经典课件：晶体内部结构的微观对称和空间群

R
Rhombohedral
= = 90o = 120o = = 90o
a1 = a2 c
a1 = a2 = a3
a2
a1
P
F
I
Isometric
= = .= 90o a1 = a2 = a3
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二、空间格子中结点、 行列和面网的指标
➢ 空间格子中，结点、行列和面网可进行指 标。即通过一定的符号形式把它们的位置 或方法表示出来。
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点的坐标 coordinates of point
空间格子中结点、行列符号的表示方法
图中粗实线及箭头表示行列方向，圆圈代表结点
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行列符号（row symbol）
➢ 行列符号与晶棱符号在表示方法及形式上完全相 同，即[uvw]。
➢ 行列符号特征：表示一组互相平行、取向相同的 行列。
➢ 等效行列：可通过晶体结构中的对称要素联系起 来的一组行列，用<uvw>表示。 例：等轴晶系中[100]、[-100]、[010]、[0-10]、 [001]、[00-1]可用<100>表示。
所选取的平行六面体应能反映结点分 布固有的对称性；
在上述前提下，所选取的平行六面体 棱与棱之间的直角力求最多；
在满足以上两条件的基础上，所选取 的平行六面体的体积力求最小。
十四种空间格子
空间格子的划分
➢ 划分7种平行六面体
对应于7个晶系 形状及参数？
4mm
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4
十四种空间格子
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5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
十四种空间格子
➢ 晶面符号（hkl）中无公约数，但对于面网符号， 可以有公约数。
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25
面网符号
平行于(010)晶面的几组面网的符号
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面网符号
➢ 面网符号中存在以下关系：
dnhnknl＝1/ndhkl d030＝1/3d010 例如：金刚石（diamond）
CuKα＝1.5046nm，a＝3.536Å，Fd3m，测得 d440＝0.63Å，则d220＝1.26Å，d110＝2.52Å，
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12
十四种空间格子
例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称 思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？
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14
空间格子的划分
Why not 7 × 4 = 28 ??
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15
十四种空间格子
请判断CsCl的格子类型
举例：金红石和石盐晶体模型
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16
十四种空间格子
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则 是一致的（回忆晶体定向原则？），也就是说，我们在宏观 晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的
2．平行六面体中结点的分布
1）原始格子（ primitive, P）：结点分布于平行六面体的八个角顶。
2）底心格子（ end-centered, C、A、B）：结点分布于平行六面体
的角顶及某一对面的中心。 3）体心格子（ body-centered, I）：结点分布于平行六面体的角顶和
体中心。 4）面心格子（ face-centered, F）：结点分布于平行六面体的角顶和
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面网符号
➢ 面网符号与晶面符号的表示方法及形式基本相同。 但晶面符号是表示某一个晶面的位置（空间方 位），而面网符号是表示一组相互平行且面网间 距相等的面网。
➢ 对（hkl）一组面网，面网间距用dhkl表示，hkl绝 对值越小（每一项指数的绝对值相加），dhkl愈大， 面网密度也大；hkl绝对值越大，dhkl愈小，面网 密度也小。
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
b
aP
aC
Monoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 9.0o a b c
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c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
a3
a2
a1
P
Hexagonal
三对面的中心。
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6
十四种空间格子
以下两个平面点阵图案，画出其空间格子：
4mm(L44P)
mm2(L22P)
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7
十四种空间格子
4mm
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8
十四种空间格子
mm2
引出问题：空间格子可以有带心的格子； 另外请思考：如果上面的图案对称为3m，该怎么画？
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9
十四种空间格子
总结： 在四种格子类型当中，其中底心、
第八章 晶体内部结构的微观对称和空间群
➢ 十四种空间格子 ➢ 空间点阵中结点、行列和面网的指标 ➢ 晶体内部结构的对称要素 ➢ 空间群 ➢ 等效点系
一、十四种空间格子
1．平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
十四种空间格子
平行六面体的选择原则：
体心、面心格子称带心的格子，这是因为有 些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出 原始格子，只能画出带心的格子。
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10
十四种空间格子
➢ 七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体种形状。
➢ 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？
➢ 但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有
一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因
合成锐钛矿（TiO2): d008＝1.1871Å，则d004＝ 2.3742Å；d303＝1.1714Å，则d101＝3.5144Å。
行列。
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17
十四种空间格子
3．各晶系平行六面体的形状和大小
➢ 平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、 b、c及棱间的夹角（轴角）、、表征。这组参数 （a、b、c；、、）即为晶胞参数。
➢ 在晶体宏观形态中我们可以得到各晶系的晶体常数特 点，是根据晶轴对称特点得出的。 宏观上的晶体常 数与微观的晶胞参数是对应的，但微观的晶体结构中 我们可以得到晶胞参数的具体数值。
➢ 点的坐标 ➢ 行列符号 ➢ 面网符号
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点的坐标 coordinates of point
➢ 点的坐标的表示方法与空间解析几何中确 定空间某点的坐标位置的标记方法完全相 同，表达形式为u、v、w。
➢ 可以全为正值：1，1，1 ➢ 也可以有负值：-x，–x， 0 ➢ 分数：1/2，1/2，1/2 ➢ 小数：0.5，0.5，0.5 例：金红石中x＝0.33
此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。（A.Bravis
于1848年最先推导出来的）
举例说明：
1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子 ；
2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点，
则完全不符合等轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存在立
方底心格子。
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十四种空间格子
例1：四方底心格子 ＝ 四方原始格子