复合材料结构分析
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x vA
Bβ
A’
vB
B’ uB
y
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(4-1)
由变形连续规律得到的上述6个方程称为弹性力学 的几何方程，也叫柯西(Gauchy)方程
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B 平衡方程
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所以有：
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如果在讨论的问题中可忽略体积力，则以上三式变为：
(4-4)
可以认为弹性力学是高等材料力学
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弹性力学的内容 数学弹性力学：研究基本概念、基本方程、边界条件、基 本方法。几乎是力学概念和纯数学推导；
应用弹性力学：研究工程方面的重要应用，如薄板、薄壳、 地基梁板等。
Байду номын сангаас
2019/9/10
弹性力学问题，能够精确求得解析解的只是极 少数，大量的问题只能近似求解，包括差分法、 变分法、有限元法等。
§4.0 弹性力学基本内容 §4.1 复合材料结构分析的基本问题 §4.2 复合材料梁 §4.3 夹层结构分析 §4.4 复合材料板的弯曲分析 §4.5 复合材料壳体分析
§4.0 弹性力学基础
4.0.1 弹性力学的基本内容 4.0.2 弹性力学的基本假设 4.0.3 弹性力学的几个重要概念 4.0.4 弹性力学的三大基本规律 4.0.5 弹性力学的边界条件
位移 弹性体内各点在变形过程中都会发生位置的移动，称为
位移。位移是矢量，位移在坐标轴各方向的投影为u, v, w，为标量，称为位移分量。
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因此，各点的位移表达式为：
O
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uA A
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4.0.1 弹性力学的基本内容
弹性力学的发展初期：胡克，马略特，牛顿 第二个时期：纳维，柯西 第三个时期：圣维南，赫兹，基尔施
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4.0.1 弹性力学的基本内容
在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19世纪 20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯 西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应 变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动 (平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定 了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
重力，惯性力等。 定义体力集度
ΔV为弹性体内的微小体积元 ΔQ为ΔV体积元所受到的合外力
那么，体力
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面力(面积力) 分布在弹性体各外表面上的外力，称为面积力，简称面力。例
如风力，大气压力等。
同体力，面力可表示为：
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应力 单位面积上的内力
应变 单位长度的形变量
这组方程称为平衡方程，也叫纳维方程！
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C 应力-应变关系（广义胡克定律） 若物体在无应力状态下应变为零或当应变为零时应力也为零，
则在直角坐标系下，表示应变与应力的一般关系式为：
(4-5)
式中
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称为柔量分量。如果将上式求逆，则：
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对于正交各向异性材 料，若材料主方向改 为1, 2, 3坐标，则应 力-应变关系为：
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4.0.1 弹性力学的基本内容
弹性力学与材料力学 材料力学基本上是研究具有特殊形状的构件（如杆、梁、板等） 在拉压、剪切、弯曲和扭转作用下的应力，应变和位移； 弹性力学则对形状更加复杂的实体结构和构件进行应力，应变 和位移的分析。弹性力学的基本假设比材料力学少。通常利用 弹性力学的三大基本规律和边界条件对构件进行更精确的分析。
2019/9/10
weizhou@cug.edu.cn
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4.0.1 弹性力学的基本内容
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下 物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物 体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力 除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处 理。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和 其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。 它是结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用 于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
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连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连 续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑 裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界 条件等方面的知识。
求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应 变和应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后， 问题才算解决。但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其 中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。所 以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。
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4.0.2 弹性力学的基本假设
1. 连续性： 物体各点都由介质填满，没有空隙；这样，弹性力学中的各个 量都可以用位置坐标的连续函数来表示，方便求各阶导数。
2. 完全弹性： 外力除去后物体能恢复原来的形状，无残余应变。
3. 均匀性： 物体各质点的材料相同。
4. 各向同性： 假设物体内任意一点在不同的方向有相同的弹性，这样可以在 物体内任意一点建立坐标系解决问题。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时 期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在 理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效 的计算方法。
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弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运 动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多 定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
5. 小变形： 假定物体的位移和变形都是微小的，远远小于物体本身的尺寸。 这样，在计算时可以忽略应变的二次幂及更高次幂，使方程都 简化为线性方程。
凡满足前四点的，都可以称为理想弹性体
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4.0.3 弹性力学的几个重要概念
体力(体积力) 分布在弹性体各质点上的外力，称为体积力，简称体力。例如
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由变形连续规律得到的上述6个方程称为弹性力学 的几何方程，也叫柯西(Gauchy)方程
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B 平衡方程
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所以有：
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如果在讨论的问题中可忽略体积力，则以上三式变为：
(4-4)
可以认为弹性力学是高等材料力学
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弹性力学的内容 数学弹性力学：研究基本概念、基本方程、边界条件、基 本方法。几乎是力学概念和纯数学推导；
应用弹性力学：研究工程方面的重要应用，如薄板、薄壳、 地基梁板等。
Байду номын сангаас
2019/9/10
弹性力学问题，能够精确求得解析解的只是极 少数，大量的问题只能近似求解，包括差分法、 变分法、有限元法等。
§4.0 弹性力学基本内容 §4.1 复合材料结构分析的基本问题 §4.2 复合材料梁 §4.3 夹层结构分析 §4.4 复合材料板的弯曲分析 §4.5 复合材料壳体分析
§4.0 弹性力学基础
4.0.1 弹性力学的基本内容 4.0.2 弹性力学的基本假设 4.0.3 弹性力学的几个重要概念 4.0.4 弹性力学的三大基本规律 4.0.5 弹性力学的边界条件
位移 弹性体内各点在变形过程中都会发生位置的移动，称为
位移。位移是矢量，位移在坐标轴各方向的投影为u, v, w，为标量，称为位移分量。
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因此，各点的位移表达式为：
O
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4.0.1 弹性力学的基本内容
弹性力学的发展初期：胡克，马略特，牛顿 第二个时期：纳维，柯西 第三个时期：圣维南，赫兹，基尔施
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4.0.1 弹性力学的基本内容
在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19世纪 20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯 西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应 变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动 (平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定 了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
重力，惯性力等。 定义体力集度
ΔV为弹性体内的微小体积元 ΔQ为ΔV体积元所受到的合外力
那么，体力
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面力(面积力) 分布在弹性体各外表面上的外力，称为面积力，简称面力。例
如风力，大气压力等。
同体力，面力可表示为：
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应力 单位面积上的内力
应变 单位长度的形变量
这组方程称为平衡方程，也叫纳维方程！
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C 应力-应变关系（广义胡克定律） 若物体在无应力状态下应变为零或当应变为零时应力也为零，
则在直角坐标系下，表示应变与应力的一般关系式为：
(4-5)
式中
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称为柔量分量。如果将上式求逆，则：
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对于正交各向异性材 料，若材料主方向改 为1, 2, 3坐标，则应 力-应变关系为：
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4.0.1 弹性力学的基本内容
弹性力学与材料力学 材料力学基本上是研究具有特殊形状的构件（如杆、梁、板等） 在拉压、剪切、弯曲和扭转作用下的应力，应变和位移； 弹性力学则对形状更加复杂的实体结构和构件进行应力，应变 和位移的分析。弹性力学的基本假设比材料力学少。通常利用 弹性力学的三大基本规律和边界条件对构件进行更精确的分析。
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weizhou@cug.edu.cn
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4.0.1 弹性力学的基本内容
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下 物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物 体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力 除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处 理。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和 其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。 它是结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用 于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
2019/9/10
连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连 续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑 裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界 条件等方面的知识。
求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应 变和应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后， 问题才算解决。但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其 中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。所 以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。
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4.0.2 弹性力学的基本假设
1. 连续性： 物体各点都由介质填满，没有空隙；这样，弹性力学中的各个 量都可以用位置坐标的连续函数来表示，方便求各阶导数。
2. 完全弹性： 外力除去后物体能恢复原来的形状，无残余应变。
3. 均匀性： 物体各质点的材料相同。
4. 各向同性： 假设物体内任意一点在不同的方向有相同的弹性，这样可以在 物体内任意一点建立坐标系解决问题。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时 期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在 理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效 的计算方法。
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弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运 动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多 定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
5. 小变形： 假定物体的位移和变形都是微小的，远远小于物体本身的尺寸。 这样，在计算时可以忽略应变的二次幂及更高次幂，使方程都 简化为线性方程。
凡满足前四点的，都可以称为理想弹性体
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4.0.3 弹性力学的几个重要概念
体力(体积力) 分布在弹性体各质点上的外力，称为体积力，简称体力。例如