剪叉升降机的受力分析及在Mathcad中实现方法

用Mathcad作剪叉升降机的受力分析
一、概述
（a）
(b) (c)
图1
剪叉型升降机是常用的设备，应用广泛。

根据设计荷载和使用场合的不同有多种形式。

以下以图1(a)为例对机构作力学分析及运动分析，并探讨在工程分析中常用的数学软件MATHCAD中的实现方法。

二、参数化模型建立
图2
如图2所示，此系统具有一个自由度，要对机构作全过程受力分析需要对机构进行参数化建模分析，如图建立XYZ三维坐标系并对数学模型简化如图3所示：
在MC中定义如下常量：
（注：
1. 在MC中等号有多种形式，上述
使用方法代表“赋值”等号，用
键盘冒号“:”作为输入方法，键
盘上等号“=”在MC中计算符号
或变量的值。

2. a cos-反余玄函数，MC中的内置函数）
由于系统具有一个自由度，运动时必有一个独立变量，为了分析方便可设自变量为θ（AD于Y轴的夹角），则其它的变量如高度h、液压缸的长度都可以
由θ确定，设自变量：
（注：FRAME 是MC的内置变量，是从0开始的整数，利用此变量可作简单的图形动画。

）
为了表达机构的运动规律，对关键坐标点作如下矩阵定义：
参量1~4用于表达液压油缸的安装点D2、B2和D3、B3的空间位置关系。

图4只是定义了关键点的坐标，在MATHCAD中是如何绘制出形如图4的
三维图形呢？可定义一个绘图路线：
按照以上“绘图路径”这个1×23 阶矩阵中定义的绘图路线中的点依次连线即可绘制出出形如图4的三维图。

三、受力分析
图13所示的剪叉形升降机中，动力来源是线段D2B2表示的液压油缸，设
计时首先要解决的问题是：需要设计多大推力的油缸能满足升降机的全行程受力。

根据力学知识易知：在升降过程中（相同荷载条件下），油缸的受力是变化的。

设计时要求出受力的最大值作为液压油缸设计时的依据，通常解决此类问题可以对结构确定未知量，列力平衡方程来求解，但这种方法比较繁琐，对于空间结构比较复杂的机构分析和计算难度较大。

以下介绍一种通过机构运动规律计算受力的方法，这也是受力分析中常用的方法：能量法。

根据能量守恒定律可知：升降机运动时主动力做的功等于结构势能的增加量设结构总质量: m
，这里假设运动比较缓慢，忽略惯性力的影响。

则结构的势能：
势能的增加量:
液压缸的长度：
主动力做的功：
根据主动力做的功等于结构势能的增加量 可得出：
： 则：
根据微分定理：
可得： (1)
由此可知只要知道高度函数和油缸长度函数及结构重量，通过上述公式即可
求出油缸受力函数。

此例中高度函数：
而油缸长度函数L(θ)的解析表达很难求得，这也是此种求解方法的难点之一。

而求解L(θ)及其导数正是MATHCAD软件的优势所在，
定义如下空间位置求解函数：
定义如下数据读取函数：
即可定义油缸长度函数如上所示。

则油缸受力函数定义如下：
MC内置的求导功能兼有解析和数值计算能力，这给数值分析时求导带来了很大方便，这省略了通过数据用差分公式求导数的步骤，给数值分析提高了效率，可以让设计人员从繁琐的数学计算中解脱出来，以下是在Mathcad 15.0 (M050 [])中的计算结果图形：
从图中可得在剪叉升降机的叉杆角度∈（20,50）时，油缸的最大受力：
附：解析公式
此例油缸长度函数的导数在MATHCAD中是可以求出解析解的只是公式很长，如右所示，需要两个图形叠加才能展现出来。