线性代数综合练习题(修改)
(2021年整理)线性代数练习册附答案
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第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ， y 到变量x 1， y 1的线性变换的系数矩阵： （1）⎩⎨⎧==011y x x ； (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2。
（通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2，b 3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3。
设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ,求3AB —2A 和A TB .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换 32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换。
6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ,A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f （x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3312A 时，求f (A )。
青岛理工成人教育 线性代数(本科、专升本)综合练习题及参考答案
解：A2=A (B2+2B+E)= (B+E)B2+2B+E=2B+2EB2=E
3、矩阵 的秩为2。
4、若A为n阶可逆矩阵，则R(A)＝n。
5、设A,B是两个三阶矩阵，且|A|=－1，|B|=－2，则 ＝1。
二、单项选择题
1、如果矩阵A,B满足|A|=|B|，则( )
6、n维向量组1，2，…，s(s1)若是线性相关的，则有一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使k11+k22+…+kss=0成立。
7、设1，2，…，sRn，该向量组的秩为r，则对于s和r，当r=s时向量组线性无关；当r<s时向量组线性相关。
8、已知向量组1=(1,2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),，则该向量组的秩为(2)
解：(P-1AP)6=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1A6P
A6= , P-1= ,
(P-1AP)6= =
线性代数练习与答案(3)
一、填空题：
1、向量组1=(1,1,1,1),2=(1,0,2,2),3=(2,3,1,1)的线性相关性为线性相关.
2、向量组1=(1,2,0,0),2=(1,2,3,4),3=(3,6,0,0)的极大线性无关组为1,2或2,3
线性代数（1）练习与答案
一、填空题：
1、排列13582467的逆序数为7。
2、若排列21i36j87为偶排列，则i=(4),j=(5)
3、行列式 中，元素a12的代数余子式为15.
4、设行列式 ，则D1与D2的关系为D2=2D1。
(2021年整理)线性代数1-2章精选练习题
线性代数1-2章精选练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（线性代数1-2章精选练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 （ ）。
(A) 24315 (B ） 14325 (C ） 41523 （D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ )。
(A ）k (B ）k n - (C)k n -2! （D)k n n --2)1(3。
n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项。
（A ） 0 （B)2-n (C) )!2(-n （D) )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B)1- (C ） 1 (D ） 25. =0001100000100100（ ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 （D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ）。
（A) 0 (B)1- （C) 1 (D ） 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）.（A) 4 （B ） 4- （C ） 2 (D ） 2- 8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( )。
线性代数综合练习题
线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。
（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。
5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。
2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
线性代数考试练习题带答案(2)
线性代数试题集与答案解析二、判断题(判断正误，共5道小题)9.设A ,B 是同阶方阵，则AB=BA 。
正确答案：说法错误解答参考：10. n维向量组{ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } 线性相关，则{ α 2 , α 3 , α 4 } 线性无关。
正确答案：说法错误解答参考：11.若方程组Ax=0 有非零解，则方程组Ax=b 一定有无穷多解。
正确答案：说法错误解答参考：12.若A ,B 均为n阶方阵，则当| A |>| B | 时，A ,B 一定不相似。
正确答案：说法正确解答参考：相似矩阵行列式值相同13.设A是m×n 阶矩阵且线性方程组Ax=b 有惟一解，则m≥n 。
正确答案：说法正确解答参考：（注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。
在线只需提交客观题答案。
)三、主观题(共12道小题)14.设A是m×n 矩阵, B是p×m 矩阵，则A T B T 是×阶矩阵。
参考答案：A T B T是n×p 阶矩阵。
15.由m个n维向量组成的向量组，当m n时，向量组一定线性相关。
参考答案：m>n时向量组一定线性相关16.参考答案：a=6(R( A )=2⇒| A |=0)17._________________。
参考答案：( 1 2 3 4 ) T+k ( 2 0 −2 −4 ) T。
因为R ( A )=3 ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为η2+ η3−2 η1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
18.时方程组有唯一解。
参考答案：当a=−2 时方程组无解，当a=1 时方程组有无穷多个解，当a≠1,−2 时方程组有唯一解。
19.参考答案：2420.参考答案：t=6 21.参考答案：22.参考答案：23.参考答案：24.已知方阵(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得参考答案：25.参考答案：本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数第4,5章综合练习题和答案
第4，5章 综合练习题 一、填空题1.已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，100B 01000a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦且A 与B 相似，则_______________a =.2.设可逆阵A 的一个特征值是2，且-4detA =,则A 的伴随阵*A 的一个特征值为__________.3．设A 与B 相似，B 与112⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦相似，则A 的特征值是_______.4．已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦有二重特征值1，则A 的另一个特征值是______.5．二元二次型()112122x 13f (x ,x )x x 52x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的矩阵是_______. 6．若矩阵A 的一个特征值为0，则A =7. 二次型()2221231231223,,3524f x x x x x x x x x x =++++的矩阵A =8．设A 为3阶矩阵，其特征值分别为1,2,-1，则A = , 2A 的特征值是__________，1A -的特征值分别为 , *A 的特征值分别为 ,.9．已知矩阵20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭相似，则x = ， y =10. 已知三阶矩阵11020421A x -⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭的特征值为1、2、3，则x =11. 设向量组：(),0,1,11T=α ()T 1,0,12=α ，则与21,αα 等价的正交向量组为___________.12. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020001A 的特征值为：_______, 2A 的特征值为：_______.13. 用配方法把二次型32312123222162252x x x x x x x x x +++++化成标准形为 .二、单项选择题1. 设12,αα都是n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则( ) (A) 02T 1=αα; (B) 12T 1=αα ; (C) 线性相关与21αα ;(D) 线性无关与21αα2. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(A) (A)(B)r r =； (B)A 与B 和同一个对角矩阵相似； (C) B E A E -=-λλ； (D) A 与B 的特征向量相同. 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，与A 有相同特征值的是( ) (A) -1A ; (B) TA ; (C) *A ; (D) 2A . 4.以下四个矩阵，正定的是( )(A) 1-10-120003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(B)120210002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(C)120240001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (D)200012023⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.5.A 与B 都是n 阶矩阵，且都可逆，则( )(A) 必存在可逆n 阶矩阵P ，使B AP P =-1; (B) 必存在可逆n 阶矩阵C ，使TC AC B =; (C) 必存在可逆n 阶矩阵P 与Q ，使B PAQ =; (D) A 与B 都与同一个对角矩阵相似.6. 设4-52A 5-736-94⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则A 的属于特征值00λ=的特征向量是( )(A) T )2,1,1(1=α ; (B) T )3,2,1(2=α ;(C) T)1,0,1(3=α ; (D) T )1,1,1(4=α .7． 二次型2123222132162-6-2)x ,x ,x (f x x x x x +-=是( ) (A)正定的; (B)负定的; (C) 半正定的; (D) 半负定的.8． 设001A 010100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,则以下四个向量中是A 的特征向量者是( )(A) T )1,0,1(； (B) T )1,1,1(-； (C) T )2,0,0( ； (D) T)2,1,0(.9. 设A 为n 阶实对称阵，B 为n 阶可逆阵，Q 为n 阶正交阵，则矩阵 ( )与A 有相同的特征值（A ）1T-B Q AQB ； (B) ()11TT --BQ AQB ； （C ）T T B Q AQB ； (D) T T BQ AQB10. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 都不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征值 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵A E λ-与B E λ-相等 11. 设A 是三阶矩阵,10λ=,21λ=,31λ=-是A 的三个特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，则使得1100000001P AP --⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭成立的P 是（ ）（A ）（123,,ααα） （B）（132,,ααα） （C）（321,,ααα） （D）（312,,ααα） 12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则（ ）（A）存在非奇异矩阵P ，使1P AP B -= （B）存在对角矩阵D ，使A 与B 都相似与D （C）0AB = （D）E A E B λλ-=-13．如果（ ），则矩阵A 与B 相似（A）A B = (B)()()r A r B = （C）A 与B 有相同的特征多项式 （D）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同 14．A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（ ）（A）0A > (B)存在n 阶矩阵C ，使TA C C = （C）负惯性指数为零 （D）各阶顺序主子式均为正数 15. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论不成立的为（ ）A. A B =B. ()()r A r B =C. A 与B 有相同的特征值D. A B = 16. 若A 为设n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ）A. A 的任n 个特征向量线性无关B. A 的属于不同特征值的特征向量线性无关C. A 的属于不同特征值的特征向量正交D. A 的任n 个特征向量线性相关17. 若n 阶方阵A 与B 的特征值完全相同，且A 与B 都有n 个线性无关的特征向量，则（ ）A. A B =B. A B ≠ 但0A B -=C. A 相似于BD. A 与B 不一定相似，但A B =18．设矩阵a b A b a -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中0a b >>，221a b +=，则A 为（ ） A. 正定矩阵 B. 初等矩阵 C. 正交矩阵 D. 以上都不对 19. 下列各矩阵中，不是正交矩阵的为（ ）（A）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（B）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（C ）1001⎛⎫ ⎪⎝⎭；（D）11222⎛⎫⎪-⎝⎭ 20. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 同时可逆或不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征向量 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵E A λ-与E B λ-相等21. 设三阶方阵A 的特征值分别为 -1，0，2.则下列结论正确的是（ ）。
线性代数
线性代数练习册第六版（工科用）武汉工程大学第二数学教研室编使用说明本练习册是一本与线性代数（同济大学应用数学系编，第四版）相配套的教学辅导书，它适用于全校本科各专业的学生。
这套练习册与教学内容密切配合。
强调基本概念、基本理论、基本方法的训练，同时适当选择了一些综合性的题目。
因此，有利于培养学生分析问题、解决问题的能力。
这套练习册对学生来说，不仅可以训练基本功，同时也可以作为考研复习的好资料；对于教师来说，能统一要求全校学生，便于获取学生达到“基本要求”及其学习情况的反馈信息而及时调整教学进度，改进教学方法，加强对教学的微观调控。
这套练习题由舒忠烈老师编写；第二版的修改、增补等工作由江世宏老师完成；第三版的修改、增补等工作由娄联堂、张志军二位老师完成；第四版的修改、增补等工作由杨建华老师完成；第五版的修改、增补等工作由杨雪帆老师完成；为了配合现用教材（同济大学应用数学系编，第四版），在第五版的基础上由罗进老师作了适当调整、修改和增补。
在整套练习册的编写过程中，得到了数学教研室全体教师的大力支持与帮助，在此表示衷心感谢。
对本练习册中存在的种种不足之处，恳请用者批评指正。
武汉工程大学第二数学教研室2004年6月线性代数练习题（1） 逆序数 行列式定义及对换姓名 学号 班级1.填空题：（1）排列1234的逆序数为 . （2）排列的逆序数为 4132. （3）排列)2(24)12(13n n L L −的逆序数为 .（4）排列42)22)(2)(12(13L L −−n n n 的逆序为 .（5）如果阶行列式中等于零的元素个数大于，那么此行列式的值为 n n n −2. （6）已知的逆序数为，那么的逆序数为 n a a a L 21k 121a a a a n n L −. （7）四阶行列式中带负号且包含因子的项为 2112a a 和. （8）排列最少可经 n n i i i i 121−L 次对换后变为排列. 121i i i i n n L −2.写出四阶行列式中含有因子的项. 2311a a 3.问是否是四阶行列式中的一项（试说明理由）？()342342111423)1(a a a a t −4.用行列式的定义计算120340005.5.设==)(,333231232221131211λf a a a a a a a a a D λλλ−−−333231232221131211a a a a a a a a a利用行列式的定义证明：（1）)(λf 是关于λ的三次多项式；（2）,, 的系数分别为3λ2λ0λ332211,1a a a ++−和.D线性代数练习题（2）行列式的性质 行列式按行列展开姓名 学号 班级1.填空题：（1）在函数x x xx x x f 21112)(−−−=中，的系数是 3x . （2）=−−−000z y z x yx ，其中元素的余子式为 x .2.证明：333322221111d c b a d c b a dc b a =))()()()()((cd b c b d a b a c a d −−−−−−.3.计算下列行列式的值：（1）xa a aa x a a a a x a a a a x D =4.（2）)0(,1111111113≠+++=abc cb a D .(3) 40030430021020014=D .4.设4322321143113151−=D ，求44434241A A A A +++的值，其中)4,3,2,1(4=j A j 是中元素的代数余子式. D j a 4线性代数练习题（3）克拉默法则 线性变换与矩阵姓名 学号 班级1.填空题：（1）设为实数，则当 b a ,=a 且=b 时，010100=−−−ab b a . （2）当满足条件 k 时，方程组有唯一解.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++74)1(3)2(8)1(32z kx k z y k y k x （3）当满足条件 b a ,时，线性方程组有非零解.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200z by x z by x z y ax 2.用克拉默求解非齐次线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3221133221x x x x x x3.证明平面上三条不同直线相交于一点的必要条件为：. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000b ay cx a cy bx c by ax 0=++c b a （提示：可考虑齐次线性方程组）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000bz ay cx az cy bx cz by ax4.已知两个线性变换及，求从变量到变量的线性及相应的变换矩阵.⎪⎩⎪⎨⎧++=++−=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+−=+=+−=323312211323zz y z z y z z y 321,,z z z 321,,x x x线性代数练习题（4）矩阵的运算姓名 学号 班级1.判断题:（1）任何矩阵都可求行列式. ( ) （2）所有的零矩阵都是相等的. ( ) （3）E 为单位阵，则n n ×1=E ,且1−=−E . ( ) （4）一阶方阵是一个数，且行列式()a a a −=−=−. ( ) （5） 若，则O A =2O A =. ( ) （6） 若A A =2，则O A =或E A =. ( ) （7） 若AY AX =，且，则O A ≠Y X =. ( ) 2.填空题：（1）设A 为矩阵, 33×B 为44×矩阵，且2,1==B A ，则A B = . （2）设A 为三阶方阵，且4=A ，则A 21= . （3）设，)3,2,1(=A )1,1,1(=B ，则= kB A )(/.（4）设，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=011221121 ,011221121B A =+B A . （5）设是三阶单位阵，则E A ,314021001⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=()()=−′−A E A E 44 .（6）适合条件A A =2的矩阵称为等幂矩阵.设是等幂矩阵，则满足 B A ,B A ,时，B A +仍为等幂矩阵.3.计算：. ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−212103134101403411124.设，求:⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=150421321,111111111B A A AB 23−与B A /.线性代数练习题（5）逆矩阵 矩阵的分块姓名 学号 班级1.填空题：（1）设A 为三阶方阵，且2=A ，则*123A A −−= .（2）设A 为阶可逆方阵，则n ()=**A A .（3）设，则 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=100020101A ()=−+−)9(321E A E A . （4）设四阶矩阵，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1100210000120025A =−1A . （5）方阵的逆阵为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=010100001A . （6）设A 为矩阵，33×2−=A ，把A 按行分块为，其中是⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=321A A A A )3,2,1(=j A j A 的j 行，则行列式=−121332A A A A .2.求方阵的逆阵. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=111012112A3.解方程：（1）. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛021102341010100001100001010X（2）. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−234311*********X4.求证：若A 是n 阶方阵，且1,/−==A E AA ，则0=+E A .线性代数练习题（6）矩阵的初等变换 初等矩阵姓名 学号 班级1.填空题：已知，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=300020001A =−1A . 2.选择题设A 是阶方阵，n A 经过若干次初等行变换后得到的矩阵记为B ，则（ ）（A ）B A = （B ）存在可逆阵P ，使B AP =（C ）存在可逆阵Q ，使BQ A = （D ）存在可逆阵Q ，使QB A =3.利用初等变换求矩阵的逆矩阵. ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=2321121010231220A4. 设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=101110011A AX AX +=2，求. A5.设A 是阶可逆方阵，将n A 的第行和第i j 行对换后得到矩阵B .（1）证明：B 可逆；（2）求.1−AB线性代数练习题（7）矩阵的秩姓名 学号 班级1.判断题：（1）矩阵A 的K 阶子式实质上也是一个K 阶矩阵. ( )（2）若中所有n m A ×1+r 阶子式全为0，则()r A R = . ( )（3）阶矩阵n A 可逆，则等价于0≠A ，或A 为非奇异阵，或()n A R =. ( )2.填空题：（1）设，则()αββα==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=A ,2010,2101=)(A R . （2）设，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A L L L L L L L 212221212111),,2,1(0,0n i b a i i L =≠≠，则矩阵A 的秩 =)(A R .3.设，求及⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=02301085235703273812A )(A R A 的一个最高阶非零子式.4.设 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=32321321k k k A 问k 为何值，可使（1）；（2）()1=A R ()2=A R ；（3）()3=A R .线性代数练习题（8）线性方程组的解姓名 学号 班级1.选择题：非齐次线性方程组b Ax =中，未知量个数为，方程个数为m ，n ()r A R =，则（ ）.（A ）m r =时，方程组有解 （B ）b Ax =n r =时，方程组b Ax =有唯一解（C ）时，方程组有唯一解 （D ）n m =b Ax =n r <时，方程组b Ax =有无穷多解2.解齐次线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−=−+−0200232121321x x x x xx x x3.解非齐次性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧−=+−+=−+−=+−+2534432312w z y x w z y x wz y x4.当取何值时，方程组无解？有唯一解？有多解？多解时求出其全部解.b a ,⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4322321321321bx x x x x x x ax x线性代数练习题（9）n 维向量 线性相关性姓名 学号 班级1.填空题：（1）设)1,4,1,4(),10,5,1,10(),3,1,5,2(321−===a a a ，且)(5)(2)(3321X a X a X a +=−+−，则=X .（2）若向量组线性相关，则321,,a a a 21a a +，32a a +，13a a +线性 .（3）设()()(1,2,1,3,2,0,1,1,321=)==a a k a ，则当 时，线性相关.321,,a a a 2. 选择题：（1）设A 为阶方阵，且n 0=A ，则（ ）.（A ）A 中必有两行（列）的对应元素成比例；（B ）A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；（C ）A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；（D ）A 中至少有一行（列）向量为零向量.（2）设有三维列向量，则（ ）.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=21,211,11,11321k a k a k a β（A ）当时，1≠k β可由线性表示，且表达式唯一；321,,a a a （B ）当时，0≠k β可由线性表示，且表达式唯一；321,,a a a （C ）当时，0=k β可由线性表示，且表达式不唯一；321,,a a a （D ）当时，0=k β不能由线性表示.321,,a a a （3）设向量组（I ）：和向量组（II ）：中的向量都是维向量，则下列结论正确的是（ ）.r a a a L ,,21m r r a a a a a ,,,,,121L L +n （A ）向量组（I ）线性无关时，向量组（II ）线性无关；（B ）向量组（I ）线性相关时，向量组（II ）线性相关；（C ）向量组（II ）线性相关时，向量组（I ）线性相关；（D ）以上结论都不对.3.设)0,0,2(),1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(321====a a a a 且可由线性表示为：a 321,,a a a 332211a x a x a x a ++=，试求.321,,x x x4.设向量组)1,0,0,1(),1,1,0,0(),10,1,0(),0,0,1,1(4321====a a a a ，试证明向量组线性相关.4321,,,a a a a5.设r r αααβααβαβ+++=+==L L 2121211,,,，且向量组r ααα,,,21L 线性无关，证明向量组r βββ,,,21L 亦线性无关.6.设向量β可以由向量组 线性表出，证明表示法唯一的充分必要条件为线性无关.s a a a L ,,21s a a a L ,,21线性代数练习题（10）向量组的秩姓名 学号 班级1.判断题：（1）若s ααα,,,21L 线性相关，则对于任意一组不全为零的数，有s k k k ,,,21L 02211=+++s s k k k αααL . （ ）（2）两个线性相关的向量组成的向量组，其秩为1. （ ）（3）s ααα,,,21L 线性无关的充要条件是此向量组的秩为. （ ）s （4）维向量空间中，任何n 1+n 个向量都是线性相关的. （ ）2.填空题：（1）向量组)1,1,3,4(),2,6,2,4(),0,2,1,3(),1,3,1,2(4321−=−=−=−=a a a a , 则向量组的秩为 4321,,,a a a a .（2）设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵∗A 的秩为 . 3. 设，求以及⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0000001000111000101000111A )(A R A 的列向量组的一个最大无关组；并将其它的列向量用此最大无关组线性表示.4. 设是一组维向量，已知维基本向量n a a a L ,,21n n n εεεL ,,21都可以由它们线性表出，求证：线性无关.n a a a L ,,215. 设有向量组()()(′+−=)′=′=2,1,1,3,1,1,2,0,1:321a A ααα和向量组()()()′+=′+=′+=4,1,2,6,1,2,3,2,1:321a a a B βββ.试问：当为何值时，向量组a A 与B 等价？6.设A 是一个r 阶方阵，B 是一个n r ×矩阵，秩O AB r B ==,)(，试证：. O A =线性代数练习题（11）线性方程组解的结构姓名 学号 班级1.填空题：（1）若线性方程组有解，则应满足的条件是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+=+−=+441343232121a x x a x x a x x a x x 4321,,,a a a a . （2）设，若存在三阶非零矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=11334221t A B ，满足0=AB ，则 =t .（3）方程组0=AX 以为其基础解系，则该方程的系数/2/1)1,1,0(,)2,0,1(−==ηη矩阵为 .（4）设A 是阶方阵，对任何维列向量，方程n n b b AX =都有解的充分必要条件是 .s ηηη,,,21L （5）设是方程组的解，若)0(≠=b b AX L ++2211ηηk k s s k η+也是的解，则应满足条件 )0(≠=b b AX s 21k k k ,,,L .2.已知，求方程组⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=4321,211112211221x x x x X A 0=AX 的基础解系、通解.3.已知，求方程组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=241,,2122111212114321b x x x x X A b AX =的通解.4.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且，求该方程组的通解./32/1)4,3,2,1(,)5,4,3,2(=+=ηηη5.设都是n 阶方阵，且B A ,0=AB ，证明：n B R A R ≤+)()(.线性代数练习题（12）向量空间姓名 学号 班级且}0321=++x x x , 1.设V ),,({3211x x x X ==R x x x ∈321,, ),,({3212x x x X V ==R x x x ∈321,,且}1321=++x x x ，问是不是向量空间？为什么？ ，1V 2V2.（1）试证：由)011(),101(,220(，，，，），，321===a a a 所生成的向量空间就是3R .（2）求在下的坐标，亦即使得表达式)0,0,2(=a 321,,a a a ),,(321x x x 332211a x a x a x a ++=成立的系数.321,,x x x3.由1V )1,1,0,1(),0,0,1,1(21==a a 所生成的向量空间，由2V )3,3,1,2(1−=b ， )1,1,1,0(2−−=b 所生成的向量空间.（1）证明：；21V V =（2）求由基到基的过渡矩阵，矩阵21,a a 21,b b ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=22211211k k k k K K 应满足下述表达式：. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛212221121121a a k k k k b b4.验证)2,1,3(),3,1,2(),0,1,1(=321=−=a a a 是3R 的一个基；求)7,0,5(=a 在该基下的坐标.线性代数练习题（13）向量的内积 方阵的特征值、特征向量姓名 学号 班级1.填空题：（1）矩阵的特征值为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=002010200A . （2）已知三阶矩阵A 的三个特征值为1，2，3，则=A ；1−A 的特征值为 .（3）设0是矩阵的特征值，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=a A 01020101=a ；A 的另一个特征值是 . 2.用施密特正交化方法将向量组正交化、规范化：)9,4,1(),3,2,1(),1,1,1(321===p p p .3.求下列方阵的特征值与特征向量：（1）； ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=4211A（2）. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=633312321B4.已知向量是矩阵的逆矩阵/)1,,1(k a =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=211121112A 1−A 的特征向量，试求常数的值.k5.设A 是实正交矩阵，λ是它的一个实特征值，试证：（提示:利用矩阵的特征值与特征向量的定义）.12=λ线性代数练习题（14）相似矩阵 对称矩阵的对角化姓名 学号 班级1.填空题：（1）若矩阵A 与矩阵相似，则kE =A .，则=2B A A =2（2）若阶方阵n A 与B 相似，且. （3）已知，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=20002000,533242111λB A A 与B 相似，则=λ . （4）若A 是三阶方阵，且A 的特征值为2，4，6，则=−E A 3 .（5）已知A 与B 相似，且，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=001010100B ()()=−+−E A R E A R 2 .2.设有三个线性无关的特征向量. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0011100y x A 321,,p p p （1）求A 的特征值；（2）求与的关系.x y3.设， ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=201029313A （1）求出A 的所有特征值和特征向量；（2）判断A 能否对角化?如果能，则求出相似变换矩阵P ，使A 化为对角形.4.设与相似，求与⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−=12422421x A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=40000005y B x y .5.设3阶方阵A 的特征值为1,0,1321−===λλλ，对应的特征向量依次为，求/3/2/1)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1(−−=−==p p p A .6.试求一个正交的相似变换矩阵，将对称矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=020212022A 化为对角阵.线性代数练习题（15）二次型及其标准形姓名 学号 班级1.填空题：（1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++−=的矩阵是 ，二次型的秩为 .（2）已知二次型的系数矩阵为，那么它相应的二次型 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−143401312=),,(321x x x f .（3）的矩阵是 3221232221321242),,(x x x x x x x x x x f ++++=.2.求正交变换PY X =化二次型为标准型：（1）；322322214332x x x x x f +++=（2） .43324121242322212222x x x x x x x x x x x x f +−−++++=3.二次型经过正交变换313221232221222x x x bx x ax x x x f +++++=PY X =化为，求及矩阵22212y y f +=b a ,P .4.已知矩阵，求一个多项式，使⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=3815A )(x f O A f =)(.5.设A 为阶实对称矩阵，且，试证：n O A =2O A =（提示：A 相似于对角矩阵),,,(21n diag λλλL =Λ）.线性代数练习题（16）正定二次型姓名 学号 班级1.填空题：（1）若二次型是正定的，那么31212322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=t 应满足不等式 . （2） 是正定矩阵，则满足条件 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=20001011k k A k . （3）实二次型的秩为 2322213213),,(x x x x x x f +−= ，正惯性指数为 ，负惯性指数为 .2.判断二次型的正定性：（1）；312123222122462x x x x x x x f ++−−−=（2）.4342413121242322211262421993x x x x x x x x x x x x x x f −−++−+++=3.设A 是阶正定矩阵，证明存在着非奇异线性变换n PY X=，将二次型化为规范型：. AXX f /=22221n y y y f +++=L4.证明：若是正定二次型，则也是正定二次型.Ax x f /=x A x g 1/−=5.设*A 是阶正定矩阵，n E 是阶单位矩阵，证明：n E A +的行列式大于1（提示：存在正交矩阵P ，使得，且),,,(21/n diag AP P λλλL =n λλλ,,,21L 均大于零）.线性代数练习题（17）线性空间 基与坐标姓名 学号 班级1.填空题：（1）设)3,2,1(),2,1,1(),1,1,1(=321==ξξξ是的一个基，则3R ()14,9,6=a 在该基下的坐标为 .（2）在基下坐标为的向量为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=213,132,321321ξξξ)2,1,0( . （3）设是的一个基，且在该基下的坐标为，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=121,110,011321ξξξ3R /)0,0,(t a =)1,1,1(−=t .2.证明)1,1,1(),5,2,3(,),3,1,2(321−=−=−=ξξξ是三维向量空间的一个基，并求向量在此基下的坐标.)7,2,6(−=a3.设321,,ξξξ是3R 的一个基，3R 中向量关于这组基的坐标为，求关于基a 321,,x x x a 213,,ξξξ的坐标.4.设321,,ξξξ是3R 的一个基，3R 中向量关于这组基的坐标为，求关于基a 321,,x x x a )0(,,3221≠+k k ξξξξ的坐标.线性代数练习题（18）基变换与坐标变换姓名 学号 班级1.填空题：（1）设3R 的两个基为和, ,,则由基⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=110,011,101321ξξξ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1111η⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=2112η⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1213η321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵为.（2）设321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两个基，从基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵为，向量在基⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=100210321A a 321,,ξξξ下的坐标为，则在基)2,1,0(a 321,,ηηη下的坐标为 .（3）3R 中由基)2,1,3(),2,3,6(),4,3,1(321===ααα到基)1,7,3(1=β,),1,0,0(=2β )5,3,2(3=β的过渡矩阵为.2.设3R 中两个基)1,1,0(),0,1,1(),1,0,1(321===ξξξ和),1,1,1(1=η ),2,1,1(2=η )1,2,1(3=η，求321,,ξξξ到321,,ηηη的过渡矩阵.3.设3R 中两个基)1,1,0(),0,1,1(),1,0,1(321===ξξξ和),1,1,1(1=η),2,1,1(2=η )1,2,1(3=η，已知在基a 321,,ηηη下的坐标为，求在基)1,1,0(a 321,,ξξξ下的坐标.4.设3R 中两个基)1,1,0(),0,1,1(),1,0,1(321===ξξξ和),1,1,1(1=η),2,1,1(2=η )1,2,1(3=η，求在基321,,ξξξ和基321,,ηηη下坐标相同的向量.5.设3R 中两个基321,,ξξξ和321,,ηηη之间有关系式211ξξη−=, ++=21232ξξη 33ξ+,321323ξξξη++=，求向量32132ξξξη+−=在基321,,ηηη的坐标.线性代数练习题（19）线性变换及其矩阵表示姓名 学号 班级1.填空题：(1)和向量)1,0,1(),1,1,1(21−==a a 都正交的全部向量为 .)0,2,2,1(),1,0,1,1(),0,1,1,1(321−−=−==a a a (2)和向量都正交的单位向量是 .(3)实数域上全体阶反对称矩阵（若n A A −=/，则称矩阵A 为反对称矩阵）组成的线性空间的维数为 . 2.设a ;为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=111,012,101321a a ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=112,122,121321βββ3R 的两个基, T 是该空间的线性变换,且)3,2,1(==i T i i βα,求线性变换T 在基下的矩阵. 321,,a a a3.已知为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=001,011,111321a a a 3R 的一个基,T 是该空间的线性变换,且=1αT 3α, 22αα=T ,13αα=T ,求3R 另一组基,使线性变换T 在该基下的矩阵为对角矩阵.4.设T 为的线性变换,33R R →T 关于基的矩阵为, 321,,a a a ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A 求T 关于基)0(,,321≠k a ka a 的矩阵.线性代数综合练习题（1）姓名 学号 班级1.选择题：（1）设A 是n m ×阵，且n m <，则必有（ ）.A.0≠′A AB.0=′A AC.0>′A AD.0<′A A （2）设A 是n m ×阵，()()n m r A R ,min <=，则A 中（ ）. A. 至少有一个r 阶子式不为0，没有等于0的1−r 阶子式； B. 有不等于0的r 阶子式，所有1+r 阶子式全为0； C. 有等于0的r 阶子式，没有不等于0的1+r 阶子式； D. 有等于0的1−r 阶子式，有不等于0的r 阶子式.（3）设中，，将n m A ×3,3>>n m A 经若干次初等行变换后得到的矩阵记为B ，则必有（ ）.A. 若A 的前3列线性无关，则B 的前3列也线性无关；B. 若A 的前3行线性无关，则B 的前3行也线性无关；C. 若A 的左上角的三阶行列式不为0，则B 的左上角的三阶行列式也不为0；D. 以上都不对.（4）设A 是阶方阵，满足，则（ ）.n A A =2A.1=AB.I A I A +−,不同时可逆C.A A =*D.A 的特征值为1 2.求下列行列式：（1）1)(1)1(1)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n −−−−−−=−−−+L L LL LL L L .（2）ba ab b a b a abb a ab b a D n +++++=10000000010001000L L L L L L L L L L L .3.解方程：（1）0=+−+−+−cb xc b ad d b x b a d c d c x a d c b a （这里是实数）. d c b a ,,,（2）0112520842111111154115212111111541132111111323232=++−x x xx x x x x x .4. 设，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=2200020000340043A 3A 及4A .5. 设三阶方阵满足B A ,E B A B A =−−2，其中E 为三阶单位矩阵，已知，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=102020101A B .6. 设维向量n ()0,,0,,0,<′=a a a L α，E 是阶单位矩阵，n αααα′+=′−=aE B E A 1,，其中A 的逆矩阵为B ，求元素. a7. 设阶方阵n A 的伴随矩阵为*A ，证明： （1）若，则0*=A ； （2）1*−=n A A .8.设是互异的实数，求非齐次线性方程组的解.c b a ,,⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++323232c z c cy x b z b by x a z a ay x （提示：方法1 用克拉默法则；方法2 考虑关于未知量R 的一元三次方程）023=−−−x Ry z R R线性代数综合练习题（2）姓名 学号 班级1.选择题：（1）设有齐次方程组0=Ax 和，其中均为0=Bx B A ,n m ×矩阵，现有4个命题： ①若的解均是的解，则0=Ax 0=Bx ()()B R A R ≥； ②若，则的解均是()()B R A R ≥0=Ax 0=Bx 的解； ③若与0=Ax 0=Bx 同解，则()()B R A R =； ④若，则与同解. ()()B R A R =0=Ax 0=Bx 以上命题中正确的是（ ）A.①②B.①③C.②④D.③④（2）设相量组Ⅰ：r ααα,,,21L 可由相量组Ⅱ：s βββ,,,21L 线性表示，则（ ） A.当s r <时，相量组Ⅱ必线性相关. B.当s r >时，相量组Ⅱ必线性相关. C.当s r <时，相量组Ⅰ必线性相关. D.当s r >时，相量组Ⅰ必线性相关. （3）设阶矩阵n A 的每行元素之和为1，则A 必有一个特征值（ ） A. –1 B. 1 C. 0 D.n（4）设的特征值为1，-3，5，且33×A A 对应于特征值5的特征向量是ξ，则A 的伴随阵对应于特征向量ξ的特征值是（ ）*A A. 5 B. –3 C. 1 D. -15 2.已知方程组（I ），且齐次方程组（II ）的通解为⎩⎨⎧=+=+004221x x x x )1,2,2,1()0,1,1,0(21−+=k k X .（1）求（I ）的基础解系；（2）问（I ）与（II ）是否有共同的非零解?若没有，则说明理由；若有，求所有共同的非零解.3. 已知4阶方阵()43214321,,,,,,,αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα−=，如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解.4.设有向量组A ：s ααα,,,21L 与向量组B ：t βββ,,,21L ，它们具有相同的秩，且A 组能由B 组线性表示，证明A 组与B 组等价.5. 设向量组A ：s ααα,,,21L 的秩为，向量组1r B ：t βββ,,,21L 的秩为，向量组C ：2r t s βββααα,,,,,,,2121L L 的秩为，证明：3r 21321},max{r r r r r +≤≤.线性代数综合练习题（3）姓名 学号 班级s A ααα,,,:21L r 的秩为，向量组s :B βββ,,,21L 满足下式：1.设向量组⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛s r K αααβββM M 2121这里：K 是s r ×矩阵，证明：向量组B 线性无关的充分必要条件是. r K R =)(2.设A 与B 是阶矩阵，证明：n m ×（1）若，则)()(B R A R =A 与B 等价； （2）)()()(B R A R B A R +≤+.3.设矩阵，求P A P B P A *1,100101010,322232223−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=E B 2+的特征值与特征向量．其中为*A A 的伴随阵，E 为3阶单位矩阵.4.设A 是矩阵，是的一个解，n m ×*,0η≠b b AX =r n −ξξξ,,,L 21r n −是的一个基础解系，证明：0=AX （1）,*ηξξξ,,,L 21线性无关；（2）,线性无关；*ηr n −+++ξηξηξη*2*1*,,,L （3）设121,,,+−r n ηηηL 是b AX =的1+−r n 个解，且它们线性无关，，则的任一解均可表示为：)(A R r =b AX =112211+−+−+++=r n r n k k k X ηηηL ，且.111=∑+−=r n i i k线性代数综合练习题（4）姓名 学号 班级1. 设X 是n 维列向量，1/=X X ，方阵X X E A /2−=，证明A 是正交阵.2. 设都是阶方阵，且B A ,n 0≠A ，证明：AB 与BA 相似.3.设A 是阶方阵，3A 的特征值为6，3，3，特征值所对应的特征向量为，求6/1)1,1,1(=p A .4. 设A 为阶实对称矩阵且正定，m B 为n m ×实矩阵，B ′为B 的转置矩阵，试证：AB B ′为正定矩阵的充要条件是()n B R =.5. 对于二次型，存在AX X f /=0,021≠≠X X ，使得，，证明：存在，使得. 01/1>AX X 02/2<AX X 00≠X 00/0=AX X6. 已知A 是三阶方阵，3,2,1321===λλλ是A 的特征值，设，记()13323−+−=x x x x f ()A f B =.试求：（1）B 的相似对角阵；（2）B 及E B +.。
线性代数综合练习题
线性代数综合练习题时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共15分)：1．设A 是三阶矩阵,将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为( ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010; （B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010; （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量; （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量； (C ）R n 中,坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；(D)R n 中，坐标满足x 1=1,x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）—1有一个特征值等于（ ）。
（A)34； （B ）43； （C ）21； （D ）41.5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它( ）。
（A)合同; （B ）相似； （C ）等价； （D)以上都不对。
二、填空题(每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA ＊=2BA ＊+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵,则|B ｜= .2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
线性代数练习题集--线性方程组
线性代数练习题 第四章 线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第一节 解线性方程组的消元法一．选择题：1．设A 是n m ⨯矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ⨯矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解3．设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=031b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则 31a a ≠≠-或 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = 1=- 三．计算题：1． 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+1222412w z y x w z y x w z y x213122211112111121001421120011000110211110002000020121122000.2000r r r r r r y x x y y x z w z z w w w --+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎧=⎪+==-⎧⎧⎪⎪⎪-=∴==⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎩⎩⎪⎩或3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解32111132(1)(2)11111111111000111000111111212212124003λλλλλλλλλλ=-+=-+≠⎛⎫⎛⎫⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当1,-2时，方程有唯一解11当=1时10，有无穷多解；10-22当=-2时11，方程组无解。
《线性代数》练习题及答案
《线性代数》练习题及答案一、单选题1、若矩阵A与矩阵B相似，则两个矩阵的特征多项式(相同）2、向量(1,2,3) 和(-1,-1,1)的关系为(正交)3、向量(113)和(2.2.6)的关系为(线性相)4、若方程组Ax=b的系数矩阵A的秩比其增广矩阵的秩小1,则方程组(无解)5、若矩阵A与矩阵B合同是指存在可逆矩阵C使(A=cT BC )6、若矩阵A的行秩与列秩的关系为(相等)7、若A为4x4矩阵且|A|=1，则|A4|= ( 1)8、若A为nxn矩阵且|A|=3，则A为(可逆矩阵)9、三个向量(1,0, 0),(L1,0),(2,2,0)的极大无关组元素个数为( 2 )参考答案:-3211、非齐次线性方程组AX=B的解(可能不存在)则A~'中第一行第二列元素为-113、线性方程组AX=0的基础解系的元素个数为 214、若5x5矩阵A的某2列线性相关，则|A|=(0 )15、向量(-2, 0)对应的单位向量为(1,0)16、的迹tr(A)= 517、若xTAX≥0,X≠0，则矩阵A称为（半正定矩阵）矩阵B的第一行第一列元素为（-7 ）19、向量(0,-1,1)与(37, 1, 1)的夹角为90 度的最小特征值为（1 ）21、若nxn矩阵A存在线性相关的行，则其秩小于（n）22、二次型f(X)=xT4x<0,x≠O，则矩阵A称为（负定矩阵）4、若A为4x4矩阵且|A|=1，则|A4|= (1 )5、向量(1，1，3)和(2，2，6)的关系为(线性相关)矩阵A的伴随矩阵A"的第一行第一列元素为-5则|A|=（- 3abc）不同特征值个数为 215、若A为nxn矩阵，其秩为m<n;则线性方程组Ax =0的基础解系元素个数为（n-m）17、若方程组Ax= b的系数矩阵A的秩与增广矩阵的秩不同，则方程组（无解）18、在三维向量空间R3中,向量组（(1,0,1,(0,1,0),(0,0,1)）是其正交基19、向量(2,0,1)与(5,1, 1)的内积=（11）对应的矩阵A的第三行第二列元素为（2）21、已知矩阵A的秩为2,则人=（5）22、若向量(4a，3a)的长度为1,则a为（0.2,-0.2 ）13、a1,a2,-.amn 是n维向量空间中取出一个向量组，若m>n,则该向量组（线性无关）的最大特征值为（4）15、向量(2,0,1)与(5,1,1)的内积=（11）16、若矩阵A=则A2 2021|=（-1），则|A|=（-24），则|A|=（a+b+d），则A-1的第二行第二列元素为（1），(2021 2022 2023）则其代数余子式A12=（3）15、两个相似矩阵的特征值（相同）16、二次型对应的矩阵A的第二行第三列元素为（0）。
线性代数(本)习题册行列式 - 习题详解(修改)(加批注)
||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||第 1 页 共 18 页行列式的概念一、选择题1． 下列选项中错误的是( ） (A ）ba d c dc b a -= ； （B ）ac bd dc b a =；(C ）dc b a dcd b c a =++33; (D ）dc b adc b a -----=.答案:D2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． （A)保持不变；（B)可以变成任何值；(C ）保持不为零； (D ）保持相同的正负号． 答案:C二、填空题1。
ab b a log 11log = .解析：0111log log log 11log =-=-=ab abb a ba . 2。
6cos3sin6sin3cosππππ= 。
解析：02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6cos 3sin6sin3cos==-=πππππππππ3。
函数x x xxx f 121312)(-=中，3x 的系数为 ; xx xx x x g 21112)(---=中，3x 的系数为 。
答案：-2；—2。
||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||第 2 页 共 18 页4。
n 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.5. 三阶行列式11342321-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案:5。
6。
若02182=x，则x = . 答案：2。
7。
在n 阶行列式ij a D =中，当i<j 时，),,2,1,(0n j i a ij L ==，则D = 。
答案：nn a a a 2211。
8。
设a ,b为实数，则当a = ,b =时,010100=---abb a。
解析：0)()1(1010022=+-=--=---b a ab ba abb a故0,0==b a 。
三、解答题1.用行列式的定义计算.(1）1100001001011010；解：原式=100010101)1(1010000011)1(14121++-⨯+-⨯||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||第 3 页 共 18 页110010100-=--=（2)000000hgf e d c b a。
线性代数考试题
线性代数综合练习及参考答案一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行.A ．AB B ．AB TC ．A +BD ．BA T2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . T T T )(A B AB = C . 1T 11T )()(---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB 3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .T T T )(B A AB =C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(BD .111)(---=A B AB4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）． A ．B AB = B ．BA AB = C ．I AA = D ．I A =-15．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I A B --16．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--52327．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.A ．AB = AC ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BAD ．AB = 0，则有A = 0，或B = 08．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）． A .kA -1 B .11kAn- C . --kA 1 D .11kA-9．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1 10．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解12．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（）时线性方程组无解．A ．12B ．0C ．1D ．213． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.A . 有唯一解B . 可能无解C . 有无穷多解D . 无解14．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解15．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定二、填空题1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .2．计算矩阵乘积[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021100321= ．3．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B= ．4．设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 ．5．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201aA ，当a = 时，A 是对称矩阵. 6．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆.7．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X 。
《线性代数》练习题库参考答案
《线性代数》练习测试题库一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a （ B ）A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式0000000000a a a a= （ B ）A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21＝ （ B ）A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵，m, l 是非负整数，以下说法不正确的是 （ C ）. A. ()m l mlA A = B. mlm lA A A+⋅= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是 （ C ） A. C 为m t ⨯矩阵； B. C 为n t ⨯矩阵； C. C 为n s ⨯矩阵6、下面不一定为方阵的是 （C ）A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是 （A ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 8、 分块矩阵 00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中A 、B 为可逆矩阵）的逆矩阵是 （ A ）A. 1100A B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 00BA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是 （ A ）A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是 （A ）A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、 的是则下面向量组线性无关），，，＝（），，，＝（)6,2,4(054312--=--γβα（B ）A. 0，，βα B. γβ， C. γα， 12、设A 为正交矩阵，下面结论中错误的是 （ C ）A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为 （ C ）A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩，p 是二次型的正惯性指数，q 是二次型的负惯性指数，s 是二次型的符号差，那么 （ B ）A. q p r -=；B. q p r +=；C. q p s +=； 15、下面二次型中正定的是 （ B ）A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f +=二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0. （ ⨯ ）2、A 与B 都是3×2矩阵，则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。
线性代数考试练习题带答案大全
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
线性代数复习练习题
一、填空题1、如果003112101=x，则=x ____________； 2、如果行列式2314523x x-=0,则x =____________； 3、四阶行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 中含有4123a a 的项是____________；4、211132xx D x x=中x 的系数为____________； 5、在6阶行列式中，项466455321311a a a a a a 的符号是____________；6、若12325144i k a a a a a 是5阶行列式中带“+”的项，则i=____________；k= ____________；7、已知1=d c b a ，则dc c ba a --=____________； 8、若行列式D 中存在两行元素相同或成比例，则D =____________； 9、设D=111213212223313233a a a a a a a a a =3，则2111111312212122323131333232323a a a a D a a a a a a a a +=++=____________；10、设 1231231232a a a D b b b c c c == 则123112312336322a a a D b b b c c c ==____________； 11、设157222203D = , 则313233A A A ++=____________；12、设142002125--=D ，则31323324A A A -++=____________；12、设四阶行列式D 的第二行的4个元素分别为4,3,2,1--，它们的代数余子式分别为2,1,1,2-，则行列式D =____________；13、设134213,473ij A A =为第i 行第j 列元素的代数余子式，则21222334A A A ++=____________；14、已知1142303a c b +-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则a =____________；=b ____________；=c ____________；15、5阶方阵A 的行列式的值为3，则 |-3A| = ____________； 16、设3阶行列式A 的值为2，则A 2=____________；17、设A 为n 阶方阵，λ为任一常数，则矩阵行列式A λ=____________；18、设*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，若2A =，则*A ____________；19、设101021003A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛； 20、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3211254321A ，则=--1)2(A ____________；21、设二元方阵,A B 的逆分别是11532,,1414A B --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1()AB -=____________； 22、矩阵A=)0)(2121≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn λλλλλλ的逆矩阵为1-A =____________；23、设(2,1,0,1)α=，(1,0,2,2)β=-且42αξβ+=，则ξ=____________；24、设()()1,2,1,1,3,2,1,1,22,αβγαβ=-=-+= 则γ=____________； 25、设(2,1,5,2,0),(3,0,1,1,4)αβαβ+=-=-，则α= ，β= ；26、设123,,n εεεε 为n 维单位坐标向量组，则112233n n a a a a εεεε++++ = ；28、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3411α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122t α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1323α线性相关，则=t ________________；29、含有零向量的向量组必是线性________向量组；30、任何1+n 个n 维向量都是线性 关的；31、如果向量组A 可以由向量组B 线性表示，则()R A _____()R B ；32、设A 是54⨯矩阵，若A 的行向量组线性无关，则A 的列向量组的秩R =_________________； 33、设向量组12,,r ααα 线性无关，则它的秩= ； 34、设ξη和是非齐次线性方程组AX b =的解,若12λξλη+ 也是Ax b =的解, 当且仅当 ；35、设12,,,s x x x 是非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122s s a x a x a x +++ 也是该方程组的解，则12s a a a +++= ；36、设1,2,3ηηη是非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122313ηληληη=++也是Ax b =的解，则12λλ+=____________；37、设四元线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为2，已知Ax b =有解1,2,3,ηηη则Ax b =的一般解为 ____________；38、已知5元齐次线性方程组0Ax =的基础解系包含3个解向量，则()R A =_______；39、设A 是54⨯矩阵，若A 的列向量组的秩为2，则线性方程组0Ax =的基础解系含有____个解向量。
线性代数综合练习
《线性代数》综合练习题 一、单项选择题1．排列41325的逆序数为 【 】A 、2B 、3C 、4D 、52．设有矩阵3433,4331,A B C D ⨯⨯⨯⨯和，则下列运算中没有意义的是 【 】 A 、BAC B 、AC +DD T C 、A T B +2C D 、AC +D T D3．已知A 为n 阶矩阵，则下述结论中不正确的是 【 】 A ．T T ()kA kA = （k 为常数） B ．若A 可逆，则111()kA k A ---= （k 为非零常数） C ．若A 可逆，则T T 111T [()][()]A A ---= D ．若A 可逆，则-1-1T T 11[()][()]A A --=4．已知向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】 A ．1312,3,,2αααα- B ．1223312,,2ααααααα+---C ．13131,,ααααα+-D ．23232,,ααααα-+5．设有齐次线性方程组0AX =和0BX =，其中A ，B 都是m ×n 矩阵.现有4 个命题：【 】 ①若0AX =的解都是0BX =的解，则r()r()A B ≥. ②若r()r()A B ≥，则0AX =的解都是0BX =的解. ③若0AX =与0BX =同解，则r()r()A B =. ④若r()r()A B =，是0AX =与0BX =同解. 为真命题是A ．①③④B ．①②③C ．①④D ．①③ 6.多项式10223()71043173x x xf x x-=--中的常数项是（ ）. 【 】 A ．3 B ．-3 C ．15 D ．-157.已知2122231112132122233111321233133132331121122213232223322a a a a a a a a a m a a a a a a a a a a a a a a a =---+++，则=（ ）. 【 】 A ．6m B ．-6m C ．12m D ．-12m8.设12,,,s ααα 均为n 维向量，则下述结论中正确的是（ ）. 【 】 A ．若11120s s k k k ααα+++= ，则向量组12,,,s ααα 线性相关B ．若对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有11120s s k k k ααα+++≠ ，则向量组12,,,s ααα 线性无关C ．若向量组12,,,s ααα 线性相关，则其中任意一个向量都可以用其余s -1个向量线表示D ．若向量组12,,,s ααα 线性相关，则对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有11120s s k k k ααα+++= 9.设A ，B 均为n 阶矩阵，则下列结论中正确的是（ ）. 【 】 A ．22()()A B A B A B +-=- B ．()k k k AB A B = C ．B A k kAB =D ．kk kB A AB =)(10.下述各结论中不正确的是（ ）. 【 】 A ．单位矩阵E 是正交矩阵 B ．两个正交矩阵的和为正交矩阵 C ．两个正交矩阵的积是正交矩阵 D ．正交矩阵的逆矩阵为正交矩阵二、填空题1.3125--= . 2.设10102011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，n 为正整数，则12n n A A --=_______________ 3、已知向量)3,0,1,2(-=α，)3,0,1,1(--=β，则αβ3-= 4.已知三阶矩阵A 的特征值为-1，3，-3，则A _____________5、已知向量组123(3,1,),(4,,0),(1,0,)a a a ααα===，则当a =____________时，123,,ααα线性相关；三、计算题1、计算行列式的值：D=313023429722203- 2、 设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A . 求1-A .3、设向量组T T T T T 12345(1,2,3,4),(2,3,4,1),(2,5,8,3),(5,26,9,12),(3,4,1,2)ααααα=-=-=--=--=-求该向量组的秩及一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
线性代数练习题及答案
线性代数练习题及答案线性代数作为一门重要的数学学科，对于理工科学生来说是必修课程之一。
在学习线性代数的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的完成，可以巩固理论知识，提高解题能力。
本文将介绍一些常见的线性代数练习题及其答案，希望对读者有所帮助。
一、向量与矩阵1. 给定向量a=(2,3,1)和b=(1,-1,2)，求向量a与向量b的内积及外积。
答案：向量a与向量b的内积为a·b=2*1+3*(-1)+1*2=1，向量a与向量b的外积为a×b=(7,3,-5)。
2. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵和逆矩阵。
答案：矩阵A的转置矩阵为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]，矩阵A的逆矩阵不存在，因为A的行列式为0。
二、线性方程组1. 解方程组：2x + 3y - z = 13x - 2y + 4z = 5x + y + 2z = 0答案：通过高斯消元法，可以得到方程组的解为x = -1，y = 2，z = -1。
2. 解方程组：x + 2y + z = 32x + 4y + 2z = 63x + 6y + 3z = 9答案：该方程组为一个超定方程组，通过最小二乘法可以得到方程组的近似解为x = 1，y = 1，z = 1。
三、特征值与特征向量1. 给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：首先求解A的特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=1，λ=3。
然后，将特征值代入(A-λI)x=0，得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。
2. 给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：同样地，求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=2，λ=4。
将特征值代入(A-λI)x=0，得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。
四、线性变换1. 给定线性变换T：R^2 -> R^2，将向量(1,0)和(0,1)分别变换为(2,3)和(-1,4)，求线性变换T的矩阵表示。
线性代数练习题及答案解析(一)
线性代数练习题及答案解析（一）一、行列式1、排列25341的逆序数为 7 ；2、排列643125的逆序数是 9 ；3、方程211123049x x =的根为 2,3 ；（范德蒙行列式） 4、行列式D=162021304---中，元素－3的代数余子式是（ A ）（A ）10 （B ）2 （C ）－10 （D ）－2 考点：代数余子式定义5、(1)三阶行列式det()ij D a =中含有因子1322a a 的项为 132231-a a a ，含有因子1223a a 的项为 122331a a a . 考点：行列式展开式的定义规则(2)四阶行列式det()ij D a =中含有因子1123a a 的项为 12233144a a a a 或12233441-a a a a .6、设n 阶行列式60D =，且D 中的每列的元素之和为6，则D 中的第三行的代数余子式之和为 10 .考点：行列式的性质6，行列式按行（列）展开7、(1)设n 阶行列式det()ij D a =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）. 考点：行列式按自己的行（列）展开等于行列式，如行（列）与代数余子式的行（列）不一致则等于零。
A 、10nijij i aA ==∑；B 、10nijij j aA ==∑； C 、1nijij j aA D ==∑； D 、121ni i i aA D==∑(2)若4阶行列式D 中第2行的元素212223242,1,3,0,a a a a ====余子式212M =,2223241,3,0M M M ===则D= -12 .注意：代数余子式与余子式的区别。
行列式的展开只与代数余子式有关。
(3)若3阶行列式D 中第1行的元素1112133,2,5,a a a ===代数余子式114A =,12131,2,A A =-=则D= 20 .8、行列式112233440000000a b a b b a b a =（ B ）。
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线性代数综合练习题第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 24．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 26. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)07. 若22351011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)08. k 等于何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3. 行列式=0100111010100111.4．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D5．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.6．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.6412781619441321111----; 2．yxy x x yx y y x y x +++； 3. na b b b a a b b a a a b 321222111111111； .四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a . 2．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a dcbad c b a +++------=.第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
(a)22A A = (b)))((22B A B A B A +-=-(c)AB A A B A -=-2)( (d)T T T B A AB =)(2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。
(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( )。
(a)A k (b) A k (c)Ak n (d) A k n4.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。
(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合 (c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ，B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。
(a) 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)((c) B A B A T +=+--11)( (d) 111)(---+=+B A B A 6.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。
(a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1*+=n AA (d) 1*-=n AA7. 设A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式=--*12)2(A A ( )。
(a) 827-(b) 278- (c) 827 (d) 2788. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。
(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 22B A = 9. 设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。
(a) B A B A +=+ (b) BA AB = (c) BA AB = (d) 22B A = 10.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。
（a ）T A A 22= (b) 112)2(--=A A(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--= 11.设A 为n 阶方阵，且0||≠A ，则（ ）。
（a ）A 经列初等变换可变为单位阵I （b ）由BA AX =，可得B X =（c ）当)|(I A 经有限次初等变换变为)|(B I 时，有B A =-1（d ）以上（a ）、（b ）、（c ）都不对二、填空题1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______2.设2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100020101A ，则行列式)9()3(21I A I A -+-的值为__ _____三、计算题1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).1) 223221103212102X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ； 2) 2AX A X I =+-,其中101020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；2.已知110021101A -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭,求21(2)(4)A I A I -+-. 3．设301130113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，110110B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足2AX X B -=，求X 。
4. 设n 阶方阵,A B 满足2A B AB +=，已知120120003B ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，求矩阵A . 四、证明题1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.2. 设n 阶矩阵B A ,满足AB B A =+，证明：))(())((E B E A E A E B --=--；3. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.4. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、单项选择题1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（ ）(A) r n = (B) r n < (C) r n ≥ (D) r n >2．设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（ ）(A) ()r A m < (B) ()r A n <(C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =< 3.设A 为n m ⨯阶矩阵，秩n m r A <<=)(，则（ ）。
（a ）A 中r 阶子式不全为零 （b ）A 中阶数小于r 的子式全为零（c ）A 经行初等变换可化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI （d ）A 为满秩矩阵 4.设A 为n m ⨯矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，AC B =，则( )。
(a) 秩(A )> 秩(B ) (b) 秩(A )= 秩(B )(c) 秩(A )< 秩(B ) (d) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 5.A ，B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则秩(A )和秩(B )( )。
(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n ，一个等于n6.n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )。
(a) n r A r <=)( (b) A 的列秩为n (c) A 的每一个行向量都是非零向量 (d) 伴随矩阵存在 7. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是( )。
(a) A 的每个行向量都是非零向量 (b) A 中任意两个行向量都不成比例(c) A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d) 对任何n 维非零向量X ，均有0≠AX8．设A 是m n ⨯矩阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则（ ）(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解(C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解 9．设,A B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则 （ ） (A) n B r A r ≤+)()( (B) 0)(,)(==B r n A r (C) n B r A r <+)()( (D) n B r A r >+)()( 10．设A 为m n ⨯矩阵，则下列结论正确的是（ ）(A) 若0AX =仅有零解 ，则AX b =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解 ，则AX b =有无穷多解 (C) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =仅有零解 (D) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =有非零解11．线性方程组123123123123047101x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （ ）(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解二、填空题1.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为____ ___2.非零矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111的秩为___ _____ 3. 若线性方程组m n A X b ⨯=的系数矩阵的秩为m ，则其增广矩阵的秩为 . 4. 设1231211232,3,120x A a b x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若齐次线性方程组0AX =只有零解，则a = .5. 设1231211232,3,120x A a b x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若线性方程组AX b =无解，则a = .6. 线性方程组1231212320200kx x x x kx x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩仅有零解的充分必要条件是 .7. 设12,,s X X X 和1122s s c X c X c X +++均为非齐次线性方程组AX b =的解（12,,s c c c 为常数），则12s c c c +++= .8. 设54⨯矩阵A 的秩为3，123,,ααα是非齐次线性方程组AX b =的三个不同的解向量，若123122(2,0,0,0),3(2,4,6,8)T Tααααα++=+=，则AX b =的通解为 .9. 设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 。