例1计算在电偶极子延长线上任一点A的场强。
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大学物理第一章 静电场
第一章
静止电荷的电场
本章是静电部分重点，主要讨 论如何描述电场，即从电荷在电场 中受力的角度建立电场强度的概念。 重点讨论用两种方法求场强分布。
1
一、基本概念
1. 电荷
(1) 种类 只有两种 (2) 电荷是量子化的(charge quantization ) 自然界物体所带电荷：q = ne (3) 电荷遵从守恒定律 (law of conservation of charge) (4) 电量是相对论不变量
dE
dq 4 o r
e 2 r
13
例2 均匀带电直线，带电量为q，长为L，
求空中任意一点P的场强。
解：
（1）取电荷元
q dq dl dl L
y
dq
（2）电荷元产生 元场强大小 1 dq dE 4 0 r 2
L
dl
r
o
x
P
14
dE
x
方向：与dq到场点的矢径 r
q 1 1 Ey 4 0 L x 2 ( L d )2 x2 d 2
式中：
x是场点到带电线的垂直距离
d 是垂足到直线下端点的距离(取绝对值)
17
（5）长直带电线周围任一点电场强度
大小:
E E E E E E
2 x 2 y 2 z 2 x
2. 数学表达式：
q1q2 F k 2 er r
er :
单位矢径
大小：等于1 方向：从施力电荷（场源） 指向受力电荷（场点） 3
1 k 8.988 1012 Nm 2 / c 2 4 o
o 8.8510 12 C 2 / Nm 2
静止电荷的电场
本章是静电部分重点，主要讨 论如何描述电场，即从电荷在电场 中受力的角度建立电场强度的概念。 重点讨论用两种方法求场强分布。
1
一、基本概念
1. 电荷
(1) 种类 只有两种 (2) 电荷是量子化的(charge quantization ) 自然界物体所带电荷：q = ne (3) 电荷遵从守恒定律 (law of conservation of charge) (4) 电量是相对论不变量
dE
dq 4 o r
e 2 r
13
例2 均匀带电直线，带电量为q，长为L，
求空中任意一点P的场强。
解：
（1）取电荷元
q dq dl dl L
y
dq
（2）电荷元产生 元场强大小 1 dq dE 4 0 r 2
L
dl
r
o
x
P
14
dE
x
方向：与dq到场点的矢径 r
q 1 1 Ey 4 0 L x 2 ( L d )2 x2 d 2
式中：
x是场点到带电线的垂直距离
d 是垂足到直线下端点的距离(取绝对值)
17
（5）长直带电线周围任一点电场强度
大小:
E E E E E E
2 x 2 y 2 z 2 x
2. 数学表达式：
q1q2 F k 2 er r
er :
单位矢径
大小：等于1 方向：从施力电荷（场源） 指向受力电荷（场点） 3
1 k 8.988 1012 Nm 2 / c 2 4 o
o 8.8510 12 C 2 / Nm 2
大学物理下第10章例题
P ( a , 1 , 2 )
x
求：
EP
2
xy
dE
解：建立坐标系 o
取
dq dx
dE dq 4 0 r
3
o
a
P
y
r
r
dq
1
大小：
dE
dx
4 0 r
2
方向：与+x 夹角为
5
各电荷元在P 点场强方向不同，应该用分量积分：
d E x d E cos
例 已知一杆电荷线密度为，长度为L，与杆 相距L的P点有一点电荷 q 0 求 点电荷两所受的电场力。
解 dq dx
dF q0 dx 4 0 x
2
dq
q0
x
2L
x
L
O
F
2L
q0 dx 4 0 x
2
q0
8 0
L
1
例 已知两杆电荷线密度为，长度为L，相距L
求 两带电直杆间的电场力。
解 dq dx
dq dx
dF
dq
dq
O
x
L
2L x
3L
x
dxdx
x) 2 4 0 ( x
3L L
F
2 L dx0
dx
2
4 0 ( x x )
2
2
4 0
ln
4 3
2
例1. 电偶极子的电场 1.轴线延长线上 A 的场强
q
L o
dy dE 2 o r
y
x
r
p .
dE
E
x
求：
EP
2
xy
dE
解：建立坐标系 o
取
dq dx
dE dq 4 0 r
3
o
a
P
y
r
r
dq
1
大小：
dE
dx
4 0 r
2
方向：与+x 夹角为
5
各电荷元在P 点场强方向不同，应该用分量积分：
d E x d E cos
例 已知一杆电荷线密度为，长度为L，与杆 相距L的P点有一点电荷 q 0 求 点电荷两所受的电场力。
解 dq dx
dF q0 dx 4 0 x
2
dq
q0
x
2L
x
L
O
F
2L
q0 dx 4 0 x
2
q0
8 0
L
1
例 已知两杆电荷线密度为，长度为L，相距L
求 两带电直杆间的电场力。
解 dq dx
dq dx
dF
dq
dq
O
x
L
2L x
3L
x
dxdx
x) 2 4 0 ( x
3L L
F
2 L dx0
dx
2
4 0 ( x x )
2
2
4 0
ln
4 3
2
例1. 电偶极子的电场 1.轴线延长线上 A 的场强
q
L o
dy dE 2 o r
y
x
r
p .
dE
E
大学基础物理-电荷
3/ 2
例7. 均匀带电圆板，半径为R，电荷面密度为。 求轴线上任一点P的电场强度。 解： 利用带电圆环场强 公式
dr r
R
E
4o x R
2
qx
2 3/ 2
dE
P x
dq 2 rdr
dE x 2 rdr 4o x r
2
2 32
4o x r R x E dE 1 ( x 2 R 2 )1 2 0 2 o
dx dE 4o r 2
dEy P r
y
dE dEx
dEx dE cos
dx cos 2 4o r
1
a
2
x
x o dx
dx sin dE y dE sin 2 4o r
dx cos dE x 2 4o r a r a csc sin
E ds <0 电力线穿入 电力线穿出 E ds>0
E
S
dS
dS
真空中的高斯定理：
在真空中，通过任一闭合曲面 的电场强度通量等于该曲面所包围 的所有电荷的代数和的1/o倍。
1 e E dS
S
o
q
i 1
n
i
q
i 1
n
i
表示高斯面内电荷的代数和。
dx E dE 2 0 4 0 l a x
l
l
o
x
a
r
p
dE x
dx
例5.真空中有均匀带电直线，长为L，总电量为Q。 线外有一点P，离开直线的垂直距离为a，P点和直线 两端连线的夹角分别为1和2 。求P点的场强。（设 电荷线密度为） 解：电荷元：dq=dx
习题七
1. 两个相距很近，而且 的点电荷组成的整体叫做电偶极子。
答：等值异号2. 组成电偶极子的电荷电量为q ，两电荷相距为 ，把这偶极子放在均匀外电场E 中。
外电场作用于偶极子上的最大转矩Ｔmax ＝__________。
答：pE =q E3. 两同心球壳半径分别为R a 和R b ()b a R R <，所带电量分别Q a 和Q b 。
球壳内外及两球壳之间分别充满三种不同的电介质，图示A 、B 、C 三处的场强分别为E a ＝______; E b ＝________________; Ec ＝________________________。
答：0；r Q Br a2204εεπ ；r Q Q cr ba 2304εεπ+ 4. 组成电偶极子的电荷的电量q 与由－q 指向＋q 的矢径l 的乘积定定义为___________，表示为___________。
答：电偶极距，p = q l ;5. 一平板电容器充电后极板上电荷面密度为σ0＝4.5×10-6c ·m -2 ,现将两极板与电源断开，然后用介质（εr ＝２）充满极板极间，则介质中D ＝________________。
答：4.5×10-6 c ·m -26. 如图，电矩为p 的偶极子在均匀外电场E 中，所受的力偶矩 T ＝ 。
答：q l ×E =p ×E7. 一个带电q 的金属球壳里面充满相对介电常数为εr 的均匀的电介质，外面是真空，则球壳内D A ＝________，球壳外D B ＝________。
答：0；q/(4π r B 2)8. 真空可以看作电介质的特例，其中各点的极化强度均等于______。
答：零。
9. 一个带电q 的金属球壳半径为R ，里面是真空，球外是无限大均匀电介质，则球内A 点D A ＝__________；球外B 点D B ＝___________.B 10. 电介质的极化分为无极分子的__________和有极分子的________。
电磁学第一章答案
: 建立XOY坐标系。
q和
q在A点产生
的场强E和E分别为
E
q
4
0
r
l
2
2
i
E
4
q
0
r
l 2 2
i
l
l r
E EA E
• A
v EA
v E
v E
q
4 0
r
1
l 2
2
r
1
l 2
2
v i
2qrl
v
4 0r 4
1
l 2r
2
1
l 2r
2
i
第一章 —— 静电场
20
用于该电荷的静电力的矢量和。
离散状态
N
F Fi
i 1
r Fi
qqi
4 0ri2
rˆi 0
F
F2
r10 q
F1
q1
q2 r20
连续分布 F dF
r dF
qdq
40r 2
rˆ0
第一章 —— 静电场
11
§2 电场 电场强度
一、电场
实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，
但其相互作用是怎样实现的？
1. 静电场
基本内容：
2. 恒磁场 3. 电磁感应
4. 电磁介质
5. 电路
6. 电磁理论
第一章 —— 静电场
1
第一章 静电场
§1 静电的基本现象和基本规律 §2 电场 电场强度 §3 高斯定理 §4 电势及其梯度 §5 静电场中的导体
§6 电容和电容器 §7 静电场边值问题的唯一性定理
第一章 —— 静电场
张三慧《大学物理学：力学、电磁学》(第3版)(B版)(章节题库 静电场)【圣才出品】
A． B． C．
D． 【答案】D
5．如图 7-1 所示，在带电体 A 旁有一不带电的导体壳 B，C 为导体壳空腔内的一点， 则下列说法中正确的是（ ）。
图 7-1
A．带电体 A 在 C 点产生的电场强度为零 B．带电体 A 与导体壳 B 的外表面的感应电荷在 C 点所产生的合电场强度为零
2 / 45
A．线圈中的感应电动势
1 / 45
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B．线圈中的感应电流
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C．通过线圈的感应电荷量
D．线圈回路上的感应电场
【答案】C
4．真空中两平行带电平板相距为 d，面积为 S，且有 d2<<S，带电量分别为＋q 与 －q，则两板间的作用力大小为（ ）。
3 / 45
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台
【答案】电势降低的方向
4．有一带电球体，其电荷的体密度为 p=k/r，其中 k 为常数，r 为球内任一处的半 径．则球面内任一点的电场强度的大小为＿＿＿＿．
【答案】
5．一均匀带电直线长为 l，电荷线密度为＋λ，以导线中点Ｏ为球心，R 为半径
实物受力可产生加速度，场不能被加速；实物可作参考系．场不能当参考系．
2．怎样认识电荷的量子化和宏观带电体电荷量的连续分布？ 答：常见的宏观带电体所带的电荷远大于基本电荷量，在一般灵敏度的电学测试仪器 中，电荷的量子性是显示不出来的．因此在分析带电情况时，可以认为电荷是连续分布的， 这正像人们看到流水时，认为它是连续的，而并不感觉到水是由一个个分子、原子等微观 粒子组成的一样．
2．如图 7-2，真空中一半径为 R 的均匀带电球面，总电荷量为 Q（Q＞0）。今在球 面上挖去非常小块的面积 （连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布，则挖去 后 球心处电场强度的大小 E＝______，其方向为______。
D． 【答案】D
5．如图 7-1 所示，在带电体 A 旁有一不带电的导体壳 B，C 为导体壳空腔内的一点， 则下列说法中正确的是（ ）。
图 7-1
A．带电体 A 在 C 点产生的电场强度为零 B．带电体 A 与导体壳 B 的外表面的感应电荷在 C 点所产生的合电场强度为零
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A．线圈中的感应电动势
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B．线圈中的感应电流
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C．通过线圈的感应电荷量
D．线圈回路上的感应电场
【答案】C
4．真空中两平行带电平板相距为 d，面积为 S，且有 d2<<S，带电量分别为＋q 与 －q，则两板间的作用力大小为（ ）。
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台
【答案】电势降低的方向
4．有一带电球体，其电荷的体密度为 p=k/r，其中 k 为常数，r 为球内任一处的半 径．则球面内任一点的电场强度的大小为＿＿＿＿．
【答案】
5．一均匀带电直线长为 l，电荷线密度为＋λ，以导线中点Ｏ为球心，R 为半径
实物受力可产生加速度，场不能被加速；实物可作参考系．场不能当参考系．
2．怎样认识电荷的量子化和宏观带电体电荷量的连续分布？ 答：常见的宏观带电体所带的电荷远大于基本电荷量，在一般灵敏度的电学测试仪器 中，电荷的量子性是显示不出来的．因此在分析带电情况时，可以认为电荷是连续分布的， 这正像人们看到流水时，认为它是连续的，而并不感觉到水是由一个个分子、原子等微观 粒子组成的一样．
2．如图 7-2，真空中一半径为 R 的均匀带电球面，总电荷量为 Q（Q＞0）。今在球 面上挖去非常小块的面积 （连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布，则挖去 后 球心处电场强度的大小 E＝______，其方向为______。
东南大学大学物理课件5-1
例6 . 一半径为 R 的均匀带电半球面。其面电荷密度 为 ，求该半球面球心处的电场强度大小。 解：今取一半径为 r ，宽度为 Rd 的带电细圆环 hdq dE h R cos 3 4 0R
r
h d o
dq 2 r ( Rd ) 2 ( R sin )( Rd )
e12
r12
§5–3 电场强度
一 电场 库仑定律给出了两个点电荷相互作用的定量关系 问题：相互作用是如何传递的？超距作用？近距？ 电场： 一种特殊物质。 静电场： 静止电荷所产生的电场。 电场的两个重要性质： 力学性质：电荷在电场中要受到电场力的作用。 — 引出电场强度 能量性质：电场力对电荷有作功的本领。 —引出电势
一 库仑定律的表述： (1785 法国 库仑) 真空中两个静止点电荷相互作用力F的大小与 这两个点电荷所带电量q1和q2的乘积成正比，与它 们之间的距离r的平方成反比。作用力F的方向沿 它们的连线方向，同号相斥，异号相吸。 F21 q2 二 库仑定律的矢量表达式
1 q1q2 r q1 q2 12 F21 e e12 12 2 r12 r 4 r 12 o 12 q1 e12 F21 1 k k≈ 9.0×109 N· m2 · C-2 F12 F21 4 o -12 （ N-1 · -2· 2 或 F. m -1) =8.85 10 m C 为真空电容率 o o
q
x
∵
y﹥﹥ro
∴
qr 0 EB 3 4 oy
p EB 3 4 oy
例2.电荷q均匀地分布在一半径为R的圆环上。计算 在圆环的轴线上任一给定点P的场强。
解： d E 1 dq e r 2 4 0 r q dq dl dl 2 R
电偶极子的电场
对于偶极子中点o MM M
M M M q M E 2 2 qsE i n q E s inMPE
Pq
§1.5 电场线
1.5.1.电场线（E线）
为形象地描写场强的分布，引入 E线。
1. E 线上某点的切向
切线
2. 即E 线为的该密点度E 给的出方E 向的；大小。
•
•
•
Ej
qi •
•
E
Ei ds
•qj
i
j
（S内） （S外）
Φe Eds
S
( E i)d s ( E jd s)
Si
Sj
•
E id s E jd s
•
iS
jS
S
•
qi 0 q内
i 0
0
4. 将上结果推广至任意连续电荷分布
在均匀电场中,通过面积S⊥的
nˆ
电通量为 e = E×S⊥
通过任一平面S 的电通量为
e = E× S×cos
S
S
在非均匀电场中,通过 任一面积S的电通量为
ed eE co ds S
nˆ E
dS S
通过任一封闭面S的电通量为
e
Ecos d S
R2
E2x0
(x2
1 R2)12
（3）无限大带电平板外任一点的场强
R1 0 R2
E
2 0
例5、计算电偶极子在均匀电场中所受的力矩
解：电荷产生电场，电场对电荷施加电场力
f qE
电荷量Q与矢量L的乘积定义为电偶极距
EA
E
E
Q
4
0
(r
1 2
L)
2
Q
4
0
(r
1 2
L) 2
Q
4 0
(r 2
2rL 1 L2 )2
4
由于
r>>L，则
EA
QL
2 0 r 3
场强的方向与电偶极距方
向一致。 写成矢量式为 :
EA
P
2 0 r 3
下面计算在中垂线上一点B的场强.
E
E
Q
4 0 ( y 2
EP
l 2
dR
l 2
4
0
(a
R)2
l
2 l
2
4
0
d (a
R)1
l
(a R)1 2
q
4 0
l 2
4
0
a2
l 2
2
[例2]一细线弯成半径为R的园环，带电q，求 轴线上离环心r处的电场。
y dq
1 L2 ) 4
EB
E
cos
E
cos
4
2Q 0(y2
1 4
L2 )
L 2
QL
y 2 1 L2 4
4
0(y2
1 4
L2 ) 32
由于r>>L，则
EB
QL
4 0 r 3
场强的方向与电偶极距方向相反写成矢量式为:
电磁学习题
§1-5.静电场的基本微分方程
§1-5. 静电场的基本微分方程 一.(数学)矢量分析
高斯定理和 对任意矢量场A, 有高斯定理和斯托克斯定理 通量
∫∫
S
r r A⋅ds =
∫∫∫
V
r (∇ ⋅ A )dV
A的散度 的散度
高斯定理
环流
∫
L
r r A⋅dl =
∫∫
S
r r (∇ × A ) ⋅ d s
A的旋度 的旋度
R
• 球内各点 为常量,球面电势与球内相等 u连续 球内各点u为常量 球面电势与球内相等 连续 为常量 球面电势与球内相等, 连续! • 球外各点电势与点电荷场的情况相同 球外各点电势与点电荷场的情况相同.
11
理学院 物理系 陈强
§1-4. 静电场的环路定理 电势
两同心球面均匀带电, 例: 两同心球面均匀带电 已知 R1 , Q1 ;R2 (> R1 ),Q2. 求电势分布
3
理学院 物理系 陈强
§1-3.静电场的Gauss定理
r q分布具有某些特殊对称性时可用 分布具有某些特殊对称性时可用Gauss定理求E 定理求 分布具有某些特殊对称性时可用 数学： 数学 已知积分值，求被积函数?) Why ＆ How? (数学：已知积分值，求被积函数 球对称 常见三类： 或它们的组合 组合. 常见三类： 轴对称 (柱) ( 或它们的组合 镜面对称 (平面) r 步骤: 分析q对称性→ E 对称性→作高斯面S, 使满足： 步骤 分析 对称性→ 对称性→作高斯面 使满足： 对称性 a) S过待求点 过待求点 r b) S的整个或部分 E ，且E的大小为常量 的整个或部分// 的整个或部分 的大小为常量, r 其余部分⊥ 其余部分⊥ E ，使 cosθ = 0 c) S的总面积或各部分面积可求 的总面积或各部分面积可求 的总面积或各部分面积可求. 4
物理竞赛-静电场
3 r l 3 r 1 2 2 r
q
ol
+q
P 3(r P) r 4 0 r
3
当P 点在连线上正电荷右侧，则
2P r P P，E 3 4 0 r
当P 点在连线的中垂线上，则
P r P 0，E 4 0 r 3
A -Q Q
导体板上感应电荷对板右侧电场的影响， 可用与点电荷Q关于导体面成镜像对称的另 一虚设点电荷-Q替代，板上感应电荷对Q的 作用亦等效于像电荷-Q对Q发生的作用 由库仑定律，板上感应电荷对点电荷Q的 作用力大小为 Q
kQ F 2 2 16 0 d 4d
拓展
(1)从点电荷Q出发时沿着平行于导体板的电场线碰 到导体表面的位置
例10
A
B
如图，无限大的接地导体板，在距板d处的A点有 一个电量为Q的正电荷，求板上的感应电荷对点电荷Q的作用力．
专题17-例11
由于导体板接地，板上电势为零，在点电荷Q 的作用下，板的右侧出现感应电荷.
由于导体为一等势面，从点电荷Q出 发的电场线应处处与导体面正交而终 止，因而导体板右侧电场线分布大致 如图所示． 联想到等量异种电荷的电场：
r l
E 3
q 1 1 q o E E E 2 2 40 ( r l 2E) (r l 2 ) P
E l
+q
E
E
P
E
ql
P
E
P
E
r
+q
q
o +q
1 ql E E cos E cos 2 2 32 4 0 [r (l 2) ] 4 0 r 3
物理习题
例1: 求电偶极子延长线和中垂线上的电场。
电偶极子：-q and q with a distance of l 解：（1）延长线P1(x,0) 的电场强度：（2）中垂线P2(0,) 的电场强度：例2：求均匀带电圆环（电荷线密度为l）轴线上任一点的场强。
解：圆环上微元带的电荷由点电荷场强公式：由于对称性可知例3：长为l的细棒带有电荷q. 求沿棒长方向距棒中心xP 远处P点的电场强度. 解: (1) 如图所示, dq对整个电场的贡献为（沿x轴方向，q>0,正向）（2）因此，电场为总之，电场表示为:例4:半径为R的半圆环均匀带有电量q，求圆心处的电场强度。
解：（1）如图所示，建立坐标系；（2）dq产生的电场x 轴分量为：（3）积分，有：例5:求半径为R ，面电荷密度为s的均匀带电圆盘轴线上任一点的场强.解：（1）将圆盘分成许多圆环；（2）半径为r宽度为dr的圆环对总场强的贡献为：（3）积分，有：例6：均匀带电球体内外的电场（设半径R，电荷体密度r，带电量Q）。
解（1）对称性分析，球内一点P1，以oP1为半径的球内电荷在P1点的电场沿oP1向外，oP1球外在P1点电场互相抵消。
场强沿半径向外.（2）高斯面：过P1以oP1为半径的球。
（3）根据高斯定理，等式在球内：在球外：讨论：均匀带电球壳的场强1) 球壳内E=0，可由对称性分析得来.2）球面上，例7无限大均匀带电平面产生的场强。
解(1)由对称性分析知：E 的方向垂直板面向外；距板同远处E大小相同。
(2)取如图圆柱体为高斯面.(3)由例8：求无限长均匀带电圆柱的电场分布解：柱面内一点(1). 对称性分析：圆柱内任一点的场强沿径向。
距中心同远处场强相同(2). 高斯面：选过P点半径为oP，高为h的同轴圆柱面(3). 计算，设电荷体密度为r(4)柱面外一点，根据高斯定理讨论：（1）设柱体（柱面）单位长带的电荷为l，即：（2）同样可求出线电荷密度为l的无限长直线外一点的场强：例9: 点电荷Q 的电场中距Q 为r 远处的电势例10：求均匀带电圆环轴线上一点的电势（电量q，半径R）解：叠加法（1）在圆环上取弧长为 d l 的电荷元（视为点电荷）其带电量为其中电荷线密度为(2)根据点电荷的电势公式，d q 在P点产生的电势为(3)将圆环上所有电荷元对P点电势的贡献叠加起来（积分），即得到P点的电势例 11: 半径Ｒ的球表面均匀分布着电荷Q。
例1计算在电偶极子延长线上任一点A的场强。
r<R1
qi E dS
S
2 E d S E dS E 4 r 0 S S E0
R1<r<R2
0
-q2 R2
0
+q1 R1
r
q1 q1 2 E E4r E d S E dS 2 S S 4 r 0 0 r>R2 q1 q2 q q 2 1 2 E E 4 r 2 E d S E dS 4 r 0 S S 0
x r0
2
x r 4 x
2 0
2
2qr0 EA 4o x3
2P EA 3 4 0x
例2.计算电偶极子中垂线上任一点B的场强。 y
E cos E cos 解： E B
E+
· B E E 2 2 4 y r Eo 0 4 r r y r 0 c os o 2 2 2 y r 0 4 -q r0 q qr 0 E 2 E cos B 3 2 2 2 4 y r o 0 4
S2
0 1 2 3 4 5
例8. 求均匀带电球壳的场强分布。（已知薄球壳 半径为R，带电量为Q） 解： 由于电荷分布球对称，则场强分 布球对称。场中任意点场强方向沿 Q 径矢，球面上各点场强大小相等。
qi 由高斯定理： E dS
在r>R处
S
R
Q 2 E d S EdS E dS E 4 r S S 0 S Q Q E e E 2 r 2 4 0r 4 0 r 2 E d S E 4 r 0 E0 在r<R处 S
qi E dS
S
2 E d S E dS E 4 r 0 S S E0
R1<r<R2
0
-q2 R2
0
+q1 R1
r
q1 q1 2 E E4r E d S E dS 2 S S 4 r 0 0 r>R2 q1 q2 q q 2 1 2 E E 4 r 2 E d S E dS 4 r 0 S S 0
x r0
2
x r 4 x
2 0
2
2qr0 EA 4o x3
2P EA 3 4 0x
例2.计算电偶极子中垂线上任一点B的场强。 y
E cos E cos 解： E B
E+
· B E E 2 2 4 y r Eo 0 4 r r y r 0 c os o 2 2 2 y r 0 4 -q r0 q qr 0 E 2 E cos B 3 2 2 2 4 y r o 0 4
S2
0 1 2 3 4 5
例8. 求均匀带电球壳的场强分布。（已知薄球壳 半径为R，带电量为Q） 解： 由于电荷分布球对称，则场强分 布球对称。场中任意点场强方向沿 Q 径矢，球面上各点场强大小相等。
qi 由高斯定理： E dS
在r>R处
S
R
Q 2 E d S EdS E dS E 4 r S S 0 S Q Q E e E 2 r 2 4 0r 4 0 r 2 E d S E 4 r 0 E0 在r<R处 S
大学物理教程A(2)PDF_范仰才主编_北京邮电大学出版社
I
第11章 11章 真空中的静电场 2）Maxwell方程组的建立
大学物理A教案
第11章
第11章 11章 真空中的静电场
大学物理A教案
真空中的静电场
Static Electric Field in Vacuum
麦克斯韦从理论上总结了法拉第的物理思想，用一套方 程组概括实验上发现的电磁规律，建立了电磁场理论，预言 了光的电磁本性。相对论的问世，又将电磁学推向了一个新 高潮。
由对称性 所以:
E ( x)
q 4 0 x 2
dE
E dE 0
L
② x 0, E 0 ③ 令
dE( x ) ， 可求得场强极大值的位置 0 dx
E E x dE x dE cos
L L
2R 0
E
qx qxdl 3/ 2 8 2 o Rr 3 4 0 x 2 R 2
第11章 11章 真空中的静电场
大学物理A教案
第11章 11章 真空中的静电场
大学物理A教案
§11.1 电场 电场强度
一、电荷及其性质 (Electric Charge)
物体带电及基本现象 * 物体带电----物体具有吸引轻小物 体的性质称为‘物体带电’。 物体之所以能带电是因为物质具有电结构 物体失去或得到电子时，物体便带电。
dq 电荷分布在体上，
dV， 为电荷体密度。
第11章 11章 真空中的静电场
大学物理A教案
第11章 11章 真空中的静电场 上一点 P 产生的场强。 解： 取导线左端为原点, 建坐标如图 在 x 处取电荷元
大学物理A教案
E dE
1 4 0
r
大学物理教程A PDF 范仰才主编 北京邮电大学出版社
任一点 P 的电场强度。
解：圆板看成许多带电圆环组
成,利用带电圆环的场强
dr
公式
r
E环
40
qx x2 R2
3/ 2
R
q dq, R r, E dE
P dE
x
x
dq 2 rdr
dE x
4 0
2 rdr x2 r2 3 2
第11章 真空中的静电场
按上述规定, 设通过电场中某点 垂直于该点场强方向的无限小面 积元 dS 的电场线条数为 de , 则该点处电场线的密度为:
E de dS
dS E
即：电场中某点电场强度的大小等于该点处的电场线数密度。
4
第11章 真空中的静电场
大学物理A教案
电场线只是形象描述场强分布的一种手段,电场线实际是 不存在的,但可以借助实验手段将其模拟出来.
① x ，则R
dl
R qO
r
P dE
dEx x dE
(R2 x2 )32 x3 ② x 0, E 0
E(x)
q 40 x2
③ 令 dE(x，) 可0求得场强极大值的位置 dx
x 2R 2
第11章 真空中的静电场
大学物理A教案
例5 均匀带电圆板，半径为 R ，电荷面密度为 。求轴线上
* 电荷具有运动不变性
1
第11章 真空中的静电场
大学物理A教案
二、库仑定律 (Coulomb’s Law)
1、点电荷 实际带电体的理想化模型，具有带电体的全部
电量，但无形状和大小。
2、库仑定律 真空中两点电荷之间的相互作用力大小
r
q1
F
解：圆板看成许多带电圆环组
成,利用带电圆环的场强
dr
公式
r
E环
40
qx x2 R2
3/ 2
R
q dq, R r, E dE
P dE
x
x
dq 2 rdr
dE x
4 0
2 rdr x2 r2 3 2
第11章 真空中的静电场
按上述规定, 设通过电场中某点 垂直于该点场强方向的无限小面 积元 dS 的电场线条数为 de , 则该点处电场线的密度为:
E de dS
dS E
即：电场中某点电场强度的大小等于该点处的电场线数密度。
4
第11章 真空中的静电场
大学物理A教案
电场线只是形象描述场强分布的一种手段,电场线实际是 不存在的,但可以借助实验手段将其模拟出来.
① x ，则R
dl
R qO
r
P dE
dEx x dE
(R2 x2 )32 x3 ② x 0, E 0
E(x)
q 40 x2
③ 令 dE(x，) 可0求得场强极大值的位置 dx
x 2R 2
第11章 真空中的静电场
大学物理A教案
例5 均匀带电圆板，半径为 R ，电荷面密度为 。求轴线上
* 电荷具有运动不变性
1
第11章 真空中的静电场
大学物理A教案
二、库仑定律 (Coulomb’s Law)
1、点电荷 实际带电体的理想化模型，具有带电体的全部
电量，但无形状和大小。
2、库仑定律 真空中两点电荷之间的相互作用力大小
r
q1
F
静电场 高斯定理
r P点处的场强： E = 点处的场强： 点处的场强
q
ˆ r 2
z
r r
+
P qo y
r E
q
?
4、电场中每一点都对应有一个矢量 E ， 、 这些矢量的总体构成一个矢量场。 这些矢量的总体构成一个矢量场。 r 因此在研究电场时,不是只着眼于个别地方的场强, 因此在研究电场时,不是只着眼于个别地方的场强, 而是求它与空间坐标的函数。 而是求它与空间坐标的函数。
注:以上解答考虑到对称性,因此采用积分一半再乘2倍,其结果跟直接沿整根棒积分一致!! 以上解答考虑到对称性,因此采用积分一半再乘2 其结果跟直接沿整根棒积分一致!!
y
dy
y o
d y′
x
r x dE ),则 →∞( 注:当L→∞(或L>>X),则：
r dE ′ r P . dE合
E=
λL
4πε o x
F
r r
q1
r F 12
q2
2) 库仑定律只适用两个静止点电荷 库仑定律只适用两个静止点电荷. 静止点电荷 3) 若q1、q2在介质中 介电常数 ε = εrεo； 在介质中,介电常数 空气中： 空气中： ε ≈ εo 库仑定律是基本实验规律 基本实验规律. 4) 库仑定律是基本实验规律. 在宏观,微观领域都适用. 在宏观,微观领域都适用.
电磁学
观念的更新（场是物质存在的另一种基本形式） 观念的更新（场是物质存在的另一种基本形式）
难点:
高数手段的集中应用（微积分 矢量场 矢量场） 高数手段的集中应用（微积分,矢量场） 观念的转变需逐渐体会!! 观念的转变需逐渐体会
解决方案: 解决方案
方法的掌握需勤练多思!! 方法的掌握需勤练多思
2-3 泊松方程 拉普拉斯方程
解（1） P 电偶极矩（电矩） P q l + 1 q l E E 2 2 4 0 ( r l / 4) E E 2 E cos 1 q E P 2 2 2 4 0 ( r l / 4) E l/2 2 r 2 1/ 2 ( r l / 4) 1 ql + q q 2 2 3/ 2 l/2 l/2 4 0 (r l / 4)
P l
2 0 ln rP
无限长线电流在空间中产生的电位
2.3.2 泊松方程 拉普拉斯方程
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
u u
2
式中： 2 称为拉普拉斯算符。 “ ”
u
2
在直角坐标系中：
u
2
x
2
u
2
y
偶极子
电偶极子是一种非常重要的物理模型
电偶极矩（电矩） p q l
(方向由负电荷指向正电荷)
q
p
l
q
电介质(中性分子)就可以作一个电偶极 子等效。此即电介质的电偶极子模型。
二、电偶极子激发的静电场
1、电偶极子中垂线上任一点的电场强度。
2、电偶极子延长线上任一点的电场强度。
用矢量形式表示为：
E
1
2
P
2 3/ 2
40 ( r l / 4)
若 r l
1 E 3 4 0 r
P
解(2)
q
l/2
O
l 2
q
2
q
E
A
E
q
x
i
r
i
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r
S上
· Eh
P
·P n
上 下 0
侧
E dS EdS E 2rh
S
S侧
S下
E
高斯面S侧
n
E 2 rh h E
讨论:
o
2 o r
无限长带电圆筒内部
E=0,
外部
E
2 o r
例10.计算无限大均匀带电平面的场强分布。 （电荷密度为）
电荷线密度为） 解： 电荷元：dq=dx
y dEy
dE
dE
dx 4 or 2
er
P dEx ra
dEx dE cos dx cos
1
dx x o
2 x
dEy
4 o r 2
dE sin
dx sin 4 o r 2
dEx
dx cos 4 or 2
R12 1 (R32
R12l1
R22 ) 2
(R32
R22
)l2
例13.已知两点电荷电量分别为q1 = 3.010 -8C q2 = -3.0 10 -8 C。A 、B、C、D为电场中四个点，图中
a=8.0cm, r=6.0cm。（1）今将电量q为2.010-9 C的
SE dS E 2r l
1 0
R12l1 (r 2
R22 )l 2
E 1 2 0r
R12 1 (r 2 R22 ) 2
R2 R1 R3
1 2
r
l
⑷ r>R3
E S
E
dS
1
2 0r
E 2r l
点电荷从无限远处移到A点，电场力作功多少？电势
能增加多少？ （2）将此电荷从A点移到B点，电场力
作多少功？电势能增加多少？（3）将此点电荷从C点
移到D，电场力作多少功？电势能增加多少？
解(1)WAB (EPB EPA) q(VA VB ) A
B
C
VA
q1
4or 4o
q2 r2 a2
-8 C。 r=6.0cm。
（2）
r
r
r
今将电量q为2.010-9 C的点电
荷从A点移到B，电场力作多少 q1 a/2 D a/2 q2
功？电势能增加多少？
解（2）VA
q1 4 o r
4o
q2 r2
a2
VB
q1
4 or
q2
4 or
0
EPB qVB 0
EPA qVA 3.6 10 6 (J )
d
4
0
a
s
in
2
sin1
Ey
dEy
2 sin 1 4 0a
d
4
oa
cos1
cos2
讨论：
yE
无限长带电直线：1 = 0，2 =
P
E x 0 E Ey 2 oa
a
1
o
2 x
例6.求无限大均匀带电平面的场强（面电荷密度）。 解：平面可看作许多与z轴平
r
r
r
EPA qVA 3.6 10 6 (J )
EP 0
q1 a/2 D a/2 q2
WA (EPA EP ) 3.6 10 6 (J ) EP 3.6 10 6 (J )
例14.已知两点电荷电量分别为 A
B
C
q1 = 3.010 -8C
q2 = -3.0 10 图中a=8.0cm,
讨论：
E
R 0
dE
x 2 o
1 x2
1
x
2
R
2
对带电圆板，当 x<< R 时 x 0 E
可看作无限大均匀带电平面 x2 R2
2 o
例5.真空中有均匀带电直线，长为L，总电量为Q。
线外有一点P，离开直线的垂直距离为a，P点和直线
两端连线的夹角分别为1和2 。求P点的场强。（设
S
0
E q1
4 0 r 2
E q1 q2
4 0 r 2
例12.无限长的同轴圆柱与圆筒均匀带电。圆柱的半
径为R1，其电荷体密度为1，圆筒的内外半径分别 为R2和R3（R1＜R2＜R3）其电荷体密度为2，求空间
任一点的电场强度？
解：场强具有轴对称性，由高斯定
R2
R1
理解题，取圆柱面为高斯面。
⒋ 若q为负，则E沿x轴负向
2
例4.均匀带电圆板，半径为R，电荷面密度为。
求轴线上任一点P的电场强度。
解：利用带电圆环场强公式 dr
E
qx
4 o x2 R2 3/ 2
r
O
x
R
dE
X
dq 2 rdr
x 2 rdr
dE 4 o x2 r 2 3 2
E dS
E4r 2
Q 43 r 3
S
43 R3 0
球面上（r=R）场强连续 ER
E内
Qr
40 R3
Q
40 R2
例9.求无限长均匀带电直线的场强分布。（已知线
电荷密度为）
解：无限长均匀带电直线的 场强具有轴对称性
n
E dS
qi
S
0
上 下 侧
o
x
5 ES5 cos ES1
z
n S3
S2
1 2 3 4 5 0
例8. 求均匀带电球壳的场强分布。（已知薄球壳
半径为R，带电量为Q）
解：由于电荷分布球对称，则场强分
布球对称。场中任意点场强方向沿
径矢，球面上各点场强大小相等。 Q
由高斯定理：
dE cos 2 0
xdy x2 y 2
2 0
例7.有一三棱柱放在电场强度为E =200 N· C-1的
均匀电场中。求通过此三棱柱的电场强度通量。
解：
y n
1 ES1 cos ES1 n θ
θ
S5
E
2 3 4 0
S1 S4
例1.计算在电偶极子延长线上任一点A的场强。
两电个偶点极电子荷：构大成小的相复等合，体符。号其相偶反极并矩有为一微p小 q间r0距的
解：E
q
4 o x r0
22
E
q
4 o x r0
22
-q r0 o
q E- A· E+
x
x
EA E
x r0 x2 r02
E A EB 2 0
平面之间：
+
-
EA
E内 EA EB o
EB
A
B
平面之外：
E外 EA EB 0
例11.两同心均匀带电球面，半径分别为R1和R2， 带电量分别为+q1和-q2，求其电场强度分布。
解:场强分布球对称，由高斯定理求解
E dS
行无限长均匀带电细棒组成. y
无限长带电细棒 E 2 oa
dq ldy dq l z
dy y a
P
0
x
y
dEˊ
x
dE
dy
dE
2 oa
ea
2
dy 0(x2
y
2
)
1 2
ea
Ey dEy 0
Ex
dEx
4
0 (x2
R
2
)
3 2
qx
E
4
0 (x2
R
2
)
3 2
R
o
讨论：
⒈ 若x>>R 则 E q
40 x 2
—可把带电圆环看成点电荷。
⒉ 若 x=0, E=0
—环心处电场强度为零。
PEx x
E
2R 2
o 2R x
2
3.由dE/dx=0 可求得电场强度
极大的位置，故有
x
2R
今将电量q为2.010-9 C的点电 荷从C点移到D，电场力作多少
q1 a/2 D a/2 q2
功？电势能增加多少？
解（3） VC
4 o
q1 a2 r2
q2 1800(V )
4 or
VD
q1
4 0 a 2
q2
4 0 a 2
0
WCD (EPD EPC ) q(VC VD ) 3.6 10 6 (J )
解：dE
1
4 0
dq r2
er
dq R
dq dl q dl
o
2R
r
P
x
x
dE
由于电荷分布的对称性 dEy 0
qdl x
E Ex
L dEx
dE cos
L
8 2 R 0r 2 r
2R
E
qxdl
qx
0 8 2 o R(x2 R2 ) 32
cos
r0
ry r
2 y 2 r02 4