结构力学静定梁的内力计算

3. 绘制结构的内力图
❖ 弯矩图 ❖ 剪力图 ❖ 轴力图
几点注意：
➢ 在静定结构的受力分析中，正
确有序地选取隔离体是解题的关 键。
➢ 取隔离体的要点是，要保证隔
离体的完全隔离，即隔离体与结 构其他部分的所有联系都要切断。
➢ 隔离体上原有的已知力（荷载 和已求出未知力）要保留，不能 有遗漏。
➢ 隔离体上与其他部分联系的截 断处，只标舍去的其他部分对隔 离体的作用力。
❖ 又由于区段AB两端的轴力在 弯曲小变形的假设下对弯矩不 产生影响
❖ 所以从弯矩图的角度说， (a)右、(b)右两受力图是相 同的。
区段AB的弯矩图可以利用与简 支梁相同的叠加法制作。其步骤 相类似：
➢ 求出直杆区段两端的弯矩值， 在杆轴原始基线相应位置上画出 竖标，并将两端弯矩竖标连直线。
➢ 在新的基线上叠加相应简支梁 与区段相同荷载的弯矩图。（相 应简支梁，指与所考虑区段等长 且其上荷载也相同的，相应于该
图3-1-7(a)
另做一与区段AB等长的简支梁，见 图(b)左，其上作用有杆端力偶MA、 MB和与刚架相同的均布荷载q。
q
A
B
A
q B
FAy
FBy
图3-1-7(b)
比较(a)右、(b)右两受力图
❖ 若简支梁的杆端外力偶分别等于 区段AB两端的弯矩， MA=MAB,MB=MBA,容易看出，区段 AB两端的剪力与简支梁的支座反力 将相等，即，FQAB=FAy, FQBA=FBy
简支梁在两支座端有外力偶作 用时，梁两端截面有等于该端 力偶的弯矩，无外力偶在端部 作用时端部截面的弯矩为零。 所以简支梁两端支座处的弯矩 值竖标可直接绘出。
注意：
❖ 图的叠加是弯矩竖标的叠加，而 不是图形的简单叠加。
❖ 每叠加一个弯矩图，都以紧前一 次弯矩图外包线为新基线，并由此 基线为所叠加的弯矩图的拉压分界 线。见图3-1-6。
§3.1 单跨静定梁
单跨静定梁分为
❖ 简支梁 ❖ 伸臂梁 ❖ 悬臂梁
(a)
(b)
(c)
(d)
1.结构的内力概念
结构的内力反映其受力后结构内部的响 应状态（产生应变及相应的应力）。杆 件结构的内力为杆件（垂直杆轴的）横 截面上分布的应力，可以用一个合力来 表示。在杆系结构的内力分析中，将这 个合力分解成作用在横截面中性轴处的 三个分量即轴力、剪力和弯矩。
❖ 若直杆段上无荷载作用，则 剪力图是与轴线平行的一条直 线，弯矩图是一条斜直线；
❖ 若直杆段上作用均布荷载， 则剪力图为一条斜直线，弯矩 图为抛物线；
❖ 若直杆段上作用三角形分 布荷载，则剪力图为抛物线， 弯矩图为三次曲线；
以此类推
❖ 荷载图、剪力图和弯矩图 的特征依次为：零、平、斜； 平、斜、二曲；斜、二曲、三 曲；……
弯矩（M）
横截面上应力（或横截面上正 应力）对截面中性轴的力矩代 数和称为弯矩。规定弯矩的竖 标画在受拉侧。
杆件截面上的内力定义图
MA
MB
MA
MB
静定结构内力计算基本方 法和步骤：
基本方法：内力计算基本方法为截 面法。静定结构的内力计算可归纳 为：选隔离体、建立隔离体的静力 平衡方程，和求解方程三部分主要 工作。
区段的简支梁）
上述方法即为直杆区段弯矩图的 叠加法。
例3-1-3 计算图示简支梁，并 作弯矩图和剪力图。
q=14kN/m
1m 1m
4m
1m
求解：
注：结构力学绘制内力图，主要采取按控制点内力值 分段连线的方法。
1)求支座反力
去掉支座约束，以整体为隔离 体，由静力平衡条件得
MB 0
MA0
F A y7 1(1 4 4376)3k0N m(↑)
增量关系的几何意义：
❖ 在集中力作用点（集中力垂 直与杆轴或有垂直于杆轴的分 量）两侧截面，剪力有突变， 突变值即为该集中力或垂直于 杆轴的分量；弯矩有转折点 （即尖点），且尖点方向与集 中荷载方向一致。
❖ 在集中力偶作用截面两侧， 弯矩有突变，突变值即为该集 中力偶；剪力相同。
(3)荷载与内力的积分关系
F B y7 1(1 4 4471)3k3N m (↑)
q=14kN /m
FA x=0 FA y=30kN
(a) FBy=33kN
2)计算控制截面弯矩值
取D截面以左（下侧受拉）
M D F A 2 y F P 1 3 2 0 7 1 5 k 3 m N
F Q D F A yF P 3 0 7 2k3N
取图3-1-3所示杆件的连续分布 荷载段（AB段），见图3-1-5， 建立平衡方程并求解：
dx 图3-1-5
以下两式，为荷载与内力 的积分关系。
FY 0
B
FQ
BFQ
A
qdx
A
(f)
(g) M0
B
M BM AF QlA AB A q (lAB x)dx
即 B
MBMAAFQdx
注：
式(g)原式等号右侧的第二、三项 可写成：
取截面2右侧：
FN2
FP
3 5
FQ2 FP5 4FB yqa
M 2 F B ya F P 5 4 2 a q a a 2
4. 荷载与内力的关系(未考虑 沿杆件轴向的荷载作用)
对于直杆段上，见图3-1-3
dx
图3-1-3
荷载与内力之间有下列关系：
(1)微分关系
在图3-1-3所示杆件的连续分布荷 载段截取微段dx，见图3-1-4(a), 建立微段的平衡方程：
叠加法的基本含义是，若结构在线 弹性阶段且为小变形时，若干荷载 作用下结构的内力或位移，可由各 荷载单独作用下的内力或位移叠加 求得。自然弯矩图（剪力图、轴力 图）也可按叠加法得到
(1)简支梁的弯矩叠加法
根据叠加法的基本含义，下图(a)上 所示简支梁在两端力偶和均布荷载 所用下，其总弯矩图（图(a)下）等 于，两端力偶、均布荷载分别单独 作用下弯矩图（图(b)右、图(c)右） 的叠加。
例3-1-1
M
用截面法，求图(a) 所示伸臂梁截面1 上的内力。
M
FAx FAy
FBy
(a) (b)
求解：
1)求支座反力
➢ 去掉支座约束，取整体为隔离 体，见图(b)。建立隔离体的平衡 方程并解之：
MB 0
3 a 4 F A y 3 a M q 3 a 2 F P 5 a 0
F A y3 1 a M q 3 a 3 2 a F P 5 4a
截面法的一般步骤：
1. 计算结构的支座反力和约束
取结构整体（切断结构与大地的约 束）、或取结构的一部分（切开结 构的某些约束）为隔离体，建立平 衡方程。
2. 计算控制截面的内力(指定 截面的内力)
用假想的平面垂直于杆轴切开指 定截面，取截面的任意一侧为隔 离体并在其暴露的横截面上代以 相应的内力（按正方向标出）， 建立平衡方程并求解。
(2)荷载与内力的增量关系
在图3-1-3所示杆件上，取含 有集中力和集中力偶在内的微 段dx，见图 3-1-4(b)，建立 微段平衡方程：
dx
图3-1-4 (b)
FY 0
F Q F QF QF P0
FQ FP
(d)
M0 M M M F Q dx m 0
Mm
(e)
以上两式，为荷载与内力的增量 关系。式(e)忽略了一阶微量。
MA 0
F B y 3 a M q 3 a 3 2 a F P 5 4 4 a 0 F B y3 1 a M q 3 a 3 2 a F P 5 4 4 a
FX 0
3
FA
xFP
0 5
FAx
3 5
FP
由 FY 0可校核所得支座反力。
2)求截面1处的内力
➢ 截开截面1，取左侧为隔离 体，见图（c），建立平衡方 程并解之：
（2）区段叠加法作弯矩图
区段叠加法指结构的任意一段
直杆段的弯矩图叠加方法。见 下图3-1-7图(a)上所示一刚架结 构，要绘制直杆AB区段的弯矩 图。
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将直杆段AB取出，见图(a)右，两 端截开截面上的弯矩MAB、MBA已
求出（其它杆端内力也可求出）。
q
FQAB
A
B
FNAB
A
q
B FNB FQBA
33kN/m
(b) M图
M E5 2 37 423k0N m
DC段中点：
M D1C 5 2 3 3 3 1 8 4 427k1N m
剪力图：见图(c) ，按图(a)外力从 梁的任意一端开始逐段绘制。注 意剪力正负号的确定。
30kN
33kN/m (c) FQ图
例3-1-2 计算图示伸臂梁，并 作弯矩图和剪力图。
结构力学
结构力学教研组 青岛理工大学工程管理系
第三章 静定梁的内力分析
静定梁是基本的结构形式
➢ 静定梁有单跨静定梁和多跨静 定梁两种形式。
❖ 通过学习单跨静定梁，复习 杆系结构内力概念及内力计算 基本方法；
❖ 通过学习多跨静定梁，了解 静定结构几何组成对内力计算 的影响，掌握静定结构内力分 析的基本途径和方法。
dx
图3-1-4(a)
FY 0
F QdQ F F Qqd 0 x
dFQ q dx
(a)
M0
M dM M F Q d xq(d 2 )2 x0
dM dx FQ
(b)
由(a)、(b)两式得:
d2M
q dx2
(c)
以上三式，为荷载与内力的微分 关系。式(b)忽略了二阶微量。
微分关系的几何意义：
M F Ax
F Ay
M1 F Q1
M1
FQ1
FBy
(c)
(d)
FX 0
FN1FAx0
FY 0
FN1 FAx
F Q 1FA y qa0
FQ1 FAyqa
M1 0
M 1qaa 2FA yaM0 M11 2q2 aFAa yM
用文字 写明受 拉侧
取截面1右侧为隔离体计 算可得同样结果
直接法求指定截面的内力
典型杆件截面上的内力
❖ 轴力（FN） ❖ 剪力（FQ） ❖ 弯矩（M）
轴力(FN)
横截面上应力在截面法线（杆轴） 方向上的投影（或横截面上正应 力）的代数和称为轴力。轴力使 隔离体受拉为正（与截面法线方 向相同）。
剪力（FQ）
横截面上应力在截面切线（垂直 于杆轴）方向上的投影（或横截 面上切应力）的代数和称为剪力。 剪力使隔离体顺时针转动为正 （左上、右下）。
q=20kN /m
2m
1m 1m 1m
求解：
1)求支座反力（略）
q= 20kN /m
F A y= 5kN
(a)
F B y= 7 5kN
2)求控制截面弯矩值
取截面C以左（上侧受拉）
MC FAy2q21 522021 30kNm
3)作内力图 各区段中点弯矩值：
AC段中点
M A1 C2 8 0223 20 5kN m
取C截面以右(下侧受拉)
M C F B y 1 3 1 3 3k3 N m FQC FBy3k3N
3)作内力图
弯矩图：见图(b)，以梁轴线为基 线，画出控制截面弯矩竖标并连 以直线；分段叠加各段相应简支 梁的弯矩图，并计算各段中点的 弯矩值。
AD段中点：
30kN/m 53kN/m 71kN/m
截面一侧所有外力对 指定截面形心力矩的 代数和。左顺、右逆 为正。
例3-1-2
用直接法，求例 3-1-1图(a)所示伸 臂梁截面2上的内 力。
M
(a)
求解：
支座反力计算同例3-1-1。内力 可由下图所示受力图直接计算：
M
FAx FAy
FBy
取截面2左侧：
FN2 FAx
FQ2FAyq2a
M 2 F A y 2 a M q 2 a a
CB段中点： D左： M D l 3 2 04 03 06k5N m D右： M D r 3 2 04 03 05kN m
弯矩图：见图(b)，剪力图： 见图(c)。
B
B
A [F Q A(qAlB q)x d ] xAF Q dx
(f )、(g)两式又可由前述微分关系 得出
积分关系的几何意义 ：
有连续分布荷载（荷载垂直于杆 轴）的直杆段AB，B端的剪力等 于A端的剪力减去该段分布荷载 图的面积。B端的弯矩等于A端的 弯矩加上该段剪力图的面积。
5.区段叠加法作弯矩图
q
A
B
A
C
B
ql2
8
图3-1-6(a)
A
B
A
B
C MB MA
2
图3-1-6(b)
q
A
B
A
C
B
ql2 8
图3-1-6(c)
将先分别计算和绘制各荷载单独 作用下的弯矩图后再叠加的过程 在总弯矩图上一次完成，其步骤 是:
➢ 梁的轴线为原始基线，将梁两 端的弯矩竖标连以直线。
➢ 上一步所作的直线为新的基线， 叠加梁中部荷载作用下的弯矩图 。
由例3-1-1内力计算结果 分析，指定截面的内力可 用该截面一侧的外力直接 表示，即：
轴力（FN）
截面一侧所有外力在指定 截面法线方向投影的代数 和，以与截面外法线方向 相反为正。即轴力按外力 左左、右右为正。
剪力（FQ）
截面一侧所有外力在指定 截面切线方向投影的代数 和，左上、右下为正。
弯矩（M ）