圆锥曲线之轨迹问题(有答案)

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圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题

一、临阵磨枪

1.直接法(五部法):如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。

2.定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义),则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。

3.坐标转移法(代入法):有些问题中,其动点满足的条件不便于等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法坐标转移法,也称相关点法或代入法。

4.参数法:有时求动点应满足的几何条件不易求出,也无明显的相关点,但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约,即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以把这个变量设为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫做参数法,如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参变量即可。

5.交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标,再消去参数得出所求轨迹方程,此种方法称为交轨法。

二、小试牛刀

1.已知M (-3,0),N (3,0)6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析:MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。

故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥

2.已知圆O 的方程为22

2

=+y x ,圆O '的方程为01082

2

=+-+x y x ,由动点P 向两

圆所引的切线长相等,则动点P 的轨迹方程为

析:∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等, 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线,其方程为2x =

3.已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ,M 是椭圆上一动点,1F 为椭圆的左焦点,则线段1

MF 的中点P 的轨迹方程为

析:设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得:

0000

22

22

x c x x x c y y y y -⎧

=⎪=+⎧⎪⇒⎨

⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为

22

22(2)41x c y a b

++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点,O 是平面ABC 内的一定点,P 是动点,若[)+∞∈+

=-,0),2

1

(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。

析:设点D 为BC 的中点,显然有OP OA AP -=u u u r u u u r u u u r

12AB BC AB BD AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

[),0,AP AD λλ=∈+∞u u u r u u u r

故点P 的轨迹是射线AD , 所以,轨迹一定过三角形的重心。

三、大显身手

1、直接法

例1、设过点P (x,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,若,2PA BP =且1=⋅AB OQ ,则P 点的轨迹方程为

解:设(,0),(0,)A a B b 又(,)P x y 所以(,),(,)BP x y b PA a x y =-=--u u u r u u u r

又,2PA BP = 所以32()223x a x a x

y b y b y

=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩

33

(,0),(0,3)(,3)22

A x

B y AB x y ∴∴=-u u u r

而Q 点与P 点关于y 轴对称,∴点Q 的坐标为(,)x y - 即(,)OQ x y =-u u u r

又1=⋅AB OQ 所以

2

23312

x y += 这个方程即为所求轨迹方程。 变式1、已知两点M (-2,0),N (2,0),点P 满足0=⋅+⋅NP MN MP MN ,动点P 的轨迹方程为

解:设(,)P x y

则:4,(4,0),(2,).MN MP MN NP x y ====-u u u u r u u u r

又0=⋅+⋅NP MN MP MN

4(2)0x ∴+-= 化简得所求轨迹方程为:28y x =-

2、定义法 例

2、已知圆

A

的方程为

100)3(22=+-y x ,点B (-3,0),M 为圆O

上任意一点,BM 的中垂线交AM 于点P ,求点P 的轨迹方程。

解:由题意知:BP MP =

AM PA MP PA PB =+=+∴

又圆A 的半径为10,所以 10=AM 10=+∴PB PA

即点P 的轨迹是以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点,10为长轴的椭圆 (椭圆与长轴所在的对称

轴的两交点除外)其轨迹方程为

)5(116

252

2±≠=+x y x

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