的解集为{x |x ＜2，或x ＞2c }， 当c ＝1时不等式的解集为{x |x ≠2}．
当c ＜1时不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜2c }． 11．已知函数f (x )＝x 2＋1
2x ＋a ，a ∈R . (1)当a ＝－15
16时，解不等式f (x )＜0；
(2)当a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
时，若对任意n ∈N ＋，当x ∈(－∞，λ]时不等式f (x )≥0恒成立，求实数λ的取
值范围．
解析 (1)把a ＝－1516代入f (x )＝x 2＋12x ＋a ＜0得x 2＋12x －15
16＜0，即16x 2＋8x －15＜0，分解因式得(4x －3)(4x ＋5)＜0，解之得－54＜x ＜3
4，
所以不等式f (x )＜0
的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－54＜x ＜3
4
. (2)当a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
12n 时，
由f (x )＝x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫
12n ≥0，
得x 2
＋12x ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
，即
x 2＋12x ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max 恒成立，
因为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12，
即x 2＋12x ≥1
2在x ∈(－∞，λ]时恒成立．
令y ＝x 2＋12x ，则y ＝x 2＋12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142－1
16，
二次函数图象的开口向上，且对称轴为x ＝－1
4， 令y ＝x 2＋12x ＝1
2， 解得x ＝－1，或x ＝1
2，
结合二次函数y ＝x 2
＋1
2x 的图象可知，
要使当x ∈(－∞，λ]时不等式x 2＋12x ≥1
2恒成立，则λ≤－1.
12．城建部门计划在浑南新区建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．
(1)若设休闲区的长A 1B 1＝x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？
解析 (1)由A 1B 1＝x ，知B 1C 1＝4 000x ，
S ＝(x ＋20)⎝ ⎛⎭⎪⎫
4 000x ＋8＝4 160＋8x ＋80 000x (x ＞0)．
(2)S ＝4 160＋8x ＋80 000
x ≥4 160＋2
8x ·80 000x
＝5 760， 当且仅当8x ＝
80 000
x ，即x ＝100时取等号．
∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．
第
5讲 导数的简单应用
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2013·邯郸模拟)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为
A ．y ＝3x ＋1
B ．y ＝－3x
C ．y ＝－3x ＋1
D ．y ＝3x －3
解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，若f ′(x )为偶函数，则a ＝0，所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3.所以f ′(0)＝－3.所以在原点处的切线方程为y ＝－3x ，选B.
答案 B
2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图象如图，则函数f (x )的极小值是
A ．a ＋b ＋c
B ．8a ＋4b ＋c
C ．3a ＋2b
D ．c
解析 由导函数f ′(x )的图象知当x ＜0时，f ′(x )＜0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的极小值为f (0)＝c ，选D.
答案 D
3．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A.2
9
B.1
9
C.1
3
D.23
解析 y ′＝f ′(x )＝x 2
＋1，在点⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，43的切线斜率为k ＝f ′(1)＝2.所以切线方程为y －43＝2(x
－1)，即y ＝2x －23，与坐标轴的交点坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以三角形的面积为12×13×⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－23＝
19，选B.
答案 B
4．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是
A ．2
B ．1
C ．0
D ．由a 确定 解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，
所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以没有极值点，选C.
答案 C
5．若函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，则实数a 的范围是
A ．a ＞－3
B ．a ＜－3
C ．a ＞－13
D ．a ＜－13
解析 因为函数y ＝e (a －1)x ＋4x ，
所以y ′＝(a －1)e (a －1)x ＋4(a ＜1)，
所以函数的零点为x 0＝1a －1ln 4－a ＋1
. 因为函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，故
1a －1ln 4－a ＋1＞0，得到a ＜－3，选B. 答案 B
6．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．R 解析 令g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，
则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴g (x )在R 上单调递增．
又∵g (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，
∴g (x )＞0，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2013·临沂模拟)若曲线f (x )＝x ，g (x )＝x a 在点P (1,1)处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，则a 的值为________．
解析f′(x)＝
1
2x
，g′(x)＝ax a－1，
所以在点P处的斜率分别为k1＝1
2，k2＝a.
因为l1⊥l2，所以k1k2＝a
2＝－1，所以a＝－2.
答案－2
8．函数f(x)＝x(e x－1)－1
2x
2的单调增区间为________．
解析f′(x)＝e x－1＋x·e x－x＝(e x－1)(x＋1)，
令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞0，
所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．
答案(－∞，－1)和(0，＋∞)
9．若函数f(x)＝x－a x＋ln x(a为常数)在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝x－a x＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝1－
a
2x
＋
1
x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x＋
2
x
.
而2x＋2
x
≥22x×
2
x
＝4，
当且仅当x＝1
x
，即x＝1时等号成立，∴a≤4.
答案(－∞，4]
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．(2013·杭州一模)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x，(其中a＞0)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极小值；
(2)当a＝4时，给出直线l1：5x＋2y＋m＝0和l2：3x－y＋n＝0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f(x)的图象的切线？若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．
解析(1)当a＝1时，f′(x)＝2x－3＋1
x＝
(x－1)(2x－1)
x，
当0＜x＜1
2时，f′(x)＞0；当
1
2＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0.
所以当x＝1时，f(x)取极小值－2.
(2)当a ＝4时，f ′(x )＝2x ＋4x －6.
∵x ＞0，∴f ′(x )＝2x ＋4x －6≥42－6，
故l 1中，不存在函数图象的切线．
由2x ＋4x －6＝3得x ＝12与x ＝4，
当x ＝12时，求得n ＝－174－4ln 2，
当x ＝4时，求得n ＝4ln 4－20.
11．(2013·惠州模拟)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线与函数f (x )，g (x )的图象都
相切于点(1,0)．
(1)求直线的方程及g (x )的解析式；
(2)若h (x )＝f (x )－g ′(x )(其中g ′(x )是g (x )的导函数)，求函数h (x )的极大值．
解析 (1)直线是函数f (x )＝ln x 在点(1,0)处的切线，
故其斜率k ＝f ′(1)＝1，
∴直线的方程为y ＝x －1.
又因为直线与g (x )的图象相切，且切于点(1,0)，
∴g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n 在点(1,0)的导函数值为1，
∴⎩⎨⎧ g (1)＝0g ′(1)＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝16，∴g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋16.
(2)∵h (x )＝f (x )－g ′(x )＝ln x －x 2－x ＋1(x ＞0)，
∴h ′(x )＝1x －2x －1＝1－2x 2－x x ＝－(2x －1)(x ＋1)x
， 令h ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1(舍)，
当0＜x ＜12时，h ′(x )＞0，h (x )递增；
当x ＞12时，h ′(x )＜0，h (x )递减，
因此，当x ＝12时，h (x )取得极大值，∴[h (x )]极大＝h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝ln 12＋14.
12．(2013·大兴区一模)已知函数f (x )＝x －a (x －1)2
，x ∈(1，＋∞)． (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)函数f (x )在区间[2，＋∞)上是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
解析 (1)f ′(x )＝(x －1)(－x ＋2a －1)(x －1)4
，x ∈(1，＋∞)． 由f ′(x )＝0，得x 1＝1，或x 2＝2a －1.
①当2a －1≤1，即a ≤1时，
在(1，＋∞)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；
②当2a －1＞1，即a ＞1时，在(1,2a －1)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，在(2a －1，＋∞)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．
综上所述：a ≤1时，f (x )的减区间为(1，＋∞)；
a ＞1时，f (x )的增区间为(1,2a －1)，f (x )的减区间为(2a －1，＋∞)．
(2)①当a ≤1时，由(1)f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；
②当a ＞1时，若2a －1≤2，即a ≤32时，
f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；
若2a －1＞2，即a ＞32时，f (x )在[2,2a －1)上单调递增，在(2a －1，＋∞)上单调递减，
因为f (2a －1)＝a －1(2a －2)2
＞0， 且当x ＞2a －1时，x －a ＞a －1＞0，
所以x ≥2a －1时，f (x )＞0.
又因为f (2)＝2－a ，所以当2－a ≤0，
即a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；
2－a ＞0，即32＜a ＜2时，f (x )没有最小值．
综上所述：当a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；
当a ＜2时，f (x )没有最小值．
第6讲 导数的综合应用和定积分
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2013·山师大附中模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛0
1sin x d x ，下列关系式成立的是 A ．a ＞b B ．a ＋b ＜1 C ．a ＜b D ．a ＋b ＝1
解析 a ＝⎠⎛0
1cos x d x ＝sin x |10＝sin 1， b ＝⎠⎛0
1sin x d x ＝(－cos x ) |10＝1－cos 1， 所以a ＝sin 1＞sin π6＝12.
又cos 1＞cos π3＝12，
所以－cos 1＜－12，b ＝1－cos 1＜1－12＝12，
所以a ＞b ，选A.
答案 A
2．(2013·惠州模拟)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为
A ．ln 2
B ．1－ln 2
C ．2－ln 2
D ．1＋ln 2
解析 S ＝1×1＋⎠⎛1
21y d y ＝1＋ln y |21＝1＋ln 2.故选D. 答案 D
3．(2013·宿州模拟)方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析 设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，
由此可知函数的极大值为f (1)＝－6＜0，
极小值为f (3)＝－10＜0，
所以方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数为1个，选C.
答案 C
4．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝x n
＋x －1(n ∈N ＋，n ≥2)，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内 A ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …单调递增
B ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …单调递减
C ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …非单调数列
D ．不存在零点
解析 f ′(x )＝nx n －1＋1，因为n ≥2，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，所以f ′(x )＞0， 所以函数在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上单调递增． f (1)＝1＋1－1＝1＞0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12－1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －12.
因为n ≥2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －12＜0， 所以函数在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上只有一个零点，选A. 答案 A
5．(2013·诸城市高三月考)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足
1－x f ′(x )
≤0，则必有 A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)
B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)
C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)
D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) 解析 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数递减．
当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数递增，
即当x ＝1，函数取得极小值同时也是最小值f (1)，
所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，
即f (0)＋f (2)＞2f (1)，选A.
答案 A
6．若直线y ＝m 与y ＝3x －x 3的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为
A ．－2＜m ＜2
B ．－2≤m ≤2
C ．m ＜－2或m ＞2
D ．m ≤－2或m ≥2 解析 y ′＝3(1－x )(1＋x )，
由y ′＝0得x ＝±1，
∴y 极大＝2，y 极小＝－2，
∴－2＜m ＜2.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值为________．
解析 S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t
1(x 2－t 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3 |t 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t ＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)． S ′＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12，S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上是增函数， 则S 最小＝S ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝43×18－14＋13＝14. 答案 14
8．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为________． 解析 y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x ，
令1－2sin x ＝0，且x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2时，x ＝π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π6时，f ′(x )≥0，f (x )是单调增函数， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6. 答案 π6
9．(2013·盘锦模拟)若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．
解析 由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，
当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，
由图象可知f 极大值(－1)＝2＋a ，f 极小值(1)＝a －2，
要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f 极大值(－1)＝2＋a ＞0，
f 极小值(1)＝a －2＜0，即－2＜a ＜2，
所以实数a 的取值范围是(－2,2)．
答案 (－2,2)
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．(2013·开封模拟)设函数f (x )＝2ln(x －1)－(x －1)2.
(1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)若关于x 的方程f (x )＋x 2－3x －a ＝0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．
解析 (1)f (x )的定义域为(1，＋∞)．
f′(x)＝
2
x－1
－2(x－1)＝
2x(2－x)
x－1
.
由f′(x)＞0得1＜x＜2，
∴f(x)的单调递增区间为(1,2)．
(2)∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1)2，∴f(x)＋x2－3x－a＝0⇔x＋a＋1－2ln(x－1)＝0. 即a＝2ln(x－1)－x－1，
令h(x)＝2ln(x－1)－x－1.
∵h′(x)＝
2
x－1
－1＝
3－x
x－1
，且x＞1，
由h′(x)＞0得1＜x＜3，h′(x)＜0得x＞3.
∴h(x)在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．
∵h(2)＝－3，h(3)＝2ln 2－4，h(4)＝2ln 3－5.
又h(2)＜h(4)，
故f(x)＋x2－3x－a＝0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔h(4)≤a＜h(3)．即2ln 3－5≤a＜2ln 2－4.
综上所述，a的取值范围是[2ln 3－5,2ln 2－4)．
11．(2013·雅安模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；
(2)证明：(x－1)f(x)≥0.
解析(1)f′(x)＝x＋1
x＋ln x－1＝ln x＋
1
x，
xf′(x)＝x ln x＋1，
题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于ln x－x≤a.
令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝1
x－1.
当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，所以x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.
综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)证明由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1.
即ln x－x＋1≤0.
当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1
＝x ln x＋(ln x－x＋1)≤0.
当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)
＝ln x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x －1＝ln x －x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln 1x －1x ＋1≥0. 所以(x －1)f (x )≥0.
12．(2013·合肥模拟)已知函数f 1(x )＝12x 2，f 2(x )＝a ln x (其中a ＞0)．
(1)求函数f (x )＝f 1(x )·f 2(x )的极值；
(2)若函数g (x )＝f 1(x )－f 2(x )＋(a －1)x 在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，e 内有两个零点，求正实数a 的取值范围； (3)求证：当x ＞0时，ln x ＋34x 2－1e x ＞0.
(说明：e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28...)
解析 (1)f (x )＝f 1(x )·f 2(x )＝12ax 2·ln x ，
∴f ′(x )＝ax ln x ＋12ax ＝12ax (2ln x ＋1)(x ＞0，a ＞0)，
由f ′(x )＞0，得x ＞e －12，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，
故函数f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫0，e －12上单调递减，在(e －12，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )的极小值为f (e －12)＝－a 4e ，无极大值．
(2)函数g (x )＝12x 2－a ln x ＋(a －1)x ，
则g ′(x )＝x －a x ＋(a －1)＝x 2＋(a －1)x －a x ＝(x ＋a )(x －1)x
， 令g ′(x )＝0.∵a ＞0，解得x ＝1，或x ＝－a (舍去)， 当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减； 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增．
函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，e 内有两个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＞0，g (1)＜0，g (e )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12e 2＋a －1e ＋a ＞0，12＋a －1＜0，e 22＋(a －1)e －a ＞0，
- 31 - ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞2e －12e 2＋2e ，
a ＜12，
a ＞2e －e 22e －2，
故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
2e －1
2e 2＋2e ，12.
(3)证明 问题等价于x 2ln x ＞x 2e x －34.
由(1)知f (x )＝x 2ln x 的最小值为－12e .
设h (x )＝x 2e x －34，由h ′(x )＝－x (x －2)
e x 得h (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． ∴h (x )max ＝h (2)＝4e 2－34. ∵－12e －⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2－34＝34－12e －4e 2＝3e 2－2e －164e 2 ＝(3e －8)(e ＋2)
4e 2＞0，
∴f (x )min ＞h (x )max ，∴x 2ln x ＞x 2
e x －34， 故当x ＞0时，ln x ＋34x 2－1
e x ＞0.。