例1计算在电偶极子延长线上任一点A的场强。

⒋ 若q为负，则E沿x轴负向
2
例4.均匀带电圆板，半径为R，电荷面密度为。
求轴线上任一点P的电场强度。
解：利用带电圆环场强公式 dr
E
qx
4 o x2 R2 3/ 2
r
O
x
R
dE
X
dq 2 rdr
x 2 rdr
dE 4 o x2 r 2 3 2
讨论：
E
R 0
dE

x 2 o

1 x2
1
x
2

R
2

对带电圆板，当 x<< R 时 x 0 E
可看作无限大均匀带电平面 x2 R2
2 o
例5.真空中有均匀带电直线，长为L，总电量为Q。
线外有一点P，离开直线的垂直距离为a，P点和直线
两端连线的夹角分别为1和2 。求P点的场强。（设
行无限长均匀带电细棒组成. y
无限长带电细棒 E 2 oa
dq ldy dq l z
dy y a
P
0
x
y
dEˊ
x
dE
dy
dE
2 oa
ea

2
dy 0(x2
y
2
)
1 2
ea
Ey dEy 0
Ex
dEx
d

4
0
a
s
in

2
sin1
Ey
dEy

2 sin 1 4 0a
d

4
oa
cos1

cos2

讨论：

yE
无限长带电直线：1 = 0，2 =

P
E x 0 E Ey 2 oa
a
1
o
2 x
例6.求无限大均匀带电平面的场强（面电荷密度）。 解：平面可看作许多与z轴平
EP EPD EPC 3.6 10 6 (J )
例16.均匀带电圆环，带电量为q，半径为R，求轴 线上与环心O相距为x处点P的电势。
解： 利用方法 ⑴求解。
dq dl q dl
R
2 R
O
r Px
dV dq qdl
x
4or 8 2q o Rr
q 2 R
电荷线密度为） 解： 电荷元：dq=dx
y dEy
dE
dE
dx 4 or 2
er
P dEx ra
dEx dE cos dx cos
1
dx x o
2 x

dEy
4 o r 2
dE sin

dx sin 4 o r 2
dEx

dx cos 4 or 2
cos
r0
ry r
2 y 2 r02 4
EB
2E cos

4 o
qr0 y 2 r02
∵ y﹥﹥ro
∴
EB
qr0
4 o y3
o -q r0 q
4 32
EB


p
4o y3
x
例3.电荷q均匀地分布在一半径为R的圆环上。计算 在圆环的轴线上任一给定点P的场强。

E dS
E4r 2

Q 43 r 3
S
43 R3 0
球面上（r=R）场强连续 ER

E内

Qr
40 R3
Q
40 R2
例9.求无限长均匀带电直线的场强分布。（已知线
电荷密度为）
解：无限长均匀带电直线的 场强具有轴对称性
n

E dS
qi
S
0
上 下 侧
o
x
5 ES5 cos ES1
z
n S3
S2
1 2 3 4 5 0
例8. 求均匀带电球壳的场强分布。（已知薄球壳
半径为R，带电量为Q）
解：由于电荷分布球对称，则场强分
布球对称。场中任意点场强方向沿
径矢，球面上各点场强大小相等。 Q
由高斯定理：
SE dS E 2r l
1 0
R12l1 (r 2
R22 )l 2
E 1 2 0r
R12 1 (r 2 R22 ) 2
R2 R1 R3
1 2
r
l
⑷ r>R3

E S
E
dS
1
2 0r
E 2r l

cos 4 o a
d
dE y

dx sin 4 0 r 2

a csc2 sin 4 0a2 csc2
sin d 4 o a
dEx

cos 4 oa
d
dE y

sin 4 o a
d
Ex
dEx

2 1
cos 4 oa
E dS
qi
在r>R处
S
0

E dS EdS
S
S
E

Q
4 0r
2

E dS E4
S
E
Q
4 0r
2
er
r2

Q
0
在r<R处 E dS E4r 2 0 E 0 S
R
O
r
E P
高斯面
E
O R
r
r>R E Q
E A EB 2 0
平面之间：
+
-
EA
E内 EA EB o
EB
A
B
平面之外：
E外 EA EB 0
例11.两同心均匀带电球面，半径分别为R1和R2， 带电量分别为+q1和-q2，求其电场强度分布。
解:场强分布球对称，由高斯定理求解

E dS
点电荷从无限远处移到A点，电场力作功多少？电势
能增加多少？ （2）将此电荷从A点移到B点，电场力
作多少功？电势能增加多少？（3）将此点电荷从C点
移到D，电场力作多少功？电势能增加多少？
解(1)WAB (EPB EPA) q(VA VB ) A
B
C
VA
q1
4or 4o
q2 r2 a2
今将电量q为2.010-9 C的点电 荷从C点移到D，电场力作多少
q1 a/2 D a/2 q2
功？电势能增加多少？
解（3） VC

4 o
q1 a2 r2
q2 1800(V )
4 or
VD

q1
4 0 a 2

q2
4 0 a 2

0
WCD (EPD EPC ) q(VC VD ) 3.6 10 6 (J )
R12 1 (R32

R12l1
R22 ) 2


(R32

R22
)l2
例13.已知两点电荷电量分别为q1 = 3.010 -8C q2 = -3.0 10 -8 C。A 、B、C、D为电场中四个点，图中
a=8.0cm, r=6.0cm。（1）今将电量q为2.010-9 C的
dE cos 2 0
xdy x2 y 2

2 0
例7.有一三棱柱放在电场强度为E =200 N· C-1的
均匀电场中。求通过此三棱柱的电场强度通量。
解：
y n
1 ES1 cos ES1 n θ
θ
S5
E
2 3 4 0
S1 S4
4
0 (x2

R
2
)
3 2
qx
E
4
0 (x2

R
2
)
3 2
R
o
讨论：
⒈ 若x>>R 则 E q
40 x 2
—可把带电圆环看成点电荷。
⒉ 若 x=0, E=0
—环心处电场强度为零。
PEx x
E
2R 2
o 2R x
2
3.由dE/dx=0 可求得电场强度
极大的位置，故有
x
2R
-8 C。 r=6.0cm。
（2）
r
r
r
今将电量q为2.010-9 C的点电
荷从A点移到B，电场力作多少 q1 a/2 D a/2 q2
功？电势能增加多少？
解（2）VA

q1 4 o r
4o
q2 r2
a2
VB

q1
4 or

q2
4 or

0
EPB qVB 0
EPA qVA 3.6 10 6 (J )
S
0
E q1
4 0 r 2
E q1 q2
4 0 r 2
例12.无限长的同轴圆柱与圆筒均匀带电。圆柱的半
径为R1，其电荷体密度为1，圆筒的内外半径分别 为R2和R3（R1＜R2＜R3）其电荷体密度为2，求空间
任一点的电场强度？
解：场强具有轴对称性，由高斯定
R2
R1
理解题，取圆柱面为高斯面。
解： 无限大均匀带电平面两边场强

对称分布，由高斯定理求解。

E
dS

S
S o
E
E
S
E dS S

2底
侧
侧 0 底 ES
2ES S
讨论：
o

E
2 o
⑴ 均匀电场；⑵ 为负，场强方向垂直指向平面
讨论：（3）两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布
r
S上

· Eh
P
·P n
上 下 0

侧
E dS EdS E 2rh
S
S侧
S下
E
高斯面S侧
n
E 2 rh h E
讨论:
o
2 o r
无限长带电圆筒内部
E=0,
外部

E
2 o r
例10.计算无限大均匀带电平面的场强分布。 （电荷密度为）
qi
r<R1 S
0
E dS E dS E4 r2 0
S
S
-q2 R2
+q1 R1 0r
E0
R1<r<R2 E dS E
dS E4r 2 q1
S
r>R2 E dS E
S
0
dS E4r 2 q1 q2
S
R3

E dS
qi
1 2
r
⑴ r＜R1 S
E dS E 2r
S
⑵ R1＜r＜R2
E dS E 2r
S

l l
0

1பைடு நூலகம்
0
r 2l1
E 1r

1
0
R12l1
2 0
E

1 R12 2 0r
l
⑶ R2＜ r＜R3

r<R E 0
R
讨论：
4 0r 2
Q Or
⑴ 均匀带电球壳外任一点场强如同Q
集中在球心的点电荷场强，内部
高斯面
场强处处为零。
⑵ ⑶
球球均体面 匀内上 带可部（ 电由（球r叠=r体R加<）R外原）场部理场强场求强不强出，连同由续E球高，壳斯8定Q0ER理E2外4Q40RQ02r 2
V dV
dl
8 2 o Rr L
8 2 o Rr
V q
q
4 or 4 o x2 R2
讨论：⑴ X＞＞Ｒ V q
⑵ X=0
40 x
q V
40 R
WAB (EPB EPA ) 3.6 10 6 (J )
EP EPB EPA 3.6 10 6 (J )
例15.已知两点电荷电量分别为 A
q1 = 3.010 -8C
q2 = -3.0 10 图中a=8.0cm,
-8 C。 r=6.0cm。
（3）
r
B
C
r
r
解：dE
1
4 0
dq r2
er
dq R
dq dl q dl
o
2R
r
P
x
x
dE
由于电荷分布的对称性 dEy 0
qdl x
E Ex
L dEx
dE cos
L
8 2 R 0r 2 r
2R
E
qxdl

qx
0 8 2 o R(x2 R2 ) 32
dEy

dxsin 4 or 2
y dEy
dE
r a a csc sin
P dEx
x actg
ra
1
2 x
dx a csc2 d
dx x o
dEx
dx cos 4 or 2

a csc2 cos d 4 oa2 csc2
r
r
r
EPA qVA 3.6 10 6 (J )
EP 0
q1 a/2 D a/2 q2
WA (EPA EP ) 3.6 10 6 (J ) EP 3.6 10 6 (J )
例14.已知两点电荷电量分别为 A
B
C
q1 = 3.010 -8C
q2 = -3.0 10 图中a=8.0cm,
例1.计算在电偶极子延长线上任一点A的场强。
两电个偶点极电子荷：构大成小的相复等合，体符。号其相偶反极并矩有为一微p小 q间r0距的
解：E
q
4 o x r0
22
E

q
4 o x r0
22
-q r0 o
q E- A· E+
x
x
EA E
x r0 x2 r02
E
4 x2
q
4
EA
o

2xr0
x 2 r02 2qr0
4 o x3
42
EA
2P
40 x3
例2.计算电偶极子中垂线上任一点B的场强。 y
解：EB E cos E cos
E+
E E 4 o
q y 2 r02
4
EB ·B E-