北师大版数学八年级上册 轴对称解答题专题练习(解析版)

北师大版数学八年级上册轴对称解答题专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－3

4

∠C或∠ABC＝3∠C

或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．

【解析】

试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．

（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．

试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．

(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.

在△DBC中，

①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－1

2

x，∠A＝180°－x－y.

故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋1

2

x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，

即180°－x－y＝y－

1

90

2

x

⎛⎫

-

⎪⎝⎭

，

∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－3

4

∠C.

②若∠C是底角，

第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.

若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，

∴∠ABC＝3∠C.

若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.

若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．

第二种情况：如图，

当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝

BD，∴∠A＝∠ABD＝1

2

∠BDC＝1

2

∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．

∴当∠C 是底角时，BD ＝BC 不成立．

综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－

34

∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角． 点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．

2．（1）问题发现．

如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．

①求证：ADC BEC ∆∆≌．

②求AEB ∠的度数．

③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．

（2）拓展探究．

如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．

①请判断AEB ∠的度数为____________．

②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）

【答案】（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+

【解析】

【分析】

（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；

（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．

【详解】

解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，

∴AC CB =，CD CE =，

又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，

∴ACD ECB ∠=∠，

∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．

②∵CDE ∆为等边三角形，

∴60CDE ∠=︒．

∵点A 、D 、E 在同一直线上，

∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，

又∵ADC BEC ∆∆≌，

∴120ADC BEC ∠=∠=︒，

∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．

③AD BE =

ADC BEC ∆∆≌，

∴AD BE =．

故填：AD BE =；

（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，

∴AC CB =，CD CE =，

又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，

∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，

∴ACD ECB ∠=∠，

在ACD ∆和BCE ∆中，

AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴E ACD BC ∆∆≌，

∴

ADC BEC ∠∠=．

∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，

∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．

②∵CDA CEB ∆∆≌，

∴

BE AD =．

∵CD CE =，CM DE ⊥， ∴DM ME =．

又∵90DCE ∠=︒，

∴2DE CM =，

∴2AE AD DE BE CM =+=+．