集合、常用逻辑用语,函数与导数,等式专题限时规范训练及详细答案
“集合和常用逻辑用语、函数、导数及其应用”跟踪练习参考答案
f(
(
求 f(
的单调区间;
2)
x)
(
3)若 函 数 f (
x )有 两 个 相 异 零 点 x1 ,
求证:
x2 ,
l
nx1 +l
nx2 >2。
已知函数 f(
5
4.
x)
=l
n(
x+1)
-ax。
(
若 f(
1)
x)存 在 唯 一 零 点,求 实 数 a 的
取值范围;
-1
(
当 n ∈ N* 时,证 明:(
a
ax
e -xax
2
2
ax
≥0。 令 g (
x)=e -x - ,则
a
a
l
na
ax
时,
当
'(
x)
=ae -1。当 x<'(
x)
<0;
g
g
a
l
na
时,
x> '(
x)>0。 所 以 函 数 g(
x)在
g
a
l
na
l
na
上单调递减,
在 ,
-∞,
+∞ 上
a
a
l
na
2
2
单调递增。当 即 a≥e
时,
函数
≤- ,
a
-2
2
ax
e >0,所 以 当 a ≥e 时,
ae ≥ax +2 在
l
na-1
l
na
以 g(
x)
=
≥0,解 得
mi
高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。
「精选」人教版最新高考数学复习题---集合、常用逻辑用语附参考答案-精选文档
限时速解训练一 集合、常用逻辑用语(附参考答案)(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( )A ．{1,3,5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ．{2,5,7}解析：选C.由补集的定义，得∁U A ＝{2,4,7}．故选C.2．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( )A ．－3∈AB ．3∉BC ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B解析：选C.由题知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C.3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析：选A.M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0<x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]，故选A.4．(2016·山东聊城模拟)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D.因为A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，所以⎩⎨⎧a 2＝16，a ＝4，则a ＝4. 5．(2016·湖北八校模拟)已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a＞2，则a2＞2a成立，反之不成立，所以“a＞2”是“a2＞2a”成立的充分不必要条件．6．已知集合A＝{z∈C|z＝1－2a i，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B等于() A．{1＋3i,1－3i} B．{3－i}C．{1＋23i,1－23i} D．{1－3i}解析：选A.问题等价于|1－2a i|＝2，a∈R，解得a＝±32.故选A.7．已知命题p：对任意x＞0，总有e x≥1，则綈p为()A．存在x0≤0，使得e x0＜1B．存在x0＞0，使得e x0＜1C．对任意x＞0，总有e x＜1D．对任意x≤0，总有e x＜1解析：选B.因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：对任意x＞0，总有e x≥1的否定綈p为：存在x0＞0，使得e x0＜1.故选B.8．已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.下面结论正确的是()A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧(綈q)”是假命题C．命题“(綈p)∨q”是真命题D．命题“(綈p)∧(綈q)”是假命题解析：选D.取x0＝π4，有tanπ4＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．9．给出下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3均成立；②若log2x＋log x2≥2，则x＞1；③“若a＞b＞0且c＜0，则ca＞cb”的逆否命题；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：选A.①中不等式可表示为(x－1)2＋2＞0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋1log2x≥2，得x＞1；③中由a＞b＞0，得1a＜1b，而c＜0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．10．(2016·山东济南模拟)设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝() A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2]解析：选A.由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，所以A∪B ＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]或(2，＋∞)．11．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0＜b＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d＝|b|2＜1，即|b|＜2，不能得到0＜b＜1；反过来，若0＜b＜1，则圆心到直线的距离为d＝|b|2＜12＜1，所以直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交，故选B.12．(2016·陕西五校二模)下列命题正确的个数是()①命题“∃x0∈R，x20＋1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立；④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.易知①正确；因为f (x )＝cos 2ax ，所以2π|2a |＝π，即a ＝±1，因此②正确；因为x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤x ＋2在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤(x ＋2)min ，x ∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b ＜0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0且a 与b 不反向”，故④不正确．二、填空题(把答案填在题中横线上)13．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎨⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)14．若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是________． 解析：由题意，命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m ＞0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m ＜0，即m ＞1.答案：(1，＋∞)15．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p ∨q 是假命题，所以p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假命题知，綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2＞0为真命题，所以m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假命题知，綈q ：∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0为真命题，所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1.答案：[1，＋∞)16．下列四个命题中，真命题有________．(写出所有真命题的序号)①若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件；②命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”；③命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”；④函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点．解析：①若c ＝0，则不论a ，b 的大小关系如何，都有ac 2＝bc 2，而若ac 2＞bc 2，则有a ＞b ，故“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件，故①为真命题；②特称命题的否定是全称命题，故命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故②为真命题；③命题“若p ，则q ”形式的命题的否命题是“若綈p ，则綈q ”，故命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”，故③为真命题；④由于f (1)f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12＜0，则函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上存在零点，又函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上为增函数，所以函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点，故④为真命题．答案：①②③④。
精品高中数学专题：集合与常用逻辑用语、不等式、函数
专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}． 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词． 答案 B解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词． 变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题． 题型三 充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决． 答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1， 但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例 设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确． 答案 D得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论． 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 根据全称命题的否定是特称命题知． 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 答案 D解析 对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9． 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}， 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解 由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识汇总大全(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识汇总大全单选题1、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.2、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.3、设集合A={x|−2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A．{2}B．{2,3}C．{3,4}D．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .4、以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{1,2}；③∅∈{0}；④{0,1,2}={2,0,1}；⑤0∈∅；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.对于①：是集合与集合的关系，应该是{0}⊆{0,1,2}，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，∅⊆{1,2}，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，∅⊆{0}，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{0,1,2}={2,0,1}，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B．5、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.6、集合A={x|x<−1或x≥1}，B={x|ax+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−2,2]B．[−2,2)C．(−∞,−2)∪[2,+∞)D．[−2,0)∪(0,2)答案：B分析：分B=∅与B≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+2≤0无解，此时a=0，满足题意.②当B≠∅时，即ax+2≤0有解，当a>0时，可得x≤−2a，要使B⊆A，则需要{a>0−2a<−1，解得0<a<2.当a<0时，可得x≥−2a ，要使B⊆A，则需要{a<0−2a≥1，解得−2≤a<0，综上，实数a的取值范围是[−2,2).故选：B.7、在下列命题中，是真命题的是（）A．∃x∈R,x2+x+3=0B．∀x∈R,x2+x+2>0C．∀x∈R,x2>|x|D．已知A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，则对于任意的n,m∈N∗，都有A∩B=∅答案：B分析：可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/选项A，∃x∈R,x2+x+3=0，即x2+x+3=0有实数解，所以Δ=1−12=−11＜0，显然此方程无实数解，故排除；选项B，∀x∈R,x2+x+2>0，x2+x+2=（x+12）2+74≥74＞0，故该选项正确；选项C，∀x∈R,x2>|x|，而当x=0时,0>0，不成立，故该选项错误，排除；选项D，A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，当n,m∈N∗时，当a、b取得6的正整数倍时，A∩B≠∅，所以，该选项错误，排除.故选：B.8、设集合A={2,a2−a+2,1−a}，若4∈A，则a的值为（）．A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a =−3时，A ={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a =−3满足要求．综上，a =2或a =−3．故选：D ．多选题9、已知集合A ={x ∣1<x <2}，B ={x ∣2a −3<x <a −2}，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得A =B B ．存在实数a 使得A ⊆BC ．当a =4时，A ⊆BD ．当0⩽a ⩽4时，B ⊆AE ．存在实数a 使得B ⊆A答案：AE分析：利用集合相等判断A 选项错误，由A ⊆B 建立不等式组，根据是否有解判断B 选项；a =4时求出B ，判断是否A ⊆B 可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D 选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.A 选项由相等集合的概念可得{2a −3=1a −2=2解得a =2且a =4，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A ⊆B ，得{2a −3≤1a −2≥2即{a ≤2a ≥4，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当a =4时，得B ={x ∣5<x <2}为空集，不满足A ⊆B ，因此C 错误；D 选项当2a −3≥a −2，即a ≥1时，B =∅⊆A ，符合B ⊆A ；当a <1时，要使B ⊆A ，需满足{2a −3≥1a −2≤2解得2≤a ≤4，不满足a <1，故这样的实数a 不存在，则当0≤a ≤4时B ⊆A 不正确，因此D 错误； E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B ⊆A ，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.小提示：本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.10、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④¬p 是¬s 的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是 （ ）A．①B．②C．③D．④答案：ABD分析：根据题设有p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误. 由题意，p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：¬s⇔¬q⇔¬r⇒¬p且¬p⇏¬r，故④正确.故选：ABD11、已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A．0∉M B．2∈M C．−4∈M D．4∈M答案：CD分析：讨论x,y,z的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.当x,y,z均为负数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=−4；当x,y,z两负一正时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z两正一负时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z均为正数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=4；∴M={−4,0,4}，A、B错误，C、D正确.故选：CD12、已知集合A={y|y=x2+1}，集合B={(x,y)|y=x2+1}，下列关系正确的是（）．A．(1,2)∈B B．A=B C．0∉A D．(0,0)∉B答案：ACD分析：根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．由已知集合A={y}y≥1}=[1,+∞)，集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合，A正确，B错，C正确，D正确，故选：ACD．小提示：本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．13、对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（）A．a=b是ac=bc的充要条件B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．a>b是a2>b2的充要条件D．a<5是a<3的必要条件答案：BD分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断解：∵“a=b”⇒“ac=bc”为真命题，但当c=0时，“ac=bc”⇒“a=b”为假命题，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题，故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；∵“a>b”⇒“a2>b2”为假命题，“a2>b2”⇒“a>b”也为假命题，故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；∵{a|a<3}{a|a<5}，故“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，故D为真命题.故选：BD.填空题14、已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．答案：a<－4或a>2分析：按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围.①当a>3即2a>a＋3时，A＝∅，满足A⊆B；.②当a≤3即2a≤a＋3时，若A⊆B，则有{2a≤a+3a+3〈−1或2a〉4，解得a<－4或2<a≤3综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.所以答案是：a<－4或a>215、命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的否定是__________．答案：∀x∈R，x＜1根据含有量词的命题的否定，即可得到命题的否定分析：特称命题的否定是全称命题，∴命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的等价条件为：“∃x∈R，x≥1”，∴命题的否定是：∀x∈R，x＜1．所以答案是：∀x∈R，x＜1．16、用符号∈或∉填空：3.1___N，3.1___Z， 3.1____N∗，3.1____Q，3.1___R.答案：∉∉∉∈∈分析：由元素与集合的关系求解即可因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N∗；3.1∈Q；3.1∈R.所以答案是：∉，∉，∉，∈，∈.解答题17、已知m>0,p:(x+1)(x−5)≤0,q:1−m≤x≤1+m.（1）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.答案：（1）{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）[4,+∞).分析：（1）由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得p与q一真一假，然后分p真q假，p假q真，求解即可；（2）由p是q的充分条件，可得[−1,5]⊆[1−m,1+m]，则有{m>01−m≤−11+m≥5，从而可求出实数m的取值范围（1）当m=5时，q:−4≤x≤6，因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，故p与q一真一假，若p真q假，则{−1≤x≤5x<−4或x>6，该不等式组无解；若p假q真，则{x<−1或x>5−4≤x≤6，得−4≤x<−1或5<x≤6，综上所述，实数的取值范围为{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）因为p是q的充分条件，故[−1,5]⊆[1−m,1+m]，故{m>01−m≤−11+m≥5，得m≥4，故实数m的取值范围为[4,+∞).18、已知集合A={x|2<x<4}，B={x|a<x<3a}.(1)若A∩B={x|3<x<4}，求实数a的值；(2)若A∩B=∅，求实数a的取值范围.答案：(1)3(2){a|a≤23或a≥4}分析：（1）根据交集结果直接判断即可.（2）按B=∅，B≠∅讨论，简单计算即可得到结果. （1）因为A∩B={x|3<x<4}，所以a=3.（2）因为A∩B=∅，所以可分两种情况讨论：B=∅，B≠∅. 当B=∅时，有a≥3a，解得a≤0；当B≠∅时，有{a>0a≥4或3a≤2，解得a≥4或0<a≤23.综上，实数a的取值范围是{a|a≤23或a≥4}.。
集合简易逻辑函数导数专题(一)---高三期末复习答案
集合、常用逻辑用语、函数与导数专题复习（一）答案 1、 答案：B 解析：A ＝{x |x ＜2}，B ={x |x ＜1}，U C B ＝{x | x ≥1}，所以()U A C B ⋂＝{x |1≤x <2}2、答案：B 解析：集合A ＝{x |x ＞－1} ，()U A ð＝{x |x ≤－1}，B ＝{x |x ＞－2} ，所以，()U A B ð＝{x |－2＜x ≤－1}，故选B 。
3、答案：D 解析：2{4}={|22}U M x |x x x x =>><-或ð，所以{|-22}M x x =≤≤，M N ＝{|1<2}x x ≤，因些，选D 。
4、【答案】A 【解析】由|4x -3|≤1解得121≤≤x ，由2x -(2a +1)x +a (a +1)≤0得0 )1)((≤---a x a x ，即1+≤≤a x a ，若非p 是非q 的必要而不充分条件，则q 是p 的必要而不充分条件，所以有⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤1121a a ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥≤21a a ，所以210≤≤x ，5、 答案：D 解析：因为}14{}532{<<-=<+=x x x x A ，}2}{02{})2(log {3->>+=+==x x x x x y x B ，所以}12{<<-=⋂x x B A ，所以}21{)(-≤≥=⋂x x x B A C U 或，选D.6、【答案】A 【解析】}2{≤=x x B C U ，所以}21{}2{}31{≤<=≤⋂≤<=⋂x x x x x x B C A U ，选A.7、【答案】B 【解析】{}2}1{022≤≤-=≤--=x x x x x A ，所以}1{≥=x x B C R ，所以}21{≤≤=⋂x x B A ， 8、【答案】A 【解析】集合}21{}3123{≤≤-=≤-≤-=x x x x A ，而}{a x x B >=，因为A B ⊆，所以1-<a ， 9、【答案】C 【解析】1}2{}213{},0372{2--=∈-<<-=∈<++=，，Z x x x Z x x x x N ,因为φ≠⋂N M ，所以1-=m 或2-=m ，选C.10、B 【解析】R ()M N = ð{}{|04}1x x x x ≤≤≤ {|01}x x =≤≤. 11、答案：B 解析：{}{}.].2,1[],2,2[2|),,1[,1|22B N M xy x N R x x y y M 选-=⋂∴-=-==+∞-=∈-==12、【答案】C 【解析】{}{}1,12≤=∈+-==y y R x x y y P ，{}{}0,2>=∈==y y R x y y Q x，所以}1{>=y y P C R ，所以Q P C R ⊆，选C.13、【答案】C 【解析】}1,1,0{}101lg,10lg ,1lg {},lg {-=====∈==y y y y A x x y y B ，所以}1{=B A ,选C.14. .B 【解析】()()211(1)()f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，即()f x 是周期函数，2T =，又()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()f x 的图像关于y 轴对称，是偶函数. 15. B 16.B 17.B 18B 19B 20D 21．解：易知52)(24--=x x x f ，)(/=x f 时x ＝0或x＝±1，只有5)0(-=f 选B ．22．解：∵1212()(),f x f x x x 可视为曲线上两点11(,())x f x 、22(,())x f x 的斜率，作图易得1212()()f x f x x x >．选 C ．23．解：由|)(|)()(x f x f x f =-=得|)log(|81x f ＞)31(f ，于是|log |81x ＞31解此得B ．24D 25D 26D27B 28C1【答案】①当11<≤-x 时，22()323()3f x x x x x '=-+=--，令0)(='x f 得320==x x 或当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：根据表格，又2)1(=-f ，27)3(=f ，0)0(=f2【答案】 （Ⅰ）解：当时，，所以，由，解得， 由，解得或，所以函数的单调增区间为，减区间为和.（Ⅱ）解：因为，由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立，设，所以， 所以当时，有最大值为，因为对任意，恒成立，所以，解得或，所以，实数的取值范围为或.（III ）.3【答案】（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos A Q O A θθ==, 故10cos O B θ=，又OP ＝1010tan θ-所以10101010tan cos cos y O A O B O P θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭┅┅┅3分②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<<┅┅┅6分（Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，┅┅┅9分当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，m i n 101y =+P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边3km 处。
2019-2020年高三数学 专题1 集合与常用逻辑用语,函数与导数,不等式复习题
2019-2020年高三数学 专题1 集合与常用逻辑用语,函数与导数,不等式复习题1.（xx ·河南郑州市第一次质检）若集合，，则满足条件的实数的个数有 A ．个 B 个 C ．个 D 个 【答案】B【解析】由知，所以或或，解得验证不满足元素的互异性.【规律解读】集合的关系关键是研究好集合中元素的从属关系，分为二种情形：一是部分从属；二是全从属．集合的运算包括交、并和补．关于集合的概念求字母参数问题，通常的解法步骤：①对集合中元素的合理搭配；②列出方程组求出字母参数的值；③检验所求的参数值是不是满足集合元素的互异性以及符合题意．2. （xx ·哈三中期末）已知集合，，，则中元素个数是 A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查。
依据C 集合的定义对对数底数、真数的取值一一考虑，所有的对数是233334131,2,log 6,3,log 2,log 4,log 6,log 8,,log 6,22，其中满足的有3个元素，因此选择B.【规律解读】元素与集合的关系：元素与集合的关系是属于与不属于的关系，一个元素要么属于一个集合，要么不属于一个集合，两者必居其一。
要判断一个元素是否属于一个集合，关键是判断该元素是否具有该集合的元素的公共属性。
3.（xx ·杭州市第一次质检）已知集合，集合，若 ，则 实数可以取的一个值是( ) A.B.C.D.【答案】A【解析】、不难分析，A 、B 分别表示两个圆，要满足 ，即两圆内切或内含。
故圆心距，即：221122221010112102r r r rr r r rr r r≤⇔-⋅+≥⎛⎫⇔-≥⇔-≥⇔+≥⎪⎪⎝⎭+⇔--≥⇔≥.显然，，故只有(A)项满足。
4.（xx·广东东莞调研）已知函数的定义域为Ｍ，的定义域为Ｎ，则＝．【答案】【解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查由题意的定义域满足：，=。
2019高考数学复习专题-集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(1)附解析
特色专项考前增分集训小题对点练(一)集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(1)(建议用时：40分钟)(对应学生用书第113页)一、选择题1．已知集合A＝{x∈N|x<3}，B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈A}，则A∩B＝( )A．{1,2} B．{－2，－1,1,2}C．{1} D．{0,1,2}D[因为A＝{x∈N|x<3}＝{0,1,2}，B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈A}＝{－2，－1,0,1,2}，所以A∩B＝{0,1,2}．]2．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝xD[法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x ∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.法二：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a －1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.法三：易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.] 3．已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0)C [∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题，故选C.]4．定积分x 2－x d x 的值为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2πA [∵y ＝x 2－x ，∴(x －1)2＋y 2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆， ∴定积分x 2－x d x 等于该圆的面积的四分之一，5．(2018·衡水中学模拟)已知a ＝17117，b ＝log 1617，c ＝log 1716，则a ，b ，c的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞aA [由题易知a ＝17117＞1，b ＝log 1617＝12log 1617∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，c ＝log 1716＝12log 1716∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴a ＞b ＞c ，故选A.]6．(2018·衡水金卷)已知函数f (x )＝x 2－(2a －1)x －1(其中a ＞0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则函数g (x )＝1log a x －1的定义域为( ) A ．(－∞，a )B ．(0，a )C ．(0，a ]D ．(a ，＋∞)B [因为函数f (x )＝x 2－(2a －1)x －1(其中a ＞0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以2a －12≤12，∵a ＞0，a ≠1，∴0＜a ＜1.令log a x －1＞0，∴0＜x ＜a ，选B.]7．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )A BC DD [∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B. 设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x . 又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.] 8．已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y 2x －2y的最小值为( )A ．4 B.92 C ．22D ．42A [因为xy ＝1且0<y <22，可知x >2，所以x －2y >0.x 2＋4y 2x －2y＝x －2y 2＋4xyx －2y＝x －2y ＋4x －2y≥4，当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立．故选A.] 9．已知在平面直角坐标系中，点P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x ＋y －3≤0所表示的平面区域内的动点，Q 是直线3x ＋y ＝0上任意一点，O 是坐标原点，则|OP →－OQ →|的最小值为( )A.1010B.31010C.22D ．3A[作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x ＋y －3≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．|OP →－OQ →|＝|QP →|，数形结合可知点A (0,1)到直线3x ＋y ＝0的距离d 为|QP →|的最小值，d ＝|0＋1|9＋1＝1010，所以|OP →－OQ →|的最小值为1010.] 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值范围是( )A ．(21,25)B ．(21,24)C ．(20,24)D ．(20,25)B [画出f (x )的图象，如图．由图象知0＜a ＜1,1＜b ＜3，则f (a )＝|log 3a |＝－log 3a ，f (b )＝|log 3b |＝log 3b ，∵f (a )＝f (b )，∴－log 3a ＝log 3b ，∴ab ＝1.又由图象知，3＜c ＜4，d ＞6，点(c ，f (c ))和点(d ，f (d ))均在二次函数y ＝13x 2－103x ＋8的图象上，故有c ＋d 2＝5，∴d ＝10－c ，∴abcd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c －5)2＋25，∵3＜c ＜4，∴21＜－(c －5)2＋25＜24， 即21＜abcd ＜24.故选B.]11．已知函数f (x )＝e x ＋2(x ＜0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1eB [由题意知f (x )＝g (－x )在x ＜0时有解，即e x －ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解．令h (x )＝e x －ln(－x ＋a )，显然h (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ＞0时，只需h (0)＝e 0－ln a＞0，解得0＜a ＜e ；当a ≤0时，h (x )的定义域为(－∞，a )，当x →－∞时，h (x )＜0，当x →a 时，h (x )＞0，h (x )＝0有解．综上，a 的取值范围是(－∞，e)，故选B.]12．已知函数f (x )为R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且满足f (x )＋f ′(x )＜1恒成立，f (0)＝2 018，则不等式f (x )＜2 017e －x ＋1的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(e ，＋∞)D ．(－∞，e)A [设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]． ∵f (x )＋f ′(x )＜1恒成立，∴g ′(x )＜0恒成立，则g (x )在R 上为减函数． ∵f (x )＜2 017e －x ＋1， ∴e x f (x )－e x ＜2 017， 即g (x )＜2 017. ∵f (0)＝2 018，∴g (0)＝f (0)－e 0＝2 017，∴x ＞0，即不等式f (x )＜2 017e －x ＋1的解集为(0，＋∞)．故选A.] 二、填空题13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ＜13x －7，x ≥1，若f (x )＝－1，则x ＝__________.12或log 3 6 [∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ＜13x －7，x ≥1，∴当x ＜1时，f (x )＝log 2(1－x )＝－1，解得x ＝12(满足)；当x ≥1时，f (x )＝3x －7＝－1，解得x ＝log 3 6(满足)，综上x ＝12或log 3 6.]14．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．22[因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.]15．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.1 [∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立， ∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.]16．已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－mx ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2e [由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x 在[1，e]上有解，即m 2<ln xx 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e .]。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（ ）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先 根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12， 因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。
专题1集合与常用逻辑用语(必刷1~60题)【一轮必刷600题】高三数学一轮复习专项训练(含答案)
专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【必刷24】若集合{}4A y y x ==-，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}xx <≤∣C ．{12}xx ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷55】设x ∈R ，则“|1|4x -<”是“502x x -<-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷56】已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷57】已知命题2:log 1p x >，命题2:20q x x ->，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷58】设a 、b都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b = 成立的充分条件是（）A ．a b =r r 且a b∥B ．a b=-r r C ．a b∥D ．2a b= 【必刷59】已知向量a 和b ，则“||||a b a b ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷60】设实数0x >，则“2log 1x <”成立的一个必要不充分条件是（）A ．122x <<B ．12x <<C ．1x <D ．2x <专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【答案】A【解析】先写出集合M ，然后逐项验证即可；【详解】由题知{2,4,5}M =，对比选项知，A 正确，BCD 错误，故选：A【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223x y +≤ ，23,x ∴≤x Z ∈ ，1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意可知，集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】B【解析】先求得A B ，然后求得A B 子集的个数.【详解】{}0,1A B = ，所以A B 子集的个数为224=个.故选：B【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解方程组可求得A B ，根据A B 元素个数可求得真子集个数.【详解】由2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，()(){}0,0,1,1A B ∴= ，即A B 有2个元素，A B ∴ 的真子集个数为2213-=个.故选：C.【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】C【解析】根据集合交集的定义，结合子集的个数公式进行求解即可.【详解】因为{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，所以{}2,3,4A B = ，因此A B 中有三个元素，所以A B 的子集个数为328=，故选：C【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【答案】A【解析】化简,A B ，进而根据交集的定义，计算A B ，然后利用子集的概念即可求解.【详解】因为{}{}{}293310123B x |x x |x ,A ,,,,,=<=-<<=-所以{}1012M A B ,,,,==- 所以M 的子集共有42=16（个）.故选：A【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】联立=+12+2=1可得=0=1或=−1=0，故集合A ∩B 中元素的个数为2，故选：C ．【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】求出集合B ，可求得集合A B ，确定集合A B 的元素个数，利用集合子集个数公式可求得结果.【详解】因为{}{}223031B x x x x x =+-<=-<<，所以，{}1,0A B ⋂=-，则集合A B 的元素个数为2，因此，A B 的子集个数为224=.故选：B.【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】解不等式求得A ，然后求得A ⋂Z ，进而求得正确答案.【详解】222x x ≤⇒≤，所以A ⎡=⎣，所以{}1,0,1A ⋂=-Z ，所以A ⋂Z 子集的个数是328=.故选：D【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】B【解析】对于集合N ，元素x 对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及N M ⊆，可确定出其中的元素，进而求解.【详解】对于集合N ，因为280a ∆=+>，所以N 中有两个元素，且乘积为-2，又因为N M ⊆，所以{}2,1N =-，所以211a -=-+=-．即a ＝1．故选：B.【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】C【解析】求出集合A 后可得其子集的个数.【详解】{}{}2224|log 2|2,1,1,20x x Z x x Z x ⎧⎫⎧≤⎪⎪∈≤=∈=--⎨⎨⎬≠⎪⎪⎩⎩⎭，故该集合的子集的个数为：4216=.故选：C.【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【答案】D【解析】先求得集合B ，然后求得A B ，从而求得A B 的真子集的个数.【详解】{0,1,2}B = ，{2,0,1,2}A B ∴⋃=-，A B 的真子集的个数为42115-=个.故选：D【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】先求出集合B ，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先求出集合T ，然后根据交集的定义求出S T ，最后根据真子集的定义求出真子集的个数.【详解】∵{}21,S s s n n Z ==+∈，{}33T x x =-<<，∴{}1,1S T =- ，∴S T 的真子集个数为2213-=，故选：C .【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合A B 的元素个数求解.【详解】如图所示：，集合A B 有3个元素，所以集合A B 的真子集的个数为7，故选：C【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意求得阴影部分表示的集合，结合集合子集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}13,5A =,，{}3,4,5B =，可得{}3,5A B = ，可得{}()1,2,4U A B = ð，即阴影部分表示的集合为{}1,2,4，所以阴影部分表示的集合的子集个数为328=.故选：D.考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D 【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【解析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【答案】B【解析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合,P Q ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.【详解】由2log 1x >，得2x >，所以{}2,P x x =>{}R 2P x x =≤ð.由302x x -≤+，得23x -<≤，所以{}23x x Q =-<≤，所以(){}{}{}R 23222P Q x x x x x x -<=≤=≤-<≤ ð，故选：B.【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】首先化简集合A ，再根据补集的运算得到R A ð，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】因为20(2,4)4x A xx ⎧⎫+=<=-⎨⎬-⎩⎭，所以{R |2A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 4,5A B = ð，故选：B.【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【答案】C【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】由题意{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤，{}1244216x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭，所以(]4,4A B =- .故选：C.【必刷24】若集合{A y y ==，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【答案】A【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】因为{{}0A y y y y ==≥，{}{}3log 209B x x x x =≤=<≤，所以{}09A B x x ⋂=<≤.故选：A ．【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【答案】C【解析】解对数不等式确定集合A ，解二次不等式确定集合B ，然后由并集定义计算．【详解】由题意{|021}{|23}A x x x x =<-<=<<，{|22}B x x =-≤≤，所以{|23}[2,3)A B x x =-≤<=- ．故选：C ．【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【答案】B【解析】应用集合的交补运算求()U A B I ð.【详解】由题设{2,4,6,7}U A =ð，又{2,3,4,6}B =，所以()={2,4,6}U A B = ð，故选：B【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】先化简集合N ，再去求M N ⋂即可解决【详解】{}{}ln 0N x y x x x ===>，则{}{}{}12002M N x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤，故选：C【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【答案】C【解析】求出函数2e x y =-的值域，再利用交集的定义求解作答.【详解】因e 0x >，则22e x -<，即(,2)B =-∞，而{}Z 33A x x =∈-<<，所以{2,1,0,1}A B =-- .故选：C【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【答案】D【解析】先求解集合B 的补集，再利用并集运算即可求解.【详解】由题得{}0,4,5U B =ð，又{}0,1,2A =，所以(){}0,1,2,4,5U B A ⋃=ð，故选：D.【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}x x <≤∣C ．{12}x x ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【答案】B【解析】解指数不等式得到{}02N x x =<<，进而求出交集.【详解】因为124x <<，所以02x <<，所以{}02N x x =<<，所以M N = {}01x x <≤，故选：B【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【答案】D【解析】求出,A B A B ，阴影表示集合为()A B A B ð，由此能求出结果.【详解】矩形表示全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，{}{}2,3,1,0,2,3,5,6,7A B A B ∴⋂=⋃=-，则阴影表示集合为(){}1,0,5,6,7A B A B ⋃⋂=-ð.故选：D.【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【答案】C【解析】利用对数函数的单调性求得集合A ，解一元二次不等式求得B ，即可根据集合的补集以及并集运算求得答案.【详解】由题意得{}2|log ,4{|2}A y y x x y x ==>=>，则{|2}A y y =≤R ð，而{}2|320{|12}B x x x x x =-+<=<<，故()(,2]A B =-∞R ðU ，故选：C.【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【答案】B【解析】根据文氏图求解即可.【详解】{2,4}A B ⋂=，{}0,2,3,4,5,6A B ⋃=，阴影部分为{}0,3,5,6.故选：B ．【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【答案】D【解析】解出集合A 、B ，利用并集的定义可求得结果.【详解】{}{}222A x x x x =<=-<<，(){}{}{{}22ln 33003B x y x xx x xx x ==-=->=<<.所以，()2,3A B =- .故选：D.【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【答案】D【解析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解.【详解】由题意可知{}}{211,0A x Z x =∈-<<=-，又{}0,1,2B =，所以}{{}1,00,1,2{1,0,1,2}A B =-=- ，故选：D ．【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D【解析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可.【详解】由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅ ，所以，当{}2|B x a x a =<<=∅时，2a a ≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞ ，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞.故选：D【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【答案】C【解析】先解出集合A ，考虑集合B 是否为空集，集合B 为空集时合题意，集合B 不为空集时利用24a或211a +- 解出a 的取值范围.【详解】由题意(]40141x A x x ⎧⎫-==-⎨⎬+⎩⎭， ，(){}()(){}2222(1)210210B x x a x a a x x a x a ⎡⎤=-+++<=--+<⎣⎦，当B =∅时，221a a =+，即1a =，符合题意；当B ≠∅，即1a ≠时，()22,1B a a =+，则有24a或211a +- ，即 2.a 综上，实数a 的取值范围为{}[)12,+∞U .故选：C.【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【答案】D【解析】根据题意可以得到B A ⊆，进而讨论0a =和0a ≠两种情况，最后得到答案.【详解】由题意，{}2,6A =，因为A B B = ，所以B A ⊆，若0a =，则B =∅，满足题意；若0a ≠，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以12a =或16a =，则12a =或16a =.综上：0a =或12a =或16a =.故选：D.【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可.【详解】因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<，所以，实数a 的取值范围是31,122⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9【答案】A【解析】先求出集合[)1,5B =，再根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意得[){2}1,5B x =<=，其中奇数有1，3，又{}21,Z A x x n n ==+∈，则{}1,3A B = ，故选：A ．考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①由2320x x -+=解得1x =或2x =，根据充分、必要条件定义理解判断；②根据全称命题的否定判断；③根据题意可得命题p 为真命题，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题；④先写出原命题的否命题，取特值2πϕ=-，代入判断．【详解】①2320x x -+=，则1x =或2x =“1x =”是“1x =或2x =”的充分不必要条件，①为真命题；②根据全称命题的否定判断可知②为真命题；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg lg10x ≥=，命题p 为真命题，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题，③为假命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为“若2πϕ≠，则()sin 2y x ϕ=+不是偶函数”若2πϕ=-，则sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭为偶函数，④为假命题故选：C ．【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【答案】D【解析】根据否命题，命题的否定，充分必要条件的定义，复合命题真假判断各选项．【详解】命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错；命题:R p x ∃∈，210x x +-<的否定是R x ∀∈，210x x +-≥，B 错；易知函数12()2log (2)x f x x +=++在定义域内是增函数，()11f -=，(2)10f =，所以12x -<<时，()1212log 210x x +<++<满足()122log 210x x +++<，但()122log 210x x +++<时，22x -<<不满足12x -<<，因此题中应不充分不必要条件，C 错；p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题，若,p q 中有一个为真，则p q ∨为真命题，D 正确．故选：D ．【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【答案】C【解析】利用全称命题的否定可判断A ，由正弦定理和充要条件可判断B ，通过举特例可判断C ，通过特殊角的三角函数值可判断D .【详解】A.命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”，正确；B.在△ABC 中，sin sin A B ≥，由正弦定理可得22a bR R≥（R 为外接圆半径），a b ≥，由大边对大角可得A B ≥；反之，A B ≥可得a b ≥，由正弦定理可得sin sin A B ≥，即为充要条件，故正确；C.当0,0a b c ==≥时满足20ax bx c ++≥，但是得不到“0a >，且240b ac -≤”，则不是充要条件，故错误；D.若1sin 2α≠，则6πα≠与6πα=则1sin 2α=的真假相同，故正确；故选：C【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】同时否定条件和结论即可，注意x =0且y =0，的否定为0x ≠或0y ≠.【详解】命题“若220x y +=，则0x y ==”即为“若220x y +=，则0x =且0y =”所以否命题为：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠.故选：D【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A ，根据奇函数的定义判断B ，利用特殊值判断C ，根据三角形的性质及正弦定理判断D ；【详解】对于A ：2000:,2310p x R x x ∃∈++>则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++≤，故A 错误；对于B ：由(0)0f =，得不到函数()f x 是奇函数，如2()f x x =满足(0)0f =，但是2()f x x =为偶函数，由函数()f x 是奇函数也不一定得到(0)0f =，如()1f x x=为奇函数，当时函数在0处无意义，故B 错误；对于C ：当2x =时22x x =，故C 错误；对于D ：因为A B >根据三角形中大角对大边，可得a b >，再由正弦定理可得sin sin A B >，故D 正确；故选：D【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】利用配方法可判断①的正误；利用集合的包含关系可判断②的正误；利用复合命题的真假可判断③的正误；利用反证法可判断④的正误.【详解】对于①，因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，①对；对于②，因为{}2a a >（{}5a a >，故“2a >”是“5a >”的必要不充分条件，②错；对于③，“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题，所以，p q ⌝∧⌝为真命题，③对；对于④，假设1x ≤且1y ≤，则2x y +≤，与2x y +>矛盾，假设不成立，④对.故选：B.【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【答案】B【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到答案.【详解】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题0:p x R ∃∈，2010x +=的否定为：x R ∀∈，210x +≠.故选：B.【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x ≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【答案】D【解析】根据命题否定的定义即可求解.【详解】对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，即000,sin x R x x ∃∈≤；故选：D.【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【答案】C【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】由全称命题的否定是存在量词命题，所以命题“,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是“,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤”，故选：C ．【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】D【解析】A 选项直接否定条件和结论即可；B 选项存在一个量词的命题的否定，先否定量词，后否定结论；C 选项“且”命题是一假必假；D 选项，利用“小集合”是“大集合”的充分不必要条件作出判断.【详解】对于A ，命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错误；对于B ，命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +-≥，B 错误；对于C ，若p q ∧为假命题，则p ，q 有一个假命题即可；C 错误；对于D ， 2320x x -+>1x ∴<或2x >11x x ∴<⇒<或2x >，即“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，D 正确.故选：D考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分必要条件的定义及对数不等式即可求解；【详解】由题意可知当2,1x y =-=时，满足11x y<，但不满足22log log x y >；由22log log x y >，得0x y >>，满足11x y <，所以“11x y<”是“22log log x y >”的必要不充分条件，故选：B ．【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.【详解】在ABC 中，A B =，则22A B =，必有sin 2sin 2A B =，而,63A B ππ==，满足sin 2sin 2A B =，此时ABC 是直角三角形，不是等腰三角形，所以“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的必要不充分条件.故选：B【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用抽象函数的定义域可判断A 选项；利用平面向量数量积的定义可判断B 选项；利用函数零点的定义可判断C 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，对于函数()1y f x =+，则有111x -≤+≤，解得20x -≤≤，即函数()1y f x =+的定义域为[]2,0-，A 错；对于B 选项，若正三角形ABC 的边长为2，则cos1202AB BC AB BC ⋅=⋅=-，B 错；对于C 选项，已知函数()()2log 11f x x =+-，令()0f x =，解得1x =，所以，函数()y f x =的零点为1，C 错；对于D 选项，若2παβ==，则tan α、tan β无意义，即“αβ=”⇒“tan tan αβ=”；若tan tan αβ=，可取4πα=，54πβ=，则αβ≠，即“αβ=”⇐/“tan tan αβ=”.因此，“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件，D 对.故选：D.【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.【详解】解不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭，得1x <，解不等式21x <，得11x -<<，。
2023-2024学年高考数学专项复习——集合与常用逻辑用语(含答案)
决胜3．已知集合，，{}12A x x =-<41231133x x B x -+⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫=>⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭1123x C x x ⎧⎫+=≥⎨⎬+⎩⎭(1)求集合、、；A B C (2)求.()A C B 4．已知集合，其中且，非空集合，{}12,,,n A a a a = *n ∈N *4,(1,2,,)i n a i n ≥∈=N B A ⊆记为集合B 中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．()T B B b ()T B b =(1)若，写出所有可能的集合B ；{1,2,5,6,7,8},()8A T B ==(2)若，且是12的倍数，求集合B 的个数；{}{}1233,4,5,9,10,11,,,A B b b b ==()T B (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍{1,2,3,,21}(1,2,,)i a n i n ∈-=L L B A ⊆()T B 2n 数．5．已知集合．{}2340,{0}A x x x B x x a =--≤=->∣∣(1)当时，求；4a =A B ⋃(2)若，求实数的取值范围．()A B =∅R ða 6．设全集为，已知集合．R {}{}22230,log 1A x x x B x x =-++>=>(1)求；A B ⋃(2)求．()R A B ⋂ð7．设函数的定义域为，集合，记()()2ln 45f x x x =-++A ()(){}10B x x m x m =---<.:,:p x A q x B ∈∈(1)若，求；0m =()R A B ð(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.p q m8．已知集合，．()(){}22330A x x a x a a =-+++>{}28150B x x x =-+≤(1)当时，求；1a =()A B ⋃R ð(2)若，求实数a 的取值范围．A B ⋂≠∅9．已知不等式的解集为A ，非空集合.260x x --≤{}121B x m x m =-<<+(1)求集合A ；(2)当时，求；2m =A B ⋃(3)若，求实数m 的取值范围.B A ⊆10．设全集，.()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>21x B x y x ⎧⎫+⎪⎪==⎨⎬-⎪⎪⎩⎭(1)若，求，；2a =A B ⋂A B (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.x B ∈x A ∈11．已知函数，函数.()||f x x x =2()2g x x x m =--(1)求不等式的解集；()321f x ->-(2)如果对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围.2[1,2]x ∈-1[2,1]x ∈-()()21g x f x =m 12．已知集合，集合.()(){}1230A x x a x a =---+<204x B x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭(1)当时，求；2a =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围.A B A = a13．已知集合.[]2,10,{2}A B x x m =-=-≤∣(1)若，求实数的取值范围；A B ⋂=∅m (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.x A ∈x B ∈m 14．设命题：方程有两个不相等的实数根；命题.p ()22240x m x m +-+=q 214m -≤+≤(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；p m (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围.p q m 15．已知集合，其中.{}2210A x ax x =∈++=R a ∈R (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.A aB (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.A a16．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合20x ax b ++<{}12x x -<<230ax bx ++>.A (1)求集合；A (2)设全集为R ，集合，若是成立的必要条件，求实数的{}220B x x mx =-+<x A ∈x B ∈m 取值范围.17．设全集，集合，．U =R {}220A x x x =+-≤{}R 1B x x m =∈+<(1)求；U A ð(2)当时，求；1m =A B ⋃(3)若，都有，直接写出一个满足条件的m 值．x A ∀∈x B ∈18．已知数列A ：a 1，a 2，…，a N 的各项均为正整数，设集合()3N ≥，记T 的元素个数为．{},1j i T x x a a i j N ==-≤<≤()P T (1)①若数列A ：1，2，4，5，求集合T ，并写出的值；()P T②若数列A ：1，3，x ，y ，且，，求数列A 和集合T ；3x y <<()3P T =(2)若A 是递增数列，求证：“”的充要条件是“A 为等差数列”；()1P T N =-(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由．()P T答案：1．(1)[)4,5(2)[]0,3【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式的求解，根据补集与交集的运算，可得答案；（2）根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式，可得答案.【详解】（1）由得：，解得：，401x x ->+()()410x x -+<14x -<<则，；()1,4A =-(][),14,U A ∴=-∞-+∞ ð当时，，解得，4a =()()22221815350x ax a x x x x -+-=-+=--<35x <<则；.()3,5B =()[)4,5U A B ∴⋂=ð（2）由（2）知：；由,()1,4A =-()()2221110x ax a x a x a -+-=---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦解得：，即，11a x a -<<+()1,1B a a =-+因为是的必要不充分条件，是的真子集，x A ∈x B ∈B ∴A 且等号不会同时取到，解得，1114a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩03a ≤≤即实数的取值范围为.a []0,32．(1)或()A B R ð{|1x x =<-}1x >(2)(],0-∞【分析】（1）求函数的定义域求得集合，进而求得.B ()A B R ð（2）先求得，根据对集合是否是空集进行分类讨论，结合求得的取值A R ðB ()A B =∅R ða 范围.【详解】（1）由解得，所以，()()()()130,130x x x x -+≥-+≤31x -≤≤{}3|1A x x =-≤≤当时，，,0a ={}|11B x x =-≤≤{}|11A B x x ⋂=-≤≤所以或.()A B R ð{|1x x =<-}1x >（2）或，A R ð{|3x x =<-}1x >当时，，满足.121,2a a a ->+<-B =∅()A B =∅R ð当时，，要使，121,2a a a -≤+≥-B ≠∅()A B =∅R ð则需，解得.213211a a a ≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩20a -≤≤综上所述，的取值范围是.a (],0-∞3．(1)，，{}13A x x =-<<{}2B x x =<{}35C x x =-<≤(2){}25x x ≤≤【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，指数函数的单调性及分式不等式的解法分别计算即可；（2）根据交集补集和并集的定义即可得解.【详解】（1）由，得，解得，12x -<212x -<-<13x -<<所以，{}13A x x =-<<由，得，解得，41231133x x -+⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4123x x -<+2x <所以，{}2B x x =<由，得，1123x x +≥+503x x -≤+所以，解得，()()35030x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩35x -<≤所以；{}35C x x =-<≤（2），{}{}2,35B x x A C x x =≥⋃=-<≤所以.(){}25A C B x x ⋃⋂=≤≤4．(1)，，，{}8{}1,7{}2,6{}1,2,5(2)4(3)证明见详解【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使B 是倍数的集合.()T B 2n B 【详解】（1）所有可能的集合为：，，，.B {}8{}1,7{}2,6{}1,2,5（2）不妨设：，由于，且，123b b b <<123311b b b ≤<<≤123,,b b b A ∈所以.()123345123091011T B b b b ++=≤=++≤=++由题意，是12的倍数时，或.()T B ()12T B =()24T B =当时，因为，()12T B =12334512b b b ++≥++=所以当且仅当时，成立，故符合题意.{}3,4,5B =()12T B ={}3,4,5B =当时，()24T B =若，则，故或符合题意；311b =1213b b +={}3,10,11B ={}4,9,11B =若，则，故符合题意；310b =1214b b +={}5,9,10B =若，则，无解.39b =12345918b b b ++≤++=综上，所有可能的集合为，，，.B {}3,4,5{}3,10,11{}4,9,11{}5,9,10故满足条件的集合的个数为.B 4（3）（1）当时，设，则n A ∉12···n a a a <<<，1212,,···,,2,2,···,2n n a a a n a n a n a ---∈{}1,2,3,···,1,1,···,21n n n -+-这个数取个值，故其中有两个数相等.2n 22n -又因为，于是，12···n a a a <<<1222···2n n a n a n a ->->>-从而互不相等，互不相等，12,,···,n a a a 122,2,···,2n n a n a n a ---所以存在，使得.μν{}1,2,···,n ∈2a n a μν=-又因，故.a nμ≠a n ν≠μν≠则，则，结论成立.{},B a a μν=()2T B a a nμν=+=（2）当时，不妨设，n A ∈n a n =则（），在这个数中任取3个数，.121,,···,n a a a -4n ≥1n -i j k a a a <<若与都是的倍数，，j ia a -k ja a -n ()()2k i k j j i a a a a a a n-=-+-≥这与矛盾.(],,0,21i j k a a a n ∈-则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数.,,i j ka a a n ()2121a a a a ->n 考虑这个数：，，，，，.n 1a 2a 12a a +123a a a ++···121···n a a a -+++①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为n n n 1a 22a n <，n 故存在，使得.21r n ≤≤-()12···N*r a a a pn n +++=∈若为偶数，取，则，结论成立；p {}12,,···,r B a a a =()T B pn=若为奇数，取，则，结论成立.p {}12,,···,,r n B a a a a =()()1T B pn n p n=+=+②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的n n n 21a a -1a n 倍数，故存在，使得.21s t n ≤<≤-()()()1212······N*t s a a a a a a qn q +++-+++=∈若为偶数，取，则，结论成立；q {}12,,···,s s t B a a a ++=()T B qn =若为奇数，取，则，结论成立.q {}12,,···,,s s t n B a a a a ++=()()1T B qn n q n =+=+综上，存在非空集合，使得是的倍数.B A ⊆()T B 2n关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键.B ()T B 2n 5．(1){}1A B x x ⋃=≥-(2)1a <-【分析】（1）化简集合，直接利用并集运算求解即可；,A B（2）化简集合，根据交集运算结果求解参数.【详解】（1）由题知，，{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤∣，{}{0}B x x a x x a =->=>∣因为，所以，4a ={}4B x x =>所以.{}1A B x x ⋃=≥-（2）因为，()A B =∅R ð且，，{}14A x x =-≤≤{}R B x x a =≤ð所以.1a <-6．(1){}|1A B x x ⋃=>-(2)或.(){R |2A B x x ⋂=≤ð}3x ≥【分析】（1）解一元二次不等式、对数函数不等式得，结合并集的概念即可得解.,A B （2）集合交集、补集的概念即可得解.【详解】（1）由题意，{}{}{}{}22230|13,log 12A x x x x x B x x x x =-++>=-<<=>=所以.{}|1A B x x ⋃=>-（2）由（1）得或.{}(){R |23,|2A B x x A B x x ⋂=<<⋂=≤ð}3x ≥7．(1)或{10x x -<≤}15x ≤<(2)[]1,4-【分析】（1）分别求解集合，建议补集和交集运算可得答案；,A B （2）利用必要不充分条件得出集合间的关系，利用限制条件可得答案.【详解】（1）解得，所以，2450x x -++>15x -<<{}15A x x =-<<因为，所以，1m m +>{}1B x m x m =<<+当时，或，0m ={}{R 01,0B x x B x x =<<=≤ð}1x ≥所以或.{R 10A B x x ⋂=-<≤ð}15x ≤<（2）是的必要不充分条件，则是的真子集，p q B A 从而，115m m ≥-⎧⎨+≤⎩解得，14m -≤≤即实数的取值范围是.m []1,4-8．(1)()[)R 1,3A B ⋃=ð(2)()(),23,-∞⋃+∞【分析】（1）解出集合，根据集合的并集与补集即可；（2）采取正难则反的方法，求出交集为空集的范围，则得到答案.【详解】（1）()(){}()(){}2233030A x x a x a a x x a x a =-+++>=--->，()(),3,a a =-∞++∞ 当时，，，1a =()(),14,A =-∞+∞ {}[]281503,5B x x x =-+≤=则，则.()[),13,A B -∞=∞⋃+ ()[)R 1,3A B ⋃=ð（2）若，则，解得，A B ⋂=∅353a a ≥⎧⎨≤+⎩23a ≤≤所以若，或.A B ⋂≠∅2a <3a >则实数a 的取值范围为.()(),23,-∞⋃+∞9．(1)[]2,3-(2)[)2,5-(3)[]1,1-【分析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可；（2）根据集合并集的定义进行求解即可；（3）根据子集的定义进行求解即可.【详解】（1）由；()()[]260320232,3x x x x x A --≤⇒-+≤⇒-≤≤⇒=-（2）当时，，2m ={}15B x x =<<所以；[)2,5A B =- （3）因为，，B A ⊆B ≠∅所以有，1212131112m m m m m -<+⎧⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪-≥-⎩因此实数m 的取值范围为.[]1,1-10．(1)，A B ⋂=∅{}21A B x x ⋃=-≤≤(2)10,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由已知解不等式求得集合和，由函数定义域求得集合，再利用集合的交、A A B 并运算即得结果；（2）由充分必要条件可得是的真子集，由集合之间的关系可得答案.B A 【详解】（1）若，则或，2a =()(){}2410A x x x =+->{2x x =<-}1x >，{}21A x x =-≤≤又，所以，；21x B x y x ⎧⎫+⎪⎪==⎨⎬-⎪⎪⎩⎭{}21x x =-≤<A B ⋂=∅{}21A B x x ⋃=-≤≤（2）由题意，可知是的真子集，在上恒成立，B A ()()4230ax x a +-+>[)2,1-因为， ，即，0a >423()a a ---423a a =+-22340a a a -+=>423()a a ->-所以的解集为，()()4230ax x a +-+>()4,23,A a a ∞∞⎛⎫=--⋃-+ ⎪⎝⎭所以，可得，综上可得实数a 的取值范围.232a -<-12a <10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．(1)()1,+∞(2)[]2,3【分析】（1）利用函数单调性解不等式；（2）分别求出在上和在上的值域，利用包含关系求实数的取值范()g x [1,2]-()f x []2,1-m 围.【详解】（1）函数，定义域为R ，，()||f x x x =())(x x x x f f x x =-=--=--函数为奇函数，时，，则在上单调递增，所以在R 上单调递增，[)0,x ∈+∞2()f x x =()f x [)0,∞+()f x 不等式，即，得，解得，()321f x ->-()()321f x f ->-321x ->-1x >所以不等式的解集为.()321f x ->-()1,+∞（2）函数在上单调递减，在上单调递增，2()2g x x x m =--[]1,1-[]1,2，，，则时；(1)3g m -=-(1)1g m =--(2)g m =-2[1,2]x ∈-()[]21,3g x m m ∈---在上单调递增，当时，，()f x [2,1]-1[2,1]x ∈-()[]14,1f x ∈-依题意有：，解得.4113mm -≤--⎧⎨≥-⎩23m ≤≤所以实数的取值范围为.m []2,312．(1){}3|1x x <<(2){}3[,3]42⋃【分析】（1）先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解；（2）由，得到，分， ， ，讨论集合A 求解.A B A = A B ⊆4a <4a =4a >【详解】（1）当时，集合,2a =()(){}1230A x x a x a =---+<，()(){}{}|310|13x x x x x =--<=<<，{}2|0|044x B x x x x ⎧⎫=≥=≤<⎨⎬-⎩⎭所以；{}|13A B x x =<<（2）因为，A B A = 所以，A B ⊆当时，，4a <{}|231A x a x a =-<<+则，解得，此时；23014a a -≥⎧⎨+≤⎩332a ≤≤332a ≤≤当时，，符合题意；4a =A =∅当时，，4a >{}123|A x a x a =+<<-则，解得，此时无解；10234a a +≥⎧⎨-≤⎩712a -≤≤综上：实数的取值范围是.a {}3[,3]42⋃13．(1)()(),412,-∞-⋃+∞(2)[]0,8【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为[]2,2B m m =-++m ；()(),412,-∞-⋃+∞（2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为B A m ；[]0,8【详解】（1）解不等式可得，显然[]2,2B m m =-++B ≠∅若，可得或，A B ⋂=∅22m +<-210m -+>解得或，4m <-12m >即实数的取值范围为；m ()(),412,-∞-⋃+∞（2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集；x A ∈x B ∈B A 可得，解得，22210m m -+≥-⎧⎨+≤⎩08m ≤≤因为不等式两端等号不会同时成立，08m ≤≤所以实数的取值范围为.m []0,814．(1){}1m m <(2)或.{13m m ≤≤}3m <-【分析】（1）根据判别式即可求解，（2）分类即可求解.【详解】（1）若命题为真命题，p 则，()2224416160m m m ∆=--=-->解得，1m <所以实数的取值范围为.m {}1m m <（2）若命题为真命题，解得，q 33m -≤≤当真假时，，得；p q 133m m x <⎧⎨-⎩或3m <-当假真时，，得；p q 133m m ≥⎧⎨-≤≤⎩13m ≤≤综上所述，实数的取值范围为或.m {13m m ≤≤}3m <-15．(1){}0,1(2)或{1a a ≥}0a =【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解；0a =0a ≠（2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可.0a =1a =A =∅【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；0a =210x +=12x =-若，则当且仅当方程的判别式，即时，0a ≠440a ∆=-=1a =方程有两个相等的实根，此时集合A 中有且仅有一个元素，121x x ==-∴所求集合；{}0,1B =（2）集合A 中至多有一个元素包括有两种情况，①A 中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或，0a =1a =②A 中一个元素也没有，即，此时，且，解得，A =∅0a ≠440∆=-<a 1a >综合①②知的取值范围为或.a {1a a ≥0}a =16．(1){}31A x x =-<<(2)11,223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意得和是方程的两根，代入求得，化简所求=1x -2x =20x ax b ++=,a b 不等式，求解即可；（2）将是成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质x A ∈x B ∈即可求解.【详解】（1）因为不等式的解集为，20x ax b ++<{}12x x -<<则和是方程的两根，=1x -2x =20x ax b ++=所以，解得，10420a b a b -+=⎧⎨++=⎩12a b =-⎧⎨=-⎩所以不等式为不等式，230ax bx ++>2230x x --+>解得，即集合.31x -<<{}31A x x =-<<（2）因为是成立的必要条件，所以.x A ∈x B ∈B A ⊆当时，，解得；B =∅280m ∆=-≤2222m -≤≤当时，，解得.B ≠∅2803129320120m m m m ⎧->⎪⎪-<<⎪⎨⎪++≥⎪-+≥⎪⎩11223m -≤<-综上，实数的取值范围是.m 11,223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17．(1)或{|2U A x x =<-ð1}x >(2){}|1A B x x =≤ (3)3（答案不唯一）【分析】（1）解出集合,直接求解即可；A （2）根据集合的并运算直接求解即可；（3）根据条件可知，列出条件，可解得m 的范围，在范围内写出一个值即可.A B ⊆【详解】（1）因为，，{}{}220|21A x x x x x =+-≤=-≤≤U =R所以或.{|2U A x x =<-ð1}x >（2）当时，，1m ={}{}R 1|0B x x m x x =∈+<=<则.{}|1A B x x =≤ （3），{}{}R 1|1B x x m x x m =∈+<=<-若，都有，则,x A ∀∈x B ∈A B ⊆所以，则，11m ->m>2故的值可以为3（答案不唯一）.m 18．(1)①集合T ＝{1，2，3，4}，P （T ）＝4，②数列A ：1，3，5，7，T ＝{2，4，6}(2)证明见解析(3)存在最大值，理由见解析【分析】（1）根据新定义列举出集合的元素即可求；根据题意可知，T ()P T 32x y x -=-=求出，即可求解；,x y （2）先假设数列A 是递增数列，设公差为d （），则，即可分析得0d >()j i a a j i d-=-，反之A 是递增数列，根据数列的新定义可得，()1P T N =-21321N N a a a a a a --=-==- 可得A 为等差数列，由充分条件和必要条件的定义即可得求证；（3）利用的定义结合特例可判断存在最大值.T ()P T 【详解】（1）①因为，，，，，，211-=413-=514-=422-=523-=541-=所以集合，．{}1,2,3,4T =()4P T =②因为A ：1,3,x ,y ，且，所以，，均不相等，3x y <<312-=1x -1y -所以2，，都是集合T 中的元素，1x -1y -因为，所以．可得：，，()3P T =32x y x -=-=5x =7y =所以数列A ：1,3,5,7，；{}2,4,6T =（2）充分性；A 是递增数列，若A 为等差数列，设A 的公差为d （），当时，0d >1i j N ≤<≤所以，所以，()j i a a j i d -=-(){},2,3,,1T d d d N d =- 则，故充分性成立．()1P T N =-必要性：若A 是递增数列，，则A 为等差数列，()1P T N =-因为A 是递增数列，所以，2131411N a a a a a a a a -<-<-<<- 所以 ，且互不相等，2131411,,,,N a a a a a a a a T ----∈ 所以，{}2131411,,,,N T a a a a a a a a =---- 又因为，324221N N a a a a a a a a -<-<<-<- 所以且互不相等，232421,,,,N N a a a a a a a a T ----∈ 所以，，，，3221a a a a -=-4231a a a a -=-L 211N N a a a a --=-所以，所以A 为等差数列，必要性成立．21321N N a a a a a a --=-==- 所以若A 是递增数列，“”的充要条件是“A 为等差数列”.()1P T N =-（3）存在最大值．理由如下：()P T 由题意集合中的元素个数最多为个，{},1j i T x x a a i j N ==-≤<≤()12N N -即，()()12N N P T -≤取，此时，2:2,2,2N A 22i j j i a a --=若存在，则，其中，1122j i j i a a a a --=11222222j i j i -=-1122,j i j i >>故，()()111222221221i j i i j i ---=-若，不妨设，则12i i ≠12i i >()12112222121i i j i j i ----=-而，故为偶数，为奇数，矛盾，1122,j i j i >>()1211221i i j i ---2221j i --故，故，12i i =12j j =故由得到的彼此相异，故，2:2,2,2N A j i a a -()()12N N P T -=即的最大值为.()P T ()12N N -因此必有最大值；()P T 关键点睛：本题考查数列新定义问题，难度较大，解答的关键在于理解题意并根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而分析得出的值.j i a a -()P T。
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式.专题测试题及详细答案
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式[时间120分钟，满分150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·吉安模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{1,5}，则A ∩(∁U B )等于A ．{2,4}B ．{1,2,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析 ∁U B ＝{2,3,4}，所以A ∩(∁U B )＝{2,4}，选A. 答案 A2．(2013·潮州一模)集合A ＝{x ||x －2|≤2}，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则A ∩B 等于 A ．RB ．{x |x ≠0}C ．{0}D ．∅解析 A ＝[0,4]，B ＝[－4,0]，所以A ∩B ＝{0}． 答案 C3．(2013·烟台一模)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为A.12B ．－12C ．2D ．－2解析 设幂函数为f (x )＝x a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，解得a ＝12，所以f (x )＝x ，所以f (2)＝2，即log 2f (2)＝log 22＝12，选A. 答案 A4．函数f (x )＝log 2(x －1＋1)的值域为 A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，1)∪(0，＋∞)解析 x －1＋1＝1x ＋1≠1，所以f (x )＝log 2(x －1＋1)≠log 21＝0，即y ≠0，所以f (x )＝log 2(x －1＋1)的值域是 (－∞，0)∪(0，＋∞)，选C. 答案 C5．(2013·青浦模拟)对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是 A ．逆命题为“单调函数不是周期函数” B ．否命题为“周期函数是单调函数” C ．逆否命题为“单调函数是周期函数” D ．以上三者都不对解析 周期函数不是单调函数得逆命题为“不是单调函数的函数，就是周期函数”，A 错．否命题为“不是周期函数的函数是单调函数”，B 错．逆否命题为“单调函数不是周期函数”，C 错，所以选D.答案 D6．(2013·铁岭模拟)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是 A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab ＞2D.b a ＜1解析 由1a ＜1b ＜0可知，b ＜a ＜0，所以ba ＞1，选D. 答案 D7．设a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ＝1，b ＝3，A ＝30°，由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝32，a ＜b ，B ＝60°或B ＝120°，反之，a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则sin A ＝a b sin B ＝12，a ＜b ，A ＝30°，故选B.答案 B8．在坐标平面内，点的纵、横坐标都是整数时，称该点为整点．则由不等式⎩⎨⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示的区域内整点的个数是A ．1B ．3C ．9D ．6解析 本题考查了线性规划的基本知识，根据线性约束条件画出可行域是关键． 答案 C9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋2，x ≤0，ln x ， x ＞0，若k ＞0，则函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是A ．1B ．4C ．3D ．2解析 由y ＝|f (x )|－1＝0，得|f (x )|＝1.若x ＞0， 则|f (x )|＝|ln x |＝1，所以ln x ＝1或ln x ＝－1，解得x ＝e 或x ＝1e .若x ≤0，则|f (x )|＝|kx ＋2|＝1，所以kx ＋2＝1或kx ＋2＝－1，解得x ＝－1k ＜0或x ＝－3k ＜0成立，所以函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是4个，选B.答案 B10．(2013·济南一模)设a ＝⎠⎛121x d x ，b ＝⎠⎛131x d x ，c ＝⎠⎛151x d x ，则下列关系式成立的是A.a 2＜b 3＜c5 B.b 3＜a 2＜c 5 C.c 5＜a 2＜b 3D.a 2＜c 5＜b 3解析 a ＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2，b ＝⎠⎛131x d x ＝ln x |31＝ln 3，c ＝⎠⎛151x d x ＝ln x |51＝ln 5，所以a 2＝ln 22＝ln 2，b 3＝ln 33＝ln 33，c 5＝ln 55＝ln 55.因为(2)6＝23＝8，(33)6＝32＝9，所以2＜33.(2)10＝25＝32，(55)10＝52＝25，所以55＜2，即55＜2＜33，所以c 5＜a 2＜b3，选C.答案 C11．(2013·黄浦模拟)若f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则下列结论： ①y ＝|f (x )|是偶函数；②对任意的x ∈R 都有f (－x )＋|f (x )|＝0；③y ＝f (－x )在(－∞，0]上单调递增；④y ＝f (x )f (－x )在(－∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4解析 取f (x )＝x 3，x ＝－1，则f (－x )＋|f (x )|＝f (1)＋|f (－1)|＝2≠0，故②错．又f (－x )＝－x 3在(－∞，0]上单调递减，故③错．对于①，设x ∈R ，则|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|⇒y ＝|f (x )|是偶函数，所以①对；对于④，设x 1＜x 2≤0，则－x 1＞－x 2≥0，∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (－x 1)＞f (－x 2)≥f (0)＝0⇒f 2(－x 1)＞f 2(－x 2)⇒f 2(x 1)＞f 2(x 2)，∴f (x 1)f (－x 1)＝－f 2(x 1)＜－f 2(x 2)＝f (x 2)f (－x 2)⇒y ＝f (x )f (－x )在(－∞，0]上单调递增，故④对．所以选B.答案 B12．(2013·临沂一模)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y＝e x －2}．其中是“垂直对点集”的序号是 A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析 ①y ＝1x 是以x ，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，满足“垂直对点集”的定义；对任意(x 1，y 1)∈M ，在另一支上也不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}，如图在曲线上，两点构成的直角始终存在，所以M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}是“垂直对点集”．对于③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，如图取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}，如图在曲线上两点构成的直角始终存在，满足“垂直对点集”的定义，故正确．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．如果不等式5－x ＞7|x ＋1|和不等式ax 2＋bx －2＞0有相同的解集，则a ＋b ＝________. 解析 由不等式5－x ＞7|x ＋1|可知5－x ＞0，两边平方得(5－x )2＞49(x ＋1)2，整理得4x 2＋9x ＋2＜0，即－4x 2－9x －2＞0. 又两不等式的解集相同，所以可得a ＝－4，b ＝－9， 则a ＋b ＝－13. 答案 －1314．(2013·顺义模拟)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则不等式f (2x )＞2的解集为________．解析 因为函数为定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，且函数在(0，＋∞)上递增．所以由f (2x )＞2得2x ＞12，即x ＞－1， 所以不等式f (2x )＞2的解集为(－1，＋∞)． 答案 (－1，＋∞)15．(2013·滨州一模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2.作出不等式组对应的平面区域，如图，平移直线y ＝－12x ＋z2，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋z 2经过点F 时，直线y ＝－12x ＋z2的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧ x －y ＋2＝02x －y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝7y ＝9，即F (7,9)，代入z ＝x ＋2y 得z ＝x ＋2y ＝7＋2×9＝25.答案 2516．(2013·德州一模)已知锐角α，β满足3tan α＝tan(α＋β)，则tan β的最大值为________． 解析 tan β＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝2tan α1＋3tan 2α，即tan β＝21tan α＋3tan α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0.所以tan β＝21tan α＋3tan α≤221tan α·3tan α＝33，当且仅当1tan α＝3tan α，即tan 2α＝13，tan α＝33时，取等号，所以tan β的最大值是33. 答案 33三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B .(1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解析 (1)A ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |(x －3)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1，或x ＞3}， B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a ＜y ≤4－a }．(5分) (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴4－a ＜－1或－a ≥3，∴a ≤－3或a ＞5，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．(10分)18．(12分)设命题p ：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2mx ＋1在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立；若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．解析 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝x 2－2mx ＋1在区间(1，＋∞)上是增函数，由于该函数是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝m ，所以m ≤1；因为a ∈[－1,1]，(3分)由根与系数关系知 |x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3，所以m 2＋5m －3≥3，解得m ≥1，或m ≤－6，(6分) 若(綈p )∧q 为真命题，则p 是假命题，q 是真命题，(8分) 故⎩⎨⎧m ＞1m ≥1，或m ≤－6，即m ＞1.(11分) 所以使(綈p )∧q 为真的实数m 的取值范围是m ＞1.(12分)19．(12分)(2013·宝山模拟)已知函数f (x )＝log 2(4x ＋b ·2x ＋4)，g (x )＝x . (1)当b ＝－5时，求f (x )的定义域； (2)若f (x )＞g (x )恒成立，求b 的取值范围． 解析 (1)由4x －5·2x ＋4＞0，即(2x －1)(2x －4)＞0， 所以2x ＜1，或2x ＞4，解得f (x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(5分) (2)由f (x )＞g (x )得4x ＋b ·2x ＋4＞2x ， 即b ＞1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋42x .令h (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋42x ，因为2x＋42x ≥22x·42x ＝4，当且仅当2x ＝42x ，即x ＝1时等号成立，则h (x )≤－3，∴当b ＞－3时，f (x )＞g (x )恒成立．(12分)20．(12分)(2013·马鞍山模拟)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f (x )＋ax ，求函数y ＝g (x )的单调区间．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝x －1x －2ln x ，则f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝0.(5分)(2)由条件知g (x )＝ax －2ln x ， 则函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以g ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ，(i)当a ≤0时，g ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数y ＝g (x )的单调区间为(0，＋∞)； (ii)当a ＞0时，由g ′(x )＞0，得x ＞2a ， 由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2a ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a .(12分)21．(12分)某工厂生产A 、B 两种配套产品，其中每天生产x 吨A 产品，需生产x ＋2吨B 产品，已知生产A 产品的成本与产量的平方成正比，经测算，生产1吨A 产品需要4万元，而B 产品的成本为每吨8万元．(1)求生产A 、B 两种配套产品的平均成本的最小值；(2)若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产A 产品的产量x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2,8]范围内，那么在这种情况下，该工厂应生产A 产品多少吨，才可使平均成本最低．解析 (1)因为生产A 产品的成本与产量的平方成正比，则生产x 吨A 产品需t ＝kx 2万元，又当x ＝1时，t ＝4，所以k ＝4，故t ＝4x 2，(2分)设生产A 、B 两种产品的平均成本为y ，据题意有 y ＝4x 2＋8(x ＋2)x ＋x ＋2＝4x 2＋8x ＋162x ＋2＝2x 2＋4x ＋8x ＋1＝(2x 2＋2x )＋(2x ＋2)＋6x ＋1＝2x ＋6x ＋1＋6＝2(x ＋1)＋6x ＋1＋4≥22(x ＋1)×6x ＋1＋4 ＝43＋4， 当且仅当2(x ＋1)＝6x ＋1，即x ＝3－1时，等号成立．(6分)(2)由(1)知，生产A 、B 两种产品的平均成本为 y ＝2x ＋6x ＋1＋6，则y ′＝2－6(x ＋1)2，(7分) 令y ′＞0，解得x ＞3－1，令y ′＜0，解得x ＜3－1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2,8]，所以函数y ＝2x ＋6x ＋1＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递减，在[2,8]上单调递增，当x ＝12时，y ＝11，当x ＝2时，y ＝12.(11分)所以该工厂应生产A 产品12吨，才可使平均成本最低，为11万元．(12分)22．(12分)(2012·山东)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2. 解析 (1)由f (x )＝ln x ＋ke x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(3分)(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0. 又e x ＞0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(8分) (3)证明 因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 因此，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e－2等价于1－x －x ln x ＜e xx ＋1(1＋e －2)．由(2)知h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，φ(x)＞φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)＞0，即e xx＋1＞1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2＜e xx＋1(1＋e－2)．因此对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.(12分)。
集合与常用逻辑用语(含答案)
集合与常用逻辑用语一．选择题（共9小题）1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，2}2．集合P＝{﹣1，0，1}，Q＝{y|y＝cos x，x∈R}，则P∩Q＝（）A．P B．Q C．{﹣1，1}D．[0，1]3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤24．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是（）A．1B．3C．4D．85．设全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，则∁R（A∪B）等于（）A．{x|0≤0＜1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤﹣1}D．{x|x＞﹣1}6．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．7．已知P＝{|＝（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q＝{|＝（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝（）A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}8．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A ∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n9．定义A⊗B＝{z|z＝xy+，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A．3B．9C．18D．27二．填空题（共5小题）10．若集合A＝{x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有个元素．11．设集合A＝{5，log2（a+3）}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝．12．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝．13．设全集I＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{2，|a+1|}，∁I A＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M 的所有子集是．14．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝．三．解答题（共6小题）15．一个无重复数字的五位数，如果满足万位和百位上的数字都比千位上的数字小，百位和个位上的数字都比十位上的数字小，则这个五位数称为“倒W型数”，问：一共有多少个倒W型数？16．已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）＝﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）＝x2﹣4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y＝f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．17．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁U B）＝{1，3，5，7}，求集合B．18．已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，分别求适合下列条件的a的值．（1）9∈（A∩B）；（2）{9}＝A∩B．19．对于集合M、N，定义M⊖N＝{x|x∈M且x∉N}，M⨁N＝（M⊖N）∪（N⊖M），设A＝{y|4y+9≥0}，B＝{y|y＝﹣x+1，x＞1}，求A⨁B．20．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a＝3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．。
集合与简易逻辑、函数与导数测试题(含答案)
集合与简易逻辑、函数与导数测试题1．若集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U)B 等于（ ）A.{}5 B . {}7,3,1 C .{}8,2 D. {}8,7,6,5,4,3,12．函数()2()log 6f x x =-的定义域是（ ）A ．{}|6x x >B ．{}|36x x -<<C ．{}|3x x >-D ．{}|36x x -<≤ 3．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ）A ．p 或q 为真，非q 为假B ． p 或q 为真，非p 为真C ．p 且q 为假，非p 为假D ． p 且q 为假，p 或q 为真 4．下列函数中,既是偶函数又在)0,(-∞上单调递增的是 ( ) A ．3y x = B ．y cos x = C ．y ln x = D ．21y x = 5．对命题”“042,0200≤+-∈∃x x R x 的否定正确的是 （ ） A ．042,0200>+-∈∃x x R x B ．042,2≤+-∈∀x x R x C ．042,2>+-∈∀x x R x D ．042,2≥+-∈∀x x R x6．为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度 7．如图是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是A ．在区间（－2,1）上)(x f 是增函数B ．在（1,3）上)(x f 是减函数C ．在（4,5）上)(x f 是增函数 8. 若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a 的值为 （ ）A ．21B ．32C ．43D ．19.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(4,+∞)上为减函数，且函数y =f (x +4)为偶函数，则（ ）A ．f (2)>f (3)B ．f (3)>f (6)C ．f (3)>f (5)D ． f (2)>f (5) 10.已知a >0且a ≠1，若函数f （x ）= log a （ax 2 –x ）在[3，4]是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．11[,)(1,)64+∞C ．11[,)(1,)84+∞D ．11[,)6411. 用},,min{c b a 表示c b a ,,三个数中的最小值，}102,2min{)(x x x f x -+=，, (x ≥0) , 则)(x f 的最大值为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．712. 若函数f (x )=⎩⎨⎧>+≤0)( 1)ln(0)( x x x x ,若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是A ．（-∞，-1）∪（2，+∞）B ．（-2,1）C ．（-∞，-2）∪（1，+∞）D ．（-1,2）13．设全集U 是实数集R ，{}24M x |x >＝，{}|13N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是___________。
(文末附答案)(Word版含答案)高中数学集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细
(每日一练)(文末附答案)（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|>3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D2、已知集合A={0,1,2}，B={ab|a∈A,b∈A}，则集合B中元素个数为（）A．2B．3C．4D．5答案：C分析：由列举法列出集合B的所有元素，即可判断；解：因为A={0,1,2}，a∈A,b∈A，所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4，故B={ab|a∈A,b∈A}={0,1,2,4}，即集合B中含有4个元素；故选：C3、若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D分析：根据集合元素的互异性即可判断.由题可知，集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则a≠b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选：D．<0}，B={0,1,2,3,4,5}，则(∁R A)∩B=（）4、已知集合A={x|x+2x−4A．{5}B．{4,5}C．{2,3,4}D．{0,1,2,3}答案：B分析：首先化简集合A，再根据补集的运算得到∁R A，再根据交集的运算即可得出答案.<0}=(−2,4)，因为A={x|x+2x−4所以∁R A={x|x≤−2或x≥4}.所以(∁R A)∩B={4,5}故选：B.5、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A6、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.7、设集合A={x|x≥2},B={x|−1<x<3}，则A∩B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x<2}C．{x|2≤x<3}D．{x|−1≤x<2}答案：C分析：根据交集的定义求解即可由题，A∩B={x|2≤x<3}故选：C8、若不等式|x−1|<a成立的充分条件为0<x<4，则实数a的取值范围是（）A．{a∣a≥3}B．{a∣a≥1}C．{a∣a≤3}D．{a∣a≤1}答案：A分析：由已知中不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，令不等式的解集为A，可得{x|0<x<4}⊆A，可以构造关于a 的不等式组，解不等式组即可得到答案.解：∵不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，设不等式的解集为A ，则{x |0<x <4 }⊆A ，当a ≤0时，A =∅，不满足要求；当a >0时，A ={x ∣1−a <x <1+a}，若{x |0<x <4 }⊆A ，则{1−a ⩽01+a ⩾4，解得a ≥3. 故选：A.9、命题“∀x <0,x 2+ax −1≥0”的否定是（ ）A ．∃x ≥0,x 2+ax −1<0B ．∃x ≥0,x 2+ax −1≥0C ．∃x <0,x 2+ax −1<0D ．∃x <0,x 2+ax −1≥0答案：C分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x <0,x 2+ax −1≥0”的否定是“∃x <0,x 2+ax −1<0”.故选：C10、集合M ={2,4,6,8,10},N ={x |−1<x <6 }，则M ∩N =（ ）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}，所以M ∩N ={2,4}．故选：A.多选题11、集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为（ ）A ．{x |x 是不大于9的非负奇数}B ．{x |x =2k +1,k ∈N ,且k ≤4}C ．{x |x ≤9,x ∈N ∗ }D ．{x |0≤x ≤9,x ∈Z }答案：AB分析：利用描述法的定义逐一判断即可.对A ，{x |x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故A 正确；对B ，{x |x =2k +1,k ∈N ,且k ≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故B 正确；对C ，{x |x ≤9,x ∈N ∗ }表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故C 错误；对D ，{x |0≤x ≤9,x ∈Z }表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D 错误.故选：AB.12、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，则下列说法正确的是（ ）A ．当m =3时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是m >1C ．方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0答案：BCD分析：方程没有实数根，所以选项A 错误；由题得m >1，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；由题得0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；由题得m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确.对于选项A ，方程为x 2+3=0，方程没有实数根，所以选项A 错误；对于选项B ，如果方程没有实数根，则Δ=(m −3)2−4m =m 2−10m +9<0,所以1<m <9，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；对于选项C ，如果方程有两个正根，则{Δ=m 2−10m +9≥0−(m −3)>0m >0,所以0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；对于选项D ，如果方程有一个正根和一个负根，则{Δ=m 2−10m +9>0m <0,所以m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确.故选：BCD小提示：方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解.13、已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x|+y |y|+z |z|+|xyz|xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A ．0∉MB ．2∈MC ．−4∈MD ．4∈M答案：CD分析：讨论x,y,z 的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M ，进而确定正确的选项.当x,y,z 均为负数时，x |x|+y |y|+z |z|+|xyz|xyz =−4；当x,y,z 两负一正时，x |x|+y |y|+z |z|+|xyz|xyz =0；当x,y,z 两正一负时，x |x|+y |y|+z |z|+|xyz|xyz =0；当x,y,z 均为正数时，x |x|+y |y|+z |z|+|xyz|xyz =4；∴M ={−4,0,4}，A 、B 错误，C 、D 正确.故选：CD14、已知集合A ={x ∣1<x <2}，B ={x ∣2a −3<x <a −2}，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得A =B B ．存在实数a 使得A ⊆BC ．当a =4时，A ⊆BD ．当0⩽a ⩽4时，B ⊆AE ．存在实数a 使得B ⊆A分析：利用集合相等判断A 选项错误，由A ⊆B 建立不等式组，根据是否有解判断B 选项；a =4时求出B ，判断是否A ⊆B 可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D 选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.A 选项由相等集合的概念可得{2a −3=1a −2=2 解得a =2且a =4，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A ⊆B ，得{2a −3≤1a −2≥2 即{a ≤2a ≥4，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当a =4时，得B ={x ∣5<x <2}为空集，不满足A ⊆B ，因此C 错误；D 选项当2a −3≥a −2，即a ≥1时，B =∅⊆A ，符合B ⊆A ；当a <1时，要使B ⊆A ，需满足{2a −3≥1a −2≤2解得2≤a ≤4，不满足a <1，故这样的实数a 不存在，则当0≤a ≤4时B ⊆A 不正确，因此D 错误； E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B ⊆A ，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.小提示：本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.15、已知集合A ={1,4,a },B ={1,2,3}，若A ∪B ={1,2,3,4}，则a 的取值可以是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：AB分析：根据并集的结果可得{1,4,a }{1,2,3,4}，即可得到a 的取值；解：因为A ∪B ={1,2,3,4}，所以{1,4,a }{1,2,3,4}，所以a =2或a =3；故选：AB16、已知集合A ={0,1,2}，B ={a,2}，若B ⊆A ，则a =（ ）C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.17、下列说法中不正确的是（）A．0与{0}表示同一个集合B．集合M＝{3, 4}与N＝{(3, 4)}表示同一个集合C．方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1, 1, 2}D．集合{x|4<x<5 }不能用列举法表示答案：ABC分析：根据集合的概念，以及元素与集合的关系，以及元素的特征，逐项判定，即可求解.对于A中，0是一个元素（数），而{0}是一个集合，可得0∈{0}，所以A不正确；对于B中，集合M＝{3， 4}表示数3,4构成的集合，集合N＝{(3， 4)}表示点集，所以B不正确；对于C中，方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}，根据集合元素的互异性，可得方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1， 2}，所以C不正确；对于D中，集合{x|4<x<5}含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.18、给定命题p:∀x>m，都有x2>8.若命题p为假命题，则实数m可以是（）A．1B．2C．3D．4答案：AB分析：命题p的否定：∃x>m，x2≤8是真命题. 再把选项取值代入检验即得解. 解：由于命题p为假命题，所以命题p的否定：∃x>m，x2≤8是真命题.当m=1时，则x>1，令x=2,22<8，所以选项A正确；当m=2时，则x>2，令x=2.5,2.52<8，所以选项B正确；当m=3时，则x>3，x2>9，x2≤8不成立，所以选项C错误；当m=4时，则x>4，x2>16，x2≤8不成立，所以选项D错误.故选：AB19、(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}答案：ABD分析：选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P.选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=[1,+∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=[1,+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．20、1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（）A．M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x>0}满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素答案：BD分析：根据集合的定义和题目要求，分析各选项即可.对于选项A，因为M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x>0}，M∪N={x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；对于选项B，设M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m,n)使M∪N=Q不成立；若m=n，则M∩N=∅不成立，故C错误；对于选项D，设M={x∈Q|x<√2}，N={x∈Q|x≥√2}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．故选:BD．填空题21、已知集合A={2,3,4,5,6}，B={(x,y)|x∈A,y∈A,x−y∈A}，则集合B中元素的个数为______.答案：6分析：由已知，根据条件给的集合A，按照集合B给的定义列举即可完成求解.因为x∈A，y∈A，x−y∈A，所以x=4时，y=2；x=5时，y=2或y=3，x=6时，y=2或3或4.B= {(4,2),(5,2),(5,3),(6,2),(6,3),(6,4)}，所以集合B中元素的个数为6.所以答案是：6.22、设集合A={1,2,a}，B={2,3}.若B⊆A，则a=_______.答案：3分析：由题意可知集合B是集合A的子集，进而求出答案.由B⊆A知集合B是集合A的子集，所以3∈A⇒a=3，所以答案是：3.23、已知条件α：m<x≤2m+5，条件β：0≤x≤1，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围为___________.答案：[−2,0)分析：根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果.∵α是β的必要条件∴{x|0≤x≤1}⊆{x|m<x≤2m+5}∴{m<02m+5≥1，解得：−2≤m<0，即m的取值范围为[−2,0). 所以答案是：[−2,0)。
(整理)集合与常用逻辑用语、函数、导数答案
专题检测卷(二)集合与常用逻辑用语、函数、导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·课标全国)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2} D．{0,1,2}【解析】由已知A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤4，x∈Z}＝{x|0≤x≤16，x∈Z}，则A∩B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}，故选D.【答案】 D2．(2010·海南三亚模拟)设A＝{x||x|≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}，若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是A．t＜－3 B．t≤－3C．t＞3 D．t≥3【解析】A＝[－3,3]，B＝(－∞，t]，由A∩B＝∅知t＜－3.【答案】 A3．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N等于A．∅B．MC．N D．R【解析】∵M＝R，N＝{y|y≥－1}，∴M∩N＝N.【答案】 C4．(2010·广东广州模拟)若函数f(x)＝log a(x＋1)(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于A.13 B. 2C.22D．2【解析】∵f(x)＝log a(x＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x≤1，则1≤x＋1≤2.当a＞1时，0＝log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2；当0＜a＜1时，log a 2≤log a(x＋1)≤log a1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a＝2.【答案】 D5．(2010·海南三亚质检)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0,2]上是单调减函数，则A．f(0)＜f(－1)＜f(2) B．f(－1)＜f(0)＜f(2)C．f(－1)＜f(2)＜f(0) D．f(2)＜f(－1)＜f(0)【解析】由f(x－2)在[0,2]上单调递减，∴f(x)在[－2,0]上单调递减．∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)在[0,2]上单调递增．又f(－1)＝f(1)，∴f(0)＜f(－1)＜f(2)．【答案】 A6．A7．(2010·山东聊城摸底)函数f(x)的图象如下图所示，下列数值排序正确的是A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)【解析】 f ′(2)、f ′(3)是x 分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)是图象上x 为2和3对应两点连线的斜率，故选B. 【答案】 B8．(2010·济宁质检)下列各小题中，p 是q 的充要条件的是 ①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点； ②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A . A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】 对于①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔m 2－4(m ＋3)＞0⇔p ：m ＜－2或m ＞6；对于②y ＝f (x )为偶函数，但不一定满足f (－x )f (x )＝1， ∴不是充要条件．对于③若α＝π6，β＝－π6，满足cos α＝cos β，但不满足tan α＝tan β，∴不是充要条件． 对于④p ：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔q ：∁U B ⊆∁U A . 【答案】 D9．(2010·山东临沂模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值A ．恒为正B ．等于零C ．恒为负D ．不大于零【解析】 数形结合．由于f (1)＞0，f (3)＜0，所以x 0∈(1,3)．在(1,3)上g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 是减函数，φ(x )＝log 3x 是增函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x 在(1,3)上是减函数，所以f (x 1)＞f (x 0)＝0，故选A.【答案】 A10．(2010·江苏无锡摸底)若a ＞2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有 A ．0个根 B ．1个根 C ．2个根D ．3个根【解析】 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a ＜0，f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上)11．3(,1)412．-7 13．314．(2010·江苏)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．【解析】 对函数y ＝x 2，y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x ＞0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y ＝0得a k ＋1＝12a k .又∵a 1＝16，∴a 3＝12a 2＝14a 1＝4， a 5＝14a 3＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 【答案】 2115．(2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |.若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是【解析】 f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由图知f (a )＝f (b )，则有0＜a ＜1＜b ，∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ， 即－lg a ＝lg b ，得a ＝1b ， ∴a ＋2b ＝2b ＋1b .令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b 2， 显然b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )＞0， ∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数， 得g (b )＝2b ＋1b ＞3，故选C. 【答案】(3，＋∞)16．(2010·宁夏银川摸底)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上) 【解析】 令x ＝－3，可得f (3)＝f (－3)＝0，知①正确； ∵f (x ＋6)＝f (x )，又f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝－6对称，∴②正确； 由题意知，x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，又f (x )为偶函数，f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )在[－9，－6]上单调递减，③不正确；由f (3)＝0可知，f (－3)＝f (－9)＝f (9)＝0，∴④正确． 【答案】 ①②④17．(2010·滨州模拟)给出下列四个结论：①命题“∃x ∈R ，x 2－x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ②“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真； ③函数f (x )＝x －sin x (x ∈R )有3个零点；④对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时f ′(x )＞g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号) 【解析】 显然①正确，而②的逆命题为若a ＜b ， 则am 2＜bm 2，当m 2＝0时不成立，故②不正确；③中f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )在R 上为单调增函数．∴在R 上有且仅有一个零点，故③不正确；对于④由已知f (x )为奇函数，又在(0，＋∞)时f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∴在x ＜0时亦为增函数， ∴f ′(x )＞0，同理g (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴x ＜0时，g ′(x )＜0，因此f ′(x )＞g ′(x )，故④正确． 【答案】 ①④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(12分) (1)2,12,0a b c ==-=(2)单调增区间(,)-∞+∞，单调减区间(19．(12分)(2010·东北六校联考)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)f (x )＝3·2x .(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.∴只需m ≤56即可．【答案】 (1)f (x )＝3·2x (2)m ≤5620．(12分)(2010·安徽)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1.【解析】 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为 f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． (2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R . 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增．于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0.即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.【答案】 (1)f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞) 极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )(2)略21．(12分)(2010·珠海模拟)设函数f (x )＝x (1＋x )2，x ∈(－∞，0]． (1)求f (x )的极值点；(2)对任意的a ＜0，以F (a )记f (x )在[a,0]上的最小值，求k ＝F (a )a 的最小值． 【解析】 (1)f ′(x )＝(1＋x )2＋2x (1＋x )＝(1＋x )(1＋3x )， 由f ′(x )＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝－13， 当x ＜－1或x ＞－13时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜－13时，f ′(x )＜0， 所以，有两个极值点：x 1＝－1是极大值点，f (－1)＝0； x 2＝－13是极小值点，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－427.(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－427作直线y ＝－427，与y ＝f (x )的图象的另一个交点为A ，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－427， －427＝x (x ＋1)2，即27x 3＋54x 2＋27x ＋4＝0， 已知有解x ＝－13，则(3x ＋1)(9x 2＋15x ＋4)＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－427.当a ＜－43时，F (a )＝f (a )，k ＝f (a )a ＝(1＋a )2＞19；当－43≤a ≤－13时，F (a )＝－427， k ＝－427a ≥－427－43＝19，其中当a ＝－43时，k ＝19；当－13＜a ＜0时，F (a )＝f (a )，k ＝f (a )a ＝(1＋a )2＞49.所以，对任意的a ＜0，k 的最小值为19⎝ ⎛⎭⎪⎫其中当a ＝－43时，k ＝19【答案】 (1)有两个极值点： x 1＝－1是极大值点，f (－1)＝0；x 2＝－13是极小值点，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－427(2)对任意的a ＜0，k 的最小值为19⎝ ⎛⎭⎪⎫其中当a ＝－43时，k ＝1922．(14分)(2010·浙江嘉兴模拟)已知x ＝0是函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e x (x ∈R )的一个极值点，且函数f (x )的图象在x ＝2处的切线的斜率为2e 2.(1)求函数f (x )的解析式并求单调区间；(2)设g (x )＝f ′(x )e x ，其中x ∈[－2，m )，问：对于任意的m ＞－2，方程g (x )＝23(m －1)2在区间(－2，m )上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋b ]e x ，由f ′(0)＝0，得b ＝－a ，∴f′(x)＝[x2＋(a＋2)x]e x，又f′(2)＝[4＋2(a＋2)]e2，∴[4＋2(a＋2)]e2＝2e2，故a＝－3，令f′(x)＝(x2－x)e x≥0，得x≤0或x≥1，令f′(x)＝(x2－x)e x＜0，得0＜x＜1，故：f(x)＝(x2－3x＋3)e x的单调增区间是(－∞，0]，[1，＋∞)，单调减区间是(0,1)．(2)由(1)知g(x)＝x2－x，假设方程g(x)＝23(m－1)2在区间(－2，m)上存在实数根，设x0是方程g(x)＝23(m－1)2的实根，则x20－x0＝23(m－1)2，令h(x)＝x2－x－23(m－1)2，从而问题转化为证明方程h(x)＝x2－x－23(m－1)2＝0在(－2，m)上有实根，并讨论解的个数，因为h(－2)＝6－23(m－1)2＝－23(m＋2)(m－4)，h(m)＝m(m－1)－23(m－1)2＝13(m＋2)(m－1)，所以①当m＞4或－2＜m＜1时，h(－2)·h(m)＜0，所以h(x)＝0在(－2，m)上有解，且只有一解②当1＜m＜4时，h(－2)＞0且h(m)＞0，但由于h(0)＝－23(m－1)2＜0，精品文档精品文档 所以h (x )＝0在(－2，m )上有解，且有两解③当m ＝1时，h (x )＝x 2－x ＝0⇒x ＝0或x ＝1，所以h (x )＝0在(－2,1)上有且只有一解；当m ＝4时，h (x )＝x 2－x －6＝0⇒x ＝－2或x ＝3，所以h (x )＝0在(－2,4)上也有且只有一解，综上所述，对于任意的m ＞－2，方程g (x )＝23(m －1)2在区间(－2，m )上均有实数根且当m ≥4或－2＜m ≤1时，有唯一的实数解；当1＜m ＜4时，有两个实数解．【答案】 (1)f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，单调增区间是(－∞，0]，[1，＋∞)，单调减区间是(0,1)(2)略。
2019高考数学复习专题-集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(2)附解析
小题对点练(二) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(2)(建议用时：40分钟) (对应学生用书第114页)一、选择题1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，则下列结论正确的是( ) A ．A ∩B ＝{－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，1) C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1}D [A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}，从而A 、C 项错，∁R A ＝{x |x ≤0}，故选D.] 2．设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >1且b >3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [显然“a >1且b >3”成立时，“a ＋b >4”一定会成立，所以是必要条件． 当a >4，b >2时，“a ＋b >4”成立，但“a >1且b >3”不成立，所以不是充分条件．故选B.]3．(2018·肇庆市三模)f (x )是R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －1，x ＞1log 2 x ，0＜x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－log 2 12＝－log 2 2－1＝1.故选C.]4．函数y ＝ln(－x 2＋2x ＋3)的减区间是( )A ．(－1,1]B ．[1,3)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)B [令t ＝－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，故函数的定义域为(－1,3)，且y ＝ln t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质求得t ＝－(x －1)2＋4在定义域内的减区间为[1,3)，故选B.]5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －2≤0，x ≥0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．－4B ．－52C ．－1D ．－2D [作出可行域，如图所示：当直线y ＝x 2－z2过点D (0,1)时z 取到最大值，即z ＝－2，故选D.]6．(2018·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(﹁q )B ．(﹁p )∧qC ．p ∧qD ．(﹁p )∨qA [对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(﹁q )为真命题，故选A.]7．(2018·天津高考)已知a ＝log 2 e ，b ＝ln 2，c ＝log 12 13，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞bD [法一：因为a ＝log 2 e ＞1，b ＝ln 2∈(0,1)，c ＝log 1213＝log 2 3＞log 2 e ＞1，所以c ＞a ＞b ，故选D.法二：log 1213＝log 2 3，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2 x ，y ＝ln x 的图象，由图知c ＞a ＞b ，故选D.]8．定义在R 上的偶函数f x 在[0，＋∞)单调递增，且f (－2)＝1，则f (x －2)≤1的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．[0,4]D [由题意得f (x －2)≤f (－2)，由于函数f (x )是偶函数，所以x －2到原点的距离小于等于－2到原点的距离，所以|x －2|≤|－2|＝2，所以－2≤x －2≤2，解之得0≤x ≤4，故选D.]9．对于使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界，若a >0，b >0且a ＋b ＝1，则－12a－2b的上确界为( )A.92 B ．－92C.14D ．－4B [－12a －2b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (a ＋b )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋b 2a ＋2a b ≤－⎝⎛⎭⎪⎪⎫52＋2b 2a ×2a b ＝－92， 当且仅当b2a ＝2a b ，即b ＝2a ＝23时取等号，所以原式的上确界为－92，故选B.]10．(2018·衡水中学七调)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x ＋1的图象大致为( )A BC DB [由于x ≠0，故排除A 选项．又f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln－x －1－x ＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除C 选项．由f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 13＝－sin(ln 3)＜0，排除D 选项，故选B.]11．(2018·保定市一模)已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝g xf x ＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( )A ．0B ．2 018C ．4 036D ．4 037D [因为函数f (x )既是二次函数又是幂函数，所以f (x )＝x 2，∴h (x )＝g x x 2＋1＋1，因此h (x )＋h (－x )＝g x x 2＋1＋1＋g －x x 2＋1＋1＝2，h (0)＝g 00＋1＋1＝1，因此h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝2 018×2＋1＝4 037，选D.]12．已知函数f (x )＝x 2e x ，下列关于f (x )的四个命题：①函数f (x )在[0,1]上是增函数； ②函数f (x )的最小值为0；③如果x ∈[0，t ]时，f (x )max ＝4e 2，则t 的最小值为2；④函数f (x )有2个零点． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C [∵函数f (x )＝x 2ex ，∴f ′(x )＝x (2－x )e －x ，∴令f ′(x )＞0，得0＜x ＜2，即函数f (x )在(0,2)上为增函数；令f ′(x )＜0，得x ＜0或x ＞2，即函数f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上为减函数．∵函数f (x )＝x 2ex ≥0在R 上恒成立，∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，且函数f (x )的零点个数只有一个．当x ＞0时，f (x )max ＝f (2)＝4e 2，则要使x ∈[0，t ]时，f (x )max ＝4e 2，则t 的最小值为2，故③正确．综上，①②③正确．故选C.]二、填空题13．曲线y ＝2ln x 在点(e 2,4)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____． e 2[∵y ＝2ln x ，∴y ′＝2x ，故切线的斜率为2e 2，可得切线方程为y －4＝2e2(x －e 2)，即y＝2e 2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，令y ＝0，可得x ＝－e 2，∴切线与坐标轴围成的三角形面积S ＝12×2×e 2＝e 2.] 14．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． (－∞，0] [∵4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立． 令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1 ＝(2x －1)2－1. ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4. 由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 有最小值0. ∴a 的取值范围为(－∞，0]．]15．已知f (x )是以2e 为周期的R 上的奇函数，当x ∈(0，e)时，f (x )＝ln x ，若在区间[－e ，3e]内，关于x 的方程f (x )＝kx 恰好有4个不同的解，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13e ，1e [由题可得函数在(－e ，e)上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln －x ，－e ＜x ＜00，x ＝0ln x ，0＜x ＜e，在区间[－e,3e]，关于x 的方程f (x )＝kx 恰好有4个不同的解，当k ＞0时，画出图象：由图可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜ln e －0e －0＝1ek ≥ln3e －2e －03e －0＝13e ，∴13e ≤k ＜1e ， 同理可得，当k ＜0时，k ≤－1e，即k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13e ，1e .]16．已知a ，b ∈R ，直线y ＝ax ＋b ＋π2与函数f (x )＝tan x 的图象在x ＝－π4处相切，设g (x )＝e x ＋bx 2＋a ，若在区间[1,2]上，不等式m ≤g (x )≤m 2－2恒成立，则实数m 的最大值等于________．e ＋1 [∵f (x )＝tan x ＝sin xcos x ，∴f ′(x )＝cos 2x －sin x －sin x cos 2x ＝1cos 2x ，∴a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2，又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1在直线y ＝ax ＋b ＋π2上，∴－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋b ＋π2，得b ＝－1，∴g (x )＝e x －x 2＋2，g ′(x )＝e x －2x ，令h (x )＝e x －2x ，则h ′(x )＝e x －2，当x ∈[1,2]时，h ′(x )≥h ′(1)＝e －2＞0，∴g ′(x )在[1,2]上单调递增，∴g ′(x )≥g ′(1)＝e －2＞0，∴g (x )在[1,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤g x min ＝g 1＝e ＋1，m 2－2≥g x max ＝g 2＝e 2－2，解得m ≤－e 或e ≤m ≤e ＋1， ∴m 的最大值为e ＋1.]。
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第1讲集合、常用逻辑用语[限时45分钟，满分60分]一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2013·烟台一模)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则(∁R A)∩B等于A．{x|x＞－1}B．{x|－1＜x≤1}C．{x|－1＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}解析∁R A＝{x|x≤1}，所以(∁R A)∩B＝{x|－1＜x≤1}，选B.答案 B2．(2013·东城模拟)若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R解析因为A∩B＝B，所以B⊆A，因为{1,2}⊆A，所以答案选A.答案 A3．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数解析∵f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，∴A，B不正确．在C中，当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，C正确，显然f(x)不是奇函数，D不正确．答案 C4．(2013·丰台模拟)设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁U M＝{5,7}，则实数a的值为A ．2或－8B ．－2或－8C ．－2或8D ．2或8解析 因为∁U M ＝{5,7}，所以|a －5|＝3，即a －5＝3或a －5＝－3，即a ＝8或2，选D. 答案 D5．(2013·滨州一模)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则(∁U B )∪A 等于 A ．{1,2} B ．{2,3,4} C ．{3,4}D ．{1,2,3}解析 因为A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，所以∁U B ＝{1,3}， 即(∁U B )∪A ＝{1,2,3}，选D. 答案 D6．(2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴q ⇒綈p ，但綈p ⇏q ，其逆否命题为p ⇒綈q ，但綈q ⇏p ，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.答案 A7．(2013·云南师大附中模拟)已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是A ．[－1,1]B ．[－4,4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 p ：－1≤x ≤4，记q ：3－m ≤x ≤3＋m (m ＞0)或3＋m ≤x ≤3－m (m ＜0)，依题意，⎩⎨⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ≥4或⎩⎨⎧m ＜0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.选C.答案 C8．(2013·烟台一模)已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使02x ＜0.下列选项中为真命题的是A ．綈pB ．(綈p )∨qC ．(綈q )∧pD ．q解析 命题p 为真，q 为假命题，所以(綈q )∧p 为真，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共20分)9．(2013·德州一模)命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是________．解析 全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是∃x ∈R ，x 2－2x ≠0.答案 ∃x ∈R ，x 2－2x ≠010．(2013·合肥模拟)若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝2－1x ，0＜x ≤1，则A ∩B等于________．解析 A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}＝{y |－1≤y ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝2－1x ，0＜x ≤1＝{y |y ≤1}， 所以A ∩B ＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1]． 答案 [－1,1]11．设p ：xx －2＜0，q ：0＜x ＜m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．解析 不等式xx －2＜0等价于x (x －2)＜0，解之得0＜x ＜2，即p ：0＜x ＜2.又p 是q 成立的充分不必要条件，∴{x |0＜x ＜2}{x |0＜x ＜m }，故m ＞2. 答案 (2，＋∞)12．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ③若a ＜b ，则am 2＜bm 2； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________(填上所有正确命题的序号)．解析 ①中由x ＝π6⇒sin x ＝12，但sin x ＝12⇏x ＝π6，故①为真命题． ②中p ∨q 为真，但p 、q 不一定全为真命题， 则推不出p ∧q 为真，故②为假命题． ③中当m 2＝0时不成立，故③为假命题． ④中A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，故④为真命题． 故答案为①④. 答案 ①④第2讲 函数、基本初等函数的图象性质[限时45分钟，满分60分]一、选择题(每小题5分，共45分) 1．函数f (x )＝3x1－x＋lg(2x －1)的定义域为 A ．(－∞，1)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(0，＋∞)解析 要使函数有意义，则有⎩⎨⎧ 2x－1＞01－x ＞0，即⎩⎨⎧x ＞0x ＜1，所以0＜x ＜1，即函数定义域为(0,1)，选C. 答案 C2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于 A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 A3．(2013·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－log 2x ，x ＞0，1－x 2，x ≤0，则不等式f (x )＞0的解集为 A ．{x |0＜x ＜1} B ．{x |－1＜x ≤0} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＞－1}解析 若x ＞0，由f (x )＞0得，－log 2x ＞0， 解得0＜x ＜1；若x ≤0，由f (x )＞0，得1－x 2＞0， 解得x 2＜1，即－1＜x ≤0. 综上－1＜x ＜1，选C. 答案 C4．(2013·济南一模)函数y ＝x －13x 的图象大致为解析 函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除C ，D. 当x ＝1时，y ＝0，当x ＝8时， y ＝8－38＝8－2＝6＞0，排除B ，选A. 答案 A5．(2013·浦东模拟)已知函数f (x )＝14x ＋2，若函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋n 为奇函数，则实数n 为A ．－12B ．－14C.14D ．0解析 据题意，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋n ＝12142x ++＋n ，所以当x ＝0时，102142++＋n ＝0，解得n ＝－14. 答案 B6．(2013·玉溪模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)＜0的解集是A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)解析 根据函数的性质作出函数f (x )的图象如图．把函数f (x )向右平移1个单位，得到函数f (x －1)，如图，则不等式f (x －1)＜0的解集为(0,2)，选D.答案 D7．(2013·玉溪一中月考)函数f (x )＝xx 2＋a的图象不可能是解析 当a ＝0时，f (x )＝x x 2＋a＝1x ，C 选项有可能． 当a ≠0时，f (0)＝xx 2＋a＝0，所以D 图象不可能，选D.答案 D8．(2013·海淀模拟)若x ∈R ，n ∈N ＋，定义E n x ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如E 4－4＝(－4)·(－3)·(－2)·(－1)＝24，则f (x )＝x ·E 5x －2的奇偶性为A ．偶函数不是奇函数B ．奇函数不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 由题意知f (x )＝x E 5x －2＝x (x －2)(x －1)x (x ＋1)(x ＋2)＝x 2(x 2－4)(x 2－1)，所以函数为偶函数，不是奇函数，选A.答案 A9．(2013·潮州一模)定义域为R 的奇函数f (x )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0恒成立，若a ＝3f (3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝－2f (－2)，则A ．a ＞c ＞bB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c解析 设g (x )＝xf (x )，依题意得g (x )是偶函数， 当x ∈(－∞，0)时f (x )＋xf ′(x )＜0，即g ′(x )＜0恒成立，故g (x )在x ∈(－∞，0)单调递减， 则g (x )在(0，＋∞)上递增，a ＝3f (3)＝g (3)，b ＝(log π3)·f (log π3)＝g (log π3)，c ＝－2f (－2)＝g (－2)＝g (2)． 又log π3＜1＜2＜3，故a ＞c ＞b . 答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)10．(2013·山东实验中学模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 因为y ＝|a x －1|的图象是由y ＝|a x |向下平移一个单位得到，当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －1|的图象如图，此时y ＝2a ＞2，如图只有一个交点，不成立．当0＜a ＜1时，0＜2a ＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1211．(2013·海淀模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x， x ＞0，ax ＋3a －8， x ≤0，若函数f (x )的图象经过点(3,8)，则a ＝________；若函数f (x )是 (－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是________．解析 若函数f (x )的图象经过点(3,8)， 则a 3＝8，解得a ＝2.若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 则有⎩⎨⎧ a ＞1f (0)≤1，即⎩⎨⎧a ＞13a －8≤1，所以⎩⎨⎧a ＞1a ≤3，即1＜a ≤3，所以实数a 的取值范围是(1,3]． 答案 2 (1,3]12．(2013·西城模拟)已知函数f (x )的定义域为R .若∃常数c ＞0，对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )，则称函数f (x )具有性质P .给定下列三个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝x 3－x . 其中，具有性质P 的函数的序号是________．解析 由题意可知当c ＞0时，x ＋c ＞x －c 恒成立，若对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )． ①若f (x )＝2x ，则由f (x ＋c )＞f (x －c )得2x ＋c ＞2x －c ，即x ＋c ＞x －c ，所以c ＞0，恒成立． 所以①具有性质P .②若f (x )＝sin x ，由f (x ＋c )＞f (x －c )得sin(x ＋c )＞sin(x －c )，整理cos x sin c ＞0，所以不存在常数c ＞0，对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )成立，所以②不具有性质P .③若f (x )＝x 3－x ，则由f (x ＋c )＞f (x －c )得由(x ＋c )3－(x ＋c )＞(x －c )3－(x －c )，整理得6x 2＋c 2＞2，所以当只要c ＞2，则f (x ＋c )＞f (x －c )成立，所以③具有性质P ，所以具有性质P 的函数的序号是①③.答案 ①③第3讲 函数与方程及函数的应用[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分) 1．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则 A ．k ＜0B ．k ＝0C ．k ＞0D ．0≤k ＜1解析 函数f (x )有两个零点，即方程|x |＝k 有两个不等的实数根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |和y ＝k 的图象，如图所示，可知当k ＞0时，二者有两个交点，即f (x )有两个零点．答案 C2．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表那么方程x 3＋x 2－2x A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5解析 根据所给表格与函数零点的存在性定理可知f (1.375)f (1.438)＜0，即函数f (x )的零点在区间(1.375，1.438)内，故方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确到0.1)为1.4.答案 C3．(2013·惠州模拟)已知函数f (x )＝3x ＋x －9的零点为x 0，则x 0所在区间为 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52 解析 因为f (x )为增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝27＋32－9＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝243＋52－9＞0.故选D. 答案 D4．已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为A ．2 011B ．1 006C ．2 013D ．1 007解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2， 由f (x )＝f (－x ＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称， 因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个，选C. 答案 C5．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a (0＜a ＜2)有三个零点x 1、x 2、x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则下列结论正确的是A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．0＜x 2＜1D ．x 3＞2解析 因为f (－3)＝a －15＜0，f (－1)＝3＋a ＞0，f (0)＝a ＞0，f (1)＝a －3＜0，f (2)＝a ＞0，所以函数的三个零点分别在(－3，－1)，(0,1)，(1,2)之间，又因为x 1＜x 2＜x 3，所以－3＜x 1＜－1,0＜x 2＜1＜x 3＜2，选C.答案 C6．(2013·滨州一模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a,0＜a ＜1的所有零点之和为A ．1－2aB ．2a －1C ．1－2－aD ．2－a －1解析 当0≤x ＜1时，f (x )≤0.当x ≥1时，函数f (x )＝1－|x －3|，关于x ＝3对称，当x ≤－1时，函数关于x ＝－3对称，由F (x )＝f (x )－a ＝0，得y ＝f (x )，y ＝a .所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1，所以f (－x )＝12log (－x ＋1)＝－log 2(1－x )，即f (x )＝log 2(1－x )，－1≤x ＜0.由f (x )＝log 2(1－x )＝a ，解得x ＝1－2a ，因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a,0＜a ＜1的所有零点之和为x ＝1－2a ，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．方程12log (a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析 方程12log (a －2x)＝2＋x 等价为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x＝a －2x ，即a ＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝2x ＋14×12x ≥22x ×14×12x ＝1，当且仅当2x ＝14×12x ，即2x ＝12，x ＝－1时取等号，所以a 的最小值为1. 答案 18．(2013·滨州一模)定义在R 上的偶函数f (x )，且对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图象，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率0＜k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－(－1)＝14，所以0＜k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，149．(2013·房山区一模)某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 4＋22， 0≤t ＜40，t ∈N ，－t 2＋52， 40≤t ≤100，t ∈N ，日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t 3＋1093，0≤t ≤100，t ∈N .则这种商品的日销售额的最大值为________．解析 由条件可知，当0≤t ＜40，t ∈N 时，这种商品的日销售额为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093，则当t ＝10或t ＝11时，y max ＝808.5；当40≤t ≤100，t ∈N 时，这种商品的日销售额为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093，则当t ＝100时，y max ＝736. 答案 808.5三、解答题(每小题12分，共36分)10．某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p ＝⎩⎨⎧t ＋20， 0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100， 25≤t ≤30，t ∈N .该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是Q ＝－t ＋40,0＜t ≤30，t ∈N ，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？解析 由题意得y ＝pQ ＝⎩⎨⎧(－t ＋40)(t ＋20)， 0＜t ＜25，(－t ＋40)(－t ＋100)， 25≤t ≤30，所以当0＜t ＜25时，y max ＝f (10)＝900， 当25≤t ≤30时，y max ＝f (25)＝1 125， 综上所述，y max ＝f (25)＝1 125.所以这种商品的日销售金额的最大值为1 125元，是30天中的第25天．11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)，f (－2)＝f (0)＝0，f (x )的最小值为－1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数h (x )＝12[()]n f x --－1，若函数h (x )在其定义域上不存在零点，求实数n 的取值范围． 解析 (1)由题意设f (x )＝ax (x ＋2)， ∵f (x )的最小值为－1，∴a ＞0，且f (－1)＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .(2)∵函数h (x )＝12[()]n f x --－1在定义域内不存在零点，必须且只须有n －f (x )＞0有解，且n －f (x )＝1无解．∴n ＞f min (x )，且n 不属于f (x )＋1的值域． 又∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∴f (x )的最小值为－1，f (x )＋1的值域为[0，＋∞)， ∴n ＞－1，且n ＜0， ∴n 的取值范围为(－1,0)．12．祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作实验区和台湾农业创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯收入(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？解析 (1)设从第n 年开始获取纯利润，则f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n (n －1)2·4＋72＝－2n 2＋40n －72＞0， 整理得n 2－20n ＋36＜0，解得：2＜n ＜18， ∴从第三年开始获取纯利润．(2)方案1 年平均利润为f (n )n ＝－2n 2＋40n －72n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤40－4 n ·36n ＝16，当且仅当n ＝36n ，即n ＝6时取等号， ∴总利润为y 1＝16×6＋48＝144(万元)．方案2 纯利润总和为f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128， ∴n ＝10时，f (n )max ＝128，∴总利润为y 2＝128＋16＝144(万元)． 由于方案1用时较短，故方案1最合算．第4讲 不等式[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分) 1．下列不等式可以推出a ＜b 的是 A ．ac 2＜bc 2B.1a ＞1b C ．a 2＜b 2D.a c ＜b c解析 因为ac 2＜bc 2，所以c ≠0，即c 2＞0，故ac 2＜bc 2⇒a ＜b ，选A ；对于B ，当a ＝1，b ＝－1时，满足1a ＞1b ，但a ＞b ；对于C ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a 2＜b 2，但a ＞b ；对于D ，当c ＜0时，有a ＞b .答案 A2．若点(a ，a )和点(a ＋2，a )分别在直线x ＋y －3＝0的两侧，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 据题意知(a ＋a －3)(a ＋2＋a －3)＜0，即(2a －3)(2a －1)＜0，解得12＜a ＜32，故选D. 答案 D3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－1， x ≥0，x 2－1， x ＜0，则满足不等式f (3－x 2)＜f (2x )的x 的取值范围为A ．[－3,0)B ．(－3,0)C ．(－3,1)D ．(－3，－3)解析 由函数图象可知，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上是一条平行于x 轴的射线，则原不等式的解为⎩⎨⎧3－x 2＞2x ，2x ＜0，即x ∈(－3,0)，故选B.答案 B4．(2013·深圳模拟)已知a ＞0，c ＞0，设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a 的最小值为A ．3B.92C ．5D ．7解析 因为二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16－4ac ＝0，即ac ＝4，1ac ＝14，又1c ＋9a ＝2 1c ×9a ＝29ac ＝294＝3，当且仅当1c ＝9a ，ac ＝4，即c ＝23，a ＝6时等号成立．答案 A5．(2013·潍坊一模)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x y ≥12xx ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋12y 的最大值为A.14B.34C.56D.53解析 由z ＝x ＋12y 得y ＝－2x ＋2z .作出可行域如图阴影部分，平移直线y ＝－2x ＋2z ，由平移可知，当直线经过点C 时，直线y ＝－2x ＋2z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12xx ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝13，代入z ＝x ＋12y 得z ＝23＋12×13＝56，选C.答案 C6．(2013·枣庄一模)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0的区域BCO ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过C 时，直线的截距最大，此时z ＝6，由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝－x ＋6解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝3，所以k ＝3，解得B (－6,3)代入z ＝x ＋y 的最小值为z ＝－6＋3＝－3，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知不等式x 2＋mx ＋n ＜0的解集是{x |－1＜x ＜6}，则mx ＋n ＞0的解集是________．解析 据题意知x 2＋mx ＋n ＝0的两根为－1和6，由根与系数关系得m ＝－5，n ＝－6，则不等式mx ＋n ＞0为－5x －6＞0，其解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－65. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－65 8．(2013·杭州一模)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________． 解析 由题意：2x ＋y －3＝0⇒2x 3＋y3＝1，x ＋2y xy ＝2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋y 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋53≥23·2＋53＝3. 答案 39．(2013·滨州一模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ≤0，2x －y ≥0，x 2＋y 2－2x －2y ≤0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出不等式组对应的区域，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知，当直线y ＝－x ＋z 与圆在第一象限相切时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大．直线与圆的距离d ＝|z |2＝2，即z ＝±4，所以目标函数z ＝x ＋y 的最大值是4.答案 4三、解答题(每小题12分，共36分)10．已知不等式ax 2－3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }． (1)求a 、b 的值；(2)解关于x 的不等式x 2－b (a ＋c )x ＋4c ＞0.解析 (1)由题意知a ＞0且1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的根， ∴a ＝1；又1×b ＝2a ，∴b ＝2.(2)不等式可化为x 2－2(c ＋1)x ＋4c ＞0， 即(x －2c )(x －2)＞0，当2c ＞2，即c ＞1时不等式的解集为{x |x ＜2，或x ＞2c }， 当2c ＝2，即c ＝1时不等式的解集为{x |x ≠2}，当2c ＜2，即c ＜1时不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜2c }， 综上：当c ＞1时不等式的解集为{x |x ＜2，或x ＞2c }， 当c ＝1时不等式的解集为{x |x ≠2}．当c ＜1时不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜2c }． 11．已知函数f (x )＝x 2＋12x ＋a ，a ∈R . (1)当a ＝－1516时，解不等式f (x )＜0；(2)当a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n时，若对任意n ∈N ＋，当x ∈(－∞，λ]时不等式f (x )≥0恒成立，求实数λ的取值范围．解析 (1)把a ＝－1516代入f (x )＝x 2＋12x ＋a ＜0得x 2＋12x －1516＜0，即16x 2＋8x －15＜0，分解因式得(4x －3)(4x ＋5)＜0，解之得－54＜x ＜34，所以不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－54＜x ＜34. (2)当a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 时，由f (x )＝x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，得x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，即x 2＋12x ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max 恒成立，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12，即x 2＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]时恒成立．令y ＝x 2＋12x ，则y ＝x 2＋12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142－116，二次函数图象的开口向上，且对称轴为x ＝－14， 令y ＝x 2＋12x ＝12， 解得x ＝－1，或x ＝12，结合二次函数y ＝x 2＋12x 的图象可知，要使当x ∈(－∞，λ]时不等式x 2＋12x ≥12恒成立，则λ≤－1.12．城建部门计划在浑南新区建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．(1)若设休闲区的长A 1B 1＝x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解析 (1)由A 1B 1＝x ，知B 1C 1＝4 000x ，S ＝(x ＋20)⎝ ⎛⎭⎪⎫4 000x ＋8＝4 160＋8x ＋80 000x (x ＞0)．(2)S ＝4 160＋8x ＋80 000x ≥4 160＋28x ·80 000x＝5 760， 当且仅当8x ＝80 000x ，即x ＝100时取等号．∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．第5讲 导数的简单应用[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2013·邯郸模拟)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝－3xC ．y ＝－3x ＋1D ．y ＝3x －3解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，若f ′(x )为偶函数，则a ＝0，所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3.所以f ′(0)＝－3.所以在原点处的切线方程为y ＝－3x ，选B.答案 B2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图象如图，则函数f (x )的极小值是A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c解析 由导函数f ′(x )的图象知当x ＜0时，f ′(x )＜0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的极小值为f (0)＝c ，选D.答案 D3．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A.29B.19C.13D.23解析 y ′＝f ′(x )＝x 2＋1，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43的切线斜率为k ＝f ′(1)＝2.所以切线方程为y －43＝2(x－1)，即y ＝2x －23，与坐标轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以三角形的面积为12×13×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝19，选B.答案 B4．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是A ．2B ．1C ．0D ．由a 确定 解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以没有极值点，选C.答案 C5．若函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，则实数a 的范围是A ．a ＞－3B ．a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13解析 因为函数y ＝e (a －1)x ＋4x ，所以y ′＝(a －1)e (a －1)x ＋4(a ＜1)，所以函数的零点为x 0＝1a －1ln 4－a ＋1. 因为函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，故1a －1ln 4－a ＋1＞0，得到a ＜－3，选B. 答案 B6．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．R 解析 令g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴g (x )在R 上单调递增．又∵g (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴g (x )＞0，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·临沂模拟)若曲线f (x )＝x ，g (x )＝x a 在点P (1,1)处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，则a 的值为________．解析f′(x)＝12x，g′(x)＝ax a－1，所以在点P处的斜率分别为k1＝12，k2＝a.因为l1⊥l2，所以k1k2＝a2＝－1，所以a＝－2.答案－28．函数f(x)＝x(e x－1)－12x2的单调增区间为________．解析f′(x)＝e x－1＋x·e x－x＝(e x－1)(x＋1)，令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞0，所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．答案(－∞，－1)和(0，＋∞)9．若函数f(x)＝x－a x＋ln x(a为常数)在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝x－a x＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝1－a2x＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x＋2x.而2x＋2x≥22x×2x＝4，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立，∴a≤4.答案(－∞，4]三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2013·杭州一模)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x，(其中a＞0)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的极小值；(2)当a＝4时，给出直线l1：5x＋2y＋m＝0和l2：3x－y＋n＝0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f(x)的图象的切线？若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．解析(1)当a＝1时，f′(x)＝2x－3＋1x＝(x－1)(2x－1)x，当0＜x＜12时，f′(x)＞0；当12＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以当x＝1时，f(x)取极小值－2.(2)当a ＝4时，f ′(x )＝2x ＋4x －6.∵x ＞0，∴f ′(x )＝2x ＋4x －6≥42－6，故l 1中，不存在函数图象的切线．由2x ＋4x －6＝3得x ＝12与x ＝4，当x ＝12时，求得n ＝－174－4ln 2，当x ＝4时，求得n ＝4ln 4－20.11．(2013·惠州模拟)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线与函数f (x )，g (x )的图象都相切于点(1,0)．(1)求直线的方程及g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－g ′(x )(其中g ′(x )是g (x )的导函数)，求函数h (x )的极大值．解析 (1)直线是函数f (x )＝ln x 在点(1,0)处的切线，故其斜率k ＝f ′(1)＝1，∴直线的方程为y ＝x －1.又因为直线与g (x )的图象相切，且切于点(1,0)，∴g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n 在点(1,0)的导函数值为1，∴⎩⎨⎧ g (1)＝0g ′(1)＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝16，∴g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋16.(2)∵h (x )＝f (x )－g ′(x )＝ln x －x 2－x ＋1(x ＞0)，∴h ′(x )＝1x －2x －1＝1－2x 2－x x ＝－(2x －1)(x ＋1)x， 令h ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1(舍)，当0＜x ＜12时，h ′(x )＞0，h (x )递增；当x ＞12时，h ′(x )＜0，h (x )递减，因此，当x ＝12时，h (x )取得极大值，∴[h (x )]极大＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋14.12．(2013·大兴区一模)已知函数f (x )＝x －a (x －1)2，x ∈(1，＋∞)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)函数f (x )在区间[2，＋∞)上是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝(x －1)(－x ＋2a －1)(x －1)4，x ∈(1，＋∞)． 由f ′(x )＝0，得x 1＝1，或x 2＝2a －1.①当2a －1≤1，即a ≤1时，在(1，＋∞)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；②当2a －1＞1，即a ＞1时，在(1,2a －1)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，在(2a －1，＋∞)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述：a ≤1时，f (x )的减区间为(1，＋∞)；a ＞1时，f (x )的增区间为(1,2a －1)，f (x )的减区间为(2a －1，＋∞)．(2)①当a ≤1时，由(1)f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；②当a ＞1时，若2a －1≤2，即a ≤32时，f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；若2a －1＞2，即a ＞32时，f (x )在[2,2a －1)上单调递增，在(2a －1，＋∞)上单调递减，因为f (2a －1)＝a －1(2a －2)2＞0， 且当x ＞2a －1时，x －a ＞a －1＞0，所以x ≥2a －1时，f (x )＞0.又因为f (2)＝2－a ，所以当2－a ≤0，即a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；2－a ＞0，即32＜a ＜2时，f (x )没有最小值．综上所述：当a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；当a ＜2时，f (x )没有最小值．第6讲 导数的综合应用和定积分[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2013·山师大附中模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛01sin x d x ，下列关系式成立的是 A ．a ＞b B ．a ＋b ＜1 C ．a ＜b D ．a ＋b ＝1解析 a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x |10＝sin 1， b ＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x ) |10＝1－cos 1， 所以a ＝sin 1＞sin π6＝12.又cos 1＞cos π3＝12，所以－cos 1＜－12，b ＝1－cos 1＜1－12＝12，所以a ＞b ，选A.答案 A2．(2013·惠州模拟)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为A ．ln 2B ．1－ln 2C ．2－ln 2D ．1＋ln 2解析 S ＝1×1＋⎠⎛121y d y ＝1＋ln y |21＝1＋ln 2.故选D. 答案 D3．(2013·宿州模拟)方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是A ．3B ．2C ．1D ．0解析 设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由此可知函数的极大值为f (1)＝－6＜0，极小值为f (3)＝－10＜0，所以方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数为1个，选C.答案 C4．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝x n＋x －1(n ∈N ＋，n ≥2)，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内 A ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …单调递增B ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …单调递减C ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …非单调数列D ．不存在零点解析 f ′(x )＝nx n －1＋1，因为n ≥2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f ′(x )＞0， 所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． f (1)＝1＋1－1＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12.因为n ≥2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12＜0， 所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上只有一个零点，选A. 答案 A5．(2013·诸城市高三月考)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′(x )≤0，则必有 A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) 解析 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数递减．当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数递增，即当x ＝1，函数取得极小值同时也是最小值f (1)，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，即f (0)＋f (2)＞2f (1)，选A.答案 A6．若直线y ＝m 与y ＝3x －x 3的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为A ．－2＜m ＜2B ．－2≤m ≤2C ．m ＜－2或m ＞2D ．m ≤－2或m ≥2 解析 y ′＝3(1－x )(1＋x )，由y ′＝0得x ＝±1，∴y 极大＝2，y 极小＝－2，∴－2＜m ＜2.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值为________．解析 S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3 |t 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t ＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)． S ′＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12，S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数， 则S 最小＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝43×18－14＋13＝14. 答案 148．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为________． 解析 y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x ，令1－2sin x ＝0，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，x ＝π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )≥0，f (x )是单调增函数， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. 答案 π69．(2013·盘锦模拟)若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析 由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象可知f 极大值(－1)＝2＋a ，f 极小值(1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f 极大值(－1)＝2＋a ＞0，f 极小值(1)＝a －2＜0，即－2＜a ＜2，所以实数a 的取值范围是(－2,2)．答案 (－2,2)三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2013·开封模拟)设函数f (x )＝2ln(x －1)－(x －1)2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＋x 2－3x －a ＝0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．解析 (1)f (x )的定义域为(1，＋∞)．f′(x)＝2x－1－2(x－1)＝2x(2－x)x－1.由f′(x)＞0得1＜x＜2，∴f(x)的单调递增区间为(1,2)．(2)∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1)2，∴f(x)＋x2－3x－a＝0⇔x＋a＋1－2ln(x－1)＝0. 即a＝2ln(x－1)－x－1，令h(x)＝2ln(x－1)－x－1.∵h′(x)＝2x－1－1＝3－xx－1，且x＞1，由h′(x)＞0得1＜x＜3，h′(x)＜0得x＞3.∴h(x)在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．∵h(2)＝－3，h(3)＝2ln 2－4，h(4)＝2ln 3－5.又h(2)＜h(4)，故f(x)＋x2－3x－a＝0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔h(4)≤a＜h(3)．即2ln 3－5≤a＜2ln 2－4.综上所述，a的取值范围是[2ln 3－5,2ln 2－4)．11．(2013·雅安模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.解析(1)f′(x)＝x＋1x＋ln x－1＝ln x＋1x，xf′(x)＝x ln x＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于ln x－x≤a.令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，所以x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1.即ln x－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝x ln x＋(ln x－x＋1)≤0.当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x －1＝ln x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x －1x ＋1≥0. 所以(x －1)f (x )≥0.12．(2013·合肥模拟)已知函数f 1(x )＝12x 2，f 2(x )＝a ln x (其中a ＞0)．(1)求函数f (x )＝f 1(x )·f 2(x )的极值；(2)若函数g (x )＝f 1(x )－f 2(x )＋(a －1)x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内有两个零点，求正实数a 的取值范围； (3)求证：当x ＞0时，ln x ＋34x 2－1e x ＞0.(说明：e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28...)解析 (1)f (x )＝f 1(x )·f 2(x )＝12ax 2·ln x ，∴f ′(x )＝ax ln x ＋12ax ＝12ax (2ln x ＋1)(x ＞0，a ＞0)，由f ′(x )＞0，得x ＞e －12，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e －12上单调递减，在(e －12，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )的极小值为f (e －12)＝－a 4e ，无极大值．(2)函数g (x )＝12x 2－a ln x ＋(a －1)x ，则g ′(x )＝x －a x ＋(a －1)＝x 2＋(a －1)x －a x ＝(x ＋a )(x －1)x， 令g ′(x )＝0.∵a ＞0，解得x ＝1，或x ＝－a (舍去)， 当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减； 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增．函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内有两个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞0，g (1)＜0，g (e )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12e 2＋a －1e ＋a ＞0，12＋a －1＜0，e 22＋(a －1)e －a ＞0，- 31 - ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞2e －12e 2＋2e ，a ＜12，a ＞2e －e 22e －2，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －12e 2＋2e ，12.(3)证明 问题等价于x 2ln x ＞x 2e x －34.由(1)知f (x )＝x 2ln x 的最小值为－12e .设h (x )＝x 2e x －34，由h ′(x )＝－x (x －2)e x 得h (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． ∴h (x )max ＝h (2)＝4e 2－34. ∵－12e －⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2－34＝34－12e －4e 2＝3e 2－2e －164e 2 ＝(3e －8)(e ＋2)4e 2＞0，∴f (x )min ＞h (x )max ，∴x 2ln x ＞x 2e x －34， 故当x ＞0时，ln x ＋34x 2－1e x ＞0.。